高中数学课时作业20解析及答案

课后作业（二十）

一、选择题

1．对任意的实数k ，直线y ＝kx ＋1与圆x 2＋y 2＝2的位置关系一定是( )

A ．相离

B ．相切

C ．相交但直线不过圆心

D ．相交且直线过圆心

2．已知直线l ：y ＝k (x －1)－3与圆x 2＋y 2＝1相切，则直线l 的倾斜角为( ) A.π6 B.π2 C.2π3 D.56

π 3．若直线x －y ＋1＝0与圆(x －a )2＋y 2＝2有公共点，则实数a 的取值范围是( )

A ．[－3，－1]

B ．[－1，3]

C ．[－3，1]

D ．(－∞，－3]∪[1，＋∞)

4．过点(－4，0)作直线l 与圆x 2＋y 2＋2x －4y －20＝0交于A 、B 两点，如果|AB |＝8，则直线l 的方程为( )

A ．5x ＋12y ＋20＝0

B ．5x ＋12y ＋20＝0或x ＋4＝0

C ．5x －12y ＋20＝0

D ．5x －12y ＋20＝0或x ＋4＝0

5．设O 为坐标原点，C 为圆(x －2)2＋y 2＝3的圆心，且圆上有一点M (x ，y )满足OM →·CM

→＝0，则y x

＝( ) A.33 B.33或－33 C. 3 D.3或－ 3

6．若圆C ：x 2＋y 2＋2x －4y ＋3＝0关于直线2ax ＋by ＋6＝0对称，则由点M (a ，b )向圆所作的切线长的最小值是( )

A ．2

B ．3

C ．4

D ．6

二、填空题

7．已知圆C 1：x 2＋y 2－6x －7＝0与圆C 2：x 2＋y 2－6y －27＝0相交于A 、B 两点，则线段AB 的中垂线方程为________．

8．过点(0，1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为________．

9．已知圆O 的方程为x 2＋y 2＝2，圆M 的方程为(x －1)2＋(y －3)2＝1，过圆M 上任一点P 作圆O 的切线P A ，若直线P A 与圆M 的另一交点为Q ，则当弦PQ 的长度最大时，直线P A 的斜率是________．

三、解答题

10．已知：圆C ：x 2＋y 2－8y ＋12＝0，直线l ：ax ＋y ＋2a ＝0.

(1)当a 为何值时，直线l 与圆C 相切；

(2)当直线l 与圆C 相交于A 、B 两点，且|AB |＝22时，求直线l 的方程．

11．已知m ∈R ，直线l ：mx －(m 2＋1)y ＝4m 和圆C ：x 2＋y 2－8x ＋4y ＋16＝0.

(1)求直线l 斜率的取值范围；

(2)直线l 能否将圆C 分割成弧长的比值为12

的两段圆弧？为什么？ 12．已知圆C ：x 2＋y 2＋x －6y ＋m ＝0与直线l ：x ＋2y －3＝0.

(1)若直线l 与圆C 没有公共点，求m 的取值范围；

(2)若直线l 与圆C 相交于P 、Q 两点，O 为原点，且OP ⊥OQ ，求实数m 的值．

解析及答案

一、选择题

1．

【解析】 ∵x 2＋y 2＝2的圆心(0，0)到直线y ＝kx ＋1的距离d ＝|0－0＋1|1＋k 2＝11＋k 2

≤1， 又∵r ＝2，∴0＜d ＜r .

∴直线与圆相交但直线不过圆心．

【答案】 C

2．

【解析】 由题意知，|k ＋3|k 2＋1

＝1，∴k ＝－33， ∴直线l 的倾斜角为56

π. 【答案】 D

3．

【解析】 由题意知，圆心为(a ，0)，半径r ＝ 2.

若直线与圆有公共点， 则圆心到直线的距离小于或等于半径，即|a －0＋1|2

≤ 2. ∴|a ＋1|≤2.∴－3≤a ≤1.

【答案】 C

4．

【解析】 圆的标准方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝25，

由|AB |＝8知，圆心(－1，2)到直线l 的距离d ＝3.

当直线l 的斜率不存在，即直线l 的方程为x ＝－4时，符合题意．

当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋4)，

即kx －y ＋4k ＝0.

则有|3k －2|k 2＋1

＝3， ∴k ＝－512

. 此时直线l 的方程为5x ＋12y ＋20＝0.

【答案】 B

5．

【解析】 ∵OM →·CM →＝0，∴OM ⊥CM ，∴OM 是圆的切线．

设OM 的方程为y ＝kx ， 由|2k |k 2＋1

＝3，得k ＝±3，即y x ＝±3. 【答案】 D

6．

【解析】 由题意直线2ax ＋by ＋6＝0过圆心C (－1，2)，

所以a －b －3＝0.

当点M (a ，b )到圆心距离最小时，切线长最短．

|MC |＝（a ＋1）2＋（b －2）2＝2a 2－8a ＋26，

∴a ＝2时最小．

此时b ＝－1，切线长等于4.

【答案】 C

二、填空题

7．【解析】 ∵圆C 1的圆心C 1(3，0)，圆C 2的圆心C 2(0，3)，

∴直线C 1C 2的方程为x ＋y －3＝0，AB 的中垂线即直线C 1C 2，故其方程为x ＋y －3＝0.

【答案】 x ＋y －3＝0

8．过点(0，1)的直线与x 2＋y 2＝4相交于A 、B 两点，则|AB |的最小值为________．

【解析】 当点(0，1)点为弦AB 的中点时，|AB |的长最小，且易求得最小值为2 3.

【答案】 2 3

9．【解析】 由题意知直线PQ 过圆M 的圆心(1，3)，

故设PQ 方程为y －3＝k (x －1)，即kx －y ＋3－k ＝0.

由PQ 与圆O 相切得，

|3－k |k 2＋1

＝2，即k 2＋6k －7＝0. 解得k ＝1或k ＝－7.

【答案】 1或－7

三、解答题

10．

【解】 将圆C 的方程x 2＋y 2－8y ＋12＝0配方，得标准方程为x 2＋(y －4)2＝4，则此圆的圆心为(0，4)，半径为2.

(1)若直线l 与圆C 相切，