5.3 拉普拉斯变换的性质及应用

f ( n) (t ) s n F (s)
n=1, 2, …；Re［s］＞σ0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
证明: LT [ f (t )] df (t ) e st dt 0 dt
(1)
e df (t ) e
st 0

st
(2) 求f2(t)的单边拉氏变换
d f 2 (t ) e2t u(t ) 2e 2t u(t ) dt
根据线性性质 ：
F1 (s) = LT [ f1 (t )] = 1 2 s = s+2 s+2
因此：
F2 (s) = LT [ f2 (t )] = -2 s+2
Re[ s] > 0

( s a)
2 2
w sin wt « 2 s +w2
at
由频移特性有： e
同理：
sin t
Re[ s] > -a
e- at cosw t «
s+a ( s + a)2 + w 2
Re[ s] > -a
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
5. 时域微分
则：
若f(t)为因果信号 则f(n)(0-)=0 (n=1, 2, …)
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
6. 时域积分 应用: 1. 若 f(t) 是因果信号，则：
Fn ( s ) F ( s) L [ f (t )] n s
f ( n) (t ) Fn (s)
2. 若f(t)为非因果信号，则
Fn ( s ) F ( s) L [ f (t )] n s
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
1. 线性性质
若
f1 (t ) F1 (s) Re[s] 1
f 2 (t ) F2 (s) Re[s] 2
则 a1 f1 (t ) a2 f 2 (t ) a1F1 (s) a2 F2 (s)
(其中，a1, a2为任意常数) 补充例题： f (t ) δ(t ) u(t )
F ( s) (t ) n s n 1, 2,
f
(n)
如果f (-n)(t)表示从 -∞到t 对f(t)的n重积分
则有:
F (s) f (-1) (0- ) ò -¥ f (t )dt « s + s
t
n F ( s ) 1 (n) f (t ) n nm1 f ( m) (0 ), n 1, 2,... s m 1 s
解：
因为
所以
1 e u t s2
2t
Re s 2 Re s 2
s e F1 s L e2t 1 u t 1 s2
又因为 所以
f 2 t e2t 1 u t e2 e2t u t
f (t )u(t )
f
( n)
(n)
Fn ( s)
或者
f (0 ) Fn ( s) F ( s) L [ f (t )] n s s
(t )u(t ) Fn (s)
2 5.3 拉普拉斯变换的性质及应用 t , 0 t 2 2 例5.3-5 求图5.3-1所示三角脉冲 f (t ) 2 t , t 2 2 t 0&t 0, 的象函数。
e2 F2 s s2
Re s 2
Re s 2
e2 e s L f1 t f 2 t F1 s F2 s s 2
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补充例题:
f (t )
f1 (t )
求f(t)的单边拉氏变换。
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
3. 时移性
若
f (t ) F (s)
- st0
Re[ s] 0
f (t - t0 )u(t - t0 ) « F ( s)e
注意:
t0 ³ 0,Re[ s] > s 0
(1)若f(t)为因果信号，则 f (t - t0 ) = f (t - t0 )u(t - t0 ) ，等式左 右两边的拉氏变换相同；
s 1 s b a f1 (t ) f (at b)u(at b) F e a a
Re[ s] a 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
2 t 1 2 t 1 f t e u t 1 , f t e u t 2 补充例题: 1 求 f1 t f2 t 的象函数
…
TT
2T
f (t ) f1 (t ) f1 (t T ) f1 (t 2T ) ...
F (s) F1 (s) F1 (s)e sT F1 (s)e2 sT ...
F1 (s)(1 e
sT
e
2 sT
...)
Re[ s] 0
1 F1 ( s ) 1 e sT
(2)若f(t)为非因果信号，则 f (t - t0 ) ¹ f (t - t0 )u(t - t0 ) ，f(t-t0)
的单边拉氏变换等于f(t-t0)u(t)的单边拉氏变换。 区别：
f (t ), f (t )u(t ), f (t )u(t t0 ), f (t t0 )u(t ), f (t t0 )u(t t0 )
Re[s] max(1 , 2 )
1 F (s) 1 s
Re[ s] 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
1. 线性性质 例5.3-1 求单边正弦函数sin(βt)u(t)的象函数。
1 j t j t sin( t ) (e e ) 2j 1 j t j t 根据性质可得： sin( t )u(t ) L (e e )u(t ) 2j 1 1 j t j t L e u(t ) L e u(t ) 2j 2j 1 1 1 1 2 j s j 2 j s j 2 ， Re[ s ] 0 2 s
若应用时域微分性质求解，则有
F1 ( s ) s L [e u(t )] e u(t )
2 t 2 t t 0
s s2
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补例:
' i(t ) CuC (t )
已知：
解： 电路的微分方程：
RCuC '(t ) uC (t ) δ(t )
s 例5.3-2: 已知因果函数f(t)的象函数 F ( s) = 2 ，求f(2t)的象 s +1 函数。
解：
s f (t ) « 2 s +1
Re[ s] > 0
f (at ) 1 s F Re[ s] a 0 a a
由尺度变换性质有：
s 1 s 2 f (2t ) « × = 2 2 2 æsö s +4 ç ÷ +1 è2ø
则 es0t f (t ) F ( s s0 ) Re[ s] 1 0
证明:
s0t st LT [e f (t )] e f ( t ) e dt s0t 0

