第8章 图与网络分析(1)

wij aij = 0 ( vi , v j ) ∈ E 其它
则称A为网络G 的权矩阵
v5 7 v1 9 v2 4 2 4 3 v3 8 5 6 v4
例：写出上图的权矩阵。 定义12 对于图G=（V，E），|V|=n，构造 一个矩阵A =(aij)n×n ，其中： ( vi , v j ) ∈ E 1 则称A为图G的 aij = 邻接矩阵 0 其它
树的性质 ①任何树必有树叶(即次数为1的节点)。 ②树中任意两点之间有且仅有一条链连接相通。任意 去掉一条树枝，该树就被分割成两互不连通的子图。 ③树的任意两个顶点间添加一条边（称为连枝），就 构成一个回路。仅用一条连枝构成的回路称为单连 枝回路，也称为基本回路 ④一连通图可能具有很多树，这些树都是原连通图的 部分图，即包括了原连通图的所有顶点。 ⑤连枝的集合是原连通图相应的余树，或称补树。余 树可能是树，也可能不是树，甚至是非连通图。
（三）“中国邮路问题” 一个邮递员从邮局出发要走遍他所负责的每条 街道去送信，问应如何选择适当的路线可使所 走的总路程最短。这个问题就与欧拉回路有密 切的关系。
第一节 图与网络的基本知识
一、图与网络的基本概念 （一）图及其分类 •5家企业业务往来关系
戊 甲 丁
乙
丙
•工人与需要完成的工作 •电路网络 •城市规划 •交通运输、信息传递、 物资调配
第八章 图与网络分析
第一节 图与网络的基本知识 第二节 树 第三节 最短路问题 第四节 最大流问题 第五节 最小费用流问题
（一）哥尼斯堡七桥难题 1736年瑞士数学家欧拉（E.Euler）在求 解七桥一笔画难题时，就用了点线图来分析 论证：每个点均有奇数条边时，一笔画问题 无解。（要求不重边）
(前苏)哥尼斯堡城中的普雷格尔河
e1
ν1 e2 ν2 e4 e5 ν5 e3 e6 ν3 ν4
• 两个点u,v属于V，如果边(u,v)属于E，则 称u,v两点相邻。u,v称为边(u,v)的端点。
• 两条边ei,ej属于E，如果它们有一个公共端点 u，则称ei,ej相邻。边ei,ej称为点u的关联边。 • 用m(G)＝|E|表示图G中的边数，用n(G)＝|V| 表示图G的顶点个数。在不引起混淆情况下 简记为m,n。 • 对于任一条边(vi,vj)属于E，如果边(vi,vj)端 点无序，则它是无向边，此时图G称为无向 图。如果边(vi,vj)的端点有序，即它表示以vi 为始点，vj为终点的有向边(或称弧)，这时 图G称为有向图 • 一条边的两个端点如果相同．称此边为环 (自回路)。 • 两个点之间多于一条边的，称为多重边。
二、图的生成树 定义15 若图G的生成子图是一棵树，则 称该树为G的生成树(支撑树)。或简称为图 G的树。图G中属于生成树的边称为树枝， 不在生成树中的边际为弦。
e1 e7 e2 e3 e7 e1 e2 e3
ຫໍສະໝຸດ Baidu
e8 e6 e5 （a）
e9
e8
e9
e4 （b）
定理7 图G＝(V，E)有生成树的充分必要条件为G是 连通图。 寻找生成树的方法 （1）深探法 步骤如下（用标号法） ①在点集V中任取—点v。给v以标号0。 ②若某u点已得标号i，检查一端点为u的各边，另一 端点是否均已标号。 若有(u，w)边之w未标号，则结w以标号i十1，记 下边(u，w)。今w代u，重复② 。 若这样的边的另一端点均已有标号，就退到标号为 i-1的r点，以r代u，重复②。直到全部点得到标号为 止。
ν1 ν3 ν5 （a）
ν2 ν4 ν6
ν1
ν3
ν1
ν2
ν2 （b）
ν4
ν4 （c）
ν3
（二）顶点的次（度） 定义5 以点v为端点的边数叫做点v的次。记作deg(v)， 简记为d(v).
