第七单元概率与统计( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(解析版)

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2021年高考数学一轮复习第七章数列第43课数列的通项公式(2)文(含解析)

2021年高考数学一轮复习第七章数列第43课数列的通项公式（2）文（含解析）四、递推式为“”型的数列，构造等比数列求通项适用于递推式为“”型，可以在它的两边相加数，构造等比数数列，然后利用等比数列的通项公式求解例4.已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．【变式】已知数列满足，求【解析】原等式可化为，∴，∴数列是以2为首项、以3为公比的等比数列，∴，∴．五．递推关系形如的数列，取倒数法方法：取倒数变形成【例5】已知数列满足，，求【解析】∵，∴，即∴数列是等差数列，，它的首项，公差∴，即．【变式】已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴，即∴数列是等比数列，它的首项，公比为∴，∴．六、递推关系形如，两边同除以方法：①将原递推公式两边同除以，②得，③，得，④再利用“递推关系形如”方法来求.【例6】已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴，∴．∴．【变式】已知数列满足，求.【解析】在原不等式两边同除以，得，不妨引入辅助数列且，则，∴，∴，∴．第43课：数列的通项公式（2）的课后作业1．数列中，，，则 ( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：a 10＝(a 10－a 9)＋(a 9－a 8)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1＝lg 109＋lg 98＋…＋lg 21＋1＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫109×98×…×21＋1＝2.故选B. 答案：B2. 已知数列的前项和为，且，则 ( )A ．－16B ．16C ．31D ．32解析：由已知可得时，，所以，所以是等比数列，公比为2，所以 .故选B. 答案：B3. 在数列中，，，则为( )A ．34B ．36C ．38D ．40解析：因为na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋2，所以a n ＋1n ＋1－a n n ＝2n n ＋1＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以a 1010＝a 1010－a 99＋a 99－a 88＋…＋a 22－a 11＋a 1 ＝2⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＋⎝ ⎛⎭⎪⎫18－19＋…＋⎝⎛⎭⎪⎫1－12＋2＝3810，所以a 10＝38.故选C. 答案：C4. 已知数列满足，，求【解析】，∴，即，．∴是以为首项，为公比的等比数列，∴，即．5. 已知数列满足，，求.【解析】∵，∴，∴∴数列是等差数列，它的首项，公差为∴，∴．6. 已知数列满足，，求【解析】在两边除以，得，令，则，∴，∴数列是等比数列，其中首项，公比∴，∴．∴．7. 已知数列满足，，（1）求证：数列是等比数列；（2）求数列的通项公式【解析】，令则，∴，解得．∴，∴，∴．-29002 714A 煊35699 8B73 譳38825 97A9 鞩I34360 8638 蘸26769 6891 梑O29448 7308 猈39718 9B26 鬦38740 9754 靔34191 858F 薏33744 83D0 菐q29810 7472 瑲。

2024届高考数学一轮总复习专题七概率与统计的热点问题课件

故 y 关于 μ 的经验回归方程^y＝5298 x－73.
题型三均值与方差在决策中的应用 [例 3]某工厂的某种产品成箱包装，每箱 200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产品做检验，如检验出不合格品，则更换为合格品.检验时，先从这箱产品中任取 20 件做检验，再根据检验结果决定是否对余下的所有新产品做检验.设每件产品为不合格品的概率都为 p(0<p<1)，且各件产品为不合格品相互独立. (1)记 20 件产品中恰有 2 件不合格品的概率为 f(p)，求 f(p)的最大值点 p0；
【互动探究】 1.(2022 年湛江市模拟)某高三学生小明准备利用暑假的 7 月和
8 月勤工俭学，现有“送外卖员”和“销售员”两份工作可供其选择.已知“销售员”工作每日底薪为 50 元，每日销售的前 5 件每件奖励 20 元，超过 5 件的部分每件奖励 30 元.小明通过调查，统计了 100 名销售员 1 天的销售记录，其柱状图如图 7-2.“送外卖员” 没有底薪，收入与送的单数相关，在一日内：1 至 20 单(含 20 单) 每送一单 3 元，超过 20 单且不超过 40 单的部分每送一单 4 元，
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y 高度 cm
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作出这组数据的散点图发现：y(cm)与 x(天)之间近似满足关系式 y＝b x＋a，其中 a，b 均为大于 0 的常数.
(1)在这组数据的散点图中，甲同学随机圈取了其中的 3 个点，记这 3 个点中幼苗的高度大于－y 的点的个数为 ξ，其中－y 为表格中所给的幼苗高度的平均数，求 ξ 的分布列和数学期望；
这箱余下的所有产品做检验？

专题07 概率与统计-2021年高考数学(理)试题分项版解析(解析版)

1.【2017课标1，理】如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是A．14B．π8C．12D．π4【答案】B【解析】【考点】几何概型【名师点睛】对于几何概型的计算，首先确定事件类型为几何概型并确定其几何区域（长度、面积、体积或时间），其次计算基本事件区域的几何度量和事件A区域的几何度量，最后计算()P A.学科@网2.【2017课标3，理3】某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加C ．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D ．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A 【解析】【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律.A ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ<2D()ξB ．1E()ξ<2E()ξ，1D()ξ>2D()ξC ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ<2D()ξD ．1E()ξ>2E()ξ，1D()ξ>2D()ξ【答案】A 【解析】试题分析：112212(),(),()()E p E p E E ξξξξ==∴<111222121212()(1),()(1),()()()(1)0D p p D p p D D p p p p ξξξξ=-=-∴-=---<，选A ．【考点】两点分布【名师点睛】求离散型随机变量的分布列，首先要根据具体情况确定X 的取值情况，然后利用排列，组合与概率知识求出X 取各个值时的概率．对于服从某些特殊分布的随机变量，其分布列可以直接应用公式给出，其中超几何分布描述的是不放回抽样问题，随机变量为抽到的某类个体的个数．由已知本题随机变量i ξ服从两点分布，由两点分布均值与方差公式可得A 正确．4.【2017山东，理5】为了研究某班学生的脚长x （单位：厘米）和身高y （单位：厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y 与x 之间有线性相关关系，设其回归直线方程为ˆˆˆybx a =+．已知101225i i x ==∑，1011600i i y ==∑，ˆ4b =．该班某学生的脚长为24，据此估计其身高为（A ）160 （B ）163 （C ）166 （D ）170 【答案】C【解析】试题分析：由已知22.5,160,160422.570,42470166x y a y ==∴=-⨯==⨯+= ,选C. 【考点】线性相关与线性回归方程的求法与应用．【名师点睛】（1）判断两个变量是否线性相关及相关程度通常有两种方法：（1）利用散点图直观判断；（2）将相关数据代入相关系数r 公式求出r ，然后根据r 的大小进行判断．求线性回归方程时在严格按照公式求解时，一定要注意计算的准确性．5.【2017山东，理8】从分别标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是（A ）518 （B ）49 （C ）59（D ）79 【答案】C【考点】古典概型【名师点睛】概率问题的考查，侧重于对古典概型和对立事件的概率考查，属于简单题.江苏对古典概型概率考查，注重事件本身的理解，淡化计数方法.因此先明确所求事件本身的含义，然后一般利用枚举法、树形图解决计数问题，而当正面问题比较复杂时，往往采取计数其对立事件. 学科@网6.【2017课标II ，理13】一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X 表示抽到的二等品件数，则D X = 。

高考数学专题《概率与统计》解读含答案解析

重难点04 概率与统计新高考概率与统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

试题考查特点是以实际应用问题为载体，小题部分主要是考查排列组合与古典概型，解答题部分主要考查独立性检验、超几何分布、离散型分布以及正态分布对应的数学期望以及方差。

概率的应用立意高，情境新，赋予时代气息，贴近学生的实际生活。

取代了传统意义上的应用题，成为高考中的亮点。

解答题中概率与统计的交汇是近几年考查的热点趋势，应该引起关注。

求解概率问题首先确定是何值概型再用相应公式进行计算，特别对于解互斥事件（独立事件）的概率时，要注意两点：（1）仔细审题，明确题中的几个事件是否为互斥事件（独立事件），要结合题意分析清楚这些事件互斥（独立）的原因；（2）要注意所求的事件是包含这些互斥事件（独立事件）中的哪几个事件的和（积），如果不符合以上两点，就不能用互斥事件的和的概率.离散型随机变量的均值和方差是概率知识的进一步延伸，是当前高考的热点内容.解决均值和方差问题，都离不开随机变量的分布列，另外在求解分布列时还要注意分布列性质的应用.捆绑法:题目中规定相邻的几个元素捆绑成一个组，当作一个大元素参与排列。

相离问题插空排:元素相离（即不相邻）问题，可先把无位置要求的几个元素全排列，再把规定的相离的几个元素插入上述几个元素的空位和两端。

定序问题缩倍法:在排列问题中限制某几个元素必须保持一定的顺序，可用缩小倍数的方法。

标号排位问题分步法:把元素排到指定位置上，可先把某个元素按规定排入，第二步再排另一个元素，如此继续下去，依次即可完成。

有序分配问题逐分法:有序分配问题指把元素分成若干组，可用逐步下量分组法。

对于二项式定理的应用，只要会求对应的常数项以及对应的n项即可，但是应注意是二项式系数还是系数。

新高考统计主要考查统计分析、变量的相关关系，独立性检验、用样本估计总体及其特征的思想，以排列组合为工具，考查对五个概率事件的判断识别及其概率的计算。

2021年高考数学一轮复习概率和统计试题理

2021年高考数学一轮复习概率和统计试题理xx xx xx xx2221【xx新课标I版（理）5】4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率为（）A． B． C． D．【答案】D2【xx新课标I版（理）3】为了解某地区的中小学生的视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大．在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是( )．A．简单随机抽样 B．按性别分层抽样 C．按学段分层抽样 D．系统抽样【答案】：C3【xx新课标I版（理）15】(某一部件由三个电子元件按下图方式连接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，则部件正常工作．设三个电子元件的使用寿命(单位：小时)均服从正态分布N(1 000,502)，且各个元件能否正常工作相互独立，那么该部件的使用寿命超过1 000小时的概率为__________．【答案】4【xx新课标I版（理）18】从某企业生产的某种产品中抽取500件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量结果得如下图频率分布直方图：（I）求这500件产品质量指标值的样本平均值和样本方差（同一组的数据用该组区间的中点值作代表）；（II ）由直方图可以认为，这种产品的质量指标服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差.（i ）利用该正态分布，求；（ii ）某用户从该企业购买了100件这种产品，记表示这100件产品中质量指标值位于区间的产品件数.利用（i ）的结果，求.附：若则，。

