数学分析习题集10复旦大学

lim
n→∞
⎡ ⎛ ⎤ 1⎞ Sn ( x ) = n ⎢ S ⎜ x + ⎟ − S ( x ) ⎥ ， n⎠ ⎣ ⎝ ⎦ 证明：{Sn(x)}在 ( a, b) 内闭一致收敛于S '(x)。 7. 设 S 0 ( x) 在 [0, a ] 上连续，令 Sn ( x ) =
8.
∫
x
0
S n−1 (t ) d t， n = 1,2, " 。
x0 = 0; x0 = 0;
4 − x2 ，
x −1 ， x0 = 1; x +1 1+ x ⑼ ln ， x0 = 0; 1− x
⑴
⑻ (1+x) ln (1-x), ⑽
e−x , x0 = 0。 1− x
1 , n2 Sn(x) = nx(1 - x)n , x x Sn(x) = ln , n n xn , Sn(x) = 1+ xn Sn(x) = (sin x)n , x2 +
1 n
(ii) x ∈ (1,+∞ ) )； (ii) x ∈ (1,+∞ ) ；
⑽ Sn(x) = (sin x) ,
习
题
10.4
1. 求下列函数在指定点的 Taylor 展开，并确定它们的收敛范围： ⑴ 1 + 2x - 3x2 + 5x3 ， x0 = 1; ⑵
1 ， x2
x0 = -1;
5
⑶ ⑸ ⑺
x ， 2 − x − x2
ln x ， x0 = 2;
x0 = 0;
⑷ sin x， x0 = ⑹
3
π ; 6
3n ⎛ x − 1 ⎞ ⑸ ∑ ⎜ ⎟ ; n =1 n ! ⎝ 2 ⎠
∞
n
ln 2 n n 2 ⑹ ∑ n x ; n=2 n
⑻
∞
⑺ ⑼
n! n x ； ∑ n n =1 n
∞
( n !) 2 n x ; ∑ n =1 ( 2n) !
∞
∑ (2n + 1)!!x
n =1 ∞
∞
(2n )!!
n
。
2. 设 a＞b＞0，求下列幂级数的收敛域。
⎛ an bn ⎞ n ⑴ ∑⎜ ⎜ + n2 ⎟ ⎟x ; n =1 ⎝ n ⎠
⑶
∞
xn ; ⑵ ∑ n n n =1 a + b
∞
a x + b x2 + a2 x3 + b2 x4 + … + an x2n - 1 + bn x2n + …。
n
3. 设
∑a
n =0
∞
x n 与 ∑ bn x n 的收敛半径分别为R1和R2, 讨论下列幂级数的收敛半径：
∑v
n =1
∞
n
( x)
∑u
n =1
n
( x) 也必然收敛于一个连续函数。
∑u
n =1 ∞ n =1
∞
n
( x) 在x = a与x = b收敛，且对一切n∈N+ ，un (x)在闭区间 [a, b] 上单 ( x) 在[a, b]上一致收敛。
调增加，证明：
∑u
n
9. 设对一切n∈N+ ，un (x)在x= a右连续，且
n
3
x∈(-∞, +∞)； x∈(-∞, +∞)； x∈[0, 1]； x∈(-∞, +∞)； (i) x∈(0, +∞)，(ii) x∈ [δ ,+∞ ) （δ＞0） ； x∈(-∞, +∞)； x∈(-∞, +∞)；
3
n4 + x4
∑ (−1)
n =0
(1 − x) x n ，
(−1) n ， ∑ 2 n =1 n + x ∞ 1 n ⑼ ∑ 2 sin n ， 3 x n =0 ∞ sin x sin nx ⑽ ∑ ， n n =1 ∞ x2 ⑾ ∑ ， 2 n n = 0 (1 + x )
⑴ 一致收敛；
1
⑵ 积分运算与极限运算可以交换，即
lim
n→∞
∫
1
0
S n ( x) dx =
∫ lim Sn(x) dx；
0 n →∞
1
⑶ 求导运算与极限运算可以交换，即对一切 x ∈ [0,1]成立
d d Sn ( x ) = lim Sn(x) 。 dx d x n→∞ 6. 设 S '(x)在区间 ( a, b) 上连续，
习
1. 求下列幂级数的收敛半径与收敛域。
题
10.3
3 n + (−2) n n x ; ⑴ ∑ n n =1
∞
⑵ ⑷
1 + + " + ⎟( x − 1) ∑⎜ n⎠ ⎝ 2
n =1
∞
∞
⎛
1
1⎞
n
;
x 2n ; ⑶ ∑ (−1) n ⋅ 2n n =1
n
∞
∑ (−1)
n =1
n
ln(n + 1) ( x + 1) n ； n +1
n =0
∞
a n n +1 x 在 x = r 收敛， n =0 n + 1
∞
∫
并由此证明：
r
0
f ( x) d x =
∑ n +1r
n =0
∞
an
n +1
，
∫
6. 证明： (1) (2) y= y=
∞
1 0
ln
1 dx ∞ 1 =∑ 。 ⋅ 1 − x x n =1 n 2