次为1的点称为悬挂点。连结悬挂点的边称为悬挂边。 次为零的点称为孤立点。 次为奇数的点称为奇点。 次为偶数的点称为偶点。
例：求下图的一棵最小支撑树
v2 8 v1 7 v3 1 3 6 5 v6 2 5 v4 4 v7 4 2 v5 3
将边按权从小到大排序 ( v2,v3),( v4,v5),(v6,v7),(v4,v6),(v5,v7),(v2,v5),(v5,v6),(v2,v4), (v3,v6),(v3,v4),(v1,v3),(v1,v2) 将边加入到新图中,如不构成回路则保留;否则,去掉.
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。 证明：由于每条边必与两个顶点关联，在计算点的 次时，每条边均被计算了两次，所顶点次数的总和 等于边数的2倍。 定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。 证明：设V1和V2分别为图G中奇点与偶点的集合 (V1∪V2=V)。由定理1知：
v∈V1
∑
d (v ) +
定理4 连通有向图G是欧拉图，当且仅当它 每个顶点的出次等于入次。 （二）中国邮路问题 一个邮递员，负责某一地区的信件投递。 他每天要从邮局出发，走遍该地区所有街道 再返回邮局，问应如何安排送信的路线可以 使所走的总路程最短？这个问题是我国管梅 谷教授在1962年首先提出的。因此国际上通 称为中国邮路问题。用图论的语言描述：给 定一个连通图G，每边有非负权l(e)，要求 一条回路过每边至少一次，且满足总权最小。
( v2,v3),( v4,v5),(v6,v7),(v4,v6),(v5,v7),(v2,v5),(v5,v6),(v2,v4), (v3,v6),(v3,v4),(v1,v3),(v1,v2)
v2 8 v1 7 v3 1 3 6 5 v6 2 5 v4 4 v7 4 2 v5 3
其权为：19
定理8 用Kruskal算法得到的子图T*＝ (e1,e2,…,en-1)是一棵最小树。
v5 v1 v4
v2
v3
例：邻接矩阵表示上图。
四、欧拉回路与中国邮路问题 （一）欧拉回路与道路 定义13 连通图G中，若存在一条道路，经过 每边一次且仅一次，则称这条路为欧拉道路。 若存在一条回路，经过每边一次且仅一次则称 这条回路为欧拉回路。欧拉图含有欧拉回路。 定理3 无向连通图G是欧拉图，当且仅当G中 无奇点。 推论1 无向连通图G为欧拉图，当且仅当G的 边集可划分为若干个初等回路。 推论2 无向连通图G有欧拉道路，当且仅当G 中恰有两个奇点。
定义2 不含环和多重边的图称为简单图，含 有多重边的图称为多重图。
（a）
（b）
（c）
（d）
定义3 每一对顶点间都有边相连的无向简单图 称为完全图。有n个顶点的无向完全图记作Kn。 • 有向完全图则是指每一对顶点间有且仅有一 条有向边的简单图。 定义4 图G＝(V,E)的点集V可以分为两个非空 子集X,Y，即XUY＝V，X∩Y＝∅，使得E中每 条边的两个端点必有一个端点属于X，另一个 端点属于Y．则称G为二部图(偶图、二分图)， 有时记作G＝(X,Y,E)。
三、最小生成树问题 定义16 连通图G＝(V，E)、每条边上有非负 权L(e)。一棵生成树所有树枝上权的总和，称 为这个生成树的权。具有最小权的生成树称 为最小生成树(最小支撑树)简称最小树。 算法1 (Kruskal算法) （1）将所有的边按从小到大的顺序排列 （2）将每条边加入到生成子图中，如构成 圈则舍去。 （3）重复（2）过程，直到所有的边试验完 毕。
A
C
A C D
D
B B
（二）“环球旅行”问题 1857年，英国数学家哈密尔顿(Hamilton) 发明了一种游戏，他用一个实心正12面体象征 地球，正12面体的20个顶点分别表示世界上20 座名城，要求游戏者从任一城市出发，寻找一 条可经由每个城市一次且仅一次再回到原出发 点的路，这就是“环球旅行”问题。（要求不 重点）
算法2（破圈法） （1）从图G中任选一棵树T1。 （2）加上一条弦e1，T1+e1中立即生成一个 圈。去掉此圈中最大权边，得到新树T2。 以T2代T1，重复（2）再检查剩余的弦，直 到全部弦检查完毕为止。 例：用破圈法求上图中的一棵最小生成树。 定理9 图G的生成树T为最小树，当且仅当 对任一e来说，e是T+e中与之对应的圈µe中 的最大权边。
