2015届高考数学一轮总复习阶段性测试题5(平面向量)

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2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算

2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算基础巩固强化一、选择题1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →＋BA →＝2BP →，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →＋PC →＝0 D.P A →＋PB →＋PC →＝0[答案] B[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →＋BA →＝2BP →⇔P 是AC 的中点，故P A →＋PC →＝0.(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →＝2DB →，CD →＝rAB →＋sAC →，则r ＋s 的值是( )A.23B.43 C ．－3 D ．0[答案] D[解析] CD →＝AD →－AC →，DB →＝AB →－AD →.∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →－12CD →－AC →.∴32CD →＝AB →－AC →，∴CD →＝23AB →－23AC →.又CD →＝rAB →＋sAC →，∴r ＝23，s ＝－23，∴r ＋s ＝0.2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b|b |成立的充分条件是( )A ．a ＝－bB ．a ∥bC ．a ＝2bD ．a ∥b 且|a |＝|b |[答案] C[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b |.[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b |.3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1)[答案] A[解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A.4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →2＝16，|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|，则|AM →|＝( )A ．2B ．4C ．6D ．8 [答案] A[解析] 由|AB →＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC→＝0，所以AB →⊥AC →，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM →|＝2. 5．设OA →＝e 1，OB →＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|APPB |＝4，如图所示，则OP →＝( )A.15e 1－25e 2B.25e 1＋15e 2C.15e 1＋45e 2D.25e 1－15e 2 [答案] C[解析] AP →＝4PB →，∴AB →＝AP →＋PB →＝5PB →， OP →＝OB →＋BP →＝OB →－15AB →＝OB →－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋45e 2.6．(2013·湖南衡阳八中月考)向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则λ满足( ) A ．λ<－53B ．λ>－53C ．λ>－53且λ≠0D ．λ<－53且λ≠－5[答案] C[解析] 当λ＝0时，a 与a ＋λb 平行，其夹角为0°，∴λ≠0，由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝3λ＋5>0，解得λ>－53，综上可得λ的取值范围为λ>－53且λ≠0，故应选C.二、填空题7．(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. [答案] 1[解析] a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3) ，因为a －2b 与c 平行，所以3×3－3k ＝0，所以k ＝1.(理)已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →＝－2BC →，则点B 的坐标为________．[答案] (－2，－1)[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →＝(x －2，y －3)，BC →＝(－x,1－y )，因为AB →＝－2BC →，所以⎩⎪⎨⎪⎧x －2＝2x ，y －3＝－2(1－y )，解得x ＝－2，y ＝－1.8．(2013·新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →＝________. [答案] 2[解析] ∵正方形ABCD 中，AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0， ∵E 为CD 的中点，∴AE →＝12AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →，∴AE →·BD →＝(12AB →＋AD →)·(AD →－AB →)＝－12|AB →|2＋|AD →|2＝－12×22＋22＝2.9．(文)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →＝－1，若AO →＝x 1AB →＋x 2AC →(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．[答案]136[解析] O 为△ABC 的外心，AO →＝x 1AB →＋x 2AC →，AO →·AB →＝x 1AB →·AB →＋x 2AC →·AB →，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →＝12|AB →|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →，∴－x 1＋x 2＝12，②联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝136.(理)(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →＝－OA →＋λOB →(λ∈R )，则λ的值为________．[答案] 12[解析] 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12.10．(2013·广东中山一模)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →＝λAE →＋μAF →，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.[答案] 43[解析]如图，设AB →＝a ，AD →＝b ，则AC →＝AB →＋AD →＝a ＋b ， AF →＝AB →＋BF →＝a ＋12b ，AE →＝AD →＋DE →＝12a ＋b ，∴AE →＋AF →＝32(a ＋b )＝32AC →，即AC →＝23AE →＋23AF →.∴λ＝μ＝23，λ＋μ＝43.能力拓展提升一、选择题11．(2013·哈尔滨四校统考)在△ABC 中，N 是AC 边一点，且AN →＝12NC →，P 是BN 上的一点，若AP →＝mAB →＋29AC →，则实数m 的值为( )A.19B.13 C ．1 D ．3 [答案] B [解析]如图，因为AN →＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋23AN →，因为B 、P 、N 三点共线，所以m ＋23＝1，所以m ＝13，选B.12．(文)(2013·山西大学附中)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设点P ，Q 满足AP →＝λAB →，AQ →＝(1－λ)AC →，λ∈R ，若BQ →·CP →＝－32，则λ＝( )A.1±102B.34 C.1±22D.12[答案] D[解析] BQ →·CP →＝(BA →＋AQ →)(CA →＋AP →)＝BA →·CA →＋BA →·AP →＋AQ →·CA →＋AQ →·AP →＝BA →·CA →－λBA →·BA →－(1－λ)CA →·CA →＋λ(1－λ)BA →·CA →＝2(－λ2＋λ＋1)－4λ－4(1－λ) ＝－2λ2＋2λ－2＝－32，∴λ＝12.(理)(2012·宁夏银川一中二模)已知向量AB →＝(2，x －1)，CD →＝(1，－y )(xy >0)，且AB →∥CD →，则2x ＋1y的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] C[解析] 因为AB →∥CD →，所以2(－y )－(x －1)＝0，即x ＋2y ＝1，所以(2x ＋1y )＝(2x ＋1y )(x ＋2y )＝4＋4y x ＋xy≥4＋24y x ·x y ＝8(当且仅当x ＝12，y ＝14时等号成立)．故选C.13．(文)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝13CA →＋λCB →，则λ＝( )A.23B.13 C ．－13D ．－23[答案] A[解析] 由于AD →＝2DB →，得CD →＝CA →＋AD →＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋23CB →，结合CD →＝13CA →＋λCB →，知λ＝23. (理)(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，则x ·y x ＋y的值为( )A ．3 B.13 C ．2 D.12[分析] 由M 、N 、G 三点共线知，存在实数λ、μ使AG →＝λAM →＋μAN →，结合条件AM →＝xAB →，AN →＝yAC →，可将AG →用AB →，AC →表示，又G 为△ABC 的重心，AG →用AB →，AC →表示的表示式唯一，可求得x ，y 的关系式．[答案] B[解析] 法1：由点G 是△ABC 的重心，知GA →＋GB →＋GC →＝0，得－AG →＋(AB →－AG →)＋(AC →－AG →)＝0，则AG →＝13(AB →＋AC →)．又M 、N 、G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μy AC →＝13(AB →＋AC →)，所以⎩⎪⎨⎪⎧λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝13，于是得1x ＋1y ＝3，所以x ·y x ＋y ＝11x ＋1y＝13.法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝13.二、填空题14．(2012·吉林省延吉市质检)已知：|OA →|＝1，|OB →|＝3，OA →·OB →＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →＝mOA →＋nOB →(m ，n ∈R ＋)，则m n＝________.[答案] 3[解析] 如图，设mOA →＝OF →，nOB →＝OE →，则OC →＝OF →＋OE →，∵∠AOC ＝30°，∴|OC →|·cos30°＝|OF →|＝m |OA →|＝m ， |OC →|·sin30°＝|OE →|＝n |OB →|＝3n ，两式相除得：m 3n ＝|OC →|cos30°|OC →|sin30°＝1tan30°＝3，∴m n ＝3.15．(2013·浙江余姚中学)在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →＋PB →＋PC →＝AB →，则△PBC与△ABC 的面积之比是________．[答案] 23[解析] P A →＋PB →＋PC →＝AB →⇒P A →＋PC →＋PB →－AB →＝0⇒P A →＋PC →＋P A →＝0⇒2P A →＝CP →，所以P 是AC 的三等分点，所以△PBC 与△ABC 的面积之比是23.三、解答题16．(文)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由． [解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －y ＋1＝2λ，x ＋y －2＝－2λ，⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝13，y ∈R .(2)由a ⊥b ⇒(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0⇒x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |⇒(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②由①②解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝1，或⎩⎨⎧x ＝53，y ＝73.∴xy ＝－1或xy ＝359.(理)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →＝OA →＋tAB →.(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．[解析] ∵OP →＝OA →＋tAB →＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )． (1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－23.(2)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t <0，2＋3t >0.∴－23<t <－13.(3)∵AB →＝(3,3)，OP →＝(1＋3t,2＋3t )．若四边形ABPO 为平行四边形，则AB →＝OP →，∴⎩⎪⎨⎪⎧1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.而上述方程组无解， ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形．(4)∵OP →＝(1＋3t,2＋3t )，设OP →＝(x ，y )，则⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t .∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程．考纲要求1．了解向量的实际背景．2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示．4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义．补充说明1．向量共线的应用中注意事项(1)向量共线的充要条件中，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用．(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线．(3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0.(4)设OA →＝λOB →＋μOC →(λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 2．“数形结合”思想数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意义，充分体现了数形结合思想． 3．方程思想在向量中的应用在向量的平行与垂直、向量的共线、向量的长度与夹角等问题中，常常要依据条件列方程求解．利用共线条件和平面向量基本定理，是应用的难点．备选习题1．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD →＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则四边形ABCD 为( )A ．菱形B ．梯形11 C ．矩形D ．平行四边形 [答案] D[解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB →＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG →，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形．解法二：AB →＝OB →－OA →＝b －a ，CD →＝OD →－OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB →，∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形．2．在四边形ABCD 中，AB →＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD →＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四边形ABCD 为( )A ．梯形B ．平行四边形C ．菱形D ．矩形 [答案] A[解析] 由已知得AD →＝AB →＋BC →＋CD →＝－8a －2b ，故AD →＝2BC →，由共线向量知识知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A.3．已知向量a 、b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ＝________.[答案] －1[解析] 由条件知存在负数μ，a ＋λb ＝μ(b ＋λa )，∴(1－λμ)a ＋(λ－μ)b ＝0，∵a 与b 不共线，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 1－λμ＝0，λ－μ＝0.∴⎩⎪⎨⎪⎧λ2＝1，λ＝μ. ∵μ<0，∴λ＝－1.。