x 4n 满足方程 y (4) = y ; ∑ ( 4 n )! n =0
n
(ii) x ∈ [δ , π − δ ] （ δ > 0 ） ；
x⎞ ⎛ ⑾ Sn(x) = ⎜1 + ⎟ , (i) x ∈ ( −∞,+∞ ) ， (ii) x ∈ [ − A, A] ( A > 0 )； ⎝ n⎠ ⎞ ⎛ 1 ⎟ , (i) x ∈ (0,+∞ ) , x + − x ⑿ Sn(x) = n⎜ (ii) x ∈ [δ ,+∞ ), δ > 0 。 ⎟ ⎜ n ⎠ ⎝ n 2. 设Sn(x) = n(x - x 2 n )，则函数序列{Sn(x)}在 [0,1] 上收敛但不一致收敛，且极限运算与 积分运算不能交换，即
∞
∑ d x arctan n
n =1
∞
d
x
2
。
∑a
n =1
∞
n
收敛，证明：
⑴ lim
x→0+
an = ∑ x n =1 n
∑ an ；
n =1
∞
⑵
∫
∞
1 ∞
0
∑ an x n d x =
n =1
∑ n +1
n =1
∞
an
。
7. 设un (x)， vn (x)在区间(a, b)连续， 且│un (x)│≤vn (x) 对一切n∈N+ 成立。 证明： 若 在(a, b)上点态收敛于一个连续函数，则 8. 设函数项级数
n
证明：{Sn(x)}在 [0, a ] 上一致收敛于 0。 设S(x)在 [0,1] 上连续，且S(1) = 0。证明：{x S(x)}在[0,1]上一致收敛。
习
∞
题
10.2
1. 讨论下列函数项级数在所指定区间上的一致收敛性。 ⑴ ⑵ ⑶ ⑷ ⑸ ⑹ ⑺ ⑻
∑ (1 − x) x
∑ (1 − x)
习 ⑴ Sn(x) = e − nx , ⑵ Sn(x) = x e − nx , x ⑶ Sn(x) = sin , n ⑷ Sn(x) = arctan nx, ⑸ Sn(x) = ⑹ ⑺ ⑻ ⑼
题
10.1 (ii) x ∈ (1,+∞ ) ； (ii) x ∈ [ − A, A] ( A > 0 )； (ii) x ∈ (1,+∞ ) ；
n=0 ∞ n=0 ∞
2
n
，
x∈[0, 1]； x∈[0, 1]； x∈ [0,+∞) ； (i) x∈ [0,+∞) ， (ii) x∈ [δ ,+∞ ) （δ＞0） ；
xn ，
∑x
n=0
3
e − nx ，
2
2
n =0
∞
∑ x e −nx
x
∞
， ， ，
∑1+ n
∑
n =1
∞
n =0 ∞
x2 sin nx
∑u
n =1
∞
n
( x) 在x = a发散，证明：对任意δ＞0，
∑u
n =1
∞
n
( x) 在(a, a +δ)上必定非一致收敛。 1+ ∑ ln⎜ ⎝ n ln
n=2
∞
10．证明函数项级数 任意固定正数。 11．设
⎛
x
2
⎞ 2 ⎟ 在 [− a, a ] 上是一致收敛的，其中 a 是小于 2 ln 2 的 n⎠
lim
n→∞
∫S
0
1
n
( x) dx ≠
∫ lim Sn(x) dx。
0 n →∞
1
x 3. 设Sn(x) = ，则 1+ n2 x2 ⑴ 函数序列{Sn(x)}在 (−∞,+∞ ) 上一致收敛； ⎧ d ⎫ ⑵ ⎨ S n ( x ) ⎬ 在 ( −∞,+∞ ) 上不一致收敛； ⎩d x ⎭ ⑶ 极限运算与求导运算不能交换，即 d d Sn(x) = lim lim Sn(x) n→∞ d x d x n→∞ 并不对一切 x ∈ ( −∞,+∞ ) 成立。 1 n 4. 设Sn(x) = arctan x ，则函数序列{Sn(x)}在 (0,+∞ ) 上一致收敛；试问极限运算与求 n 导运算能否交换，即 d d Sn(x) = lim lim Sn(x) n→∞ d x d x n→∞ 是否成立? 5. 设Sn(x) = n a xe − nx ，其中a是参数。求a的取值范围，使得函数序列{Sn(x)}在 [0,1] 上
∞
2
x2 ， x∈(-∞, +∞)。 (1 + x 2 ) n n =0 ∞ cos nx 在(0,2 π )上连续，且有连续的导函数。 2. 证明：函数 f ( x ) = ∑ 2 n=0 n + 1
⑿
∑ (−1)
∞
n
3. 证明：函数 f ( x ) =
∞
∑ne
n =1
∞
− nx
在 (0,+∞ ) 上连续，且有各阶连续导数。
⑵ ⑷ ⑹ ⑻
n
∑ n⋅2
n =1
∞
1
n
;
(n + 1) 2 ; ∑ 2n n =0
∞
∑ (−1)
n=2
∞
∞
n
1 ; 2 (n 2 − 1)
n
2 ; ⑺ ∑ (−1) n! n =0
n
∞
∞
n +1
∑
n +1 . n =1 n!
