电磁场数值计算方法_工程电磁场讲义
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2、齐次诺伊曼边界条件 在有限元法的处理过程中，齐次诺伊曼边
界条件是自动满足的，不需要进行特别处理。
32
八、单元上的势函数
节点上的势函数求出后，势函数在其它位置 的值可以用插值的原理来表示。
任意一个单元e上的势函数分布由节点i和i＋1
上的势函数 i
和i1及相应的形函数Ni
和N
i
表达：
1
e
ie Ni
20
三、一维单元的形函数
1、一维单元形函数的定义
形函数代表了单元上近似解的一种插值关系， 它决定了近似解在单元上的形状；
对于一维有限元来说，形函数分段线性。对 于一维一阶有限元来说，形函数为一个直线段， 对于一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；
选择形函数时，可以使一个任意单元上的形 函数只与该单元所对应的节点势函数有关而与其 它各点的值无关；
f
1
f11 f21
K112
K
1 22
K
2
K
2 22
K322
f
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K223 K323
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2 23
K323 K333
16
皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
有限元法的理论基础 ——一维有限元法
18
一、回顾
1、有限元计算的方法
加权余量法中的迦辽金法和变分法中的里海 －里兹法。
2、有限元法的处理思想
对一个整体问题进行局部化处理；
微分方程简化为求解代数方程组。 3、有限元法的特点
优点、缺点
19
二、节点与单元
对于一维问题来说，单元的形状是一条线段。
图1 一维问题的节点和单元
——电子与微波：高速PCB、波导、谐振腔、辐射、天线等； ——相关领域：感应加热、无损检测、电磁成形、电磁生物
效应等；
4
2.How?
2.1有限元法(Finite Element Method)
• 现代FEM第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应 用于弹性力学平面问题，这是Turner，Clough等人在分 析飞机结构时于1956年得到的成果。
6
FEM相比其它数值方法的优点在于： ——理论基础成熟； ——计算格式规范统一，利于编程； ——适应性高，适合各种复杂形状的区域； ——求解精度高；
7
由于这些优异的特性，在短短几十年时间里， FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、 航空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电 子、压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助 分析方法。 在电磁分析领域，除了FEM以外，也有其它有 效的数值方法，例如：矩量法(MOM)、边界元 法(BEM)、时域有限差分法(FDTD)等等。
K 433
0
0
K334
K
3 44
f
f
1 2
f32
f11
f
2 2
f33
f43
29
矩阵方程可写为：
K111
K
1 21
0 0
K112
K 212
K
2 22
K322
0
0
K
2 23
K323 K333
K
3 43
0
0
K334
K
3 44
1 2 3 4
8
2.2 有限元软件
前处理程序
(几何建模、 赋材料属性、 网格剖分)
单元计算程序
(包括单元刚度 矩阵的计算和 总体刚度矩阵 的组装)
代数方程组求 解程序
(得到各个离 散单元内的未 知量值)
后处理程序
(通过插值得到区域每 点的值，将结果数据 可视化以及进一步处 理)
9
ANSYS有限元分析软件
ANSYS软件是使用最广泛的大型通用有限元 分析软件，可应用于：结构分析、电磁分析、 热分析、流体动力学分析等，还包含一些行业 化定制模块等等，功能非常强大。其电磁场分 析包括几个模块：低频、高频、电大尺寸高频 (MOM)、电缆束EMC和SI、PCB的EMC和SI等。
K112
K
1 22
K 222
K322
0
0
K
2 23
K323
K
3 33
K
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0
0 K334 K 434
0
2 3
1
f11
f21
