极大似然估计和广义矩估计
DSGE模型的估计：ML与GMM方法
计 的 基本 原理 ， 后通 过 两个 例 子说 明 了如 何 进 行 具 体 的 应 用 。 然
【 键 词 】 随机动态一般均衡模型 ； 大似 然法 ； 矩法 关 极 广义 【 中图分类号 】 ２４ 【 Ｆ２． ０ 文献标识码 】 【 Ａ 文章编号 】０４２６（０８２—０４０ １０—７８２０ ） ０２—３ ０
．
三
ｇ （￣Ｙ ） Ｔ ｑ；Ｔ ＝
ｈ ｙ， ） （ 。‘ Ｐ
（） ７
Ｊ Ｉ＝ １
ｇ（ ） ｒ ・也是一个 ｉ ｘｌ ｎ 的向量值 函数 。Ｇ ＭＭ的思想就是选 择 ‘的估计量‘ 使样本矩 ｇ （ ｙ ） Ｐ Ｐ， ｒ ‘ 尽可能接近 由式 （ ） Ｐ； ６ 表示 的总体矩。为此 ， 定义一个距离 函数来评价它们之间的接近 要 程度。我们可以使用 以下的距离函数 （ ａｓｎ １８ ） Ｈ ｎｅ ，９２ ：
一
、
引论
∑的估计量 由下式给出：
‘
一
实际商业周期理论（ Ｂ 产生以来 ， Ｒ Ｃ） 它所使用的随机动态 般均衡 （ Ｓ Ｅ） Ｄ Ｇ 的分析框架在经济 周期波 动理论 以及 资产定 价中得到 了广泛的应用 。但其在 求解模型参数的方法中 ， 多是 从其它的研究中直接获得模型 中的参数值来 观察 不同 的冲击 下主要宏观经济变量 的各种性质 ， 量的方法很少 被使 用。只 计 是在近些 年才出现了一些使用计量 方法进行模 型的参数估计 的方 法 ， 中主 要 是 极 大 似 然法 和广 义 矩 法 。 其 极大似然法是建立在极大似然原理基础上的方法 ， 进行的 参数估计是根据将 被估计的参数选为最有可能被观察到的值 。 这一方法 的缺点是要求我们说明似然函数 的具体形式。 广义矩 法 的观念 虽然 已使 用 了很 长时 间 ，最早 由皮 尔 逊 （ ｅｒ ｎ Ｐａｏ ， ｓ １９ ） ８４ 给出 ， 对其进行一般 的表 述却 是 由汉森（ ａｓｎ １８ ） 但 Ｈ ｓｅ ，９ ２ 发展起来 的。与极 大似然法相 比， 广义矩法的优点是它仅需要 说明一些矩条件 ， 而不需要知道具体的密度函数。它的缺点就 是不 能对样本 中的全部信息进行有效利用 （ ａ ｉｏ ，９ ４ 。 Ｈ ｍｌ ｎ １９ ） 下 ｔ 面我们分别简要介绍一下它们的基本原理 。 （ ） 一 ＭＬ方 法 的 原 理 使用 ＭＬ对动态最优模型进行估计 ， 从以下的计量模 型开
矩估计和极大似然估计正式版PPT文档
pˆX1 n ni1
Xi
fn(A)
(即出现不合格产品的频率).
例5 设总 X~U 体 [a,b]a ,,b未知 X1, ； ,Xn
是一个 求：样 a, b的本 矩估计； 量。
解 令 2 1 E a( E 2X bX2 ) aAD 12X b 1n, ( iE n1X X)2 i (b 1 2 a )2 (a 4 b )2
参数估计
统计推断：参数估计和假设检验。 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。
估计湖中鱼数
估计平均降雨量
……
参数估计要解决问题:
总体分布函数的形式为, 但其中参数θ 未知时，需要确定未知参数。只有当参数θ 确定后，
才能通过率密度函数计算概率。
对于未知参数，如何应用样本 X1,X2,,Xn
一 . 矩估计法
根本原理：总体矩是反映总体分布的最简单的 数字特征，当总体含有待估计参数时，总体矩是 待估计参数的函数。
样本取自总体，Ak PE(Xk) k1,2,.
样本矩在一定程度上可以逼近总体矩， 故用样本矩来估计总体矩
由英国统计学家K.皮尔逊最早提出的。
设总体X的分布函数为 F(x;1, ,k)
参数估计： 点估计:估计θ的具体数值; 区间估计:估计θ的所在范围.
点估计问题：
构造一个适当的统计量 ˆ(X1,X2, ,Xn)
用它的观察值 ˆ(x1,x2,,xn)来估计未知参数θ.