8．设正项级数 9．设 f ( x) =
∑ a n 发散， An = ∑ a k ，且 lim
⑷
∞
⑶
∑ (−1) n−1 n 2 x n ;
n =1
xn ; ∑ n =1 n( n + 1)
∞
4
⑸
∑ n(n + 1) x
n =1
∞
∞
n
；
⑹ 1+
∑ (2n)! ;
n =1
∞
x 2n
n +1 n x 。 ⑺ ∑ n =1 n!
5. 设 f (x) = 就成立
∑a
n =0
∞
n
x n , 则不论 ∑ a n x n 在 x = r 是否收敛，只要 ∑
。
3
（2）记 F ( x) =
∫
x
0
f (t )dt ，证明：
2 1 2 ⎛π ⎞ − < F⎜ ⎟ < 。 2 15 2 ⎝2⎠
13．设 f ( x ) = （1） （2）
1 。 +x n =0 证明 f ( x ) 在 [0, + ∞ ) 上可导，且一致连续；
∑2
∞
n
证明反常积分
∫
+∞
0
f ( x)dx 发散。
1 4. 证明：函数 ∑ x 在(1,+∞) 上连续，且有各阶连续导数；函数 n =1 n
续，且有各阶连续导数。 5. 证明：函数项级数 f ( x ) =
(−1) n 在 (0,+∞ ) 上连 ∑ x n =1 n
∞
∑ arctanHale Waihona Puke Baidun
n =1
∞
x
2
可以逐项求导，即
d f (x) = dx
6. 设数项级数
n =0
∞
(1) (3)
∑ an x 2n ;
(2) 。
∑a b x
n =0 n n
∞
n =0 ∞
∑ (a
n =0
∞
n
+ bn ) x n ;
n
4. 应用逐项求导或逐项求积分等性质，求下列幂级数的和函数，并指出它们的定义域。
n ⑴ ∑ nx ; n =1
∞
x 2n ; ⑵ ∑ n = 0 2n + 1
1. 讨论下列函数序列在指定区间上的一致收敛性。
(i) x ∈ (0,1) ， x ∈ (0,+∞ ) ； (i) x ∈ (−∞,+∞ ) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ ( −∞,+∞ ) ； x ∈ [0,1] ； (i) x ∈ (0,1) ， (i) x ∈ (0,1) ， x ∈ [0, π ] ； (i) x ∈ [0,1] ，
n =1 k =1
∞ an = 0 ，求幂级数 ∑ a n x n 的收敛半径。 n →∞ A n =1 n
∑n
n =1
∞
2
n
2
xn 。
（1） 证明 f ( x ) 在 ⎢ − （2）
⎡ 1 1⎤ ⎡ 1 1⎞ , ⎥ 上连续，在 ⎢ − , ⎟ 上可导； ⎣ 2 2⎦ ⎣ 2 2⎠ 1 f ( x ) 在 x = 处的左导数是否存在？ 2
xn 满足方程 x y ′′ + y ' - y = 0。 ∑ 2 n = 0 ( n !)
∞
∞
7. 应用幂级数性质求下列级数的和 ⑴
n ; 2n n =1 ∞ n ( n + 2) ; ⑶ ∑ 4 n +1 n =1 ∞ 1 n ; ⑸ ∑ (−1) n 3 (2n + 1) n =0
∑ (−1) n−1
∞
f ( x) = ∑
（1） 证明： f ( x ) 在 [0, π / 2] 上连续； （2） 计算
π
2
x 1 tan n 。 n 2 n =1 2
∫π
f ( x)dx 。
6
12．设 f ( x) =
n3 + n （1） 证明： f ( x ) 在 ( −∞ , + ∞ ) 上连续；
n =1
∑
∞
cos nx