2.5 第1课时 全等三角形及其性质
全等三角形第一课时
学习通过试一试、看一看、找一找、理一理、练一练等，动手动脑活动，主动探索，发现规律，互动合作，解决问题，归纳概括，形成能力。
五、教学重点及难点
准确找到对应边、对应角。
六、教学过程
教师活动
学生活动
设计意图
问题
教师利用多媒体出示图片：观察下列图案，指出这些图案中图形有哪些特点？引导学生得到全等三角形的概念。
（1）课堂小结
（2）作业安排
学生小组总结，代表发言。
加深学生对知识的理解，促进学生对课堂的巩固
七、教学评价设计
八、板书设计
全等三角形：
1、定义：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
2、表示方法：≌
3、性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。
四、教学策略选择与设计
1、相应教法：
教师充分利用多媒体对几何教学的辅助作用，引导学生观察、探究、启发。只有学生积极参与教学过程，才能圆满完成教学任务，收到良好的教学效果。同时引导学生预习教材内容；养成良好的自学习惯,启发学生发现问题、思考问题、培养学生的逻辑思维能力，推理论证能力，分析问题解决问题的能力，逐步设疑,创设问题情景，搭建参与平台，让学生积极参与讨论及时表扬，使学生感受成功的喜悦，提高他们学习的兴趣和学习的积极性。
课题：2.5全等三角形
科目：数学
教学对象：八年级
课时：1
授课人：廖小亮
鹿原镇东风学校
一、教学内容分析
本节课内容为全等三角形,是《全等三角形》第一节的内容。也是全等条件的基础，它是继线段、角、相交线与平行线及三角形有关知识之后出现的，通过对本节的学习，可以丰富、加深学生对已知图形的认识，同时为后面学习全等三角形的条件、等腰三角形与轴对称作好铺垫，起着承上启下的作用。
2.5.2三角形全等的判定定理1(东直门梁燕)
∴△ABE≌△ACF(SAS)，
∴ BE=CF.
通过本课时的学习，需要我们掌握： 1.根据边角边定理判定两个三角形全等，要找出两边 及夹角对应相等的三个条件． 2.找使结论成立所需条件，要充分利用已知条件 (包括给出图形中的隐含条件，如公共边、公共角等)， 并要善于运用学过的定义、公理、定理.
作业
1.已知:AD=CD，BD平分∠ADC. 求证：（1）∠A=∠C; A （2）AB=BC.
1 2 C
B
D
2. P87 T2
结
束
单位：北京市东直门中学 姓名：梁燕
图2-42
例2（楚雄·中考）如图，点A，E，B，D在同一条直线上， AE=DB，AC=DF，AC∥DF,求证：EF∥BC.
F E A C
2 1
B
D
证明： ∵AC∥DF， ∴∠A=∠D（两直线平行，内错角相等）. 又∵ AE=DB ， ∴ AE+BE=DB+BE,即AB=DE. 在△BCA和△EFD中 AC=DF(已知）， ∠A=∠D（已证）， AB=DE （已证）， ∴△BCA≌△EFD（SAS）. ∴ ∠1=∠2（全等三角形的对应角相等） ∴BC‖EF(内错角相等，两直线平行)
(SAS)
练习
1.在下列图中找出全等三角形.
30º
Ⅰ
Ⅱ Ⅲ Ⅲ
Ⅳ Ⅳ
5 cm
30º Ⅴ 30º
Ⅵ
Ⅶ Ⅷ
“边角边”
例1 已知：如图2-42,AB和CD相交于点O,且AO=BO, CO=DO.求证：△ACO≌△BDO.
证明： 在△ACO和△BDO中, AO=BO, ∠AOC=∠BOD（对顶角相等）, CO=DO, ∴△ACO≌△BDO（SAS）.
《全等三角形及其性质》教学设计
《全等三角形及其性质》教学设计【教学目标】1．知识与能力（1）使学生理解全等形和三角形全等的概念与性质，感受生活中的全等形。
（2）能够准确地辨认全等三角形中的对应元素,提高学生的识图能力。
经历图形的平移、翻折、旋转、轴反射等变换的过程，体会探索问题的方法。
3．情感、态度与价值观培养学生的识图能力、归纳总结能力；通过合作交流,增强团队意识,体验成功的喜悦。
【教学重点】全等三角形相关概念、性质及全等三角形对应元素的寻找.【教学难点】能够准确地辨认全等三角形中的对应元素【教学过程】一、创设情境，设疑引入活动1手指游戏啊，手指们迫不及待的想进入课堂一显身手了，你准备好了吗？让我们带着自信和智慧进入课堂。
活动2我有两个一模一样的图形，可是其中一个被我不小心弄坏了，我还想再做一个一模一样的图形，怎么做呢？谁能帮帮我，告诉我制作方法？这样做出来的图形与我原来的图形重叠在一起时会怎么样？（完全重合）像这样，能够完全重合的两个图形叫做全等形．（怎样的两个图形才能完全重合？——形状相同，大小相同。
）请大家观察周围，再想想平时的生活中，全等形常见吗？你能举例吗？让我们来欣赏几组美丽的全等形的图片。
活动3上课前，我送给每个同学一个三角形，举起来，请快速在你周围找朋友，谁手中的三角形能与你的完全重合，谁就是你的好朋友。
找到了吗？像这样，能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形．这节课，我们一起来研究《全等三角形及其性质》。
二、尝试探索，揭示新知1、理解对应关系我们做游戏时，双手重叠在一起，两个大拇指，两个食指，两个中指……分别是对应的。
当我们把两个全等三角形重叠在一起时，他们会有哪些对应元素？分别叫什么名称比较好？——对应顶点、对应边、对应角。
什么叫对应顶点？什么叫对应边？什么叫对应角？你能从全等三角形的定义受到启发，把对应顶点、对应边、对应角的定义说一说吗？（当两个全等三角形重合时，互相重合的顶点叫作对应顶点，互相重合的边就叫作对应边，互相重合的角叫作对应角。