【答案】（I ）200,150 （II ）0.6826 （ii ）68.26 （I ）抽取产品的质量指标值的样本平均数和样本方差分别为1700.021800.091900.222000.33x =⨯+⨯+⨯+⨯=2002222(30)0.02(20)0.09(10)0.22s =-⨯+-⨯+-⨯22200.33100.24200.08300.02150.+⨯+⨯+⨯+⨯= ……6分（II ）（i ）由（I ）知，，从而(187.8212.2=(20012.220012.2)0.6826.P Z P Z <<-<<+=）……9分（ii ）由（i ）知，一件产品的质量指标值位于区间（187.8,212.2）的概率为0.682 6，依题意知X-B(100，0.682 6)，所以 ……12分5【xx 新课标I 版（理）19】(本小题满分12分)一批产品需要进行质量检验，检验方案是：先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为n .如果n ＝3，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果n ＝4，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验．假设这批产品的优质品率为50%，即取出的每件产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立．(1)求这批产品通过检验的概率；(2)已知每件产品的检验费用为100元，且抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为X(单位：元)，求X的分布列及数学期望．【答案】（1）设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件。

2021届新高考数学一轮课件：专题七+概率与统计

例 3：(2017 年新课标Ⅱ)海水养殖场进行某水产品的新、旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了 100 个网箱，测量各箱水产品的产量(单位：kg), 其频率分布直方图如图 7-2：
图 7-2 (1)设两种养殖方法的箱产量相互独立，记 A 表示事件“旧养殖法的箱产量低于 50 kg，新养殖法的箱产量不低于 50 kg”，估计 A 的概率；
(2)根据箱产量的频率分布直方图得列联表如下：
养殖法旧养殖法新养殖法
总计
箱产量<50 kg 62 34 96
箱产量≥50 kg 38 66 104
总计 100 100 200
由于 15.705>6.635，故有 99%的把握认为箱产量与养殖方法有关.
(3)∵新养殖法的箱产量频率分布直方图中，箱产量低于
题型 2 离散型随机变量的期望与方差随机变量的分布列与数学期望紧密相连，只有知道随机变量的分布列，才能够计算出随机变量的数学期望，它们之间是层层递进的关系.因此，这类试题经常是以两个小题的形式出现，第一问是为第二问作铺垫的.
例 2: (2017 年天津)从甲地到乙地要经过 3 个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别
(2)散点图与线性回归方程的有关知识，是高考考试的重要知识点，因此是高考命题的一种重要题型，要注意熟练掌握.统计问题最容易出错的两个方面：公式记错、计算出错！
【跟踪训练】 1.(2016 年新课标Ⅰ)某公司计划购买 2 台机器，该种机器使用三年后即被淘汰.机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个 200 元.在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个 500 元.现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了 100 台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图 7-1：

2021年高考数学一轮复习概率与统计备考试题理

2021年高考数学一轮复习概率与统计备考试题理一、选择题1、（xx广东高考）已知某地区中小学学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了解该地区中下学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为A. 100，10B. 200,10C. 100，20D. 200，202、（xx广东高考）已知离散型随机变量的分布列为则的数学期望 ( )A . B．C．D．3.（xx广东高考）从个位数与十位数之和为奇数的两位数中任取一个，其个位数为0的概率是（）A. B. C. D.4、（2011广东高考）甲、乙两队进行排球决赛，现在的情形是甲队只要再赢一局就获冠军，乙队需要再赢两局才能得冠军．若两队胜每局的概率相同，则甲队获得冠军的概率为A． B．C． D．5、（广州海珠区xx高三第一次质检）由不等式确定的平面区域记为，不等式确定的平面区域记为，在中随机取一点，则该点恰好在内的概率为A．B． C． D．6、（珠海xx届高三9月摸底）在区间上随机取两个数其中满足的概率是（）A． B． C． D．7、（xx 广州一模）某中学从某次考试成绩中抽取若干名学生的分数，并绘制成如图1的频率分布直方图．样本数据分组为，，，，．若用分层抽样的方法从样本中抽取分数在范围内的数据16个，则其中分数在范围内的样本数据有A ．5个B ．6个C ．8个D ．10个8、（xx 揭阳二模）某研究机构对高三学生的记忆力x 和判断力根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y 关于x 的线性回归方程中的的值为，则记忆力为14的同学的判断力约为（附：线性回归方程中，，其中，为样本平均值)A ．7B ．C ．8D ．二、解答题9、（xx 广东高考）随机观测生产某种零件的某工厂25名工人的日加工零件数（单位：件），获得数据如下：30,42,41,36,44,40,37,37,25,45,29,43,31,36,49,34,33,43,38,42,32,34,46,39,36（1）确定样本频率分布表中和的值；（2）根据上述频率分布表，画出样本频率分布直方图；（3）根据样本频率分布直方图，求在该厂任取4人，至少有1人的日加工零件数落在区间（30,35］的概率.10、（xx 广东高考）某车间共有名工人,随机抽取名,他们某日加工零件个数的茎叶图如图所示,其中茎为十位数,叶为个位数.图1分数 50 60 70 80 90 100(Ⅰ) 根据茎叶图计算样本均值；(Ⅱ) 日加工零件个数大于样本均值的工人为优秀工人，根据茎叶图推断该车间名工人中有几名优秀工人；(Ⅲ) 从该车间名工人中,任取人,求恰有名优秀工人的概率.11、（xx 广东高考）某班50位学生期中考试数学成绩的频率分布直方图如图4所示，其中成绩分组区间是：、、、、、.（Ⅰ）求图中的值；（Ⅱ）从成绩不低于80分的学生中随机选取2人，该2人中成绩在90分以上（含90分）的人数记为，求的数学期望.12、（2011广东高考）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产品中分别抽取14件和5件，编号 1 2 3 4 5 169 178 166 175 1807580777081（1）已知甲厂生产的产品共有98件，求乙厂生产的产品数量；（2）当产品中的微量元素满足且时，该产品为优等品．用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；（3）从乙厂抽出的上述5件产品中，随机抽取2件，求抽取的2件产品中优等品数的分布列及其均值（即数学期望）．13、（xx 届珠海高三9月摸底）某校兴趣小组进行了一项“娱乐与年龄关系”的调查，对 15～65岁的人群随机抽取1000人的样本，进行了一次“是否是电影明星追星族”调查，得到如下各年龄段样本人数频率分布直方图和“追星族”统计表：各年龄段样本人数频率分布直方图 “追星族”统计表组数分组 “追星族”人数占本组频率第17题图频率/组距（1）求的值．（2）设从45岁到65岁的人群中，随机抽取2人，用样本数据估计总体，表示其中“追星族”的人数，求分布列、期望和方差．14、（xx 届广州六中上第一次质检）为迎接6月6日的“全国爱眼日”，某高中学生会从全体学生中随机抽取16名学生，经校医用对数视力表检查得到每个学生的视力状况的茎叶图(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)，如图，若视力测试结果不低于5.0，则称为“好视力”． (Ⅰ)写出这组数据的众数和中位数；(Ⅱ)从这16人中随机选取3人，求至少有2人是“好视力”的概率；（Ⅲ）以这16人的样本数据来估计整个学校的总体数据，若从该校(人数很多)任选3人，记X 表示抽到“好视力”学生的人数，求X 的分布列及数学期望．15、（xx 广州一模）甲，乙，丙三人参加某次招聘会，假设甲能被聘用的概率是，甲，丙两人同时不能被聘用的概率是，乙，丙两人同时能被聘用的概率是，且三人各自能否被聘用相互独立．（1）求乙，丙两人各自能被聘用的概率；（2）设表示甲，乙，丙三人中能被聘用的人数与不能被聘用的人数之差的绝对值，求的分布列与均值（数学期望）．16、袋中有20个大小相同的球，其中记上0号的有10个，记上号的有个（=1,2,3,4）.现从袋中任取一球.表示所取球的标号.（Ⅰ）求的分布列，期望和方差；（Ⅱ）若, ,,试求a,b 的值.17、为防止风沙危害，某地决定建设防护绿化带，种植杨树、沙柳等植物。

第七章概率【过关测试】-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过(北师大版2019必修第一册)

