运筹学第6章 图与网络 (1)
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运筹学基础-网络计划1
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C 无
D A
E B
F B、C
A
1
5
D F E
11
C
B
7 3
答案
作业名称 A 紧前作业 无
B 无
C A、B
D B
E C
F D
A
1
5
C
7
E
11
B
3
D
9
F
第二节 网络时间的计算
网络时间的计算有三种计算方法：图上计算法、表格计 算法和EXCEL计算法。
一、图上计算法
网络图中只能有一个始点和一个终点，使得自网络图的始点 经由任何路径都可以到达终点。
编号的规定
编号应从始事件开始，按照时序依次从小到大对事件编号，直到终 事件。 编号时不允许箭头编号小于箭尾编号。 事件的编号原则 箭尾事件(i)小于箭头事件(j)；一般采用非连续编号，即可空留 出几个号，跳着编，将来有变化时，不致打乱全局。
2. 画网络图(以前图为例)
作业 A B C D E F G H I J 紧接的前项作业 作业时间(周) 2 无 3 无 A，B 4 B 1 A 5 C 3 E，F 2 D，F 7 G，H 6 I 5
第一步：先画出无紧前作业的A、B，给网络始点编号为① 第二步：用一条斜线“\”消去已画入网络图的作业A、B，
尽量避免箭线之间的交叉
为了方便计算和美观清晰，PERT网络图中通过调整布 局，尽量避免箭线之间的交叉。
2 8 2 4 6
7 10
1
9
11
1
5
6
9
11
3
5
7 10 3 4 8
管理运筹学讲义 第6章 网络计划(6学时)
4
H,4
22
第二节 绘制网络图
三、网络图的绘制举例
【例】
工序 紧前工序 工序时间
A G、M
3 ②
B H
4
C
— 7
D L
3
E，5
M，3
E C
5
F A、E
5
G B、C
2
H
— 5 ⑦
I A、L
2
F，5
K F、I
1
L B、C
7
M C
3
C，7
⑩
I，2
K，1 11
①
H，5
⑤
G，2
A，3
⑥
⑨
D，3
③
23
B，4
④
7
I
8
C
H
21
OM:SM
第二节 绘制网络图
三、网络图的绘制举例 【例】
工 序 A — 2 B A 4 C B 4
2 A，2
D — 4.7
B,4
E — 7.2
5 G,6.2
F E 2
G D、 F 6.2
H D、 F 4
I H 4.3
紧前工序 工序时间
C,4
7 I,4.3 6
OM:SM
1
D，4.7 E,7.2 F,2 3
13
OM:SM
第二节 绘制网络图
一、网络图中工序间的表达方式
1、当工序a完工后b和c可以开工
○
2、当工序a和b完工后c才能开工
○
a
b
○
○
a
○
c
c
○
○ ○
b
3、工序c在工序a完工后就可以开工， 但工序d必须在a和b都完工后才能开工
运筹学(第6章 图与网络分析)
a1 (v1) 赵
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
(v2)钱
a2 a3 a4 a14 a15
a8 a9
a7 (v4) 李
(v3)孙
a5 (v5) 周 a6 a10 (v6)吴
图6-3
a12 a11 a13
(v7)陈
定义: 图中的点用v表示，边用e表示。对每条边可用它
所连接的点表示，记作：e1=[v1,v1]; e2=[v1,v2];
树是图论中结构最简单但又十分重要的图。在自然和社会领 域应用极为广泛。 例6.2 乒乓求单打比赛抽签后，可用图来表示相遇情况，如 下图所示。
运动员 A
B C
D
E
F G
H
例6.3 某企业的组织机构图也可用树图表示。
厂长
人事科
财务科
总工 程师
生产副 厂长
经营副 厂长
开发科
技术科
生产科
设备科
供应科
动力科
e2
(v1) 赵
e1
e3
e4 孙(v3) 李(v4)
周(v5)
图6-2
e5 吴(v6) 陈(v7)
(v2)钱
如果我们把上面例子中的“相互认识”关系改为“认识” 的关系，那么只用两点之间的联线就很难刻画他们之间的关 系了，这是我们引入一个带箭头的联线，称为弧。图6-3就是 一个反映这七人“认识”关系的图。相互认识用两条反向的 弧表示。
端点,关联边,相邻 若有边e可表示为e=[vi,vj]，称vi和
e2 v2 e6 e1 e4 v1 e3 v3 e8
vj是边e的端点，反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、vj与同一条 边关联，称点vi和vj相邻；若边ei和
e5
e7
《运筹学》第六章网络计划方法
关键路径分析
什么是关键路径?
是需要在规定时限内完成的，不 能被延误的最长任务序列。
为什么重要?
因为这条路径上的任何延误都会 导致整个项目的延误。
如何确定?
通过计算出每个任务的最早开始 时间和最晚结束时间，从而找出 关键路径。
项目进度管理
1
制订进度计划
确定任务的完成时间，为项目进度的管
进度监控
2
理提供基础。
风险管理的好处?