全等三角形的判定 (1-5课时)Microsoft Word 文档
全等三角形的判定第一课时：SSS教学目标知识与能力：（1）经历探索三角形全等条件的过程，掌握三角形全等的“边边边”条件并初步学会运用，了解三角形的稳定性及其应用。
过程与方法：在探索三角形全等条件的过程中，让学生学会有条理地思考、分析、解决问题的能力，培养学生推理意识和能力，发展学生的空间观念。
情感态度与价值观：培养学生敢于实践，勇于发现，大胆探索，合作创新的精神；体会数学在生活中的作用，增强学习数学的兴趣，树立学好数学的信心。
教学重点：经历探索三角形全等条件的过程。
教学难点：对三角形全等条件的分析和探索。
教学过程引入：三角形全等的判定是中学数学重要内容之一，是证明线段相等、角相等的重要方法，是今后几何学习的基础。
本节课是探索三角形全等条件的第一课时，学好了将为下节课探索三角形全等的其他条件打下坚实的基础；同时为今后探索直角三角形全等的条件以及三角形相似的条件提供很好模式和方法，因此本节课占有相当重要的地位和作用。
复习回顾1．怎样的两个三角形是全等三角形？2．全等三角形的性质？2．创设情景，提出问题大家知道:一个三角形有三个角与三条边,那么两个三角形全等是否一定要三个角与三条边都对应相等,即这六个条件都成立。
如果满足这六个条件中的一个或两个，那么两个三角形会全等吗?小组合作完成课本第六页探究1。
通过探究可以发现满足上述条件中的一个和两个两个三角形不一定全等。
满足上述六个条件中的三个，能保证两个三角形全等吗？需分境况来讨论。
探究2：先画出一个三角形△ABC，你能画一个△A′B′C′，使AB= A′B′，AC= A′C′，BC= B′C′吗？教师介绍尺规作图。
师生一起完成：A B C D EF并△A ′B ′C ′剪下，放到△ABC 拼一拼，他们是否全等？4．归纳总结，得出新知三边对应相等的两个三角形全等简写为“边边边”或“SSS ”用符号语言表达为： 在∆ABC 和∆DEF 中AB=DE∵AC=DFBC=EF∴∆ABC ≌∆DEF5．应用新知，体验成功要证明这两个三角形的三条边是否对应相等，从题目中得知，AB=AC ，AD 是BC 边上的中线，所以有BD=DC ，而AD=DA 是公共边，这样根据“SSS ”，所以题目所求证的这两个三角形就全等了。
第1讲 全等三角形的性质
全等三角形的性质1. 全等图形：能够完全重合的两个图形就是全等图形．2. 全等多边形：能够完全重合的多边形就是全等多边形．相互重合的顶点叫做对应顶点，相互重合的边叫做对应边，相互重合的角叫做对应角．全等多边形的对应边、对应角分别相等．如下图，两个全等的五边形，记作：五边形ABCDE ≌五边形'''''A B C D E ． 这里符号“≌”表示全等，读作“全等于”．3.全等三角形：能够完全重合的三角形就是全等三角形． 对应顶点：完全重合时，互相重合的顶点为对应顶点． 对应角：完全重合时，互相重合的角为对应角． 对应边：完全重合时，互相重合的边为对应边．如图，若ABC △与A B C '''△全等，记作“ABC A B C '''△≌△”，其中顶点A 、B 、C 分别与顶点A '、B '、C '对应． 4. 全等三角形的性质 （1）全等三角形的对应边相等 （2）全等三角形的对应角相等（3）对应边上的中线相等，对应边上的高相等，对应角的角平分线相等 （4）全等三角形的周长相等，面积相等 5. 寻找对应边和对应角，常用到以下方法：(1)全等三角形对应角所对的边是对应边，两个对应角所夹的边是对应边． (2)全等三角形对应边所对的角是对应角，两条对应边所夹的角是对应角． (3)有公共边的，公共边常是对应边． (4)有公共角的，公共角常是对应角．CBA B'A'(5)有对顶角的，对顶角常是对应角．(6)两个全等的不等边三角形中一对最长边(或最大角)是对应边(或对应角)，一对最短边(或最小角)是对应边(或对应角)．要想正确地表示两个三角形全等，找出对应的元素是关键．类型一、全等图形的概念【例1】全等图形是指两个图形()A．大小相等B．形状相同C．完全重合D．以上都不对【变式1】下列说法中，正确的是()A．全等图形是形状相同的两个图形B．全等三角形是指面积相同的两个三角形C．等边三角形都是全等三角形D．全等图形的周长、面积都相等【变式2】下列说法正确的是()A．形状相同的两个图形一定全等B．两个长方形是全等图形C．两个全等图形面积一定相等D．两个正方形一定是全等图形【例2】下列各组图案中，不是全等形的是()A． B．C． D．【变式1】下列各组的两个图形属于全等图形的是()A．B．C．D．【变式2】在下列各组图形中，是全等的图形是（）A B C D 【例3】如图（1）~(12)中全等的图形是和；和；和；和；和；和；（填图形的序号）【变式1】如图是淮口工业集中发展区中某厂房的平面图，请你指出，其中全等的有组．【变式2】观察如图图形的特点：有几组全等图形？请一一指出：．类型二、全等三角形的性质：对应角相等【例4】如图，ABC DEF∠的度数是()B∠=︒，则FA∆≅∆，50∠=︒，100A．30︒B．50︒C．60︒D．100︒【变式1】已知ABC DEF∠的度数为()∠=︒，则FE∆≅∆，80∠=︒，50AA．30︒B．50︒C．80︒D．100︒【变式2】如图，已知ABC EFG∠等于()∆≅∆，则αA．72︒B．60︒C．58︒D．50︒【例5】已知图中的两个三角形全等，则1∠等于()A．70︒B．50︒C．60︒D．120︒【变式1】如图是两个全等三角形，图中字母表示三角形的边长，则α∠的度数为( )A ．50︒B ．58︒C ．60︒D ．