f32
f
3 4
f
2 2
f33
这样，狄利克莱边界上的势函数值不再是未知数了， 而是由狄利克莱边界条件所确定的已知量。
31
七、边界条件
(
1
A)
A
Js
铝板中的涡流分布
15
4.Conclusion
有限元法用于电磁问题的分析已有30多 年的历史，并在工程中得到Fra Baidu bibliotek广泛的应 用，各种商业软件也纷纷涌现，然而新 的问题和挑战依然存在，例如：运动物 体的电磁问题、耦合场、并行计算等， 尚不能够很好解决，需要广大的爱好者 们的进一步努力和完善。
21
对于任意一个节点的形函数在该节点上的值为 1，并在与该节点相邻的两个单元上线性减小，直 到在相邻的节点是分别减小为0。
任意一个节点的形函数如图2所示。
图2 对应于某节点的形函数
22
2、形函数表达式中系数的确定
任意一个一维单元有两个节点： xi 和 xi1 ，这 两个节点上的电势分别为 i 和 i1 ，它们为选定的 未知量。
e i 1
N i 1
图3 单元上的势函数
33
九、小结
1、单元和节点 2、形函数 3、整体系数矩阵，局部系数矩阵以及它
们之间的关系 4、边界条件的处理 5、单元上的势函数
34
• 1960年Clough首次提出了“有限元法”的名称； • 60年代，科学家证明了FEM是基于变分原理的Ritz法的
另一种形式；并进一步利用加权余量法来确定单元特 性和建立有限元方程，主要利用的是Galerkin法； • 直到1968年，FEM才开始应用于电磁问题。
5
FEM的基本思想是分片插值，即： ——将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方
K
e
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
fie
fie
f
e j
其中矩阵元素 K位iej 于整体系数矩阵中的第i 行和 第j 列，并与其他单元对该整体系数矩阵元素的贡 献相加。矩阵元素fie位于整体激励矩阵的第i 行并
与其他单元对该整体激励矩阵元素的贡献相加。
28
K1
K111 K211
26
同样的原理可以将整体激励矩阵的某一元素表 示为对应于各个单元的积分之和：
m
m
fi
e qNid fie
e1
e1
fie e qNied
这样当计算整体系数矩阵和整体激励矩阵的元素
时，只需依次对每一个单元进行“局部”的“单独” 的计算。
27
六、局部系数矩阵与整体系数矩阵
一个一维有限元e对整体矩阵的贡献为：
2
1.2 电磁场理论
Maxwell方程组由Faraday定律、Ampere定律、两个Gauss定律 一共4个方程构成的偏微分方程组，加上介质中的本构方程，以及 两种媒质交界面的边界条件，还有Lorentz力公式，这些简洁的公 式几乎可以解释所有的电磁现象，我们的任务就是在各类工程电 磁问题中尽可能精确地求解这些方程：
架空线路分裂导线表面电场
12
3.2 应用实例2——静磁场 2 A J
漏磁检测
13
3.3 应用实例3——趋肤效应
1
Az
j
Az
j
a
S
Az dS
I a
0
光纤复合架空地线铝包层及钢芯电流密度分布
14
3.4 应用实例4——3D涡流场
( 1 A) A j A V 0 ( j A V ) 0
对于一维一阶有限元来说，其形函数可表示为：
Ni i i x
由形函数的性质可知：
1
Ni
0
x xi x xi1
23
1 i i xi 0 i i xi1
将
和
i
i代入形函数
N的i 表达式即可求得
N i。
四、整体系数矩阵
应用有限元法求解导出的矩阵方程可写为：
K f 其中，K 为 n n 阶系数矩阵， 为n1阶节点势 函数矩阵， f 为 n1 阶激励矩阵。
式相互联结在一起的单元的组合体； ——利用每个单元内假设的近似函数来分片表示全求解
域上待求的未知场函数； ——单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单
元的各个节点的数值及其插值函数来表达； 这样未知函数从一个连续的无限自由度问题变成离
散的有限自由度问题。随着单元数目的增加，单元尺 寸的缩小，或单元自由度的增加及插值函数阶数的提 高，近似解将收敛于精确解。
24
该方程表示了整个区域内未知势函数值与问题 的几何结构和激励源的关系，系数矩阵中：
n
Kij K ji NiN jd i 1
j 1, 2 n
fi qNid
当 q 0即激励为零时， 。fi 0
25
五、局部系数矩阵
由于形函数的分段线性的特殊形式，系数矩阵中 系数的求Kij解可以局部化处理。
电磁场数值计算及其在工程中 的应用
1
1.What?