2015届高考数学一轮总复习 5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示

2015届高考数学一轮总复习 5-2平面向量基本定理及向量的坐标表示基础巩固强化一、选择题1．(文)(2013·哈尔滨质检)已知平面向量a ＝(2m ＋1,3)，b ＝(2，m )，且a 与b 反向，则|b |等于( ) A.1027B ．2 2 C.52 D.52或2 2 [答案] B[解析] 据题意a ∥b 则m (2m ＋1)－3×2＝0，解得m ＝－2或m ＝32，当m ＝32时a ＝(4,3)，b ＝(2，32)，则a ＝2b ，此时两向量同向，与已知不符，故m ＝－2，此时b ＝(2，－2)，故|b |＝2 2. (理)(2013·广州综合测试二)已知向量OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(m ，m ＋1)，若AB →∥OC →，则实数m 的值为( )A ．－32B ．－14C.12D.32[答案] A[解析] 依题意得，AB →＝(3,1)，由AB →∥OC →得3(m ＋1)－m ＝0，m ＝－32，选A.2．(文)已知向量a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，如果向量a ＋λb 与b 垂直，则λ的值为( ) A.52 B ．－52C.25 D ．－25[答案] D[解析] ∵a ＝(3,4)，b ＝(2，－1)，∴a ＋λb ＝(3＋2λ，4－λ)，故2(3＋2λ)－(4－λ)＝0，∴λ＝－25，故选D.(理)(2014·金陵中学检测)已知向量a ＝(1,2)，b ＝(2，－3)．若向量c 满足(c ＋a )∥b ，c ⊥(a ＋b )，则c ＝( )A ．(79，73)B ．(－73，－79)C ．(73，79)D ．(－79，－73)[答案] D[解析] 不妨设c ＝(m ，n )，则a ＋c ＝(1＋m,2＋n )，a ＋b ＝(3，－1)，因为(c ＋a )∥b ，则有－3×(1＋m )＝2×(2＋n )．又c ⊥(a ＋b )，则有3m －n ＝0，解得m ＝－79，n ＝－73.3．(2013·安庆二模)已知a ，b 是不共线的两个向量，AB →＝x a ＋b ，AC →＝a ＋y b (x ，y ∈R )，若A ，B ，C 三点共线，则点P (x ，y )的轨迹是( )A ．直线B ．双曲线C ．圆D ．椭圆[答案] B[解析] ∵A ，B ，C 三点共线，∴存在实数λ，使AB →＝λAC →.则x a ＋b ＝λ(a ＋y b )⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝λ，1＝λy ⇒xy ＝1，故选B.4．(文)若向量a ＝(1,1)，b ＝(－1,1)，c ＝(4,2)，则c ＝( ) A ．3a ＋b B ．3a －b C ．－a ＋3b D ．a ＋3b[答案] B[解析] 设c ＝λa ＋μb ，则(4,2)＝(λ－μ，λ＋μ)，即⎩⎪⎨⎪⎧ λ－μ＝4，λ＋μ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝3，μ＝－1，∴c ＝3a －b .(理)已知平面向量a ＝(1，－1)，b ＝(－1,2)，c ＝(1,1)，则用a 、b 表示向量c 为( ) A ．2a －b B ．－a ＋2b C ．a －2b D ．3a ＋2b[答案] D[解析] 设c ＝x a ＋y b ，∴(1,1)＝(x －y ，－x ＋2y )，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x －y ＝1，－x ＋2y ＝1.解之得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝2.∴c ＝3a ＋2b ，故选D.5．(文)(2013·福州质检)如图，e 1，e 2为互相垂直的单位向量，则向量a －b 可表示为( )A ．3e 2－e 1B ．－2e 1－4e 2C ．e 1－3e 2D ．3e 1－e 2[答案] C[解析] 如图所示，a －b ＝AB →＝e 1－3e 2，故应选C.(理)(2013·江南十校联考)已知e 1，e 2是两个单位向量，其夹角为θ，若m ＝2e 1＋3e 2，则|m |＝1的充要条件是( )A ．θ＝πB ．θ＝π2C ．θ＝π3D ．θ＝2π3[答案] A[解析] 由|m |＝1，得m 2＝1，即(2e 1＋3e 2)2＝1.展开得，4e 21＋9e 22＋12e 1·e 2＝1，即4＋9＋12cos θ＝1，所以cos θ＝－1.又θ∈[0，π]，所以θ＝π.6．(2013·荆州质检)已知向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)，若m a ＋n b 与a －2b 共线，则mn ＝( )A ．－2B ．2C ．－12D.12[答案] C[解析] 由向量a ＝(2,3)，b ＝(－1,2)得m a ＋n b ＝(2m －n,3m ＋2n )，a －2b ＝(4，－1)，因为m a ＋n b 与a －2b 共线，所以(2m －n )×(－1)－(3m ＋2n )×4＝0，整理得m n ＝－12.二、填空题7．(文)(2013·山东)在平面直角坐标系xOy 中，已知OA →＝(－1，t )，OB →＝(2,2)．若∠ABO ＝90°，则实数t 的值为________．[答案] 5[解析] 易知AB →⊥OB →，而AB →＝OB →－OA →＝(3,2－t )，OB →＝(2,2)，∴AB →·OB →＝0，即3×2＋2(2－t )＝0，∴t ＝5.(理)(2013·安徽省级示范高中联考)设向量a ＝(x,3)，b ＝(2,1)，若对任意的正数m ，n ，向量m a ＋n b 始终具有固定的方向，则x ＝________.[答案] 6[解析] 当a 与b 共线时，向量m a ＋n b 始终具有固定的方向，则1×x ＝2×3，所以x ＝6.8．(2013·烟台调研)在等腰直角三角形ABC 中，D 是斜边BC 的中点，如果AB 的长为2，则(AB →＋AC →)·AD →的值为________．[答案] 4[解析] 由题意可知，AD ＝12BC ＝222＝2，(AB →＋AC →)·AD →＝2AD →·AD →＝2|AD →|2＝4.9.(2012·江西八校联考)如图所示，设P 、Q 为△ABC 内的两点，且AP →＝25AB →＋15AC →，AQ →＝23AB →＋14AC →，则△ABP 的面积与△ABQ 的面积之比为________．[答案] 45[分析] 因三角形的面积与底和高有关，所以可利用“同底三角形面积比等于高之比”的结论计算待求三角形的面积比．题设条件中用AB →和AC →给出了点P 和点Q ，故可利用AP →和AQ →构造平行四边形将面积比转化为向量长度的比解决．[解析]根据题意，设AM →＝25AB →，AN →＝15AC →，则由平行四边形法则，得AP →＝AM →＋AN →，且四边形AMPN为平行四边形，于是NP ∥AB ，所以S △ABP S △ABC ＝|AN →||AC →|＝15，同理，可得S △ABQ S △ABC ＝14.故S △ABP S △ABQ ＝45.三、解答题10.(2014·宁阳一中检测)如图所示，△ABC 中，点M 是BC 的中点，点N 在边AC 上，且AN ＝2NC ，AM 与BN 相交于点P ，求AP PM 的值．[解析] 设BM →＝e 1，CN →＝e 2，则AM →＝AC →＋CM →＝－3e 2－e 1，BN →＝2e 1＋e 2， ∵A 、P 、M 和B 、P 、N 分别共线，∴存在λ、μ∈R ，使AP →＝λAM →＝－λe 1－3λe 2， BP →＝μBN →＝2μe 1＋μe 2.故BA →＝BP →－AP →＝(λ＋2μ)e 1＋(3λ＋μ)e 2，而BA →＝BC →＋CA →＝2e 1＋3e 2，∴由平面向量基本定理得⎩⎪⎨⎪⎧λ＋2μ＝2，3λ＋μ＝3，∴⎩⎨⎧λ＝45，μ＝35.∴AP →＝45AM →，即AP :PM ＝4:1.能力拓展提升一、选择题 11．(文)(2013·济宁模拟)给定两个长度为1的平面向量OA →和OB →，它们的夹角为90°，如图所示，点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上运动，若OC →＝xOA →＋yOB →，其中x ，y ∈R ，则x ＋y 的最大值是( )A ．1 B. 2 C. 3 D ．2[答案] B[解析] 方法一：以O 为原点，向量OA →，OB →所在直线分别为x 轴，y 轴建立直角坐标系，设〈OA →，OC →〉＝θ，θ∈[0，π2]，则OA →＝(1,0)，OB →＝(0,1)，OC →＝(cos θ，sin θ)．∵OC →＝xOA →＋yOB →，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝cos θ，y ＝sin θ.∴x ＋y ＝cos θ＋sin θ＝2sin(θ＋π4)，又θ＋π4∈[π4，3π4]，∴x ＋y 的最大值为 2.方法二：因为点C 在以O 为圆心的圆弧AB 上，所以|OC →|2＝|xOA →＋yOB →|2＝x 2＋y 2＋2xyOA →·OB →＝x 2＋y 2＝1≥(x ＋y )22.所以x ＋y ≤2，当且仅当x＝y ＝22时等号成立． (理)(2013·皖南八校联考)已知正方形ABCD (字母顺序是A →B →C →D )的边长为1，点E 是AB 上的动点(可以与A 或B 重合)，如图所示，则DE →·CD →的最大值是( )A ．1 B.12 C ．0 D ．－1[答案] C[解析] 设AB →＝a ，AD →＝b ，则AE →＝λAB →＝λa (0≤λ≤1)． DE →＝AE →－AD →＝λa －b ， ∴DE →·CD →＝DE →·(－AB →) ＝(λa －b )·(－a ) ＝－λa 2＋a ·b ＝－λ. 又0≤λ≤1， ∴DE →·CD →的最大值为0，故选C.12．已知直线x ＋y ＝a 与圆x 2＋y 2＝4交于A 、B 两点，且|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|，其中O 为坐标原点，则实数a 的值为( )A ．2B ．－2C ．2或－2 D.6或－ 6[答案] C[解析] 以OA 、OB 为边作平行四边形OACB ，则由|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|得，平行四边形OACB 为矩形，OA →⊥OB →.由图形易知直线y ＝－x ＋a 在y 轴上的截距为±2，所以选C.13．(文)在平行四边形ABCD 中，AE →＝13AB →，AF →＝14AD →，CE 与BF 相交于G 点．若AB →＝a ，AD→＝b ，则AG →＝( )A.27a ＋17b B.27a ＋37b C.37a ＋17b D.47a ＋27b [答案] C[解析] ∵B 、G 、F 三点共线， ∴AG →＝λAF →＋(1－λ)AB →＝14λb ＋(1－λ)a .∵E 、G 、C 三点共线，∴AG →＝μAE →＋(1－μ)AC →＝13μa ＋(1－μ)(a ＋b )．由平面向量基本定理得，⎩⎨⎧λ4＝1－μ，1－λ＝1－23μ.∴⎩⎨⎧λ＝47，μ＝67.∴AG →＝37a ＋17b .(理)(2012·沈阳质检)在△ABC 中，M 为边BC 上任意一点，N 为AM 的中点，AN →＝λAB →＋μAC →，则λ＋μ的值为( )A.12B.13C.14 D ．1 [答案] A[解析] 本题考查向量的线性运算．据已知N 为AM 的中点，可得AN →＝12AM →＝λAB →＋μAC →，整理得AM →＝2λAB →＋2μAC →，由于点M 在直线BC 上，故有2λ＋2μ＝1，即λ＋μ＝12.二、填空题14．(2013·开封第一次模拟)已知|a |＝2，|b |＝2，a 与b 的夹角为45°，且λb －a 与a 垂直，则实数λ＝________.[答案]2[解析] 依题意得(λb －a )·a ＝λa ·b －a 2＝22λ－4＝0，λ＝ 2.15．(文)(2014·广雅中学月考)梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，M 、N 分别是CD 、AB 的中点，设AB →＝a ，AD →＝b .若MN →＝m a ＋n b ，则nm＝________.[答案] －4[解析] MN →＝MD →＋DA →＋AN →＝－14a －b ＋12a ＝14a －b ，∴m ＝14，n ＝－1，∴nm ＝－4.(理)(2014·南安一中质检)如图所示，在△ABC 中，点M 是AB 的中点，且AN →＝12NC →，BN 与CM 相交于点E ，设AB →＝a ，AC →＝b ，用基底a 、b 表示向量AE →＝________.[答案] 25a ＋15b[分析] 先利用三点共线进行转化，再通过用基底表示向量的唯一性进行求解．[解析] 易得AN →＝13AC →＝13b ，AM →＝12AB →＝12a ，由N 、E 、B 三点共线知存在实数m ，满足AE →＝mAN→＋(1－m )AB →＝13m b ＋(1－m )a .由C 、E 、M 三点共线知存在实数n ，满足AE →＝nAM →＋(1－n )AC →＝12n a ＋(1－n )b .所以13m b ＋(1－m )a ＝12n a ＋(1－n )b .由于a 、b 为基底，所以⎩⎨⎧1－m ＝12n ，13m ＝1－n ，解得⎩⎨⎧m ＝35，n ＝45.所以AE →＝25a ＋15b .三、解答题16．(文)平面内给定三个向量a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，c ＝(4,1)，请解答下列问题： (1)求满足a ＝m b ＋n c 的实数m 、n ； (2)若(a ＋k c )∥(2b －a )，求实数k ；(3)若d 满足(d －c )∥(a ＋b )，且|d －c |＝5，求d . [解析] (1)由题意得(3,2)＝m (－1,2)＋n (4,1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －m ＋4n ＝3，2m ＋n ＝2.得⎩⎨⎧ m ＝59，n ＝89.(2)a ＋k c ＝(3＋4k,2＋k )，2b －a ＝(－5,2)，∵(a ＋k c )∥(2b －a )，∴2×(3＋4k )－(－5)×(2＋k )＝0，∴k ＝－1613. (3)设d ＝(x ，y )，则d －c ＝(x －4，y －1)，a ＋b ＝(2,4)，由题意得⎩⎪⎨⎪⎧ 4(x －4)－2(y －1)＝0，(x －4)2＋(y －1)2＝5. 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝3，y ＝－1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝3.∴d ＝(3，－1)或d ＝(5,3)． (理)设a 、b 是两个不共线的非零向量(t ∈R )．(1)记OA →＝a ，OB →＝t b ，OC →＝13(a ＋b )，那么当实数t 为何值时，A 、B 、C 三点共线？ (2)若|a |＝|b |＝1且a 与b 夹角为120°，那么实数x 为何值时，|a －x b |的值最小？[解析] (1)∵A 、B 、C 三点共线，∴AB →与AC →共线，又∵AB →＝OB →－OA →＝t b －a ，AC →＝OC →－OA →＝13b －23a ， ∴存在实数λ，使AB →＝λAC →，即t b －a ＝λ3b －2λ3a ，∴t ＝12. (2)∵|a |＝|b |＝1，〈a ，b 〉＝120°，∴a ·b ＝－12， ∴|a －x b |2＝|a |2＋x 2|b |2－2x ·a ·b ＝1＋x 2＋x＝(x ＋12)2＋34≥34， ∴|a －x b |的最小值为32，此时x ＝－12.考纲要求了解平面向量的基本定理及其意义．掌握平面向量的正交分解及其坐标表示．会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算．理解用坐标表示的平面向量共线的条件．补充说明1．证明共线(或平行)问题的主要依据：(1)对于向量a ，b ，若存在实数λ，使得b ＝λa ，则向量a 与b 共线(平行)．(2)a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，若x 1y 2－x 2y 1＝0，则向量a ∥b .(3)对于向量a ，b ，若|a ·b |＝|a |·|b |，则a 与b 共线．要注意向量平行与直线平行是有区别的．2．用已知向量来表示另外一些向量是用向量解题的基本功．在进行向量运算时，要尽可能将它们转化到平行四边形或三角形中，以便使用向量的运算法则进行求解．充分利用平面几何的性质，可把未知向量用已知向量表示出来．3．平面向量基本定理的本质是运用向量加法的平行四边形法则，将向量进行分解．备选习题1．(2012·郑州质检)设A ，B ，C 是圆x 2＋y 2＝1上不同的三个点，且OA →·OB →＝0，若存在实数λ，μ使得OC →＝λOA →＋μOB →，则实数λ，μ的关系为( ) A ．λ2＋μ2＝1 B.1λ＋1μ＝1 C ．λ·μ＝1D ．λ＋μ＝1 [答案] A[解析] 由OC →＝λOA →＋μOB →得|OC →|2＝(λOA →＋μOB →)2＝λ2|OA →|2＋μ2|OB →|2＋2λμOA →·OB →.因为OA →·OB →＝0，所以λ2＋μ2＝1，所以选A.2．已知两个非零向量a ＝(m －1，n －1)，b ＝(m －3，n －3)，且a 与b 的夹角是钝角或直角，则m ＋n 的取值范围是( )A ．[2，32]B ．[2,6]C ．(2，32)D ．(2,6)[答案] D[解析] 根据a 与b 的夹角是钝角或直角得a ·b ≤0，即(m －1)(m －3)＋(n －1)(n －3)≤0.整理得：(m －2)2＋(n －2)2≤2.所以点(m ，n )在以(2,2)为圆心，2为半径的圆上或圆内．令m ＋n ＝z ，则n ＝－m ＋z 表示斜率为－1，在纵坐标轴上的截距为z 的直线，显然直线与圆相切时，z 取最大(小)值，∴2≤z ≤6，即2≤m ＋n ≤6.当取等号时有m ＝n ＝1或m ＝n ＝3，均不合题意，故选D.3．已知A (－2,3)，B (3，－1)，点P 在线段AB 上，且|AP |:|PB |＝1:2，则P 点坐标为________．[答案] ⎝⎛⎭⎫－13，53 [解析] 设P (x ，y )，则AP →＝(x ＋2，y －3)，PB →＝(3－x ，－1－y )， ∵P 在线段AB 上，且|APPB |＝， ∴AP →＝12PB →，∴(x ＋2，y －3)＝⎝⎛⎭⎫3－x 2，－1－y 2，∴⎩⎨⎧ x ＋2＝3－x 2，y －3＝－1－y 2.∴⎩⎨⎧ x ＝－13，y ＝53.即P ⎝⎛⎭⎫－13，53. 4．(2013·四川)在平面直角坐标系内，到点A (1,2)，B (1,5)，C (3,6)，D (7，－1) 的距离之和最小的点的坐标是________．[答案] (2,4)[解析] 取四边形ABCD 对角线的交点，这个交点到四点的距离之和就是最小值．可证明如下：假设在四边形ABCD 中任取一点P ，在△APC 中，有AP ＋PC >AC ，在△BPD 中，有PB ＋PD >BD ，而如果P 在线段AC 上，那么AP ＋PC ＝AC ；同理，如果P 在线段BD 上，那么BP ＋PD ＝BD . 如果同时取等号，那么意味着距离之和最小，此时P 就只能是AC 与BD 的交点．易求得P (2,4)．。