第七章概率【过关测试】-2020-2021学年高一数学单元复习一遍过（北师大版2019必修第一册）第I 卷（选择题）一、单选题1．（2020·陕西蓝田·高一期末）下列叙述随机事件的频率与概率的关系中，说法正确的是( ) A ．频率就是概率B ．频率是随机的，与试验次数无关C ．概率是稳定的，与试验次数无关D ．概率是随机的，与试验次数有关2．（2020·江苏省前黄高级中学高二期中）从分别标有1,2,…,9的9张卡片中不放回地随机抽取2次，每次抽取1张．则抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是A ．518B ．49C ．59D ． 793．（2020·全国高一课时练习）已知{0,1,2}a ∈,{1,1,35}b ∈-，,则函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率是（）A ．512B ．13C ．14D ．164．（2020·全国高一课时练习）若1()9P AB =,2()3P A =,1()3P B =,则事件A 与B 的关系是( ) A ．事件A 与B 互斥B ．事件A 与B 对立C ．事件A 与B 相互独立D ．事件A 与B 相互斥又独立5．（2020·全国高一课时练习）某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，命中6环、7环、8环、9环、10环的概率依次为0.10，0.20，0.30，0.15，0.05，则该人射击命中的概率为（）A ．0.50B ．0.60C ．0.70D ．0.806．（2020·朝阳·吉林省实验高二期末（文））已知随机事件,,A B C 中，A 与B 互斥，B 与C 对立，且()()0.3,0.6P A P C ==，则()P A B +=（）7．（2019·北京市第二中学朝阳学校高二期末）甲、乙两人独立地解决同一个问题，甲能解决这个问题的概率是1P ，乙能解决这个问题的概率是2P ，那么至少有一人能解决这个问题的概率是( ) A ．12P P + B ．12PP C ．121PP - D ．()()12111P P ---8．（2019·山西高二月考（文））某大学外语系有6名志愿者，其中志愿者1A ，2A ，C 只通晓英语，志愿者1B ，2B ，3B 只通晓俄语．现从这6名志愿者中选出2名，组成一个能通晓两种语言的小组，则C 被选中的概率为（）A ．15B ．14C ．13D ．259．（2020·河北高二期末）将红、黑、蓝、白5张纸牌（其中白纸牌有2张）随机分发给甲、乙、丙、丁4个人，每人至少分得1张，则下列两个事件为互斥事件的是（）A ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”B ．事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”C ．事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得2张白牌”D ．事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”10．（2020·河南淇滨·鹤壁高中高一月考）如图，正三角形ABC 内的图形来自中国古代的太极图.正三角形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正三角形的中心成中心对称.在正三角形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）A ．9B ．18C ．9D ．18第II 卷（非选择题）二、填空题11．（2018·江苏秦淮·高三期中）给3个人写3封内容不同的信，写好后将它们随意装入写好地址与收信人的3个信封，每个信封装一封信，则全部装错．的概率为__________________.12．（2020·泊头市第一中学高二开学考试）甲、乙两队进行篮球决赛，采取三场二胜制（当一队赢得二场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以2:1获胜的概率是_____．13．（2020·江苏秦淮·高三一模）某班要选一名学生做代表，每个学生当选是等可能的，若“选出代表是男生”的概率是“选出代表是女生”的概率的13，则这个班的女生人数占全班人数的百分比是_．14．（2019·黑龙江龙凤·大庆四中高二月考（文））如图所示，半径为3的圆中有一封闭曲线围成的阴影区域，在圆中随机撒一粒豆子，它落在阴影区域内的概率是13，则阴影部分的面积是__________.15．（2020·福清西山学校高二月考）某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考试，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮的问题的概率分别为45，35，25，且各轮问题能否正确回答互不影响，则该选手被淘汰的概率为_________．16．（2019·天津和平·高一期末）某产品分甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.04，出现丙级品的概率为0.01，则对成品抽查一件抽得正品的概率为________.三、解答题17．（2020·广西田阳高中高二月考（文））小红和小明相约去参加超市的半夜不打烊活动，两人约定凌晨0点到1点之间在超市门口相见，并且先到的必须等后到的人30分钟才可以进超市先逛．如果两个人出发是各自独立的，在0点到1点的各个时候到达的可能性是相等的．（1）求两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率；（2）超市内举行抽奖活动，掷一枚骰子，掷2次，如果出现的点数之和是5的倍数，则获奖．小红参与活动，她获奖的概率是多少呢？18．（2020·四川省仁寿第一中学校北校区高三二模（文））质量是企业的生命线，某企业在一个批次产品中随机抽检n件，并按质量指标值进行统计分析，得到表格如表：（1）求a，b，n；90,120的产品中，按照等级分层抽样抽取6件，再从这6件中随机抽取2件，（2）从质量指标值在[)求至少有1件特等品被抽到的概率.19．（2020·江西省莲花中学高一月考）石嘴山市第三中学高三年级统计学生的最近20次数学周测成绩，现有甲、乙两位同学的20次成绩如茎叶图所示：(1)根据茎叶图求甲、乙两位同学成绩的中位数，并将同学乙的成绩的频率分布直方图填充完整；(2)现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩，记事件A为“其中2个成绩分别属于不同的同学”，求事件A发生的概率.20．（2019·沙坪坝·重庆八中高二期末（理））2017年5月，来自“一带一路”沿线的20国青年评选出了中国的“新四大发明”：高铁、扫码支付、共享单车和网购.乘坐高铁可以网络购票，为了研究网络购票人群的年龄分布情况，在5月31日重庆到成都高铁9600名网络购票的乘客中随机抽取了120人进行了统计并记录，按年龄段将数据分成6组：[15,25),[25,35),[65,75)，得到如下直方图：（1）试通过直方图，估计5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数；（2）若在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人，求两人均来自同一年龄段的概率. 21．（2020·辽宁高一期末）某中学为了丰富学生的业余生活，开展了一系列文体活动，其中一项是同学们最感兴趣的3对3篮球对抗赛，现有甲乙两队进行比赛，甲队每场获胜的概率为25.且各场比赛互不影响.()1若采用三局两胜制进行比赛，求甲队获胜的概率；()2若采用五局三胜制进行比赛，求乙队在第四场比赛后即获得胜利的概率.22．（2019·湖北省孝感市第一高级中学高二期末（文））“读书可以让人保持思想活跃，让人得到智慧启发，让人滋养浩然之气”，2018年第一期中国青年阅读指数数据显示，从供给的角度，文学阅读域是最多的，远远超过了其他阅读域的供给量.某校采用分层抽样的方法从1000名文科生和2000名理科生中抽取300名学生进行了在暑假阅读内容和阅读时间方面的调查，得到数据如表：（1）先完成上面的表格，并判断能否有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关？（2从300名被调查的学生中，随机进取30名学生，整理其日平均阅读时间（单位：分钟）如表：试估计这30名学生日阅读时间的平均值（同一组中的数据以这组数据所在区间中点的值作代表）（3）从（2）中日均阅读时间不低于120分钟的学生中随机选取2人介绍阅读心得，求这两人都是女生的概率.参考公式：()()()()()22n ad bcKa b c d a c b d-=++++，其中n a b c d=+++.参考数据：参考答案1．C【详解】频率指的是：在相同条件下重复试验下，事件A 出现的次数除以总数，是变化的概率指的是：在大量重复进行同一个实验时，事件A 发生的频率总接近于某个常数，这个常数就是事件A 的概率，是不变的2．C【解析】标有1，2，⋅⋅⋅，9的9张卡片中，标奇数的有5张，标偶数的有4张，所以抽到的2张卡片上的数奇偶性不同的概率是115425989C C =⨯ ,选C. 3．A{0,1,2}a ∈,{1,1,3,5}b ∈-,∴基本事件总数3412n =⨯=.用(,)a b 表示,a b 的取值. 若函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数,则 ①当0a =时,()2f x bx =-,符合条件的只有(0,1)-,即0a =,1b =-;②当0a ≠时,则由题意0a >，只需满足1b a,符合条件的有(1,1)-,(1,1),(2,1)-,(2,1),共4种. ∴函数2()2f x ax bx =-在区间(1,)+∞上为增函数的概率512P =.故选：A 4．C 【详解】21()1()133P A P A =-=-=，1()()()09P AB P A P B ∴==≠.∴事件A 与B 相互独立，不是互斥、对立事件.5．D 【详解】 ∵某人练习射击，他脱靶的概率为0.20，∴该人射击命中的概率10.200.80P =-=.故选:D .6．C 【详解】因为()0.6P C =，事件B 与C 对立，所以()0.4P B =，又()0.3P A =，A 与B 互斥，所以()()()0.30.40.7P A B P A P B +=+=+=，故选C .7．D 【详解】因为事件“至少有一人能解决这个问题”的对立事件是“两个人都不能解决这个问题”，事件“两个人都不能解决这个问题”的概率为()()1211P P --所以至少有一人能解决这个问题的概率是()()12111P P ---8．C 【详解】从这6名志愿者中选出2名通晓两种语言的小组,有()11,B A ,()12,BA ,()1,BC ,()21,B A ,()22,B A ,()2,B C ,()31,B A ,()32,B A ,()3,B C ,共有9个基本事件,其中C 被选中的基本事件有()()()123,,,,,B C B C B C ,共3个,所以所求概率为3193=, 9．C 【解析】对于A，事件“甲分得1张白牌”与事件“乙分得1张红牌”可以同时发生，不是互斥事件；对于,B事件“甲分得1张红牌”与事件“乙分得1张蓝牌”可能同时发生，不是互斥事件；对于D，事件“甲分得2张白牌”与事件“乙分得1张黑牌”能同时发生，不是互斥事件；但C中的两个事件不可能发生，是互斥事件，故选C.10．B【详解】设正三角形边长为2，则内切圆的半径为33π.由图形的对称性可知，太极图中黑白部分面积相等，即各占圆面积的一半.由几何概型的概率计118π⨯=.故选：B.11．13【详解】依题意，基本事件的总数为336A=种，全部装错的事件有2种（如下表所示），所以全部装错的概率为2163=.12．0.3【详解】甲队的主客场安排依次为“主客主”．设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，甲队以2:1获胜的是指甲队前两场比赛中一胜一负，第三场比赛甲胜，则甲队以2:1获胜的概率是：0.60.50.60.40.50.60.3P =⨯⨯+⨯⨯=.故答案为：0.3． 13．75%【详解】设“选出代表是女生”的概率为a ,则“选出代表是男生”的概率为13a ,因为113a a +=,所以34a =,所以这个班的女生人数占全班人数的百分比为75%,故答案为:75% 14．3π【详解】设阴影部分的面积为1S ，圆的面积239S ππ==，由几何概型的概率计算公式得113S S =，得13S π=.故答案为：3π15．101125【详解】记“该选手能正确回答第i 轮的问题”为事件(1,2,3)i A i =，则()()()123432,,555P A P A P A ===.该选手被淘汰的概率：112123112123()()()()()()()P P A A A A A A P A P A A P A A A =++=++142433101555555125=+⨯+⨯⨯= 故答案为：10112516．0.95 【详解】记事件A ={甲级品}，B ={乙级品}， C ={丙级品} 因为事件A ，B ，C 互为互斥事件，且三个事件对立，所以抽得正品即为抽得甲级品的概率为()1()()0.95P A P B P C =--=17【详解】（1）设两人到达约会地点的时刻分别为x ，y ，依题意，必须满足1||2x y -≤才能相遇．我们把他们到达的时刻分别作为横坐标和纵坐标，于是两人到达的时刻均匀地分布在一个边长为1的正方形Ⅰ内，如图所示，而相遇现象则发生在阴影区域G 内，即甲、乙两人的到达时刻(,)x y 满足1||2x y -≤，所以两人相遇的概率为区域G 与区域Ⅰ的面积之比：2113214G I S P S ⎛⎫- ⎪⎝⎭===．也就是说，两个人能在约定的时间内在超市门口相见的概率为34．（2）设第一枚随机地投掷得到向上一面的点数为a ，第二枚投掷得到向上一面的点数为b，则a 与b 的和共有36种情况．所以两次取出的数字之和+a b 是5的倍数的情况有(1,4)，(4,1)，(2,3)，(3,2)，(4,6)，(6,4)，(5,5)，共7种，其概率为736P =． 18．【详解】（1）由100.1100÷=，得100n =1000.440∴=⨯=a301000.3∴=÷=b（2）设从“特等品”产品中抽取x 件，从“一等品”产品中抽取y 件，由分层抽样得6602040x y ==，解得2,4x y ==.即在抽取得6件中，有特等品2件，记为12,A A ，有一等品4件，记为1234,,,B B B B 则所有的抽样情况有1211121314,,,,A A A B A B A B A B21222324,,,A B A B A B A B121314,,B B B B B B 2324,B B B B 34B B ，共15种.其中至少有1件特等品的情况有：1211121314,,,,A A A B A B A B A B21222324,,,A B A B A B A B共9种，记事件M 为“至少有1件特等被抽到”，则93()155P M == 19【详解】(1)甲的成绩的中位数是1161221192+=，乙的成绩的中位数是1281281282+=，同学乙的成绩的频率分布直方图如下：(2)甲同学的不低于140分的成绩有2个设为,a b ，乙同学的不低于140分的成绩有3个，设为,,c d e ，现从甲、乙两位同学的不低于140分的成绩中任意选出2个成绩有：(,)a b ，(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e ，(,)c d ，(,)c e ，(,)d e 共10种，其中2个成绩分属不同同学的情况有：(,)a c ，(,)a d ，(,)a e ，(,)b c ，(,)b d ，(,)b e 共6种，所以事件A 发生的概率63()105P A ==.20【详解】（1）由直方图可知：中位数在[)25,35区间内，设中位为x . 由题可得：0.2(25)0.040.532.5x x +-⨯=⇒=，所以5月31日当天网络购票的9600名乘客年龄的中位数大约为32.5 （2）年龄在[55,65)和[65,75)的乘客人数相等，频率为(10.20.40.20.1)20.05----÷=．人数为1200.056⨯=人则在调查的且年龄在[55,75)段乘客中随机抽取两人求两人均来自同一年龄段的概率为：22662123056611C C P C +===． 21【详解】解:设()1,2,3,4,5i A i =表示甲队在第i 场比赛获胜()1所求概率为:()()()221212312323244 2555125P A A P A A A P A A A ⎛⎫⎛⎫++=+⨯⨯=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()2所求概率为:()()()312341234123423162355625P A A A A P A A A A P A A A A ⎛⎫++=⨯⨯= ⎪⎝⎭. 22．【详解】（1）根据题意，选取的300名学生中文科生100人，理科生200人，列联表如下；所以K2()()()()222()300705545130) 2.820 2.706115185200100n ad bc K a b c d a c b d -⨯-⨯==≈>++++⨯⨯⨯(， ∴有90%的把握认为学生所学文理与阅读内容有关；（2）根据题意平均值为：17785154575105135801030303030x =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=；（3）日均阅读时间不低于120分钟的学生共5人，其中男生2人女生3人，设两个男生分别为,A B ，三个女生为,,C D E ，则从中随机选取两个人，有()()()()()()()()()(),,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A C A D A E B C B D B E C D C E D E 共十种选择，满足两个均为女生的有()()(),,,,,C D C E D E 三种，所以这两人都是女生的概率310P =.。