有助于降低项目失败风险，增强 规划的稳健性，避免额外成本损 失和延迟。
关键路径法和PERT/CPM方法的比较
相似点
都是用来解决项目延误问题、进行进度计划、任务分析等。
不同点-PERT/CPM
适合单一的大规模计划，对时间的估计更加准确，适合波动较大的工作。
不同点-关键路径法
更适合复杂的工作计划，可以快速有效地过滤重要的任务，以使项目进度良好地推进。
运筹学网络计划方法
运筹学网络计划是一个强大的项目管理工具，能够帮助团队更好地理解项目， 并更好地规划工作。
定义
1 网络计划
是指通过图形化的方式，展现了项目中各项 任务的工作量、执行时间以及任务间的依赖 关系。
2 网络计划方法
是利用网络图形的结构，为项目管理提供项 目的计划、实施、控制和组织，以确保项目 的顺利开展。
网络计划在实际项目中的应用
1
建筑
对建筑贸易来说，它是一种标准的工具，用于确定工作任务，减少延误、提早完 成。
2
IT 项目
在软件和硬件开发过程中，它被广泛使用，以便跟踪任务、减少重叠和缺陷，并 计划偏差管理方法。
3
制造业
网络计划可帮助管理、确定生产期、调度工作、支持制造商的计划和进度控制。
第六章图与网络分析
e3
v3
若链中所有的顶点也互不相同,这样的链称为路.
e4
v4
起点和终点重合的链称为圈. 起点和终点重合的路称为回路.
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这 样的图为连通图, 否则称该图是不连通的. 第10页
完全图，偶图
任意两点之间均有边相连的简单图, 称为完全图. K n
K2
K3
K4
2 | E | Cn
第20页
6.2树图和图的最小部分树问题 Minimal tree problem 6.2.1树的概念
若图中的每一对顶点之间至少存在一条链, 称这样的图 为连通图. 树图(简称树Tree)： 无圈的连通的图，记作T(V, E)
组织机构、家谱、学科分支、因特网络、通讯网络及高压线路 网络等都能表达成一个树图 。
第13页
有向图 G ： (V,E)，记为 G=(V,E)
G 的点集合： V {v1 , v2 ,...,vn } G 的弧集合： E {eij } 且 eij 是一个有序二元组 (vi , v j ) ，记
为 eij (vi , v j ) 。下图就是一个有向图，简记 G 。 若 eij (vi , v j ) ，则称 eij 从 v i 连向 v j ，点 v i 称为 eij 的尾，v j 称为 eij 的头。 v i 称为 v j 的前继， v j 称为 v i 的后继。 基本图：去掉有向图的每条弧上的方向所得到的无向图。
有向图 G (V , E ) 的关联矩阵：一个 | V | | E | 阶矩阵
B (bik ) ，
1, 当 弧ek以 点i为 尾 其中 bik 1, 当 弧ek以 点i为 头 0, 否 则
运筹学第六章网络计划
工序(i,j)的总时差=(j)最迟开始时间-t(i,j) -(i)最早开始时间
工序(i,j)的自由时差=(j）最早开始时间- (i）最早完成时间
所有时间参数
例3（P136）某项课题研究工作分解的作业表如下。根据此表绘制此项科研工作的网络图，计算时间参数，并确定关键路线。
工序代号
工序
紧前工序
工序时间
（3）按照工作的新工时，重新计算网络计划的关键 路线及关键工序。
（4）再比较关键工序的直接费用率与间接费用率。
不断重复，直到使总费用上升为止。 （直接费用率>间接费用率）
注：若压缩引起出现多于一条新的关键路线时，需同时压缩各关键路线.
（因为不同时压，则工期不能缩短， 工期=关键工序上工时之和）
表示相邻工序时间分界点，称为事 项，
用 表示
（3）相邻弧：
表示工序的前后衔接关系，称为紧前 （或紧后）关系。
如
A
B
A是B的紧前工序，B是A的紧后工序。
A
（4）虚工序（虚箭线）
为表示工序前后衔接关系的需要而增加的。
6.1 网络计划图的绘制 6.2 时间参数计算与关键路线确定 6.3 网络图的调整及优化
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1.问题的一般提法：
设有一项工程，可分为若干道工序，已知各工序间 的先后关系以及各工序所需时间t。
问：
（1）工程完工期T？
（2）工程的关键工序有哪些？
若再各压缩1天
则应压缩B、C（同时压）
此时的直接费用率将是3+4=7>5
故最低成本工期为10天。
注：
（1）有时资料未给可压缩时间，但给了正常工作时间及最短工作时间。则压缩时间=正常工作时间-最短工作时间。
运筹学6(图与网络分析)
定义7：子图、生成子图（支撑子图）
图G1={V1、E1}和图G2={V2，E2}如果 V1 V2和E1 E2 称G1是G2的一个子图。
若有 V1＝V2，E1 E2 则称 G1是G2的一 个支撑子图（部分图）。
图8-2（a）是图 6-1的一个子图，图8-2 （b）是图 8-1的支撑子图，注意支撑子图 也是子图,子图不一定是支撑子图。 e1
v2 ▲如果链中所有的顶点v0，v1，…，vk也不相
e1 e2 e4 v1 e3
v3 e5
同，这样的链称初等链（或路）。
e6
▲如果链中各边e1,e2…,ek互不相同称为简单链。
e7
e8
▲当v0与vk重合时称为回路（或圈），如果边不 v4
v5
重复称为简单回路，如果边不重复点也不重复
则称为初等回路。
图8－1中， μ1={v5,e8,v3,e3,v1,e2,v2,e4,v3,e7,v5}是一条链，μ1中因顶 点v3重复出现，不能称作路。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定理1 任何图中，顶点次数的总和等于边数的2倍。