2015年高考数学(理)试题分类汇编：专题05 平面向量-推荐下载

1.【2015 高考新课标 1，理 7】设 D 为 ABC 所在平面内一点 BC 3CD ，则（）
（A）
（C）
【答案】A
【解析】由题知
AD
AD

4
1
AB
33
AB
33
AD
【考点定位】平面向量的线性运算

AC

4a

b

C ，故选 D.
【考点定位】1.平面向量的线性运算；2.平面向量的数量积.
【名师指点】平面向量问题中，向量的线性运算和数量积是高频考点.当出现线性运算问题时，注意两个向

量的差 OA OB BA ，这是一个易错点，两个向量的和 OA OB 2OD （ D 点是 AB 的中点）.另
a
，
b
D、
满足
A

a
2a
b cos
，
a,b
，
AC

2a
（A） b 1
【答案】D 【解析】如图，

b
，则下列结论正确的是（
（B）
a

b

）
（C）
a

b
由题意， BC AC AB (2a b) 2a b ，则| b | 2 ，故 A 错误；| 2a | 2 | a | 2 ，所以| a | 1，
（A） 3 a2 2
【答案】D
【解析】因为 BD CD BD BA
故选 D.
【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.
（B） 3 a2 4

山东省2015年高考数学一轮复习专题特训平面向量理

山东省2015年高考数学一轮专题复习特训平面向量1、（2013山东理）15．已知向量AB 与AC 的夹角为120°，且3AB =，2AC =，若AP AB AC λ=+，且AP BC ⊥，则实数λ的值为__________.答案：15．7122、（2011山东理数12）12．设1A ，2A ，3A ，4A 是平面直角坐标系中两两不同的四点，若1312A A A A λ= （λ∈R ），1412A A A A μ=（μ∈R ），且112λμ+=,则称3A ，4A 调和分割1A ，2A ,已知平面上的点C ，D 调和分割点A ，B 则下面说法正确的是A ．C 可能是线段AB 的中点B ．D 可能是线段AB 的中点C ．C ，D 可能同时在线段AB 上D ．C ，D 不可能同时在线段AB 的延长线上答案：D3．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）已知i 与j 为互相垂直的单位向量,2a i j =-,b i j λ=+且a 与b 的夹角为锐角,则实数λ的取值范围是（） A ．1(,2)(2,)2-∞-- B ．1(,)2+∞ C ．22(2,)(,)33-+∞ D ．1(,)2-∞ 【答案】A4．（山东省淄博一中2014届高三上学期10月阶段检测理科数学）若点P 是△ABC 所在平面内的一点,且满足5AP =3AB +2AC ,则△ABP 与△ABC 的面积比为（）A ．15B ．25C ．35D ．45 【答案】 B ． 5．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）下列各式正确的是（）A ．a b =a b ⋅B ．()222a b =a b ⋅⋅C ．若()a b-c ,⊥则a b=a c ⋅⋅D ．若a b=a c ⋅⋅则b=c【答案】C6错误！未指定书签。

．（山东省淄博第五中学2014届高三10月份第一次质检数学（理）试题）在ABC ∆中,已知a .b .c 成等比数列,且33,cos 4a c B +==,则AB BC ⋅= （） A ．32 B ．32- C ．3 D ．-3【答案】B7错误！未指定书签。

2015届高考数学(文科)一轮总复习平面向量

2015 届高考数学（文科）一轮总复习平面向量第五篇平面向量第 1 讲平面向量的观点及其线性运算基础稳固题组( 建议用时： 40 分钟 )一、填空题1．若 o，E， F 是不共线的随意三点，则 EF→可用 oF→与 oE→表示为 ________．分析由图可知 EF→＝ oF→－ oE→ .答案EF→＝ oF→－ oE→2．(2014 ?汕头二模 ) 如图，在正六边形 ABcDEF中， BA →＋ cD→＋ EF→等于 ________．分析由于 ABcDEF是正六边形，故BA→＋ cD→＋ EF→＝DE→＋ cD→＋ EF→＝ cE→＋ EF→＝ cF→ .答案 cF→3．关于非零向量 a，b，“ a＋b＝ 0”是“ a∥ b”的 ________ 条件．分析若 a＋ b＝ 0，则 a＝－ b，因此 a∥ b. 若 a∥b，则a＝λ b，a＋ b＝ 0 不必定建立，故前者是后者的充足不用要条件．答案充足不用要4．(2013 ?大连联考 ) 已知 oA→＝ a，oB→＝ b，oc→＝ c，oD→＝ d，且四边形 ABcD为平行四边形，则 a、 b、 c、 d 四个向量知足的关系为 ________．分析依题意得， AB→＝ Dc→，故 AB→＋ cD→＝ 0，即oB→－ oA→＋ oD→－ oc→＝ 0，即有 oA→－ oB→＋ oc→－ oD→＝ 0，则 a－b＋ c－ d＝ 0.答案a－ b＋ c－ d＝ 05．(2014 ?宿迁质检 ) 若点是△ ABc 所在平面内的一点，且知足 5A→＝ AB→＋ 3Ac→，则△ AB 与△ ABc 的面积比为________．分析设 AB的中点为D，由 5A→＝ AB→＋ 3Ac→，得 3A →－ 3Ac→＝ 2AD→－ 2A→，即 3c→＝ 2D→ . 如下图，故 c，，D 三点共线，且D→＝35cD→，也就是△AB 与△ ABc 关于边AB的两高之比为3∶ 5，则△AB与△ABc 的面积比为35.答案356．(2014 ?湖州月考 ) 给出以下命题：①向量 AB→的长度与向量 BA→的长度相等；②向量a 与b 平行，则 a 与 b 的方向同样或相反；③两个有共同起点并且相等的向量，其终点必同样；2 / 7④两个有公共终点的向量，必定是共线向量；⑤向量 AB→与向量 cD→是共线向量，则点 A，B， c， D 必在同一条直线上．此中不正确命题的序号是________．分析①中，∵向量AB→与 BA→为相反向量，∴它们的长度相等，此命题正确．②中若 a 或 b 为零向量，则知足 a 与 b 平行，但 a 与 b 的方向不必定同样或相反，∴此命题错误．③由相等向量的定义知，若两向量为相等向量，且起点同样，则其终点也必然同样，∴该命题正确．④由共线向量知，若两个向量仅有同样的终点，则不必定共线，∴该命题错误．⑤∵共线向量是方向同样或相反的向量，∴若 AB→与cD→是共线向量，则 A，B，c， D 四点不必定在一条直线上，∴该命题错误．答案②④⑤7 ．在 ?ABcD中， AB→＝ a， AD→＝ b， AN→＝ 3Nc→，为 Bc 的中点，则 N→＝ ________.( 用 a， b 表示 )分析由 AN→＝ 3Nc→，得 4AN→＝ 3Ac→＝ 3(a ＋b) ，A →＝ a＋12b，因此 N→＝ AN→－ A→＝ 34(a ＋b) － a＋12b＝－14a＋ 14b.答案－ 14a＋ 14b8．(2014 ?泰安模拟 ) 设 a， b 是两个不共线向量， AB→＝2a＋ pb， Bc→＝ a＋ b， cD→＝ a－ 2b，若 A， B， D 三点共线，则实数 p 的值为 ________．分析∵ BD→＝ Bc→＋ cD→＝ 2a－ b，又 A， B， D 三点共线，∴存在实数λ，使AB→＝λ BD→ . 即 2＝2λ， p＝－λ，∴p＝－ 1.答案－1二、解答题9 ．若 a，b 是两个不共线的非零向量， a 与 b 起点同样，则当 t 为什么值时， a， tb ， 13(a ＋b) 三向量的终点在同一条直线上？解设 oA→＝ a，oB→＝ tb ， oc→＝ 13(a ＋ b) ，∴Ac→＝ oc→－ oA→＝－ 23a＋13b，AB→＝ oB→－ oA→＝tb － a.要使 A，B， c 三点共线，只要Ac→＝λ AB→ .即－ 23a＋ 13b＝λ (tb － a) ＝λ tb －λ a.又∵ a 与 b 为不共线的非零向量，∴有－ 23＝－λ， 13＝λ t ? λ＝ 23， t ＝ 12.∴当 t ＝12 时，三向量终点在同向来线上．10．如图，在平行四边形 oADB中，设 oA→＝ a，oB→＝b， B→＝ 13Bc→， cN→＝ 13cD→ . 试用 a，b 表示 o→， oN→及 N→.解由题意知，在平行四边形oADB中， B→＝ 13Bc→＝16BA→＝ 16(oA →－ oB→ ) ＝ 16(a － b) ＝16a－16b，则 o→＝ oB→＋ B→＝ b＋ 16a－ 16b＝16a＋ 56b.oN →＝ 23oD→＝ 23(oA →＋ oB→ ) ＝ 23(a ＋ b) ＝ 23a ＋23b，N→＝oN→－o→＝23a＋23b－16a－56b＝12a－16b.能力提高题组( 建议用时： 25 分钟 )一、填空题1．如下图，在△ ABc 中，已知点 D 在 AB边上，且 AD→＝ 2DB→， cD→＝ 13cA→＋λ cB，则λ＝ ________.分析由于 cD→＝ cA→＋ AD→＝cA→＋ 23AB→＝ cA→＋ 23(cB →－ cA→ )＝13cA→＋ 23cB→，因此λ＝ 23.答案232 ．在△ ABc 中，点 o 在线段 Bc 的延伸线上，且与点 c 不重合，若Ao→＝xAB→＋(1 －x)Ac →，则实数x 的取值范围是________．分析设 Bo→＝λ Bc→ ( λ＞ 1) ，则 Ao→＝ AB→＋ Bo→＝ AB→＋λ Bc→＝ (1 －λ )AB→＋λ Ac→，又 Ao→＝ xAB→＋(1 － x)Ac →，因此 xAB→＋ (1 － x)Ac →＝ (1 －λ )AB→＋λ Ac→ . 因此λ＝ 1－ x＞ 1，得 x＜ 0.答案( －∞， 0)3．若点 o 是△ ABc 所在平面内的一点，且知足 |oB →－oc→ | ＝|oB →＋ oc→－ 2oA→ | ，则△ ABc 的形状为 ________．分析oB→＋ oc→－ 2oA→＝ oB→－ oA→＋ oc →－ oA→＝AB→＋ Ac→，oB →－ oc →＝ cB→＝ AB→－ Ac→，∴ |AB →＋ Ac→ | ＝|AB →－ Ac→ |.故 A， B，c 为矩形的三个极点，△ ABc 为直角三角形．答案直角三角形二、解答题4．在△ ABc 中， E，F 分别为 Ac， AB 的中点， BE 与 cF 订交于 G点，设 AB→＝ a， Ac→＝ b，试用 a，b 表示 AG→ .解 AG→＝ AB→＋ BG→＝ AB→＋λ BE→＝ AB→＋λ 2(BA→＋ Bc→ )＝1－λ 2AB→＋λ 2(Ac →－ AB→ )＝(1 －λ )AB→＋λ 2Ac→＝ (1 －λ )a ＋λ 2b.又 AG→＝ Ac→＋ cG→＝ Ac→＋ cF→＝ Ac→＋ 2(cA →＋cB→ )＝(1 － )Ac →＋ 2AB→＝ 2a＋ (1 －)b ，∴1－λ＝ 2， 1－＝λ 2，解得λ＝＝ 23，∴ AG→＝ 13a ＋13b.。

2015年高考数学理一轮复习精品资料专题5.4 平面向量的应用含解析

2015年高考数学理一轮复习精品资料【新课标版】预测卷第五章平面向量第四节平面向量的应用一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选择中，只有一个是符合题目要求的。