（二）定义14：连通且不含圈的图称为树。 树中次为1的点称为树叶，次大于1的点称为 分枝点。 （三）树的性质 定理6 图T=（V，E），|V|=n，|E|=m，则下 列关于树的说法是等价的。 （1）T是一个树。 （2）T无圈，且m=n-1。 （3）T连通，且m=n-1。 （4）T无圈，但每加一新边即得惟一一个圈。 （5）T连通，但任舍去一个边就不连通。 （6）T中任意两点，有惟一链相连。
甲 乙 丙 丁 戊 A B C D
由上面的例子可以看出，这里所研究的图与平 面几何中的图不同，这里只关心图中有多少个 点，点与点之间有无连线，至于连线的方式是 直线还是曲线，点与点的相对位置如何，都是 无关紧要的。
定义1 一个图是由点集V={vi}和V中元素的 无序对的一个集合E＝{ek}所构成的二元组， 记为G＝(V,E)，V中的元素vi叫做顶点，E 中的元素ek叫做边。 当V,E为有限集合时，G称为有限图，否 则，称为无限图。
例：试用深探法求下图中的一棵生成树
1 8 10 0 13 9 5 4 12 6 11 3 7 2
（2）广探法 步骤如下： ① 在点集V中任取一点v，给v以标号0。 ②令所有标号为i的点集为Vi，检测查[Vi， V＼Vi]中的边端点是否均已标号。对所有 未标号之点均标以i+1，记下这些边。 ③对标号i+1的点重复步骤②，直到全部点 得到标号为止。 例：用广探法求上图中的一棵生成树。
0 1 1 k −1 k k
t
t −1
t
0
k
点边列中没有重复的点和重复的边者为初等 链。
定义9 无向图G中,连结 v i 与v i 的一条链,当 v i 与 v i 是同一个点时,称此链为圈。圈中既无 重复点也无重复边者为初等圈。
0 k k
0
（1）对于有向图可以类似于无向图定义链 和圈、初等链，此时不考虑边的方向。而当 链(圈)上的边方向相同时,称为道路(回路)。 （2）对于无向图来说，道路与链、回路与 圈意义相同。
v∈V
∑
d (v ) = 2 m
2
偶数
偶数
偶数
定义6 有向图中，以vi为始点的边数称为 点vi的出次，用d+(vi)表示，以vi为终点的边数 称为点vi的入次，用d-(vi)表示。vi点的出次与 入次之和就是该点的次。容易证明有向图中， 所有顶点的入次之和等于所有顶点的出次之和。 （三）子图 定义7 图G＝(V,E)，若E'是E的子集，V' 是V的子集，且E'中的边仅与V'中的顶点相关 联，则称G'＝(V',E')是G的一个子图。特别地， 若V'＝V,则G'称为G的生成子图(支撑子图)。
第二节 树
一、树的概念和性质 （一）几个树的例子 （1）乒乓球单打比赛抽签后，可用图来表示。
运 动 员 A B C D F G E
H I J K L M N
（2）某企业的组织结构。
厂长 人 事 科 科 程 师 长 技 新 产 品 开 发 科 科 科 术 产 备 科 应 科 科 生 设 供 动 力 售 科 科 销 验 厂 长 检 务 工 副 厂 财 总 产 营 副 生 经
定义10 一个图中任意两点间至少有一条链相 连，则称此图为连通图。任何一个不连通图 都可以分为若干个连通子图，每一个称为一 个分图。 三、图的矩阵表示 图的矩阵表示方法有权矩阵、邻接矩阵、关 联矩阵、回路矩阵、割集矩阵等。 定义11 网络（赋权图）G=（V，E），其中 边(vi,vj)有权wij,构造矩阵A=(aij)n×n,其中
（四）网络 在实际问题中，往往只用图来描述所研究 对象之间的关系还是不够的，与图联系在一 起的，通常还有与点或边有关的某些数量指 标，我们常称之为“权”，权可以代表如距 ( ) 离、费用、通过能力(容量)等等。这种点或边 带有某种数量指标的图你为网络(赋权间)。 二、连通图 定义8 无向图G=(V,E),若图G中某些点与边的 交替序列可以排成 ( vi , ei , vi , ei 2 ,..., vi , ei , vi ) 的形式,且 ei = ( v i , v i )( t = 1,..., k ) ,则称这个点 边序列连接 v i 与 v i 的一条链,链长为k。