v1
v3
v2
定理2 任何图中，次为奇数的顶点必为偶数个。
e1
e2 e4 v1 e3
v2
v3
e5
e6
e7
e8
v4
v5
定义4 有向图： 如果图的每条边都有一个方向则称为有向图
定义5 混合图： 如何图G中部分边有方向则称为混合图 ② ⑤ ④
定理4 有向连通图G是欧拉图，当且仅当G中每个顶点的出 次等于入次。
② 15
9 10
运筹学第六章图与网络分析
S
2
4
7
2 A
0 5
S
5 45 B
98
14
5
13
D
T
C
E
4
4
4
7
最短路线：S AB E D T
最短距离：Lmin=13
2．求任意两点间最短距离的矩阵算法
⑴ 构造任意两点间直接到达的最短距离矩阵D（0）= dij（0）
S A B D（0）= C D E T
SABCDET 0 25 4 2 02 7 5 20 1 5 3 4 1 0 4 75 0 15 3 41 0 7 5 7 0
e1 v1
e5
v0 e2
e3
v2
e4
e6 e7
v3
v4
（4）简单图：无环、无多重边的图称为简单图。
（5）链：点和边的交替序列，其中点可重复，但边不能 重复。
（6）路：点和边的交替序列，但点和边均不能重复。
（7）圈：始点和终点重合的链。
（8）回路：始点和终点重合的路。
（9）连通图：若一个图中，任意两点之间至少存在一条 链，称这样的图为连通图。 （10）子图，部分图：设图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 如果有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图；若 V1=V2，E1E2，则称G1是G2的一个部分图。 （11）次：某点的关联边的个数称为该点的次，以d(vi)表示。
步骤：
1. 两两连接所有的奇点，使之均成为偶点；
2. 检查重复走的路线长度，是否不超过其所在 回路总长的一半，若超过，则调整连线，改 走另一半。
v1
4
v4
4
1
4
v2
v5
5
运筹学第6章 图与网络
也就是说| V1 |必为偶数。
定理6.2有学者也称作定理6.1的推论。根据定理6.2，握手定理也可以 表述为，在任何集体聚会中，握过奇次手的人数一定是偶数个。
12 该课件的所有权属于熊义杰
另外，现实中不存在面数为奇数且每个面的边数也是奇数的多面 体，如表面为正三角形的多面体有4个面，表面为正五边形的多面体有 12个面等等，也可以用这一定理予以证明。因为在任意的一个多面体 中， 当且仅当两个面有公共边时，相应的两顶点间才会有一条边，即 任意多面体中的一个边总关联着两个面。所以，以多面体的面数为顶
v j V2
(m为G中的边数）
因式中 2m 是偶数， d (v j ) 是偶数，所以 d (vi ) 也必为偶数
v j V2
vi V1
( 两个同奇同偶数的和差必为偶数 ), 同时,由于 d (vi ) 中的每个加数 d (vi )
均为奇数,因而 d (vi ) 为偶数就表明, d (vi ) 必然是偶数个加数的和 ,
图论、算法图论、极值图论、网络图论、代数图论、随机图论、 模糊图论、超图论等等。由于现代科技尤其是大型计算机的迅 猛发展，使图论的用武之地大大拓展，无论是数学、物理、化 学、天文、地理、生物等基础科学，还是信息、交通、战争、 经济乃至社会科学的众多问题．都可以应用图论方法子以解决。
1976年，世界上发生了不少大事，其中一件是美国数学家 Appel和Haken在Koch的协作之下，用计算机证明了图论难题— —四色猜想(4CC)：任何地图，用四种颜色，可以把每国领土染 上一种颜色，并使相邻国家异色。4CC的提法和内容十分简朴， 以至于可以随便向一个人(哪怕他目不识丁)在几分钟之内讲清 楚。1852年英国的一个大学生格思里(Guthrie)向他的老师德·摩 根(De Morgan)请教这个问题，德·摩根是当时十分有名的数学家， 他不能判断这个猜想是否成立，于是这个问题很快有数学界流 传开来。1879年伦敦数学会会员Kemple声称，证明了4CC成立， 且发表了论文。10年后，Heawood指出了Kemple的证明中
运筹学第六章图与网络分析a管理精品资料
min T (v j) T （ v j） ,L （ v i） d ij j
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
3. 在与固定标号点相邻的临时标号点中选取 具有最小标号的点vi给予固定标号，即:
L(vi)=min｛ T(vj) ｝ 返回第2步。 4. 当vn得到固定标号时，计算结束。 注： 固定标号L(vi)表示v1到vi的最短距离， 临时标号T(vj)表示v1到vi距离的上界。
能一笔画的图一定是欧拉圈或含有欧拉链。 定理：连通的多重图G是欧拉图的充要条件是G 中无奇点。 推论：连通的多重图G有欧拉链的充要条件是G 中恰有两个奇点。
第二节 树图和图的最小部分树
树图：无圈的连通图称为树图，记为T(V,E)。 2-1 树的性质 性质1：任何树中必存在至少两个次为1的点（悬 挂点）。
若一个简单图中任意两点之间均有边相连，
则称该图为完全图。
对含有n个顶点的完全图，其边数有
Cn2
1n(n1) 2
条。
如果图的顶点能分成两个互不相交的非空
集合V1和V2 ，使在同一集合中任意两个顶点 都不相邻，则称该图为偶图（或二分图）。
若偶图的顶点集合V1、V2之间的每一对不 同顶点之间都有一条边相连，则称该图为完全 偶图。在完全偶图中， V1若有m个顶点， V2 有n个顶点，则其边数共有m×n条。
临时标号