）1.【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，向量OA a OB b OC c === ，A 、B 、C 在一条直线上，且 3 AC BC =，则（）.A 、1322c a b =-+ B 、31 22c a b =-C 、 2 b a c +-=D 、 2 b a c +=2. 【2013-2014学年广东省云浮市云浮中学高一5月】如图所示，D 是ABC ∆的边AB 上的中点，记BC a =，BA c =，则向量CD =（）．A ．12a c --B ．12a c -+ C ．12a c - D ．12a c +【答案】B【解析】1111()()2222CD CA CB BA BC BC BA BC a b =+=--=-=-+． 3.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知△ABC 的外接圆的圆心为O ，半径为1，若345OA OB OC ++=0，则△AOC 的面积为( )A ．25 B ．12 C ．310 D ．654.【2014年高考数学人教版评估检测】如图所示,非零向量=a,=b,且BC ⊥OA,C 为垂足,若=λa(λ≠0),则λ=( )5. 【2013-2014学年辽宁省抚顺市六校联合体高一下学期期末】已知)0,3(-A ，)2,0(B ，O 为坐标原点，点C 在∠AOB 内，且45=∠AOC ，设(1),()OC OA OB R λλλ=+-∈，则λ的值为（）A.51 B.31C.52D.32【答案】C.6. 【2014届浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中考试】已知1e 和2e 是平面上的两个单位向量，且121e e +≤，12,OP me OQ ne ==，若O 为坐标原点，,m n 均为正常数，则()2OP OQ +的最大值为( )A ．22m n mn +-B ．22m n mn ++C ．2()m n + D ．2()m n -7.【2014年高考数学（理）二轮复习】如图，在直角梯形ABCD 中，AD ⊥AB ，AB ∥DC ，AD ＝DC ＝1，AB ＝2，动点P 在以点C 为圆心，且与直线BD 相切的圆上或圆内移动，设AP ＝λAD ＋μAB (λ，μ∈R)，则λ＋μ的取值范围是 ( )．A ．(1,2)B ． (0,3)C ．[1,2]D ．[1,2)【答案】C【解析】以A为原点，AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，D(0,1)，8.【2014届四川绵阳高中高三第二次诊断性考试】已知O是锐角△ABC的外心，若OC=xOA yOB+(x，y ∈R)，则（）A．x+y≤-2 B．-2≤x+y<-1 C．x+y<-1 D．-1<x+y<09.【2014届山西省太原市太原五中高三12月月考】△ABC的外接圆的圆心为O，半径为2，且OA AB AC++=，则向量CA在CB方向上的投影为( )A．3 C．．-310.【2014届浙江省建人高复高三上学期第二次月考】在ABC ∆中，2,2AB BC A π==∠=，如果不等式BA tBC AC -≥恒成立，则实数t 的取值范围是（） A.[)1,+∞ B.1,12⎡⎤⎢⎥⎣⎦ C.[)1,1,2⎛⎤-∞+∞ ⎥⎝⎦D.(][),01,-∞+∞11.【2014届天津市蓟县高三上学期期中考试】如图A 是单位圆与x 轴的交点，点P 在单位圆上，(0)AOP θθπ∠=<<,OQ OA OP =+,四边形OAQP 的面积为S ,当OA OP S ⋅+取得最大值时θ的值和最大值分别为( )A.6π3π，1 C.4π2π12.【改编自2013年辽宁五校联考】设函数()f x 的定义域为D ，如果存在正实数k ，使对任意x D ∈，都有x k D ∈＋，且()()f x k f x >＋恒成立，则称函数()f x 为D 上的“k 型增函数”．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且当0x >时，()||2f x x a a ＝－－，若()f x 为R 上的“2 013型增函数”，则实数a 的取值范围是（） A. 671,2⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭ B. (),300-∞ C. (300,)+∞ D. 671,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭【答案】D二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。