称 ˆ(X1,X2,Xn) 为θ的估计量， ˆ(x1,x2,,xn) 为θ的估计值.
第一节 矩法估计
第七章
一 、矩法估计 二、常用分布参数的矩法估计
则ˆX, ˆ21 ni n1(XiX)2
矩估计和极大似然估计
^ 2
1 n
n i1
Xi2
2
X .
14/22
即
ˆ X ,
ˆ 2
1 n
n i 1
(Xi
X )2.
故，均值,方差2的矩估计为
ˆ ˆ
X, 2 1
n
n
（X
i1
i
X )2
即
n 1S2. n
15/22
如：正态总体N(, 2) 中和2的矩估计为
)2
i1 2
(2 ) e , 2
n 2
1
2
2
n i1
( xi )2
对数似然函数为
ln
L(,
2
)
n 2
ln( 2
)
n 2
ln
2
1
2
2
n
( xi
i1
)2,
35/22
似然方程组为
ln L(, 2 ) 1 2
ln L(, 2 )
X1, X2 , … , Xn . 依样本对参数θ 做出估计，或估计参数θ 的 某个已知函数 g(θ ) 。 这类问题称为参数估计。
参数估计包括：点估计和区间估计。
4/22
为估计参数 µ，需要构造适当的统计量 T( X1, X2 , … , Xn )，
一旦当有了样本，就将样本值代入到该统计 量中，算出一个值作为µ的估计， 称该计算 值为 µ的一个点估计。
7/22
总体 k 阶原点矩 ak E(X k ),
样本 k 阶原点距
Ak
1 n
地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚现象的空间计量学解释
地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚现象的空间计量学解释一、本文概述本文旨在通过空间计量学的视角，深入探讨地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚现象的影响。
随着全球化的推进和科技的快速发展，技术和经济集聚现象在全球范围内愈发显著，成为了经济学、地理学等多个学科研究的热点。
本文将从理论分析和实证研究两个方面入手，分析地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚现象的作用机制，为政策制定和实践操作提供理论支持和决策依据。
在理论分析方面，本文将系统梳理相关文献，探讨地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚的影响机理。
地理距离不仅影响信息的传递和知识的扩散，还影响企业和个人的空间选择行为。
技术外溢效应则是指技术在空间上的传播和扩散，对技术创新和经济增长具有重要影响。
本文将深入分析地理距离和技术外溢效应如何共同作用于技术和经济集聚现象，构建相应的理论模型。
在实证研究方面，本文将运用空间计量学方法，对地理距离和技术外溢效应与技术和经济集聚现象的关系进行量化分析。
通过收集相关数据，建立空间计量模型，实证检验地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚的影响程度。
本文还将考虑不同区域、不同行业的异质性，探讨地理距离和技术外溢效应在不同背景下的作用差异。
本文的研究不仅对深入理解技术和经济集聚现象具有重要意义，也为政策制定者提供了有益的参考。
通过揭示地理距离和技术外溢效应对技术和经济集聚的影响机理，本文旨在为政策制定者提供科学依据，促进技术创新和经济增长的空间均衡发展。
二、文献综述随着全球化的推进和科技的快速发展，技术和经济集聚现象逐渐成为了经济学、地理学等领域研究的热点。
地理距离和技术外溢效应作为影响技术和经济集聚的关键因素，其相关研究已逐渐深入。
地理距离作为传统地理学中的核心概念，一直被用来解释各种经济和社会现象。
在技术和经济集聚的研究中，地理距离不仅影响了创新思想的传播和技术的扩散，还决定了资源和要素的空间配置。
诸多学者通过实证研究发现，地理距离越近，技术和经济活动的集聚现象越明显。
广义矩估计和极大似然估计
广义矩估计一、背景我们前面学了OLS 估计、工具变量估计方法，前面这几种方法都有重要假设就是需要知道分布才能估计，但是往往现实理论我们无法得到关于分布的信息，因此矩估计方法应运而生。
矩估计方法的基本思想是利用样本矩的信息组成方程组来求总体矩，以此得到渐进性质下的一致性估计量。
那么在构成方程组求解的过程中涉及识别问题和解决。
本章详细介绍矩估计方法。
矩估计方法实际应用非常广泛，应注意将矩估计与OLS 估计、工具变量估计和极大似然估计方法结合对比进行应用。