1.1数值计算
——自然界中的每一现象都可借助物理定律，按照与各种 主要量相联系的代数方程、微分方程或积分方程来描 述。
——在科学研究及工程应用中，人们主要关心的量便是某 个数学物理方程的解，包括解析解和数值解。
——数值计算是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、 有关的数学理论和具体实现的一门学科。
10
其他的分析软件
除了ANSYS以外，还有许多通用或电磁分 析 专 业 软 件 ， 例 如 ： ANSOFT 公 司 的 Maxwell 2D&3D、HFSS、飞箭公司的FEPG、 COMSOL 公 司 的 FEMLAB 等 等 ， 它 们 各 有 特点。
11
3.Applications
3.1 应用实例1——准静电场 2 0
E B t
H J D t
D
B 0
F qE qv B
D E B H J E
n (E1 E2 ) 0 n (H1 H2 ) Js
n (D1 D2 ) s
n (B1 B2 ) 0
3
1.3工程应用 电磁场数值计算在多个工程领域中都得到应用，例如：
——电力系统：高压(高压输电线、绝缘子)、电机、变压器、 电缆等；
f11
f
1 2
f32
f
3 4
f
2 2
f33
30
七、边界条件
1、狄利克莱边界条件
满足狄利克莱边界条件非常简单，只需要令狄利克莱
边界上的各节点电势为给定的值即可。图1中，若节点1 和则节加点入4边上界分条别件有后狄的利矩克阵莱方边程界为条：件：1 0,4 1 ，
K111
K
1 21
0 0
整素个区可域以被先分针为对许每多一单个元单，元系分K数ij 别矩进阵行的计任算意，一然个后元将 各单元的积分结果相加得到整体系数矩阵。若用m 表示单元的个数，则 的计算过程可写成：
m
m
Kij
e NiN jd Kiej
e1
e1
Kiej
e
NieN
e j
d
式中上标e表示对应于某个单元的量； e表示对 应于某个单元的子区域，Kiej为局部系数矩阵中的元 素。
界条件是自动满足的，不需要进行特别处理。
32
八、单元上的势函数
节点上的势函数求出后，势函数在其它位置 的值可以用插值的原理来表示。
任意一个单元e上的势函数分布由节点i和i＋1
上的势函数 i
和i1及相应的形函数Ni
和N
i
表达：
1
e
ie Ni
20
三、一维单元的形函数
1、一维单元形函数的定义
形函数代表了单元上近似解的一种插值关系， 它决定了近似解在单元上的形状；
对于一维有限元来说，形函数分段线性。对 于一维一阶有限元来说，形函数为一个直线段， 对于一维高阶有限元来说，形函数为一个曲线段；
选择形函数时，可以使一个任意单元上的形 函数只与该单元所对应的节点势函数有关而与其 它各点的值无关；
f
1
f11 f21
K112
K
1 22
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皮肌炎图片——皮肌炎的症状表现
• 皮肌炎是一种引起皮肤、肌肉、 心、肺、肾等多脏器严重损害的， 全身性疾病，而且不少患者同时 伴有恶性肿瘤。它的1症状表现如 下：
• 1、早期皮肌炎患者，还往往伴 有全身不适症状，如-全身肌肉酸 痛，软弱无力，上楼梯时感觉两 腿费力；举手梳理头发时，举高 手臂很吃力；抬头转头缓慢而费 力。
有限元法的理论基础 ——一维有限元法
18
一、回顾
1、有限元计算的方法
加权余量法中的迦辽金法和变分法中的里海 －里兹法。
2、有限元法的处理思想
对一个整体问题进行局部化处理；
微分方程简化为求解代数方程组。 3、有限元法的特点
优点、缺点
19
二、节点与单元
对于一维问题来说，单元的形状是一条线段。
图1 一维问题的节点和单元
——电子与微波：高速PCB、波导、谐振腔、辐射、天线等； ——相关领域：感应加热、无损检测、电磁成形、电磁生物
效应等；
4
2.How?