2015年_2018年高考真题第五章平面向量

第五章平面向量考点1 平面向量的概念及坐标运算1.(2015·新课标全国Ⅰ，7)设D 为△ABC 所在平面内一点，BC →＝3CD →，则( ) A.AD →＝－13AB →＋43AC → B.AD →＝13AB →－43AC → C.AD →＝43AB →＋13AC → D.AD →＝43AB →－13AC →1.A [∵BC →＝3CD →，∴AC →－AB →＝3(AD →－AC →)，即4AC →－AB →＝3AD →， ∴AD →＝－13AB →＋43AC →.]2.(2015·湖南，8)已知点A ，B ，C 在圆x 2＋y 2＝1上运动，且AB ⊥BC .若点P 的坐标为(2,0)，则|PA →＋PB →＋PC →|的最大值为( ) A.6 B.7 C.8 D.92.B [由A ,B ,C 在圆x 2＋y 2＝1上,且AB ⊥BC ,∴AC 为圆直径,故PA →＋PC →＝2PO →＝(－4，0),设B (x ，y )，则x 2＋y 2＝1且x ∈[-1,1]，PB →＝(x －2，y )，所以PA →＋PB →＋PC →＝(x -6，y ).故|PA →＋PB →＋PC →|＝－12x ＋37，∴x ＝－1时有最大值49＝7，故选B.]3.(2014·福建，8)在下列向量组中，可以把向量a ＝(3,2)表示出来的是( ) A.e 1＝(0,0)，e 2＝(1,2) B.e 1＝(－1,2)，e 2＝(5，－2) C.e 1＝(3,5)，e 2＝(6,10) D.e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2,3)3.B [法一若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，则e 1∥e 2，而a 不能由e 1，e 2表示，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，因为－15≠2－2，所以e 1，e 2不共线，根据共面向量的基本定理，可以把向量a ＝(3，2)表示出来，故选B.法二因为a ＝(3，2)，若e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2)，不存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，排除A ；若e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2)，设存在实数λ，μ，使得a ＝λe 1＋μe 2，则(3，2)＝(－λ＋5μ，2λ－2μ)，所以⎩⎪⎨⎪⎧3＝－λ＋5μ，2＝2λ－2μ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝2，μ＝1.所以a ＝2e 1＋e 2，故选B.]4.(2014·安徽，10)在平面直角坐标系xOy 中，已知向量a ，b ，|a |＝|b |＝1，a ·b ＝0，点Q 满足OQ →＝2(a ＋b ).曲线C ＝{P |OP →＝a cos θ＋b cos θ，0≤θ<2π}，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }.若C ∩Ω为两段分离的曲线，则( )A.1<r <R <3B.1<r <3≤RC.r ≤1<R <3D.1<r <3<R4.A [由已知可设OA →＝a ＝(1，0)，OB →＝b ＝(0，1)，P (x ，y )，则OQ →＝(2，2)，曲线C ＝{P |OP →＝(cos θ，sin θ)，0≤θ<2π}，即C ：x 2＋y 2＝1，区域Ω＝{P |0<r ≤|PQ →|≤R ，r <R }表示圆P 1：(x －2)2＋(y －2)2＝r 2与圆P 2：(x －2)2＋(y －2)2＝R 2所形成的圆环，如图所示，要使C ∩Ω为两段分离的曲线，只有1<r <R <3.]5.（2017•浙江,15）已知向量、满足| |=1，| |=2，则| + |+| ﹣ |的最小值是________，最大值是________． 5. 4；记∠AOB=α，则0≤α≤π，如图，由余弦定理可得：| + |=，| ﹣ |=，则x 2+y 2=10（x 、y≥1），其图象为一段圆弧MN ，如图，令z=x+y ，则y=﹣x+z ，则直线y=﹣x+z 过M 、N 时z 最小为z min =1+3=3+1=4，当直线y=﹣x+z 与圆弧MN 相切时z 最大，由平面几何知识易知z max 即为原点到切线的距离的倍，也就是圆弧MN 所在圆的半径的倍，所以z max =×=．综上所述，| + |+| ﹣ |的最小值是4，最大值是．故答案为：4、．6.（2017•江苏,12）如图，在同一个平面内，向量，，的模分别为1，1，，与的夹角为α，且tanα=7，与的夹角为45°．若=m+n（m ，n ∈R ），则m+n=________．6. 3 如图所示，建立直角坐标系．A （1，0）．由与的夹角为α，且tanα=7．∴cosα= ，sinα= ．∴C ．cos （α+45°）=（cosα﹣sinα）= ．sin （α+45°）= （sinα+cosα）= ．∴B．∵ =m +n （m ，n ∈R ），∴=m ﹣n ，=0+n ，解得n=，m=．则m+n=3．故答案为：3．7.(2016·全国Ⅰ，13)设向量a ＝(m ，1)，b ＝(1，2)，且|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，则m ＝________. 7.－2[由|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2，得a ⊥b ，所以m ×1＋1×2＝0，得m ＝－2.]8.(2015·新课标全国Ⅱ，13)设向量a ，b 不平行，向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则实数λ＝____________.8.12[∵向量a ，b 不平行，∴a ＋2b ≠0，又向量λa ＋b 与a ＋2b 平行，则存在唯一的实数μ，使λa ＋b ＝μ(a ＋2b )成立，即λa ＋b ＝μa ＋2μb ，则得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝μ，1＝2μ，解得λ＝μ＝12.]9.(2015·北京，13)在△ABC 中，点M ，N 满足AM →＝2MC →，BN →＝NC →.若MN →＝xAB →＋yAC →，则x ＝________；y ＝________.9.12 －16 [MN →＝MC →＋CN →＝13AC →＋12CB →＝13AC →＋12(AB →－AC →)＝12AB →－16AC →，∴x ＝12，y ＝－16.]10.(2015·江苏，6)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(1，－2)，若m a ＋n b ＝(9，－8)(m ，n ∈R )，则m －n 的值为________.10.－3 [∵a ＝(2,1),b ＝(1,-2),∴m a ＋n b ＝(2m ＋n ,m －2n )＝(9,-8)，即⎩⎪⎨⎪⎧2m ＋n ＝9，m －2n ＝－8，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2，n ＝5，故m －n ＝2－5＝－3.]11.(2014·新课标全国Ⅰ，15)已知A ，B ，C 为圆O 上的三点，若AO →＝12(AB →＋AC →)，则AB →与AC→的夹角为________.11.90°[由AO →＝12(AB →＋AC →)可知O 为BC 的中点，即BC 为圆O 的直径，又因为直径所对的圆周角为直角，所以∠BAC ＝90°，所以AB →与AC →的夹角为90.]12.(2014·湖南，16)在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3,0)，动点D 满足|CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________.12.1＋7 [设D (x ，y )，由|CD →|＝1，得(x －3)2＋y 2＝1，向量OA →＋OB →＋OD →＝(x －1，y ＋3)，故|OA →＋OB →＋OD →|＝（x －1）2＋（y ＋3）2的最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1上的动点到点(1，－3)距离的最大值，其最大值为圆(x －3)2＋y 2＝1的圆心(3，0)到点(1，－3)的距离加上圆的半径，即（3－1）2＋（0＋3）2＋1＝1＋7.]考点2 平面向量的数量积及其应用1.（2017•北京,6）设，为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的（）A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件1. A ，为非零向量，存在负数λ，使得 =λ ，则向量，共线且方向相反，可得 • ＜0．反之不成立，非零向量，的夹角为钝角，满足 • ＜0，而 =λ 不成立．∴ ，为非零向量，则“存在负数λ，使得 =λ ”是 • ＜0”的充分不必要条件．故选A ．2.（2017•新课标Ⅲ,12）在矩形ABCD 中，AB=1，AD=2，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．若=λ+μ，则λ+μ的最大值为（）A.3B.2C.D.22. A 如图：以A为原点，以AB，AD所在的直线为x，y轴建立如图所示的坐标系，则A（0，0），B（1，0），D（0，2），C（1，2），∵动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上，设圆的半径为r，∵BC=2，CD=1，∴BD= = ,∴BC•CD= BD•r，∴r= ，∴圆的方程为（x﹣1）2+（y﹣2）2= ，设点P的坐标为（cosθ+1，sinθ+2），∵=λ +μ ，∴（cosθ+1，sinθ﹣2）=λ（1，0）+μ（0，2）=（λ，2μ），∴cosθ+1=λ，sinθ+2=2μ，∴λ+μ= cosθ+sinθ+2=sin（θ+φ）+2，其中tanφ=2，∵﹣1≤sin（θ+φ）≤1，∴1≤λ+μ≤3，故λ+μ的最大值为3，故选A.3.（2017•浙江,10）如图，已知平面四边形ABCD，AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，AC与BD 交于点O，记I1= •，I2= •，I3= •，则（）A.I1＜I2＜I3B.I1＜I3＜I2C.I3＜I1＜I2D.I2＜I1＜I33. C ∵AB⊥BC，AB=BC=AD=2，CD=3，∴AC=2 ，∴∠AOB=∠COD＞90°，由图象知OA＜OC，OB＜OD，∴0＞•＞•，•＞0，即I3＜I1＜I2，故选C．4.（2017•新课标Ⅱ,12）已知△ABC是边长为2的等边三角形，P为平面ABC内一点，则•（+ ）的最小值是（）A.﹣2B.﹣C.﹣D.﹣14. B 建立如图所示的坐标系，以BC 中点为坐标原点，则A （0，），B （﹣1，0），C（1，0），设P （x ，y ），则=（﹣x ，﹣y ），=（﹣1﹣x ，﹣y ），=（1﹣x ，﹣y ），则 •（ + ）=2x 2﹣2y+2y 2=2[x 2+（y ﹣）2﹣]∴当x=0，y=时，取得最小值2×（﹣ ）=﹣ ，故选B.5.(2016·四川，10)在平面内，定点A ，B ，C ，D 满足|DA →|＝|DB →|＝|DC →|，DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝－2，动点P ，M 满足|AP →|＝1，PM →＝MC →，则|BM →|2的最大值是( ) A.434 B.494 C.37＋634 D.37＋23345.B[由题意,|DA →|＝|DB →|＝|DC →|,所以D 到A ,B ,C 三点的距离相等,D 是△ABC 的外心； DA →·DB →＝DB →·DC →＝DC →·DA →＝-2⇒DA →·DB →－DB →·DC →＝DB →·(DA →－DC →)＝DB →·CA →＝0,所以DB ⊥AC ，同理可得，DA ⊥BC ，DC ⊥AB ，从而D 是△ABC 的垂心，∴△ABC 的外心与垂心重合，因此△ABC 是正三角形，且D 是△ABC 的中心. DA →·DB →＝|DA →||DB →|cos ∠ADB ＝|DA →||DB →|×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝－2⇒|DA →|＝2，所以正三角形ABC 的边长为23；我们以A 为原点建立直角坐标系,B ,C ,D 三点坐标分别为B (3,－3)，C (3,3)，D (2,0)，由|AP →|＝1,设P 点的坐标为(cos θ，sin θ)，其中θ∈[0，2π)，而PM →＝MC →，即M 是PC 的中点，可以写出M 的坐标为M ⎝⎛⎭⎪⎫3＋cos θ2，3＋sin θ2 则|BM →|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－322＋⎝ ⎛⎭⎪⎫33＋sin θ22＝37＋12sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π64≤37＋124＝494，当θ＝23π时，||2取得最大值494.故选B.6.(2016·山东，8)已知非零向量m ，n 满足4|m |＝3|n |，cos 〈m ，n 〉＝13.若n ⊥(t m ＋n )，则实数t 的值为( )A.4B.－4C.94D.－946.B[∵n ⊥(t m ＋n )，∴n ·(t m ＋n )＝0，即t ·m ·n ＋n 2＝0，∴t |m ||n |cos 〈m ，n 〉＋|n |2＝0，由已知得t ×34|n |2×13＋|n |2＝0，解得t ＝－4，故选B.]7.(2016·全国Ⅲ，3)已知向量BA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，BC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫32，12，则∠ABC ＝( )A.30°B.45°C.60°D.120°7.A [|BA →|＝1，|BC →|＝1，cos ∠ABC ＝BA →·BC →|BA →|·|BC →|＝32.]8.(2016·全国Ⅱ，3)已知向量a ＝(1，m )，b ＝(3，－2)，且(a ＋b )⊥b ，则m ＝( ) A.－8 B.－6 C.6 D.88.D[由题知a ＋b ＝(4，m －2)，因为(a ＋b )⊥b ，所以(a ＋b )·b ＝0，即4×3＋(－2)×(m －2)＝0，解之得m ＝8，故选D.]9.(2015·山东，4)已知菱形ABCD 的边长为a ，∠ABC ＝60° ，则BD →·CD →＝( ) A.－32a 2B.－34a 2C.34a 2D.32a29.D [如图所示，由题意，得BC ＝a ，CD ＝a ，∠BCD ＝120°.BD 2＝BC 2＋CD 2－2BC ·CD ·cos 120°＝a 2＋a 2－2a ·a ×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝3a 2，∴BD ＝3a .∴BD →·CD →＝|BD →|·|CD →|cos 30°＝3a 2×32＝32a 2.]10.(2015·安徽，8)△ABC 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足AB →＝2a ，AC →＝2a ＋b ，则下列结论正确的是( )A.|b |＝1B.a ⊥bC.a ·b ＝1D.(4a ＋b )⊥BC →10.D [由于△ABC 是边长为2的等边三角形；∴(AB →＋AC →)·(AB →－AC →)＝0，即(AB →＋AC →)·CB →＝0，∴(4a ＋b )⊥CB →，即(4a ＋b )⊥BC →，故选D.]11.(2015·四川，7)设四边形ABCD 为平行四边形，|AB →|＝6，|AD →|＝4，若点M ，N 满足BM →＝3MC →，DN →＝2NC →，则AM →·NM →＝( ) A.20 B. 15 C.9 D.611.C[AM →＝AB →＋34AD →，NM →＝CM →－CN →＝－14AD →＋13AB →∴AM →·NM →＝14(4AB →＋3AD →)·112(4AB →－3AD →)＝148(16AB →2－9AD →2)＝148(16×62－9×42)＝9，选C.]12.(2015·福建，9)已知AB →⊥AC →，|AB →|＝1t，|AC →|＝t ，若点P 是△ABC 所在平面内的一点，且AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|，则PB →·PC →的最大值等于( )A.13B.15C.19D.2112.A [建立如图所示坐标系，则B⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，C (0，t )，AB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0，AC →＝(0，t )，AP →＝AB →|AB →|＋4AC →|AC →|＝t ⎝ ⎛⎭⎪⎫1t ，0＋4t (0，t )＝(1，4)，∴P (1，4)，PB →·PC→＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1t－1，－4·(－1，t －4)＝17－⎝ ⎛⎭⎪⎫1t＋4t ≤17－21t·4t ＝13，故选A.]13.(2015·重庆，6)若非零向量a ，b 满足|a |＝223|b |，且(a －b )⊥(3a ＋2b )，则a 与b的夹角为( )A.π4B.π2C.3π4D.π 13.A [由题意(a －b )·(3a ＋2b )＝3a 2－a·b －2b 2＝0，即3|a |2－|a |·|b |cos θ－2|b |2＝0，所以3×⎝ ⎛⎭⎪⎫2232－223cos θ－2＝0，cos θ＝22，θ＝π4，选A.]14.(2015·陕西，7)对任意向量a ，b ，下列关系式中不恒成立的是( )A.|a ·b |≤|a ||b |B.|a －b |≤||a |－|b ||C.(a ＋b )2＝|a ＋b |2D.(a ＋b )(a －b )＝a 2－b214.B [对于A ，由|a ·b |＝||a ||b |cos<a ,b >|≤|a ||b |恒成立；对于B ，当a ，b 均为非零向量且方向相反时不成立；对于C 、D 容易判断恒成立.故选B.]15.(2014·新课标全国Ⅱ，3)设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则a ·b ＝( ) A.1 B.2 C.3 D.515.A [由向量的数量积运算可知,∵|a ＋b |＝10,∴(a ＋b )2＝10,∴a 2+b 2+2a ·b ＝10,① 同理a 2＋b 2－2a ·b ＝6，② ① －②得4a ·b ＝4，∴a ·b ＝1.]16.(2014·大纲全国，4)若向量a 、b 满足：|a |＝1，(a ＋b )⊥a ，(2a ＋b )⊥b ，则|b |＝( ) A.2 B. 2 C.1 D.2216.B [由题意得⎩⎪⎨⎪⎧（a ＋b ）·a ＝a 2＋a ·b ＝0，（2a ＋b ）·b ＝2a ·b ＋b 2＝0⇒-2a 2+b 2＝0,即－2|a |2＋|b |2＝0,又|a |＝1，∴|b |＝ 2.故选B.]17.(2014·天津，8)已知菱形ABCD 的边长为2，∠BAD ＝120°，点E ，F 分别在边BC ，DC 上，BE ＝λBC ，DF ＝μDC .若AE →·AF →＝1，CE →·CF →＝－23，则λ＋μ＝( )A.12B.23C.56D.71217.C [如图所示,以菱形ABCD 的两条对角线所在直线为坐标轴,建立平面直角坐标系xOy ,不妨设A (0，－1),B (－3，0),C (0，1),D (3，0),由题意得CE →＝(1－λ)·CB →＝(3λ－3，λ－1)，CF →＝(1－μ)CD →＝(3－3μ，μ－1).因为CE →·CF →＝-23，所以3(λ-1)·(1-μ)＋(λ-1)(μ-1)＝－23，即(λ-1)(μ-1)＝13.因为AE →＝AC →＋CE →＝(3λ－3，λ＋1).AF →＝AC →＋CF →＝(3－3μ，μ＋1)，又AE →·AF →＝1，所以(λ＋1)(μ＋1)＝2.由⎩⎪⎨⎪⎧（λ－1）（μ－1）＝13.（λ＋1）（μ＋1）＝2，整理得λ＋μ＝56.选C.]18.（2017•新课标Ⅰ,13）已知向量，的夹角为60°，| |=2，| |=1，则| +2 |=________． 18. ∵向量，的夹角为60°，且| |=2，| |=1，∴=+4 • +4=22+4×2×1×cos60°+4×12=12，∴| +2 |=2 ．故答案为：2．19.（2017•山东,12）已知，是互相垂直的单位向量，若﹣与 +λ的夹角为60°，则实数λ的值是________．19. ，是互相垂直的单位向量，∴| |=||=1，且 • =0；又 ﹣ 与 +λ 的夹角为60°，∴（﹣）•（ +λ）=| ﹣|×|+λ|×cos60°，即 +（ ﹣1） •﹣λ= ××，化简得﹣λ=×× ，即 ﹣λ= ，解得λ= ．故答案为：． 20.（2017·天津,13）在△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2．若 =2，=λ﹣ （λ∈R ），且 =﹣4，则λ的值为________．20.如图所示，△ABC 中，∠A=60°，AB=3，AC=2，=2 ， ∴ = += += + （ ﹣ ）= + ，又 =λ﹣ （λ∈R ）， ∴ =（ + ）•（λ ﹣ ） =（ λ﹣ ）•﹣+λ=（ λ﹣ ）×3×2×cos60°﹣ ×32+ λ×22=﹣4，∴λ=1，解得λ= ．故答案为：．21.(2016·浙江，15)已知向量a ，b ，|a |＝1，|b |＝2.若对任意单位向量e ，均有|a ·e |＋|b ·e |≤6，则a ·b 的最大值是________.21.12 [由已知可得：6≥|a ·e |＋|b ·e |≥|a ·e ＋b ·e |＝|(a ＋b )·e | 由于上式对任意单位向量e 都成立.∴6≥|a ＋b |成立.∴6≥(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a ·b ＝12＋22＋2a ·b .即6≥5＋2a ·b ，∴a ·b ≤12.]22.(2015·天津，14)在等腰梯形ABCD 中，已知AB ∥DC ，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上，且BE →＝λBC →，DF →＝19λDC →，则|AE →|·|AF →|的最小值为________.22.2918 [在梯形ABCD 中，AB ＝2，BC ＝1，∠ABC ＝60°，可得DC ＝1，AE →＝AB →＋λBC →，AF →＝AD →＋19λDC →，∴AE →·AF →＝(AB →＋λBC →)·(AD →＋19λDC →)＝AB →·AD →＋AB →·19λDC →＋λBC →·AD →＋λBC →·19λDC →＝2×1×cos 60°＋2×19λ＋λ×1×cos 60°＋λ19λ×cos 120°＝29λ＋λ2＋1718≥229λ·λ2＋1718＝2918，当且仅当29λ＝λ2，即λ＝23时，取得最小值为2918.]23.(2015·浙江，15)已知e 1,e 2是空间单位向量,e 1·e 2＝12，若空间向量b 满足b ·e 1＝2，b ·e 2＝52，且对于任意x ，y ∈R ，|b －(x e 1＋ye 2)|≥|b －(x 0e 1＋y 0e 2)|＝1(x 0，y 0∈R )，则x 0＝________，y 0＝________，|b |＝________.23.1 2 2 2 [∵e 1·e 2＝|e 1|·|e 2|cos 〈e 1，e 2〉＝12，∴〈e 1，e 2〉＝π3.不妨设e 1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12，32，0，e 2＝(1，0，0)，b ＝(m ，n ，t ). 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧b ·e 1＝12m ＋32n ＝2，b ·e 2＝m ＝52，解得n ＝32，m ＝52，∴b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，32，t .∵b －(x e 1＋y e 2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－12x －y ，32－32x ，t ，∴|b －(x e 1＋y e 2)|2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52－x 2－y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫32－32x 2＋t 2＝x 2＋xy ＋y 2－4x －5y ＋t 2＋7＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2.由题意知，当x ＝x 0＝1，y ＝y 0＝2时，⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y －422＋34(y －2)2＋t 2取到最小值.此时t 2＝1，故|b |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫522＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＋t 2＝2 2.] 24.（2017•江苏,16）已知向量 =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣ ），x ∈[0，π]．（Ⅰ）若 ∥ ，求x 的值；（Ⅱ）记f （x ）=，求f （x ）的最大值和最小值以及对应的x 的值．24.（Ⅰ）∵ =（cosx ，sinx ）， =（3，﹣）， ∥ ，∴﹣ cosx+3sinx=0， ∴tanx=，∵x ∈[0，π]， ∴x=，（Ⅱ）f （x ）= =3cosx ﹣ sinx=2 （ cosx ﹣ sinx ）=2 cos （x+ ），∵x ∈[0，π]，∴x+ ∈[ ， ]，∴﹣1≤cos（x+ ）≤ ，当x=0时，f （x ）有最大值，最大值3，当x= 时，f （x ）有最小值，最大值﹣225.(2015·广东，16)在平面直角坐标系xOy 中,已知向量m ＝⎝⎛⎭⎪⎫22，－22,n ＝(sin x ，cosx )，x ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2.(1)若m ⊥n ，求tan x 的值. (2)若m 与n 的夹角为π3，求x 的值.25.解 (1)因为m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫22，－22，n ＝(sin x ，cos x )，m ⊥n .所以m ·n ＝0，即22sin x －22cos x ＝0，所以sin x ＝cos x ，所以tan x ＝1. (2)因为|m |＝|n |＝1,所以m ·n ＝cos π3＝12，即22sin x －22cos x ＝12，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝12，因为0<x <π2，所以－π4<x －π4<π4，所以x －π4＝π6，即x ＝5π12.26.(2014·北京，10)已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2,1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝________.26. 5 [∵|a |＝1，∴可令a ＝(cos θ，sin θ)，∵λa ＋b ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧λcos θ＋2＝0，λsin θ＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝－2λ，sin θ＝－1λ，由sin 2θ＋cos 2θ＝1得λ2＝5，得|λ|＝5.]27.(2014·江西，14)已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的夹角为β，则cos β＝________. 27.223[因为a 2＝(3e 1-2e 2)2＝9-2×3×2×cos α＋4＝9,所以|a |＝3,b 2＝(3e 1-e 2)2＝9-2×3×1×cos α＋1＝8，所以|b |＝22，a ·b ＝(3e 1－2e 2)·(3e 1－e 2)＝9e 21－9e 1·e 2＋2e 22＝9－9×1×1×13＋2＝8，所以cos β＝a ·b |a |·|b |＝83×22＝223.]28.(2014·湖北，11)设向量a ＝(3,3)，b ＝(1，－1).若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝________.28.±3 [(a ＋λb )⊥(a －λb )⇒(a ＋λb )·(a －λb )＝a 2－λ2b 2＝0⇒18－2λ2＝0⇒λ＝±3.]29.(2014·江苏，12)如图，在平行四边形ABCD 中，已知AB ＝8，AD ＝5，CP →＝3PD →，AP →·BP →＝2，则AB →·AD →的值是________.29.22 [因为AP →＝AD →＋DP →＝AD →＋14AB →，BP →＝BC →＋CP →＝AD →－34AB →，所以AP →·BP →＝(AD →＋14AB →)·(AD→－34AB →)＝|AD →|2－316|AB →|2－12AD →·AB →＝2，将AB ＝8，AD ＝5代入解得AB →·AD →＝22.]。

