高等数学习题册答案华东师大Ch 8 Differential of multivariable functions
2019年数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第六章.doc
第六章 微分中值定理及其应用一、填空题1．若0,0>>b a 均为常数，则=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+→x x x x b a 302lim ________。
2．若21sin cos 1lim 0=-+→x x b x a x ，则=a ______，=b ______。
3．曲线x e y=在0=x 点处的曲率半径=R _________。
4．设2442-+=x x y ，则曲线在拐点处的切线方程为___________。
5．=-+→x e x xx 10)1(lim ___________。
6．设)4)(1()(2--=x x x x f ，则0)(='x f 有_________个根，它们分别位于________ 区间；7．函数x x x f ln )(=在[]2,1上满足拉格朗日定理条件的__________=ξ；8．函数3)(x x f =与21)(x x g +=在区间[]2,0上满足柯西定理条件的_____=ξ；9．函数x y sin =在[]2,0上满足拉格朗日中值定理条件的____=ξ；10．函数2)(xe xf x=的单调减区间是__________； 11．函数x x y 33-=的极大值点是______，极大值是_______。
12．设x xe x f =)(，则函数)()(x f n 在=x _______处取得极小值_________。
13．已知bx ax x x f ++=23)(，在1=x 处取得极小值2-，则=a _______，=b_____。
14．曲线22)3(-=x k y 在拐点处的法线通过原点，则=k________。
15．设)2,1()1()( =-⨯=n x n x f n ，n M 是)(x f 在[]1,0上的最大值，则=∞→n n M lim ___________。
16．设)(x f 在0x 可导，则0)(0='x f 是)(x f 在点0x 处取得极值的______条件；17．函数x bx x a x f ++=2ln )(在1=x 及2=x 取得极值，则______,==b a ；18. 函数3223)(x x x f -=的极小值是_________; 19．函数xx x f ln )(=的单调增区间为__________； 20. 函数x x x f cos 2)(+=在⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为______，最小值为_____； 21. 设点)2,1(是曲线b a x y +-=3)(的拐点,则___________,==b a ;22. 曲线x e y =的下凹区间为_______,曲线的拐点为________;23. 曲线323x x y -=的上凹区间为________;24. 曲线)1ln(2x y +=的拐点为__________;25．曲线x y ln =在点______处曲率半径最小。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第八章第八章不定积分一. 填空题1．若x e f x+='1)(，则=)(x f ___________2．设)(x f 的一个原函数为xxe ，则='?dx x f x )(_____________ 3．若xe-是)(x f 的一个原函数，则?=dx x xf )(________________4．若[]1)(3='x f ，则=)(x f ____________ 5．?=dx x x ),max(2___________________6．若)(x f 有原函数x x ln ，则?=''dx x f x )(_______________ 7．? =dx xx 2sin)ln(sin ________________8．若?+++=+xdx B xx A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2，则=A __________，=B __________9．设C x dx x xf +=?arcsin )(，则?=)(x f dx _________10．?=-)4(x x dx _________________11．?=-dx xx 21ln _________________12．[]=-?dx xx x a n)cos(ln )sin(ln ________________ 13．[]?='+dxx f x x f )()(________________14．?=+xedx 1_____________15．?=+dx x xex 2)1(_____________________16．=++?dx xx x x cos 2sin cos 3sin 4______________ 17．已知x x x f 22tansin )cos 2(+=+'，则=)(x f _______________ 18．[]=+'dx x f x f 2)(1)(______________19. 若?+=C x F dx x f )()(,而),(x u ?=则?=du u f )(___________. 20设函数)(x f 的二阶导数)(x f ''连续,那么?=''__________)(dx x f x . 21设)(x f 的原函数是xx sin ,则?='__________)(dx x f x .22已知曲线)(x f y =上任一点的切线斜率为6332--x x ,且1-=x 时,211=y 是极大值,则)(x f __________=;)(x f 的极小值是__________.23已知一个函数的导数为211)(xx f -=,并且当1=x 时,这个函数值等于π23,则这个函数为__________)(=x F . 24 设)1(cos )(sin22<='x x x f ,则)(x f __________=.25 若)(x f 为连续函数,且)()(x f x f =',则?=__________)(dx x f . 26 若?='x dx x f ln ))((,则)(x f __________=. 27 已知2xe -是)(xf 的一个原函数,则?=__________sec )(tan 2xdx x f .28='__________)2(1dx x f x. 29 设C xxdx x f ++-=?11)(,则)(x f __________=.30 在积分曲线族?dx xx 1中,过(1,1)点的积分曲线是__________=y .二、选择填空题 1．设dx e e I xx+-=11，则=I ( )A.C e x++)1ln( B.C x e x+-+)1ln(2 C.C e x x++-)1ln(2 D.C e x+-)1ln(2．设)(x f 是连续的偶函数，则期原函数)(x F 一定是( ) A.偶函数B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数3．设?+=++=)1(,)1(121u u du I dx xe x x I x，则存在函数)(x u u =，使( )A.x I I +=21B.x I I -=21C.12I I -=D.12I I = 4．当1-≠n 时，?=xdx x n ln ( ) A.C nx nxn+-)1(ln B.C n x n xn +----)11(ln 11C.C n x xn n ++-++)11(ln 111D.C x n xn +++ln 117．?=+dx x x )2sin2(cos ( )A.C x x +-)2cos2(sin 2 B.C x x +-)2sin2(cos2C.C xx +-2cos 2sin D.C x x +-2sin 2cos8．?=++dx xxx cos 1sin ( )A.C x x +2cotB.C x x +2tanC.C x x+cot 2 D.C x x +2tan 29．若)(x f 的导函数是x e xcos +-，则)(x f 的一个原函数为( )A.x excos -- B.x exsin +-- C.x e xcos --- D.x exsin +-10．若)(x f 是以l 为周期的连续函数，则其原函数( )。
数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章资料讲解
数学分析课本(华师大三版)-习题集与答案解析第十二章仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢2第十二章 数项级数证明题1． 证明下列级数的收敛性,并求其和: (1) ++-+++1)4)(5n (5n 111.1616.1111.61; (2) +⎪⎭⎫ ⎝⎛+++⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+n n 22312131213121; (3) ∑++2)1)(n n(n 1; (4) ∑++-+)n 1n 22n (; (5) ∑-n212n . 2. 证明:若级数∑n u 发散,则∑n Cu 也发散(c ≠0).3. 证明:若数列{a n }收敛于a,则级数a -a )a (a 11n n =+∑+.仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢34． 证明: 若数列{b n }有+∞=∞→n n b lim ,则 (1)级数)b (b n 1n ∑-+发散;(2)当b n ≠0时,级数∑=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-+11n b 1b 1n 15. 证明级数∑n u 收敛的充要条件是:任给正数ε,有某自然数N,对一切n>N 总有|u N +u n+1+…+u n |<ε6. 设∑∑n n v 、u 为正项级数,且存在正数N 0,对一切n>N 0,有n1n n 1n v v u u ++≤ 7. 设正项级数∑n a 收敛,证明级数∑2n a 也收敛;试问反之是否成立?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢48. 设a n ≥0,且数列{na n }有界，证明级数∑2n a 收敛.9. 设正项级数∑n u 收敛,证明级数∑+1n n u u 也收敛.10. 证明下列极限: (1) 0)(n!n lim 2nn =∞→; (2) 1)0(a a )(2n!lim n!n >=∞→. 11. 设{a n }为递减正项数列,证明:级数∑∞=1n n a 与∑∞=0m 2mm a 2同时收敛或同时发散.12. 设a n >0, b n >0, C n =b n 1n n a a +b n+1,证明: (1) 若存在某自然数N 0及常数K,当n>N 0时,有C n ≥k>0,则级数∑∞=1n n a 收敛;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢5(2) 若n>N 0时有C n ≤0,且∑=∞→+∞=n1k k n b 1lim ,则级数∑∞=1n n a发散.13. 设级数∑2n a 收敛,证明级数∑>0)(a n a n n 也收敛. 14. 设a n >0,证明数列{(1+a 1)(1+a 2)…(1+a n )}与级数∑n a 同时收敛或同时发散.15. 应用阿贝耳判别法或狄利克雷判别法判断下列级数的收敛性: (1) ∑>+-0)(x ,x1x n 1)(n nn ; (2) ∑>∈0)(α(0,2π0,x ,n sinnx α; (3) ∑-nn cos 1)(2n . 16. 设a n >0,a n >a n+1(n=1,2,…)且∞→n lim a n =0,证明级数仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢6∑+++--n a a a 1)(n 211n 是收敛的.17. 设2u |u |g ,2u |u |p n nn n n n -=+=,证明:若∑n u 条件收敛,则级数∑n p 与∑n q 都是发散的.二、计算题1. 试讨论几何级数(也称为等比级数)a+r+ar 2+…+ar n +…(a ≠0)的敛散性.2. 设级数∑n u 与∑n v 都发散,试问)v (u n n ∑+一定发散吗?又若u n 与v n (n=1,2,…)都是非负数,则能得出什么结论?3.求下列级数的和:仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢7 (1)∑+-+n)1)(a n (a 1; (2) ∑++-+1)n(n 12n 1)(1n ; (3) ∑++++1]1)1)[(n (n 12n 22. 4. 应用柯西准则判别下列级数的敛散性: (1) ∑n n 2sin2; (2) ∑+12n n (-1)221-n ; (3) ∑n (-1)n ; (4) ∑+2nn 1. 5. 应用比较原则判别下列级数的敛散性. (1) ∑+22a n 1; (2) ∑n n 3πsin 2; (3) ∑+2n 11;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢8 (4) ∑∞=2n n(lnn)1; (5) ∑⎪⎭⎫ ⎝⎛-n 1cos 1; (6) ∑n n n 1; (7) ∑>⎪⎭⎫ ⎝⎛-+0)(a ,2n 1a n 1a ; (8) ∑∞=2n lnn (lnn)1. 6. 用积分判别法讨论下列级数的敛散性: (1) ∑+1n 12; (2) ∑+1n n 2; (3) ∑∞=3n )nlnnln(lnn 1;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢9 (4) ∑∞=3n qp (lnlnn)n(lnn)1. 7. 判别下列级数的敛散性: (1) ∑n n nn!3; (2) ∑++2n 2n n 2; (3) ∑∞=2n lnn 1; (4) ∑≥-1)(a 1),a (n ; (5) ∑+⋅-⋅12n 12n 421)(2n 31 ; (6) ∑>++0)(x ,n)(x 1)(x n! . 8. 求下列极限(其中P>1): (1) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→p p p n (2n)12)(n 11)(n 1lim ;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢10 (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+++++∞→2n 2n 1n n p 1p 1p 1lim . 9. 下列级数哪些是绝对收敛,条件收敛或发散的: (1) ∑n!sinnx ; (2) ∑+-1n n 1)(n ; (3) ∑+-n 1p nn 1)(; (4) ∑-n 2sin1)(n ; (5) ∑+-)n 1n1)((n ; (6) ∑++-1n 1)(n l 1)(n n ; (7) ∑++-n n )13n 1002n (1)(; (8) ∑n )nx (n!;仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢11 (9) ∑∞=<<1n )2x (0lnnsinnx π; (10) ∑-n n 11)(.10. 写出下列级数的乘积:(1) ()()∑∑----1n 1n 1n nx 1)(nx ; (2) ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-⎪⎭⎫ ⎝⎛∑∑∞=∞=0n n 0n n!1)(n!1 三、考研复习题1. 证明:若正项级数∑n u 收敛,且数列{u n }单调,则0u lim n n =∞→.2. 若级数∑n a 与∑n C 都收敛,且成立不等式a n ≤b n ≤C n (n=1,2,…) 证明级数∑n b 也收敛.若级数∑n a ,∑n C 都发散,试问∑n b 一定发散吗?仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢123. 若0k b a lim nn n ≠=∞→,且级数∑n b 收敛,证明级数∑n a 也收敛.若上述条件中只知道∑n b 收敛,能推得∑n a 收敛吗?4. (1) 设∑n u 为正项级数,且n 1n u u +<1,能否断定级数∑n u 收敛?(2) 对于级数∑n u 有|n 1n u u +|≥1,能否断定级数∑n u 不绝对收敛,但可能条件收敛.(3) 设∑n u 为收敛的正项级数,能否存在一个正数ε,使得0C n 1u lim ε1n n >=+∞→仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢135. 证明: 若级数∑n a 收敛,∑-+)b (b n 1n 绝对收敛,则级数n n b a ∑也收敛.6. 证明级数∑+bna 1是发散的. 7. 讨论级数∑∞=2n p n(lnn)1,(p>0) 的敛散性.8. 设a n >0,证明级数∑+++)a (1)a )(1a (1a n21n是收敛的.9. 证明:若级数∑2n a 与∑2n b 收敛,则级数∑n n b a 和∑+2n n )b (a 也收敛,且仅供学习与交流，如有侵权请联系网站删除 谢谢14 ()∑∑∑⋅≤+2n 2n 2n n b a b a ()()()()212n212n 212n n b a b a ∑∑∑+≤+ 10. 证明:(1)设∑n a 为正项级数,若0,a a u u lim 1n n 1n n n >⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→ 则正项级数∑n u 收敛,(2)若级数∑na 1发散,且 0a a u u lim 1n n 1n n n <⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-++∞→, 则正项级数∑n u 发散.。
高等数学课后习题及参考答案(第八章)
