第8章 图与网络分析(1)
合集下载
《运筹学》第8章_图与网络分析
V = {v1 ,v 2 , v 3 , v 4 , v 5 , v 6 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
v1 e1 e2 e5 e8 v5 e6 e7 v3 v2 e3 e v4 4
e 5 = { v1 , v 3 }
e9 = {v 6 , v 6 }
E = {e1 ，2 , e3 , e4 , e5 , e6 , e7 , e8 , e9 , e10 } e e1 = {v1 , v 2 } e 2 = { v1 , v 2 } e10 e 3 = {v 2 , v 3 } e = {v , v }
引
C
言
B A
D
图的基本概念与基本定理
在实际的生产和生活中，人们为了 反映事物之间的关系，常常在纸上用点 点 和线来画出各式各样的示意图。 和线 是我国北京、上海、重庆等十四个城 市之间的铁路交通图，这里用点表示城 市，用点与点之间的线表示城市之间的 铁路线。诸如此类还有城市中的市政管 道图，民用航空线图等等。
例
v6
v1 3 6
4 7 3
v2 2 v3 5
3
4 2
权矩阵
v1 0 v 2 4 v 3 0 A= v4 6 v5 4 v6 3 v1
v5
v4
邻接矩阵
v1 0 v 2 1 v 3 0 B= v 4 1 v 5 1 v 6 1 v1 1 0 1 1 1 0 1 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 0 1 0 v 2 v 3 v4 v5 v6
4 3 4
e6 = {v 3 , v 5 }
e8 = {v 5 , v 6 } e10 = {v1 , v6 }
v6
e 7 = {v 3 , v 5 }
第八章 图与网络分析
Ｖ4
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
16
赋权图 网络
赋权图：设图G＝(V,E）,对G的每一条边(vi,vj)相应赋 予数量指标 wij ， wij 称为边 (vi,vj) 的权 , 赋予权的图 G 称 为赋权图。赋权图中的权可以代表距离、费用、通 过能力(容量)等等。 网络：若G＝(V,E）为一赋权图,并在其顶点集合V中 指定了起点和终点，其余的点为中间点，这样的赋 权图称为网络图（简称网络）。
v2 9 v1 20
10
v3
15 7 v4 14 6 19 25
v5
v6
子图，支撑子图
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}，如果有
V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 ，则称G1是G2的一个 支撑子图。 v2
v1 e4 e3 v3 e6 e8 e6 e2
第8章 图与网络优化
8.1 8.2 8.3 8.4 8.5 8.6 图的基本概念 树 最短路问题 网络最大流 最小费用最大流问题 中国邮递员问题
图论起源——哥尼斯堡七桥问题
A C B
问题：一个散步者能否从任一 块陆地出发，走过七座桥，且 每座桥只走过一次，最后回到 出发点？
A
D
C
B 欧拉证明了上述图形一笔画 是不可能的，因为图中每一个 点都只和奇数条线相关联． 他的结论是：图形能一笔画 的充要条件是图形的奇顶点 （连接奇数条线的顶点）的个 数为零
图的基本性质：
定理1 图G=（V,E），顶点次数之和等于所有边数的2 倍。
证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的次时，每 条边均被计算了两次，所以顶点次数的总和等于边数的2倍。
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
运筹学第八章--图与网络分析-胡运权
运筹学
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
赵明霞山西大学经济与管理学院
2
第八章 图与网络分析
图与网络的基本概念 树 最短路问题 最大流问题 最小费用最大流问题
3
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题哈密尔顿回路：经过每点且仅一次 货郎担问题、快递送货问题
例8-9
28
基本步骤标号T(j)→P(j)
29
2017/10/26
30
最长路问题例8-10（7-9）设某台新设备的年效益及年均维修费、更新净费用如表。试确定今后5年内的更新策略，使总收益最大。
役龄项目
0
1
2
3
4
5
效益vk(t)
5
4.5
4
3.75
3
2.5
14
15
柯尼斯堡七桥问题