二、知识要点 1，应用背景2，矩估计存在的问题（识别） 3，矩正交方程和矩条件 4，矩估计的属性 三、要点细纲 1、应用背景其基本思想是：在随机抽样中，样本统计量（在一个严格意义上，一个统计量是观察的n 维随机向量即子样(),,,12X X X n =X 的一个（波雷尔可测）函数，且要求它不包含任何未知参数）将依概率收敛于某个常数。
这个常数又是分布中未知参数的一个函数。
即在不知道分布的情况下，利用样本矩构造方程（包含总体的未知参数），利用这些方程求得总体的未知参数。
基本定义统计量 11n m X i n i νν∑= 为子样的ν阶矩（ν阶原点矩）； 统计量 ()11n B X X i n i νν∑-= 为子样的ν阶中心矩。
子样矩的均值与方差()()()()2222EX Var X E X E X kk EX E X kkμμμοαμμ=-=--我们用到k k αμ或时假定它是存在的。
基本做法设：母体X 的可能分布族为(){},,F x θθ∈Θ，其中属于参数空间Θ的(),,,12k θθθθ= 是待估计的未知参数。
假定母体分布的k 阶矩存在，则母体分布的ν阶矩()(),,,,112x dF x k k ναθθθθνν∞=≤≤⎰-∞是(),,,12k θθθθ= 的函数。
对于子样(),,,12X X X n = X ，其ν阶子样矩是1,11n m X k i n i ννν=≤≤∑= 现在用子样矩作为母体矩的估计，即令：()1,,,1,2,,121n m X k ik n i ναθθθννν===∑= （1）（1）式确定了包含k 个未知参数(),,,12k θθθθ= 的k 个方程式。
极大似然估计和广义矩估计
05
案例分析
极大似然估计的案例
线性回归模型
在回归分析中，极大似然估计常用于估计线性回归模型的参数。通过最大化似然 函数，可以得到最佳线性无偏估计，使得预测值与实际观测值之间的误差最小。
正态分布参数估计
极大似然估计在正态分布的参数估计中也有广泛应用。例如，假设一组数据来自 正态分布，我们可以通过极大似然估计来估计均值和方差。
极大似然估计和广义矩估 计
• 引言 • 极大似然估计 • 广义矩估计 • 极大似然估计与广义矩估计的比较 • 案例分析 • 总结与展望
01
引言
主题简介
极大似然估计
极大似然估计是一种参数估计方 法，基于观测数据的概率分布模 型，通过最大化似然函数来估计 未知参数。
广义矩估计
广义矩估计是一种非参数估计方 法，通过最小化一系列矩（如一 阶矩、二阶矩等）的离差来估计 未知参数。
唯一性
在某些条件下，极大似然估计具有唯一性，即真实参 数值是极大似然函数的唯一最大值。
极大似然估计的步骤和实现
1 2
定义似然函数
根据数据分布和模型假设，定义似然函数。
求导并求解
对似然函数求导，并使用优化算法求解导数为零 的点，得到参数的极大似然估计值。
3
验证估计值
使用验证数据集验证估计值的准确性和有效性。
3. 优化目标函数
实现
使用优化算法（如牛顿法、拟牛顿法等） 最小化目标函数，以找到最优的模型参数 。
在编程语言（如Python、R等）中，可以 使用相应的统计库（如statsmodels、 EMMA等）来方便地实现广义矩估计。
04
极大似然估计与广义矩估计的比较
相似之处
理论基础
01
经典参数估计方法(3种方法)
经典参数估计方法：普通最小二乘（OLS）、最大似然（ML）和矩估计（MM）普通最小二乘估计（Ordinary least squares，OLS）1801年，意大利天文学家朱赛普.皮亚齐发现了第一颗小行星谷神星。
经过40天的跟踪观测后，由于谷神星运行至太阳背后，使得皮亚齐失去了谷神星的位置。
随后全世界的科学家利用皮亚齐的观测数据开始寻找谷神星，但是根据大多数人计算的结果来寻找谷神星都没有结果。
时年24岁的高斯也计算了谷神星的轨道。
奥地利天文学家海因里希.奥尔伯斯根据高斯计算出来的轨道重新发现了谷神星。
高斯使用的最小二乘法的方法发表于1809年他的著作《天体运动论》中。
法国科学家勒让德于1806年独立发现“最小二乘法”，但因不为世人所知而默默无闻。
勒让德曾与高斯为谁最早创立最小二乘法原理发生争执。
1829年，高斯提供了最小二乘法的优化效果强于其他方法的证明，因此被称为高斯-莫卡夫定理。
最大似然估计（Maximum likelihood，ML）最大似然法，也称最大或然法、极大似然法，最早由高斯提出，后由英国遗传及统计学家费歇于1912年重新提出，并证明了该方法的一些性质，名称“最大似然估计”也是费歇给出的。
该方法是不同于最小二乘法的另一种参数估计方法，是从最大似然原理出发发展起来的其他估计方法的基础。