高等数学课后习题及参考答案（第八章）习题8-11. 判定下列平面点集中哪些是开集、闭集、区域、有界集、无界集？并分别指出它们的聚点所成的点集(称为导集)和边界. (1){(x , y )|x ≠0, y ≠0};解 开集, 无界集, 导集为R 2, 边界为 {(x , y )|x =0或y =0}. (2){(x , y )|1<x 2+y 2≤4};解 既非开集, 又非闭集, 有界集, 导集为 {(x , y )|1≤x 2+y 2≤4}, 边界为 {(x , y )|x 2+y 2=1或x 2+y 2=4}. (3){(x , y )|y >x 2}; 解 开集, 区域, 无界集, 导集为 {(x , y )| y ≥x 2}, 边界为 {(x , y )| y =x 2}.(4){(x , y )|x 2+(y -1)2≥1}⋂{(x , y )|x 2+(y -2)2≤4}. 解 闭集, 有界集, 导集与集合本身相同, 边界为 {(x , y )|x 2+(y -1)2=1}⋃{(x , y )|x 2+(y -2)2=4}.2. 已知函数yx xy y x y x f tan ),(22-+=, 试求f (tx , ty ).解 )(tan )()()()(),(22ty tx ty tx ty tx ty tx f ⋅⋅-+=),()tan (2222y x f t y x xy y x t =-+=.3. 试证函数F (x , y )=ln x ⋅ln y 满足关系式:F (xy , uv )=F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ).证明 F (xy , uv )=ln((x , y )⋅ln(uv )=(ln x +ln y )(ln u +ln v )=ln x ⋅ln u +ln x ⋅ln v +ln y ⋅ln u +ln y ⋅ln v =F (x , u )+F (x , v )+F (y , u )+F (y , v ). 4. 已知函数f (u , v , w )=u w +w u +v , 试求f (x +y , x -y , xy ). 解 f (x +y , x -y , xy )=(x +y )xy +(xy )(x +y )+(x -y )=(x +y )xy +(xy )2x .5. 求下列各函数的定义域: (1)z =ln(y 2-2x +1); 解 要使函数有意义, 必须 y 2-2x +1>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|y 2-2x +1>0}. (2)y x y x z -++=11;解 要使函数有意义, 必须 x +y >0, x -y >0, 故函数的定义域为D ={(x , y )|x +y >0, x -y >0}.(3)y x z -=;解 要使函数有意义, 必须 y ≥0,0≥-y x 即y x ≥, 于是有 x ≥0且x 2≥y , 故函数定义域为D ={(x , y )| x ≥0, y ≥0, x 2≥y }. (4)221)ln(yx x x y z --+-=; 解 要使函数有意义, 必须 y -x >0, x ≥0, 1-x 2-y 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y )| y -x >0, x ≥0, x 2+y 2<1}.(5)222222221r z y x z y x R u -+++---=(R >r >0); 解 要使函数有意义, 必须R 2-x 2-y 2-z 2≥0且x 2+y 2+z 2-r 2>0, 故函数的定义域为D ={(x , y , z )| r 2<x 2+y 2+z 2≤R 2}. (6)22arccos y x z u +=.解 要使函数有意义, 必须 x 2+y 2≠0, 且1||22≤+y x z 即z 2≤x 2+y 2, 故函数定义域为D ={(x , y , z )|z 2≤x 2+y 2, x 2+y 2≠0}.6. 求下列各极限: (1)22)1,0(),(1lim y x xyy x +-→;解110011lim22)1,0(),(=+-=+-→y x xy y x .(2)22)0,1(),()ln(lim yx e x y y x ++→; 解 2ln 01)1ln()ln(lim 22022)0,1(),(=++=++→e y x e x y yx . (3)xyxy y x 42lim )0,0(),(+-→; 解xy xy y x 42lim)0,0(),(+-→)42()42)(42(lim )0,0(),(+++++-=→xy xy xy xy y x 41)42(1lim )0,0(),(-=++-=→xy y x .(4)11lim )0,0(),(-+→xy xyy x ;解11lim)0,0(),(-+→xy xyy x )11)(11()11(lim)0,0(),(-+++++=→xy xy xy xy y x 2)11lim )11(lim )0,0(),()0,0(),(=++=++=→→xy xyxy xy y x y x . (5)yxy y x )sin(lim)0,2(),(→;解 y xy y x )sin(lim )0,2(),(→221sin lim )0,2(),(=⋅=⋅=→x xy xyy x .(6)22)()cos(1lim 2222)0,0(),(yx y x e y x y x ++-→. 解 2222)()(21lim )()cos(1lim 22222)0,0(),(2222)0,0(),(yx y x y x y x e y x y x e y x y x ++=++-→→ 0lim 212222)0,0(),(=+=→y x y x e y x (用等价无穷小代换). 7. 证明下列极限不存在: (1)yx yx y x -+→)0,0(),(lim;证明 如果动点p (x , y )沿y =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(==-+→=→x x y x yx x y y x ;如果动点p (x , y )沿x =0趋向(0, 0), 则1lim lim00 )0,0(),(-=-=-+→=→y yy x y x y x y x .因此, 极限yx yx y x -+→)0,0(),(lim不存在.(2)22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→. 证明 如果动点p (x , y )沿y =x 趋于(0, 0), 则1lim )(lim 44022222 )0,0(),(==-+→=→x x y x y x y x x xy y x ;如果动点p (x , y )沿y =2x 趋向(0, 0), 则044lim )(lim 2440222222 )0,0(),(=+=-+→=→x x x y x y x y x x xy y x .因此, 极限22222)0,0(),()(lim y x y x y x y x -+→不存在.8. 函数xy xy z 2222-+=在何处间断？解 因为当y 2-2x =0时, 函数无意义, 所以在y 2 -2x =0处, 函数xy x y z 2222-+=间断.9. 证明0lim 22)0,0(),(=+→yx xyy x . 证明 因为22||||2222222222y x yx y x y x xy y x xy +=++≤+=+,所以 02lim ||lim 022)0,0(),(22)0,0(),(=+≤+≤→→y x y x xyy x y x .因此 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x . 方法二:证明 因为2||22y x xy +≤, 故22||22222222y x y x y x y x xy +=++=+. 对于任意给定的ε>0, 取δ=2ε, 当δ<+<220y x 时恒有εδ=<+≤-+22|0|2222y x y x xy,所以 0lim22)0,0(),(=+→yx xyy x .10. 设F (x , y )=f (x ), f (x )在x 0处连续, 证明: 对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.证明 由题设知, f (x )在x 0处连续, 故对于任意给定的ε>0, 取δ>0, 当|x -x 0|<δ时, 有|f (x )-f (x 0)|<ε.作(x 0, y 0)的邻域U ((x 0, y 0), δ), 显然当(x , y )∈U ((x 0, y 0), δ)时, |x -x 0|<δ, 从而|F (x , y )-F (x 0, y 0)|=|f (x )-f (x 0)|<ε, 所以F (x , y )在点(x 0, y 0)处连续.又因为y 0是任意的, 所以对任意y 0∈R , F (x , y )在(x 0, y 0)处连续.习题8-21. 求下列函数的偏导数: (1) z =x 3y -y 3x ; 解 323y y x xz -=∂∂,233xy x y z -=∂∂.(2)uvvu s 22+=;解 21)(uv v u v v u u u s -=+∂∂=∂∂,21)(vu u u v v u v v s -=+∂∂=∂∂.(3))ln(xy z =;解 x y x y x x x z 1ln ln 121)ln ln (⋅+⋅=+∂∂=∂∂)ln(21xy x =. 同理 )ln(21xy y y z =∂∂.(4) z =sin(xy )+cos 2(xy );解 y xy xy y xy xz ⋅-⋅+⋅=∂∂)]sin([)cos(2)cos()]2sin()[cos(xy xy y -=根据对称性可知)]2sin()[cos(xy xy x yz -=∂∂.(5)yx z tan ln =;解 yx y y y x yx x z 2csc 21sec tan 12=⋅⋅=∂∂,yx y x y x y x yx y z 2csc 2sec tan 1222-=-⋅⋅=∂∂. (6) z =(1+xy )y ;解 121)1()1(--+=⋅+=∂∂y y xy y y xy y xz ,]1)1[ln()1ln()1ln(xyx y xy e e y y z xy y xy y +⋅++=∂∂=∂∂++]1)1[ln()1(xy xyxy xy y ++++=.(7)zy x u =;解 )1(-=∂∂z y x zy x u ,x x zz x x y u z yz y ln 11ln ⋅=⋅=∂∂,x x zy z y x x z u z yz y ln )(ln 22⋅-=-=∂∂.(8) u =arctan(x -y )z ;解 zz y x y x z x u 21)(1)(-+-=∂∂-, zz y x y x z y u 21)(1)(-+--=∂∂-, zz y x y x y x z u 2)(1)ln()(-+--=∂∂. 2. 设g l T π2=, 试证0=∂∂+∂∂g T g l T l .解 因为lg l T ⋅⋅=∂∂1π,gg g l g T 1)21(223⋅-=⋅-⋅=∂∂-ππ, 所以 0=⋅-⋅=∂∂+∂∂g l g l g T g l T l ππ. 3. 设)11(yx ez +-=, 求证z yz y x z x 222=∂∂+∂∂.解 因为2)11(1x ex z yx ⋅=∂∂+-, 2)11(1y e yz y x ⋅=∂∂+-, 所以 z eeyz y x z x yx yx 2)11()11(22=+=∂∂+∂∂+-+-4. 设y x y x y x f arcsin )1(),(-+=, 求)1 ,(x f x .解 因为x x x x f =-+=1arcsin )11()1 ,(,所以 1)1 ,()1 ,(==x f dx d x f x .5. 曲线⎪⎩⎪⎨⎧=+=4422y y x z 在点(2, 4, 5)处的切线与正向x 轴所成的倾角是多少？ 解 因为242x x x z ==∂∂,αtan 1)5,4,2(==∂∂xz ,故 4πα=.6. 求下列函数的22x z ∂∂, 22y z ∂∂, yx z ∂∂∂2. (1) z =x 4+y 4-4x 2y 2;解 2384xy x xz -=∂∂, 2222812y x x z -=∂∂; y x y yz 2384-=∂∂, 2222812x y y z -=∂∂;xy y x y yy x z 16)84(232-=-∂∂=∂∂∂. (2)xyz arctan =;解 22222)(11y x y x y xy x z +-=-⋅+=∂∂,22222)(2y x xy x z +=∂∂; 2222)1(11y x x x xy yz +=⋅+=∂∂, 22222)(2y x xy y z +-=∂∂;22222222222222)()(2)()(y x x y y x y y x y x y y y x z +-=+-+-=+-∂∂=∂∂∂. (3) z =y x .解 y y xz xln =∂∂, y y x z x 222ln =∂∂; 1-=∂∂x xy yz , 222)1(--=∂∂x y x x y z ;)1ln (1ln )ln (112+=⋅+=∂∂=∂∂∂--y x y yy y xy y y y y x z x x x x . 7. 设f (x , y , z )=xy 2+yz 2+zx 2, 求f xx (0, 0, 1), f xz (1, 0, 2), f yz (0, -1, 0)及f zzx (2, 0, 1). 解 因为f x =y 2+2xz , f xx =2z , f xz =2x , f y =2xy +z 2, f yz =2z ,f z =2yz +x 2, f zz =2y , f zzx =0, 所以 f xx (0, 0, 1)=2, f xz (1, 0, 2)=2, f yz (0, -1, 0)=0, f zzx (2, 0, 1)=0.8. 设z =x ln(xy ), 求y x z ∂∂∂23及23y x z ∂∂∂. 解 1)ln()ln(+=⋅+=∂∂xy xyyx xy x z ,x xy y x z 122==∂∂, 023=∂∂∂y x z ,y xy x y x z 12==∂∂∂, 2231y y x z -=∂∂∂. 9. 验证:(1)nx e y tkn sin 2-=满足22xy k t y ∂∂=∂∂;证明 因为nx e kn kn nx e t y t kn t kn sin )(sin 2222⋅-=-⋅⋅=∂∂--, nx ne x y tkn cos 2-=∂∂, nx e n x y t kn sin 2222--=∂∂, nx e kn xy k t kn sin 2222--=∂∂,所以 22xyk t y ∂∂=∂∂.(2)222z y x r ++=满足rz r y r x r 2222222=∂∂+∂∂+∂∂. 证明 r x z y x x x r =++=∂∂222, 322222r x r r x r x r xr -=∂∂-=∂∂, 由对称性知32222ry r y r -=∂∂, 32222r z r z r -=∂∂,因此 322322322222222rz r r y r r x r z r y r x r -+-+-=∂∂+∂∂+∂∂ rr r r r z y x r 23)(332232222=-=++-=. 习题8-31. 求下列函数的全微分: (1)yx xy z +=;解 dy y z dx x z dz ∂∂+∂∂=dy y x x dx y y )()1(2-++=.(2)xy e z =;解 xdy e x dx e x y dy y z dx x z dz y x y 12+-=∂∂+∂∂=.(3) 22yx y z +=;解 因为2/3222322)()(21y x xy y x y x z +-=+-=∂∂-, 2/3222222222)(y x x y x y x yy y x y z +=++⋅-+=∂∂, 所以 dy y x x dx y x xy dz 2/32222/322)()(+++-=)()(2/322xdy ydx y x x -+-=.(4)u =x yz . 解 因为1-⋅=∂∂yz x yz x u , x zx yu yz ln =∂∂, x yx z u yz ln =∂∂,所以 xdz yx xdy zx dx yzx du yz yz yz ln ln 1++=-.2. 求函数z =ln(1+x 2+y 2)当x =1, y =2时的全微分. 解 因为2212y x x x z ++=∂∂, 2212y x y y z ++=∂∂, 3121=∂∂==y x xz, 3221=∂∂==y x y z , 所以 dy dx dz y x 323121⋅+===.3. 求函数xyz =当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时的全增量和全微分. 解 因为xy x x y y z -∆+∆+=∆, y x x x ydz ∆+∆-=12,所以, 当x =2, y =1, ∆x =0.1, ∆y =-0.2时,119.0211.02)2.0(1-=-+-+=∆z , 125.0)2.0(211.041-=-⨯+⨯-=dz .4. 求函数z =e xy 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时的全微分. 解 因为y xe x ye y yz x x z dz xy xy ∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=所以, 当x =1, y =1, ∆x =0.15, ∆y =0.1时, e e e dz 25.01.015.0=⋅+⋅=.*5. 计算33)97.1()102(+的近似值. 解 设33y x z +=, 由于y yz x x z y x y y x x ∆∂∂+∆∂∂++≈∆++∆+3333)()(332233233y x y y x x y x +∆+∆++=, 所以取x =1, y =2, ∆x =0.02, ∆y =-0.03可得95.2212)03.0(2302.0321)97.1()02.1(32333=+-⋅⋅+⋅++≈+. *6. 计算(1.97)1.05的近似值(ln2=0.693). 解 设z =x y , 由于y yz x x z x x x y y y ∆∂∂+∆∂∂+≈∆+∆+)(y x x x yx x y y y ∆+∆+=-ln 1,所以取x =2, y =1, ∆x =-0.03, ∆y =0.05可得(1.97)1.05≈2-0.03+2ln2⋅0.05+1.97+0.0693 ≈2.093.*7. 已知边长为x =6m 与y =8m 的矩形, 如果x 边增加5cm 而y 边减少10cm ,问这个矩形的对角线的近似变化怎样？解 矩形的对角线为22y x z +=,)(122y y x x yx y dy dz x dx dz dz z ∆+∆+=∆+∆=≈∆,当x =6, y =8, ∆x =0.05, ∆y =-0.1时,05.0)1.0805.06(86122-=⋅-⋅+≈∆z .这个矩形的对角线大约减少5cm .*8. 设有一无盖圆柱形容器, 容器的壁与底的厚度均为0.1cm , 内高为20cm ,内半径为4厘米, 求容器外壳体积的近似值.解 圆柱体的体积公式为V =πR 2h , ∆V ≈dV =2πRh ∆R +πR 2∆h , 当R =4, h =20, ∆R =∆h =0.1时,∆V ≈2⨯3.14⨯4⨯20⨯0.1+3.14⨯42⨯0.1≈55.3(cm 3), 这个容器外壳的体积大约是55.3cm 3.*9. 设有直角三角形, 测得其两腰的长分别为7±0.1cm 和24±0.1cm , 试求利用上述二值来计算斜边长度时的绝对误差. 解 设两直角边的长度分别为x 和y , 则斜边的长度为22y x z +=.||||||||||||y y z x x z dz z ∆⋅∂∂+∆⋅∂∂≤≈∆|)|||(122y y x x y x ∆+∆+=.令x =7, y =24, |∆x |≤0.1, |∆y |≤0.1, 则得斜边长度z 的绝对误差约为124.0)1.0241.07(247122=⋅+⋅+=z δcm .*10. 测得一块三角形土地的两边长分别为63±0.1m 和78±0.1m ,这两边的夹角为60︒±1︒, 试求三角形面积的近似值, 并求其绝对误差和相对误差.解 设三角形的两边长为x 和y , 它们的夹角z , 为则三角形面积为z xy s sin 21=.zdz xy zdy x zdx y dS cos 21sin 21sin 21++=||cos 21||sin 21||sin 21||||dz z xy dy z x dx z y dS S ++≤≈∆.令x =63, y =78, 3π=z , |dx |=0.1, |dy |=0.1, 180π=dz , 则55.2718021278631.0232631.023278=⨯⨯⨯+⨯⨯+⨯⨯≈πδs ,82.21273sin 786321=⋅⋅⋅=πS ,%29.182.212755.27==S s δ,所以三角形面积的近似值为2127.82m 2, 绝对误差为27.55m 2, 相对误差为1.29%.*11. 利用全微分证明: 两数之和的绝对误差等于它们各自的绝对误差之和.证明 设u =x +y , 则||||||||||||y x y x y yu x x u du u ∆+∆≤∆+∆=∆∂∂+∆∂∂=≈∆.所以两数之和的绝对误差|∆u |等于它们各自的绝对误差|∆x |与|∆y |的和.*12. 利用全微分证明: 乘积的相对误差等于各因子的相对误差之和; 商的相对误差等于被除数及除数的相对误差之和. 证明 设u =xy , y x v =, 则∆u ≈du =ydx +xdy ,2yxdyydx dv v -=≈∆, 由此可得相对误差;||||||||y dy x dx xy xdy ydx u du u u +=+=≈∆||||||||yyx x y dy x dx ∆+∆=+≤;||||||||2y dy x dx yxy xdy ydx v dv v v -=⋅-==∆||||||||y yx x y dy x dx ∆+∆=+≤.习题8-41. 设z =u 2-v 2, 而u =x +y , v =x -y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅1=2(u +v )=4x ,y v v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂=2u ⋅1+2v ⋅(-1)=2(u -v )=4y .2. 设z =u 2ln v , 而y x u =, v =3x -2y , 求x z ∂∂, y z ∂∂.解 xv v z x u u z x z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂31ln 22⋅+⋅=v u y v u 222)23(3)23ln(2y y x x y x y x -+-=, yv v z y u u z y z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂)2()(ln 222-+-⋅=v u y x v u 2232)23(2)23ln(2y y x x y x y x ----=. 3. 设z =e x -2y , 而x =sin t , y =t 3, 求dtdz .解 dt dyy z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=2223)2(cos t e t e y x y x ⋅-⋅+=--)6(cos )6(cos 22sin 223t t e t t e t t y x -=-=--.4. 设z =arcsin(x - y ), 而x +3t , y =4t 3, 求dtdz .解 dt dy y z dt dx x z dt dz ⋅∂∂+⋅∂∂=22212)(113)(11t y x y x ⋅---+⋅--= 232)43(1)41(3t t t ---=. 