f (t )e ( s s0 )t dt F ( s s0 ) 0
Re[ s] 0
LT [ f (3) (t )] s[s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )] f ( 2) (0 ) s 3 F (s) s 2 f (0 ) sf (1) (0 ) f ( 2) (0 )
Re[ s] 0
0
令 at
1 f ( )e a 0

s a
1 s d F a a
F (s)的ROC： Re[s] 0
s s F 的ROC： Re 0 , a a
即 Re[ s] a 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
F (s)的ROC： Re[ s] 1
F (s s0 )的ROC : Re[ s s0 ] 1 即 Re[ s] 1 Re[ s0 ]

5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性 例5.3-3 求 e 解： 因为
- at
sin wt 和 e-at coswt 的拉氏变换。
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
例5.3-4 求 f (t ) = e-at u(t ) 的导数的单边拉氏变换。 解： f (t ) = e-at u(t ) «
1 s +a
df (t ) sF ( s) f (0 ) dt 1 s 0 s s ù > -a Re é s s ë û
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
证明: 根据单边拉氏变换的定义，得
st LT f t t u t t f t t u t t e 0 0 0 0 dt 0


t0
f t t0 e dt
st
令 t - t0 = t 则 t = t + t0 得：
a 0, b 0, 求f1(t)的象函数。
解:
L f t f t u t F s
根据时移性质 :
Re s 0
f (t b)u(t b) F (s) e sb
根据尺度变换性质 :
Re[源自文库] 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
d 2t d 2t 补例: f1 (t ) [e u(t )], f 2 (t ) e u(t ) , 求f1(t)和f2(t)的单边拉氏变换 dt dt
解: (1) 求f1(t)的单边拉氏变换
d 2t f1 (t ) [e u(t )] δ(t ) 2e2t u(t ) dt
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补充例题:
解：
因为 所以
δ t 1
Re s
Re s
δ t nT enTs

F s e nTs 1 eTs e2Ts e3Ts
n 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
4. 复频移特性
解：已知
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
2. 尺度变换 若:
f (t ) F (s), Re[s] 0
1 s 则 f (at ) F Re[ s] a 0 a a
注意：其中，a为实常数且a>0，如果a<0则f(at) 的单边拉氏变换为0，该性质失效。 证明:
L [ f (at )] f (at )e st dt
f (t )
0
s f (t )e st dt
0

sF (s) f (0 )
f
(2)
Re[ s] 0
d (1) (t ) f (t ) dt
LT [ f ( 2) (t )] s[sF (s) f (0 )] f (1) (0 ) s 2 F (s) sf (0 ) f (1) (0 )
LT f t t0 u t t0 f e
0

s t0
d
e
st0


0
f e s d e st0 F s
Re[ s] > s 0
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
补充例题: 已知 f (t ) F (s), f1 (t ) f (at b)u(at b),
uC '(t ) uC (t ) δ(t )
方程两边取单边拉氏变换：
uC (t ) UC (s)
uc t 2et u t
5.3 拉普拉斯变换的性质及应用
6. 时域积分 则有：
若f (t ) F (s) Re[s] 0

t
0
F (s) f ( )d s