高等数学习题册答案华东师大Ch 8 Differential of multivariable functions
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解：设 ，则 ， ， 。故得所求切平面的法向量为
于是得切平面方程为 ，法线方程为 。
16、求函数 在点 处沿从点 到点 的方向导数。
解：因 ， ， ， ，故得
17、求函数 在点 处的最大方向导数。
解： 在点 处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因 ，故得 。
18、求 的极值。
解：由 ，得 （k为整数），即驻点为 和 ，其中 。
；
故 在 点处的两个偏导数均存在；
（3） ，而 不存在（两路径判别法），故知 ，因此， 在 点处不可微。
21、设 在点 处可微，且 ， ， ， ，求 。
解： ，故
22、设 由连续的一阶偏导数，又函数 及 分别由 和 确定，求 。
解：分别在方程 和 两边关于x求偏导数（y和z为x的函数），得 ， ，解得：
解：若以x为参数，则两个方程两边各关于x求偏导数（将y和z看作x的函数），得
解得
很遗憾，在 处， 不存在！因此，可重新考虑以y为参数，则两个方程两边各关于y求偏导数（将x和z看作y的函数），得
解得
故曲线在点 处的切线的方向向量为
故得切线方程为 （或即 ），法平面方程为 。
15、求曲面 在点 处的切平面与法线方程。
第8章多元函数微分学及其应用
参考解答
1、设 ，求 ， 。
解： ，故得
，
2、求下列各极限：
注意：在利用极坐标变换 来求极限时，θ也是变量。本题中， 时， 为无穷小量，而 为有界变量，故所求极限为零。
3、证明极限 不存在。
证明：当 时， ，故 与k有关。可见， 沿不同的路径趋于 时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）
解得 ， ，或 ， 。故所求点为 或 。
26、证明：曲面 的所有切平面都经过坐标原点。
证明：设 ，则
， ， 。
于是曲面在点 处的切平面方程为
或
即
因点 满足方程 ，故上述方程变为
显然，这是一个过原点的平面方程。
如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！
，
由链式法则，得
23、求由方程组 所确定的隐函数点 在点 处的偏导数 ， 。
解：由方程组 分别可得：
， ，
解得
，
于是由 ，得
，
24、设 ，且当 时 。求 。
解：易知 ，故 ，于是
25、在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短。
解：本题即求目标函数 在约束条件 下的极值。构造Lagrange函数
由 关于x，y和λ的偏导数为零，得方程组
解：（1）
故 在 点处连续；
（2） ，
；
故 在 点处的两个偏导数均存在；
（3）
而
，
故 ，因此
即
因此， 在 点处可微。
（4） 时，求出 的两个偏导数，结合（2）的结果，得
，
，
尽管函数 和 在 点处的极限均存在，但函数 和 在 点处的极限均不存在（因为根据两路径判别法， 和 均不存在），故极限
和
均不存在。因此， 和 在 点处不连续！
9、设 具有一阶连续偏导数，求函数 的一阶偏导数。
解： ，
10、设 具有两阶连续偏导数， ，求z的各种二阶偏导数。
解：
（注意到 ）
11、设二元函数 由方程 所确定，求 。
解：方程 两边关于x求偏导，得 ，故得 ；又方程两边关于y求偏导，得 ，故得 。
在方程 两边关于x求偏导，得 ，于是得
或直接根据ຫໍສະໝຸດ Baidu得
在 上， ，最大值为3，最小值为1；
在 上， ，最大值为3，最小值为1；
在 上， ，最大值为 ，最小值为1；
在 上， ，最大值为 ，最小值为1。
因此，函数在区域D上的最大值为3，最小值为1。
20、设 ，讨论 在点 处是否连续、存在偏导数、可微。
解：（1）
或由
而 ，故得 ，因此， 在 点处连续；
（2） ，
又因 ， ，
故在驻点 处，
， ，
，
因此，函数在驻点 处取得极大值 。
在驻点 处，
， ，
，
因此，驻点 并不是函数的极值点，亦即
不是函数的极值！
19、求函数 在闭区域D： 上的最值。
解：由 ， 得
，
即
注意到 ，故知上述方程在区域D的内部没有解。因此，函数在D内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在D的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。
4、讨论下列函数在 点处的连续性：
（1）
解：
故原函数在 点处连续。
（2）
解： 与k有关，故原函数在 点处的极限不存在，因而在该点不连续。
5、求下列函数的偏导数：
（2）
其余诸小题略。
6、求函数 的各种二阶偏导数。
解： ，
，
7、略。
8、讨论函数 在 点处：（1）是否连续；（2）是否存在偏导数；（3）是否可微；（4）偏导数是否连续。