5. 设z =arctan(xy ), 而y =e x , 求dxdz .解 dx dy y z x z dx dz ⋅∂∂+∂∂=x xxe x x e e y x x y x y 2222221)1(11++=⋅+++=.6. 设1)(2+-=a z y e u ax , 而y =a sin x , z =cos x , 求dxdu .解 dxdz dz u dx dyy u x u dx du ⋅∂+⋅∂∂+∂∂=)sin (1cos 11)(222x a e x a a e a z y ae ax ax ax -⋅+-⋅+++-= )sin cos cos sin (122x x a x a x a a e ax ++-+=x e ax sin =. 7. 设yx z arctan =, 而x =u +v , y =u -v , 验证22v u v uv z u z +-=∂∂+∂∂. 证明)()(vy y z v x x z u y y z u x x z v z u z ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂+∂∂)()(111)(11222y x yx y y x -⋅++⋅+=)1()()(111)(11222-⋅-⋅++⋅++y x yx y y x22222v u v u y x y +-=+=. 8. 求下列函数的一阶偏导数(其中f 具有一阶连续偏导数): (1) u =f (x 2-y 2, e xy );解 将两个中间变量按顺序编为1, 2号, 2122212)()(f ye f x xe f x y x f x u xy xy '+'=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂, 212)2212)((f xe f y y e f y y x f y u xy xy '+'-=∂∂⋅'+∂-∂⋅'=∂∂.(2)) ,(zyy x f u =;解1211)()(f yz y x f y x x f x u '=∂∂⋅'+∂∂⋅'=∂∂, )()(21z yy f y x y f y u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂2121f z f y x '+'-=,)()(21z y z f z x z f z u ∂∂⋅'+∂∂'=∂∂22f zy'⋅-=.(3) u =f (x , xy , xyz ).解 yz f y f f x u ⋅'+⋅'+⋅'=∂∂3211321f yz f y f '+'+'=,3232f xz f x xz f x f y u '+'=⋅'+⋅'=∂∂,33f xy xy f zu '=⋅'=∂∂.9. 设z =xy +xF (u ), 而xyu =, F (u )为可导函数, 证明xy z yz y x z x +=∂∂+∂∂⋅. 证明 y z y x z x ∂∂⋅+∂∂⋅])([])()([y u u F x x y x u u F x u F y x ∂∂'+⋅+∂∂'++=)]([)]()([u F x y u F xyu F y x '+⋅+'-+==xy +xF (u )+xy =z +xy .10. 设)(22y x f yz -=, 其中f (u )为可导函数, 验证211y z y z y x z x =∂∂+∂∂.证明 ()()u f f xy u f x f y x z 2222'-=⋅'⋅-=∂∂, ()()u f f y u f u f y f y u f y z 2222)(1)2()('-+=-⋅'⋅-=∂∂, 所以 )(11221122u f y u f f y u f f y y z y x z x ⋅+'+'-=∂∂⋅+∂∂⋅211yz zy y =⋅. 11. 设z =f (x 2+y 2), 其中f 具有二阶导数, 求22x z ∂∂, y x z ∂∂∂2, 22yz ∂∂. 解 令u =x 2+y 2, 则z =f (u ), f x xu u f x z '=∂∂'=∂∂2)(,f y yu u f y z '=∂∂'=∂∂2)(,f x f x u f x f x z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂2224222,f xy yu f x y x z ''=∂∂⋅''=∂∂∂422, f y f yu f y f y z ''+'=∂∂⋅''+'=∂∂422222. 12. 求下列函数的22x z ∂∂,y x z ∂∂∂2,22y z ∂∂(其中f 具有二阶连续偏导数):(1) z =f (xy , y );解 令u =xy , v =y , 则z =f (u , v ).ufy v f y u f x v v f x u u f x z ∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂0,vfu f x v f x u f y v v f y u u f y z ∂∂+∂∂=⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂1.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和vf ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )()()(22uf x y u f y x x z x x z ∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂222222222)0()(u f y v u f y u f y x v v u f x u u f y ∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂=∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=,)(1)()(2uf y y u f u f y y x z y y x z ∂∂∂∂+∂∂⋅=∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(222yvv u f y u u f y u f ∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=v u fy u f xy u f v u f x u f y u f ∂∂∂+∂∂+∂∂=⋅∂∂∂+⋅∂∂+∂∂=222222)1(,)()()()(22vf y u f y x v f u f x y y z y y z∂∂∂∂+∂∂∂∂=∂∂+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ y vv f y u u v f y v v u f y u u f x ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂=222222)(1)1(222222⋅∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂∂+⋅∂∂=v fx u v f v u f x u f x 2222222vf v u f x u f x ∂∂+∂∂∂+∂∂=. (2)) ,(yx x f z =;解 令u =x ,yx v =, 则z =f (u , v ).v fy u f x v v f dx du u f x z ∂∂⋅+∂∂=∂∂⋅∂∂+⋅∂∂=∂∂1,vfy x dy dv v f y z ∂∂⋅-=⋅∂∂=∂∂2.因为f (u , v )是u 和v 的函数, 所以u f∂∂和vf ∂∂也是u 和v 的函数, 从而u f∂∂和v f ∂∂是以u 和v 为中间变量的x 和y 的函数. )(1)()1()(22vf x y u f x v f y u f x x z x x z ∂∂∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(1)(222222xvv f dx du u v f y x v v u f dx du u f ∂∂⋅∂∂+⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+⋅∂∂=22222212vfy v u f y u f ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂=,)1()(2vf y u f y x z y y x z ∂∂⋅+∂∂∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ )(1)1()(vfy y v f y dy d u f y ∂∂∂∂⋅+∂∂⋅+∂∂∂∂=y vv f y v f y y v v u f ∂∂⋅∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂⋅∂∂∂=222112232221v f y x v f y v u f y x ∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂∂⋅-= )()()(2222vf y y x v f y x y y z y y z ∂∂∂∂⋅-∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 22423222322v f y x v f y x y v v f y x v f y x ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂⋅-∂∂⋅=. (3) z =f (xy 2, x 2y );解 z x =f 1'⋅y 2+f 2'⋅2xy =y 2f 1'+2xyf 2',z y=f1'⋅2xy+f2'⋅x2=2xyf1'+x2f2';z xx=y2[f11''⋅y2+f12''⋅2xy]+2yf2''+2xy[f21''⋅y2+f22''⋅2xy]=y4f11''+2xy3f12''+2yf2''+2xy3f21''+4x2y2 f22''=y4f11''+4xy3f12''+2yf2''+4x2y2 f22'',z xy=2y f1'+y2[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+2xf2'+2xy[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2y f1'+2xy3f11''+x2y2f12''+2xf2'+4x2y2f21''+2x3yf22''=2y f1'+2xy3f11''+5x2y2f12''+2xf2'+2x3yf22'',z yy=2xf1'+2xy[f11''⋅2xy+f12''⋅x2]+x2[f21''⋅2xy+f22''⋅x2]=2xf1'+4x2y2f11''+2x3y f12''+2x3yf21''+x4f22''=2xf1'+4x2y2f11''+4x3y f12''+x4f22''.(4) z=f(sin x, cos y,e x+y).解z x=f1'⋅cos x+ f3'⋅e x+y=cos x f1'+e x+y f3',z y=f2'⋅(-sin y)+ f3'⋅e x+y=-sin y f2'+e x+y f3',z xx=-sin x f1'+cos x⋅(f11''⋅cos x+ f13''⋅e x+y)+e x+y f3'+e x+y(f31''⋅cos x+ f33''⋅e x+y)=-sin x f1'+cos2x f11''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e x+y cos x f31''+e2(x+y) f33''=-sin x f1'+cos2x f11''+2e x+y cos x f13''+e x+y f3'+e2(x+y) f33'', z xy=cos x[f12''⋅(-sin y)+ f13''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y [f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13'+e x+y f3'-e x+y sin y f32'+e2(x+y)f33'=-sin y cos x f12''+e x+y cos x f13''+e x+y f3'-e x+y sin y f32''+e2(x+y)f33'',z yy=-cos y f2'-sin y[f22''⋅(-sin y)+ f23''⋅e x+y]+e x+y f3'+e x+y[f32''⋅(-sin y)+ f33''⋅e x+y]=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-e x +y sin y f 23'' +e x +y f 3'-e x +y sin y f 32''+ f 33''⋅e 2(x +y )=-cos y f 2'+sin 2y f 22''-2e x +y sin y f 23''+e x +y f 3'+f 33''⋅e 2(x +y ). 13. 设u =f (x , y )的所有二阶偏导数连续, 而23t s x -=,23ts y +=, 证明2222)()()()(tu s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂及22222222t u s u y u x u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂.证明 因为y u x u s yy u s x x u s u ∂∂⋅+∂∂⋅=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2321yu x u t yy u t x x u t u ∂∂⋅+∂∂⋅-=∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂=∂∂2123所以2222)2123()2321()()(y u x u y u x u t u s u ∂∂+∂∂-+∂∂+∂∂=∂∂+∂∂22)()(yu x u ∂∂+∂∂=.又因为)2321()(22yu x u s s u s s u∂∂⋅+∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(23)(21222222s y y u s x x y u s y y x u s x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂= )2321(23)2321(21222222yu x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=22222432341y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅+∂∂⋅=, )2123()(22yu x u t t u t t u ∂∂⋅+∂∂⋅-∂∂=∂∂∂∂=∂∂ )(21)(23222222t y y u t x x y u t y y x u t x x u ∂∂⋅∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂∂+∂∂⋅∂∂-= )2123(21)2123(23222222y u x y u y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-+∂∂∂⋅+∂∂⋅--= 22222412343yu y x u x u ∂∂⋅+∂∂∂⋅-∂∂⋅=, 所以 22222222yu x u t u s u ∂∂+∂∂=∂∂+∂∂. 习题8-51. 设sin y +e x-xy 2=0, 求dxdy.解 令F (x , y )=sin y +e x -xy 2, 则F x =e x -y 2, F y =cos y -2xy , xy y e y xy y y e F F dx dy xy x 2cos 2cos 222--=---=-=. 2. 设xy y x arctan ln 22=+, 求dx dy.解 令xy y x y x F arctan ln ),(22-+=, 则22222222)()(11221y x y x x y xy y x x y x F x ++=-⋅+-+⋅+=, 22222221)(11221yx x y x xy y x y y x F y +-=⋅+-+⋅+=, y x y x F F dx dyy x -+=-=. 3. 设022=-++xyz z y x , 求x z ∂∂及y z ∂∂.解 令xyz z y x z y x F 22),,(-++=, 则 xyz yz F x -=1, xyzxz F y -=2, xyz xyF z -=1, xy xyz xyz yz F F x z z x --=-=∂∂, xy xyz xyz xz F F y z z y --=-=∂∂2. 4. 设y z z x ln =, 求x z ∂∂及y z ∂∂,解 令yz z x z y x F ln ),,(-=, 则 z F x 1=, y y z y z F y 1)(12=-⋅-=, 2211z z x y yz z x F z +-=⋅--=, 所以 z x z F F x z z x +=-=∂∂, )(2z x y z F F yz z y +=-=∂∂.5. 设2sin(x +2y -3z )=x +2y -3z , 证明1=∂∂+∂∂y z x z证明 设F (x , y , z )=2sin(x +2y -3z )-x -2y +3z , 则F x =2cos(x +2y -3z )-1, F y =2cos(x +2y -3z )⋅2-2=2F x ,F z =2cos(x +2y -3z )⋅(-3)+3=-3F x ,313=--=-=∂∂x x z x F F F F x z ,3232=--=-=∂∂x x z y F F F F y z , 于是 13231=+=--=∂∂+∂∂z z z x F FF F y z x z .6. 设x =x (y , z ), y =y (x , z ), z =z (x , y )都是由方程F (x , y , z )=0所确定的具有连续偏导数的函数, 证明1-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂x z z yy x .解 因为x y F F y x -=∂∂, y z F F z y -=∂∂, zx F F x z -=∂∂, 所以 1)()()(-=-⋅-⋅-=∂∂⋅∂∂⋅∂∂zx y z x y F F F F F F x z z y y x . 7. 设ϕ(u , v )具有连续偏导数, 证明由方程ϕ(cx -az , cy -bz )=0 所确定的函数z =f (x , y )满足 c y z b x z a =∂∂+∂∂.证明 因为vu u v u u b a c b a c x z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,vu vv u v b a c b a c y z ϕϕϕϕϕϕ+=⋅-⋅-⋅-=∂∂,所以 c b a c b b a c a y z b x z a vu v v u u =+++⋅=∂∂+∂∂ϕϕϕϕϕϕ.8. 设e z-xyz =0, 求22x z ∂∂. 解 设F (x , y , z )=e z -xyz , 则F x =-yz , F z =e z-xy , xye yz F F x z zz x -=-=∂∂, 222)()()()(xy e y x z e yz xy e x z y x z x x z z z z --∂∂--∂∂=∂∂∂∂=∂∂ 222)()(xy e xye yzyze xy ye z y zz z z ----+=32232)(22xy e e z y z xy ze y z zz ---=. 9. 设z 3-3xyz =a 3, 求yx z ∂∂∂2. 解 令F (x , y , z )=z 3-3xyz -a 3, 则 xy z yzxy z yz F F x z z x -=---=-=∂∂22333,xyz xz xy z xz F F y z z y -=---=-=∂∂22333, )()(22xyz yz y x z y y x z -∂∂=∂∂∂∂=∂∂∂ 222)()2())((xy z x yz z yz xy z y z y z --∂∂--∂∂+=22222)()2()()(xy z x xyz xz z yz xy z xy z xz yz -----⋅-+=322224)()2(xy z y x xyz z z ---=. 10. 