欧拉回路：经过每边且仅一次 厄尼斯堡七桥问题、邮路问题 充要条件：无向图中无奇点，有向图每个顶点出次等于入次
16
第二节 树
树是图论中的重要概念，所谓树就是一个无圈的连通图。
图8-4中，(a)就是一个树，而(b)因为图中有圈所以就不是树， (c)因为不连通所以也不是树。
7
G=(V,E)关联边(m)：ei端（顶）点(n)：vi, vj点相邻(同一条边)： v1, v3边相邻(同一个端点)：e2, e3环：e1多重边： e4, e5
8
简单图：无环无多重边
多重图：多重边
9
完全图：每一对顶点间都有边（弧）相连的简单图
10
次（d）：结点的关联边数目d(v3)=4，偶点d(v2)=3，奇点d(v1)=4d(v4)=1，悬挂点e6, 悬挂边d(v5)=0，孤立点
（一）线性(整数)规划法
Python数据可视化分析与案例实战 第8章 网络数据的可视化
8.4.1 社交网络及应用场景
➢ 社交网络是十分常见的一类图，代表个人或组织之间的关系。网络中的节点表示人、组织、计算机或其他 实体，连线表示节点之间的关系或信息流动，信息流动的方式有很多。
➢ 社交网络主要应用于深入研究个人或组织，在日常工作、生活、娱乐、购物等过程中，形成的纷繁复杂的 网络关系。例如，使用Microsoft Power BI绘制了企业内部员工的社交网络。
12
Python数据可视化分析与案例实战
8.4.2 Python案例实战
➢ 客户在购买商品后，通过社交平台等分享购买体验，所有客户之间就会形成一个庞大的网络。我们收集了 2020年10月份客户分享的记录，包括分享表（share.csv）和边界表（edges.csv），其中分享表包含分 享者和被分享者的ID，边界表包含开始节点和结束节点。
Python数据可向图法
3
有向图法
4
社交网络法
5
Python数据可视化分析与案例实战
8.2.1 无向图及应用场景
➢ 通常，一个图是由数个顶点和数个边组成，其中无向图的边是没有方向的，即两个相连的顶点可以互相抵 达。
➢ 当实体之间的联系没有方向时，就可以使用无向图，例如朋友圈。
6
Python数据可视化分析与案例实战
8.2.2 Python案例实战
➢ 为了研究公司数据分析小组的沟通情况，我们收集了2020年10月份，数据分析组内部成员的沟通记录。 ➢ 为了研究内部员工的沟通情况，我们使用NetworkX库绘制内部员工沟通的无向图，其中员工之间有连线
的，表示员工间存在沟通关系，连线越多的员工表示沟通越多。
林丹, 苏冬露 常明媚,林丹 林丹,周康 林丹, 俞毅
俞毅,常明媚 常明媚,吕婵娟 苏冬露,俞毅 吕婵娟, 俞毅
➢ 社交网络是十分常见的一类图，代表个人或组织之间的关系。网络中的节点表示人、组织、计算机或其他 实体，连线表示节点之间的关系或信息流动，信息流动的方式有很多。
➢ 社交网络主要应用于深入研究个人或组织，在日常工作、生活、娱乐、购物等过程中，形成的纷繁复杂的 网络关系。例如，使用Microsoft Power BI绘制了企业内部员工的社交网络。
12
Python数据可视化分析与案例实战
8.4.2 Python案例实战
➢ 客户在购买商品后，通过社交平台等分享购买体验，所有客户之间就会形成一个庞大的网络。我们收集了 2020年10月份客户分享的记录，包括分享表（share.csv）和边界表（edges.csv），其中分享表包含分 享者和被分享者的ID，边界表包含开始节点和结束节点。
Python数据可向图法
3
有向图法
4
社交网络法
5
Python数据可视化分析与案例实战
8.2.1 无向图及应用场景
➢ 通常，一个图是由数个顶点和数个边组成，其中无向图的边是没有方向的，即两个相连的顶点可以互相抵 达。
➢ 当实体之间的联系没有方向时，就可以使用无向图，例如朋友圈。
6
Python数据可视化分析与案例实战
8.2.2 Python案例实战
➢ 为了研究公司数据分析小组的沟通情况，我们收集了2020年10月份，数据分析组内部成员的沟通记录。 ➢ 为了研究内部员工的沟通情况，我们使用NetworkX库绘制内部员工沟通的无向图，其中员工之间有连线
的，表示员工间存在沟通关系，连线越多的员工表示沟通越多。
林丹, 苏冬露 常明媚,林丹 林丹,周康 林丹, 俞毅
俞毅,常明媚 常明媚,吕婵娟 苏冬露,俞毅 吕婵娟, 俞毅
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
运筹学综合练习题
《运筹学》综合练习题第一章 线性规划及单纯形法1、教材43页——44页题2、教材44页题3、教材45页题4、教材46页题5、教材46页题6、补充：判断下述说法是否正确LP 问题的可行域是凸集。
LP 问题的基本可行解对应可行域的顶点。
LP 问题的最优解一定是可行域的顶点,可行域的顶点也一定是最优解。