2.1有限元法(Finite Element Method)
• 现代FEM第一个成功的尝试，是将刚架位移法推广应 用于弹性力学平面问题，这是Turner，Clough等人在分 析飞机结构时于1956年得到的成果。
6
FEM相比其它数值方法的优点在于： ——理论基础成熟； ——计算格式规范统一，利于编程； ——适应性高，适合各种复杂形状的区域； ——求解精度高；
7
由于这些优异的特性，在短短几十年时间里， FEM成为了绝大多数物理和工程问题中(机械、 航空、汽车、船舶、土木、海洋工程、电气电 子、压力容器等)应用最广泛的一种计算机辅助 分析方法。 在电磁分析领域，除了FEM以外，也有其它有 效的数值方法，例如：矩量法(MOM)、边界元 法(BEM)、时域有限差分法(FDTD)等等。
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K
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f11
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矩阵方程可写为：
K111
K
1 21
0 0
K112
K 212
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K323 K333
K
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8
2.2 有限元软件
前处理程序
(几何建模、 赋材料属性、 网格剖分)
单元计算程序
(包括单元刚度 矩阵的计算和 总体刚度矩阵 的组装)
代数方程组求 解程序
(得到各个离 散单元内的未 知量值)
后处理程序
(通过插值得到区域每 点的值，将结果数据 可视化以及进一步处 理)
9
ANSYS有限元分析软件
ANSYS软件是使用最广泛的大型通用有限元 分析软件，可应用于：结构分析、电磁分析、 热分析、流体动力学分析等，还包含一些行业 化定制模块等等，功能非常强大。其电磁场分 析包括几个模块：低频、高频、电大尺寸高频 (MOM)、电缆束EMC和SI、PCB的EMC和SI等。
K112
K
1 22
K 222
K322
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K323
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1
f11
f21
f32
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3 4
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2 2
f33
这样，狄利克莱边界上的势函数值不再是未知数了， 而是由狄利克莱边界条件所确定的已知量。
31
七、边界条件
(
1
A)
A
Js
铝板中的涡流分布
15
4.Conclusion
有限元法用于电磁问题的分析已有30多 年的历史，并在工程中得到Fra Baidu bibliotek广泛的应 用，各种商业软件也纷纷涌现，然而新 的问题和挑战依然存在，例如：运动物 体的电磁问题、耦合场、并行计算等， 尚不能够很好解决，需要广大的爱好者 们的进一步努力和完善。
21
对于任意一个节点的形函数在该节点上的值为 1，并在与该节点相邻的两个单元上线性减小，直 到在相邻的节点是分别减小为0。
任意一个节点的形函数如图2所示。
图2 对应于某节点的形函数
22
2、形函数表达式中系数的确定
任意一个一维单元有两个节点： xi 和 xi1 ，这 两个节点上的电势分别为 i 和 i1 ，它们为选定的 未知量。
e i 1
N i 1
图3 单元上的势函数
33
九、小结
1、单元和节点 2、形函数 3、整体系数矩阵，局部系数矩阵以及它
们之间的关系 4、边界条件的处理 5、单元上的势函数
34
• 1960年Clough首次提出了“有限元法”的名称； • 60年代，科学家证明了FEM是基于变分原理的Ritz法的
另一种形式；并进一步利用加权余量法来确定单元特 性和建立有限元方程，主要利用的是Galerkin法； • 直到1968年，FEM才开始应用于电磁问题。
5
FEM的基本思想是分片插值，即： ——将连续的求解区域离散为一组有限个、且按一定方
K
e
Kiei
K
e ji
Kiej
K
e jj
fie
fie
f
e j
其中矩阵元素 K位iej 于整体系数矩阵中的第i 行和 第j 列，并与其他单元对该整体系数矩阵元素的贡 献相加。矩阵元素fie位于整体激励矩阵的第i 行并
与其他单元对该整体激励矩阵元素的贡献相加。
28
K1
K111 K211
26
同样的原理可以将整体激励矩阵的某一元素表 示为对应于各个单元的积分之和：