求由下列方程组所确定的函数的导数或偏导数: (1)设⎩⎨⎧=+++=203222222z y x y x z , 求dx dy , dx dz ; 解 视y =y (x ), z =z (x ), 方程两边对x 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=+++=064222dx dz z dx dy y x dx dy y x dx dz , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=-xdx dzz dxdy y x dx dz dx dy y 3222.解方程组得 )13(2)16(++-=∂∂z y z x x y , 13+=z x dx dz.(2)设⎩⎨⎧=++=++10222z y x z y x , 求dz dx ,dz dy ; 解 视x =x (z ), y =y (z ), 方程两边对z 求导得 ⎪⎩⎪⎨⎧=++=++022201z dz dy y dz dx x dz dy dz dx , 即⎪⎩⎪⎨⎧-=+-=+zdz dy y dzdxx dz dy dz dx 2221.解方程组得y x z y z x --=∂∂, yx xz z y --=∂∂.(3)设⎩⎨⎧-=+=),(),(2y v x u g v y v ux f u , 其中f , g 具有一阶连续偏导数, 求x u ∂∂,xv ∂∂; 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边对x 求偏导得⎪⎩⎪⎨⎧∂∂⋅'+-∂∂⋅'=∂∂∂∂⋅'+∂∂+⋅'=∂∂x v yv g x u g xv x vf x u x u f x u 21212)1()( , 即 ⎪⎩⎪⎨⎧'=∂∂⋅⋅-'+∂∂'''-=∂∂⋅'+∂∂-'121121)12()1(g x v g yv xu g f u x v f x u f x . 解之得1221221)12)(1()12(g f g yv f x g f g yv f u x u ''--'-'''--''-=∂∂, 1221111)12)(1()1(g f g yv f x f u f x g x v ''--'-'-'+''=∂∂.(4)设⎩⎨⎧-=+=vu e y v u e x u u cos sin , 求x u ∂∂, y u ∂∂, x v ∂∂, y v ∂∂. 解 视u =u (x , y ), v =v (x , y ), 方程两边微分得⎩⎨⎧+-=++=vdv u vdu du e dy vdv u vdu du e dx u u sin cos cos sin , 即 ⎩⎨⎧=+-=++dy vdv u du v e dx vdv u du v e u u sin )cos (cos )sin (, 从中解出du , dv 得dy v v e v dx v v e v du u u 1)cos (sin cos 1)cos (sin sin +--++-=, dy v v e u e v dx v v e u e v dv u u u u ]1)cos (sin [sin ]1)cos (sin [cos +-+++--=, 从而 1)cos (sin sin +-=∂∂v v e v x u u , 1)cos (sin cos +--=∂∂v v e v y u u , ]1)cos (sin [cos +--=∂∂v v e u e v x v u u , ]1)cos (sin [sin +-+=∂∂v v e u e v y v u u . 11. 设y =f (x , t ), 而t 是由方程F (x , y , t )=0所确定的x , y 的函数, 其中f , F 都具有一阶连续偏导数, 试证明:tFy F t f x F t f t F x f dx dy ∂∂+∂∂⋅∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=. 证明 由方程组⎩⎨⎧==0),,(),(t y x F t x f y 可确定两个一元隐函数⎩⎨⎧==)()(x t t x y y , 方程两边对x 求导可得 ⎪⎩⎪⎨⎧=⋅∂∂+⋅∂∂+∂∂⋅∂∂+∂∂=0dxdt t F dx dy y F x F dx dt t f x f dx dy , 移项得 ⎪⎩⎪⎨⎧∂∂-=∂∂+⋅∂∂∂∂=⋅∂∂-x F dxdt t F dx dy y F x f dx dt t f dx dy ,在01≠∂∂⋅∂∂+∂∂=∂∂∂∂∂∂-=y F t f t F t F y F t fD 的条件下 yF t f t F x F t f t F x f t F x F t f x f D dx dy ∂∂⋅∂∂+∂∂∂∂⋅∂∂-∂∂⋅∂∂=∂∂∂∂-∂∂-∂∂⋅=1.习题8-61. 求曲线x =t -sin t , y =1-cos t , 2sin 4t z =在点)22 ,1 ,12 (-π处的切线及法平面方程.解 x '(t )=1-cos t , y '(t )=sin t , 2cos 2)(t t z ='. 因为点)22 ,1 ,12 (-π所对应的参数为2π=t , 故在点)22 ,1 ,12(-π处的切向量为)2 ,1 ,1(=T . 因此在点)22 ,1 ,12(-π处, 切线方程为 22211121-=-=-+z y x π, 法平面方程为0)22(2)1(1)12(1=-+-⋅++-⋅z y x π, 即422+=++πz y x .2. 求曲线t t x +=1, tt y +=1, z =t 2在对应于t =1的点处的切线及法平面方程.解 2)1(1)(t t x +=', 21)(t t y -=', z '(t )=2t . 在t =1所对应的点处, 切向量)2 ,1 ,41(-=T , t =1所对应的点为)1 ,2 ,21(, 所以在t =1所对应的点处, 切线方程为 21124121-=--=-z y x , 即8142121-=--=-z y x ; 法平面方程为0)1(2)2()21(41=-+---z y x , 即2x -8y +16z -1=0. 3. 求曲线y 2=2mx , z 2=m -x 在点(x 0, y 0, z 0)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 将方程y 2=2mx 和z 2=m -x 的两边对x 求导, 得m dx dy y 22=, 12-=dxdz z , 所以y m dx dy =, z dxdz 21-=. 曲线在点(x 0, y 0, z 0,)的切向量为)21,,1(00z y m -=T , 所求的切线方程为0000211z z z y m y y x x --=-=-, 法平面方程为0)(21)()(00000=---+-z z z y y y m x x . 4. 求曲线⎩⎨⎧=-+-=-++0453203222z y x x z y x 在点(1, 1, 1)处的切线及法平面方程.解 设曲线的参数方程的参数为x , 对x 求导得,⎪⎩⎪⎨⎧=+-=-++053203222dx dz dx dy dx dz z dx dy y x , 即⎪⎩⎪⎨⎧=-+-=+2533222dxdz dx dy x dx dz z dx dy y . 解此方程组得z y z x dx dy 61015410----=, zy y x dx dz 610946---+=. 因为169)1,1,1(=dx dy , 161)1,1,1(-=dx dz , 所以)161 ,169 ,1(=T . 所求切线方程为1611169111--=-=-z y x , 即1191161--=-=-z y x ; 法平面方程为0)1(161)1(169)1(=---+-z y x , 即16x +9y -z -24=0. 5. 求出曲线x =t , y =t 2, z =t 3上的点, 使在该点的切线平行于平面x +2y +z =4.解 已知平面的法线向量为n =(1, 2, 1).因为x '=1, y '=2t , z '=3t 2, 所以参数t 对应的点处的切向量为T =(1, 2t , 3t 2). 又因为切线与已知平面平行, 所以T ⋅n =0, 即1+4t +3t 2=0,解得t =-1, 31-=t . 于是所求点的坐标为(-1, 1, -1)和)271 ,91 ,31(--. 6. 求曲面e z -z +xy =3在点(2,1,0)处的切平面及法线方程. 解 令F (x , y , z )=e z -z +xy -3, 则n =(F x , F y , F z )|(2, 1, 0)=(y , x , e z -1)|(2, 1, 0)=(1, 2, 0),点(2,1, 0)处的切平面方程为1⋅(x -2)+2(y -1)+0⋅(z -0)=0, 即x +2y -4=0,法线方程为02112-=-=-z y x . 7. 求曲面ax 2+by 2+cz 2=1在点(x 0, y 0, z 0)处的切平面及法线方程.解 令F (x , y , z )=ax 2+by 2+cz 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2ax , 2by , 2cz )=(ax , by , cz ).在点(x 0, y 0, z 0)处, 法向量为(ax 0, by 0, cz 0), 故切平面方程为 ax 0(x -x 0)+by 0(y -y 0)+cz 0(z -z 0)=0,即 202020000cz by ax z cz y by x ax ++=++,法线方程为00000cz z z by y y ax x x -=-=-.8. 求椭球面x 2+2y 2+z 2=1上平行于平面x -y +2z =0的切平面方程.解 设F (x , y , z )=x 2+2y 2+z 2-1, 则n =(F x , F y , F z )=(2x , 4y , 2z )=2(x , 2y , z ).已知切平面的法向量为(1, -1, 2). 因为已知平面与所求切平面平行, 所以2121z y x =-=, 即z x 21=, z y 41-=, 代入椭球面方程得1)4(2)2(222=+-+z z z ,解得1122±=z , 则1122±=x , 11221 =y . 所以切点坐标为)1122,11221,112(±± . 所求切平面方程为0)1122(2)11221()112(=±+-±z y x , 即 2112±=+-z y x . 9. 求旋转椭球面3x 2+y 2+z 2=16上点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦.解 x O y 面的法向为n 1=(0, 0, 1).令F (x , y , z )=3x 2+y 2 +z 2-16, 则点(-1, -2, 3)处的法向量为 n 2=(F x , F y , F z )|(-1, -2, 3)=(6x , 2y , 2z )|(-1, -2, 3)=(-6, -4, 6). 点(-1, -2, 3)处的切平面与xOy 面的夹角的余弦为22364616||||cos 2222121=++⋅=⋅⋅=n n n n θ.10. 试证曲面a z y x =++(a >0)上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于a .证明 设a z y x z y x F -++=),,(, 则)21,21,21(zy x =n . 在曲面上任取一点M (x 0, y 0, z 0), 则在点M 处的切平面方程为0)(1)(1)(1000000=-+-+-z z z y y y x x x , 即 a z y x z z y y x x =++=++000000. 化为截距式, 得1000=++az z ay y ax x , 所以截距之和为a z y x a az ay ax =++=++)(000000.习题8-71. 求函数z =x 2+y 2在点(1, 2)处沿从点(1, 2)到点)32 ,2(+的方向的方向导数.解 因为从点(1, 2)到点)32 ,2(+的向量为)3 ,1(=l , 故 )cos ,(cos )23 ,21(||βα===l l e l . 又因为22)2,1()2,1(==∂∂x x z , 42)2,1()2,1(==∂∂y y z , 故所求方向导数为321234212cos cos +=⋅+⋅=∂∂+∂∂=∂∂βαy z x z l z . 2. 求函数z =ln(x +y )在抛物线y 2=4x 上点(1, 2)处, 沿这抛物线在该点处偏向x 轴正向的切线方向的方向导数.解 方程y 2=4x 两边对x 求导得2yy '=4, 解得y y 2='.。
高等数学课后答案 第八章 习题详细解答
习 题 8-11．设有一个面薄板（不计其厚度），占有xOy 面上的闭区域D ，薄板上分布有面密度为(,)x y μμ=的电荷，且(,)x y μ在D 上连续，试用二重积分表达该板上的全部电荷Q ．解 用一组曲线将D 分成n 个小闭区域i σ∆，其面积也记为(1,2,,)i i n σ∆= .任取一点(,)i i i ξησ∈∆,则i σ∆上分布的电量(,)i i i Q μξησ∆≈∆.通过求和、取极限，便得到该板上的全部电荷为1lim (,)(,)d ,ni i i i DQ x y λμξησμσ→==∆=∑⎰⎰其中1max{i i nλσ≤≤=∆的直径}．2. 设12231()d D I x y σ=+⎰⎰其中1{(,)11,22}D x y x y =-≤≤-≤≤；又22232()d D I x y σ=+⎰⎰其中2{(,)01,02}D x y x y =≤≤≤≤．试利用二重积分的几何意义说明1I 与2I 之间的关系．解 由二重积分的几何意义知，1I 表示底为1D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体1Ω的体积；2I 表示底为2D 、顶为曲面223()z x y =+的曲顶柱体2Ω的体积．由于位于1D 上方的曲面223()z x y =+关于yOz 面和zOx 面均对称，故yOz 面和zOx 面将1Ω分成四个等积的部分，其中位于第一卦限的部分即为2Ω．由此可知124I I =．3. 利用二重积分定义证明： (1) d ()DD σσσ=⎰⎰其中为的面积；(2) (,)d (,)d ()DDkf x y k f x y k σσ=⎰⎰⎰⎰其中为常数；(3)12(,)d (,)d (,)d ,DD D f x y f x y f x y σσσ=+⎰⎰⎰⎰⎰⎰其中12D D D= ，1D 、2D 为两个无公共内点的闭区域.证 (1) 由于被积函数(,)1f x y ≡，故由二重积分定义得11d lim (,)lim lim .nniiii i i Df λλλσξησσσσ→→→===∆=∆==∑∑⎰⎰(2) 011(,)d lim (,)lim (,)(,)d .nni i i i i i i i DDkf x y kf k f k f x y λλσξησξησσ→→===∆=∆=∑∑⎰⎰⎰⎰(3) 因为函数(,)f x y 在闭区域D 上可积，故不论把D 怎样分割，积分和的极限总是不变的，因此在分割D 时，可以使1D 和2D 的公共边界永远是一条分割线。
华东师大数学分析答案完整版
华东师大数学分析答案完整版一、填空题1. 极限的定义是当自变量趋近于某个值时，函数的值趋近于另一个确定的值。
2. 函数在某一点连续的充分必要条件是左极限、右极限和函数值在该点相等。
3. 无穷小量与无穷大量的关系是无穷小量的倒数是无穷大量，无穷大量的倒数是无穷小量。
4. 函数的导数表示函数在某一点的瞬时变化率。
5. 微分表示函数在某一点的微小变化量。
6. 函数的积分表示函数在某个区间上的累积变化量。
7. 变限积分的导数是原函数的导数。
8. 无穷级数的收敛性可以通过比较判别法、比值判别法等方法进行判断。
9. 函数的泰勒级数表示函数在某一点的幂级数展开。
10. 傅里叶级数表示周期函数的三角级数展开。
二、选择题1. 下列函数中，连续的是（A）。
A. f(x) = x^2B. f(x) = 1/xC. f(x) = sin(x)D. f(x) = |x|2. 下列极限中，存在的是（B）。
A. lim(x→0) 1/xB. lim(x→∞) x^2C. lim(x→0) sin(x)/xD. lim(x→∞) e^(x)3. 下列函数中，可导的是（A）。
A. f(x) = x^3B. f(x) = |x|C. f(x) = sin(1/x)D. f(x) = x^(1/3)4. 下列积分中，收敛的是（C）。
A. ∫(1/x) dxB. ∫(1/x^2) dxC. ∫(e^(x)) dxD. ∫(1/x^3) dx5. 下列级数中，收敛的是（B）。
A. ∑(1/n)B. ∑(1/n^2)C. ∑(1/n^3)D. ∑(1/n^4)三、解答题1. 求函数 f(x) = x^3 3x + 2 在 x = 1 处的导数。
解答：f'(x) = 3x^2 3，代入 x = 1，得 f'(1) = 0。
2. 求不定积分∫(e^x) dx。
解答：∫(e^x) dx = e^x + C，其中 C 为任意常数。
华东师大数学分析答案完整版
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这 两种定义是等价的!!$$中的!(#相当于!!$中的"!在上述定义中可以限定#%###其中
## 为充分小的正数!定义!$$在某些证明题中使用起来更方便些 !
*" 确界原理)设 ’ 是非空数集#若 ’ 有上界#则 ’ 必有上确界*若 ’ 有下界#则 ’ 必有下确界!
确界原理是实数系完备性的几个等价定理中的一个!
3" 单调性
设 -%,!$$#$#.#若 对 ,$! #$$ #.#$! %$$ #有
!!$,!$!$$,!$$$#则称 , 在. 上是递增函数! !$$,!$!$%,!$$$#则称 , 在. 上是严格递增函数!
类似可定义递减函数与严格递减函数!
4" 奇偶性
设 . 是对称于原点的数集#-%,!$$#$#.! !!$若,$#.#都有 ,!($$%,!$$#则称,!$$是偶函数! !$$若 ,$#.#都 有 ,!($$% (,!$$#则 称 ,!$$是 奇 函 数 !
分析 !本题主要考察函数 的 有 界 性#要 充 分 利 用 已 知 条 件 给 出 的 不 等 式 #积 极 构 造 出 类 似 的 不 等
%$ %
第一章!实数集与函数
式 #以 证 出 结 论 !
证 明 ! , (%#;’.:#,$# !%#;$#则 存 在’# !##!$#使 $%%&’!;(%$
再
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其
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界
#这
样
继
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十一章
第十一章 反常积分一、填空题 1．⎰+∞-++131xx ee dx= 2．⎰-+-31)3()1(x x dx =3．⎰+∞2)(ln kx x dx其中k 为常数，当1≤k 时，这积分 ，当1<k 时，这积分当这积分收敛时，其值为4．=++⎰+∞284x x dx5．=-+⎰∞+22)7(x x dx___________6．=+⎰∞---02)1(dx e xe x x____________二、选择填空 1． ⎰--=1121xxdx I 则（ ）A 可以令t x sin =求得⎰-=22sin ππtdt I 之值B 可从凑微分求得⎰----=11221)1(21xx d I 之值C 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，不能直接换元D 因被积函数在]1 ,1[-内不连续，I 之值不存在 2．)(x f 在] ,[∞+a 连续c a <，则（ ） A)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞也必收敛，但 )(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞不一定发散。
B)(dx x f a⎰+∞发散， )(dx x f c⎰+∞也必发散，但 )(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞不一定收敛。
C )(dx x f a ⎰+∞与 )(dx x f c⎰+∞同时收敛或同时发散。
D)(dx x f a⎰+∞收敛， )(dx x f c⎰+∞必发散。