若LP 问题有两个最优解,则它一定有无穷多个最优解.求解LP 问题时,对取值无约束的自由变量，通常令"-'=j j j x x x ,其中∶≥"'j j x x ,在用单纯形法求得的最优解中,不可能同时出现0"'j j x x .当用两阶段法求解带有大M 的LP 模型时，若第一阶段的最优目标函数值为零，则可断言原LP 模型一定有最优解。
7、补充：建立模型（1）某采油区已建有n 个计量站B 1，B 2…B n ，各站目前尚未被利用的能力为b 1，b 2…b n （吨液量/日）。
为适应油田开发的需要，规划在该油区打m 口调整井A 1，A 2…A m ，且这些井的位置已经确定。
根据预测，调整井的产量分别为a 1，a 2…a m （吨液量/日）。
考虑到原有计量站富余的能力，决定不另建新站，而用原有老站分工管辖调整井。
按规划要求，每口井只能属于一个计量站。
假定A i 到B j 的距离d ij 已知，试确定各调整井与计量站的关系，使新建集输管线总长度最短。
（2）靠近某河流有两个化工厂(见附图)，流经第一个工厂的河流流量是每天500万立方米；在两个工厂之间有一条流量为每天200万立方米的支流。
第一个工厂每天排放工业污水2万立方米；第二个工厂每天排放工业污水1.4万立方米 。
从第一个工厂排出的污水流到第二个工厂之前，有20%可自然净化。
根据环保要求，河流中工业污水的含量不应大于%，若这两个工厂都各自处理一部分污水，第一个工厂的处理成本是1000元/万立方米，第二个工厂的处理成本是800元/万立方米。
精品文档-CSNA网络分析认证专家实战案例(科来软件)-第8章
5
图8-2
6
图8-3
7
8.2 分 析 过 程 8.2.1 详细分析
针对网络应用进行分析，发现这3小时的数据中未知的UDP应 用流量占用了总流量的99%以上，如图8-4所示。
8
图8-4
9
通过对未知UDP应用的深入挖掘分析，可以发现大量UDP 2425 端口的单方向通信，参见图8-5。
10
图8-5
15
图8-7
16
经过确认，在防火墙上发现一条为192.168.0.0/16指向核心 交换机的路由，这就造成下属公司网段中发往192.168.0.0/16网 段的数据包，由于在核心交换机没有精确匹配的路由，所以通过 核心交换机的默认路由指向防火墙，而经过防火墙后被防火墙的 192.168.0.0/16路由指回核心交换机，形成了路由环路。
20
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
21
知识就是力量，感谢支持！
22
一一一一谢谢大家！！
23
17
8.3 分 析 结 果
通过对内网的整体流量分析，发现大量未知UDP 2425流量， 占用总带宽的99%，导致其他网络访问缓慢。经过下载分析发现 是由于路由环路导致，具体是下属公司的网段到总部的一些网段 之间路由配置存在问题，产生路由环路，造成了核心交换机和防 火墙之间传输大量数据，阻塞链路带宽，造成网络传输效率降低， 产生网络问题。
第8章 网络环路分析
➢8.1 ➢8.2 ➢8.3 ➢8.4
故障描述 分析过程 分析结果 紧急处理办法及优化建议
1
8.1 故 障 描 述 某公司网络全部为内部网络，不与Internet连接，出口防火 墙上联集团内网，下联核心交换机，核心交换机下联下属单位防 火墙，如图8-1所示。
图8-2
6
图8-3
7
8.2 分 析 过 程 8.2.1 详细分析
针对网络应用进行分析，发现这3小时的数据中未知的UDP应 用流量占用了总流量的99%以上，如图8-4所示。
8
图8-4
9
通过对未知UDP应用的深入挖掘分析，可以发现大量UDP 2425 端口的单方向通信，参见图8-5。
10
图8-5
15
图8-7
16
经过确认，在防火墙上发现一条为192.168.0.0/16指向核心 交换机的路由，这就造成下属公司网段中发往192.168.0.0/16网 段的数据包，由于在核心交换机没有精确匹配的路由，所以通过 核心交换机的默认路由指向防火墙，而经过防火墙后被防火墙的 192.168.0.0/16路由指回核心交换机，形成了路由环路。
20
每一种知识都需要努力， 都需要付出，感谢支持！
21
知识就是力量，感谢支持！
22
一一一一谢谢大家！！
23
17
8.3 分 析 结 果
通过对内网的整体流量分析，发现大量未知UDP 2425流量， 占用总带宽的99%，导致其他网络访问缓慢。经过下载分析发现 是由于路由环路导致，具体是下属公司的网段到总部的一些网段 之间路由配置存在问题，产生路由环路，造成了核心交换机和防 火墙之间传输大量数据，阻塞链路带宽，造成网络传输效率降低， 产生网络问题。
第8章 网络环路分析
➢8.1 ➢8.2 ➢8.3 ➢8.4
故障描述 分析过程 分析结果 紧急处理办法及优化建议
1