62︒【变式2】已知图中的两个三角形全等，则x ∠的度数是( )A ．38︒B ．82︒C ．60︒D ．62︒【例6】如图，ABC ADE ∆≅∆，25B ∠=︒，105E ∠=︒，10EAB ∠=︒，则BAD ∠为()A ．50︒B ．60︒C ．80︒D ．120︒11. 如图，ACB ∆≅△A CB '，点A 和点A '，点B 和点B '是对应点，30BCB ∠'=︒，则ACA ∠'的度数为( )A ．20︒B ．30︒C ．35︒D ．40︒12. 如图，ABC ADC ∆≅∆，40BCA ∠=︒，80B ∠=︒，则BAD ∠的度数为 ．类型三、全等三角形的性质：对应边相等【例7】如图，ABC DCB ∆≅∆，点A 和点D 是对应点，若6AB cm =，8BC cm =，7AC cm =，则DB 的长为( )A ．6cmB ．8cmC ．7cmD ．5cm【变式1】如图，ABC CDA ∆≅∆，7AC cm =，5AB cm =，8BC cm =，则AD 的长是( )A ．5cmB ．6cmC ．7cmD ．8cm【例8】如图，已知ABC DAE ∆≅∆，2BC =，5DE =，则CE 的长为( )A ．2B ．2.5C ．3D ．3.5【变式1】如图，ABC BDE ∆≅∆，若12AB =，5ED =，则CD 的长为( )A ．5B ．6C ．7D ．8【变式2】如图，OCA OBD ∆≅∆，3AO =，2CO =，则AB 的长为( )A ．1B ．3C ．4D ．5【例9】已知，ABC DEF ∆≅∆，且ABC ∆的周长为20，8AB =，3BC =，则DF 等于( ) A ．3B ．5C ．9D ．11【变式1】已知ABC DEF ∆≅∆，2AB =，4AC =，DEF ∆的周长为10，则BC 的值为 ．【变式2】已知ABC DEF ∆≅∆，ABC ∆的周长为100cm ，30DE cm =，25DF cm =，那么BC = cm ．【例10】已知ABC ∆三边长分别为3，5，7，DEF ∆三边长分别为3，32x -，21x -，若这两个三角形全等，则x 为 ．【变式1】已知有两个三角形全等，若一个三角形三边的长分别为3、5、7，另一个三角形三边的长分别为3、32a b -、2a b +，则a b += ．类型四、全等三角形性质定理的综合运用【例11】如图，ACF ADE ∆≅∆，12AD =，5AE =，求DF 的长．【变式1】如图，ADE BCF ∆≅∆，8AD cm =，5CD cm =，试求BD 的长．【变式2】如图，ABC DEF ∆≅∆，3BF =，2EF =． 求FC 的长 ．【例12】如图，已知ABC DEC ∆≅∆，120∠=︒，求2∠的度数．【变式1】如图，ABC ADE ∆≅∆，88BAE ∠=︒，26CAD ∠=︒，求DAE ∠的度数．【变式2】如图，已知ADE ABC∠的度数．D∠=︒，求C∆≅∆，110DAE∠=︒，20【例13】已知，如图，ABC DEFAC DF．∆≅∆，求证：//【变式1】如图，A、B、C、D在同一直线上，且ABF DCE∆≅∆，那么AF DE、AC BD=吗？为什么？//【变式2】已知ABF DCE∆≅∆，E与F是对应顶点．证明//AF DE．【例14】如图所示，A ，D ，E 三点在同一直线上，且BAD ACE ∆≅∆，求证：BD CE DE =+．【变式1】如图，E 为线段AB 上一点，AC AB ⊥，DB AB ⊥，ACE BED ∆≅∆． （1）试猜想线段CE 与DE 的位置关系，并证明你的结论； （2）求证：AB AC BD =+．【变式2】如图，在ABC ∆中，90ACB ∠=︒，ABC DFC ∆≅∆，你能判断DE 与AB 是否互相垂直吗？为什么？【例15】如图，已知ABC DEFEH=．AB=，2∆≅∆，80∠=︒，9B∠=︒，60A（1）求F∠的度数；（2）求DH的长．【变式1】如图，ACF DBE∆≅∆，其中点A、B、C、D在一条直线上（1）若BE AD∠的大小；⊥，62F∠=︒，求A（2）若9=，求AB的长．BC cm=，5AD cm【变式2】如图，CD AB∠=︒，C⊥于点D，BE AC∆≅∆，42⊥于点E，ABE ACDAB=，6AD=，G为AB延长线上一点．9（1）求EBG∠的度数．（2）求CE的长．【例16】如图，已知ABF CDE∆≅∆．（1）若30∠的度数；∠=︒，求EFCB∠=︒，40DCF（2）若10EF=，求BF的长．BD=，2【变式1】如图，已知ABC DEB∆≅∆，点E在AB上，AC与BD交于点F，C∠=︒．D∠=︒，256AB=，3BC=，55（1）求AE的长度；（2）求AED∠的度数．【变式2】如图所示，D，A，E在同一条直线上，BD DE⊥于D，CE DE⊥于E，且ABD CAE=，求=，4BD cm∆≅∆，2AD cm（1）DE的长；（2）BAC∠的度数．知识模块一全等图形【演练1】如果两个图形全等，那么这两个图形必定是()A．形状大小均相同B．形状相同，但大小不同C．大小相同，但形状不同D．形状大小均不相同【演练2】如图所示的图形是全等图形的是()A． B．C． D．【演练3】下列图形中全等图形是（填标号）．【演练4】从同一张底片上冲出来的两张五寸照片全等图形，从同一张底片上冲出来的一张一寸照片和一张两寸照片全等图形（填“是”或“不是”)．知识模块二全等三角形的性质【演练1】如图，ABC DEF∠=︒．∠=︒，则DFB∆≅∆，120∠=︒，20【演练2】若ABC DEF∆≅∆，则根据图中提供的信息，可得出x的值为()A．30 B．27 C．35 D．40【演练3】如图，ABC DEC∠=︒，则BCE∠的度数为(DCB∠=︒，20∆≅∆，90ACB)A ．