3．若xx x f 104)5(2-=-，则积分=+⎰40)12(dx x f ( ) A.0 B.4πC.是发散的广义积分D.是收敛的广义积分 4．=+⎰-222)1(x dx( )A.34-B.34C.32- D. 不存在 5．下列广义积分发散的是( )A.⎰-11sin x dx B.⎰--1121x dxC.⎰+∞-02dx e xD.⎰∞+22ln x x dx 三．计算题1．计算下列无究限积分：（1）⎰∞+12x dx ； （2）()⎰∞++12x 1x dx； （3）⎰∞+∞-++1x 2x 2dx2； （4）⎰∞+0x e dx ； （5）⎰+∞-0x dx xe 22．讨论下列无穷限积分的敛散性：（1）⎰∞++0341x dx ；（2）⎰∞+-axdx e 1x； （3）⎰∞++0x1dx ；（4）⎰∞++13dx x 1xarctgx；（5）()⎰∞+->+01a 1a dx x1x ；（6）()⎰∞+≥+0nm0n ,m dx x 1x ； （7）()⎰∞++1ndx xx 1ln ； （8）()⎰∞+3x ln ln x dx3．讨论下列非正常积分的绝对收敛与条件收敛：（1）⎰+∞02dx x sin ；（2）()dx x 1x sin sgn 02⎰∞++； （3）⎰∞++0dx x 100xcos x ；（4）()⎰∞+3xdx sin xln x ln ln 4．计算下列瑕积分的值：（1）⎰1xdx ln ； （2）⎰-1dx x1x； （3）()()()⎰≠--bab a x b a x dx5．判别下列非正常积分的敛散性：（1）()⎰-221x dx；（2）⎰123dx xx sin ；（3）⎰-104dx x1x ；（4）⎰-10dx x 1xln ； （5）⎰-103dx x 1arctgx； （6）⎰∞-0x dx x ln e ；（7）⎰1xln x dx ；（8）⎰π-20mdx xxcos 1 6．仿照无究限积分的阿贝耳判别法和狄利克雷判别法，写出瑕积分的相应判别法，并用来讨论下列非正常积分的绝对收或条件收敛：（1）⎰10dx xx 1cos ；（2）dx x x2sin e 02x sin ⎰∞+；7．计算下列瑕积分的值（其中n 为自然数）： （1）()⎰10ndx x ln ； （2）dx x1x 1n ⎰-8．求()⎰-2211dx x9．求dx ex x x-+∞∞-+⎰)(10．求⎰+∞-11x x dx11．求dx xx ⎰-2322cos 1sin ππ12．求⎰+∞∞--++dx e x x x 2)1(213．求dx x⎰-312lnπ14．判断下列广义积分的敛散性（1）dx x⎰20sin 1π（2）⎰-+-1122)1)(1(1dx x x15．判别广义积分dx x x xx ⎰∞+-03421ln 的敛散性16．计算积分⎰--23212xx dx四、证明题 1．假定⎰∞)(dx xx f 对a 取任何正值时收敛，且)(x f 为连续函数，L f =)0(，证明αββαln )()(⋅=-⎰∞L dx x x f x f a2．证明无穷限积分的性质3：若f 在任何有限区间[a ，A]上可积，且⎰+∞af 收敛，则⎰+∞af 也收敛，且⎰⎰+∞+∞≤aaf f3．证明定理10.22：设定义在[]+∞,a 上的非负函数f 与g 在任何有限区间[a ，A]上都可积。
华师10秋学期《高等数学(理工)》在线作业参考答案及练习测试题答案
华师10秋学期《高等数学（理工）》在线作业单选题（共50 道试题，共100 分。
）得分：01. 正确答案：D2. 正确答案：A3. 正确答案：C4. 正确答案：C5. 正确答案：D6. 下列有跳跃间断点x=0的函数为A. xarctan1/xB. arctan1/xC. tan1/xD. cos1/x正确答案：B7. 正确答案：D8. 正确答案：D9. 正确答案：B10. 正确答案：C11. 正确答案：D12. 正确答案：C13. 正确答案：B14. 正确答案：A15. 若函数f(x)在（a,b）内存在原函数，则原函数有A. 一个B. 两个C. 无穷多个D. 都不对正确答案：C16. 设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=A. ±1B. ±л/2C. ±(л/2+1)D. ±(л/2-1)正确答案：D17. f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：A18. 函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的A. [0,л]B. （0,л）C. [-л/4,л/4]D. （-л/4,л/4）正确答案：C19. 设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=A. 0B. 1/ ㏑2C. 1D. ㏑2正确答案：C20. 正确答案：A21. 正确答案：A22. 正确答案：A23. 正确答案：B24. 正确答案：A25. f(x)在点x=x0处有定义是f(x)在x=x0处连续的A. 必要条件B. 充分条件C. 充分必要条件D. 无关条件正确答案：A26. 正确答案：A 27. 函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：B28. 正确答案：C29. 数列有界是数列收敛的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 既非充分也非必要正确答案：B30. 正确答案：B31. 在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的A. 充分条件B. 必要条件C. 充要条件D. 无关条件正确答案：A32. 正确答案：A33. 正确答案：A34. 设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=B. -aC. |a|D. 0正确答案：A35. 正确答案：A36. 正确答案：C37. 方程=0所表示的图形为A. 原点（0，0，0）B. 三坐标轴C. 三坐标轴D. 曲面，但不可能为平面正确答案：C38. 正确答案：D39. 函数f(x)=|x|在x=0的微分是A. 0B. -dxC. dxD. 不存在正确答案：D40. 正确答案：A41. 设曲面方程（P，Q）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是A. Z=4B. Z=0C. Z=-2D. x=2正确答案：D42. 若函数f(x)=xsin|x|，则A. f``(0)不存在B. f``(0)=0C. f``(0) =∞D. f``(0)= л正确答案：A43. 正确答案：C44. 正确答案：C45. 若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有A. 唯一的零点B. 至少存在有一个零点C. 没有零点D. 不能确定有无零点正确答案：D46. 正确答案：B47. 正确答案：C48. 正确答案：B49. 正确答案：C50. 正确答案：C华中师范大学网络教育学院 《高等数学》练习测试题库一．选择题 1.函数y=112+x 是（ ） A.偶函数 B.奇函数 C 单调函数 D 无界函数 2.设f(sin2x)=cosx+1,则f(x)为（ ） A 2x 2－2 B 2－2x 2C 1＋x 2D 1－x 23．下列数列为单调递增数列的有（ ） A ．0.9 ，0.99，0.999，0.9999 B ．23，32，45，54C ．{f(n)},其中f(n)=⎪⎩⎪⎨⎧-+为偶数，为奇数n nn n n n1,1 D. {n n 212+} 4.数列有界是数列收敛的（ ）A ．充分条件 B. 必要条件 C.充要条件 D 既非充分也非必要 5．下列命题正确的是（ ）A ．发散数列必无界B ．两无界数列之和必无界C ．两发散数列之和必发散D ．两收敛数列之和必收敛6．=--→1)1sin(lim21x x x （ ） A.1 B.0 C.2 D.1/2 7．设=+∞→x x xk)1(lim e 6则k=( )A.1B.2C.6D.1/6 8.当x →1时，下列与无穷小（x-1）等价的无穷小是（ ）A.x 2-1B. x 3-1C.(x-1)2D.sin(x-1) 9.f(x)在点x=x 0处有定义是f(x)在x=x 0处连续的（ ） A.必要条件 B.充分条件 C.充分必要条件 D.无关条件 10、当|x|<1时，y= （ ）A 、是连续的B 、无界函数C 、有最大值与最小值D 、无最小值11、设函数f （x ）=（1-x ）cotx要使f （x ）在点：x=0连续，则应补充定义f （0）为（ ）A 、B 、eC 、-eD 、-e -112、下列有跳跃间断点x=0的函数为（ ）A 、 xarctan1/xB 、arctan1/xC 、tan1/xD 、cos1/x13、设f(x)在点x 0连续，g(x)在点x 0不连续，则下列结论成立是（ ）A 、f(x)+g(x)在点x 0 必不连续B 、f(x)×g(x)在点x 0必不连续须有C 、复合函数f[g(x)]在点x 0必不连续D 、 在点x 0必不连续在区间(- ∞,+ ∞)上连续，且f(x)=0，则a,b 满足14、设f(x)= （ ）A 、a ＞0,b ＞0B 、a ＞0,b ＜0C 、a ＜0,b ＞0D 、a ＜0,b ＜015、若函数f(x)在点x0连续，则下列复合函数在x0也连续的有（）A 、 B、C、tan[f(x)]D、f[f(x)]16、函数f(x)=tanx能取最小最大值的区间是下列区间中的（）A、[0,л]B、（0,л）C、[-л/4,л/4]D、（-л/4,л/4）17、在闭区间[a ,b]上连续是函数f(x)有界的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件18、f(a)f(b) ＜0是在[a,b]上连续的函f(x)数在（a,b）内取零值的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件19、下列函数中能在区间(0,1)内取零值的有（）A、f(x)=x+1B、f(x)=x-1C、f(x)=x2-1D、f(x)=5x4-4x+120、曲线y=x2在x=1处的切线斜率为（）A、k=0B、k=1C、k=2D、-1/221、若直线y=x与对数曲线y=logax相切，则（）A、eB、1/eC、e xD、e1/e22、曲线y=lnx平行于直线x-y+1=0的法线方程是（）A、x-y-1=0B、x-y+3e-2=0C、x-y-3e-2=0D、-x-y+3e-2=023、设直线y=x+a与曲线y=2arctanx相切，则a=（）A、±1B、±л/2C、±(л/2+1)D、±(л/2-1)24、设f(x)为可导的奇函数，且f`(x0)=a，则f`(-x0)=（）A、aB、-aC、|a|D、025、设y=㏑，则y’|x=0=（）A、-1/2B、1/2C、-1D、026、设y=(cos)sinx，则y’|x=0=（）A、-1B、0C、1D、不存在27、设yf(x)= ㏑(1+X)，y=f[f(x)],则y’|x=0=（）A、0B、1/ ㏑2C、1D、㏑228、已知y=sinx，则y(10)=（）A、sinxB、cosxC、-sinxD、-cosx29、已知y=x㏑x，则y(10)=（）A、-1/x9B、1/ x9C、8.1/x9D、 -8.1/x930、若函数f(x)=xsin|x|，则（）A、f``(0)不存在B、f``(0)=0C、f``(0) =∞D、 f``(0)= л31、设函数y=yf(x)在[0，л]内由方程x+cos(x+y)=0所确定，则|dy/dx|x=0=（）A、-1B、0C、л/2D、 232、圆x2cosθ,y=2sinθ上相应于θ=л/4处的切线斜率，K=（）A、-1B、0C、1D、 233、函数f(x)在点x0连续是函数f(x)在x0可微的（）A、充分条件B、必要条件C、充要条件D、无关条件34、函数f(x)在点x 0可导是函数f(x)在x 0可微的（ ）A 、充分条件B 、必要条件C 、充要条件D 、无关条件35、函数f(x)=|x|在x=0的微分是（ ）A 、0B 、-dxC 、dxD 、 不存在 36、极限)ln 11(lim 1xx x x --→的未定式类型是（ ）A 、0/0型B 、∞/∞型C 、∞ -∞D 、∞型 37、极限 012)sin lim(→x x xx 的未定式类型是（ ） A 、00型 B 、0/0型 C 、1∞型 D 、∞0型38、极限 xx x x sin 1sinlim20→=（ ） A 、0 B 、1 C 、2 D 、不存在 39、xx 0时，n 阶泰勒公式的余项Rn(x)是较xx 0 的（ ）A 、（n+1）阶无穷小B 、n 阶无穷小C 、同阶无穷小D 、高阶无穷小40、若函数f(x)在[0, +∞]内可导，且f`(x) ＞0，xf(0) ＜0则f(x)在[0,+ ∞]内有（ ）A 、唯一的零点B 、至少存在有一个零点C 、没有零点D 、不能确定有无零点41、曲线y=x 2-4x+3的顶点处的曲率为（ ）A 、2B 、1/2C 、1D 、0 42、抛物线y=4x-x 2在它的顶点处的曲率半径为（ ） A 、0 B 、1/2 C 、1 D 、2 43、若函数f(x)在（a,b ）内存在原函数，则原函数有（ ）A 、一个B 、两个C 、无穷多个D 、都不对44、若∫f(x)dx=2e x/2+C=（ ）A 、2ex/2B 、4 ex/2C 、ex/2+C D 、e x/245、∫xe -xdx =（ D ）A 、xe -x-e -x+C B 、-xe -x+e -x+C C 、xe -x+e -x+C D 、-xe -x-e -x+C46、设P （X ）为多项式，为自然数，则∫P(x)(x-1)-ndx （ ）A 、不含有对数函数B 、含有反三角函数C 、一定是初等函数D 、一定是有理函数 47、∫-10|3x+1|dx=（ ）A 、5/6B 、1/2C 、-1/2D 、148、两椭圆曲线x 2/4+y 2=1及(x-1)2/9+y 2/4=1之间所围的平面图形面积等于（ ）A 、лB 、2лC 、4лD 、6л49、曲线y=x 2-2x 与x 轴所围平面图形绕轴旋转而成的旋转体体积是（ ）A 、лB 、6л/15C 、16л/15D 、32л/1550、点（1，0，-1）与（0，-1，1）之间的距离为（ ）A 、B 、2C 、31/2D 、 21/251、设曲面方程（P ，Q ）则用下列平面去截曲面，截线为抛物线的平面是（ ）A 、Z=4B 、Z=0C 、Z=-2D 、x=252、平面x=a 截曲面x 2/a 2+y 2/b 2-z 2/c 2=1所得截线为（ ）A 、椭圆B 、双曲线C 、抛物线D 、两相交直线 53、方程=0所表示的图形为（ ）A 、原点（0，0，0）B 、三坐标轴C 、三坐标轴D 、曲面，但不可能为平面 54、方程3x 2+3y 2-z 2=0表示旋转曲面，它的旋转轴是（ ）A 、X 轴B 、Y 轴C 、Z 轴D 、任一条直线 55、方程3x 2-y 2-2z 2=1所确定的曲面是（ ）A 、双叶双曲面B 、单叶双曲面C 、椭圆抛物面D 、圆锥曲面 二、填空题1、求极限1lim -→x (x 2+2x+5)/(x 2+1)=（ ）2、求极限 0lim →x [(x 3-3x+1)/(x-4)+1]=（ ）3、求极限2lim →x x-2/(x+2)1/2=（ ）4、求极限∞→x lim [x/(x+1)]x=（ ）5、求极限0lim →x (1-x)1/x= （ ）6、已知y=sinx-cosx ，求y`|x=л/6=（ ）7、已知ρ=ψsin ψ+cos ψ/2，求d ρ/d ψ| ψ=л/6=（ ） 8、已知f(x)=3/5x+x 2/5，求f`(0)=（ ）9、设直线y=x+a 与曲线y=2arctanx 相切，则a=（ ）10、函数y=x 2-2x+3的极值是y(1)=（ ） 11、函数y=2x 3极小值与极大值分别是（ ） 12、函数y=x 2-2x-1的最小值为（ ） 13、函数y=2x-5x 2的最大值为（ ）14、函数f(x)=x 2e -x 在[-1,1]上的最小值为（ ）15、点（0，1）是曲线y=ax 3+bx 2+c 的拐点，则有b=（ ） c=（ ） 16、∫xx 1/2dx= （ ）17、若F`(x)=f(x)，则∫dF(x)= （ ） 18、若∫f(x)dx =x 2e 2x +c ，则f(x)= ( ) 19、d/dx ∫a barctantdt =（ ）20、已知函数f(x)=⎪⎩⎪⎨⎧=≠⎰-0,0,022)1(1x a x x t dt e x在点x=0连续， 则a=（ ） 21、∫02(x 2+1/x 4)dx =（ ） 22、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 23、∫031/2a dx/(a 2+x 2)=（ ）24、∫01 dx/(4-x 2)1/2=（ ）25、∫л/3лsin (л/3+x)dx=（ ）26、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=( ) 27、∫49x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ） 28、∫49 x 1/2(1+x 1/2)dx=（ ）29、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）30、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）31、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）32、∫49 x1/2(1+x1/2)dx=（）33、满足不等式|x-2|＜1的X所在区间为( )34、设f(x) = [x] +1，则f（л+10）=（）35、函数Y=|sinx|的周期是（）36、y=sinx,y=cosx直线x=0,x=л/2所围成的面积是（）37、y=3-2x-x2与x轴所围成图形的面积是（）38、心形线r=a(1+cosθ)的全长为（）39、三点（1，1，2），（-1，1，2），（0，0，2）构成的三角形为（）40、一动点与两定点（2，3，1）和（4，5，6）等距离，则该点的轨迹方程是（）41、求过点（3，0，-1），且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程是（）42、求三平面x+3y+z=1，2x-y-z=0，-x+2y+2z=0的交点是( )43、求平行于xoz面且经过（2，-5，3）的平面方程是（）44、通过Z轴和点（-3，1，-2）的平面方程是（）45、平行于X轴且经过两点（4，0，-2）和（5，1，7）的平面方程是（）三、解答题1、设Y=2X-5X2，问X等于多少时Y最大？并求出其最大值。
(完整版)高等数学习题册答案华东师大Ch8Differentialofmultivariablefunctions
第8章 多元函数微分学及其应用参考解答1、设22,y f x y x y x ⎛⎫+=- ⎪⎝⎭，求(),f x y ，(),f x y xy -。
解：()()()()221,1yy x y x f x y x y x y x y x y y x x y x--⎛⎫+=+-=+=+ ⎪+⎝⎭+，故得 ()21,1y f x y x y -=+，()()21,1xyf x y xy x y xy--=-+ 2、求下列各极限：22422222220000cos sin 1(1) lim lim lim sin 204x r r y x y r r x y r θθθ→→→→===+ 注意：在利用极坐标变换cos , sin x r y r θθ==来求极限时，θ也是变量。
本题中，0r →时，2r 为无穷小量，而2sin 2θ为有界变量，故所求极限为零。
()00sin sin (2) lim lim 1x t y axy t xy t →→→==3、证明极限22400lim x y xy x y →→+不存在。
证明：当2y kx =时，()2242,1xy k f x y x y k ==++，故222420lim 1y kx x xy kx y k =→=++与k 有关。
可见，(),x y 沿不同的路径趋于()0,0时，函数极限不同，故极限不存在。
（两路径判别法）4、讨论下列函数在()0,0点处的连续性：（1）()()()22222222ln , 0,0, 0x y x y x y f x y x y ⎧+++≠⎪=⎨+=⎪⎩解：()()()()()()()()2222,0,0,0,0lim,limln lim ln 00,0x y x y t f x y x y x y t t f →→→=++===故原函数在()0,0点处连续。
（2）()2222222, 0,0, 0xy x y x y f x y x y ⎧+≠⎪+=⎨⎪+=⎩解：22222lim1y kx x xy kx y k =→=++与k 有关，故原函数在()0,0点处的极限不存在，因而在该点不连续。
8、数学分析讲义 - CH08(不定积分)-22页 文字版
设 f (x) C[a,b], f (x) 0 ，由曲线 y f (x), x a, x b, y 0 就围成了一个平面图 形，称为 [a, b] 上曲边梯形。下面求这个曲边梯形的面积。
设 F (x) 是区间[a, x] 上的曲边梯形的面积（ x [a,b] ， F (a) 0 ）
e3 x
2
dx
e3 x d (3
x ) 2 e3 x C
x3
3
【例 7】 sin3 xdx sin2 x sin xdx (cos2 x 1)d cos x 1 cos3 x cos x C 3
【例 8】求 sec xdx.
解法一
sec
xdx
cos x
cos2
dx x
d(sin x) 1 sin2 x
sin
u
C
u
2x
1 sin 2x 2
C
【例 2】
tan
xdx
sin cos
x dx x
d
(cos x) cos x
ln cos x C.
（2）
6 中国矿业大学数学学院胡建华
华师大数学分析(第五版)讲义 第 8 章 不定积分
【例 3】
dx a2 x2
1 a
d
x a
1
x a
2
1 arctan x C.