虽然其应用没有最小二乘法普遍，但在计量经济学理论上占据很重要的地位，因为最大似然原理比最小二乘原理更本质地揭示了通过样本估计总体的内在机理。
计量经济学的发展，更多地是以最大似然原理为基础的，对于一些特殊的计量经济学模型，最大似然法才是成功的估计方法。
对于最小二乘法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该使得模型能最好地拟合样本数据；而对于最大似然法，当从模型总体随机抽取n组样本观测值后，最合理的参数估计量应该是使得从模型中抽取该n组样本观测值的概率最大。
从总体中经过n次随机抽取得到的样本容量为n的样本观测值，在任一次随机抽取中，样本观测值都以一定的概率出现。
矩估计与最大似然估计
矩估计与最大似然估计
矩估计是基于样本矩与总体矩之间的对应关系来估计总体参数
的方法。
在确定矩估计量时，首先需要确定估计量所对应的矩的阶数，并且需要保证样本矩与总体矩之间存在一一对应关系。
矩估计方法具有简单、易于计算和解释的优点，但是在样本容量较小时可能存在较大的估计误差。
最大似然估计是基于样本数据在不同总体参数下出现的概率大
小来估计总体参数的方法。
最大似然估计量是使得样本数据出现的概率最大的总体参数取值。
最大似然估计方法具有渐进无偏性、有效性和一致性等优点，但是在计算过程中需要确定似然函数，并且需要对极值进行求解。
总之，矩估计和最大似然估计方法各有优缺点，在具体应用中需要根据实际情况进行选择。
- 1 -。
矩估计和极大似然估计分析解析
14
注:
总体均值方差的矩估计量与总体分布无关。
做矩估计时,也可用中心矩建立关于未知参数的 方程组， 因而矩估计不唯一。
例3
解：
λ未知，求参数λ的矩估计。
15
例4 不合格品率 p 的矩法估计 设某车间生产一批产品，为估计该批产品不合格品 率，抽取了n 件产品进行检查. 分析 设总体X 为抽的不合格产品数，相当于抽取了 一组样本X1，X2，… ，Xn , 且
中出现的概率最大。 极大似然估计就是在一次抽样中,若得到观测值
则选取
使得当
作为θ的估计值。 时,样本出现的概率最大。
24
极大似然估计法:
定义7.1 设 是
的一个样本值
形式已知
(如离散型) X的分布列为 的联合分布列为：
事件 为
发生的概率为 的函数，
25
为样本的似然函数。
样本的似然函数
现从中挑选使概率
θ
1 0 ( y )2 e θ dy 2θ 2 2 2
x μ 2 x θ e dx μ θ y
=θ2+(θ+μ)2
注意到 令 θ μ X , 2 θ M 2 . DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2
2 1 ˆ M2 (Xi X ) , n i 1 ˆ X M . μ n
(b a ) ( a b) 1 A2 12 4 n
2 2
i 1
n
2 Xi
2 1
即 a b 2 A1 , b a 12( A2 A )
n 3 2 2 ˆ 解得： a A2 3( A2 A1 ) X ( X i X ) 17 n i 1
第二章1-矩估计和极大似然估计
0
解法二
E
X
x
1
x
e dx
1
x
x e dx (2)
2
0
即 E|X|
1 n
用 n i1 X i
替换
EX
即得的另一矩估计量为
ˆ 1
n
n i 1
Xi
16
• 矩估计的优点 – 不依赖总体的分布，简便易行 – 只要n充分大，精确度也很高。
• 矩估计的缺点 – 矩估计的精度较差； – 要求总体的某个k阶矩存在； – 要求未知参数能写为总体的原点矩的函数形 式
得和2的估计值分别为13(mm)和 0.133(mm)2
12
例2 设总体X的概率密度为
f
( x;
)
x 1 ,
0,
0 x 1 其它
X1,X2,,Xn为来自于总体X的样本,x1,x2, ,xn 为样本值,求参数的矩估计。
解： 先求总体矩
1
1
E( X ) x x 1dx x dx
x 1 1
ˆ2 (x1, x2 ,, xn )
数值
ˆk (x1, x2 ,, xn )
称数ˆ1,ˆ2 ,,ˆk 为未知参数1,2 ,,k 的估计值 对应的统计量为未知参数1,2 ,,k 的估计量
问题 如何构造统计量？
6
二.点估计的方法
1、矩方法；（矩估计） 2、极大似然函数法（极大似然估计）.
1. 矩方法
• 极大似然估计的缺点 要求必须知道总体的 分布函数形式
29
多参数情形的极大似然估计
若总体X的概率密度为：f (x;1,2 , ,k )
其中
1
,
2
,,
矩估计和极大似然估计
5
参数估计： 点估计:估计θ的具体数值; 区间估计:估计θ的所在范围 .