20︒B ．40︒C ．70︒D ．90︒【演练4】如图，若ABC DEF ∆≅∆，四个点B 、E 、C 、F 在同一直线上，7BC =，5EC =，则CF 的长是( )A ．2B ．3C ．5D ．7【演练5】已知ABC ∆≅△A B C '''，△A B C '''的周长为32cm ，9A B cm ''=，12B C cm ''=，则AC = ．【演练6】已知ABC ∆的三边分别是6，8，10，DEF ∆的三边分别是6，64x -，42x +，若两个三角形全等，则x 的值为 ．【演练7】如图，已知EFG NMH ∆≅∆，F ∠与M ∠是对应角，若 2.1EF cm =，1.1FH cm =， 3.3HM cm =，求MN 和HG 的长度．【演练8】如图，已知ABC DBE ∆≅∆，点D 在AC 上，BC 与DE 交于点P ，若160ABE ∠=︒，30DBC ∠=︒，求CBE ∠的度数；【演练9】如图，点A，O，B在同一直线上，且ACO BDO∆≅∆．证明：（1）点C，O，D在同一直线上；（2）//AC BD．【演练10】如图，已知ABC DEC-=．BD AE EC∆≅∆，求证：2【演练11】如图，已知ABC DEB∆≅∆，点E在AB上，DE与AC相交于点F，若C∠=︒D∠=︒，607DE=，4BC=，35（1）求线段AE的长．（2）求DFA∠的度数．【演练12】如图，已知在四边形中ABCD，//⊥于点AD BC，过点A作AE BC∆≅∆．E，连接DE，46∠=︒，且ABE EDABAE（1）求ADE∠的度数；（2）若EDA DEC∆≅∆，试判断AE与CD之间的数量关系和位置关系，并说明理由．。
三角形全等的判定(第一课时)
数$。
SSS判定定理的证明
第十步
根据三角形的性质，我们知道三角形的一个外角等于与它 不相邻的两个内角之和，即$angle A+angle B=angle C$。
第十一步
根据三角形的性质，我们知道三角形的一个内角等于与它 相邻的两个外角之差的一半，即$angle A=frac{1}{2}(angle B+angle C)$。
第三步，由全等三角形的性质，我们知道$BC = AC$。
ASA判定定理和AAS判定定理的应用
应用一
当已知两个三角形有两个角和一 个角的对边分别相等时，我们可 以使用ASA或AAS判定定理来判 断这两个三角形是否全等。
应用二
当已知两个三角形有一个角、一 边和另一角的对边分别相等时， 我们可以使用ASA或AAS判定定 理来判断这两个三角形是否全等 。
三角形全等的判定(第一课时)
目录 Contents
• 三角形全等的基本概念 • 三角形全等的SSS判定 • 三角形全等的SAS判定 • 三角形全等的ASA判定和AAS判定 • 三角形全等的特殊情况
01
三角形全等的基本概念
三角形全等的定义
01
三角形全等是指两个三角形能够 完全重合，即它们的形状和大小 都相同。
实例二
在平面几何中，我们经常需要证明两个三角形是全等的。利用SAS判定定理，我们可以很容易地证明两个三角形 是全等的。例如，已知三角形ABC和三角形DEF，其中AB=DE，BC=EF，并且角A=角D，角B=角E。根据SAS判 定定理，我们可以证明三角形ABC和三角形DEF是全等的。
04
三角形全等的ASA判定和 AAS判定
ASA判定定理和AAS判定定理的证明
第三步，由全等三角形的性质，我们知道$BC = AC$。 AAS判定定理证明
新人教版八级数学第章全等三角形教案(全章)
第1课时全等三角形第2课时三角形全等的判定（1）第3课时三角形全等的判定（2）只用无刻度的直尽和圆规作图的方法称为尺规作图。
问：你能验证你所作的角与已知角相等吗？【问题2】作一个已知角∠AOB的平分线OC。
，∠EOC=∠DOC，即OC平的平分线OC，在于怎样第4课时三角形全等的判定（3）第5课时三角形全等的判定（4）第6课时三角形全等的判定（5）综合探究）两直线平行，同位角或内错角相等；）等腰三角形两底角相等根据本题的图形，应考虑去证明三角形全等，由已知条第7课时三角形全等的判定（6）为半径画弧，交射线C′N于点【学生活动】画图分析，寻找规律．如下：下面是三个同学的思考过程，你能明白他们的意思吗？→△ABC≌△DEF→∠ABC→∠DEF→∠ABC+有一条直角边和斜边对应相等，所以△ABC与△DEF ，也就是∠ABC+∠DEF=90°．第8课时角的平分线的性质（1）即为所求．．在上面作法的第二步中，去掉“大于1MN的长”这个在直角三角形中画锐角的平分线的方法．他的方法是这样交AC于D，有的同学对小明的画法表示怀疑，你认为他的画法对不本节课中我们利用已学过的三角形全等的知识，•探究得到了角平分线第9课时角的平分线的性质（2）【探究】小组合作学习，动手操作探究，获得问题结论．从实践中可知：角平分线上的点到角的两边距离相等，将有具体说明哪些线段是距离，而证明它们相等必须标出它们．所以这一段话要在证明中写出，同辅助线一样处理．如果到三边的距离是哪些线段，那么图中画实线，第10-11课时《全等三角形》小结与复习ED CB A，请你从下面三个条件中，再选出两GF。
13.2.1 全等三角形及其性质
总结
知3－讲
旋转变换前后位置的边是对应边，前后位置的角是 对应角．
（来自《点拨》）
知3－讲
例5 图13.2--7，将长方形ABCD
沿AE折叠，使点D落在BC边
上的点F处，若∠BAF＝56°， 则∠DAE＝________°. 17
图13.2--7
导引：因为△AEF是由△AED沿直线AE折叠而成的，
所以△ADE≌△AFE，所以∠DAE＝∠FAE.