8.1 故 障 描 述 某公司网络全部为内部网络，不与Internet连接，出口防火 墙上联集团内网，下联核心交换机，核心交换机下联下属单位防 火墙，如图8-1所示。
电力系统第八章电力系统故障的分析与实用计算解析
(8-8)
式中， 称为非周期分量电流的衰减系数。
式（8-8）中的 、 、 、 都与回路中元件参数有关，对某一具体回路，它们的值是固定的。式中的 则与故障时刻有关，不同时刻短路， 的值不同，从而非周期分量电流也不同。而且，由于三相电压的合闸相角不可能相同，每相中的非周期分量电流也不相同。
将式（8-8）代入式（8-4）中，便得a相电流的完整表达式
(MVA) （8-15）
式中， 为短路处网络的额定电压（kV）； 为短路电流的有效值（kA）。
用标幺值表示是，若取 ,则
(8-16)
这就是说，短路功率的标幺值和短路电流的标幺值相等。利用这一关系短路功率很容易求得
(MVA)(8-17)
短路功率主要用来校验断路器的切断能力。把短路功率定义为短路电流和网络额定电压的乘积，这是因为：一方面断路器要能切断短路电流，另一方面，在断路器断流时，其触头应该经受住额定电压的作用。在有名制的短路实用计算中，网络额定电压 一般可用平均额定电压 ，即 ；短路电流的有效值 ，一般只计短路电流周期分量的有效值，即 。则式（8-15）变为
电力系统发生三相短路时，主要由同步发电机供出短路电流，它仍包含不同时间常数衰减的周期分量和非周期分量。由于短路发生在有很多发电机和很多支路的系统中，要准确地求取短路电流各分量大小和变化规律是相当困难的。不过在某些情况下，产生电流的电源电动势在短路的暂态过程中，可以近似的看作是不变的，这样分析起来就大为简单了。由无限大容量电源供电的电路就属于这种情况，于是就引出了无限大容量电源的概念。
总之，电源的端电压及频率在短路后的暂态过程中保持不变，是无限大容量电源供电电路的重要特性。这样，在分析此种电路的短路暂态过程中，就可以不考虑电源内部的暂态过程。因此，问题也就简单多了。
式中， 称为非周期分量电流的衰减系数。
式（8-8）中的 、 、 、 都与回路中元件参数有关，对某一具体回路，它们的值是固定的。式中的 则与故障时刻有关，不同时刻短路， 的值不同，从而非周期分量电流也不同。而且，由于三相电压的合闸相角不可能相同，每相中的非周期分量电流也不相同。
将式（8-8）代入式（8-4）中，便得a相电流的完整表达式
(MVA) （8-15）
式中， 为短路处网络的额定电压（kV）； 为短路电流的有效值（kA）。
用标幺值表示是，若取 ,则
(8-16)
这就是说，短路功率的标幺值和短路电流的标幺值相等。利用这一关系短路功率很容易求得
(MVA)(8-17)
短路功率主要用来校验断路器的切断能力。把短路功率定义为短路电流和网络额定电压的乘积，这是因为：一方面断路器要能切断短路电流，另一方面，在断路器断流时，其触头应该经受住额定电压的作用。在有名制的短路实用计算中，网络额定电压 一般可用平均额定电压 ，即 ；短路电流的有效值 ，一般只计短路电流周期分量的有效值，即 。则式（8-15）变为
电力系统发生三相短路时，主要由同步发电机供出短路电流，它仍包含不同时间常数衰减的周期分量和非周期分量。由于短路发生在有很多发电机和很多支路的系统中，要准确地求取短路电流各分量大小和变化规律是相当困难的。不过在某些情况下，产生电流的电源电动势在短路的暂态过程中，可以近似的看作是不变的，这样分析起来就大为简单了。由无限大容量电源供电的电路就属于这种情况，于是就引出了无限大容量电源的概念。
总之，电源的端电压及频率在短路后的暂态过程中保持不变，是无限大容量电源供电电路的重要特性。这样，在分析此种电路的短路暂态过程中，就可以不考虑电源内部的暂态过程。因此，问题也就简单多了。
8.1__图与网络分析基本概念
• 不连通图中的每个连通的部分,称为原图的连通分图. 链、圈、路、回路都是原图的连通分图.
16
5、连通图、连通分图、子图
• 给定图 G
(V , E )
,如果有 (V , E ),使得 V V,E E ， G 为 则称 G 为 G 的一个子图.当 V V 时, 则称 G G 的一个
而 e i 是 v i , v j的关联边. • 同一条边的两个端点称为相邻顶点.具有共同端点的边 称为相邻边. • 一条边的两个端点相同,称为环.具有两个共同端点的
两条边称为多重边. • 既没有环也没有多重边的图称为简单图.
9
3、端点、关联边、相邻、次
• 一个没有环,但允许有多重边的图称为多重图. 今后若不加特别说明,所研究的图均为简单图. • 在无向图中,以顶点 v 为端点的边的数目,称为该顶点 的次,记作 d ( v ) . 次为1的点称为悬挂点,连接悬挂点的边称为悬挂边. 次为0的点称为孤立点. 仅有孤立点的图为零图. 次为奇数的点称为奇点,次为偶数的点称为偶点. 图中顶点均为偶点的图称为偶图.