v2（5） v3（2） v4（∞） v5（∞） v6（∞） v7（∞） v2（5） v4（9） v5（∞） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（12） v6（6） v7（∞） v4（7） v5（7） v7（12）
v5（7） v7（12）
v7（10）
❖ Dijkstra 算 法 仅 适 合 于 所 有 的 权
Hale Waihona Puke 3-2 求任意两点间最短距离的矩阵算法(Floyd) 设邻接矩阵为D,计算D1=D+D, D2= D1 +D ,
运筹学-第六章 图论1
6、图论1
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
哥尼斯堡七桥问题 哥尼斯堡（ 现名加里宁格勒） 哥尼斯堡 （ 现名加里宁格勒 ） 是 欧洲一个城市， Pregei河把该城分 欧洲一个城市 ， Pregei 河把该城分 成两部分， 河中有两个小岛， 成两部分 ， 河中有两个小岛 ， 十八 世纪时， 世纪时 ， 河两边及小岛之间共有七 座桥， 当时人们提出这样的问题： 座桥 ， 当时人们提出这样的问题 ： 有没有办法从某处（ 出发， 有没有办法从某处 （ 如 A ） 出发 ， 经过各桥一次且仅一次最后回到原 地呢？ 地呢？
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
v7
6
v6 6 2 与v1、V2、v3、v6、 v4 、v5相邻的点有v7 L17=min{L15+d57,L16+d67} =min{7+3,6+6}=10
v2 5 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4
7
3
7 v3
④重复上述步骤，直至全部的点 重复上述步骤，
都标完。 都标完。
例：如下图中从v1到v7的最短路。 v2
5 7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v1
2 7
v7 v6
v3
v2 0 v1
2 7 5
7 2
v5 v4
6 1 2 4 6 3
v3
v7
2
v6
与v1、v3相邻的点有v2、v4、v6 L1p=min{L11+d12,L13+d34,L13+d36} =min{0+5,2+7,2+4}=5=L12
运筹学胡运权第五版(第6章)课件
零图： 边集为空集的图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
2、图的阶：即图中的点数。 例如 右图为一个五阶图
3、若图中边e= [vi,vj] ,则vi,vj称 为e的端点，
e称为vi,vj的关联边。 若vi与vj是一条边的两个端
点，则称vi与vj相邻； 若边ei与ej有公共的端点，
则称ei与ej相邻。
e8
1、图(graph)：由V,E构成的有序二元组，用以表示对 某些现实对象及其联系的抽象，记作 G=｛V,E｝。 其中V称为点集，记做V=｛v1,v2,···,vn｝
E称为边集，记做E=｛e1,e2,···,em｝
点(vertex)：表示所研究的对象，用v表示； 边(edge)：表示对象之间的联系，用e表示。 网络图(赋权图)： 点或边具有实际意义(权数)的图， 记做N。
路：点不能重复的链。
圈：起点和终点重合的链。
回路：起点和终点重合的路。
连通图：任意两点之间至少存在一条链的图。
完全图：任意两点之间都有边相连的简单图。
n阶完全图用Kn表示，边数=
C 2 n(n 1)
n
2
注意：完全图是连通图，但连通图不一定是完全图。
运筹学胡运权第五版(第6章)
v1 e4
v4 e5 v5
依次下去，vn必然与前面的某个点相邻，图中有圈，矛盾！
注意：树去掉悬挂点和悬挂边后余下的子图还是树。
运筹学胡运权第五版(第6章)
（2）n阶树必有n-1条边。
证明（归纳法）： 当n=2时，显然；
设n=k-1时结论成立。 当n=k时，树至少有一个悬挂点。
去掉该悬挂点和悬挂边，得到一个k-1阶的树，它有 k-2条边，则原k阶树有k-1条边。
7、已知图G1=｛V1,E1｝, G2={V2,E2}, 若有V1V2，E1E2，则称G1是G2的一个子图； 若V1=V2，E1E2且 E1≠E2 ，则称G1是G2的一个部分图。
运筹学(重点)
两个约束条件
(1/3)x1+(1/3)x2=1
及非负条件x1,x2 0所代表的公共部分
－－图中阴影区, 就是满足所有约束条件和非负
条件的点的集合, 即可行域。在这个区域中的每
一个点都对应着一个可行的生产方案。
22
5–
最优点
4–
l1 3B E
2D
（1/3）x1+(4/3)x2=3
l2 1–
0 1〡 2〡 3A 4〡 5〡 6〡 7〡 8〡 9〡C
运筹学 Operational Research
运筹帷幄，决胜千里
史记《张良传》
1
目录
绪论 第一章 线性规划 第二章 运输问题 第三章 整数规划 第四章 动态规划 第五章 目标规划 第六章 图与网络分析
2
运筹学的分支 数学规划: 线性规划、非线性规划、整数规划、 动态规划、目标规划、多目标规划 图论与网络理论 随机服务理论: 排队论 存储理论 决策理论 对策论 系统仿真: 随机模拟技术、系统动力学 可靠性理论
32
西北角
(一)西北角法
销地
产地
B1
0.3
A1
300
0.1 A2
0.7 A3
销量 300
B2
1.1
400
0.9
200
0.4
600
B3
0.3
0.2
200
1.0
300 500
B4
产量
1.0
700 ②
0.8
400 ④
0.5
600
900 ⑥
600
2000
①
③
⑤
⑥
34
Z
cij xij 0.3 300 1.1 400 0.9 200
第六章物流运筹学——图与网络分析.