42
【例 2】
x4 x2
1dx 1
x4 x2
1 1
2dx
(x2
1
2
x2
)dx 1
1 x3 x 2 arctan x C. 3
【例 3】
华东师范大学高等数学历年试题 (9)
1.Why did you choose East China Normal University?(你为什么选择报考华东师范大学?)2.Why did you choose XXX?(你为什么选择报考MBA专业?)3.What would you like to be doing 3 years after graduation?(what’s your plan if you are admitted to our school? (毕业5年后，你希望从事什么样的工作?)4.What has been your greatest accomplishment?(你曾取得的最大成就是什么?)5.Describe your greatest strengths and weaknesses. (请描述一下你最大的优点和缺点?)6.What have you learned from the jobs you have held?(你从以往所从事的工作中学到了哪些东西?)7.谈谈你在学期间最大的收获是什么8.“我们的问题都问完了，请问你对我们有没有什么问题要问准备英语面试最好先写一个自我陈述，就像中文的自我介绍一样，尽量写得详细些，包括自己生活、学习的方方面面，然后把它翻译成英文，流利地背下来，老师的很多提问都可以用其中的句子来回答。
一、面试程序不同的单位对面试过程的设计会有所不同，有的单位会非常正式，有的单位则相对比较随意，但一般来说，面试可以分为以下五个阶段：第一阶段：准备阶段。
准备阶段主要是以一般性的社交话题进行交谈，例如主考会问类似“从宿舍到这里远不远”、“今天天气很好，是吗？”这样的问题，目的是使应聘人员能比较自然地进入面试情景之中，以便消除毕业生紧张的心情，建立一种和谐、友善的面试气氛。
毕业生这时就不需要详细地对所问问题进行一一解答，可利用这个机会熟悉面试环境和考官。
第二阶段：引入阶段。
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第三章
数学分析课本（华师大三版）-习题及答案第三章第三章函数极限一、填空题 1．若[]2)(1ln lim20=+→x x f x ，则=→20)(lim xx f x _________ 2．=--+-→xxe e x x x x x 340sin 21sin lim _______________ 3．设xx x x f ??+-=11)(，则=+∞→)1(lim x f x ____________4．已知??>-=<+=2,12,02,1)(x x x x x x f ，1)(+=x e x g ，[]=→)(lim 0x g f x ________5．()x x x x ln cos arctan lim -+∞→=_________________6．[]=→xx x tan )sin(sin sin lim0_____________ 7．________24tan lim =+∞→n n x π8．________ln 1ln ln lim 2=??+→x x x x 9．)1ln(lim 2cos 0x x e e xx x x +-→=__________10．=?+-∞→x xx x x cos 1sin 21lim22_________ 11．=-→x x x x tan 11lim 20_________12．310)(1lim e x x fx xx =++→，则+→20)(1lim x x f x =_______ 13．()=+++→) 1ln(cos 11cossin 3lim20x x x x x x ___________ 二、选择填空1．=-→ttt cos 1lim( )A.0B.1C.2D.不存在2．函数xx x f 1cos 1)(=，在0=x 点的任何邻域内都是( ) A.有界的 B.无界的 C.单增 D.单减 3．已知()25lim 2=++-+∞→c yx ax x ，则必有( )A.20,25-==b a B. 25==b a C.0,25=-=b a D.2,1==b a4．设nn n x n x f ??-+=+∞→2lim )1(，则=)(x f ( )A.1-x eB.2+x eC.1+x eD.xe-5．若22lim 222=--++→x x bax x x ，则必有( ) A.8,2==b a B.5,2==b a C. 8,0-==b a D. 8,2-==b a6．0)(6sin lim30=+→x x xf x x ，则=+→20)(6lim xx f x ( ) A. 0 B.6 C.36 D.∞7．设对任意x 点有)()()(x g x p x ≤≤?，且[]0)()(lim =-∞→x x g x ?，则=∞→)(lim x f x ( )A.存在且一定为0B.存在且一定不为0C.一定不存在D.不一定存在 8．当0→x 时，变量x x1sin 12是( ) A.无穷小 B.无穷大C.有界，但不是无穷小D.无界的，但不是无穷大9．=-+?+∞→π21sin 1])1(1[lim n n n n( )A.πe B.π1e C.1 D.π2e10.=--→xx x xx x tan )(arctan 1lim 220( )A.0B.1C.21 D.21-11.x x x g dt t x f xsin )(,tan )(sin 02-==,则当0→x 时，)(x f 是)(x g 的( )A.高阶无穷小B.低阶无穷小C.同阶非等价无穷小D.等价无穷小三、计算题1.求下列极限：(1))x x cos x (sin 2lim 22x --π→； (2)1x x 21x lim 220x ---→；(3)1x x 21x lim 221x ---→； (4)3230x x 2x ) x 31()1x (lim +-+-→； (5)1x 1x lim m n 1x --→，(n ，m 为自然数)；(6)2x 3x 21lim4x --+→;(7))0a (,xax a lim 20x >-+→；(8)xx cos x limx -∞→； (9)4x xsin x lim 2x -∞→ ；(10).)1x 5()5x 8()6x 3(lim 902070x --+∞→ 2．设,0a ,b x b x b x b a x a x a x a )x (f 0n1n 1n 1n 0m 1m 1m 1m 0≠++++++++=---- 0b 0≠，m ≤n ，试求).x (f lim x ∞→ 3．求下列极限(其中n 为自然数)： (1)20 x x 11x xlim+→； (2)20x x11x x lim ++→； (3)1x nx x x lim n 21x --+++→ ；(4)x1x 1limnx -+→;(5)→x 1lim 0x ; (6)[]x x 1lim x +∞→.4．求下列函数在0x =处的左右极限或极限。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第八章
第八章 不定积分一. 填空题1．若x e f x+='1)(，则=)(x f ___________2．设)(x f 的一个原函数为xxe ，则='⎰dx x f x )(_____________ 3．若xe-是)(x f 的一个原函数，则⎰=dx x xf )(________________4．若[]1)(3='x f ，则=)(x f ____________ 5．⎰=dx x x ),max(2___________________6．若)(x f 有原函数x x ln ，则⎰=''dx x f x )(_______________ 7．⎰=dx xx 2sin)ln(sin ________________8．若⎰⎰+++=+xdx B xx A x dx cos 21cos 21sin )cos 21(2，则=A __________，=B __________9．设C x dx x xf +=⎰arcsin )(，则⎰=)(x f dx _________10．⎰=-)4(x x dx _________________11．⎰=-dx xx 21ln _________________12．[]=-⎰dx xx x a n)cos(ln )sin(ln ________________13．[]⎰='+dxx f x x f )()(________________14．⎰=+xedx 1_____________15．⎰=+dx x xex 2)1(_____________________16．=++⎰dx xx x x cos 2sin cos 3sin 4______________17．已知x x x f 22tansin )cos 2(+=+'，则=)(x f _______________18．[]⎰=+'dx x f x f 2)(1)(______________19. 若⎰+=C x F dx x f )()(,而),(x u ϕ=则⎰=du u f )(___________. 20设函数)(x f 的二阶导数)(x f ''连续,那么⎰=''__________)(dx x f x . 21设)(x f 的原函数是xx sin ,则⎰='__________)(dx x f x .22已知曲线)(x f y =上任一点的切线斜率为6332--x x ,且1-=x 时,211=y 是极大值,则)(x f __________=;)(x f 的极小值是__________.23已知一个函数的导数为211)(xx f -=,并且当1=x 时,这个函数值等于π23,则这个函数为__________)(=x F . 24 设)1(cos )(sin22<='x x x f ,则)(x f __________=.25 若)(x f 为连续函数,且)()(x f x f =',则⎰=__________)(dx x f . 26 若⎰='x dx x f ln ))((,则)(x f __________=. 27 已知2xe -是)(xf 的一个原函数,则⎰=__________sec )(tan 2xdx x f .28⎰='__________)2(12dx x f x. 29 设C xxdx x f ++-=⎰11)(,则)(x f __________=.30 在积分曲线族⎰dx xx 1中,过(1,1)点的积分曲线是__________=y .二、选择填空题 1．设dx e e I xx⎰+-=11，则=I ( )A.C e x++)1ln( B.C x e x+-+)1ln(2 C.C e x x++-)1ln(2 D.C e x+-)1ln(2．设)(x f 是连续的偶函数，则期原函数)(x F 一定是( ) A.偶函数 B.奇函数 C.非奇非偶函数 D.有一个是奇函数3．设⎰⎰+=++=)1(,)1(121u u du I dx xe x x I x，则存在函数)(x u u =，使( )A.x I I +=21B.x I I -=21C.12I I -=D.12I I = 4．当1-≠n 时，⎰=xdx x nln ( ) A.C nx nxn+-)1(ln B.C n x n xn +----)11(ln 11C.C n x xn n ++-++)11(ln 111D.C x n xn +++ln 117．⎰=+dx x x )2sin2(cos ( )A.C x x +-)2cos2(sin 2 B.C x x +-)2sin2(cos2C.C xx +-2cos 2sin D.C x x +-2sin 2cos8．⎰=++dx xxx cos 1sin ( )A.C x x +2cotB.C x x +2tanC.C x x+cot 2 D.C x x +2tan 29．若)(x f 的导函数是x e xcos +-，则)(x f 的一个原函数为( )A.x excos -- B.x exsin +-- C.x e xcos --- D.x exsin +-10．若)(x f 是以l 为周期的连续函数，则其原函数( )。
华东师范大学数学分析第8章习题答案
华东师范⼤学数学分析第8章习题答案第⼋章⼀：不定积分概念与基本积分公式（教材上册P181） 1. 验证下列(1)、(2)等式并与(3)、(4)两试相⽐照: (1)'()()f x dx f x c =+?; (2) ()()df x f x c =+?; (3) [()]'()f x dx f x =?; (4) ()()()d f x d x f x dx =?;解: (1)'0(())''()'()'()()c f x c f x c f x f x dx f x c=∴+=+=∴=+? 与(3)相⽐(1)试求不定积分运算,(2)是求导运算,(1) (3)互为逆运算,不定积分相差⼀个常数但仍为原不定积分,该常数⽤c 表⽰,称为积分常数.(2)()'()()'()()df x f x dxdf x f x dx f x c===+??与(4)相⽐: (2)是先求导再积分,因此包含了⼀个积分常数,(4)是先积分再求导,因此右侧不含积分常数.2. 求⼀曲线y=f (x),使得在曲线上的每⼀点(x,y)处的切线斜率为2x,且通过点(2,5). 解:222dy xdxy dy xdx x c====+??将(x,y)=(2,5)代⼊得: 5=22+cC=1该曲线为21y x =+3. 验证2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数. 解:x>0时,y ’=2()'||2x x x ==x<0时,2'()'||2x y x x =-=-=x=0时,22000sgn 022'lim lim lim 002x x x x x x x y x x ++++→→→-====- 2200sgn 02'lim lim()0||02x x x x x y x x --→→-==-==- 因此'''0||y y y x +-====综上得2'(sgn )'||,(,)2x y x x x ==?∈+∞-∞2sgn 2x y x =是|x|在(,)+∞-∞上的⼀个原函数.4. 据理说明为什么每⼀个含有第⼀类间断点的函数都没有原函数?解: 设0x 是 f (x)的第⼀类间断点,且 f (x)在0()U x 上有原函数 F (x),则0'()(),()F x f x x U x =∈.从⽽由导数极限定理得00lim ()lim '()'()()x x x x f x F x F x f x +++→→=== 同理 000lim ()'()()x x f x F x f x -→==.可见0()f x x 点连续,推出⽭盾.⼆: 换元积分法与部分积分法(教材上册P188) 1. 应⽤换元积分法求下列积分 (1) cos(34)x dx +?; (2) 22xxe dx ?;(3) 21dx x +?; (4) (1)n x dx +?;(5)dx ?; (6) 232x dx +?;(7);(8)(9)2sin x x dx ?; (10) 2sin (2)4dxxx +?;(11) 1cos dx x +?; (12) 1sin dx x+?;(13)csc xdx ?;(14);(15)44xdx x +?; (16)ln dx x x ?;(17) 453(1)x dx x +?; (18) 382x dx x -?;(19)(1)dxx x +?; (20) cot xdx ?; (21) 5cos xdx ?; (22)sin cos dxx x ?;(23)x xdx e e -+?; (24) 22338x dx x x --+?; (25) 252(1)x dx x ++?;(26) (a>0);(27) 223/2(0)()dxa x a >+?;(28) 5;(29)(30).解: (1)34cos(34)cos 3t x t x dx d =++=11sin sin(34)33t c x c =+=++ (2) 22112222()'()22t x x t txe dx e d ==??112211()()()22224t t t t t ed e dt ==?? 221144t x e c e c =+=+ (3)21111ln ||ln |21|21222t x dx t d t c x c x t =+==+=+++??(4)①当1n ≠-时,111(1)(1)11n n t x nnt x x dx t dt c c n n ++=+++== +=+++?? ②当1n =-时,(1)ln |1|n x dx x c +=++?(5)dx =?c =+ (6)232323231212122222ln22ln 22ln2t x x t x x tt dx d c c c ++=++==+=+=+?(7)332222222()(83)3399t t td t dt t c x c -=-=-+=--+?(8)322/31333()(75)551010t t d tdt t c x c t -=-=-+=--+? (9)211112222211sin sin sin sin 22t x x x dx t tdt t t t dt tdt =-===211cos cos 22t c x c =-+=-+ (10)2422111cot cot(2)224sin (2)sin 42t x dxt c x c x t x tdππ=+==-+=-+++?? (11)222(2)12sec tan tan()1cos 1cos 22cos 2t x dx d t x dt tdt t c c x t t =====+=+++ (12) 22 1sin (sec sec tan )tan sec 1sin dx xdx x x x dx x x c x cos x-==-=-++ (13)2111csc sin sin cos tan cos2222xdx dx dx x x x x x ===?α2ln |tan |2tan 2x d x c x ==+? (14)21(1)2x c =--=(15)22242111()arctan()442421()2x x x dx d c x x ==+++??(16)ln 11ln ||ln |ln |ln t x t t dx de dt t c x c x x e t t====+=+ (17)4555253535311111(1)(1)(1)5(1)5(1)10x dx dx d x x c x x x -==--=-++--(18)4344888111|242816112x dx dx d c x x x ===-+----(19)11()ln ||ln |1|ln ||(1)11dx xdx x x c c x x x x x=-=-++=++++?? (20)cos cot ln ||ln |sin |sin xxdx dx t c x c x ==+=+??(21)52224cos (1sin )sin (12sin sin )sin xdx x d x x x d x =-=-+?sin 2sin sin 53x x x c =-++ (22)2cos tan ln |tan |sin cos sin cos tan dx xdx d x x c x x x x x ===+ (23)22arctan 1()1()x xx x x x x dx e de dx e c e e e e -===++++ (24)222223(38)ln(38)3838x d x x dx x x c x x x x --+==-++-+-+?? (25)2221533232(1)223123()(1)t x x t t t dx dt dt dt x t t t t t =++-+-+===-++ 222323 ln ||ln |1|(1)212t t c x x c t x --=+-+=++-+++(26)1()ln |x t ax t c a====+?1ln |ln |x c x c a =+=+(27)令tan x a θ=,sec 22t a tdt ππ-<<223/23322s e c 11c o t s i n ()s e c d xa t d t t d t tx a a t a a ===++??c =+ (28)55sin 42sin sin (cos 2cos 1)cos x d d cos θθθθθθθ===--+??35322121cos cos cos (1)535c xc θθθ=-+-+=--(29)32256642226666111t t t t dt t dt t dt t dt t t t ===-+--- 6 42266661tt t dt t dt t dt dt dt t =---+-?75366126ln ||751t t t t t c t+=----++- 165116661263ln ||751x x x x x c x +=----++- (30)1121t t tdt t -→=+?222(2)44ln |1|1t t dt t t tc t =-+=-++++?14ln |1|x c =+-+ 4ln |1|'x c =-+ 2. 