链中没有重复点和重复边的链称为初等链. • 链 ( v i , v i , v i ) 中,若 v i v i ,则称此链为圈.
1 1 k
1
k
没有重复点和重复边的圈称为初等圈.
14
4、链、圈、路、回路
• 设D是一个有向图, G是它的基础图.若 ( v i , e i , ...., e i , v i )
6
无向图
有向图
混合图
• 图G或D的边数记作 m ( G ) 或 m ( D ) , 顶点个数记作n ( G ) 或 n ( D ) .在不引起混淆情况下,也简记为m , n .
北交大交通运输学院《管理运筹学》知识点总结与例题讲解第8章 图与网络分析
（a）
（b）
（c）
图 8-9 图、子图、支撑子图
（4）图的同构 设 G1 与 G2 是两个同阶图，若顶点集合 V1 和 V2 以及边集 E1 和 E2 之间在保持关联性
质条件下的一一对应，则称图 G1 和图 G2 同构。 例如：图 8-10（a）和图 8-10（b）就为同构。
（a）
(b)
图 8-10 同构图
（10）定理 8.1 对于图 G=(V ,E) ，其中 V = n , E = m ,则有：
∑d (v) = 2m
（8-2）
v∈V
证明：每条边都有两个端点，在计算顶点的次时，每个端点都要计算对应边次，故共有
2m 次。
通俗地讲，就是线有两头，共有 2m 个线头的意思。
（11）定理 8.2 奇次顶的总数是偶数。
第八章 图与网络分析
8.1 图与网络的基本知识
8.1.1 图与网络的基本概念 8.1.1.1 图的定义 自然界和人类社会中，大量的事物以及事物之间的关系，常可以用图形来描述。例如： 图 8-4 所示的我国北京、上海等十个城市间的交通图反映了这十个城市间铁路
分布情况。这里用点代表城市，用点和点之间的连线代表这两个城市之间有直通铁路。
图 8-7 一个无向图
G = (V, E) V= {v1, v2 ,v3 , v4} E={e1, e2 ,e3 , e4 ,e5 , e6 , e7}
其中
e1 = [v1 ,v2 ] , e2 = [v1 ,v2 ] , e3 = [v2 ,v3 ] , e4 = [v3 ,v4 ] ,
图 8-8 是一个有向图。该图可以表示为：
图 8-4 十个城市间铁路分布图
又如某单位储存五种化学药品，其中，某些药品是不能放在同一库房里的，为了反映这 种情况，可以用点 v1 、 v2 、 v3 、 v4 、 v5 分别代表这五种药品，若药品 vi 和药品 v j 是不能存 放在同一库房的，则在 vi 和 v j 之间连一条线，如图 8-5 所示。如果问题归结为寻求存放这种 化学药品的最少库房个数，则该问题就是染色问题。事实上，至少需要三个库房来存放这些 药品，即 v1 和 v5 、 v2 和 v4 、 v3 各存放在一个库房里。
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学—第八章 图与网络分析
v5 1 v6 7 1 v7 －5 －3
e1 {v1 , v2 }
e3 {v2 , v3 }
e2 {v1 , v2 }
e4 {v3 , v4 } e6 {v3 , v5 } e8 {v5 , v6 } e10 {v1 , v6 }
e5 {v1 , v3 }
e7 {v3 , v5 } e9 {v6 , v6 }
v1
第二节 树 一、 树的概念和性质 例8.3 已知有六个城市，它们之间 要架设电话线，要求 任意两个城市均可以互相通话，并且电话线的总长度最短。
v1 v6 v5 v2
v3
v4
定义9 一个连通的无圈的无向图叫做树。
作为树T的定义，下列定义是等价的： （1）T是一个树。（设其顶点数为n ，边数为 m ） （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1 。 （4）T无圈，但在树中不相邻的两个点之间加上一条边， 那么恰好得到一个圈。 （5）T中任意两个顶点之间有且仅有一条链。 （6）T连通，但去掉T的任一条边，T就不连通。
( vi , v j )
一、 狄克斯屈拉(Dijkstra)算法 适用于wij≥0，给出了从vs到任意一个点vj的最短路。
算法步骤： 1.给始点vs以P标号 P(vs ) 0 ，这表示从vs到 vs的最短距离 T 为0，其余节点均给T标号， (vi ) (i 2 , 3,, n) 。 2.设节点 vi 为刚得到P标号的点，考虑点vj，其中 (vi , v j ) E ，且vj为T标号。对vj的T标号进行如下修改：
e1 v1
e2 e5
e8 v5
v2
d(v1)= 4，d(v6)= 4
e10 v6 e9
e3 e v4 4 e6 e7 v3
《运筹学》 第八章图与网络分析习题及 答案
《运筹学》第八章图与网络分析习题1.思考题(１)解释下列名词，并说明相互之间的区别与联系：①顶点，相邻，关联边；②环，多重边，简单图；③链，初等链；④圈，初等圈，简单拳；⑤ 回 路，初等路；⑥节点的次，悬挂点，孤立点；⑦）连通图，连同分图， 支 撑子图；⑧有向图，基础图，赋权图。