因为∠BAF＝56°，∠BAD＝90°，
所以∠DAF＝90°－∠BAF＝90°－56°＝34°，
所以∠DAE＝ ∠DA1F＝ ×34°1 ＝17°.
2
2
（来自《点拨》）
总结
知3－讲
解决折叠问题的关键是弄清在折叠过程中发生的是 全等变换，即折叠前后的两个图形(本例是三角形)全等， 其折叠前后的对应边相等，对应角相等．类似的还有平 移和旋转问题．在此过程中，得出了全等三角形，然后 根据全等三角形的性质解题．
总结
对应元素的确定方法： (1)字母顺序确定法：根据书写规范，按照对应顶点确定对应边、
对应角，如△CAB≌△FDE，则AB与DE、AC与DF、BC与 EF 是对应边，∠A和∠D、∠B和∠E、∠C和∠F是对应角；
(2)图形位置确定法：①公共边一定是对应边，②公共角一 定是对应角；③对顶角一定是对应角；
（来自教材）
知4－导
显然，由于三角形的内角和等于180°，如果两
个角分别 对应相等，那么另一#必然也相等.这
样，
若两个三角形的 三条边、两个^分别对应相等，
则这
两个三角形仍然全等.
能否再减少一些条件？对两个三角形来说，六
个元 素（三条边、三个角）中至少要有几个元
三角形全等的判定(第1课时)
BC=CD (已知 )
AC = AC (公共边 )
C
∴ △ABC ≌ △ADC（SSS）
例2 如图, △ABC是一个钢架，AB=AC,AD是连接A与BC 中点D的支架，求证： △ABD≌△ACD
分析：要证明两个三角形全等， 需要那些条件？
证明：∵D是BC的中点
B
∴BD=CD
在△ABD与△ACD中 AB=AC（已知） BD=CD（已证） AD=AD（公共边）
两个条件 一个条件 ①两角； ①一角； ②两边； ②一边； ③一边一角。
结论：只给出一个或两个 条件时，都不能保证所画 的三角形一定全等。
假设 给出 三个 条件 画三 角形， 你能 说出 有哪 几种 可能 的情 况？
①三角； ②三边； ③两边一角； ④两角一边。
给出三个条件
①三个角： 如30°，70°，80°，它们 一定全等吗？
(1)准备条件：证全等时要用的间接条件要先证好； (2)证明三角形全等书写三步骤：
①写出在哪两个三角形中 ②摆出三个条件用大括号括起来 ③写出全等结论
作业 这节课我们学习到这里，再见！
1、 全等三角形的定义
能够完全重合的两个三角形叫全等三角形。
2、 全等三角形有什么性质？
A
D
B
C
如图,已知△ABC≌△DEF
问题1：其中相等的边有： AB=DE, BC=EF, AC=DF
问题2：其中相等的角有： ∠A=∠D, ∠B=∠E, ∠C=∠F
E
F
(全等三角形的对应边相等） （全等三角形的对应角相等)
1.只给一条边时；
3㎝ 3㎝
3cm
探索三角形全等的条件
只给一个条件
2.只给一个角时；
第1课时《全等三角形》(1)
1第一课时《全等三角形》（1）———全等三角形的定义及其性质【课前热身】1、如图，△ABD ≌△CDB ，若AB ＝4，AD ＝5，BD ＝6，则BC ＝______，CD ＝______．2、如图，△ABC ≌△DEF ，∠A ＝30°，∠B ＝50°，BF ＝2，则∠DFE ＝ °，EC ＝ ．3、如图所示，△ABD ≌△CDB ，下面四个结论中，不正确的是（ ） A.△ABD 和△CDB 的面积相等 B.△ABD 和△CDB 的周长相等 C.∠A +∠ABD ＝∠C +∠CBD D.AD ∥BC ，且AD ＝BC4、在△ABC 中，∠A ＝∠C ，若与△ABC 全等的三角形有一个角等于96°，那么这个角在△ABC 中对应的角是( )A ．∠AB ．∠BC ．∠CD ．∠A 或∠C【考点链接】 一、全等形能够完全重合的两个图形叫做全等形。
二、全等三角形1、概念：能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形。
注意：（1）两个三角形全等，互相重合的顶点叫做对应点，互相重合的边叫做对应边，互相重合的角叫做对应角。
（2）“能够完全重合”是指在一定的叠放下，能够完全重合。
2、全等三角形的符号表示、读法△ABC 与△A ′B ′C ′全等记作△ABC ≌△A ′B ′C ′，“≌”读作“全等于”。
注意：（1）两个三角形全等时，通常把对应顶点的字母写在对应的位置上，这样对应的两个字母为端点的线段是对应边；对应的三个字母表示的角是对应角（若用一个字母表示一个角亦是如此）。
（2）对应角夹的边是对应边，对应边的夹角是对应角。
（3）对应边、对应角是对两个三角形而言的，指两条边、两个角的关系，而对边、对角是指同一个三角形的边和角的位置关系，对边是与角相对的边，对角是与边相对的角。
3、全等三角形的性质全等三角形的对应边相等，对应角相等。