点估计问题：
构造一个适当的统计量
用它的观察值
来估计未知参数 θ.
称
为θ的估计量，
为θ的估计值 .
6
第一节
第七章
矩法估计
第七章 参数估计
一 、矩法估计 二、极大似然估计法 三、估计量的评选标准 四、置信区间
1
参数估计
统计推断：参数估计和假设检验。 参数估计问题是利用从总体抽样得到的信息 来估计总体的某些参数或者参数的某些函数。
估计湖中鱼数
估计平均降雨量
……
2
参数估计要解决问题 :
总体分布函数的形式为已知 , 但其中参数 θ 未知时，需要确定未知参数。只有当参数 θ 确定后，
X
则?? ? x ? 1 (0? 75 ? 1? 90 ? ? ? 6? 1) ? 1.22
250
所以 X ? ? , 估计值?? ? 1.22。
12
二、常用分布常数的矩法估计 下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求
未知参数的过程。
13
例2 设总体X的均值? ，方差? 都存在，且? 2 ? 0,
其中θ＞0，μ与θ是未知参数， X1，X2，…,Xn，
是X 的一组样本，求 μ与θ的矩估计量 .
? 解
??
? x? ?
EX ? ?
x θ
e
θ dx
令 y? x? ?,
??
?y
? ?
0
1 ?
(
y
?
? )e
参数估计-矩法和极大似然法
(4) 在最大值点的表达式中, 用样本值代入就 得参数的最大似然估计值 .
可靠性数学基础
例 设总体 X ~N( μ , σ )2 ,
2 μ , σ未知 .
x1 ,
, xn
是来自 X 的样本值 , 试求 μ , σ 2的最大似然估计量 . 解 X 的概率密度为
f ( x) 1 2 e
( x )2 2 2
Fisher
可靠性数学基础
最大似然法的基本思想
先看一个简单例子： 某位同学与一位猎人一起外 出打猎 . 一只野兔从前方窜过 .
只听一声枪响，野兔应声倒下 . 如果要你推测，是谁打中的呢？ 你会如何想呢?
可靠性数学基础
你就会想，只发一枪便打中, 猎人命中的概率 一般大于这位同学命中的概率 . 看来这一枪是猎人 射中的 . 这个例子所作的推断已经体现了极大似然法的 基本思想 .
1
n
可靠性数学基础
且是的增函数
取其它值时，L( , ) 0.
故使 L( , )达到最大的 , 即 的MLE 是
min xi
* 1 i n
于是
n 1 * xi * n i 1 即 * , *为 , 的MLE .
可靠性数学基础
1 ( x ) e , x X ~ f ( x ) , 为未知参数 其它 0,
其中 >0,求 , 的最大似然估计. 解：似然函数为
1 ( xi ) ， xi e L( , ) i 1 其它 0,
可靠性数学基础
最大似然估计原理：
设X1,X2,…Xn是取自总体X的一个样本，样本 的联合密度(连续型）或联合分布律 (离散型)为 f (x1,x2,… ,xn ; ) . 当给定样本X1,X2,…Xn时，定义似然函数为：
求矩估计量和最大似然估计量
求矩估计量和最大似然估计量
矩估计量(Moment Estimator)和最大似然估计量(Maximum Likelihood Estimator)是统计学中用以估计随机变量参数的两种重要的方法。
其区别在于使用的原理：矩估计量使用的是求取样本统计量的期望，而最大似然估计量则是通过极大化似然函数来估计参数。
矩估计量是由拉格朗日最优化理论推理而出的非参数估计方法，根据样本统计量的假设期望，利用幂章数定律并计算矩，结合样本算数平均数与样本方差进行求解，从而求得极大似然函数的极大值，以此来估计参数派生值。
矩估计量的优点在于可以求解多个参数，可以在未知参数的情况下进行评估，这种估计量在处理简单的样本时十分有用。
最大似然估计量(Maximum Likelihood Estimator)是极大化似然函数来估计参数的基于参数方法。
它旨在求出最佳匹配拟合参数，从而使极大化此函数有最大可能满足观测数据值的参数解求解能力较强，同时，可以简单的估计函数的协方差，应用范围广泛。
总而言之，矩估计量和最大似然估计量是统计学中用以估计随机变量参数的有效方法，各有优劣。
矩估计量的求解速度快，因此，它适用于处理少量参数且简单数据的情况；而最大似然估计量则能够极大化观测数据值，更能合理有效地评估复杂数据。
矩估计和极大似然估计 (I)
得到关于 1,2,…,k 的方程组(L≥k)。
一般要求方程组(1)中有 k 个独立方程。
18/22
步骤四：解方程组(1), 并记其解为
ˆ m ˆ m ( X 1 ,X 2 , ,X n ) ， m 1 ,2 , ,k .