L( )
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
( vi ,v j )
l
ij
最小的 。
Dijkstra算法
算法的基本步骤： （1）给 v s 以 P 标号， P(vs ) 0 ，其余各点均给 T 标号， T (vi ) 。 （2）若 vi 点为刚得到 P 标号的点，考虑这样的点 v j： (vi , v j ) E ，且 v j 为 T 标号，对 v j 的 T 标号进行如下的更改：
v2
(4,3)
v4
(3,3)
(5,3) (1,1) (1,1) (3,0)
vs
(5,1)
vt
(2,1)
v1
(2,2)
v3
图 6-14
运输线路图
第四节 最小费用最大流问题
在容量网络 G (V , E, C ) ，每一条边 (vi , v j ) E 上，除了已 给容量 cij 外，还给了一个单位流量的费用 bij 0 ，记此时的容 量网络为 G (V , E, C , B) 。 所谓最小费用最大流问题就是要求一个最大流 f ，使流的 总运输费用 b( f )
定理 6-1 任何图中顶点次数的总和等于边数的 2 倍。 推论 6-1 任何图中，次为奇数的顶点必有偶数个。 图 G (V , E ) 和图 H (V , E ) ，若 V V且E E ，则 称 H 是 G 的子图，记作： H G ；特别的，当 V V 时， 称 H 为 G 的生成子图。
容量网络g若?为网络中从sv到tv的一条链给?定向为从sv到tv?上的边凡与?同向称为前向边凡与?反向称为后向边其集合分别用??和??表示??ijff?是一个可行流如果满足??????0ijijijijiijjffcvv??????????c???0ijijijfvv????则称?为从sv到tv的关于f的可增广链
运筹学_树
D A Huffman算法 算法_B 算法
叶子上带权的二叉树, 个叶子的权分别为p 叶子上带权的二叉树 s 个叶子的权分别为 i 根到各叶子 的距离(层次 层次) 二叉树的总权数： 的距离 层次 为l i (i=1,…,s) , 二叉树的总权数： s m (T) = ∑ p i l i i=1 算法) 算法 (D A Huffman算法 算法 例8 s=6, 其权分别为 1.s个叶子按权由小至大排序 个叶子按权由小至大排序 4,3,3,2,2,1, 求最优二 叉树。 叉树。 15 2.最小权的二个叶子合并成 2.最小权的二个叶子合并成 一个分支点， 一个分支点，其权为二者之和 将新分支点作为一个叶子。 将新分支点作为一个叶子。 9 则停； 令s←s-1,若s=1则停；否则转 若 则停 否则转(1). 5 5 6 3 6 3 1 2 2 3 3 4 4 1 2 2 3 3
T
找生成树的两种方法-深探法 深探法 (1) 深探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 在某点u集已得标号 检查一端点为u的各边 集已得标号i 的各边, ②在某点 集已得标号 , 检查一端点为 的各边 另一 端点是否均已标号。 端点是否均已标号。 若有(u, w)边之w未标号, 则给w以标号i+1, 记下边(u, w), 记下边(u, w). 令w代u, 重复②. ② 若这样的边的另一端均已有标号, 就退到标号为i-1的r 0 点, 以r 代u ,重复②. ② 1 直到全部点得到标号为止。 2 3 1 2 8 7 6 4 10 11 7 5 0 3 8 10 13 12 6 9 11 9 12 4 5 13
找生成树的两种方法-广探法 广探法
(2) 广探法 在点集V中任取一点 中任取一点v, ① 在点集 中任取一点 给 v 以标号 0 . 令所有标号为i的点集为 检查[V, V\Vi]中的边端 的点集为V, ②令所有标号为 的点集为 检查 中的边端 点是否均已标号 对所有未标号之点均标以i+1 , 记 标号。 点是否均已标号。对所有未标号之点均标以 下这些边。 下这些边。 对标号i+1的点重复步骤②, 直到全部点得到标号为至 ② 直到全部点得到标号为至. 0 1 1 2 1 1 2 0 2 1 2 4 3 2 1 2
西交《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分
《运筹学》重要知识点解析和例题分析第六部分一．图的基本概念 定义一个图G 是指一个二元组(V(G),E(G)).即图是由点及点之间的联线所组成。
其中: 1）图中的点称为图的顶点(vertex).记为：v2）图中的连线称为图的边(edge).记为：,i j e v v ⎡⎤=⎣⎦.,i j v v 是边 e 的端点。
3）图中带箭头的连线称为图的弧(arc).记为：(),i j a v v =.,i j v v 是弧 a 的端点。
—— 要研究某些对象间的二元关系时.就可以借助于图进行研究 分类▪ 无向图：点集V 和边集E 构成的图称为无向图(undirected graph).记为： G(V.E)—— 若这种二元关系是对称的.则可以用无向图进行研究▪ 有向图：点集V 和弧集A 构成的图称为有向图(directed graph) .记为：D(V.A)—— 若这种二元关系是非对称的.则可以用有向图进行研究▪ 有限图: 若一个图的顶点集和边集都是有限集.则称为有限图.只有一个顶点的图称为平凡图.其他的所有图都称为非平凡图.图的特点：1 图反映对象之间关系的一种工具.与几何图形不同。
2 图中任何两条边只可能在顶点交叉.在别的地方是立体交叉.不是图的顶点。
3 图的连线不用按比例画.线段不代表真正的长度.点和线的位置有任意性。
4 图的表示不唯一。
如：以下两个图都可以描述“七桥问题”。
点(vertex)的概念1 端点：若e =[u.v] ∈E.则称u.v 是 e 的端点。
2 点的次：以点 v 为端点的边的个数称为点 v 的次.记为：()d v 。
在无向图G 中.与顶点v 关联的边的数目(环算两次),称为顶点v 的度或次数.记为()d v 或 dG(v).在有向图中.从顶点v 引出的边的数目称为顶点v 的出度.记为d+(v).从顶点v 引入的边的数目称为v 的入度.记为d -(v). 称()d v = d+(v)+d -(v)为顶点v 的度或次数． 3 奇点：次为奇数的点。
运筹学图与网络分析
v6
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
v1
v2
v3
v4
v5
v1
v2
v3
v4
v5
图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
v1
v2
v3
v4
v5
注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
07
含有奇点的连通图中不含欧拉圈，此时，最优的邮递路线是什么呢？
08
求解中国邮路问题的奇偶点图上作业法
奇偶点表上作业法
奇偶点表上作业法 (1)找出奇点(一定为偶数个)，在每两个奇点之间找一条链，在这些链经过的所有边上增加一条边，这样所有的奇点变为偶点，一定存在欧拉圈，但是不一定是路线最短的，所以需要检验和调整。 (2)检验增加的边的权值是否是最小的。 定理3 假设M是使得图G中不含奇点的所有增加边，则M是权值总和为最小的增加边的充分必要条件是： 1)图G中每条边上最多增加一条边； 2)在图G的每个圈上，增加的边的总权值不超过该圈总权值的一半。 如果上述两个条件都满足则已经找到权值最小的欧拉圈 否则转入3) 3)调整增加边。如果1)不满足，则从该条边的增加边中去掉偶数条； 如果2)不满足，则将这个圈上的增加边去掉，将该圈的其余边上添加增 加边，转入(2)