应⽤分部积分法求下列不定积分 (1) arcsin xdx ?; (2) ln xdx ?;(3) 2cos x xdx ?; (4)3ln xdx x ?;(5) 2(ln )x dx ?; (6)tan xarc xdx ?;(7) 1[ln(ln )]ln x dx x+?;(8) 2(arcsin )x dx ? (9)3secxdx ?; (10)(0)a >.解 (1)arcsin arcsin arcsin arcsinxdx x x xd x x x =-=-122arcsin (1)x x x c =+++ (2)1ln ln ln ln ln xdx x x xd x x x xdx x x x c x=-=-=-+(3)222cos sin 2sin sin 2cos x xdx x x x xdx x x xd x =-=+?2sin 2cos 2cos x x x x xdx =+-?2sin 2cos 2sin x x x x x c =+-+(4)2223ln 11ln [ln (ln )]22x dx xdx x x x d x x ---=-=-- 222ln 11(ln 1)244x c x c x x x=--+=-++(5)2221(ln )(ln )2ln (ln )2ln x dx x x x x dx x x xdx x=-=-(参考（2）结果)2(ln )2ln 2x x x x x c =-++(6)2222111tan tan arctan 2221x xarc xdx arc xdx x x dx x ==-+ 221111arctan 2221x x dx dx x =-++?? 2111arctan arctan 222x x x x c =-++(7)11111[ln(ln )]ln(ln )ln(ln )ln ln ln ln x dx x dx dx x x x dx dx x x x x x +=+=-+ ln(ln )x x c =+ (8)12222(arcsin )(arcsin)2arcsin (1)x dx x x x x dx -=--??12222(sin )arcsin (1)(1)x arx x x x d x -=+--?1222(arcsin )2arcsin (1)x x xd x =+-?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x dx =+--?1222(arcsin )2(1)arcsin 2x x x x x c =+--+(9) 令3sec I xdx =?s e c t a ns e ct a nt a n s e c I x d x x x x x x d x==-?23sec tan (1cos )sec sec tan sec x x x xdx x x I xdx =--=-+??11sec tan sec 22I x x xdx =+?1(sec tan ln |sec tan |)2x x x x c =+++(10)11222222222(0)()2()I a x x a xdx x a x -=>=±=+-1122222222()()()x x x a I ax x a I a a =±-±=±-±则122222111()()(ln ||)222x I x x a a a x c a =±±=+ 3. 求下列不定积分(1)[()]()'(1)f x f x dx αα≠?; (2)2'()1[()]f x dx f x +?;(3)'()()f x dx f x ?; (4)()'()f x e f x dx ?. 解: (1)11[()]()'[()]()[()]1f x f x dx f x df x f x c αααα+==++?(2)122'()1()arctan[()](arccot[()])1[()]1[()]f x dx df x f x c f x c f x f x ==+=-+++??(3)'()1()ln |()|()()f x dx df x f x c f x f x ==+?? (4)()()()'()()f x f x f x ef x dx e df x e c ==+?三. 有理函数和可化为有理函数的不定积分(教材上册P198) 1. 求下列不定积分(1)31x dx x -?; (2)22712x dx x x --+?;(3)31dx x +?; (4)41dxx +?;(5)22(1)(1)dx x x -+?; (6)222(221)x dx x x -++?;解: (1)3321111111x x x x x x x -+==+++--- 3232111(1)ln |1|1132x dx x x dx x x x x c x x =+++=+++-+--?? (2)2223111712(3)(4)(3)(4)4(3)(4)x x x x x x x x x x x x ---+===+-+-------22211(4)7124712x dx d x dx x x x x x -=-+-+--+211(4)2(27)4(27)d x d x x x =-+---??2ln |4|ln |3|x x c =---+ (3)设321111A Bx Cx x x x +=+++-+ 则21(1)()(1)A x x Bx C x =-++++ 2()()A B x B C A x A C =+++-++, 则⽐较两端系数,得1 21,,333B C A =-== 321121311dx x dx x x x x -??=-++-+221111(1)31311d x d d x =+-+++?221(1)ln 61x c x x +=+-+(4)22422221111()11()21x d x x x x dx dx x x x x x x -+-+===++-+-+11x c -=+2224222211111||1()2x x xdx dx c x x x x x---===++++-则234441111112121x x dx dx dx x x x +-=-+++|c =++ (5)设1122222221(1)(1)11(1)B xC B x C A x x x x x ++=++-+-++ 则22211221(1)()(1)(1)()(1)A x B x C x x B x C x =+++-+++-432111112121212()()(2)()()A B x C B x AC B B x C C B B x A C C=++-+-++++--+-- ⽐较两边系数得到12211111,,,,44422A B C B C ==-=-=-=- 22222111111(1)(1)(1)(1)418141dx d x d x dx x x x x x =--+--+-++ 222221111(1)4(1)2(1) d x dx x x -+-++?? 2222111(1)2(1)21x dx dx x x x =++++?? 222111ln |1|ln(1)arctan (1)(1)482dx x x x x x ∴=--+--+?211(1)4x -++ 211(1)4x x c --++。
华东师大数学分析习题解答2
《数学分析选论》习题解答第 二 章 连 续 性１． 设n y x ℜ∈,，证明：)||||||||(2||||||||2222y x y x y x +=-++．证 由向量模的定义，∑∑==-++=-++n i i i n i i i y x y x y x y x 121222)()(|||||||| ∑=+=+=n i i i y x y x 12222)||||||||(2)(2． □2*． 设n n x S ℜ∈ℜ⊂点,到集合S 的距离定义为),(inf ),(y x S x Sy ρ=ρ∈． 证明：（１）若S 是闭集，S x ∉，则0),(>S x ρ；（２）若d S S S ⋃=( 称为S 的闭包 )，则{}0),(|=ρℜ∈=S x x S n ．证 （１）倘若0),(=S x ρ，则由),(S x ρ的定义，S y n ∈∃，使得 Λ,2,1,1),(=<ρn ny x n ． 因 S x ∉，故x y n ≠，于是x 必为S 的聚点；又因S 是闭集，故S x ∈，这就导致矛盾．所以证得0),(>S x ρ． （２）S x ∈∀．若S x ∈，则0),(=ρS x 显然成立．若S x ∉，则d S x ∈（即x 为S 的聚点），由聚点定义，∅≠⋂ε>ε∀S x U );(,0ο，因此同样有 0),(),(inf =ρ=ρ∈S x y x S y ．反之，凡是满足0),(=ρS x 的点x ，不可能是S 的外点（ 若为外点，则存在正数0ε，使∅=⋂εS x U );(0，这导致0),(inf 0>ε≥ρ∈y x Sy ，与0),(=ρS x 相矛盾）．从而x 只能是S 的聚点或孤立点．若x 为聚点，则S S x ⊂∈d ；若x 为孤立点，则S S x ⊂∈．所以这样的点x 必定属于S ．综上，证得 {}0),(|=ρℜ∈=S x x S n 成立． □３．证明：对任何n S ℜ⊂，d S 必为闭集． 证 如图所示，设0x 为d S 的任一聚点， 欲证∈0x d S ，即0x 亦为S 的聚点． 这是因为由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使得d S x U y ⋂ε∈);(0ο． 再由y 为S 的聚点，);();(0ε⊂δ∀x U y U ο，有∅≠⋂δS y U );(ο．于是又有∅≠⋂εS x U );(0ο，所以0x 为S 的聚点，即∈0x d S ，亦即d S 为闭集． □４．证明：对任何n S ℜ⊂，S ∂必为闭集．证 如图所示，设0x 为S ∂的任一聚点，欲证S x ∂∈0，即0x 亦为S 的界点．由聚点定义，y ∃>ε∀,0，使 S x U y ∂⋂ε∈);(0ο． 再由y 为界点的定义，);();(0ε⊂δ∀x U y U ， 在);(δy U 内既有S 的内点，又有S 的外点．由此证得在);(0εx U 内既有S 的内点，又有S 的外点，所以0x 为S 的界点，即S ∂必为闭集． □*５．设n S ℜ⊂，0x 为S 的任一内点，1x 为S 的任一外点．证明：联结0x 与1x 的直线段必与S ∂至少有一交点．0x ο);(δy U);(0εx U οοSS∂ο);(δy U);(0εx U οοSd S 0x证 如图所示，把直线段10x x 置于一实轴上，并为叙述方便起见，约定此实轴上的点与其坐标用同一字 母表示．下面用区间套方法来证明∅≠∂⋂S x x 10． 记2,],[],[1111011b a c x x b a +==．若S c ∂∈1， 则结论成立；若1c 为S 的内点，则取],[],[1122b c b a =；若1c 为S 的外点，则取],[],[1122c a b a =．一般地，用逐次二等分法构造区间套：记2n n n b a c +=（ 不妨设S c n ∂∉），并取 Λ,2,1,,],[,,],[],[11=⎩⎨⎧=++n S c c a S c b c b a n n n n n n n n 的外点为的内点为．此区间套的特征是：其中每个闭区间的左端点n a 恒为S 的内点，右端点n b 恒为S 的外点．现设y b a n n n n ==∞→∞→lim lim ，下面证明S y ∂∈． 由区间套定理的推论，0>ε∀，当n 足够大时，);(],[ε⊂y U b a n n ，因此在);(εy U 中既含有S 的内点（例如n a )，又含有S 的外点（例如n b ），所以10x x 上的点y 必是S 的界点． □ ６．证明聚点定理的推论２和推论３．（１）推论２ n ℜ中的无限点集S 为有界集的充要条件是：S 的任一无限子集必有聚点．证 ［必要性］ 当S 为有界集时，S 的任一无限子集亦为有界集，由聚点定理直接推知结论成立．［充分性］ 用反证法来证明．倘若S 为无界集，则必能求得一个点列{}S P k ⊂,使得+∞=∞→||||lim k k P ．这个{}k P 作为S 的一个无限子集不存在聚点，与条件矛盾．故S 为有界集． □（２）推论３ n ℜ中的无限点集S 为有界闭集的充要条件是：S 为列紧集，即S的任一无限子集必有属于S 的聚点．证 ［必要性］ 因S 有界，故S 的任一无限子集亦有界，由聚点定理，这种无限子集必有聚点．又因子集的聚点也是S 的聚点，而S 为闭集，故子集的聚点必属于S ．［充分性］ 由上面（１）的充分性证明，已知S 必为有界集．下面用反证法再来证明S 为闭集．倘若S 的某一聚点S P ∉，则由聚点性质，存在各项互异的点列{}S P k ⊂，使 P P k k =∞→lim ．据题设条件，{}k P 的惟一聚点P 应属于S ，故又导致矛盾．所以S 的所有聚点都属于S ，即S 为闭集． □７．设X B A X f X m n ⊂ℜ→ℜ⊂,,,:．证明：（１）)()()(B f A f B A f ⋃=⋃；（２）)()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂；（３）若f 为一一映射，则)()()(B f A f B A f ⋂=⋂．证 （１）)(,,)(x f y B A x B A f y =⋃∈∃⋃∈∀使．若)(,A f y A x ∈∈则； 若)(,B f y B x ∈∈则．所以，当)()()(,B f A f x f y B A x ⋃∈=⋃∈时．这表示)()()(B f A f B A f ⋃⊂⋃．反之，)(,,)()(x f y X x B f A f y =∈∃⋃∈∀使．若A x A f y ∈∈则,)(；若B x B f y ∈∈则,)(，于是B A x ⋃∈．这表示)()(B A f x f y ⋃∈=，亦即)()()(B f A f B A f ⋃⊃⋃．综上，结论)()()(B f A f B A f ⋃=⋃得证．（２）y x f B A x B A f y =⋂∈∃⋂∈∀)(,,)(使.因A x ∈且B x ∈，故)()()()(B f x f A f x f ∈∈且，即 )()()(B f A f x f y ⋂∈=,亦即 )()()(B f A f B A f ⋂⊂⋂．然而此式反过来不一定成立．例如]2,1[,]1,2[,)(2-=-==B A x x f ，则有]4,0[)()()()(=⋂==B f A f B f A f ；]1,0[)(,]1,1[=⋂-=⋂B A f B A ．可见在一般情形下，)()()(B A f B f A f ⋂⊄⋂．（３）)()(B f A f y ⋂∈∀，B x A x ∈∈∃21,，使)()(21x f x f y ==．当f 为 一一映射时，只能是B A x x ⋂∈=21，于是)(B A f y ⋂∈，故得)()()(B A f B f A f ⋂⊂⋂．联系（２），便证得当f 为一一映射时，等式)()()(B A f B f A f ⋂=⋂成立．□８．设m n m n c b a g f ℜ∈ℜ∈ℜ→ℜ,,,,:，且c x g b x f a x a x ==→→)(lim ,)(lim ．证明：（１）0||||,||||||)(||lim ==→b b x f ax 当且时可逆； （２）c b x g x f a x T ])()([lim =T →．证 设[][]T T ==)(,,)()(,)(,,)()(11x g x g x g x f x f x f m m ΛΛ，T T T ===],,[,],,[,],,[111m m n c c c b b b a a a ΛΛΛ．利用向量函数极限与其分量函数极限的等价形式，知道m i c x g b x f i i ax i i a x ,,2,1,)(lim ,)(lim Λ===→→． （１）||||)()(lim ||)(||lim 221221b b b x f x f x f m m a x a x =++=++=→→ΛΛ．当0||||=b 时，由于||)(||||||||)(||x f b x f =-，因此由0||)(||lim =→x f a x ，推知m i x f i a x ,,2,1,0)(lim 2Λ==→，即得0)(lim =→x f a x ．（２）类似地有c b c b c b x g x f x g x f x g x f m m m m a x a x T →T →=+=++=ΛΛ1111])()()()([lim ])()([lim .□９．设m n D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若存在证数r k ,，对任何D y x ∈,满足r y x k y f x f ||||||)()(||-≤-，则f 在D 上连续，且一致连续．证 这里只需直接证明f 在D 上一致连续即可．0,01>⎪⎭⎫ ⎝⎛ε=δ∃>ε∀rk ，对任何D y x ∈,，只要满足δ<-||||y x ，便有 ε<-≤-r y x k y f x f ||||||)()(||．由于这里的δ只与ε有关，故由一致连续的柯西准则（充分性），证得f 在D 上一致连续． □１０．设m n D f D ℜ→ℜ⊂:,．试证：若f 在点D x ∈0连续，则f 在0x 近旁局部有界．证 由f 在点0x 连续的定义，对于1=ε，0>δ∃，当)(0δ∈;x U x 时，满足||)(||1||)(||1||)()(||||)(||||)(||000x f x f x f x f x f x f +≤⇒<-≤-，所以f 在0x 近旁局部有界． □１１．设m n f ℜ→ℜ:为连续函数，n A ℜ⊂为任一开集，n B ℜ⊂为任一闭集．试问)(A f 是否必为开集？)(B f 是否必为闭集？为什么？解 )(A f 不一定为开集．例如),(,sin )(ππ-∈=x x x f ．这里),(ππ-=A 为开集，但]1,1[)(-=A f 却为闭集．当B 为有界闭集时，由连续函数的性质知道)(B f 必为闭集且有界．但当B 为无界 闭集时，)(B f 就不一定为闭集，例如),(,arctan )(∞+-∞∈=x x x f ．这里),(∞+-∞=B 可看作一闭集，而⎪⎭⎫ ⎝⎛ππ-=2,2)(B f 却为一开集． □ １２．设n n D D ℜ→ϕℜ⊂:,．试举例说明：（１）仅有D D ⊂ϕ)(，ϕ不一定为一压缩映射； （２） 仅有存在)10(<<q q ，使对任何D x x ∈''',，满足||||||)()(||x x q x x ''-'≤''ϕ-'ϕ，此时ϕ也不一定为一压缩映射．解 （１）例如),0[,1)(∞+∈+=ϕx x x ．这里),0[∞+=D 为一闭域，它虽然满足D D ⊂∞+=ϕ),1[)(，但因|||)()(|x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，所以ϕ不是压缩映射．（注：这也可根据压缩映射原理来说明，由x x =+1无解，即ϕ没有不动点，故ϕ不是压缩映射．）（２） 例如]1,1[,12)(-=∈+=ϕD x x x ．它虽然满足 )50(||21|)()(|.=''-'=''ϕ-'ϕq x x x x ， 但因D D ⊄⎥⎦⎤⎢⎣⎡=ϕ23,21)(，故此ϕ仍不是一个压缩映射． □ １３．讨论b a ,取怎样的值时，能使下列函数在指定的区间上成为一个压缩映射：（１）],[,)(1b a x x x ∈=ϕ； （２）],[,)(22a a x x x -∈=ϕ； （３）],[,)(3b a x x x ∈=ϕ； （４）],0[,)(4a x b ax x ∈+=ϕ．解 （１）由|||)()(|11x x x x ''-'=''ϕ-'ϕ，可知对任何b a ,，1ϕ在],[b a 上都不可能是压缩映射．（２）首先，只有当10≤≤a 时，才能使],[],0[)],[(22a a a a a -⊂=-ϕ．其次，由于对任何],[,a a x x -∈'''都有||2|||||)()(|22x x a x x x x x x ''-'<''-'⋅''+'=''ϕ-'ϕ，因此只要取120<=<a q ，即210<<a ，就能保证2ϕ在],[a a -上为一压缩映射． （３） 由],[],[)],[(3b a b a b a ⊂=ϕ，可知b a ≤≤≤10．再由||21||||x x a x x x x x x ''-'<''+'''-'=''-'， 又可求得21>a ，即41>a ．所以，当取b a ≤≤<141时，就能保证3ϕ在],[b a上为一压缩映射．（４） 由于0>a ，因此可由a b a b ax b ≤+≤+≤≤20，解出a a ≤2（ 即10≤<a ），0≥b ．再由||||x x a b x a b x a ''-'=-''-+'，可见只要0,10≥<<b a ，就能保证4ϕ在],0[a 上为一压缩映射． □ １４．试用不动点方法证明方程0ln =+x x 在区间[]3/2,2/1上有惟一解；并用迭代法求出这个解（精确到四位有效数字）．解 若直接取x x x x x ln )ln ()(-=+-=ϕ，则因 ∈>≥=ϕ'x x x ,1231|)(|[]3/2,2/1， 可知ϕ在[]3/2,2/1上不是压缩映射．为此把方程改写成x x -=e ，并设x x x x x --=--=ϕe e )()(． 由于在[]3/2,2/1上 11|||)(|<≤-=ϕ'-e e x x ，且[][]3/2,2/1],[)3/2,2/1(2/13/2⊂=ϕ--e e ，所以x x -=ϕe )(在[]3/2,2/1上为一压缩映射，且在[]3/2,2/1上有惟一不动点．取2/10=x ，按k x k x -+=e 1迭代计算如下： k k x k k x k k x所以，方程x x -=e 即0ln =+x x 的解（精确到四位有效数字）为17650.=*x ． □１５．设 n B f ℜ→:，其中{}r x x x B n ≤ρℜ∈=),(|0为一个n 维闭球（球心为０ １ ２ ３ 0.5 0.6065 0.5452 0.5797 4 5 6 7 0.5601 0.5712 0.5649 0.5684 M M 15 16 17 0.5672 0.5671 0.56710x ）．试证：若存在正数)10(<<q q ，使对一切B x x ∈''',，都有||||||)()(||x x q x f x f ''-'≤''-'，r q x x f )1(||)(||00-≤-，则f 在B 中有惟一的不动点．证 显然，只需证得了B B f ⊂)(，连同条件便知f 在B 上为一压缩映射，从而有惟一的不动点．现证明如下：)(,x f y B x =∈∀．由r x x ≤-||||0，以及题设条件的两个不等式，得到.r r q r q rq x x q x x f x f x f x y =-+≤-+-≤-+-≤-)1()1(||||||)(||||)()(||||||00000这表示B x f y ∈=)(，即B B f ⊂)(． □。