【教材解读】DCBA 第1题第2题DACB第3题2一、选择题1、下列说法中不正确的是（ ）A.全等三角形一定能重合B.全等三角形的面积相等C.全等三角形的周长相等D.周长相等的两个三角形全等 2、下列说法正确的个数有( )①形状相同的两个图形是全等形；②对应角相等的两个三角形是全等三角形；③全等三角形的面积相等；④若△ABC ≌△DEF ， △DEF ≌△MNP ， 则△ABC ≌△MNP ． A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 3、下列说法中不正确的是( )A ．一个直角三角形与一个锐角三角形一定不会全等B ．两个等边三角形是全等三角形C ．斜边相等的两个等腰直角三角形是全等三角形D ．若两个钝角三角形全等， 则钝角所对的边是对应边4、下列图形中， ①平行四边形； ②正方形； ③等边三角形； ④等腰三角形． 能用两个全等的直角三角形拼成的图形是( )A ． ①②③④B ．①②③C ．①②④D ．①④5、如图，在△ABC 中，D 、E 分别是边AC 、BC 上的点，若△ADB ≌△EDB ≌△EDC ，则∠C ＝( )． A ．15° B ．20° C ．25° D ．30°6、将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠，BC BD ，为折痕，则CBD ∠的度数为（ ） A ．60° B ．75° C ．90° D ．95°7、如图，把△ABC 沿DE 折叠，当点A 落在四边形BCDE 内部时，则∠A 与∠1+∠2之间有一种数量关系始终保持不变，请试着找一找这个规律，你发现的规律是( )．A ．∠A ＝∠1+∠2B ．∠A 与∠1+∠2C ．∠A 与∠1+∠2D ．∠A 与∠1+∠28、如图，已知△ABC ≌△CDA ，下列结论：(1)AB ＝CD ，BC ＝DA ；(2)∠BAC ＝∠DCA ，∠ACB ＝∠CAD ；(3)AB//CD ，BC//DA ．其中正确的结论有( ) 个． A ．0 B ．1 C ．2 D ．3第5题B CD第6题第7题D CAB第10题第8题第9题39、如图，△ABC ≌△BAD ， AC 与BD 是对应边，AC ＝8cm ，AD ＝10cm ，DE ＝CE ＝2cm ，那么AE 的长是( )A ．8cmB ．10cmC ．2cmD ．不能确定10、如图，△ABC ≌△BAD ，点A 点B ，点C 和点D 是对应点。
湘教版数学八年级上册2.5《全等三角形及其性质》教学设计
湘教版数学八年级上册2.5《全等三角形及其性质》教学设计一. 教材分析湘教版数学八年级上册2.5《全等三角形及其性质》是学生在学习了三角形的概念、性质和三角形相似的基础上，进一步探讨两个三角形之间的关系。
本节课主要通过学生自主探究、合作交流的方式，引导学生理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质，并学会运用全等三角形解决实际问题。
二. 学情分析学生在学习本节课之前，已经掌握了三角形的基本概念和性质，具备了一定的观察、操作和推理能力。
但是，对于全等三角形的概念和性质，学生可能还比较陌生，需要通过实例和活动来逐步理解和掌握。
此外，学生可能对全等三角形的判定方法和不全等的情况认识不足，需要在教学过程中进行针对性的引导和讲解。
三. 教学目标1.理解全等三角形的概念，掌握全等三角形的性质。
2.学会运用全等三角形解决实际问题。
3.培养学生的观察能力、操作能力和推理能力。
4.培养学生的合作意识和问题解决能力。
四. 教学重难点1.全等三角形的概念和性质。
2.全等三角形的判定方法和不全等的情况。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例和操作活动，引导学生理解和掌握全等三角形的概念和性质。
2.合作学习法：学生进行小组讨论和合作交流，培养学生的合作意识和问题解决能力。
3.启发式教学法：引导学生主动思考、提问和解决问题，激发学生的学习兴趣和动力。
六. 教学准备1.教学课件：制作全等三角形的相关课件，包括图片、动画和实例等。
2.教学素材：准备一些全等三角形的实例和练习题，用于巩固和拓展学生的知识。
3.教学工具：准备三角板、直尺、铅笔等工具，方便学生进行操作和观察。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过生活实例或图片，引导学生思考两个三角形之间的关系，激发学生的学习兴趣。
例如，可以展示一幅图片，有两个形状和大小完全相同的三角形，让学生观察并思考它们之间的关系。
2.呈现（10分钟）向学生介绍全等三角形的概念和性质，通过讲解和示例，让学生理解和掌握全等三角形的定义和性质。
1.1 等腰三角形2 第1课时 全等三角形和等腰三角形的性质
A
已知：如图，在ΔABC中，∠B=∠C。 求证：AB=AC
证明: 作∠BAC的平分线AD 则∠1=∠2
在△BAD和△CAD中 ∠1=∠2 ∠B=∠C AD=AD （公共边）
12
B
DC
你还有其 他证法吗?
∴ △BAD ≌ △CAD （AAS）
∴ AB= AC （全等三角形的对应边相等）
等腰三角形的判定定理：
1、等腰三角形是怎样定义的？
A
有两条边相等的三角形,叫做等腰三角形。
2、等腰三角形有哪些性质？
①等腰三角形是轴对称图形。
B DC
②等腰三角形的两个底角相等（简写
成“等边对等角”） 。
③等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边 上的高重合（也称为“三线合一”）.