高考数学一轮复习数学平面向量多选题试题含答案

高考数学一轮复习数学平面向量多选题试题含答案一、平面向量多选题1．已知集合()(){}=,M x y y f x =,若对于()11,x y M ∀∈,()22,x y M ∃∈,使得12120x x y y +=成立,则称集合M 是“互垂点集”.给出下列四个集合:(){}21,1M x y y x ==+;(){2,M x y y ==;(){}3,xM x y y e ==;(){}4,sin 1M x y y x ==+.其中是“互垂点集”集合的为( )A ．1MB ．2MC ．3MD ．4M【答案】BD 【分析】根据题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥，结合函数图象即可判断．【详解】由题意知，对于集合M 表示的函数图象上的任意点()11,P x y ，在图象上存在另一个点P '，使得OP OP '⊥．在21y x =+的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以1M 不是“互垂点集”集合；对y =所以在2M 中的任意点()11,P x y ，在2M 中存在另一个P '，使得OP OP '⊥，所以2M 是“互垂点集”集合；在xy e =的图象上，当P 点坐标为(0,1)时，不存在对应的点P '，所以3M 不是“互垂点集”集合；对sin 1y x =+的图象，将两坐标轴绕原点进行任意旋转，均与函数图象有交点，所以所以4M 是“互垂点集”集合，故选：BD ．【点睛】本题主要考查命题的真假的判断，以及对新定义的理解与应用，意在考查学生的数学建模能力和数学抽象能力，属于较难题．2．已知边长为4的正方形ABCD 的对角线的交点为O ，以O 为圆心，6为半径作圆；若点E 在圆O 上运动，则（）A ．72EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= B ．56EA EC EB ED ⋅+⋅= C ．144EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅= D ．28EA EC EB ED ⋅+⋅=【答案】BC【分析】以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ，再利用向量坐标的线性运算以及向量数量积的坐标运算即可求解.【详解】作出图形如图所示，以O 为坐标原点，线段BC ，AB 的垂直平分线分别为x 、y 轴建立平面直角坐标系xOy ；观察可知，()2,2A --，()2,2B -，()2,2C ，()2,2D -，设(),E x y ，则2236x y +=，故()2,2EA x y =----，()2,2EB x y =---，()2,2EC x y =--，故ED =()2,2x y ---，故EA EB EB EC EC ED ED EA ⋅+⋅+⋅+⋅()()24144EA EC EB ED EO =+⋅+==，56EA EC EB ED ⋅+⋅=.故选：BC3．已知向量(2,1),(3,1)a b ==-，则（） A ．()a b a +⊥B ．|2|5a b +=C ．向量a 在向量b 上的投影是22D ．向量a 的单位向量是255⎝⎭【答案】ABD 【分析】多项选择题需要要对选项一一验证: 对于A:利用向量垂直的条件判断；对于B:利用模的计算公式；对于C:利用投影的计算公式；对于D:直接求单位向量即可．【详解】(2,1),(3,1)a b ==-对于A: (1,2),()(1)2210,a b a b a +=-+⋅=-⨯+⨯=∴()a b a +⊥，故A 正确；对于B:222(2,1)2(3,1)(4,3),|2|(4)35a b a b +=+-=-∴+=-+=，故B 正确；对于C: 向量a 在向量b 上的投影是||(3)a b b ⋅==-，故C 错误；对于D: 向量a 的单位向量是⎝⎭，故D 正确．故选：ABD ．【点睛】多项选择题是2020年高考新题型，需要要对选项一一验证．4．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D ，E 分别是,AC AB 上的点，且AE EB =，2AD DC =，BD 与CE 交于点O ，则（）A ．0OC EO +=B ．0AB CE ⋅=C ．3OA OB OC OD +++=D ．ED 在BC 方向上的投影为76【答案】BD 【分析】可证明EO CE =，结合平面向量线性运算法则可判断A ；由AB CE ⊥结合平面向量数量积的定义可判断B ；建立直角坐标系，由平面向量线性运算及模的坐标表示可判断C ；由投影的计算公式可判断D. 【详解】因为ABC 是边长为2的等边三角形，AE EB =，所以E 为AB 的中点，且CE AB ⊥，以E 为原点如图建立直角坐标系，则()0,0E ，()1,0A -，()10B ,，(3C ，由2AD DC =可得222333AD AC ⎛== ⎝⎭，则1233D ⎛- ⎝⎭，取BD 的中点G ，连接GE ，易得//GE AD 且12GE AD DC ==，所以CDO ≌EGO △，EO CO =，则30,2O ⎛ ⎝⎭，对于A ，0OC EO EC +=≠，故A 错误；对于B ，由AB CE ⊥可得0AB CE ⋅=，故B 正确；对于C ，31,2OA ⎛=-- ⎝⎭，31,2OB ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，30,2OC ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭，13,36OD ⎛=- ⎝⎭，所以13,3OA OB OC OD ⎛+++=- ⎝⎭，所以23OA OB OC OD +++=，故C 错误；对于D ，(3BC =-，123,33ED ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，所以ED 在BC 方向上的投影为127326BC ED BC+⋅==，故D 正确.故选：BD. 【点睛】关键点点睛：建立合理的平面直角坐标系是解题关键.5．已知ABC 是边长为2的等边三角形，D 是边AC 上的点，且2AD DC =，E 是AB 的中点，BD 与CE 交于点O ，那么（）A ．0OE OC +=B ．1AB CE ⋅=-C ．3OA OB OC ++=D ．13DE =【答案】AC 【分析】建立平面直角坐标系，结合线段位置关系以及坐标形式下模长的计算公式逐项分析. 【详解】建立平面直角坐标系如下图所示：取BD 中点M ，连接ME ，因为,M E 为,BD BA 中点，所以1//,2ME AD ME AD =，又因为12CD AD =，所以//,ME CD ME CD =，所以易知EOM COD ≅，所以O 为CE 中点， A ．因为O 为CE 中点，所以0OE OC +=成立，故正确； B ．因为E 为AB 中点，所以AB CE ，所以0AB CE ⋅=，故错误；C ．因为()()(30,,1,0,1,0,32O A B C ⎛- ⎝⎭，所以33331,1,0,OA OB OC ⎛⎛⎛⎛++=+-+= ⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以3OA OB OC ++= D ．因为()123,0,03D E ⎛ ⎝⎭，所以123,3DE ⎛=- ⎝⎭，所以13DE =，故错误，故选：AC. 【点睛】关键点点睛：对于规则的平面图形（如正三角形、矩形、菱形等）中的平面向量的数量积和模长问题，采用坐标法计算有时会更加方便.6．如图所示，设Ox ，Oy 是平面内相交成2πθθ⎛⎫≠⎪⎝⎭角的两条数轴，1e ，2e 分别是与x ，y 轴正方向同向的单位向量，则称平面坐标系xOy 为θ反射坐标系中，若12OM xe ye =+，则把有序数对(),x y 叫做向量OM 的反射坐标，记为(),OM x y =.在23πθ=的反射坐标系中，()1,2a =，()2,1b =-.则下列结论中，正确的是（）A ．()1,3a b -=-B ．5a =C ．a b ⊥D ．a 在b 上的投影为3714-【答案】AD 【分析】123a b e e -=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；3a =，故B 错误；32a b ⋅=-，故C 错误；由于a 在b 上的投影为3372147a b b-⋅==-，故D 正确.【详解】()()121212223a b e e e e e e -=+--=-+，则()1,3a b -=-，故A 正确；()2122254cos33a e e π=+=+=B 错误；()()22121211223222322a b e e e e e e e e ⋅=+⋅-=+⋅-=-，故C 错误；由于()22227b e e =-=a 在b 上的投影为33727a b b-⋅==，故D 正确。