数学分析课本(华师大三版)-习题及答案第十七章
第十七章 多元函数微分学一、证明题1. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,2222222 在点(0,0)连续且偏导数存在,但在此点不可微.2. 证明函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠+++=0y x 0,0y x ,y x 1)sin y (x y)f(x,22222222在点(0,0)连续且偏导数存在,但偏导数在点(0,0)不连续,而f 在原点(0,0)可微.3. 证明: 若二元函数f 在点p(x 0,y 0)的某邻域U(p)内的偏导函数f x 与f y 有界,则f 在U(p)内连续.4. 试证在原点(0,0)的充分小邻域内有x y1y x arctg ++≈x+y. 5. 试证:(1) 乘积的相对误差限近似于各因子相对误差限之和;(2) 商的相对误差限近似于分子和分母相对误差限之和.6.设Z=()22y x f y -,其中f 为可微函数,验证 x 1xZ ∂∂+y 1y Z ∂∂=2y Z . 7.设Z=sin y+f(sin x-sin y),其中f 为可微函数,证明:x Z ∂∂ sec x + y Z ∂∂secy=1. 8.设f(x,y)可微,证明:在坐标旋转变换x=u cos θ-v sin θ, y=u sin θ+v cos θ之下.()2x f +()2y f 是一个形式不变量,即若 g(u,v)=f(u cos θ-v sin θ,u sin θ+v cos θ).则必有()2x f +()2y f =()2u g +()2vg .(其中旋转角θ是常数) 9.设f(u)是可微函数,F(x,t)=f(x+2t)+f(3x-2t),试求:F x (0,0)与F g (0,0)10..若函数u=F(x,y,z)满足恒等式F(tx,ty,tZ)=t k (x,y,z)(t>0)则称F(x,y,x)为K 次齐次函数.试证下述关于齐次函数的欧拉定理:可微函数F(x,y,z)为K 次齐次函数的充要条件是:()z ,y ,x x F x +()z ,y ,x yF y +()z ,y ,x ZF x =KF(x,y,z).并证明:Z=xy y x xy 222-+为二次齐次函数.11..设f(x,y,z)具有性质f ()Z t ,y t ,tx m k =f t n (x,y,z)(t>0) 证明:(1) f(x,y,z)=⎪⎭⎫ ⎝⎛m k n x Z ,x y ,1f x ; (2) ()z ,y ,x x f x +()z ,y ,x kyf y +()z ,y ,x m zf z =nf(x,y,z).12.设由行列式表示的函数D(t)=()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n 2n 22211n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅其中()t a ij (i,j=1,2,…,n)的导数都存在,证明()dt t dD =∑=n 1k ()()()()()()()()()t a t a t a t a t a t a t a t a t a nn n21n k n k 21k 1n 1211⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅'⋅⋅⋅''⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 13.证明:(1) grad(u+c)=grad u(c 为常数);(2) graqd(αu+βv)=αgrad u+βgrad v(α,β为常数);(3) grsdu v=u grad v+v grsd u;(4) grad f(u)=f '(u)grad u.14.设f(x,y)可微,L 1与L 2是R 2上的一组线性无关向量,试证明;若()0,≡y x f i λ(i=1,2)则f(x,y)≡常数.15.通过对F(x,y)=sin x cos y 施用中值定理,证明对某∈θ (0,1),有43=6cos 3cos 3πθπθπ6sin 3sin 6πθπθπ-. 16.证明:函数 u=()t a 4b x 22e t a 21--π(a,b 为常数)满足热传导方程:tu ∂∂=222x u a ∂∂ 17.证明:函数u=()()22b y a x ln -+-(a,b 为常数)满足拉普拉斯方程:22x u ∂∂+22yu ∂∂=0. 18.证明:若函数u=f(x,y)满足拉普拉斯方程: 22x u ∂∂+22yu ∂∂=0.则函数V=f(22y x x +,22y x y +)也满足此方程. 19.设函数u=()()y x φ+ϕ,证明:⋅∂∂x u y x u 2∂∂∂=⋅∂∂y u 22x u ∂∂. 20.设f x ,f y 和f yx 在点(x 0,y 0) 的某领域内存在,f yx 在点(x 0,y 0)连续,证明f xy (x 0,y 0)也存在,且f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0),21.设f x ,f y 在点(x 0,y 0)的某邻域内存在且在点(x 0,y 0)可微,则有f xy (x 0,y 0)= f yx (x 0,y 0)二、计算题1.求下列函数的偏导数:(1) Z=x 2y; (2) Z=ycosx; (3) Z=22y x 1+;(4) Z=ln(x+y 2); (5) Z=e xy ; (6) Z=arctgx y ; (7) Z=xye sin(xy); (8) u=zx y Z x y -+; (9) u=(xy)z ; (10) u=z y x.2. 设f(x,y)=x+(y-1)arcsinyx ; 求f x (x,1). 3. 设 ⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1ysin y)f(x,222222考察函数f 在原点(0,0)的偏导数.4. 证明函数Z=22y x +在点(0,0)连续但偏导数不存在.5. 考察函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++=0y x 0,0y x ,y x 1xysin y)f(x,222222在点(0,0)处的可微性.6. 求下列函数在给定点的全微分;(1) Z=x 4+y 4-4x 2y 2在点(0,0),(1,1); (2) Z=22y x x+在点(1,0),(0,1).7. 求下列函数的全微分;(1) Z=ysin(x+y);(2) u=xe yx +e -z +y8. 求曲面Z=arctg x y 在点⎪⎭⎫ ⎝⎛4,1,1π处的切平面方程和法线方程. 9. 求曲面3x 2+y 2-Z 2=27在点(3,1,1)处的切平面方程与法线方程.10. 在曲面Z=xy 上求一点,使这点的切平面平行于平面x+3y+Z+9=0,并写出这切平面方程和法线方程.11. 计算近似值:(1) 1.002×2.0032×3.0043;(2) sin29°×tg46°.12. 设园台上下底的半径分别为R=30cm, r=20cm 高h=40cm. 若R,r,h 分别增加3mm,4mm,2mm.求此园台体积变化的近似值.13. 设二元函数f 在区域D=[a,b]×[c,d]上连续(1) 若在intD 内有f x ≡0,试问f 在D 上有何特性?(2) 若在intD 内有f x =f y ≡0,f 又怎样?(3) 在(1)的讨论中,关于f 在D 上的连续性假设可否省略?长方形区域可否改为任意区域?14. 求曲面Z=4y x 22+与平面y=4的交线在x=2处的切线与OZ 轴的交角. 15. 测得一物体的体积v=4.45cm 3,其绝对误差限为0.01cm 3,又测得重量W=30.80g,其绝对误差限为0.018,求由公式d=vw 算出的比重d 的相对误差限和绝对误差限. 16.求下列复合函数的偏导数或导数: (1) 设Z=arc tg(xy),y=e x ,求xdZ α; (2) 设Z=xy y x 2222e xy y x ++,求x Z ∂∂,y Z ∂∂; (3) 设Z=x 2+xy+y 2,x=t 2,y=t,求dtZ ∂; (4) 设Z=x 2lny,x=v u ,y=3u-2v,求u Z ∂∂，v Z ∂∂； (5) 设u=f(x+y,xy),求x u ∂∂,yu ∂∂; (6) 设u=f ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z y ,y x ,求x u ∂∂,y u ∂∂,Z u ∂∂. 17.求函数u=xy 2+z 3-xyz 在点(1,1,2)处沿方向L(其方向角分别为60,°45°,60°)的方向导数.18.求函数u=xyz 在点A(5,1,2)处沿到点B(9,4,14)的方向AB 上的方向导数.19.求函数u=x 2+2y 2+3z 2+xy-4x+2y-4z 在点A(0,0,0)及点B(5,-3,3z )处的梯度以及它们的模. 20.设函数u=ln ⎪⎭⎫ ⎝⎛r 1,其中r=()()()222c z 0y a x -+-+- 求u 的梯度;并指出在空间哪些点上成立等式gradu =1.21设函数u=222222by a x c z --,求它在点(a,b,c)的梯度. 22.设r=222z y r ++,试求:(1)grad r; (2)grad r1. 23.设u=x 3+y 3+z 3－3xyz,试问在怎样的点集上grad u 分加满足:(1)垂直于Z 轴,(2)平行于Z 轴(3)恒为零向量.24.设f(x,y)可微,L 是R 2上的一个确定向量,倘若处处有f L (x,y)≡0,试问此函数f 有何特征?25.求下列函数的高阶偏导数:(1) Z=x 4+y 4－4x 2y 2,所有二阶偏导数;(2) Z=e x (cos y+x sin y),所有二阶偏导数; (3) Z=xln(xy),y x z 23∂∂∂,23yx z ∂∂∂; (4) u=xyze x+y+z ,r q p z q p zy x u ∂∂∂∂++; (5) Z=f(xy 2,x 2y),所有二阶偏导数;(6) u=f(x 2+y 2+x 2),所有二阶偏导数； (7)Z=f(x+y,xy,yx ),z x , z xx , Z xy . 26.求下列函数在指定点处的泰勒公式:(1) f(x,y)=sin(x 2+y 2)在点(0,0)(到二阶为止); (2) f(x,y)=yx 在点(1,1)(到三阶为止); (3) f(x,y)=ln(1+x+y)在点(0,0);(4) f(x,y)=2x 2―xy ―y 2―6x ―36+5在点(1,－2).27.求下列函数的极值点:(1) Z=3axy ―x 3―y 3 (a>0);(2) Z=x 2+5y 2―6x+10y+6;(3) Z=e 2x (x+y 2+2y).28.求下列函数在指定范围内的最大值与最小值.(1) Z=22y x -,(){2x y ,x +}4y 2≤； (2) Z=22y x y x +-,(){}1y x y ,x ≤+; (3) Z=sinx+sing －sin(x+y),()(){}π≤+≥2y x ,0x y ,x y ,x29.在已知周长为2P 的一切三角形中,求出面积为最大的三角形.30.在xy 平面上求一点,使它到三直线x=0,y=0,及x+2y －16=0的距离平方和最小.31.已知平面上n 个点的坐标分别是 ()111y ,x A ,()222y ,x A ,…()n n n y ,x A .试求一点,使它与这n 个点距离的平方和最小.32.设 u=222z y x z y x1 1 1求(1)u x +u y +u z ; (2)xu x +yu x +zu z ; (3)u xx +u yy +u zz .33.设f(x,y,z)=Ax 2+By 2+Cz 2+Dxy+Eyz+Fzx,试按h,k,L 的下正整数幂展开f(x+h,y+k,z+L).三、三、考研复习题1. 设f(x,y,z)=x 2y+y 2z+z 2x,证明f x +f y +f z =(x+y+z)2.2. 求函数⎪⎩⎪⎨⎧=+≠++-=0y x 0,0y x ,y x y x y)f(x,22222233在原点的偏导数f x (0,0)与f y (0,0),并考察f(x,y)在(0,0)的可微性.3. 设 1nn1n 21n 12n 2221n21 x x x x x x x x x 11 1u ---=证明: (1)∑==∂∂n 1k k0;x u (2) ∑=-=∂∂n 1k k k u 21)n(n x u x . 4. 设函数f(x,y)具有连续的n 阶偏导数:试证函数g(t)=f (a+ht,b+kt)的n 阶导数 kt)b ht,f(a y k xh dt g(t)d n n n ++⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂=. 5. 设 22x 求xk z h y g y f x e z d z c y b x a z)y,(x,∂∂+++++++++=ϕϕ. 6. 设 (z)h (z)h (z)h (y)g (y)g (y)g (x)f (x)f (x)f z)y,Φ(x,321321321=求z y x Φ3∂∂∂∂. 7. 设函数u=f(x,y)在R 2上有u xy =0,试求u 关于x,y 的函数式.8. 设f 在点p 0(x 0,y 0)可微,且在p 0给定了n 个向量L i (i=1,2,…n).相邻两个向量之间的夹角为n2π，证明 ∑==n 1i 0Li 0)(p f.9. 设f(x,y)为n 次齐次函数,证明 1)f m (n 1)n(n f y y x x m +--=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂ . 10. 对于函数f(x,y)=sin xy ,试证 m y y x x ⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂f=0.。
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故 在 点处连续；
（2） ，
；
故 在 点处的两个偏导数均存在；
（3）
而
，
故 ，因此
即
因此， 在 点处可微。
（4） 时，求出 的两个偏导数，结合（2）的结果，得
，
，
尽管函数 和 在 点处的极限均存在，但函数 和 在 点处的极限均不存在（因为根据两路径判别法， 和 均不存在），故极限
和
均不存在。因此， 和 在 点处不连续！
9、设 具有一阶连续偏导数，求函数 的一阶偏导数。
解： ，
10、设 具有两阶连续偏导数， ，求z的各种二阶偏导数。
解：
（注意到 ）
11、设二元函数 由方程 所确定，求 。
解：方程 两边关于x求偏导，得 ，故得 ；又方程两边关于y求偏导，得 ，故得 。
在方程 两边关于x求偏导，得 ，于是得
或直接根据 得
解：若以x为参数，则两个方程两边各关于x求偏导数（将y和z看作x的函数），得
解得
很遗憾，在 处， 不存在！因此，可重新考虑以y为参数，则两个方程两边各关于y求偏导数（将x和z看作y的函数），得
解得
故曲线在点 处的切线的方向向量为
故得切线方程为 （或即 ），法平面方程为 。
15、求曲面 在点 处的切平面与法线方程。
4、讨论下列函数在 点处的连续性：
（1）
解：
故原函数在 点处连续。
（2）
解： 与k有关，故原函数在 点处的极限不存在，因而在该点不连续。
5、求下列函数的偏导数：
（2）
其余诸小题略。
6、求函数 的各种二阶偏导数。
解： ，
，
7、略。
8、讨论函数 在 点处：（1）是否连续；（2）是否存在偏导数；（3）是否可微；（4）偏导数是否连续。
，
由链式法则，得
23、求由方程组 所确定的隐函数点 在点 处的偏导数 ， 。
解：由方程组 分别可得：
， ，
解得
，
于是由 ，得
，
24、设 ，且当 时 。求 。
解：易知 ，故 ，于是
25、在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短。
解：本题即求目标函数 在约束条件 下的极值。构造Lagrange函数
由 关于x，y和λ的偏导数为零，得方程组
第8章多元函数微分学及其应用
参考解答
1、设 ，求 ， 。
解： ，故得
，
2、求下列各极限：
注意：在利用极坐标变换 来求极限时，θ也是变量。本题中， 时， 为无穷小量，而 为有界变量，故所求极限为零。
3、证明极限 不存在。
证明：当 时， ，故 与k有关。可见， 沿不同的路径趋于 时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）
又因 ， ，
故在驻点 处，
， ，
，
因此，函数在驻点 处取得极大值 。
在驻点 处，
， ，
，
因此，驻点 并不是函数的极值点，亦即
不是函数的极值！
19、求函数 在闭区域D： 上的最值。
解：由 ， 得
，
即
注意到 ，故知上述方程在区域D的内部没有解。因此，函数在D内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在D的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。
。
12、设方程组 确定函数 ， ，求 ， ， 和 。
解：方程两边分别关， ， 。
13、求曲线 在 处的切线和法平面方程。
解： ， ， 。点 所对应的参数 。故曲线在点 处的切线的方向向量为 ，故切线方程为 （或即 ），法平面方程为 。
14、求曲线 在点 处的切线与法平面方程。
在 上， ，最大值为3，最小值为1；
在 上， ，最大值为3，最小值为1；
在 上， ，最大值为 ，最小值为1；
在 上， ，最大值为 ，最小值为1。
因此，函数在区域D上的最大值为3，最小值为1。
20、设 ，讨论 在点 处是否连续、存在偏导数、可微。
解：（1）
或由
而 ，故得 ，因此， 在 点处连续；
（2） ，
解得 ， ，或 ， 。故所求点为 或 。
26、证明：曲面 的所有切平面都经过坐标原点。
证明：设 ，则
， ， 。
于是曲面在点 处的切平面方程为
或
即
因点 满足方程 ，故上述方程变为
显然，这是一个过原点的平面方程。
如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！
解：设 ，则 ， ， 。故得所求切平面的法向量为
于是得切平面方程为 ，法线方程为 。
16、求函数 在点 处沿从点 到点 的方向导数。
解：因 ， ， ， ，故得
17、求函数 在点 处的最大方向导数。
解： 在点 处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因 ，故得 。
18、求 的极值。
解：由 ，得 （k为整数），即驻点为 和 ，其中 。
；
故 在 点处的两个偏导数均存在；
（3） ，而 不存在（两路径判别法），故知 ，因此， 在 点处不可微。
21、设 在点 处可微，且 ， ， ， ，求 。
解： ，故
22、设 由连续的一阶偏导数，又函数 及 分别由 和 确定，求 。
解：分别在方程 和 两边关于x求偏导数（y和z为x的函数），得 ， ，解得：