探究新知
1.我们把等腰三角形的性质定理的条件和结论反 过来还成立吗？如果一个三角形有两个角相等，那 么这两个角所对的边也相等吗？
3、等边三角形中，高、中线、角平分线共有（ A ） A.3条 B.6条 C.9条 D.7条
课堂小结
等边三角形的性质:
名 称
图形
性质
等
A
三条边都相等
边
三个角都相等，且都为60°
三
角B
C 三线合一
形
轴对称图形，有三条对称轴
第3课时 等腰三角形的判定及反证法
北师大版 八年级下册
复习旧知
既是性质又
是判定
注意：在同 一个三角形 中应用哟！
如果一个三角形有两个角相等，那么这两个角所 对的边也相等（简写成“等角对等边”）。
A
几何语言：
∵∠B =∠C （已知）
∴ AB=AC（等角对等边）
全等三角形概念及其性质
全等三角形概念及其性质知识精要1.全等形能够重合的两个图形叫做全等形2.全等三角形（1）两个三角形是全等形，就说它们是全等三角形。
（2）两个全等三角形，经过运动后一定能够重合，相互重合的顶点叫做对应顶点；相互重合的边叫做对应边；相互重合的角叫做对应角。
注：（1）全等三角形并一定是两个图形之间的关系，还可能是多个图形之间的关系。
（2）全等图形也可以看作是把图形翻折，旋转、平移等变换而得到的图形，与原图形相比，它们只是位置发生了变化，而形状、大小都没有变；反过来说，两个全等图形经过这样的变换一定能够重合。
3.确定三角形形状和大小的三个元素有四种情况（1）两角及夹边（2）两边及其夹角（3）三边（4）两角及其中一角的对边注：知道两边及其中一边的对角时，一般不能确定三角形的形状，大小。
4．全等三角形的性质1、全等三角形的对应边相等，对应角相等。
2、全等三角形的周长和面积相等【例题与应用】1、图形的三种基本运动是翻折、旋转和平移.2、根据所给图形的信息，完成下列填空：（要求对应顶点字母写在对应的位置上）∆；（1）如图（1），△ABC≌DEF∆；（2）如图（2），△ABC≌DBC∆；（3）如图（3），△AOB≌DOC3、如图，已知△ABC≌△DEF，求图中x，y，z的值.解：060x =00220202z z z y =+==4、如图，在方格中各画一个与所给三角形全等的三角形，并用全等符号表示.5、如图，已知△ABD ≌△ACE ，AD =3cm ，BD =1cm ，BC =6cm ，求△ADE 的周长. 解：ABD ∆ ≌ACE ∆ 3AD AE cm ∴==1BD EC cm ==（全等三角形，对应边相等）6114DE BC BD EC cm ∴=--=--=33410ADE C AD AE DE ∆∴=++=+==6、如图，已知△ACF ≌△DBE ，∠E =∠F ，AD =9cm ，BC =5cm ，求AB 的长. 解：ACF ∆ ≌DBE ∆AC DBAB BC DC BC∴=∴+-+即11()(95)222AB CD AD BC cm ==-=⨯-= 7、画△ABC ，使∠A =60°，∠B =40°，AB =4.5cm.解：确定三角形的形状和大小，若两个三角形形状，大小完全相等，则称为全等三角形，因此为判定三角形全等的方法。
初二数学(人教版)全等三角形的性质与判定的综合运用(第一课时) 教学设计
同学们好，在前面的学习中，我们一起学习、探究了三角形全等的性质及判定的方法，今天，我们将综合运用三角形全等的知识解决一些几何问题.我们首先回顾全等三角形的判定方法.问题判定两个三角形全等的方法有哪些？三边对应相等的两个三角形全等 .(简写成“边边边”或“SSS”）.两边和它们夹角对应相等的两个三角形全等.(简写成“边角边”或“SAS”）.两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等.(简写成“角边角”或“ASA”）.两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等.（简写成“角角边”或“AAS”）.或以上是一般三角形全等的判定方法，特殊的直角三角形，除了以上判定方法外，还有直角三角形全等特有的判定方法，即：斜边和一条直角边对应相等的两个三角形全等，(简写为“斜边、直角边”或“HL”).或AB C DE FCBAFEDABCDEFABCDEF问题要判定两个三角形全等，至少要几组条件？至少需要三组条件，并且三组条件中至少有一组边相等的关系.复习总结：以上是我们学习的三角形判定定理，解决问题时，选用哪条判定定理，需要我们同学根据题目条件和图形特点，具体问题，具体分析.下面让我们通过一组基础练习，熟悉三角形全等的判定方法.即EB=BD ，此时用的判定定理是HL ，或EA=BC 此时用的判定定理是SAS.还可以找任一组角相等的条件，即∠AEB=∠CBD ，此时用的判定定理是AAS ，或∠EBA=∠BDC ,此时用的判定定理是ASA.通过以上分析，本题可以添加的条件有：EB=BD ，EA=BC ，∠AEB=∠CBD ，∠EBA=∠BDC.通过例题和练习，我们知道，要添加的条件使两个三角形全等，首先明确已知条件，根据判定定理确定要添加的条件，特别注意的是，添加方法可能不唯一.例 如图3所示，已知AD=AB , 要使△ABC ≌△ADC ，现在已有的条件够不够用？需要添加几个条件？有几种添加的方法？分析：已知AD=AB ，仔细观察图形不难发现还有一个隐含条件：AC=AC ，知道两组边相等的关系之后，现在已有的条件不够用，至少需要添加一个条件，我们来看需要添加哪些条件可以判断两个三角形全等.EDC B A EDCB AA BC DEA B CDE图3⎪⎩⎪⎨⎧︒=∠=∠→∠=∠→=→90B D BAC DAC BC DC 找直角找两边夹角找第三边已知两边： 通过以上分析，我们知道本题有三种添加条件的方法，DC =BC 或∠DAC =∠BAC 或∠D =∠B =90°.遇到这类题目我们应特别注意挖掘隐含条件. 练习 如图4所示，AB=AC ，AD=AE 求证： BE=CD .分析：已知AB=AC ，AD=AE ，有公共角∠A ，并且公共角是两边的夹角.