2023版高考数学一轮总复习解题思维7高考中概率与统计解答题的提分策略课件理

解题思维7高考中概率与统计解答题的提分策略● 考情解读 1.概率与统计解答题是高考中相对独立的一块内容,一般以真实情境为载体,考查考生的应用意识及阅读理解能力、化归与转化能力,充分体现了概率与统计的工具性和综合性.2.概率问题的核心是概率计算及离散型随机变量的分布列及其期望求解,其中事件的互斥、对立、相互独立是概率计算的核心,排列组合是进行概率计算的工具;统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法,重点是统计图表的应用,样本的数字特征及统计案例.1.典例 [2021新高考卷Ⅰ,12分]某学校组织“一带一路”知识竞赛,有A,B两类问题.每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答,若回答错误则该同学比赛结束;若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答,无论回答正确与否,该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得20分,否则得0分;B类问题中的每个问题回答正确得80分,否则得0分.已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8,能正确回答B类问题的概率为0.6,且能正确回答问题的概率与回答次序无关.(1)若小明先回答A类问题,记X为小明的累计得分,求X的分布列;(2)为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答哪类问题?并说明理由.求什么想什么要求X的分布列,需先确定X的所有可能取值,然后分别求出每个可能取值对应的概率即可.思维导引（1）（2）求什么想什么要确定小明应选择先回答哪类问题,需先求出小明先回答A类问题累计得分的期望(由(1)可得)以及先回答B类问题累计得分的期望,比较这两个期望即可得出结论.规范答题 (1)由题意得,X 的所有可能取值为0,20,100,P (X =0)=1-0.8=0.2,(1分)P (X =20)=0.8×(1-0.6)=0.32,(2分)P (X =100)=0.8×0.6=0.48,(3分)所以X的分布列为 (4分)(2)当小明先回答A类问题时,由(1)可得E (X )=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4.(5分)当小明先回答B类问题时,记Y 为小明的累计得分,则Y 的所有可能取值为0,80,100,X 020100P 0.20.320.48P (Y =0)=1-0.6=0.4,(6分)P (Y =80)=0.6×(1-0.8)=0.12,(7分)P (Y =100)=0.6×0.8=0.48,(8分)所以Y 的分布列为 (9分)E (Y )=0×0.4+80×0.12+100×0.48=57.6.(10分)因为57.6>54.4,即E (Y )>E (X ),所以为使累计得分的期望最大,小明应选择先回答B类问题.(12分)Y080100P 0.40.120.48感悟升华解答概率与统计解答题重在“辨”——辨析、辨型提分策略2.典例 [2018全国卷Ⅱ,12分][理]如图是某地区2000年至2016年环境基础设施投资额y(单位:亿元)的折线图.为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了y与时间变量t的两个线性回归模型.根据2000年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,17)建立模型①:＾=-30.4+13.5t;根据2010年至2016年的数据(时间变量t的值依次为1,2,…,7)建立模型②＾=99+17.5t.(1)分别利用这两个模型,求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.(2)你认为用哪个模型得到的预测值更可靠?并说明理由.规范答题 (1)利用模型①,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＾1=-30.4+13.5×19=226.1(亿元).(3分)利用模型②,该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为＾2=99+17.5×9=256.5(亿元).(6分)(2)利用模型②得到的预测值更可靠.(7分)理由如下:(i)从图可以看出,2000年至2016年的数据对应的点没有随机散布在直线y=-30.4+13.5t上下,这说明利用2000年至2016年的数据建立的线性模型①不能很好地描述环境基础设施投资额的变化趋势.2010年相对2009年的环境基础设施投资额有明显增加,2010年至2016年的数据对应的点位于一条直线的附近,这说明从2010年开始,环境基础设施投资额的变化规律呈线性增长,利用2010年至2016年的数据建立的线性模型＾=99+17.5t可以较好地描述2010年以后的环境基础设施投资额的变化趋势,因此利用模型②得到的预测值更可靠.(12分)(ii)从计算结果看,相对于2016年的环境基础设施投资额220亿元,由模型①得到的预测值226.1亿元的增幅明显偏低,而利用模型②得到的预测值的增幅比较合理,说明利用模型②得到的预测值更可靠.(12分)(以上给出了2种理由,考生答出其中任意一种或其他合理理由均可得分)失分探源1.计算失误.如第(1)问中因计算错误而丢分.2.不善于运用所学的统计知识来分析解决问题,特别是在第(2)问说明理由过程中不能合理阐述,主要原因是平时学习以及备考中没有应用概率与统计知识来分析和解决实际问题的习惯.感悟升华。

2021届高考数学一轮复习《概率与统计》测试卷及答案解析

2021届高考数学一轮复习测试卷概率与统计注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．某学校准备调查高三年级学生完成课后作业所需时间，采取了两种抽样调查的方式：第一种由学生会的同学随机对24名同学进行调查；第二种由教务处对年级的240名学生编号，由001到240，请学号最后一位为3的同学参加调查，则这两种抽样方式依次为（）A．分层抽样，简单随机抽样B．简单随机抽样，分层抽样C．分层抽样，系统抽样D．简单随机抽样，系统抽样2．从装有完全相同的4个红球和2个黄球的盒子中任取2个小球，则互为对立事件的是（）A．“至少一个红球”与“至少一个黄球”B．“至多一个红球”与“都是红球”C．“都是红球”与“都是黄球”D．“至少一个红球”与“至多一个黄球”3．甲、乙两人近五次某项测试成绩的得分情况如图所示，则（）A．甲得分的平均数比乙的大B．甲的成绩更稳定C．甲得分的中位数比乙的大D．乙的成绩更稳定4．在5(2)x-的展开式中，2x的系数为（）A．5-B．5C．10-D．105．设某大学的女生体重y（单位：kg）与身高x（单位：cm）具有线性相关关系，根据一组样本数据(,)(1,2,,)i ix y i n=，用最小二乘法建立的回归方程为ˆ0.8585.71y x=-，则下列结论中不正确的是（）A．y与x具有正的线性相关关系B．回归直线过样本点的中心(,)x yC．若该大学某女生身高增加1cm，则其体重约增加0.85kgD．若该大学某女生身高为170cm，则可断定其体重必为58.79kg6．某产品的广告费用x与销售额y的统计数据如下表：根据上表可得回归方程y bx a=+的b约等于9，据此模型预报广告费用为6万元时，销售额约为（）A．54万元B．55万元C．56万元D．57万元7．利用独立性检验的方法调查高中生性别与爱好某项运动是否有关，通过随机调查200名高中生是否爱好某项运动，利用列联表，由计算可得27.245K≈，参照下表：得到的正确结论是（）A．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别无关”B．有99%以上的把握认为“爱好该项运动与性别有关”C．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别有关”D．在犯错误的概率不超过0.5%的前提下，认为“爱好该项运动与性别无关”8．若随机变量2(3,)X Nσ~，且(5)0.2P X≥=，则(15)P X<<=（）A．0.6B．0.5C．0.4D．0.39．AQI即空气质量指数，AQI越小，表明空气质量越好，当AQI不大于100时称空气质量为“优。