⑨子图，部分图，真子图．(２)通常用记号Ｇ＝（Ｖ，Ｅ）表示一个图，解释Ｖ及Ｅ的涵义及这个表达式 的涵义．(３)通常用记号Ｄ＝（Ｖ，Ａ）表示一个有向图，解释Ｖ及Ａ的涵义及这个表 达式的涵义．(４) 图论中的图与一般几何图形的主要区别是什么？ (５) 试述树与图的区别与联系．(６) 试述 求最短路问题的Ｄijkstra 算法的基本思想及其计算步骤． (７) 试述寻求最大流的标号法的步骤与方法．(８) 简述最小费用最大流的概念及其求解的基本思想和方法．(９) 通常用记号Ｎ＝（Ｖ，Ａ，Ｃ）表示一个网络，试解释这个表达式的涵义． (10) 在最大流问题中，为什么当存在增广链时，可行流不是最大流？ (11) 试叙述最小支撑树、最大流、最短路等问题能解决那些实际问题。
2.判断下列说法是否正确(1) 图论中的图是为了研究问题中有哪些对象及对象之间的关系，它与图的几何形状无关。
(2) 一个图G 是树的充分必要条件是边数最少的无孤立点的图。
(3) 如果一个图G 从V 1到各点的最短路是唯一的，则连接V 1到各点的最短路，再去掉重复边，得到的图即为最小支撑树。
(4 )图G 的最小支撑树中从V 1到V n 的通路一定是图G 从V 1到V n 的最短路。
(5) {f ij =0}总是最大流问题的一个可行流。
(6 )无孤立点的图一定是连通图。
(7) 图中任意两点之间都有一条简单链，则该图是一棵树。
(8) 求网络最大流的问题总可以归结为求解一个线性规划问题。
(9)在图中求一点Ｖ１到另一点Ｖn 的最短路问题总可以归结为一个整数规划问题 (10) 图G 中的一个点V 1总可以看成是G 的一个子图。
2023大学_运筹学的原理和方法第二版(邓成梁著)课后习题答案下载
2023运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）课后习题答案下载运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）课后答案下载绪论1运筹学的产生和发展2运筹学的`研究对象及特点3运筹学模型及其研究方法第一章线性规划引论1线性规划问题及其数学模型2线性规划问题的图解法3线性规划问题解的基本性质4线性规划问题解的几何意义第一章习题第二章单纯形法1单纯形法的引人2单纯形法的基本原理3单纯形法的迭代步骤与解的讨论4初始可行基的求法5单纯形法的进一步讨论6改进单纯形法第二章习题第三章线性规划的对偶理论1对偶问题的一般概念2对偶问题的基本性质3对偶问题的解4对偶问题的经济解释——影子价格 5对偶单纯形法6原始一对偶单纯形法第三章习题第四章灵敏度分析与参数规划1灵敏度分析的基本原理2 目标函数系数的灵敏度分析3右端常数的灵敏度分析4技术系数的灵敏度分析5参数线性规划第四章习题第五章运输问题1 运输问题的数学模型及其特征2初始基可行解的求法3最优性判别与基可行解的改进4运输问题的扩展第五章习题第六章目标规划1 目标规划的基本概念及其数学模型2 目标规划的图解法3 目标规划的单纯形法4 目标规划的灵敏度分析第六章习题第七章整数规划1整数规划问题及其数学模型2分枝定界法3割平面法40-1整数规划与隐枚举法5分配问题与匈牙利法第七章习题第八章动态规划1多阶段决策问题2动态规划的基本概念和基本方程3最优性定理第九章图与网络分析第十章存贮论习题与参考答案参考文献运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）：内容简介点击此处下载运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）课后答案运筹学的原理和方法第二版（邓成梁著）：目录《运筹学的原理和方法》内容：运筹学是近几十年发展起来的一门新兴学科，主要运用数学方法研究各种系统的优化途径和方案，为决策者提供各种决策的科学依据，它也是高等院校经济管理类专业的一门重要专业基础课。
《运筹学的原理和方法》基于运筹学这门学科的理论体系，同时考虑到经济管理类专业的特点，选编了线性规划、整数规划、目标规划、动态规划、图与网络分析、存贮论等运筹学的基本内容，论述了这些分支的基本原理和基本方法，同时注意了它们的应用，《运筹学的原理和方法》力求深入浅出、通俗易懂，每章后面都附有习题，便于自学。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
定义2 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
（a）
（b）
（c）
（d）
定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图 称为完全图。有n个顶点的无向完全图记作Kn。 • 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一 条有向边的简单图。 定义4 图G＝(V,E)的点集V可以分为两个非空 子集X,Y，即XUY＝V，X∩Y＝∅，使得E中每 条边的两个端点必有一个端点属于X，另一个 端点属于Y．则称G为二部图(偶图、二分图)， 有时记作G＝(X,Y,E)。
ν1 ν3 ν5 （a）
ν2 ν4 ν6
ν1
ν3
ν1
ν2
ν2 （b）
ν4
ν4 （c）
ν3
（二）顶点的次（度） 定义5 以点v为端点的边数叫做点v的次。记作deg(v)， 简记为d(v).