2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积

2015届高考数学一轮总复习 5-3平面向量的数量积基础巩固强化一、选择题1．(2013·湖北理，6)已知点A (－1,1)、B (1,2)、C (－2，－1)、D (3,4)，则向量AB →在CD →方向上的投影为( )A.322B.3152C ．－322D ．－3152[答案] A[解析] ∵AB →＝(2,1)，CD →＝(5,5)，∴AB →·CD →＝2×5＋1×5＝15，|CD →|＝52，所求投影为|AB →|cos<AB →，CD →>＝AB →·CD →|CD →|＝1552＝322，故选A.2．(文)若向量a 与b 的夹角为120°，且|a |＝1，|b |＝2，c ＝a ＋b ，则有( ) A ．c ⊥a B ．c ⊥b C ．c ∥b D ．c ∥a[答案] A[解析] c ·a ＝|a |2＋a ·b ＝1＋1×2×cos120°＝0. 故c ⊥a .(理)(2013·山东师大附中模拟)平面向量a 与b 的夹角为60°，a ＝(2,0)，|b |＝1，则|a ＋b |＝( ) A ．9 B.7 C ．3 D ．7[答案] B[解析] |a |＝2，a ·b ＝|a ||b |cos 〈a ，b 〉＝2×1×12＝1，所以|a ＋b |2＝|a |2＋|b |2＋2a ·b ＝4＋1＋2＝7，所以|a ＋b |＝7，选B.3．(文)(2013·辽宁理，9)已知点O (0,0)，A (0，b )，B (a ，a 3)．若△OAB 为直角三角形，则必有( ) A ．b ＝a 3 B ．b ＝a 3＋1aC ．(b －a 3)(b －a 3－1a )＝0D ．|b －a 3|＋|b －a 3－1a|＝0[解析] 依题意，a ≠0.因为△ABC 是直角三角形，则O 不可能为直角顶点，若∠A 为直角，则有b ＝a 3；若∠B 为直角，则有OB →⊥AB →，OB →·AB →＝(a ，a 3)·(a ，a 3－b )＝a 2＋a 3(a 3－b )＝0，所以b ＝a 3＋1a，选C. (理)(2013·北京四中期中)若O 是△ABC 所在平面内的一点，且满足(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0，则△ABC 一定是( )A ．等边三角形B ．等腰直角三角形C ．直角三角形D ．斜三角形[答案] C[解析] 由(BO →＋OC →)·(OC →－OA →)＝0得BC →·AC →＝0，即BC ⊥AC ，所以∠C ＝90°，所以△ABC 为直角三角形，选C.4．(2012·新疆维吾尔自治区检测)已知A 、B 、C 是圆O ：x 2＋y 2＝r 2上三点，且OA →＋OB →＝OC →，则AB →·OC →等于( )A ．0 B.12 C.32 D ．－32[答案] A[解析] ∵A 、B 、C 是⊙O 上三点，∴|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝r (r >0)，∵OA →＋OB →＝OC →，∴AB →·OC →＝(OB →－OA →)·(OB →＋OA →)＝|OB →|2－|OA →|2＝0，故选A. 5．已知△ABC 中，AB →＝a ，AC →＝b ，a ·b <0，S △ABC ＝154，|a |＝3，|b |＝5，则∠BAC 等于( ) A ．30° B ．120° C ．150° D ．30°或150°[答案] C[解析] S △ABC ＝12|a ||b |sin ∠BAC ＝154，∴sin ∠BAC ＝12.又a ·b <0，∴∠BAC 为钝角，∴∠BAC ＝150°，选C.6．(文)(2013·上海徐汇一模)设a ，b ，c 是单位向量，且a ·b ＝0，则(a －c )·(b －c )的最小值为( ) A ．－2 B.2－2 C ．－1D ．1－ 2[解析] (a －c )·(b －c )＝c 2－c ·(a ＋b ) ≥1－|c ||a ＋b |＝1－(a ＋b )2＝1－ 2.(理)已知|a |＝2，|b |＝6，a ·(b －a )＝2，则|a －λb |的最小值为( ) A ．4 B ．2 3 C ．2 D. 3[答案] D[解析] ∵a ·(b －a )＝a ·b －|a |2＝a ·b －4＝2，∴a ·b ＝6，|a －λb |2＝|a |2＋λ2|b |2－2λa ·b ＝36λ2－12λ＋4＝36(λ－16)2＋3≥3，∴|a －λb |≥3，故选D.二、填空题7．(文)(2013·山东潍坊联考)向量a ，b 满足(a －b )·(2a ＋b )＝－4，且|a |＝2，|b |＝4，则a ，b 的夹角等于________．[答案] 120°[解析] 由(a －b )·(2a ＋b )＝－4得， 2|a |2－a ·b －|b |2＝－4，即a ·b ＝－4，所以cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝－42×4＝－12，所以〈a ，b 〉＝120°.(理)已知|a |＝|b |＝2，(a ＋2b )·(a －b )＝－2，则a 与b 的夹角为________． [答案] π3[解析] (a ＋2b )·(a －b )＝－2，即|a |2＋a ·b －2|b |2＝－2，∴22＋a ·b －2×22＝－2，a ·b ＝2，又cos 〈a ，b 〉＝a ·b |a ||b |＝22×2＝12，〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 与b 的夹角为π3.8．(2013·巢湖质检)已知点G 是△ABC 的重心，若∠A ＝120°，AB →·AC →＝－2，则|AG →|的最小值是________．[答案] 23[解析] －2＝AB →·AC →＝|AB →||AC →|cos A ＝|AB →|·|AC →|×(－12)，得|AB →|·|AC →|＝4，由三角形重心性质可得AB →＋AC →＝3AG →.9|AG →|2＝|AB →|2＋|AC →|2＋2AB →·AC →≥2|AB →|·|AC →|＋2AB →·AC →＝2×4＋2×(－2)＝4，所以|AG →|min ＝23.9．已知OA →＝(3，－4)，OB →＝(6，－3)，OC →＝(5－m ，－3－m )． (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则实数m 应满足的条件为________． (2)若△ABC 为Rt △，且∠A 为直角，则m ＝______. [答案] m ∈R 且m ≠12 74[解析] (1)若点A 、B 、C 能构成三角形，则这三点不共线． ∵AB →＝(3,1)，AC →＝(2－m,1－m )，∴3(1－m )≠2－m ，∴m ≠12.即实数m ≠12，满足条件．(2)若△ABC 为直角三角形，且∠A 为直角，则AB →⊥AC →，∴3(2－m )＋(1－m )＝0，解得m ＝74.三、解答题10．(文)三角形的三个内角A 、B 、C 所对边的长分别为a 、b 、c ，设向量m ＝(c －a ，b －a )，n ＝(a ＋b ，c )，若m ∥n .(1)求角B 的大小；(2)若sin A ＋sin C 的取值范围． [解析] (1)由m ∥n 知c －a a ＋b ＝b －ac ，即得b 2＝a 2＋c 2－ac ，据余弦定理知， cos B ＝12，得B ＝π3.(2)sin A ＋sin C ＝sin A ＋sin(A ＋B )＝sin A ＋sin(A ＋π3)＝sin A ＋12sin A ＋32cos A ＝32sin A ＋32cos A＝3sin(A ＋π6)，∵B ＝π3，∴A ＋C ＝2π3，∴A ∈(0，2π3)，∴A ＋π6∈(π6，5π6)，∴sin(A ＋π6)∈(12，1]，∴sin A ＋sin C 的取值范围为(32，3]． (理)(2013·浙江重点中学联谊学校期中)已知a ＝(cos 3θ2，sin 3θ2)，b ＝(cos θ2，－sin θ2)，且θ∈[0，π3]．(1)求a ·b|a ＋b |的最值； (2)是否存在k 的值使|k a ＋b |＝3|a －k b |? [解析] (1)由已知得a ·b ＝cos 3θ2cos θ2－sin 3θ2sin θ2＝cos2θ，∵θ∈[0，π3]，∴|a ＋b |＝a 2＋2a ·b ＋b 2＝2＋2cos2θ＝2cos θ， ∴a ·b |a ＋b |＝cos2θ2cos θ＝cos θ－12cos θ，令cos θ＝t ，t ∈[12，1]，∴cos θ－12cos θ＝t －12t ，(t －12t )′＝1＋12t 2>0，∴y ＝t －12t 为增函数，其最大值为12，最小值为－12，∴a ·b |a ＋b |的最大值为12，最小值为－12.(2)假设存在k 的值满足题设条件，则|k a ＋b |2＝3|a －k b |2. ∵|a |＝|b |＝1，a ·b ＝cos2θ， ∴cos2θ＝1＋k 24k，∵θ∈[0，π3]，∴－12≤cos2θ≤1，∴－12≤1＋k24k≤1，∴2－3≤k ≤2＋3或k ＝－1.能力拓展提升一、选择题11．(文)如图，在△ABC 中，AD ⊥AB ，BC →＝ 3 BD →，|AD →|＝1，则AC →·AD →＝( )A ．2 3 B.32C.33D. 3[答案] D[解析] ∵AC →＝AB →＋BC →＝AB →＋ 3 BD →，∴AC →·AD →＝(AB →＋ 3 BD →)·AD →＝AB →·AD →＋ 3 BD →·AD →，又∵AB ⊥AD ，∴AB →·AD →＝0， ∴AC →·AD →＝ 3 BD →·AD →＝3|BD →|·|AD →|·cos ∠ADB ＝3|BD →|·cos ∠ADB ＝3·|AD →|＝ 3.(理)(2012·大纲全国理，6)△ABC 中，AB 边的高为CD .若CB →＝a ，CA →＝b ，a ·b ＝0，|a |＝1，|b |＝2，则AD →＝( )A.13a －13bB.23a －23b C.35a －35b D.45a －45b [答案] D [解析]∵a ·b ＝0， ∴∠ACB ＝90°，又|a |＝1，|b |＝2， ∴AB ＝5，∴CD ＝255，∴BD ＝55，AD ＝455. 即AD BD ＝∴AD →＝45AB →＝45(CB →－CA →)＝45(a －b )．故选D.本题的关键点是利用直角三角形的性质确定点D 的位置．12．(文)已知P 是边长为2的正△ABC 边BC 上的动点，则AP →·(AB →＋AC →)( )A ．最大值为8B ．最小值为2C ．是定值6D ．与P 的位置有关[答案] C[解析] 以BC 的中点O 为原点，直线BC 为x 轴建立如图坐标系，则B (－1,0)，C (1,0)，A (0，3)，AB →＋AC →＝(－1，－3)＋(1，－3)＝(0，－23)，设P (x,0)，－1≤x ≤1，则AP →＝(x ，－3)， ∴AP →·(AB →＋AC →)＝(x ，－3)·(0，－23)＝6，故选C.(理)已知a 、b 为非零向量，m ＝a ＋t b (t ∈R )，若|a |＝1，|b |＝2，当且仅当t ＝14时，|m |取得最小值，则向量a 、b 的夹角为( )A.π6B.π3C.2π3D.5π6[答案] C[解析] ∵m ＝a ＋t b ，|a |＝1，|b |＝2，令向量a 、b 的夹角为θ，∴|m |＝|a ＋t b |＝|a |2＋t 2|b |2＋2t |a ||b |cos θ ＝4t 2＋4t cos θ＋1＝4(t ＋cos θ2)2＋1－cos 2θ. 又∵当且仅当t ＝14时，|m |最小，即14＋cos θ2＝0，∴cos θ＝－12，∴θ＝2π3.故选C.13．(2013·天津月考)若向量a 与b 不共线，a ·b ≠0，且c ＝a －(a ·aa ·b )b ，则向量a 与c 的夹角为( )A ．0 B.π6 C.π3 D.π2[答案] D[解析] 因为c ＝a －(a ·a a ·b )b ，所以a ·c ＝a ·[a －(a 2a ·b )b ]＝a 2－a 2＝0，所以a ⊥c ，即向量a 与c 的夹角为π2，选D.二、填空题14．(2012·湖南文，15)如下图，在平行四边形ABCD 中，AP ⊥BD ，垂足为P ，且AP ＝3，则AP →·AC →＝________.[答案] 18[解析] 过C 作BD 的平行线，与AP 的延长线交于Q 点，则AQ ＝2AP ＝6，则AP →·AC →＝|AP →|·|AC →|cos 〈AP →，AC →〉＝|AP →||AQ →|＝3×6＝18.15．(文)(2013·长春三校调研)△ABC 中，已知AB ＝3，AC ＝2，且AB →·AC →＝AC →2，则BC ＝________.[答案] 5[解析] ∵AB ＝3，AC ＝2，AB →·AC →＝AC →2，∴cos A ＝23，∴利用余弦定理得，BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC ·cos A ＝32＋22－2×3×2×23＝5，∴BC ＝ 5.(理)(2013·天津新华中学月考)平面上的向量MA →与MB →满足|MA →|2＋|MB →|＝4，且MA →·MB →＝0，若点C 满足MC →＝13MA →＋23MB →，则|MC →|的最小值为________．[答案]74 [解析] 由MC →＝13MA →＋23MB →得|MC →|2＝(13MA →＋23MB →)2＝19|MA →|2＋49MA →·MB →＋49|MB →|2 ＝19|MA →|2＋49|MB →|2 ＝19(4－|MB →|)＋49|MB →|2＝49|MB →|2－19|MB →|＋49 ＝49(|MB →|2－14|MB →|)＋49 ＝49(|MB →|－18)2＋716≥716，所以|MC →|≥716＝74，即|MC →|的最小值为74. 三、解答题16．(文)(2012·东北三校联考)已知向量m ＝(2，－1)，n ＝(sin A 2，cos(B ＋C ))，A 、B 、C 为△ABC的内角，其所对的边分别为a 、b 、c .(1)当m ·n 取得最大值时，求角A 的大小；(2)在(1)的条件下，当a ＝3时，求b 2＋c 2的取值范围．[解析] (1)m ·n ＝2sin A 2－cos(B ＋C )＝－2sin 2A 2＋2sin A 2＋1＝－2(sin A 2－12)2＋32，∵0<A <π，∴0<A 2<π2，∴当sin A 2＝12，即A ＝π3时，m ·n 取得最大值．(2)由a sin A ＝b sin B ＝c sin C ＝3sin π3＝2得，b ＝2sin B ，c ＝2sin C ， ∵C ＝π－A －B ＝2π3－B ，∴b 2＋c 2＝4sin 2B ＋4sin 2C ＝4＋2sin(2B －π6)，∵0<B <2π3，∴－π6<2B －π6<7π6，∴－12<sin(2B －π6)≤1，∴3<b 2＋c 2≤6，∴b 2＋c 2的取值范围为(3,6]．(理)设向量a ＝(4cos α，sin α)，b ＝(sin β，4cos β)，c ＝(cos β，－4sin β)． (1)若a 与b －2c 垂直，求tan(α＋β)的值； (2)求|b ＋c |的最大值；(3)若tan αtan β＝16，求证：a ∥b .[解析] (1)由a 与b －2c 垂直．a ·(b －2c )＝a ·b －2a ·c ＝0，即4sin(α＋β)－8cos(α＋β)＝0，tan(α＋β)＝2. (2)b ＋c ＝(sin β＋cos β，4cos β－4sin β)，|b ＋c |2＝sin 2β＋2sin βcos β＋cos 2β＋16cos 2β－32cos βsin β＋16sin 2β ＝17－30sin βcos β＝17－15sin2β最大值为32， ∴|b ＋c |的最大值为4 2.(3)证明：由tan αtan β＝16得sin αsin β＝16cos αcos β，即4cos α·4cos β－sin αsin β＝0，∴a ∥b .考纲要求1．理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．补充说明1．平行与垂直问题常常转化为两个向量的平行与垂直．2．利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法．3．向量可与函数、三角函数、解析几何、平面几何、解三角形、不等式等知识综合，尤其是向量的数量积更能体现其综合性，向量与三角函数、解三角形、解析几何的综合是高考命题一大特点，值得高度重视．备选习题1．如图所示，点P 是函数y ＝2sin(ωx ＋φ)(x ∈R ，ω>0)的图象的最高点，M 、N 是该图象与x轴的交点，若PM →·PN →＝0，则ω的值为( )A.π8B.π4 C ．4D ．8 [答案] B[解析] ∵PM →·PN →＝0，∴PM ⊥PN ，又P 为函数图象的最高点，M 、N 是该图象与x 轴的交点，∴PM ＝PN ，y P ＝2，∴MN ＝4，∴T ＝2πω＝8，∴ω＝π4. 2．(2013·德州乐陵一中月考)关于平面向量a ，b ，c 有下列三个命题：①若a ·b ＝a ·c ，则b ＝c ；②若a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b ，则k ＝－3；③非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |，则a 与a ＋b 的夹角为60°.其中真命题的序号为________．(写出所有真命题的序号)[答案] ②[解析] ∵a ·b ＝a ·c ，∴a ·(b －c )＝0，∴a ⊥(b －c )，不一定有b ＝c ，则①不正确；当a ＝(1，k )，b ＝(－2,6)，a ∥b 时，6＋2k ＝0，∴k ＝－3，则②正确；非零向量a 和b 满足|a |＝|b |＝|a －b |时，|a |，|b |，|a －b |构成等边三角形，∴a 与a ＋b 的夹角为30°，因此③错误，故真命题的序号为②.3．(2012·东北三校二模)已知M 、N 为平面区域⎩⎪⎨⎪⎧ 3x －y －6≤0，x －y ＋2≥0，x ≥0内的两个动点，向量a ＝(1,3)，则MN →·a 的最大值是________．[答案] 40[解析] 作出不等式组表示的平面区域如图，由于a ＝(1,3)，直线AB ：3x －y －6＝0，显见a 是直线AB 的一个方向向量，由于M 、N 是△ABC 围成区域内的任意两个点，故当M 、N 分别为A 、B点时，MN →·a 取最大值，求得A (0，－6)，B (4,6)，∴MN →＝AB →＝(4,12)，∴MN →·a ＝40.。

2015届高三数学一轮复习备考试题：平面向量

第三次模拟）在Rt△ABC中，CA＝CB＝2，M，N是斜边AB上的两个动点，且MN＝，则 · 的取值范围为▲．
8、（南通市2014届高三第三次调研）在直角三角形中， =90°，，．若点满足，则 ▲．
9、（苏锡常镇四市2014届高三5月调研（二））已知平面内的四点O，A，B，C满足，，则 =▲．
4、（2014江苏百校联考一）知，，其中，函数的最小正周期为 .
(1)求的单调递增区间；
(2)在中，角，，的对边分别为，，．且，，求角、、的大小
5、（2014南通二模）在△ABC中，已知．求：
（1）AB的值；
（2）的值．
6、（徐州市2014届高三上学期期中）设向量为锐角。
10、（徐州市2014届高三第三次模拟）如图，在△ 中，已知，，，
，，则 ▲．
11、（南京、盐城市2014届高三第二次模拟（淮安三模））已知| |＝1，| |＝2，∠AOB＝，＝＋，则与的夹角大小为▲
12、（2014江苏百校联考一）如图，是半径为1的圆的直径，△ABC是边长为1的正三角形，则的最大值为
（1）若，求的值；
（2）若，求的值。
参考答案
一、填空题
1\、222、 3、 4、55、－14
6、247、[ ，2]8、109、－510、 11、60°
12、 13、－3614、
15、答案：
提示一：利用夹角相等，则有．
提示二：利用角平分线定理，根据相似比求得．
二、解答题
1、解：（1）∵ ∴ 即，
则由条件得．……………………………3分
两式相加得，即，故．………………7分
（方法3）设A，B，C的对边依次为a，b，c，

