指数对数方程(附答案)

二、指数对数方程

定义：在指数里含有未知数的方程叫指数方程 在对数符号后面含有未知数的方程叫对数方程 指数方程的解法：

（1） 定义法：()()log f x a a b f x b =⇔=形如 （2） 化同底法：()()()()f x g x a a f x g x =⇔=形如

（3） 取对数法：()()lg ()lg ()g x

f x a b a f x b

g x =⇔⋅=⋅形如

（4） 换元法：()()0,,0,x

x

f a t a f t t ===设解方程求再进一步求解

对数方程的解法：

（1） 定义法：()()log f x a f x b a b =⇔=形如

（2） 化同底法：()log ()()()a f x g x f x g x =⇔=a 形如log （3） 换元法：

()()log 0,log ,0,a a f x t x f t t ===设解方程求再进一步求解

型如A(log a x)2+Blog a x+C=0常用换元法； （4）数形结合法．

注意：解对数方程验根是必不可少的． 指数不等式的解法：

()()1()()f x g x a a a f x g x >>⇔>若则 ()()01()()f x g x a a a f x g x <<>⇔<若则

对数不等式的解法

若()()1,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x >⎧⎪

>>⇔>⎨⎪>⎩

若()()01,log ()log ()()0()0a a f x g x a f x g x f x g x <⎧⎪

<<>⇔>⎨⎪>⎩

练习：

一、解下列方程

1). ()()lg 4lg lg 21x x x +-=+。 2) 248log 2log log 7x x x ++=

3) 252log 253log 1x x -= （4）122log (44)log (23)

x x x ++=+- （x=2）

5) 239(log )log 32x x -= 6) lg 2

1000x x

+= （ 1

101000

x orx ==）

7) 14272

()()9

83

x

x -⋅= 8)25235500x x -⋅-= 9)．222

215x

x +--= 10).31636281x x x ⋅+=⋅，

11). 2

11

53x x

+-= （31log 15or -） 12、677

1x x

-⨯-= （7log 5x =）

二、解不等式

1、256

314x x -+⎛⎫> ⎪⎝⎭

2、28

21()33

x x -->

(2,3)x ∈ (2,4)x ∈-

3、 28

2x x a a --> 4、2log 1x <

5、2335

5

log (1)log (41)x x x ++<-

解集（1，2）

6、2

log (43)log (21)log 2(0,1)a a a x x x a a +--->>≠

1,a >解集为1,22⎛⎫

⎪⎝⎭

；01a <<解集为(2,4)

7、判断下列方程解的个数

（1）350x

x --= （两个解）（2）sin lg x x = （三个解）

8、解不等式()2212

log 2()100,0x x x a ab b a b ⎡⎤--+<>>⎣⎦

,(log (1)a b

a b >+∞解集为

,a b φ=解集为

,(,log (1a b

a b <-∞+解集为

反函数

1． 函数存在反函数的充要条件是x 与y 一一对应（任意垂直于x 轴的直线与

y=f(x)的图像至多有一个交点）

2． 求反函数的一般步骤：（1）求原函数的值域

12(),();34y f x x f y -==()将看成方程解出()将x,y 为之互换

()写出反函数的定义域即原函数的值域

3． 原函数与反函数的关系：

（1）原函数的值域即其反函数的定义域，原函数的定义域即其反函数的值域。 （2）两个函数互为反函数,图像关于y=x 对称

（3）若点(a,b)在原函数图像上,则点(b,a)必在其反函数图像上. 4. 一些性质:

(1)单调函数必有反函数,且反函数与原函数有相同的单调性,非单调函数不一定有反函数,有反函数的函数不一定单调.

(2)奇函数不一定有反函数,如果有反函数也是奇函数,偶函数(除单值函数外)没有反函数

(3)周期函数一定没有反函数

(4)原函数与反函数若有交点，则交点在直线y x =上或关于y x =对称