次为1的点称为悬挂点。连结悬挂点的边称为悬挂边。 次为零的点称为孤立点。 次为奇数的点称为奇点。 次为偶数的点称为偶点。
（四）网络 在实际问题中，往往只用图来描述所研究 对象之间的关系还是不够的，与图联系在一 起的，通常还有与点或边有关的某些数量指 标，我们常称之为“权”，权可以代表如距 ( ) 离、费用、通过能力(容量)等等。这种点或边 带有某种数量指标的图你为网络(赋权间)。 二、连通图 定义8 无向图G=(V,E),若图G中某些点与边的 交替序列可以排成 ( vi , ei , vi , ei 2 ,..., vi , ei , vi ) 的形式,且 ei = ( v i , v i )( t = 1,..., k ) ,则称这个点 边序列连接 v i 与 v i 的一条链,链长为k。
e1
ν1 e2 ν2 e4 e5 ν5 e3 e6 ν3 ν4
• 两个点u,v属于V，如果边(u,v)属于E，则 称u,v两点相邻。u,v称为边(u,v)的端点。
• 两条边ei,ej属于E，如果它们有一个公共端点 u，则称ei,ej相邻。边ei,ej称为点u的关联边。 • 用m(G)＝|E|表示图G中的边数，用n(G)＝|V| 表示图G的顶点个数。在不引起混淆情况下 简记为m,n。 • 对于任一条边(vi,vj)属于E，如果边(vi,vj)端 点无序，则它是无向边，此时图G称为无向 图。如果边(vi,vj)的端点有序，即它表示以vi 为始点，vj为终点的有向边(或称弧)，这时 图G称为有向图 • 一条边的两个端点如果相同．称此边为环 (自回路)。 • 两个点之间多于一条边的，称为多重边。
二、图的生成树 定义15 若图G的生成子图是一棵树，则 称该树为G的生成树(支撑树)。或简称为图 G的树。图G中属于生成树的边称为树枝， 不在生成树中的边际为弦。
e1 e7 e2 e3 e7 e1 e2 e3
e8 e6 e5 （a）
e9
e8
e9
e4 （b）
定理7 图G＝(V，E)有生成树的充分必要条件为G是 连通图。 寻找生成树的方法 （1）深探法 步骤如下（用标号法） ①在点集V中任取—点v。给v以标号0。 ②若某u点已得标号i，检查一端点为u的各边，另一 端点是否均已标号。 若有(u，w)边之w未标号，则结w以标号i十1，记 下边(u，w)。今w代u，重复② 。 若这样的边的另一端点均已有标号，就退到标号为 i-1的r点，以r代u，重复②。直到全部点得到标号为 止。
定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它 每个顶点的出次等于入次。 （二）中国邮路问题 一个邮递员，负责某一地区的信件投递。 他每天要从邮局出发，走遍该地区所有街道 再返回邮局，问应如何安排送信的路线可以 使所走的总路程最短？这个问题是我国管梅 谷教授在1962年首先提出的。因此国际上通 称为中国邮路问题。用图论的语言描述：给 定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求 一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。
v∈V
∑
d (v ) = 2 m
2
偶数
偶数
偶数
定义6 有向图中，以vi为始点的边数称为 点vi的出次，用d+(vi)表示，以vi为终点的边数 称为点vi的入次，用d-(vi)表示。vi点的出次与 入次之和就是该点的次。容易证明有向图中， 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。 （三）子图 定义7 图G＝(V,E)，若E'是E的子集，V' 是V的'＝(V',E')是G的一个子图。特别地， 若V'＝V,则G'称为G的生成子图(支撑子图)。
例：求下图的一棵最小支撑树
v2 8 v1 7 v3 1 3 6 5 v6 2 5 v4 4 v7 4 2 v5 3
将边按权从小到大排序 ( v2,v3),( v4,v5),(v6,v7),(v4,v6),(v5,v7),(v2,v5),(v5,v6),(v2,v4), (v3,v6),(v3,v4),(v1,v3),(v1,v2) 将边加入到新图中,如不构成回路则保留;否则,去掉.