则 ˆ(ˆ1,ˆ2, ,ˆk)就是 (1,2, ,k)
Xn，要去估计未知参数θ 。
一种直观的想法是：哪个参数(多个参数 时是哪组参数) 使得现在的出现的可能性 (概 率) 最大，哪个参数(或哪组参数)就作为参数 的估计。这就是 极大似然估计原理。如果
L(ˆ)maLx().
θ 可能变化空间,
称为参数空间。
称 ˆ 为θ 的极大似然估计 (MLE)。
不通，这时要用极大似然原理来求 。
34/22
例2：某机器生产的金属杆用于汽车刹车系统，
假设这种金属杆直径服从正态分布 N(, 2) 参 数 和2未知，求此两参数极大似然估计量。
解：似然函数为
n
L(,2)
i1
1
e(x2i 2)2
2
(2 ) e , 2
n 2
ˆ X 1nin1(Xi X)2 .
ˆ, ˆ为参数 ,的矩估计。
13/22
例3：设总体X的均值为，方差为2，求 和 2 的矩估计。
E(X) , 解：由 E(X2) 2 2.
即
^ X,
^
2
1 n
n i 1
X
2 i
27/22
III. 下面举例说明如何求参数的MLE
例1: 在正确使用情况下，某手机电池的保修 期为400小时，假设P是一批这种手机电池在 保修期内失效的比例。 （1）求p的极大似然估计量； （2）随机抽取了2000块电池作为样本，发现 有3块电池在保修期内失效，根据这些信息求 参数p的极大似然估计值。
第四章 极大似然估计和广义矩估计
RSS ei2 ee (Y Xβ)(Y Xβ) (4.18)
YY YXβ βXY + βXXβ YY 2YXβ + βXXβ
这里最后一个等号成立是因为第二行中所有各 项都是标量，且中间两项互为转置矩阵，因而相 23 等。
RSS对 β 微分，得到：
第一节 极大似然估计法 第二节 似然比检验、沃尔德检验和拉 格朗日乘数检验 第三节 广义矩（GMM）估计
1
除普通最小二乘法（OLS）外，极大 似然估计（MLE）和广义矩估计（ GMM）也是计量经济学中重要的估计 方法。 极大似然估计法和广义矩估计法适用 于大样本条件下参数的估计，它们在 大样本条件下显示了优良的性质。 本章主要介绍极大似然法和广义矩方 法以及基于极大似然估计的似然比（ LR）检验、沃尔德（W）检验和拉格 朗日乘数（LM）检验。
2的极大似然估计量与最小二乘估 但最后一式表明， 计量不同，我们记得，最小二乘估计量 2 ˆ X )2 ˆ e ( Y t t t 2 ˆ OLS n2 n2 是一个无偏估计量。而
2 2 ( n 2) 2 ˆ ML 2 ) E ( E ( ) 2 n n n 2 e t
3
一、极大似然法的思路
极大似然估计的出发点是已知被观测现象的分布， 但不知道其参数。极大似然法用得到观测值（样本） 最高概率的那些参数的值来估计该分布的参数，从而 提供一种用于估计刻画一个分布的一组参数的方法。
4
例4.1 设有一枚不均衡的硬币，我们关心的是在每 次抛掷该硬币出现正面的概率p。抛掷该硬币N次， 假设得到 N1 次正面，N－ N1 次反面。由于每次抛硬 币都是相互独立的，根据二项分布，得到这样一个样 本的概率为：
矩估计和极大似然估计
估计方法
点估计
矩估计法 顺序统计量法 最大似然法 最小二乘法
1/22
区间估计
参数的点估计
1. 矩法估计 2. 极大似然估计
2/22
参数估计问题的一般提法 设总体X的分布函数为F( x, θ )，其中θ 为未知参数或参数向量，现从该总体中抽样, 得到样本
X1, X2 , … , Xn . 依样本对参数θ 做出估计，或估计参数θ 的 某个已知函数 g(θ ) 。 这类问题称为参数估计。
设分布律 P{X k} f (x; ), 为待估参数, ,
(其中 是 可能的取值范围)
X1,
X2 ,
,
X
是来自总体
n
X
的样本,
n
则 X1, X 2,L , X n 的联合分布律为 f (xi ; ). i 1
2. 最大似然估计法
1.设总体X为离散型随机变量，它的分布律为
P{X x} f (x, )
θ 2 (θ )2,
11/22
令
2
( )2
X,
1 n
n i1
X i2.
用样本矩 估计总体矩
得
ˆ
1 n
n
i1
X
2 i
nX
2
1
n
n i1
(Xi
X
)2
,
ˆ X
1
n
n i1
(Xi
X )2
.