2021高三数学北师大版(理)一轮集训72 概率与统计的综合问题

概率与统计的综合问题建议用时：45分钟1．某小店每天以每份5元的价格从食品厂购进若干份某种食品，然后以每份10元的价格出售．如果当天卖不完，剩下的食品还能以每份1元的价格退回食品厂处理．(1)若小店一天购进16份这种食品，求当天的利润y (单位：元)关于当天需求量n (单位：份，n ∈N )的函数解析式．(2)小店记录了100天这种食品的日需求量(单位：份)，整理得下表：日需求量n 14 15 16 17 18 19 20 频数10201616151310以100①若小店一天购进16份这种食品，X 表示当天的利润(单位：元)，求X 的分布列及数学期望．②以小店当天利润的数学期望为决策依据，你认为一天应购进这种食品16份还是17份？[解] (1)当日需求量n ≥16时，利润y ＝80,当日需求量n <16时，利润y ＝5n －4(16－n )＝9n －64， ∴y 关于n 的函数解析式为y ＝⎩⎨⎧9n －64，n ＜16，80，n ≥16(n ∈N )．(2)①由题意知，X 的所有可能的取值为62,71,80, 且P (X ＝62)＝0.1，P (X ＝71)＝0.2，P (X ＝80)＝0.7， ∴X 的分布列为X 62 71 80 P0.10.20.7∴EX ＝②若小店一天购进17份这种食品，设Y 表示当天的利润(单位：元)，那么Y 的分布列为Y 58 67 76 85 P0.10.20.160.54∴Y EY ＝58×0.1＋67×0.2＋76×0.16＋85×0.54＝77.26. 由以上的计算结果可以看出EX <EY ，即购进17份这种食品时的平均利润大于购进16份时的平均利润，∴小店应选择一天购进17份这种食品．2．据某市地产数据研究院的数据显示，2018年该市新建住宅销售均价走势如图所示，为抑制房价过快上涨，政府从8月份采取宏观调控措施，10月份开始房价得到很好的抑制．(1)地产数据研究院研究发现，3月至7月的各月均价y (万元/平方米)与月份x 之间具有较强的线性相关关系，试建立y 关于x 的回归方程(系数精确到0.01)，政府若不调控，依据相关关系预测12月份该市新建住宅销售均价；(2)地产数据研究院在2018年的12个月份中，随机抽取三个月份的数据作样本分析，若关注所抽三个月份的所属季度，记不同季度的个数为x ，求x 的分布列和数学期望．参考数据：∑5i ＝1x i ＝25，∑5i ＝1y i ＝5.36，∑5i ＝1(x i －x )(y i －y )＝0.64. 回归方程y ^＝b ^x ＋a ^中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2，a ^＝y －b ^x . [解] (1)由题意月份x 3 4 5 6 7 均价y0.950.981.111.121.20计算可得：x ＝5，y ＝1.072，∑5i ＝1(x i －x )2＝10，∴b ^＝∑ni ＝1(x i －x )(y i －y )∑ni ＝1(x i －x )2＝0.064，a ^＝y －b ^x ＝0.752， ∴从3月到7月，y 关于x 的回归方程为y ＝0.06x ＋0.75，当x ＝12时，代入回归方程得y ＝1.47.即可预测第12月份该市新建住宅销售均价为1.47万元/平方米．(2)X 的取值为1,2,3， P (X ＝1)＝4C 312＝155，P (X ＝3)＝C 34×33C 312＝2755，P (X ＝2)＝1－P (X ＝1)－P (X ＝3)＝2755， X 的分布列为EX ＝1×155＋2×2755＋3×2755＝13655.3．(2019·青岛一模)某食品厂为了检查甲、乙两条自动包装流水线的生产情况，随机在这两条流水线上各抽取100件产品作为样本称出它们的质量(单位：毫克)，质量值落在(175,225]的产品为合格品，否则为不合格品．如表是甲流水线样本频数分布表，如图是乙流水线样本的频率分布直方图．(225,235] 5(1)由以上统计数据完成下面2×2列联表，能否在犯错误的概率不超过0.15的前提下认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关？甲流水线乙流水线总计合格品不合格品总计P(χ2＞k)0.150.100.050.0250.0100.0050.001 k 2.072 2.706 3.841 5.024 6.6357.87910.828χ2＝n(ad－bc)2(a＋b)(a＋c)(b＋d)(c＋d)，n＝a＋b＋c＋d)(2)由乙流水线的频率分布直方图可以认为乙流水线生产的产品质量指标z 服从正态分布N(200,12.22)，求质量指标z落在(187.8,224.4)上的概率；参考公式：P(μ－σ＜z＜μ＋σ)＝0.682 6，P(μ－2σ＜z＜μ＋2σ)＝0.954 4.(3)若以频率作为概率，从甲流水线任取2件产品，求至少有一件产品是合格品的概率．[解](1)由乙流水线样本的频率分布直方图可知，合格品的个数为100×(1－0.04)＝96.所以2×2列联表是：所以χ2＝100×100×188×12≈1.418＜2.072，所以在犯错误的概率不超过0.15的前提下不能认为产品的包装合格与两条自动包装流水线的选择有关．(2)乙流水线的产品生产质量指标z 服从正态分布N (200,12.22)，所以P (μ－σ＜z ＜μ＋σ)＝0.682 6，P (μ－2σ＜z ＜μ＋2σ)＝0.954 4，所以P (μ－σ＜z ＜μ＋2σ)＝P (μ－σ＜z ＜0)＋P (0≤z ＜μ＋2σ)＝12P (μ－σ＜z ＜μ＋σ)＋12P (μ＋σ＜z ＜μ＋2σ)＝12×(0.682 6＋0.954 4)＝0.818 5，即P (200－12.2＜z ＜200＋12.2×2)＝P (187.8＜z ＜224.4)＝0.818 5，所以质量指标落在[187.8,224.2)的概率是0.818 5.(3)若以频率作概率，则从甲流水线任取一件产品是不合格品的概率p ＝0.08，设“任取两件产品，至少有一件合格品”为事件A ，则A 为“任取两件产品，两件均为不合格品”，且P (A )＝p 2＝0.082＝0.006 4，所以P (A )＝1－P (A )＝1－0.006 4＝0.993 6，所以任取两件产品至少有一件为合格品的概率为0.993 6.快乐分享，知识无界！感谢您的下载!由Ruize收集整理！。

2021高考数学一轮复习统计知识点知识点总结

2021高考数学一轮复习统计知识点知识点总结一般来说，统计包括三个含义：统计工作、统计资料和统计科学。

下面是整理的统计知识点，请考生认真学习。

（1）随机抽样①能从现实生活或其他学科中提出具有一定价值的统计问题。

②结合具体的实际问题情境，理解随机抽样的必要性和重要性。

③在参与解决统计问题的过程中，学会用简单随机抽样方法从总体中抽取样本;通过对实例的分析，了解分层抽样和系统抽样方法。

④能通过试验、查阅资料、设计调查问卷等方法收集数据。

(2)用样本估计总体①通过实例体会分布的意义和作用，在表示样本数据的过程中，学会列频率分布表、画频率分布直方图、频率折线图、茎叶图(参见例1)，体会他们各自的特点。

②通过实例理解样本数据标准差的意义和作用，学会计算数据标准差。

③能根据实际问题的需求合理地选取样本，从样本数据中提取基本的数字特征(如平均数、标准差)，并作出合理的解释。

④在解决统计问题的过程中，进一步体会用样本估计总体的思想，会用样本的频率分布估计总体分布，会用样本的基本数字特征估计总体的基本数字特征;初步体会样本频率分布和数字特征的随机性。

⑤会用随机抽样的基本方法和样本估计总体的思想，解决一些简单的实际问题;能通过对数据的分析为合理的决策提供一些依据，认识统计的作用，体会统计思维与确定性思维的差异。

⑥形成对数据处理过程进行初步评价的意识。

(3)变量的相关性①通过收集现实问题中两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的相关关系。

②经历用不同估算方法描述两个变量线性相关的过程。

知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。

统计知识点的全部内容就为考生分享到这里，希望考生可以随时有进步。

(6套)2021年高考数学复习第一轮概率与统计(含6套汇总) (2)

随机事件在条件S下,③ 可能发生也可能不发生的事件叫做相对于条件S的随机事件
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2.频率和概率 (1)在一样的条件S下重复n次试验,观察某一事件A是否出现,称n次试验中事件A出现的④ 次数 nA为事件A出现的频数,称事件A出现的比例 fn(A) =⑤ nA 为事件A出现的频率. (2)对于给定n的随机事件A,随着试验次数的增加,事件A发生的 ⑥ 频率fn(A) 稳定在某个常数上,把这个常数记作P(A),称为事件A的概率,简称为A的概率.
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1.以下事件中,随机事件的个数为 ( ) ①物体在只受重力的作用下会自由下落; ②方程x2 +2x +8 =0有两个实根; ③某信息台每天的某段时间收到信息咨询的恳求次数超过10次; ④下周六会下雨. A.1 B.2 C.3 D.4 答案 B ①为必然事件,②为不可能事件,③④为随机事件.
奖券中特等奖或中一等奖〞为对立事件,
∴P(N) =1 -P(A∪B) =1 -[P(A) +P(B)] =1 - = .
故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的1概010率0 为101 0 .
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2 -2 在5张卡中,有3张挪动卡和2张联通卡,从中任取2张,假设事件 "2张全是挪动卡〞的概率是 3 ,那么概率是 7的事件是( ) A.至|多有1张挪动卡 B.恰1有0 1张挪动卡 10 C.都不是挪动卡 D.至|少有1张挪动卡答案 A "至|多有1张挪动卡〞包含 "1张是挪动卡,1张是联通卡〞 "2张全是联通卡〞两种情况,它是 "2张全是挪动卡〞的对立事件,故选A.
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购物的结算时间为1.5分钟〞 "该顾客一次购物的结算时间为2分钟〞.

第七单元概率与统计( 基础过关)-2021年高考数学一轮复习(原卷版)