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的 次时，每条边均被计算了两次，所顶点次数的总和 等于边数的2倍。 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。 证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合 (V1∪V2=V)。由定理1知：
v∈V1
∑
d (v ) +
第二节 树
一、树的概念和性质 （一）几个树的例子 （1）乒乓球单打比赛抽签后，可用图来表示。
运 动 员 A B C D F G E
H I J K L M N
（2）某企业的组织结构。
厂长 人 事 科 科 程 师 长 技 新 产 品 开 发 科 科 科 术 产 备 科 应 科 科 生 设 供 动 力 售 科 科 销 验 厂 长 检 务 工 副 厂 财 总 产 营 副 生 经
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相 连，则称此图为连通图。任何一个不连通图 都可以分为若干个连通子图，每一个称为一 个分图。 三、图的矩阵表示 图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关 联矩阵、回路矩阵、割集矩阵等。 定义11 网络（赋权图）G=（V，E），其中 边(vi,vj)有权wij,构造矩阵A=(aij)n×n,其中
v5 v1 v4
v2
v3
例：邻接矩阵表示上图。
四、欧拉回路与中国邮路问题 （一）欧拉回路与道路 定义13 连通图G中，若存在一条道路，经过 每边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。 若存在一条回路，经过每边一次且仅一次则称 这条回路为欧拉回路。欧拉图含有欧拉回路。 定理3 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中 无奇点。 推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的 边集可划分为若干个初等回路。 推论2 无向连通图G有欧拉道路，当且仅当G 中恰有两个奇点。
甲 乙 丙 丁 戊 A B C D
由上面的例子可以看出，这里所研究的图与平 面几何中的图不同，这里只关心图中有多少个 点，点与点之间有无连线，至于连线的方式是 直线还是曲线，点与点的相对位置如何，都是 无关紧要的。
定义1 一个图是由点集V={vi}和V中元素的 无序对的一个集合E＝{ek}所构成的二元组， 记为G＝(V,E)，V中的元素vi叫做顶点，E 中的元素ek叫做边。 当V,E为有限集合时，G称为有限图，否 则，称为无限图。
第八章 图与网络分析
第一节 图与网络的基本知识 第二节 树 第三节 最短路问题 第四节 最大流问题 第五节 最小费用流问题
（一）哥尼斯堡七桥难题 1736年瑞士数学家欧拉（E.Euler）在求 解七桥一笔画难题时，就用了点线图来分析 论证：每个点均有奇数条边时，一笔画问题 无解。（要求不重边）
(前苏)哥尼斯堡城中的普雷格尔河
A
C
A C D
D
B B
（二）“环球旅行”问题 1857年，英国数学家哈密尔顿(Hamilton) 发明了一种游戏，他用一个实心正12面体象征 地球，正12面体的20个顶点分别表示世界上20 座名城，要求游戏者从任一城市出发，寻找一 条可经由每个城市一次且仅一次再回到原出发 点的路，这就是“环球旅行”问题。（要求不 重点）
（三）“中国邮路问题” 一个邮递员从邮局出发要走遍他所负责的每条 街道去送信，问应如何选择适当的路线可使所 走的总路程最短。这个问题就与欧拉回路有密 切的关系。
第一节 图与网络的基本知识
一、图与网络的基本概念 （一）图及其分类 •5家企业业务往来关系
戊 甲 丁
乙
丙
•工人与需要完成的工作 •电路网络 •城市规划 •交通运输、信息传递、 物资调配
（二）定义14：连通且不含圈的图称为树。 树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为 分枝点。 （三）树的性质 定理6 图T=（V，E），|V|=n，|E|=m，则下 列关于树的说法是等价的。 （1）T是一个树。 （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1。 （4）T无圈，但每加一新边即得惟一一个圈。 （5）T连通，但任舍去一个边就不连通。 （6）T中任意两点，有惟一链相连。
例：试用深探法求下图中的一棵生成树
1 8 10 0 13 9 5 4 12 6 11 3 7 2
（2）广探法 步骤如下： ① 在点集V中任取一点v，给v以标号0。 ②令所有标号为i的点集为Vi，检测查[Vi， V＼Vi]中的边端点是否均已标号。对所有 未标号之点均标以i+1，记下这些边。 ③对标号i+1的点重复步骤②，直到全部点 得到标号为止。 例：用广探法求上图中的一棵生成树。
三、最小生成树问题 定义16 连通图G＝(V，E)、每条边上有非负 权L(e)。一棵生成树所有树枝上权的总和，称 为这个生成树的权。具有最小权的生成树称 为最小生成树(最小支撑树)简称最小树。 算法1 (Kruskal算法) （1）将所有的边按从小到大的顺序排列 （2）将每条边加入到生成子图中，如构成 圈则舍去。 （3）重复（2）过程，直到所有的边试验完 毕。