m
m
fi
e qNid fie
e1
e1
fie e qNied
这样当计算整体系数矩阵和整体激励矩阵的元素
时，只需依次对每一个单元进行“局部”的“单独” 的计算。
27
六、局部系数矩阵与整体系数矩阵
一个一维有限元e对整体矩阵的贡献为：
2
1.2 电磁场理论
Maxwell方程组由Faraday定律、Ampere定律、两个Gauss定律 一共4个方程构成的偏微分方程组，加上介质中的本构方程，以及 两种媒质交界面的边界条件，还有Lorentz力公式，这些简洁的公 式几乎可以解释所有的电磁现象，我们的任务就是在各类工程电 磁问题中尽可能精确地求解这些方程：
架空线路分裂导线表面电场
12
3.2 应用实例2——静磁场 2 A J
漏磁检测
13
3.3 应用实例3——趋肤效应
1
Az
j
Az
j
a
S
Az dS
I a
0
光纤复合架空地线铝包层及钢芯电流密度分布
14
3.4 应用实例4——3D涡流场
( 1 A) A j A V 0 ( j A V ) 0
对于一维一阶有限元来说，其形函数可表示为：
Ni i i x
由形函数的性质可知：
1
Ni
0
x xi x xi1
23
1 i i xi 0 i i xi1
将
和
i
i代入形函数
N的i 表达式即可求得
N i。
四、整体系数矩阵
应用有限元法求解导出的矩阵方程可写为：
K f 其中，K 为 n n 阶系数矩阵， 为n1阶节点势 函数矩阵， f 为 n1 阶激励矩阵。
式相互联结在一起的单元的组合体； ——利用每个单元内假设的近似函数来分片表示全求解
域上待求的未知场函数； ——单元内的近似函数通常由未知场函数及其导数在单
元的各个节点的数值及其插值函数来表达； 这样未知函数从一个连续的无限自由度问题变成离
散的有限自由度问题。随着单元数目的增加，单元尺 寸的缩小，或单元自由度的增加及插值函数阶数的提 高，近似解将收敛于精确解。
24
该方程表示了整个区域内未知势函数值与问题 的几何结构和激励源的关系，系数矩阵中：
n
Kij K ji NiN jd i 1
j 1, 2 n
fi qNid
当 q 0即激励为零时， 。fi 0
25
五、局部系数矩阵
由于形函数的分段线性的特殊形式，系数矩阵中 系数的求Kij解可以局部化处理。
电磁场数值计算及其在工程中 的应用
1
1.What?
1.1数值计算
——自然界中的每一现象都可借助物理定律，按照与各种 主要量相联系的代数方程、微分方程或积分方程来描 述。
——在科学研究及工程应用中，人们主要关心的量便是某 个数学物理方程的解，包括解析解和数值解。
——数值计算是研究各种数学问题的数值方法设计、分析、 有关的数学理论和具体实现的一门学科。
10
其他的分析软件
除了ANSYS以外，还有许多通用或电磁分 析 专 业 软 件 ， 例 如 ： ANSOFT 公 司 的 Maxwell 2D&3D、HFSS、飞箭公司的FEPG、 COMSOL 公 司 的 FEMLAB 等 等 ， 它 们 各 有 特点。
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3.Applications
3.1 应用实例1——准静电场 2 0
E B t
H J D t
D
B 0
F qE qv B
D E B H J E
n (E1 E2 ) 0 n (H1 H2 ) Js
n (D1 D2 ) s
n (B1 B2 ) 0
3
1.3工程应用 电磁场数值计算在多个工程领域中都得到应用，例如：
——电力系统：高压(高压输电线、绝缘子)、电机、变压器、 电缆等；
f11
f
1 2
f32
f
3 4
f
2 2
f33
30
七、边界条件
1、狄利克莱边界条件
满足狄利克莱边界条件非常简单，只需要令狄利克莱
边界上的各节点电势为给定的值即可。图1中，若节点1 和则节加点入4边上界分条别件有后狄的利矩克阵莱方边程界为条：件：1 0,4 1 ，
K111
K
1 21
0 0
整素个区可域以被先分针为对许每多一单个元单，元系分K数ij 别矩进阵行的计任算意，一然个后元将 各单元的积分结果相加得到整体系数矩阵。若用m 表示单元的个数，则 的计算过程可写成：
m
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Kij
e NiN jd Kiej
e1
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Kiej
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NieN
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式中上标e表示对应于某个单元的量； e表示对 应于某个单元的子区域，Kiej为局部系数矩阵中的元 素。