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v2
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v1
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图2
图3
如果在比赛中： A胜E， B胜C， A胜D， C胜A， E胜D， A胜B，
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注：本章所研究的图与平面几何中的图不 同，这里我们只关心图有几个点，点与点 之间有无连线，两条线有无公共顶点，点 与线是否有关联，至于连线的方式是直线 还是曲线，点与点的相对位置如何都是无 关紧要的。
求从v1到v8的最短路
(0)
(1,1)
(1,3)
(3,5)
(2,6)
(5,10)
(5,9)
(5,12)
注：在给顶点编号时，如果在多个为标号点均取得最小值Llk则对这多个点同时标号，这些点的第二个标号相同，但是第一个标号不一定相同。
运筹学图与网络分析
23
1
4
v7
v6
9
v3
3
v5
17
v4
总造价=1+4+9+3+17+23=57
避圈法：开始选一条权最小的边，以后每一步中， 总从未被选取的边中选一条权尽可能小，且与已选 边不构成圈的边。
v2
1
3
5
2
v4
v1
2
4
v3 1
v5
3
某六个城市之间的道路网如图 所示，要求沿着已知长 度的道路联结六个城市的电话线网，使电话线的总长度 最短。
图与网络分析
(Graph Theory and Network Analysis)
图与网络的基本知识 树及最小树问题 最短路问题 最大流问题
哥尼斯堡七桥问题
哥尼斯堡（现名加里宁格勒）是欧洲一个城 市，Pregei河把该城分成两部分，河中有两个小 岛，十八世纪时，河两边及小岛之间共有七座桥， 当时人们提出这样的问题：有没有办法从某处 （如A）出发，经过各桥一次且仅一次最后回到 原地呢？
7 6
1 2
3
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4
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1 2
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1 2
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4
得出第二次就座方案是（1，3，5，7， 2，4，6，1），那么第三次就座方案就不 允许这些顶点之间继续相邻，只能从图中 删去这些边。
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交通与汽车工程学院
C
包含两个要素： 对象（陆地）; 及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
A B
D
运筹学 图论中讨 论的“图”
交通与汽车工程学院
日常生产生活 中，还有什么 可以用图来表 示？
交通与汽车工程学院
6.1 基本概念
一、图的定义 点：表示研究对象 边：表示表示研究对象之间的特定关系
图由点和边组成的集合，记作G=(V，E)， 其中： V=(v1，v2，……，vn)为点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
交通与汽车工程学院
项目A 项目B 项目C 项目D 项目E
项目F
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
B A C
D F E
交通与汽车工程学院
1 4
偶图:
2
5
6 3 7
V1
V2
图的顶点可分为 2个不相交的非 空集合V1和V2， 同一集合中任意 两点不相邻，即 任意一边的2个 端点属于2个不 同集合。
交通与汽车工程学院
6、子图与部分图
子图
V V ，E E
' '
v1
v2
v4
v3
v6
v5
交通与汽车工程学院
6、子图与部分图
子图 部分图
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。
e8 v6
v5
交通与汽车工程学院
二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
v2 v3
无向图
v4 v1 v2 v5 v3 v4
有向图
v4 v5
混合图
v5
交通与汽车工程学院
8、基础图
去掉有向 图中的方 向
v2 v1 v3 v1 v2 v3
v4
有向图
v5
v4
基础图
v5
交通与汽车工程学院
9、连通、强连通、弱连通
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例：
5
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12、邻接矩阵
v2
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v3 v1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
无向图
v4 v5
v2 1
v3 1
v4 1
1
0 0
0
0 1
0
0 1
1
1 0
1, 顶点vi 与v j关联 v5 1 aij 0， 顶点vi 与v j不关联
交通与汽车工程学院
12、邻接矩阵
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
回路 起点=终点的路 e1 v1 e5 v4 e8
v6 e2 e6 e4 e7 v2
e3 v3
e8
v5
交通与汽车工程学院
5、完全图、偶图
1 7 2
完全图:
3
6
简单图中，任 意两点之间均 有边相连
5
4
交通与汽车工程学院
5、完全图、偶图
v1
e5 v4
e2 e6 e4
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。对
e3 v3
e7
e8 v6
无环、有多重边的图称
v5 作多重图。
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计算图中各点的次，
二、图的相关定义
e1
并说明是奇点、偶点、
3、次、奇点、偶点、 还是孤立点？ 孤立点 与某一个点vi相关 联的边的数目称为点 vi的次(也叫做度或线 度),记作d(vi)。次为奇 数的点称为奇点,次为 偶数的点称作偶点,次 为0的点称作孤立点。
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
交通与汽车工程学院
e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
交通与汽车工程学院
e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列 路 无重合点的链
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二、图的相关定义
e1
1、端点、关联边、相邻
如果边e可表示为e =
v2 （vi, vj）,称vi和vj是边e
