1.4三角函数的图像与性质测试题

1.4 三角函数的图像与性质

A 卷 基础训练

一、选择题

1、以下对正弦函数y ＝sin x 的图象描述不正确的是( )

A ．在x ∈[2k π，2k π＋2π](k ∈Z )上的图象形状相同，只是位置不同

B ．介于直线y ＝1与直线y ＝－1之间

C ．关于x 轴对称

D ．与y 轴仅有一个交点

解析：选C.由正弦函数y ＝sin x 的图象可知，它不关于x 轴对称．

2、函数y ＝3cos(25x －π6

)的最小正周期是( ) A.2π5 B.5π2

C ．2π

D ．5π

解析：选D.∵3cos[25(x ＋5π)－π6]＝3cos(25x －π6＋2π)＝3cos(25x －π6

)， ∴y ＝3cos(25x －π6

)的最小正周期为5π. 3、下列命题中正确的是( )

A ．y ＝－sin x 为奇函数

B ．y ＝|sin x |既不是奇函数也不是偶函数

C ． y ＝3sin x ＋1为偶函数

D ．y ＝sin x －1为奇函数

解析：选A.y ＝|sin x |是偶函数，y ＝3sin x ＋1与y ＝sin x －1都是非奇非偶函数．

4．若函数y ＝sin(x ＋φ)(0≤φ≤π)是R 上的偶函数，则φ等于( )

A ．0 B.π4

C.π2

D ．π 解析：选C.由于y ＝sin(x ＋π2)＝cos x ，而y ＝cos x 是R 上的偶函数，所以φ＝π2

. 5、函数y ＝－sin x ，x ∈⎣⎡⎦

⎤－π2，3π2的简图是( ) 解析：选D.用特殊点来验证．x ＝0时，y ＝－sin 0＝0，排除选项A 、C ；又x ＝－π2

时，y ＝－sin ⎝⎛⎭

⎫－π2＝1，排除选项B. 6、函数y ＝1＋sin x ，x ∈[0,2π]的图象与直线y ＝32

的交点个数为( ) A ．1 B ．2

C ．3

D ．0

解析：选B.作出两个函数的图象如下图所示，可知交点的个数为2.

7、若函数y ＝cos 2x 与函数y ＝sin(x ＋φ)在区间[0，π2

]上的单调性相同，则φ的一个值是( ) A.π6 B.π4

C.π3

D.π2

解析：选D.由函数y ＝cos 2x 在区间[0，π2

]上单调递减，将φ代入函数y ＝sin(x ＋φ)验证可得φ＝π2

. 8．函数y ＝2sin(π6

－2x )(x ∈[0，π])为增函数的区间是( ) A ．[0，π3] B ．[π12，7π12

] C ．[π3，5π6] D ．[5π6

，π] 解析：选C.∵函数y ＝2sin(π6－2x )＝－2sin(2x －π6

)， ∴函数y ＝2sin(π6－2x )的增区间为y ＝2sin(2x －π6)的减区间，由π2＋2k π≤2x －π6≤3π2

＋2k π，k ∈Z 解得π3＋k π≤x ≤5π6＋k π，k ∈Z .当k ＝0时，得x ∈[π3，5π6]． 二、填空题

1、已知sin x ＝m －1且x ∈R ，则m 的取值范围是________．

解析：由y ＝sin x ，x ∈R 的图象知，－1≤sin x ≤1，即－1≤m －1≤1，所以0≤m ≤2. 答案：[0,2]

2、用“五点法”画y ＝1－cos x ，x ∈[0,2π]的图象时，五个关键点的坐标是________．

答案：(0,0)，⎝⎛⎭⎫π2，1，(π，2)，⎝⎛⎭

⎫3π2，1，(2π，0) 3、函数f (x )＝sin x －1的定义域为________．

解析：要使f (x )＝

sin x －1有意义，则sin x －1≥0，即sin x ≥1，

而sin x ≤1，∴sin x ＝1，即x ＝2k π＋π2

，k ∈Z . ∴函数f (x )＝sin x －1的定义域为{x |x ＝2k π＋π2

，k ∈Z }． 答案：{x |x ＝2k π＋π2

，k ∈Z } 4、已知函数f (x )＝2sin(x ＋π3)，x ∈[0，π3

]，则f (x )的值域是________． 解析：x ∈[0，π3]，x ＋π3∈[π3，23

π]． sin(x ＋π3)∈[32，1]，则2sin(x ＋π3

)∈[3，2]． 答案：[3，2] 三、解答题 1．求函数y ＝－2sin 23x ，x ∈(－π4

，π)的单调区间． 解：由x ∈(－π4，π)知，23x ∈(－π6，2π3

)． 当23x ∈(－π6，π2]，即x ∈(－π4，34

π]时， 函数y ＝－2sin 23

x 为减函数． 当23x ∈[π2，23π)，即x ∈[3π4

，π)时，

函数y ＝－2sin 23

x 为增函数． ∴递减区间为(－π4，34π]，递增区间为[3π4

，π)． 2．若函数y ＝a －b sin x (b >0)的最大值为32，最小值为－12

，求函数y ＝－4a sin bx 的最值和最小正周期．

解：∵y ＝a －b sin x (b >0)，

∴函数的最大值为a ＋b ＝32

，① 函数的最小值为a －b ＝－12

，② 由①②可解得a ＝12

，b ＝1. ∴函数y ＝－4a sin bx ＝－2sin x .

其最大值为2，最小值为－2，最小正周期T ＝2π.

B 卷 能力提高

1．下列函数中，周期为π2

的是( ) A ．y ＝sin x 2

B ．y ＝sin 2x

C ．y ＝cos x 4

D ．y ＝cos 4x 解析：选D.A 中函数的周期为T ＝4π，B 中函数的周期为T ＝π，C 中函数的周期为T ＝8π，故选D.

1、 函数y ＝3sin(ax ＋π6

)的最小正周期是π，则a ＝________. 解析：∵y ＝3sin(ax ＋π6

)的最小正周期是π， ∴必有3sin[a (x ＋π)＋π6]＝3sin[(ax ＋π6

)＋a π] ＝3sin(ax ＋π6

)， ∴|a π|＝2π，

∴a ＝±2.

答案：±2

2、 函数f (x )＝sin(32

π＋x )的奇偶性是________ 解析：∵f (x )＝sin(32

π＋x )＝－cos x ， 又g (x )＝－cos x 是偶函数，

∴f (x )＝sin(32

π＋x )是偶函数． 答案：偶函数

3、将cos 150°，sin 470°，cos 760°按从小到大排列为________．

解析：cos 150°<0，sin 470°＝sin 110°＝cos 20°>0，cos 760°＝cos 40°>0且cos 20°>cos 40°，所以cos 150°

答案：cos 150°

4．函数y ＝cos x 在[－π，a ]上为增函数，则a 的取值范围是________．