第七单元统计与概率A 卷基础过关检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y 和温度x （单位：°C ）的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(,)(1,2,,20)i i x y i =得到下面的散点图：由此散点图，在10°C 至40°C 之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y 和温度x 的回归方程类型的是A ．y a bx =+B ．2y a bx =+C ．e x y a b =+D ．ln y a b x =+2. 【2020全国高三课时练习（理）】等差数列x 1，x 2，x 3，…，x 9的公差为1，若以上述数据x 1，x 2，x 3，…，x 9为样本，则此样本的方差为（） A ．203B ．103C ．60D ．303.【2020山东青岛高三其他】如图是一个22⨯列联表，则表中a 、b 处的值分别为（）1y 2y总计1xb21e2x c25 33A ．96，94B ．60，52C ．52，54D ．50，524. 【2020山东青岛高三其他】中国有十二生肖，又叫十二属相，每一个人的出生年份对应了十二种动物（鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪）中的一种．现有十二生肖的吉祥物各一个，已知甲同学喜欢牛、马和猴，乙同学喜欢牛、狗和羊，丙同学所有的吉祥物都喜欢，让甲乙丙三位同学依次从中选一个作为礼物珍藏，若各人所选取的礼物都是自己喜欢的，则不同的选法有（） A ．50种B ．60种C ．80种D ．90种5.【2020山东文登高三期末】二项式2()nx x-的展开式中，第3项的二项式系数比第2项的二项式系数大9，则该展开式中的常数项为（） A ．160-B ．80-C ．80D ．1606. 【2020年高考山东】某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是 A ．62% B ．56% C ．46%D ．42%7. 【2020嘉祥县第一中学高三其他】 “仁义礼智信”为儒家“五常”由孔子提出“仁、义、礼”,孟子延伸为“仁、义、礼、智”,董仲舒扩充为“仁、义、礼、智、信”.将“仁义礼智信”排成一排,“仁”排在第一-位,且“智信”相邻的概率为（） A ．110B ．15C ．310D ．258.【2019山东省实验中学高三一模（理）】已知三个村庄A ，B ，C 构成一个三角形，且AB=5千米，BC=12千米，AC=13千米．为了方便市民生活，现在△ABC 内任取一点M 建一大型生活超市，则M 到A ，B ，C 的距离都不小于2千米的概率为 A ．25B ．35C ．115π-D ．15π 二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020烟台市教育科学研究院高三其他】某校计划在课外活动中新増攀岩项目，为了解学生喜欢攀岩和性别是否有关，面向学生开展了一次随机调查，其中参加调查的男女生人数相同，并绘制如下等高条形图，则（）参考公式：22()()()()()n ad bc K a b c d a c b d -=++++，n a b c d =+++.()20P K k ≥ 0.05 0.010k3.841 6.635A ．参与调查的学生中喜欢攀岩的男生人数比喜欢攀岩的女生人数多B ．参与调查的女生中喜欢攀岩的人数比不喜欢攀岩的人数多C ．若参与调查的男女生人数均为100人，则有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关D ．无论参与调查的男女生人数为多少，都有99%的把握认为喜欢攀岩和性别有关10. 【2020肥城市教学研究中心高三其他】某校高二年级进行选课走班，已知语文、数学、英语是必选学科，另外需从物理、化学、生物、政治、历史、地理6门学科中任选3门进行学习. 现有甲、乙、丙三人，若同学甲必选物理，则下列结论正确的是（） A ．甲的不同的选法种数为10B ．甲、乙、丙三人至少一人选化学与全选化学是对立事件C ．乙同学在选物理的条件下选化学的概率是15D ．乙、丙两名同学都选物理的概率是1411. 【2020新泰市第二中学高三其他】下列说法正确的是（）A ．某大学为了解在校本科生对参加某项社会实践活动的意向，拟采用分层抽样的方法从该校四个年级的本科生中抽取一个容量为300的样本进行调查.已知该校一、二、三、四年级本科生人数之比为6：5：5：4，则应从一年级中抽取90名学生B ．10件产品中有7件正品，3件次品，从中任取4件，则恰好取到1件次品的概率为12C ．已知变量x 与y 正相关，且由观测数据算得x =3，y =3．5，则由该观测数据算得的线性回归方程可能是y =0.4x +2.3D ．从装有2个红球和2个黑球的口袋内任取2个球，至少有一个黑球与至少有一个红球是两个互斥而不对立的事件12. 【2020年高考山东】信息熵是信息论中的一个重要概念.设随机变量X 所有可能的取值为1,2,,n ，且1()0(1,2,,),1ni i i P X i p i n p ===>==∑，定义X 的信息熵21()log ni ii H X p p ==-∑.A ．若n =1，则H (X )=0B ．若n =2，则H (X )随着1p 的增大而增大C ．若1(1,2,,)i p i n n==，则H (X )随着n 的增大而增大D ．若n =2m ，随机变量Y 所有可能的取值为1,2,,m ，且21()(1,2,,)j m j P Y j p p j m +-==+=，则H (X )≤H (Y )三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.13. 【2020年高考江苏】已知一组数据4,2,3,5,6a a -的平均数为4，则a 的值是． 14.【2020山东省桓台第一中学】已知样本122018,,,x x x ⋯的平均数与方差分别是1和4，若(1,2,,2018)i i y ax b i =+=⋯ ，且样本122018,,,y y y ⋯的平均数与方差也分别是1和4，则b a =________________.15. 【2020山东威海高三二模】()()52x y x y +-的展开式中24x y 的系数为________． 16. 【2020年高考天津】已知甲、乙两球落入盒子的概率分别为12和13．假定两球是否落入盒子互不影响，则甲、乙两球都落入盒子的概率为_________；甲、乙两球至少有一个落入盒子的概率为_________．四、解答题：本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17. 【2020年高考全国Ⅰ卷理数】甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为12，（1）求甲连胜四场的概率；（2）求需要进行第五场比赛的概率；（3）求丙最终获胜的概率.18．【2020年高考全国III卷理数】某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表（单位：天）：锻炼人次（1）分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；（2）求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值（同一组中的数据用该组区间的中点值为代表）；（3）若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？附：K219．【2020山东高三其他】某企业进行深化改革，使企业的年利润不断增长．该企业记录了从2014年到2019年的年利润y（单位：百万）的相关数据，如下：年利润/y 百万 3 58111314（1）根据表中数据，以年份代号t 为横坐标，年利润y 为纵坐标建立平面直角坐标系，根据所给数据作出散点图；（2）利用最小二乘法求出y 关于t 的线性回归方程（保留2位小数）；（3）用ˆi y表示用正确的线性回归方程得到的与年份代号t 对应的年利润的估计值，i y 为与年份代号t 对应的年利润数据，当ˆ0i i yy -<时，将年利润数据i y 称为一个“超预期数据”，现从这6个年利润数据中任取2个，记X 为“超预期数据”的个数，求X 的分布列与数学期望．附：对于一组数据()11,x y ，()22,x y ，…，(),n n x y ，其回归直线ˆˆˆybx a =+的斜率和截距的最小二乘估计分别为：()()()1122211ˆnniii ii i nniii i xxy y x y nx ybxxxnx ====---==--∑∑∑∑，ˆˆay bx =-． 20．【2020重庆高三月考】某市积极贯彻落实国务院《“十三五”节能减排综合工作方案》，空气质量明显改善.该市生态环境局统计了某月（30天）空气质量指数，绘制成如下频率分布直方图.已知空气质量等级与空气质量指数对照如下表：空气质量指数(]0,50(]50,100(]100,150(]150,200(]200,300300以上空气质量等级一级（优）二级（良）三级（轻度污染）四级（中度污染）五级（重度污染）六级（严重污染）（1）根据频率分布直方图估计，在这30天中，空气质量等级为优或良的天数；（2）根据体质检查情况，医生建议：当空气质量指数高于90时，市民甲不宜进行户外体育运动；当空气质量指数高于70时，市民乙不宜进行户外体育运动（两人是否进行户外体育运动互不影响）.①从这30天中随机选取2天，记乙不宜进行户外体育运动，且甲适宜进行户外体育运动的天数为X，求X 的分布列和数学期望；②以该月空气质量指数分布的频率作为以后每天空气质量指数分布的概率（假定每天空气质量指数互不影响），甲、乙两人后面分别随机选择3天和2天进行户外体育运动，求甲恰有2天，且乙恰有1天不宜进行户外体育运动的概率.21.【2020山东济宁高三二模】在全面抗击新冠肺炎疫情这一特殊时期，我市教育局提出“停课不停学”的口号，鼓励学生线上学习.某校数学教师为了调查高三学生数学成绩与线上学习时间之间的相关关系，对高三年级随机选取45名学生进行跟踪问卷，其中每周线上学习数学时间不少于5小时的有19人，余下的人中，在检测考试中数学平均成绩不足120分的占813，统计成绩后得到如下22⨯列联表：分数不少于120分分数不足120分合计线上学习时间不少于5小时 4 19（1）请完成上面22⨯列联表；并判断是否有99%的把握认为“高三学生的数学成绩与学生线上学习时间有关”；（2）①按照分层抽样的方法，在上述样本中从分数不少于120分和分数不足120分的两组学生中抽取9名学生，设抽到不足120分且每周线上学习时间不足5小时的人数是X，求X的分布列（概率用组合数算式表示）；②若将频率视为概率，从全校高三该次检测数学成绩不少于120分的学生中随机抽取20人，求这些人中每周线上学习时间不少于5小时的人数的期望和方差.（下面的临界值表供参考）（参考公式22()()()()()n ad bcKa b c d a c b d-=++++其中n a b c d=+++）22. 【2020山东高三其他】据相关部门统计，随着电商网购的快速普及，快递包装业近年来实现了超过50％的高速年均增长.针对这种大好形式，某化工厂引进了一条年产量为1000万个包装胶带的生产线.已知该包装胶带的质量以某项指标值志为衡量标准.为估算其经济效益，该化工厂先进行了试生产，并从中随机抽取了1000个包装胶带，统计了每个包装胶带的质量指标值k，并分成以下5组：[50,60)，[60,70)，…，[90,100]，其统计结果及产品等级划分如下表所示：试利用该样本的频率分布估计总体的概率分布，并解决下列问题（注：每组数据取区间的中点值）：（1）由频数分布表可认为，该包装胶带的质量指标值k近似地服从正态分布()2N,μσ，其中μ近似为样本平均数x ，σ近似为样本的标准差s ，并已求得10.03s ≈.记X 表示某天从生产线上随机抽取的30个包装胶带中质量指标值k 在区间(50.54,80.63]之外的包装胶带个数，求P(X 1)=及X 的数学期望；（精确到0.001）（2）已知每个包装胶带的质量指标值k 与利润y （单位：元）的关系如下表所示：((1,4))t ∈假定该化工厂所生产的包装胶带都能销售出去，且这一年的总投资为5000万元（含引进生产线、兴建厂房等等一切费用在内），问：该化工厂能否在一年之内通过生产包装胶带收回投资？试说明理由. 参考数据：若随机变量()2~,Z N μσ，则()0.68.27P Z μσμσ-<≤+=，(22)P Z μσμσ-<≤+0.9545=，(33)0.9973P Z μσμσ-<≤+=，290.81860.0030≈，ln13 2.6≈.。

第七单元概率与统计( 滚动提升)-2021年高考数学一轮复习(解析版)

