2020-2021学年四川省绵阳市涪城区东辰国际学校九年级(上)自主招生数学试卷

2020-2021学年四川省绵阳市涪城区东辰国际学校九年级（上）

自主招生数学试卷

一、选择题（共12小题，每小题3分，共36分）

1．下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）

A．B．

C．D．

2．在平面直角坐标系中，点P（﹣3，﹣5）关于原点对称的点的坐标是（）A．（3，﹣5）B．（﹣3，5）C．（3，5）D．（﹣3，﹣5）3．如图，A、B、C是⊙O上三点，∠ACB＝24°，则∠AOB的度数是（）

A．56°B．68°C．48°D．12°

4．已知关于x的一元二次方程有实数根，则m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤5C．m＞2D．m＜5

5．把抛物线y＝（x+1）2﹣4先向左平移1个单位，再向下平移2个单位，得到的新抛物线的表达式为（）

A．y＝x2﹣4B．y＝x2+4x﹣2C．y＝x2﹣4x﹣2D．y＝x2+4x+2 6．如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接AA′，若∠AA′B′＝20°，则∠BAA′的度数是（）

A．70°B．65°C．60°D．55°

7．若m是关于x的方程x2﹣2020x+1＝0的根，则（m2﹣2020m+4）•（m2﹣2020m﹣5）的值为（）

A．18B．﹣18C．20D．﹣20

8．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB为直径，BC＝CD，连接AC．若∠DAB＝50°，则∠B的度数为（）

A．50°B．65°C．75°D．130°

9．下列说法正确的是（）

A．等弦所对的弧相等

B．弦所对的两条弧的中点的连线垂直平分弦，且过圆心

C．垂直于半径的直线是圆的切线

D．平分弦的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧

10．函数y＝ax+b和y＝ax2+bx+c在同一直角坐标系内的图象大致是（）A．B．

C．D．

11．已知点（﹣1，y1），（2，y2），（3，y3）在二次函数y＝x2﹣4x﹣2020的图象上，则下列结论正确的是（）

A．y1＞y2＞y3B．y1＞y3＞y2C．y3＞y1＞y2D．y2＞y3＞y1 12．已知二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象如图所示，过点（0，1）和（﹣1，0），给出以下结论：①ab＞0；②4a+c＞1+b2；③0＜a+b+c＜2；④0＜b＜1；⑤当x＞﹣1时，y ＞0；⑥8a+7b+2c﹣9＜0．其中正确结论的个数是（）

A．6B．5C．4D．3

二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分）

13．已知﹣2是关于x的方程x2﹣4x﹣m2＝0的一个根，则m＝．

14．如图是一个隧道的横截面，它的形状是以点O为圆心的圆的一部分．如果M是⊙O中弦CD的中点，EM经过圆心O交⊙O于点E，CD＝10，EM＝25，则⊙O的半径．

15．如图，直线y＝﹣x+2与x轴、y轴分别交于A、B两点，把△AOB绕点A顺时针旋转60°后得到△AO′B′，则点B′的坐标是．

16．若关于x的函数y＝kx2+3x﹣1与x轴仅有一个公共点，则实数k的值为．17．某城市规划修建一座观光人行桥，此工程由桥梁工程与桥上拱形工程组成，桥上拱形工程包含三组完全相同的拱形，观光人行桥的正视图如图所示，已知桥面上三组拱桥都为抛物线的一部分，拱高（抛物线最高点到桥面AB的距离）都为16

米，三条抛物线依次与桥面AB相交于点A，C，D，B．则桥长AB＝米．

18．在平面直角坐标系中，△OAB的位置如图所示，将△OAB绕点O顺时针旋转90°得△OA1B1；再将△OA1B1绕点O顺时针旋转90°得△OA2B2；再将△OA2B2绕点O顺时针旋转90°得△OA3B3；……依此类推，第2020次旋转得到△OA2020B2020，则顶点A的对应点A2020的坐标是．

三、解答题（共6小题，共46分）

19．（1）计算：﹣12020+（﹣）﹣2﹣﹣（π﹣3）0；

（2）解方程：x2﹣2x﹣7＝0．

20．如图，在边长为1的正方形组成的网格中，△AOB的顶点均在格点上，点A、B的坐标分别是A（3，2）、B（1，3）．将△AOB绕点O逆时针旋转90°后得到△A1OB1．

（1）画出旋转后的A1OB1；

（2）直接写出点A1、B1的坐标分别为、；

（3）试求A1OB1的面积．

21．已知关于x的一元二次方程2x2﹣2x+3m﹣1＝0的两个实数根是x1，x2，且（x1﹣1）（x2﹣1）＞﹣3，求m的取值范围．

22．如图，AB是⊙O的直径，弦EF⊥AB于点C，点D是AB延长线上一点，∠A＝30°，

∠D＝30°．

（1）求证：FD是⊙O的切线；

（2）取BE的中点M，连接MF，若⊙O的半径为2，求MF的长．

23．如图，有长为30m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为10m），围成中间隔有一道篱笆（平行于AB）的矩形花圃，设花圃的一边AB为xm．

（1）如果要围成面积为63m2的花圃，AB的长是多少？

（2）能否围成面积为67m2的花圃？如果能，请求出AB的长；如果不能，请说明理由．

24．如图1．在平面直角坐标系中，直线y＝x+1分别与x轴，y轴交于点A，B，抛物线y ＝﹣x2+bx+c经过点B，且与直线y＝x+1的另一个交点为C（﹣4，n）．

（1）求抛物线的解析式；

（2）如图2，点D是抛物线上一动点，且点D的横坐标为t（﹣4＜t＜0），求△DBC面积的最大值；

（3）抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得△BCP是以BC为直角边的直角三角形？

若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．

一、填空题（共5小题，每小题4分，共20分）

25．已知关于x的一元二次方程（1﹣2k）x2﹣2﹣1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围．

26．如图，正方形ABCD的对角线相交于点O，正三角形OEF绕点O旋转．在旋转过程中，当AE＝BF时，∠AOE的大小是．

27．⊙O的半径为5，弦AB＝8，弦CD＝6，AB∥CD，则AC＝．

28．二次函数y＝﹣（x﹣1）2+5．当m≤x≤n且mn＜0时，y的最小值为2m，最大值为2n，则m+2n的值为．

29．在平面直角坐标系中，已知点A的坐标为（1，0），函数y＝x2+（m﹣2）x+2m﹣1的图象与线段OA只有一个公共点．则m的取值为．

二、解答题（共3小题，共30分）

30．关于x的一元二次方程x2+（2m+1）x+m2﹣1＝0有两个不相等的实数根．（1）求m的取值范围；

（2）若m为不大于1的整数，且方程的根为整数，求满足条件的m的值及对应的方程的根．

31．已知⊙O是△ABC的外接圆，P为劣弧BC上一动点．

（1）如图1，若△ABC为正三角形，探究P A，PB，PC之间的数量关系，并说明理由；

（2）如图2．若△ABC为等腰直角三角形，且AC＝BC．

①若Q为半圆AB一点，AQ+BQ＝14，求四边形ACBO的面积；

②探究P A，PB，PC之间的数量关系，并说明理由．