2015年高考数学(新课标Ⅱ版)分项汇编专题05平面向量(含解析)理

专题05 平面向量
一．基础题组
1. 【2012全国，理6】△ABC中，AB边的高为CD．若＝a，＝b，a·b＝0，|a|＝1，|b|＝2，则＝( )
A． B． C． D．
【答案】D
2. 【2015高考新课标2，理13】设向量，不平行，向量与平行，则实数_________．
【答案】
【解析】因为向量与平行，所以，则所以．
【考点定位】向量共线．
二．能力题组
1. 【2014新课标，理3】设向量a, b满足|a+b|=，|a-b|=，则ab = ( )
A. 1
B. 2
C. 3
D. 5
【答案】A
2. 【2010全国2，理8】△ABC中，点D在边AB上，CD平分∠ACB，若＝a，＝b，|a|＝1，|b|＝2，则等于( )
A. a＋b
B. a＋b
C. a＋b
D. a＋b
【答案】：B
3. 【2005全国3，理14】已知向量，且A、B、C三点共线，则k= .
【答案】
【解析】由平面向量共线定理的推论可知：，可得：4=kt-k(1-t)，
5=12t+10(1-t)，解得：，.
三．拔高题组
1. 【2005全国2，理8】已知点，，．设的一平分线与相交于，那么有，其中等于（）
(A) 2 (B) (C) (D)
【答案】C
【解析】
2. 【2013课标全国Ⅱ，理13】已知正方形ABCD的边长为2，E为CD的中点，则＝__________. 【答案】：2。

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全(平面向量)

2015年全国各地高考数学试题及解答分类大全（平面向量）一、选择题：1.（2015安徽理）C ∆AB 是边长为2的等边三角形，已知向量a ，b 满足2a AB =，C 2a b A =+，则下列结论正确的是（）（A ）1b = （B ）a b ⊥ （C ）1a b ⋅= （D ）()4C a b +⊥B2、（2015北京文）设a ，b 是非零向量，“a b a b ⋅=”是“//a b ”的（） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】A 【解析】试题分析：||||cos ,a b a b a b •=•<>，由已知得cos ,1a b <>=，即,0a b <>=，//a b .而当//a b 时，,a b <>还可能是π，此时||||a b a b •=-，故“a b a b ⋅=”是“//a b ”的充分而不必要条件.考点：充分必要条件、向量共线.3．（2015福建文）设(1,2)a =，(1,1)b =，c a kb =+．若b c ⊥，则实数k 的值等于（）A ．32-B ．53-C ．53D ．32【答案】A考点：平面向量数量积．4．（2015福建理）已知1,, ABAC AB AC tt⊥==，若P点是ABC∆所在平面内一点，且4AB ACAPAB AC=+，则PB PC⋅的最大值等于（）A．13 B．15 C．19 D．21【答案】AxyBCAP考点：1、平面向量数量积；2、基本不等式．5.（2015广东文）在平面直角坐标系x yO中，已知四边形CDAB是平行四边形，()1,2AB=-，()D2,1A=，则D CA⋅A=（）A．2B．3C．4D．5【答案】D【解析】试题分析：因为四边形CDAB是平行四边形，所以()()()C D1,22,13,1A=AB+A=-+=-，所以()D C23115A⋅A=⨯+⨯-=，故选D．考点：1、平面向量的加法运算；2、平面向量数量积的坐标运算．6、(2015湖南文)已知点A,B,C 在圆221x y +=上运动，且AB ⊥BC ，若点P 的坐标为（2，0），则PA PB PC ++ 的最大值为（）A 、6B 、7C 、8D 、9【答案】B【解析】试题分析：由题根据所给条件不难得到该圆221x y +=是一AC 位直径的圆，然后根据所给条件结合向量的几何关系不难得到24PA PB PC PO PB PB ++++==，易知当B 为（-1，0）时取得最大值.由题意，AC 为直径，所以24PA PB PC PO PB PB ++++== ,已知B 为（-1，0）时，4PB +取得最大值7，故选B.考点：直线与圆的位置关系、平面向量的运算性质7. (2015湖南理)已知点A ，B ，C 在圆221x y +=上运动，且AB BC ⊥，若点P 的坐标为(2,0)，则PA PB PC ++的最大值为（） A.6 B.7 C.8 D.9 【答案】B.【考点定位】1.圆的性质；2.平面向量的坐标运算及其几何意义.【名师点睛】本题主要考查向量的坐标运算，向量的几何意义以及点到圆上点的距离的最值问题，属于中档题，结合转化思想和数形结合思想求解最值，关键是把向量的模的最值问题转化为点与圆上点的距离的最值问题，即圆221x y +=上的动点到点)0,6(距离的最大值.8、(2015全国新课标Ⅰ卷文)已知点(0,1),(3,2)A B ，向量(4,3)AC =--，则向量BC =( ) （A ） (7,4)-- （B ）(7,4) （C ）(1,4)- （D ）(1,4)9.(2015全国新课标Ⅰ卷理)设D 为ABC 所在平面内一点3BC CD =，则（）（A ）1433AD AB AC =-+ (B)1433AD AB AC =-（C ）4133AD AB AC =+ (D)4133AD AB AC =- 【答案】A【解析】试题分析：由题知11()33AD AC CD AC BC AC AC AB =+=+=+-==1433AB AC -+，故选A.考点：平面向量运算10. (2015全国新课标Ⅱ卷文)已知()1,1=-a ,()1,2=-b ,则(2)+⋅=a b a （）A ．1-B ．0C ．1D ．2【答案】C 【解析】试题分析：由题意可得22=a ,3,⋅=-a b 所以()222431+⋅=+⋅=-=a b a a a b .故选C.考点：向量数量积.11.(2015山东理)已知菱形ABCD 的边长为a ，60ABC ∠=,则BD CD ⋅=（）（A ）232a -（B ）234a - （C ） 234a （D ） 232a【答案】D【考点定位】平面向量的线性运算与数量积.【名师点睛】本题考查了平面向量的基础知识，重点考查学生对平面向量的线性运算和数量积的理解与掌握，属基础题，要注意结合图形的性质，灵活运用向量的运算解决问题.12.(2015陕西文、理)对任意向量,a b ，下列关系式中不恒成立的是（） A ．||||||a b a b •≤ B ．||||||||a b a b -≤-C ．22()||a b a b +=+ D ．22()()a b a b a b +-=-【答案】B考点：1.向量的模；2.数量积.13.(2015四川理)设四边形ABCD 为平行四边形，6AB =，4AD =.若点M ，N 满足3BM MC =，2DN NC =，则AM NM ⋅=（）（A ）20 （B ）15 （C ）9 （D ）6 【答案】C【考点定位】平面向量.【名师点睛】涉及图形的向量运算问题，一般应选两个向量作为基底，选基底的原则是这两个向量有尽量多的已知元素.本题中，由于6AB =，4AD =故可选,AB AD 作为基底.14、(2015四川文)设向量a ＝(2，4)与向量b ＝(x ，6)共线，则实数x ＝( )(A )2 (B )3 (C )4 (D )6 【答案】B【考点定位】本题考查平面向量的坐标表示，向量共线的性质，考查基本的运算能力.【名师点睛】平面向量的共线、垂直以及夹角问题，我们通常有两条解决通道：一是几何法，可以结合正余弦定理来处理.二是代数法，特别是非零向量的平行与垂直，一般都直接根据坐标之间的关系，两个非零向量平行时，对应坐标成比例(坐标中有0时单独讨论)；两个向量垂直时，对应坐标乘积之和等于0，即通常所采用的“数量积”等于0.属于简单题.15．(2015重庆理)若非零向量a ，b 满足|a |=223|b |，且（a -b ）⊥（3a +2b ），则a 与b 的夹角为（）A 、4π B 、2πC 、34πD 、π【答案】A【考点定位】向量的夹角.16. (2015重庆文)已知非零向量,a b 满足||=4||(+)b a a a b ⊥，且2则a b 与的夹角为（）(A)3π (B) 2π (C) 32π (D) 65π 【答案】C考点：向量的数量积运算及向量的夹角.二、填空题：1.（2015安徽文）ABC ∆是边长为2的等边三角形，已知向量b a 、满足a AB 2=→，b a AC+=→2，则下列结论中正确的是 .（写出所有正确结论得序号）①a为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

2015年高考数学试题分类汇编5专题五平面向量

2021 年高考数学试题分类汇编5专题五平面向量1.〔15北京理科〕在中, 点, 满足, . 假设, 那么；.【答案】11 ,26【解析】试题分析: 特殊化, 不妨设, 利用坐标法, 以A为原点, AB为轴, 为轴, 建立直角坐标系, , , 那么, .考点: 平面向量2.〔15北京文科〕设, 是非零向量, “〞是“〞的〔〕A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件【答案】A【解析】试题分析: , 由得, 即, .而当时, 还可能是, 此时, 故“〞是“〞的充分而不必要条件.考点: 充分必要条件、向量共线.3.〔15年广东理科〕在平面直角坐标系中, 向量, , 。

〔1〕假设, 求tan x的值〔2〕假设与的夹角为, 求的值。

【答案】〔1〕；〔2〕.【考点定位】此题考察向量数量积的坐标运算、两角和差公式的逆用、知角求值、值知求角等问题, 属于中档题.4.〔15年广东文科〕在平面直角坐标系中, 四边形是平行四边形, , , 那么〔〕A. B. C. D.【答案】D【解析】试题分析: 因为四边形是平行四边形, 所以 , 所以 , 应选D.考点: 1.平面向量的加法运算；2.平面向量数量积的坐标运算.5.〔15年安徽文科〕是边长为2的等边三角形, 向量满足 , , 那么以下结论中正确的选项是。

〔写出所有正确结论得序号〕①a 为单位向量；②b 为单位向量；③b a ⊥；④→BC b // ；⑤→⊥+BC b a )4( 。

【答案】①④⑤【解析】试题分析: ∵等边三角形ABC 的边长为2, ∴ ＝2 ＝2 ,故①正确；∵ ∴ , 故②错误, ④正确；由于夹角为 , 故③错误；又∵∴ , 故⑤正确因此, 正确的编号是①④⑤.考点: 1.平面向量的根本概念；2.平面向量的性质.6.〔15年福建理科〕 , 假设点是所在平面内一点, 且 , 那么的最大值等于〔〕A. 13B. 15C. 19D. 21【答案】 Ax yBCA P考点: 1.平面向量数量积；2.根本不等式.7.〔15年福建文科〕设 , , ．假设 , 那么实数的值等于〔〕A. B. C. D.【答案】A考点: 平面向量数量积.8.〔15年新课标1理科〕M 〔x0, y0〕是双曲线C: 上的一点, F1.F2是C 上的两个焦点, 假设＜0, 那么y0的取值范围是〔A 〕〔- , 〕〔B 〕〔- , 〕〔C 〕〔 , 〕〔D 〕〔 , 〕【答案】A9.〔15年新课标1理科〕设D 为 ABC 所在平面内一点 =3 , 那么〔A 〕=+ (B)=〔C 〕=+ (D)=【答案】A【解析】由题知 = , 应选A.10.(15年新课标1文科)11.〔15年新课标2理科〕设向量 , 不平行, 向量与平行, 那么实数 _________.【答案】12【解析】因为向量与平行, 所以 , 那么所以 .12.〔15年新课标2文科〕()1,1=-a ,()1,2=-b ,那么(2)+⋅=a b a 〔〕A. B. C. D.【答案】C【解析】试题分析: 由题意可得 , 所以 .应选C.考点: 向量数量积.13.〔15年陕西理科〕对任意向量 , 以下关系式中不恒成立的是〔〕A. B.C. D.【答案】B考点: 1.向量的模；2.向量的数量积.14.〔15年陕西文科〕对任意向量 , 以下关系式中不恒成立的是〔〕A. B. C. D.【答案】B考点: 1.向量的模；2.数量积.15.〔15年天津理科〕在等腰梯形ABCD 中,//,2,1,60AB DC AB BC ABC ==∠= ,动点E 和F 分别在线段BC 和DC 上,且,1,,9BE BC DF DC λλ==那么AE AF ⋅的最小值为 . 【答案】2918【解析】试题分析: 因为 , ,AE AB BE AB BC λ=+=+，19191818AF AB BC CF AB BC AB AB BC λλλλ-+=++=++=+， ()221919191181818AE AF AB BC AB BC AB BC AB BC λλλλλλλλλ+++⎛⎫⎛⎫⋅=+⋅+=+++⋅ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭19199421cos1201818λλλλλ++=⨯++⨯⨯⨯︒2117172992181818λλ=++≥+= 当且仅当2192λλ=即23λ=时AE AF ⋅的最小值为2918. BA考点: 1.向量的几何运算；2.向量的数量积；3.根本不等式.16.〔15年天津文科〕在等腰梯形ABCD 中, , 点E 和点F 分别在线段BC 和CD 上,且那么的值为 .【答案】2918【解析】试题分析: 在等腰梯形ABCD 中,由 , 得 , , ,所以22121111129131231218331818AB BC AD AB AB AD BC AD AB BC AB ⎛⎫⎛⎫=+⋅+=⋅+⋅++⋅=++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭考点: 平面向量的数量积.17.〔15年山东理科〕菱形ABCD 的边长为 , , 那么(A)232a - (B) 234a - (C) 234a (D) 232a 解析: 由菱形ABCD 的边长为 , 可知 ,, 答案选(D)18.〔15年江苏〕向量a= , b= , 假设ma+nb= ( ), 的值为______.【答案】3-【解析】试题分析: 由题意得:考点: 向量相等19.〔15年江苏〕设向量 , 那么的值为【答案】【解析】试题分析:2(1)21(21)cos sin cos cos sin cos 6666626k k k k k ππππππππ++++=++=++因此111033124k k k a a +=⋅==∑。