电磁场与电磁波基础知识总结

第一章

一、矢量代数 A •B =AB cos θ

A B

⨯=

AB

e AB sin θ A •(B ⨯C ) = B •(C ⨯A ) = C •(A ⨯B )

()()()C A C C A B C B A ⋅-⋅=⨯⨯

二、三种正交坐标系 1. 直角坐标系 矢量线元x y z =++l

e e e d x y z

矢量面元=++S

e e e x y z d dxdy dzdx dxdy

体积元d V = dx dy dz 单位矢量的关系⨯=e e e x y z ⨯=e e e y z x ⨯=e e e z x y

2. 圆柱形坐标系 矢量线元=++l e e e z d d d dz ρϕρρϕl 矢量面元=+e e z dS d dz d d ρρϕρρϕ

体积元dz d d dV

ϕρρ= 单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e z

z z ρϕϕρ

ρϕ

3. 球坐标系

矢量线元d l = e r d r + e θ r d θ + e ϕ r sin θ d ϕ 矢量面元d S = e r r 2sin θ d θ d ϕ

体积元

ϕθθd drd r dV sin 2= 单位矢量的关系⨯=⨯⨯=e e e e e =e e e e r r

r θϕ

θϕϕθ

三、矢量场的散度和旋度 1. 通量与散度

=⋅⎰

A S S

d Φ 0

lim

∆→⋅=∇⋅=∆⎰A S A A S

v d div v

2. 环流量与旋度

=

⋅⎰

A l l

d Γ max

n 0

rot =lim

∆→⋅∆⎰A l

A e l

S d S

3. 计算公式

∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A y x z

A A A x y z

11()z

A A A z

ϕρρρρρϕ∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A 22111()(sin )sin sin ∂∂∂∇=

++∂∂∂⋅A r A r A A r r r r ϕ

θ

θθθθϕ

x

y z ∂

∂∂∇⨯=

∂∂∂e e e A x y z

x y z A A A

1z z

z A A A ρϕρϕρρϕρ∂

∂∂

∇⨯=

∂∂∂e e e A

2

1sin sin r

r z

r r

A r A r A ρϕθθθϕθ∂

∂∂

∇⨯=∂∂∂e e e A

4. 矢量场的高斯定理与斯托克斯定理

⋅=∇⋅⎰

⎰A S A S

V d dV

⋅=∇⨯⋅⎰⎰A l A S l

S

d d

四、标量场的梯度 1. 方向导数与梯度

00()()lim

∆→-∂=∂∆l P u M u M u l

l

cos cos cos ∂∂∂∂=

++∂∂∂∂P u

u u u

l

x y z

αβγ cos ∇⋅=∇e l u u θ grad ∂∂∂∂=

=+∂∂∂∂e e e +e n x y z

u u u u

u n x y z

2. 计算公式

∂∂∂∇=++∂∂∂e e e x

y z u u u

u x y z

1∂∂∂∇=++∂∂∂e e e z

u u u

u z

ρ

ϕρρϕ 11sin ∂∂∂∇=++∂∂∂e e e r

u u u

u r r r z

θϕ

θθ 五、无散场与无旋场

1. 无散场

()0∇⋅∇⨯=A =∇⨯F A 2. 无旋场 ()0∇⨯∇=u -u =∇F

六、拉普拉斯运算算子 1. 直角坐标系

2222

2222222

222222

222222222222222

∂∂∂∇=++∇=∇+∇+∇∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∇=++∇=++∇=++∂∂∂∂∂∂∂∂∂A e e e x x y y z z

y y y x x x

z z z x y z u u u u A A A x y z

A A A A A A A A A A A A x y z x y z x y z

，，

2. 圆柱坐标系

222

222

2222

2222

111212⎛⎫∂∂∂∂∇=++ ⎪∂∂∂∂⎝⎭∂∂⎛⎫⎛⎫∇=∇--+∇-++∇ ⎪ ⎪∂∂⎝⎭⎝

⎭A e e e z z u u u

u z A A A A A A A ϕρρρρϕϕϕρρρρρϕ

ρρϕρρϕ

3. 球坐标系

22

222222

111sin sin sin ⎛⎫∂∂∂∂∂⎛⎫∇=+

+ ⎪ ⎪∂∂∂∂∂⎝⎭⎝⎭u u u

u r r r r r r θθθϕθϕ

⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂+-∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂--∂∂+∇+⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂-∂∂---∇=∇ϕθθθϕθϕθθθθϕθθθθϕϕϕϕθθθϕθθA r A r A r A A r A r A r A A r A r A r A r A r r r r r 2

22222222222222222sin cos 2sin 1sin 2sin cos 2sin 12sin 2

2cot 22e e e A 七、亥姆霍兹定理

如果矢量场F 在无限区域中处处是单值的，且其导数连续有界，则当矢量场的散度、旋度和

边界条件（即矢量场在有限区域V’边界上的分布）给定后，该矢量场F 唯一确定为()()()=-∇+∇⨯F r r A r φ

其中

1

()()4''∇⋅'=

'-⎰F r r r r V dV φπ 1

()

()4''∇⨯'='-⎰F r A r r r V dV π

第二章

一、麦克斯韦方程组 1. 静电场 真空中：

00

1

d =

=

V

q

dV ρεε⋅⎰

⎰

S

E S （高斯定理）

d 0⋅=⎰

l

E l 0

∇⋅=

E ρε

0∇⨯=E

场与位：3

'

1'()(')'4'

V dV ρπε-=

-⎰

r r E r r r r ϕ=-∇E 0

1

()

()d 4πV V ρϕε'

'='-⎰

r r |r r |

介质中：

d ⋅=⎰

D S S

q

d 0⋅=⎰

l

E l ∇⋅=D ρ 0∇⨯=E

极化：0=+D E P ε e 00(1)=+==D E E E r χεεεε ==⋅P e PS n n P ρ =-∇⋅P P ρ

2. 恒定电场

电荷守恒定律：

⎰

⎰

-=-

=⋅V

s

dv dt

d dt dq ds J ρ 0∂∇⋅+

=∂J t

ρ

传导电流与运流电流：=J E σ ρ=J v

恒定电场方程：

d 0⋅=⎰

J S S

d 0⋅=⎰

J l l

0∇⋅=J 0∇⨯J =

3. 恒定磁场 真空中：

0 d ⋅=⎰

B l l

I μ （安培环路定理）

d 0⋅=⎰

S

B S 0∇⨯=B J μ

0∇⋅=B

场与位：0

3()( )()

d 4π ''⨯-'=

'

-⎰J r r r B r r r V

V μ =∇⨯B A 0 ()

()d 4π'''='-⎰J r A r r r V V μ