第七单元概率与统计B 卷滚动提升检查一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1. 【2020年高考全国III 卷理数】在一组样本数据中，1，2，3，4出现的频率分别为1234,,,p p p p ，且411i i p ==∑，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A ．14230.1,0.4p p p p ==== B ．14230.4,0.1p p p p ==== C ．14230.2,0.3p p p p ==== D ．14230.3,0.2p p p p ====【答案】B【解析】对于A 选项，该组数据的平均数为()()140.1230.4 2.5A x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.12 2.50.43 2.50.44 2.50.10.65A s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于B 选项，该组数据的平均数为()()140.4230.1 2.5B x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.42 2.50.13 2.50.14 2.50.4 1.85B s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于C 选项，该组数据的平均数为()()140.2230.3 2.5C x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.22 2.50.33 2.50.34 2.50.2 1.05C s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=；对于D 选项，该组数据的平均数为()()140.3230.2 2.5D x =+⨯++⨯=，方差为()()()()222221 2.50.32 2.50.23 2.50.24 2.50.3 1.45D s =-⨯+-⨯+-⨯+-⨯=.因此，B 选项这一组标准差最大. 故选B.2. 【2020全国高三课时练习（理）】已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图1和如图2所示，为了了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生近视人数分别为（）A ．100，20B ．100，10C ． 200，20D ．200，10【答案】C【解析】由题意知，样本容量为()3500450020002%200++⨯=，其中高中生人数为20002%40⨯=，高中生的近视人数为4050%20⨯=，故选C.3. 【2020山东泰安高三其他】下列结论正确的是（）A ．残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越低.B ．在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%.C ．已知随机变量2(2,)XN σ，若(02)0.4P X <<=，则(4)0.2P X >=.D ．设,a b 均为不等于1的正实数，则“log 2log 2b a >”的充要条件是“1a b >>”. 【答案】B【解析】对于A ，残差点均匀分布的带状区域的宽度越窄，说明模型拟合精度越高，故选项A 错误；对于B ，在线性回归模型中，相关指数0.96=2R ，说明解释变量对于预报变量变化的贡献率约为96%，故选项B 正确；对于C ，因为2μ=且(02)0.4P X <<=，所以(24)0.4P X <<=，所以(4)(2)(02)0.50.40.1P X P X P X >=>-<<=-=，故选项C 错误；对于D ，log 2log 2b a >2211log log b a ⇔>101b a >⎧⇔⎨<<⎩或1a b >>或01b a <<<，故选项D 错误. 故选B.4. 【2020年高考全国II 卷理数】在新冠肺炎疫情防控期间，某超市开通网上销售业务，每天能完成1200份订单的配货，由于订单量大幅增加，导致订单积压．为解决困难，许多志愿者踊跃报名参加配货工作．已知该超市某日积压500份订单未配货，预计第二天的新订单超过1600份的概率为0.05，志愿者每人每天能完成50份订单的配货，为使第二天完成积压订单及当日订单的配货的概率不小于0.95，则至少需要志愿者 A ．10名 B ．18名C ．24名D ．32名【答案】B【解析】由题意，第二天新增订单数为50016001200900+-=，设需要志愿者x 名，500.95900x≥，17.1x ≥,故需要志愿者18名. 故选B.5. 【2020湖北省高考模拟】设等边三角形ABC ∆的边长为1，平面内一点M 满足1123AM AB AC =+，向量AM 与AB 夹角的余弦值为A．3BC．12D．19【答案】D【解析】22211||()()23AM AM AB AC ==+22111119()()2232336AB AC AB AC =++⨯⨯⨯⋅=，196AM =，对1123AM AB AC =+两边用AB 点乘，2112,233AB AM AB AB AC AM ⋅=+⋅=与AB夹角的余弦值为4AM AB AM AB⋅=故选D ．6. 【2020广东中山市高三期末】已知数列{}n a 是各项均为正数的等比数列，n S 为数列{}n a 的前n 项和，若2233S a S +=-，则423a a +的最小值为 A ．18 B ．16 C ．12 D ．9【答案】A【解析】由2233S a S +=-得232333a S S a =--=-，所以2111233,01a q a q a q q q=-=>⇒>-.所以423a a +()()323112333331q q q a q a q q qq ++=+==--()()2121431q q q -+-+=⨯-()43161q q ⎡⎤=-++⎢⎥-⎣⎦3618≥⨯=.当且仅当41311q q q -=⇒=>-时取得最小值. 故选A ．7. 【2020山东栖霞月考】512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为A ．-40B ．-20C ．20D ．40【答案】D 【解析】令x=1得a=1.故原式=511()(2)x x x x +-．511()(2)x x x x+-的通项521552155(2)()(1)2r r r r r r r r T C x x C x ----+=-=-，由5-2r=1得r=2,对应的常数项=80，由5-2r=-1得r=3,对应的常数项=-40，故所求的常数项为40 ，故选D解析2.用组合提取法,把原式看做6个因式相乘，若第1个括号提出x,从余下的5个括号中选2个提出x ，选3个提出1x ；若第1个括号提出1x ，从余下的括号中选2个提出1x，选3个提出x. 故常数项=223322335353111(2)()()(2)X C X C C C X X X X⋅⋅-+⋅-⋅=-40+80=40故选D.8. 【2020六盘山高级中学高三其他（理）】已知点 M N P Q ，，，在同一个球面上，34,5MN NP MP ===，，若四面体MNPQ 体积的最大值为 10，则这个球的表面积是A ．254πB ．62516πC ．22516πD ．1254π【答案】B【解析】由34,5MN NP MP ===，，可知90PNM ∠=，则球心O 在过PM 中点'O 与面MNP 垂直的直线上，因为MNP 面积为定值，所以高最大时体积最大，根据球的几何性质可得，当'O Q 过球心时体积最大，因为四面体Q MNP -的最大体积为10，所以111'34'10332MNP S O Q O Q ⨯⨯=⨯⨯⨯⨯=△，可得'5O Q =，在'OO P ∆中，222''OP OO O P =+，()222554R R ∴=-+，得258R =， ∴球的表面积为2256254816ππ⎛⎫⨯=⎪⎝⎭，故选B ．二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分.9. 【2020山东省邹城市第一中学高三其他】下列命题中假命题是 A ．若随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，()40.79P ξ≤=，则()20.21P ξ≤-=；B ．已知直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，则“//αβ”是“l m ⊥”的必要不充分条件；C ．若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为aD ．命题:0,1∃<->x p x e x 的否定:0,1⌝∀≥-≤x p x e x 【答案】BCD【解析】对于A ，随机变量ξ服从正态分布()21,N σ，所以图像关于1x =对称，根据()40.79P ξ≤=，可得()()4140.21p p ξξ≥=-≤=，所以()()240.21P p ξξ≤-=≥=，故A 正确；对于B ，直线l ⊥平面α，直线//m 平面β，若//αβ，则l m ⊥是真命题；若l m ⊥，则//αβ是假命题，所以“//αβ”是“l m ⊥”的充分不必要条件，故B 错误；对于C ，若//a b ，则a 在b 方向上的正射影的数量为a 或a -，故C 错误；对于D ，命题:0,1∃<->xp x e x 的否定:0,1xp x e x ⌝∀<-≤，故D 错误；故选BCD.10. 【2020山东聊城高三三模】下列命题正确的是（）A ．在独立性检验中，随机变量2K 的观测值越大，“认为两个分类变量有关”这种判断犯错误的概率越小B ．已知()2,XN μσ，当μ不变时，σ越大，X 的正态密度曲线越矮胖C ．若在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，则平面//α平面βD ．若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则βn// 【答案】AB【解析】对选项A ，因为随机变量2K 的观测值越大，说明两个变量有关系的可能性越大，即犯错误的概率越小，故A 正确.对选项B ，根据正态曲线的几何特征，即可判断B 正确.对选项C ，当平面α与平面β相交时，在平面α内存在不共线的三点到平面β的距离相等，故C 错误.对选项D ，若平面α⊥平面β，直线m α⊥，//n m ，则直线n 有可能在平面β内，故D 错误. 故选AB.11. 【2020山东聊城一中高三月考】对于二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，以下判断正确的有（） A ．存在*n N ∈，展开式中有常数项； B ．对任意*n N ∈，展开式中没有常数项； C ．对任意*n N ∈，展开式中没有x 的一次项； D ．存在*n N ∈，展开式中有x 的一次项.【答案】AD【解析】设二项式()3*1nx n N x ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭展开式的通项公式为1r T +，则3411=()()rn rr r r nr n n T C x C x x--+=，不妨令4n =，则1r =时，展开式中有常数项，故答案A 正确，答案B 错误；令3n =，则1r =时，展开式中有x 的一次项，故C 答案错误，D 答案正确。