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
的端点,反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、 vj与同一条边关联，称点 vi和vj相邻;若边ei和ej有 公共的端点,称边ei和ej相
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理2：在任意一个 图中，奇顶点的个 数必为偶数。
设V1和V2分别为G中奇 点和偶点的集合，有：
e8 v6
vV1
d (v) d (v) d (v) 2q
vV2 vV
v5
交通与汽车工程学院
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
有向图
4
8
交通与汽车工程学院
课堂练习：
1、如下序列是否有可能是某简单图的 次的序列?
7，6，5，4，4，2
6，6，5，4，3，2，1
交通与汽车工程学院
课堂练习：
v1 e2 e1 2 3 e5 e4 e7 4 v2
v3
1
2、如图所示有向网 络图，求：
1)、各点的次、奇点、偶 点
第6章 图与网络
本章主要内容
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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第6章 图与网络
本章主要内容、重点及难点
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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e3 4
6
e6 4
2)、基础图
3)、链（v1,e5,v5,e8,v4,
v4
e8
5
v5
e4,v2,e2,v3）中的前向弧 与后向弧？ 4)、求该图的邻接矩阵？
5)、求该图的赋权矩阵？
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例1:6位运动员参加6个比赛，图中“1”表示个 运动员参加的比赛项目，怎么安排比赛顺序 可以使每位运动员都不连续参加2项比赛。
v1 v2 v3 v4 v5 v1 2 7 5 3 4 v2 2
3 v4 8
4
4
v3 7
v5
5
4
8
v4 3
无向图
v5 4
4
8
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13、赋权矩阵
v2 v1 2 7 5 v3
v1 v 2 v1 v2 2 v3
v3 v4 v5 7 5 3 4
3
8 v4
4
4
v5
v4 v5
第6章 图与网络
哥尼斯堡（现名加 里宁格勒）是欧洲一个 城市，Pregel河把该城 分成两部分，河中有两 个小岛，十八世纪时， 河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出 这样的游戏：有没有办 法从某处（如A）出发， 经过各桥一次且仅一次 最后回到原地呢？
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数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的解决方法：
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理1：在一个图 中，所有顶点次 的和等于边的两 倍 。
e8 v6
d (v) 2q
vV
v5
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二、图的相关定义
忽略问题的具体细节，将问题的 关键性质或关系抽象为图的形式。 把A、B、C、D四块陆地分别收 缩成四个顶点，把桥表示成连接对 应顶点之间的边。
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C A
陆地为 “点 D
B
桥为“边”
问题：是否能从四块陆 地中的任一块开始，通 过每座桥恰好一次再回 到起点？
问题：是否能从任 意一个顶点开始， 通过每条边恰好一 次再回到起点？
e8 v6
v5
邻。
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。
e8 v6
v5
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C
包含两个要素： 对象（陆地）; 及对象间的二元关系 （是否有桥连接）
A B
D
运筹学 图论中讨 论的“图”
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日常生产生活 中，还有什么 可以用图来表 示？
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6.1 基本概念
一、图的定义 点：表示研究对象 边：表示表示研究对象之间的特定关系
图由点和边组成的集合，记作G=(V，E)， 其中： V=(v1，v2，……，vn)为点的集合， E=(e1，e2，……，em) 为边的集合。
项目1 项目2 项目3 项目4 项目5 项目6
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1 1 1 1 1 1
1
1 1
1 1
1
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项目A 项目B 项目C 项目D 项目E
项目F
1号 2号 3号 4号 5号 6号
1 1 1 1
1
1
1 1 1 1 1 1
1
1
1
1
B A C
D F E
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1 4
偶图:
2
5
6 3 7
V1
V2
图的顶点可分为 2个不相交的非 空集合V1和V2， 同一集合中任意 两点不相邻，即 任意一边的2个 端点属于2个不 同集合。
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6、子图与部分图
子图
V V ，E E
' '
v1
v2
v4
v3
v6
v5
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6、子图与部分图
子图 部分图
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
v2 v3
无向图
v4 v1 v2 v5 v3 v4
有向图
v4 v5
混合图
v5
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8、基础图
去掉有向 图中的方 向
v2 v1 v3 v1 v2 v3
v4
有向图
v5
v4
基础图
v5
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9、连通、强连通、弱连通
任何两点之间至少存在一条链的图称为连通图， 否则称为不连通图。
例：
5
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12、邻接矩阵
v2
v1 v2 v3 v4 v5
v1
v3 v1 0
1 0
1 1
1 0
1 0
无向图
v4 v5
v2 1
v3 1
v4 1
1
0 0
0