根据题干标图，由三角形全等判定定理SAS 可得△ABE ≌△ACD ，进而得出∠B=∠C. 解：在△ABE 和△ACD 中，⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠=，，，AE AD A A CA BA ∴ △ABE ≌△ACD (SAS) . ∴ BE =CD .小结：证明三角形全等是证明两线段、两个角相等的重要方法，遇到此类问题时，需要明确具体证明哪两个三角形全等，特别注意的是公共角一定是对应角，公共边一定是对应边.HL.SSS. SAS.图4例.如图5所示，点B ，E ，C ，F 在一条直线上，AB=DE,AC=DF ， BE=CF,求证∠A =∠D ..分析：根据题干标图要证∠A =∠D ，需证△ABC ≌△DEF ，根据已知条件很容易证得 △ABC ≌△DEF.证明：∵BE=CF ，∴BE +EC =CF +EC . 即BC =EF .在△ABC 和△DEF 中，⎪⎩⎪⎨⎧===，，，EF BC DF AC DE AB ∴△ABC ≌△DEF （SSS ）.∴∠A =∠D .例4.如图6所示，在△ABC 和△ADE 中，∠BAC=∠DAE ，AD=AE .连接BD ，CE , ∠ABD=∠ACE .求证AB=AC .分析：根据题干标图图5图6要证AB=AC需证△BAD ≌△CAE∠BAC-∠CAD=∠DAE-∠CAD 又知AD=AE ，∠ABD=∠ACE .已知∠BAC=∠DAE ，..--CAE BAD DAC DAE DAC BAC DAE BAC ∠=∠∠∠=∠∠∴∠=∠即，在△BAD 和△CAE 中,⎪⎩⎪⎨⎧=∠=∠∠=∠，，，AE AD CAE BAD ACE ABD ∴ △BAD ≌△CAE (AAS) . ∴ AB=AC .证明三角形全等时需要准备边相等和角相等的条件，除了公共边、公共角相等，等量相加结果相等、等量相减结果相等也是求两条边、两个角相等经常用到的方法.通过以上例题和练习，你运用三角形全等知识解决问题的能力有没有提升呢？让我们通过一道练习验证一下吧！练习.如图7所示，B ,F ,C ,E 在一条直线上BF=CE ，AC=DF .图7(1) 在下列条件①∠B=∠E ；②∠ACB=∠DFE ；③AB=DE ；④AC ∥DF 中，只添加一个条件就可以证得△ABC ≌△DEF ,则所有正确条件的序号是 ______________________.(2) 根据已知及（1）中添加的一个条件证明∠A=∠D . 分析：（1）根据题干标图由BF=CE 得EF+FC=CE+FC ,即：BC=EF ，又知AC=DF ，如果添加①∠B=∠E此时，SSA 不能判定两个三角形全等；如果添加②∠ACB=∠DFE此时，SAS 能判定△ABC ≌△DEF ；如果添加③AB=DEFEDCBAEDBAFC此时，SSS 能判定△ABC ≌△DEF ；如果添加④AC ∥DF可得到∠ACB=∠DFE ，所以正确条件的序号是②③④ .（2）选择一种证明即可，我们这里以添加②∠ACB=∠DFE 为例证明. 证明：FCEDBAEDBAFC从结论入手，结合已知，双向推理.1.已知：点D在AB上，点E在AC上，BE和CD相交于点O，AB=AC，∠B=∠C.求证：(1)AD=AE; (2)BD=CE.2.如图，点B、E、C、F在一条直线上，AB＝DE，AC=DF，∠A＝∠D．求证：BE=CF．。
第1讲 全等三角形的性质与判定
B ACDEF 第1讲 全等三角形地性质与判定考点·方式·破译1．能够完全重合地两个三角形叫全等三角形.全等三角形地形状和大小完全相同。
2．全等三角形性质：①全等三角形对应边相等,对应角相等。
②全等三角形对应高，角平分线，中线相等。
③全等三角形对应周长相等,面积相等。
3．全等三角形判定方式有：SAS ,ASA ,AAS ,SSS ,对于两个直角三角形全等地判定方式,除上述方式外,还有HL 法。
4．证明两个三角形全等地关键,就是证明两个三角形满足判定方式中地三个款件,具体思路步骤是先找出两个三角形中相等地边或角,再由选定地判定方式,确定还需要证明哪些相等地边或角,再设法对它们进行证明。
5．．证明两个三角形全等,由款件,有时能直接进行证明,有时要证地两个三角形并不全等,这时需要添加辅助线构造全等三角形,构造全等三角形常用地方式有：平移，翻折，旋转，等倍延长线中线，截取等等.经典·考题·赏析【例１】如图,AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90°,AB ＝CD ,那么图中有全等三角形（ ）A ．5对B ．4对C ．3对D ．2对【解法指导】从题设题设款件出发,首先找到比较明显地一对全等三角形,并由此推出结论作为下面有用地款件,从而推出第二对,第三对全等三角形.这种逐步推进地方式常用到.解：⑴∵AB ∥EF ∥DC ,∠ABC ＝90. ∴∠DCB ＝90. 在△ABC 和△DCB 中AB DC ABC DCB BC CB =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠ ∴△ABC ≌∴△DCB （SAS ） ∴∠A ＝∠D ⑵在△ABE 和△DCE 中A DAED DEC AB DC =⎧⎪=⎨⎪=⎩∠∠∠∠ ∴△ABE ≌∴△DCE ∴BE ＝CE ⑶在Rt △EFB 和Rt △EFC 中BE CEEF EF =⎧⎨=⎩∴Rt △EFB ≌Rt △EFC （HL ）故选C .【变式题组】01．（天津）下面判断中错误地是（ ）A ．有两角和一边对应相等地两个三角形全等B ．有两边和一角对应相等地两个三角形全等C ．有两边和其中一边上地中线对应相等地两个三角形全等AFCEDBD ．有一边对应相等地两个等边三角形全等02．（丽水）已知命题：如图,点A ，D ，B ，E 在同一款直线上,且AD ＝BE ,∠A ＝∠FDE ,则△ABC ≌△DEF .判断这个命题是真命题还是假命题,假如是真命题,请给出证明。