运筹学第6章 图与网络 (1)

'
V V ，E E
'
V ' V ，E ' E
v1 v2
v1
v2
v4
v3
v4
二者关系：部 分图是子图， 但子图不一定 是 部 分 图 。
v3
v5
v6
v5
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7、有向图、无向图、混合图
无向图，记作G=(V，E)
图
有向图，记作D=(V，A)
v1 v2 v3 v1
有方向的 边称为弧。
e3 4
6
e6 4
2)、基础图
3)、链（v1,e5,v5,e8,v4,
v4
e8
5
v5
e4,v2,e2,v3）中的前向弧 与后向弧？ 4)、求该图的邻接矩阵？
5)、求该图的赋权矩阵？
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例1:6位运动员参加6个比赛，图中“1”表示个 运动员参加的比赛项目，怎么安排比赛顺序 可以使每位运动员都不连续参加2项比赛。
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二、图的相关定义
e1
1、端点、关联边、相邻
如果边e可表示为e =
v2 （vi, vj）,称vi和vj是边e
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
的端点,反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、 vj与同一条边关联，称点 vi和vj相邻;若边ei和ej有 公共的端点,称边ei和ej相
有向图

4
8
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课堂练习：
1、如下序列是否有可能是某简单图的 次的序列?
7，6，5，4，4，2
6，6，5，4，3，2，1
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课堂练习：
v1 e2 e1 2 3 e5 e4 e7 4 v2
v3
1
2、如图所示有向网 络图，求：
1)、各点的次、奇点、偶 点
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
回路 起点=终点的路 e1 v1 e5 v4 e8
v6 e2 e6 e4 e7 v2
e3 v3
e8
v5
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5、完全图、偶图
1 7 2
完全图:
3
6
简单图中，任 意两点之间均 有边相连
5
4
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5、完全图、偶图
第6章 图与网络
哥尼斯堡（现名加 里宁格勒）是欧洲一个 城市，Pregel河把该城 分成两部分，河中有两 个小岛，十八世纪时， 河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出 这样的游戏：有没有办 法从某处（如A）出发， 经过各桥一次且仅一次 最后回到原地呢？
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数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的解决方法：
项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
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项目A 项目B 项目C 项目D 项目E
项目F
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
B A C
D F E
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第6章 图与网络
本章主要内容
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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第6章 图与网络
本章主要内容、重点及难点
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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v2 v2 v3
v1
v3
v1
v4
v5
v4
v5
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10、前向弧与后向弧
前向弧：
v1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ


v2 v3
与链方向一致





后向弧：
与链方向相反

v4
v5
设一条链从v2经v1、 v4、 v5至v3
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11、赋权图
v2 2 v1 7 v3 3 v4 4 8 4 v5
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理2：在任意一个 图中，奇顶点的个 数必为偶数。
设V1和V2分别为G中奇 点和偶点的集合，有：
e8 v6
vV1
d (v) d (v) d (v) 2q
vV2 vV
v5
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4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列 路 无重合点的链
1 4
偶图:
2
5
6 3 7
V1
V2
图的顶点可分为 2个不相交的非 空集合V1和V2， 同一集合中任意 两点不相邻，即 任意一边的2个 端点属于2个不 同集合。
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6、子图与部分图
子图
V V ，E E
' '
v1
v2
v4
v3
v6
v5
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6、子图与部分图
子图 部分图
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C
包含两个要素： 对象（陆地）; 及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
A B
D
运筹学 图论中讨 论的“图”
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日常生产生活 中，还有什么 可以用图来表 示？
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6.1 基本概念
一、图的定义 点：表示研究对象 边：表示表示研究对象之间的特定关系
图由点和边组成的集合，记作G=(V，E)， 其中： V=(v1，v2，……，vn)为点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4 e4 e7 v6 v5 e6
e3 v3
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
G1为不连通图， G2为连通图
G1
G2
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9、连通、强连通、弱连通 强连通：任意2节点之间都是可达的。 简单 有向 图中 单向连通：任意2节点，至少有一个方向是可达的
v2
v1 v3 v1 v2 v3
v4
v5
v4
v5
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9、连通、强连通、弱连通 强连通：任意2节点之间都是可达的。 简单 有向 图中 单向连通：任意2节点，至少有一个方向是可达的。 弱连通：单向不连通，但其基础图是连通的。
v2 v3
无向图
v4 v1 v2 v5 v3 v4
有向图
v4 v5
混合图
v5
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8、基础图
去掉有向 图中的方 向
v2 v1 v3 v1 v2 v3
v4
有向图
v5
v4
基础图
v5
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9、连通、强连通、弱连通
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例：
v2 v1 v3
v1 v 2 v1 0 0
v3 v4 v5 1 1 1
有向图
v4 v5
v2 1
v3 0 v4 0
0
0 0
1
0 0
0
0 0
0
1 1
1, 顶点vi与v j关联 v5 0 aij 0， 顶点vi与v j不关联
0
0
0
0
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13、赋权矩阵
v2 v1 2 7 5 v3
5
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12、邻接矩阵
v2
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v3 v1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
无向图
v4 v5
v2 1
v3 1
v4 1
1
0 0
0
0 1
0
0 1
1
1 0
1, 顶点vi 与v j关联 v5 1 aij 0， 顶点vi 与v j不关联
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12、邻接矩阵
e8 v6
v5
邻。
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
忽略问题的具体细节，将问题的 关键性质或关系抽象为图的形式。 把A、B、C、D四块陆地分别收 缩成四个顶点，把桥表示成连接对 应顶点之间的边。
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C A
陆地为 “点 D
B
桥为“边”
问题：是否能从四块陆 地中的任一块开始，通 过每座桥恰好一次再回 到起点？
问题：是否能从任 意一个顶点开始， 通过每条边恰好一 次再回到起点？
v1 v2 v3 v4 v5 v1 2 7 5 3 4 v2 2
3 v4 8
4
4
v3 7
v5
5
4
8
v4 3
无向图
v5 4
4
8
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13、赋权矩阵
v2 v1 2 7 5 v3
v1 v 2 v1 v2 2 v3
v3 v4 v5 7 5 3 4

3
8 v4
4
4
v5
v4 v5
v1
e5 v4
e2 e6 e4
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。对
e3 v3
e7
e8 v6
无环、有多重边的图称
v5 作多重图。
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计算图中各点的次，
二、图的相关定义
e1
并说明是奇点、偶点、
3、次、奇点、偶点、 还是孤立点？ 孤立点 与某一个点vi相关 联的边的数目称为点 vi的次(也叫做度或线 度),记作d(vi)。次为奇 数的点称为奇点,次为 偶数的点称作偶点,次 为0的点称作孤立点。
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理1：在一个图 中，所有顶点次 的和等于边的两 倍 。
e8 v6
d (v) 2q
vV
v5
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二、图的相关定义