0 1
0
0 1
1
1 0
1, 顶点vi 与v j关联 v5 1 aij 0， 顶点vi 与v j不关联
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12、邻接矩阵
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
回路 起点=终点的路 e1 v1 e5 v4 e8
v6 e2 e6 e4 e7 v2
e3 v3
e8
v5
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5、完全图、偶图
1 7 2
完全图:
3
6
简单图中，任 意两点之间均 有边相连
5
4
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5、完全图、偶图
v1
e5 v4
e2 e6 e4
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。对无环、无多重 边的图称作简单图。对
e3 v3
e7
e8 v6
无环、有多重边的图称
v5 作多重图。
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计算图中各点的次，
二、图的相关定义
e1
并说明是奇点、偶点、
3、次、奇点、偶点、 还是孤立点？ 孤立点 与某一个点vi相关 联的边的数目称为点 vi的次(也叫做度或线 度),记作d(vi)。次为奇 数的点称为奇点,次为 偶数的点称作偶点,次 为0的点称作孤立点。
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
起点=终点的链 e1
e2 e6 e4 v2 e3 v3 e7 v6 v5
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e8
4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列 路 无重合点的链
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二、图的相关定义
e1
1、端点、关联边、相邻
如果边e可表示为e =
v2 （vi, vj）,称vi和vj是边e
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
的端点,反之称边e为点vi
或vj的关联边。若点vi、 vj与同一条边关联，称点 vi和vj相邻;若边ei和ej有 公共的端点,称边ei和ej相
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理2：在任意一个 图中，奇顶点的个 数必为偶数。
设V1和V2分别为G中奇 点和偶点的集合，有：
e8 v6
vV1
d (v) d (v) d (v) 2q
vV2 vV
v5
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4、链与路、圈与回路 链 圈 v1 e5 v4 点边交错的序列
有向图
4
8
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课堂练习：
1、如下序列是否有可能是某简单图的 次的序列?
7，6，5，4，4，2
6，6，5，4，3，2，1
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课堂练习：
v1 e2 e1 2 3 e5 e4 e7 4 v2
v3
1
2、如图所示有向网 络图，求：
1)、各点的次、奇点、偶 点
第6章 图与网络
本章主要内容
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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第6章 图与网络
本章主要内容、重点及难点
6.1、图的基本概念
6.2、网络计划及网络优化
6.3、树的知识：最小生成树 6.4、最小费用、最大流问题
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e3 4
6
e6 4
2)、基础图
3)、链（v1,e5,v5,e8,v4,
v4
e8
5
v5
e4,v2,e2,v3）中的前向弧 与后向弧？ 4)、求该图的邻接矩阵？
5)、求该图的赋权矩阵？
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例1:6位运动员参加6个比赛，图中“1”表示个 运动员参加的比赛项目，怎么安排比赛顺序 可以使每位运动员都不连续参加2项比赛。
v1 v2 v3 v4 v5 v1 2 7 5 3 4 v2 2
3 v4 8
4
4
v3 7
v5
5
4
8
v4 3
无向图
v5 4
4
8
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13、赋权矩阵
v2 v1 2 7 5 v3
v1 v 2 v1 v2 2 v3
v3 v4 v5 7 5 3 4
3
8 v4
4
4
v5
v4 v5
第6章 图与网络
哥尼斯堡（现名加 里宁格勒）是欧洲一个 城市，Pregel河把该城 分成两部分，河中有两 个小岛，十八世纪时， 河两边及小岛之间共有 七座桥，当时人们提出 这样的游戏：有没有办 法从某处（如A）出发， 经过各桥一次且仅一次 最后回到原地呢？
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数学家Euler在1736年巧妙地给出 了这个问题的解决方法：
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
e8 v6
v5
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二、图的相关定义
e1
3、次、奇点、偶点、 孤立点
v1
e5 v4
e2 e6 e4
v2
e3 v3
e7
定理1：在一个图 中，所有顶点次 的和等于边的两 倍 。
e8 v6
d (v) 2q
vV
v5
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二、图的相关定义
忽略问题的具体细节，将问题的 关键性质或关系抽象为图的形式。 把A、B、C、D四块陆地分别收 缩成四个顶点，把桥表示成连接对 应顶点之间的边。
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C A
陆地为 “点 D
B
桥为“边”
问题：是否能从四块陆 地中的任一块开始，通 过每座桥恰好一次再回 到起点？
问题：是否能从任 意一个顶点开始， 通过每条边恰好一 次再回到起点？
e8 v6
v5
邻。
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二、图的相关定义
e1
2、环、多重边、简单图
如果边e的两个端点相
v2 重，称该边为环,如图中
v1
e5 v4
e2 e6 e4
e3 v3
e7
边e8为环。如果两个点
之间的边多于一条,称为 具有多重边,如图中的e1 和e2。
e8 v6
v5
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