ˆ, ˆ 为参数 , 的矩估计。
12/22
例3：设总体X的均值为，方差为2，求和 2 的矩估计。
解: 先求总体的均值和2阶原点矩。
E( X ) x 1 e(x) d x
0
矩估计和极大似然估计
=θ2+(θ+μ)2
注意到 令 θ μ X , 2 θ M 2 . DX = E ( X2 )－( EX )2=θ2
2 1 ˆ M2 (Xi X ) , n i 1 ˆ X M . μ n
2
14
第二节
极大似然估计
第七章
极大似然估计
15
极大似然估计法: 定义7.1 设 是
1, 第i次取到不合格品； Xi i 1, 2, , n. 0, 第i次取到合格品.
解 因 p=EX, 故 p 的矩估计量为
1 ˆ X X i f n ( A) p n i 1
(即出现不合格产品的频率).
9
n
例5
设总体X ~ U [a, b], a, b未知；X 1 , , X n
1100
可用两种方法：矩法估计 和极大似然估计.
28
1 x e , x0 X : p( x; ) ( 0) 0 , other
1）矩法估计
令 X
1 EX x e dx 0 则可得 的矩法估计量为：ˆ X .
x
1 n A1 X i X n i 1
1 ˆ 则 x (0 75 1 90 6 1) 1.22 250
ˆ 1.22。 所以 X 估计 下面我们通过几个例子说明利用矩估计法求 未知参数的过程。
6
例2
22
令
即
所以参数
的极大似然估计量为
23
例3
解
设 X1, X2, …, Xn 是取自总体X 的一个样本,
，求参数λ的极大似然估计值。
似然函数为:
矩估计和极大似然估计-PPT文档资料
当总体标准差0已知，区间应该是
x 1 . 9 6
0
, x 1 . 9 6 n n
0
例7.2.4 在例7.2.1 测量问题中，总体来自N (,2 ) ， 假如有 9 个观测数据 x1， x2， …，x9 (1). 当2 (即仪器精度) 未知时， 钻石重量 的区间估计是 s s x 2 . 3 1 , x 2 . 3 1 9 9 (2). 假如已经知道测量仪器的精度0 ， 则钻石重量 的区间估计应该用
样本统计量± “抽样误差” 来构造。
抽样误差与置信水平有关，一般默认置信水平 0.95
例7.2.1 某人得到了一块钻石(精确重量是未知参数)， 他用一台标准差为 的秤测量了n 次，得到数据 x1， x2， …，xn 他应该如何去估计 ？ (1). 采用点估计的想法，…… (2). 采用区间估计， 应该是在某个范围内，而且
7 . 5 3 t ( 1 1 ) 2 . 2 0 1 4 . 7 8 0 . 0 2 5 3 . 4 6 4 1 1 2
因此可以构造出一个区间 (31.4,41.0) □
s
历史数据表明，科学家研究工作的黄金时期是31岁半 到41岁间。这个年龄段他们将有可能做出重要工作。 这个结论的可靠程度是 95% 。
科学发现 日心说 望远镜、天文学基本定律 科学家 哥白尼 伽利略 时间 1543 1600 年龄 40 43
动力学、万有引力、微积分
电的本质 燃烧即氧化
牛顿
富兰克林 拉瓦锡
1665
1746 1774
23
40 31
地球的演变
进化论 光的电磁特性 放射性 量子力学
莱尔
达尔文 麦克思韦 居里 普朗克
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第一节 极大似然估计法
极大似然估计法（Maximum Likelihood method ，ML）的应用虽然没有普通最小二乘法广泛，但它是 一个具有更强理论性质的点估计方法，它以极大似然 原理为基础，通过概率密度函数或者分布律来估计总 体参数。 极大似然估计的出发点是已知被观测现象的分布， 但不知道其参数。极大似然法用得到观测值（样本） 最高概率的那些参数的值来估计该分布的参数，从而 提供一种用于估计刻画一个分布的一组参数的方法。
上式中的表达式可看作是未知参数p的函数，被 称为似然函数（Likelihood function）。对p的极大 似然估计意味着我们选择使似然函数达到最大的p值， 从而得到p的极大似然估计量。
4
实际计算中，极大化似然函数的对数往往比较方便， 这给出对数似然函数
ln L( p) lnc
d ln L( p)
10
三、极大似然估计量的性质
极大似然估计量（MLE）的优势在于它们的大样本 性质（渐近性质）。 为介绍这些渐近性质，我们用表示参数向量的极大 似然估计量（MLE），表示参数向量的真值。 如果极大似然函数被正确设定，可以证明，在弱正 则条件下，极大似然估计量具有以下渐近性质：