2021届高考数学一轮知能训练专题七概率与统计含解析

专题七概率与统计1.某中学为研究学生的身体素质与课外体育锻炼时间的关系，对该校200名学生的课外体育锻炼平均每天运动的时间(单位：分)进行调查，将收集的数据分成[0,10)，[10,20)，[20,30)，[30,40)，[40,50)，[50,60]六组，并作出频率分布直方图(如图Z71)，将日均课外体育锻炼时间不低于40分钟的学生评价为“课外体育达标”.图Z71(1)请根据直方图中的数据填写下面的2×2列联表，并通过计算判断是否能在犯错误的概率不超过0.01(2)现按照“课外体育达标”与“课外体育不达标”进行分层抽样，抽取8人，再从这8名学生中随机抽取3人参加体育知识问卷调查，记“课外体育不达标”的人数为X，求X的分布列和数学期望.参考公式：K2＝n ad－bc2.P(K2≥k0)0.150.050.0250.0100.0050.001 k0 2.072 3.841 5.024 6.6357.87910.8282.某校为“中学数学联赛”选拔人才，分初赛和复赛两个阶段进行，规定：分数不小于本次考试成绩中位数的具有复赛资格，某校有900名学生参加了初赛，所有学生的成绩均在区间(30,150]内，其频率分布直方图如图Z72.(1)求获得复赛资格应划定的最低分数线；(2)从初赛得分在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人参加学校座谈交流，那么从得分在区间(110,130]与(130,150]中各抽取多少人？(3)从(2)抽取的7人中，选出4人参加全市座谈交流，设X表示得分在(110,130]中参加全市座谈交流的人数，学校打算给这4人一定的物质奖励，若该生分数在(110,130]给予500元奖励，若该生分数在(130,150]给予800元奖励，用Y表示学校发的奖金数额，求Y的分布列和数学期望.图Z723.光伏发电是将光能直接转变为电能的一种技术，具有资源的充足性及潜在的经济性等优点，在长期的能源战略中具有重要地位.2015年起，国家能源局、国务院扶贫办联合在6个省的30个县开展光伏扶贫试点，在某县居民中随机抽取50户，统计其年用电量得到以下统数学期望；(2)在总结试点经验的基础上，将村级光伏电站稳定为光伏扶贫的主推方式.已知该县某自然村有居民300户.若计划在该村安装总装机容量为300千瓦的光伏发电机组，该机组所发电量除保证该村正常用电外，剩余电量国家电网以0.8元/千瓦时的价格进行收购.经测算每千瓦装机容量的发电机组年平均发电1000千瓦时，试估计该机组每年所发电量除保证该村正常用电外还能为该村创造直接收益多少元？4.某重点中学将全部高一新生分成A，B两个成绩相当(成绩的均值、方差都相同)的级部，A级部采用传统形式的教学方式，B级部采用新型的基于信息化的自主学习教学方式.期末考试后分别从两个级部中各随机抽取100名学生的数学成绩进行统计，得到如下数据：A级部B级部图Z73记成绩不低于130分者为“优秀”.(1)根据频率分布直方图(图Z73)，分别求出A，B两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值(精确到0.01)，根据这些数据初步分析A，B两个级部的数学成绩的优劣.(2)根据频率分布直方图(图Z73)填写下面列联表，并根据列联表判断是否有99%的把握分类优秀不优秀合计A级部B级部合计(3)①现从所抽取的B25人，再从这25人中随机抽出2人去参加“信息化的自主学习”的学习体会座谈，求抽出的两人中至少有一个为“优秀”的概率；②将频率视为概率，从B级部所有学生中随机抽取25人去参加“信息化的自主学习”的P(K2≥k)0.1000.050.0250.0100.001k 2.706 3.841 5.024 6.63510.828附：K2＝n ad bc2a＋b c＋d a＋c b＋d.5.PM2.5的值表示空气中某种颗粒物的浓度，通常用来代表空气的污染情况，这个值越高，空气污染越严重.下表是某城市开展“绿色出行，健康生活”活动第一周至第七周，居民采用时间第一周第二周第三周第四周第五周第六周第七周“绿色出行”1245689(计算结果保留两位小数)(2)若第八周“绿色出行”的人数为10万人，请预测第八周该市PM2.5的值；(计算结果保留一位小数)(3)若PM2.5的值在(0,50]内空气质量为优，现从第一周至第七周中任意抽取三周，记所抽取的样本中空气质量为优的周数为X ，求随机变量X 的分布列与数学期望.附：b ^＝1221n i i i n i i x y nx y xnx ==--∑∑＝121()()()n i ii n i i x x y y x x ==---∑∑，a ^＝y －b ^x .6.《山东省高考改革试点方案》规定：从2017年秋季高中入学的新生开始，不分文理科；2020年开始，高考总成绩由语数外3门统考科目和物理、化学等六门选考科目构成.将每门选考科目的考生原始成绩从高到低划分为A 、B ＋、B 、C ＋、C 、D ＋、D 、E 共8个等级.参照正态分布原则，确定各等级人数所占比例分别为3%,7%,16%,24%,24%,16%,7%,3%.选考科目成绩计入考生总成绩时，将A 至E 等级内的考生原始成绩，依照等比例转换法则，分别转换到[91,100]，[81,90]，[71,80]，[61,70]，[51,60]，[41,50]，[31,40]，[21,30]八个分数区间，得到考生的等级成绩.某校高一年级共2000人，为给高一学生合理选科提供依据，对六个选考科目进行测试，其中物理考试原始成绩基本服从正态分布N (60,169).(Ⅰ)求物理原始成绩在区间(47,86)的人数；(Ⅱ)按高考改革方案，若从全省考生中随机抽取3人，记X 表示这3人中等级成绩在区间[61,80]的人数，求X 的分布列和数学期望.[附：若随机变量ξ～N (μ，σ2)，则P (μ－σ<ξ<μ＋σ)＝0.682，P (μ－2σ<ξ<μ＋2σ)＝0.954，P (μ－3σ<ξ<μ＋3σ)＝0.997]7.某水产品经销商销售某种鲜鱼，平均售价为每千克20元，平均成本为每千克15元.销售宗旨是当天进货当天销售.如果当天卖不出去，折价处理平均每千克损失3元.该经销商根据以往每天该种鲜鱼的销售情况，按[50,150)，[150,250)，[250,350)，[350,450)，[450,550]进行分组，得到如图Z74所示的频率分布直方图，视频率为概率.(1)求未来连续三天内，该经销商有连续两天该种鲜鱼的日销售量不低于350千克，而另一天日销售量低于350千克的概率；(2)在频率分布直方图的需求量分组中，以各组区间的中点值代表该组的各个值.①求日需求量X的分布列；②根据经验，该经销商计划每日进货300千克或400千克，以每日利润Y的数学期望值为决策依据，他应该选择每日进货300千克还是400千克？图Z748.某市为了鼓励市民节约用电，实行“阶梯式”电价，将该市每户居民的月用电量划分为三档，月用电量不超过200千瓦时的部分按0.5元/千瓦时收费，超过200千瓦时但不超过400千瓦时的部分按0.8元/千瓦时收费，超过400千瓦时的部分按1.0元/千瓦时收费.(1)求某户居民用电费用y(单位：元)关于月用电量x(单位：千瓦时)的函数解析式；(2)为了解居民的用电情况，通过抽样，获得了今年1月份100户居民每户的用电量，统计分析后得到如图Z75所示的频率分布直方图，若这100户居民中，今年1月份用电费用不超过260元的80%，求a，b的值；(3)在满足(2)的条件下，若以这100户居民用电量的频率代替该月全市居民用户用电量的概率，且同组中的数据用该组区间的中点值代替，记Y为该居民用户1月份的用电费用，求Y的分布列和数学期望.图Z75专题七概率与统计1．解： (1)由题意得“课外体育达标”人数为200×[(0.02＋0.005)×10]＝50，分类课外体育不达标课外体育达标合计男 60 30 90女 90 20 110 合计 150 50 200∴K 2＝200×90×110×150×50＝33≈6.061<6.635. ∴在犯错误的概率不超过0.01的前提下不能认为“课外体育达标”与性别有关．(2)由题意采用分层抽样在“课外体育达标”的学生中抽取2人，在“课外体育不达标”的学生中抽取6人，由题意知：X 的所有可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝C 16C 22C 38＝656＝328； P (X ＝2)＝C 26C 12C 38＝3056＝1528； P (X ＝3)＝C 36C 38＝2056＝514. 故X 的分布列为X 1 2 3P 328 1528 514故X 的数学期望为E (X )＝1×28＋2×28＋3×14＝4. 2．解：(1)由题意知分数在(30,90]内的频率为：20×(0.0025＋0.0075＋0.0075)＝0.35，分数在(110,150]内的频率为：20×(0.0050＋0.0125)＝0.35，∴分数在(90,110]的频率为：1－0.35－0.35＝0.3，从而分数在(90,110]的频率组距＝0.320＝0.015, 假设最低分数线为x ，由题意得0.35＋(x －90)×0.015＝0.5，解得x ＝100.故本次考试复赛资格最低分数线应划为100分．(2)在区间(110,130]与(130,150]的频率之比为0.0125∶0.0050＝5∶2,在区间(110,150]的参赛者中，利用分层抽样的方法随机抽取7人，应在区间(110,130]与(130,150]各抽取5人，2人．(3)X 的可能取值为2,3,4，则：P (X ＝2)＝C 25C 22C 47＝27； P (X ＝3)＝C 35C 12C 47＝47； P (X ＝4)＝C 45C 02C 47＝17. 从而Y 的分布列为Y 2600 2300 2000P 27 47 17∴E (Y )＝2600×27＋2300×7＋2000×7＝7(元)．3．解： (1)记在抽取的50户居民中随机抽取1户，其年用电量不超过600千瓦时为事件A ，则P (A )＝35. 由已知可得从该县居民中随机抽取10户，记其中年用电量不超过600千瓦时的户数为X ，X 服从二项分布，即X ～B ⎝⎛⎭⎪⎫10，35，故E (X )＝10×35＝6. (2)设该县居民户年均用电量为E (Y )，由抽样可得E (Y )＝100×750＋300×850＋500×1550＋700×1350＋900×750＝520(千瓦时)，则该村年均用电量约156 000千瓦时．又该村所装发电机组年预计发电量为300 000千瓦时，故该机组每年所发电量除保证该村正常用电外还能剩余电量约144 000千瓦时，能为该村创造直接收益144 000×0.8＝115 200元．4．解： (1)设A 级部的数学成绩的中位数为x ，则0.18＋0.23＋(x －110)×0.029＝0.5.解得x ≈113.10.众数：110＋1202＝115(分)．设B 级部的数学成绩的中位数为y ，则0.08＋0.16＋0.24＋(y －120)×0.028＝0.5.解得y ≈120.7.众数：120＋1302＝125(分)．从A ，B 两个级部的数学成绩的中位数和众数的估计值看，B 级部的数学成绩的两个数据都大于A 级部的数据，故初步分析B 级部的数学成绩优于A 级部的数学成绩．(2)分类优秀不优秀合计A 级部 7 93 100B 级部 24 76 100合计 31 169 200由列联表可知K 2的观测值＝2169×31×100×100≈11.033＞6.635. ∴有99%的把握认为“优秀”与教学方式有关．(3)①依题意B 级部的100个样本利用分层抽样的方法再抽取的25人中“优秀”的有6人，“不优秀”的有19人．则从这25人中随机抽出2人至少有一个为“优秀”的概率为p ＝1－C 219C 225＝43100＝0.43. ②由题意可知，随机变量X 服从二项分布X ～B (25,0.24)，则E (X )＝6；D (X )＝25×0.24×0.76＝4.56.5．解：(1)由题意知：x ＝1＋2＋4＋5＋6＋8＋97＝5， y ＝100＋80＋50＋40＋35＋25＋207＝50， 71i x =∑i y i ＝1250，71i x =∑2i＝227， ∴b ^＝71722177i ii i i x y xy x x==--∑∑＝1250－7×5×50227－7×52＝－9.62，a ^＝y －b ^x ＝98.10，故y 关于x 的线性回归方程为：y ^＝－9.62x ＋98.10.(2)当人数为10万人时，即x ＝10时，y ^＝－9.62×10＋98.10＝1.9，故人数为10万人时，PM2.5的值为1.9.(3)由题意可知，第一周到第七周内有五周空气质量为优．则随机变量X 的可能取值为1,2,3，P (X ＝1)＝C 22C 15C 37＝535＝17； P (X ＝2)＝C 12C 25C 37＝2035＝47； P (X ＝3)＝C 02C 35C 37＝1035＝27. ∴X 的分布列如下∴E (X )＝1×17＋2×47＋3×27＝7. 6．解：(Ⅰ)∵物理原始成绩ξ～N (60,132)，则P (47<ξ<86)＝P (47<ξ<60)＋P (60≤ξ<86)＝0.6822＋0.9542＝0.818， ∴物理原始成绩在(47,86)的人数为2000×0.818＝1636(人)．(Ⅱ)随机抽取1人，其成绩在区间[61,80]的概率为25， ∴随机抽取3人，则X 可取0,1,2,3，且X ～B ⎝ ⎛⎭⎪⎫3，25， P (X ＝0)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫353＝27125；P (X ＝1)＝C 13·25·⎝ ⎛⎭⎪⎫352＝54125；P (X ＝2)＝C 23·⎝ ⎛⎭⎪⎫252·35＝36125；P (X ＝3)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫253＝8125. ∴X 的分布列为数学期望E (X )＝3×5＝5. 7．解：(1)由频率等于概率，因此利用频率分布直方图结合频率＝组距×频率组距，可求出各日需求量所在区间的概率；(2)先根据频率分布直方图计算出销售量不低于350千克和低于350千克的概率，结合相互独立事件公式求①；②分别计算出进货300千克和400千克时，利润的分布列，求出各期望值，通过期望值中的比较选择期望值较大的一个．(1)由频率分布直方图可知，日销售量不低于350千克的概率为(0.002 5＋0.001 5)×100＝0.4，则未来连续三天内，有连续两天的日销售量不低于350千克，而另一天日销售量低于350千克的概率P ＝0.4×0.4×(1－0.4)＋(1－0.4)×0.4×0.4＝0.192.(2)①X 可取100,200,300,400,500，P (X ＝100)＝0.001 0×100＝0.1；P (X ＝200)＝0.002 0×100＝0.2；P (X ＝300)＝0.003 0×100＝0.3；P (X ＝400)＝0.002 5×100＝0.25；P (X ＝500)＝0.001 5×100＝0.15.∴X 的分布列为②当每日进货3001此时Y 1的分布列为此时利润的期望值E (Y 1)1180(元)；当每日进货400千克时，利润Y 2可取－400,400,1200,2000，此时Y 2的分布列为此时利润的期望2＋2 000×0.4＝1 200(元)．∵E (Y 1)＜E (Y 2)，∴该经销商应该选择每日进货400千克．8．解：(1)当0≤x ≤200时，y ＝0.5x ；当200<x ≤400时，y ＝0.5×200＋0.8×(x －200)＝0.8x －60，当x >400时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×(x －400)＝x －140，∴y 与x 之间的函数解析式为：y ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0.5x ，0≤x ≤200，0.8x －60，200<x ≤400，x －140，x >400.(2)由(1)可知：当y ＝260时，x ＝400，则P (x ≤400)＝0.80，结合频率分布直方图可知：⎩⎪⎨⎪⎧ 0.1＋2×100b ＋0.3＝0.8，100a ＋0.05＝0.2，∴a ＝0.0015，b ＝0.0020；(3)由题意可知X 可取50,150,250,350,450,550.当x ＝50时，y ＝0.5×50＝25，∴P (y ＝25)＝0.1，当x ＝150时，y ＝0.5×150＝75，∴P (y ＝75)＝0.2，当x ＝250时，y ＝0.5×200＋0.8×50＝140，∴P (y ＝140)＝0.3，当x ＝350时，y ＝0.5×200＋0.8×150＝220，∴P (y ＝220)＝0.2，当x ＝450时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×50＝310，∴P (y ＝310)＝0.15，当x ＝550时，y ＝0.5×200＋0.8×200＋1.0×150＝410，∴P (y ＝410)＝0.05，故Y∴随机变量Y E (Y )＝25×0.1＋75×0.2＋140×0.3＋220×0.2＋310×0.15＋410×0.05＝170.5.。