。
12、设方程组 确定函数 ， ，求 ， ， 和 。
解：方程两边分别关于x和y求偏导数，得
，
即
，
解得：
， ， ， 。
13、求曲线 在 处的切线和法平面方程。
解： ， ， 。点 所对应的参数 。故曲线在点 处的切线的方向向量为 ，故切线方程为 （或即 ），法平面方程为 。
14、求曲线 在点 处的切线与法平面方程。
于是得切平面方程为 ，法线方程为 。
16、求函数 在点 处沿从点 到点 的方向导数。
解：因 ， ， ， ，故得
17、求函数 在点 处的最大方向导数。
解： 在点 处沿梯度方向的方向导数最大，最大值即为梯度向量的大小。因 ，故得 。
18、求 的极值。
解：由 ，得 （k为整数），即驻点为 和 ，其中 。
；
故 在 点处的两个偏导数均存在；
（3） ，而 不存在（两路径判别法），故知 ，因此， 在 点处不可微。
21、设 在点 处可微，且 ， ， ， ，求 。
解： ，故
22、设 由连续的一阶偏导数，又函数 及 分别由 和 确定，求 。
解：分别在方程 和 两边关于x求偏导数（y和z为x的函数），得 ， ，解得：
解：若以x为参数，则两个方程两边各关于x求偏导数（将y和z看作x的函数），得
解得
很遗憾，在 处， 不存在！因此，可重新考虑以y为参数，则两个方程两边各关于y求偏导数（将x和z看作y的函数），得
解得
故曲线在点 处的切线的方向向量为
故得切线方程为 （或即 ），法平面方程为 。
15、求曲面 在点 处的切平面与法线方程。
第8章多元函数微分学及其应用
参考解答
1、设 ，求 ， 。
解： ，故得
，
2、求下列各极限：
注意：在利用极坐标变换 来求极限时，θ也是变量。本题中， 时， 为无穷小量，而 为有界变量，故所求极限为零。
3、证明极限 不存在。
证明：当 时， ，故 与k有关。可见， 沿不同的路径趋于 时，函数极限不同，故极限不存在。（两路径判别法）
解得 ， ，或 ， 。故所求点为 或 。
26、证明：曲面 的所有切平面都经过坐标原点。
证明：设 ，则
， ， 。
于是曲面在点 处的切平面方程为
或
即
因点 满足方程 ，故上述方程变为
显然，这是一个过原点的平面方程。
如有错误，敬请指正；如有疑问，欢迎讨论！
，
由链式法则，得
23、求由方程组 所确定的隐函数点 在点 处的偏导数 ， 。
解：由方程组 分别可得：
， ，
解得
，
于是由 ，得
，
24、设 ，且当 时 。求 。
解：易知 ，故 ，于是
25、在椭圆 上求一点，使其到直线 的距离最短。
解：本题即求目标函数 在约束条件 下的极值。构造Lagrange函数
由 关于x，y和λ的偏导数为零，得方程组
解：（1）
故 在 点处连续；
（2） ，
；
故 在 点处的两个偏导数均存在；
（3）
而
，
故 ，因此
即
因此， 在 点处可微。
（4） 时，求出 的两个偏导数，结合（2）的结果，得
，
，
尽管函数 和 在 点处的极限均存在，但函数 和 在 点处的极限均不存在（因为根据两路径判别法， 和 均不存在），故极限
和
均不存在。因此， 和 在 点处不连续！
9、设 具有一阶连续偏导数，求函数 的一阶偏导数。
解： ，
10、设 具有两阶连续偏导数， ，求z的各种二阶偏导数。
解：
（注意到 ）
11、设二元函数 由方程 所确定，求 。
解：方程 两边关于x求偏导，得 ，故得 ；又方程两边关于y求偏导，得 ，故得 。
在方程 两边关于x求偏导，得 ，于是得
或直接根据ຫໍສະໝຸດ Baidu得
在 上， ，最大值为3，最小值为1；
在 上， ，最大值为3，最小值为1；
在 上， ，最大值为 ，最小值为1；
在 上， ，最大值为 ，最小值为1。
因此，函数在区域D上的最大值为3，最小值为1。
20、设 ，讨论 在点 处是否连续、存在偏导数、可微。
解：（1）
或由
而 ，故得 ，因此， 在 点处连续；
（2） ，
又因 ， ，
故在驻点 处，
， ，
，
因此，函数在驻点 处取得极大值 。
在驻点 处，
， ，
，
因此，驻点 并不是函数的极值点，亦即
不是函数的极值！
19、求函数 在闭区域D： 上的最值。
解：由 ， 得
，
即
注意到 ，故知上述方程在区域D的内部没有解。因此，函数在D内部没有驻点。由此可知，函数的最值必在D的边界上取得（否则区域内部必有驻点）。
4、讨论下列函数在 点处的连续性：
（1）
解：
故原函数在 点处连续。
（2）
解： 与k有关，故原函数在 点处的极限不存在，因而在该点不连续。
5、求下列函数的偏导数：
（2）
其余诸小题略。
6、求函数 的各种二阶偏导数。
解： ，
，
7、略。
8、讨论函数 在 点处：（1）是否连续；（2）是否存在偏导数；（3）是否可微；（4）偏导数是否连续。
。
12、设方程组 确定函数 ， ，求 ， ， 和 。
解：方程两边分别关于x和y求偏导数，得
，
即
，
解得：
， ， ， 。
13、求曲线 在 处的切线和法平面方程。
解： ， ， 。点 所对应的参数 。故曲线在点 处的切线的方向向量为 ，故切线方程为 （或即 ），法平面方程为 。
14、求曲线 在点 处的切线与法平面方程。