11
ˆ ˆ 是 的一致估计量，即， p lim （1）一致性： ML 0 ML
ˆ 是渐近有效的且达到所有一 （2） 渐近有效性： ML 致估计量的Cramè r-Rao下界，即在所有一致渐近正 态估计量（consistent asymptotically normal estimators ）中具有最小方差。
ˆ ~ N ,V ( ) （3） 渐近正态性： ML 0 0 即渐近地服从正态分布，其中V是渐近协方差矩阵
3
一、极大似然法的思路
设有一枚不均衡的硬币，我们关心的是在每次抛 掷该硬币出现正面的概率p。抛掷该硬币N次，假设 N N1 次反面。由于每次抛硬币都是 得到 N1 次正面， 相互独立的，根据二项分布，得到这样一个样本的概 率为： N1 N1 P( N1次正面) C N p (1 p) N N1
第一节 极大似然估计法
第二节似然比检验、沃尔德检验和拉格
朗日乘数检验
第三节广义矩（GMM）估计 小结
除普通最小二乘法（OLS）外，极大似然估 计（MLE）和广义矩估计（GMM）也是计 量经济学中重要的估计方法。
极大似然估计法和广义矩估计法适用于大样 本条件下参数的估计，它们在大样本条件下 显示了优良的性质。 本章主要介绍极大似然法和广义矩方法以及 基于极大似然估计的似然比（LR）检验、 沃尔德（W）检验和拉格朗日乘数（LM） 检验。1 2 nn Nhomakorabea1
1
2
2
n
n
1
2
n
i 1
i
1
2
k
这一概率随 的取值而变化，它是 的函数，L( ) 称 为样本的似然函数。 极大似然估计法就是在 取值的可能范围内挑选使 似然函数 L( x1, x2 ,, xn ; )达到最大的参数值 ˆ 作为参数 L( x1, x2 ,..., xn ; ) 的估计值，即求ˆ ，使得 L( x1, x2 ,..., xn ;ˆ) Max
7
•一般通过微分的方法求得 ˆ ，即，令 L( ) / 0得 到，有时候也可通过迭代法来求ˆ ，具体的计算方 法根据随机变量的分布来确定。 这样得到的 ˆ 称为参数 的极大似然估计值 ，而相 应的统计量通常记为 ˆ ，称为参数 的极大似然 估计量。
ML
8
（二）连续型随机变量极大似然原理 与离散型的情况一样，我们取 的估计值 ˆ 使 f ( x , )dx 取到极大值，但 dx 不随 而变，故只需考虑函数 L( ) L( x , x ,..., x ; ) f ( x ; ) 的极大值，这里 L ( ) 称为样 本的似然函数。
6
（一）离散型随机变量极大似然原理
若总体为离散型分布，容易求得从样本 X , X ,...X 取到 观察值 x1, x2 ,..., xn 的概率，亦即事件发生的概率 L( ) L( x , x ,..., x ; ) p( x ; ) X x , X x ,..., X x 为： 其中， ( , ,..., ) 是待估参数向量。
n
n
i 1
i
i 1
n
1
2
n
i 1
i
若 L( x , x ,..., x ;ˆ) Max L( x , x ,..., x ; ) 则 计量，记为 ˆ 。
1 2 n
1
2
n
ˆ
称为 的极大似然估
ML
9
L( )关于 可微，这时 ˆ 可从方程 通常情况下， L( ) / 0 解得。因为 L( )与 ln L( )在同一点处取到 ˆ通常从方程 L( ) / 0 极值，的极大似然估计值 解得，式中 ln L( ) 称为对数似然函数。 为了后面内容表述方便起见，我们将对数似然函数 的一阶导数向量表示为 S( ) lnL( )/ ， S( ) 称为score向量或梯度向量， 的极大似然估计量 通过求解得到， S( ) 0 因此 S( ) 0 称为似然方程。
N1 N
N1 ln( p) (N - N1 )ln(1 - p)
上式达到极大的一阶条件是
d
p
N1 N N1 0 p 1 p
解之，得到p的极大似然估计量
ˆ N1 / N p
5
二、极大似然原理
极大似然法的思路是，设 f ( x, ) 是随机变量X的密度函 数，其中 是该分布的未知参数，若有一随机样本 X1 , X 2 ,..., X n ，则 的极大似然估计值是具有产生该观 值，或者换句话说，的极 测样本的最高概率的那个 大似然估计值是使密度函数f ( x, )达到最大的值。 由于总体有离散型和连续型两种分布，离散型分布通 过分布律来构造似然函数，而连续型分布通过概率密 度函数来构造似然函数，因此二者有区别，下面分别 讨论。