自由刚体的一般运动
刚体的转动
32019/12/23
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
二 匀变速转动公式 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做
匀变速转动 .
刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比
地减速，经t=50 s后静止。
（1）求角加速度a 和飞轮从制动开始到静止所转过
的转数N；
（2）求制动开始后t=25s 时飞
0
轮的角速度 ；
（3）设飞轮的半径r=1m，求在 t=25s 时边缘上一点的速
度和加速度。
Oa an r
v
at
解 （1）设初角度为0方向如图所示，
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25rad / s 78.5rad / s
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§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
的方向与0相同 ；
（3）t=25s 时飞轮边缘上一点P 的速度。
由 v r v v r sin r sin 900
r 78.5m / s v 的方向垂直于 和 r 构成的平面，如
§4- 1 刚体的平动、转动和定轴转动 普通物理
量值为0=21500/60=50 rad/s，对于匀
变速转动，可以应用以角量表示的运动方程，在
t=50S 时刻 =0 ，代入方程=0+at 得
a 0 50 rad / s2
t
50
3.14 rad / s2
从开始制动到静止，飞轮的角位移 及转 数N 分别为
子的角加速度与时间成正比 . 问在这段时间内，转子转
过多少转？
刚体的自由度和平面平行运动
J
C
2
刚体的动能等于质心的平动动能与对质心的转动
动能之和。
刚体的平面平行运动
例题4-9 讨论一匀
y
N
质实心的圆柱体在斜
O
x
面上的运动。
fr r
解 圆柱体所受的力共有三个： 重力G ，斜面的支承力N 和
aCx
G=mg
摩擦力f r，如图所示。设圆柱体的质量为m，半径
为r，那么，它对其几何的转动惯量
JC
1 mR2 2
aC
F
联立以上四式，解得
刚体的平面平行运动
aC
2F(R l) 3mR
f R 2l F 3R
由此可见
l<r/2, f>0, 静摩擦力向后 l>r/2, f<0, 静摩擦力向前 l=r/2, f=0
刚体的平面平行运动
aC
2F(R l) 3mR
f R 2l F 3R
J 1 mr 2 2
刚体的平面平行运动
我们取和斜面平行而向下的方向为x轴的方向，和 斜面垂直而向上为y轴的方向
这样可得
maCx mg sin fr
maCy N mg cos J frr
以上三式中，aCx和aCy是圆柱体质心在x轴和y轴方
向的加速度，是圆柱体对其通过质心的几何轴转
车轮上任意一点的速度
v vC r
G点的速度
vG vC r 0
B点的速度
vB vC R 2vC
A点的速度
vA vC2 (R)2
RA
A
2vC
B
RB
RB
RA RG vC
理论力学第三章刚体力学
线量和角量的对应
dr
dr v dt
d
d dt
dv a dt
d dt
6.欧勒角
1).欧勒角 章动 角 自转 角 Z轴位置由 θ，φ角决 定 进动 角
节线ON
0 0 2 0 2
2).欧勒运动学方程
在直角坐标系
x i y j z k
理 论 力 学
第三章 刚体运动
概述
1.刚体是一个理想模型，它可以看作是一种特
殊的质点组，这个质点组中任何两个质点之间
的距离不变.这使得问题大为简化，使我们能 更详细地研究它的运动性质，得到的结果对实 际问题很有用。 2.一般刚体的自由度为6.如果刚体运动受到约束, 自由度相应减少.
3.刚体的两种基本运动
刚体上任一点p的坐标分别为
v r ra a ra 而在系 a xy z r r ( r b a a b ra ) rb ra (rb ra )
得
r ra ra
2
drci (rci mi Jc ) dt i 1 n (e) (rci Fi ) Mc
n
i 1
简表为:
d Mc Jc dt
(6个方程正好确定刚体的6个独立变量)
刚体的动量矩 (角动量) n n ) 简表为: J J c J ci (ri mi vi ) rc mvc (rci mi vci
三.刚体的平衡
刚体平衡条件
(e) Fi 0
n i
n (e) Fi ) 0 (rci Mc i 1
3-1刚体的基本运动
3－1
刚体的基本运动
例3-1 一半径 r 0 .5 0 m 的飞轮,转速n 6 0 0 r m in 1 , 制动后转过 1 0 圈而静止.设转动过程中飞轮作匀变 速转动.求:(1)转动过程中飞轮的角加速度和经过的 时间;(2)在1 s末时,飞轮边缘某点的线速度、切向加 速度和法向加速度.
0
0
第三章 刚体的定轴转动
3－1
刚体的基本运动
t d dt
瞬时角速度（角速度）
lim
t 0
刚体定轴转动（一维转动）的转动方向可以 用角速度的正负来表示 .
z
面对 O z 轴方向观察, 如果 0,刚体逆时 针转动;反之,刚体顺 时针转动.
z
0
0
1
3 1 .4 rad s
1
轮边缘某点的线速度
v r 0 .5 3 1 .4 m s
1
1 5 .7 m s
1
切向加速度
a t r 0 .5 3 1 .4 m s
2
1 5 .7 m s
2
法向加速度
a n r
3－1
刚体的基本运动
三、 匀变速转动公式 匀变速转动：当刚体绕定轴转动的角加速度为 恒量时的转动. 刚体匀变速转动与质点匀变速直线运动公式对比 质点匀变速直线运动
v v 0 at
x x0 v 0t 1 2 at
2
刚体绕定轴作匀变速转动
0 t
0 0t
第三章作业 P83
15、17、18、19、21、23
第三章 刚体的定轴转动
解 （1） 0 5 π rad s
第7章刚体的简单运动
B
vM
M
aM
r A
aMn
O
aMn = r = 0.2×12= 0.2 m/s2
2
vA
B
vM
M
aM
r
vA = vM = 0.2m/s aA = aM = - 0.4m/s
2
aMn
O
aA
A
vA
作业： 7－ 1，4 ，6 ，7
d d 2 2 dt dt
0 t 0 t 匀变速运动: 2 2 2 1 2 0 0 0 t t 2
二.解题步骤及注意问题
1.解题步骤:
①弄清题意,明确已知条件和所求的问题。 ②选好坐标系：直角坐标法，自然法。 ③根据已知条件进行微分，或积分运算。 对常见的特殊运动， ④用初始条件定积分常数。 可直接应用公式计算。 ２．注意问题： ①几何关系和运动方向。 ②求轨迹方程时要消去参数“t”。 ③坐标系（参考系）的选择。
第七章
刚体的简单运动
刚体运动的分类：
1、平行移动；
2、定轴转动；
3、平面运动；
4、定点运动；
5、一般运动。
§7-１刚体的平行移动(平动）
1 定义 刚体内任一直线在运动过程中始终平行于
初始位置，称为平动。
★
2
速度和加速度
rA rB BA
d rA d rB d BA dt dt dt
三.例题 [例1]列车在R=300m的曲线上匀变速行驶。轨道上曲线部分长
l=200m，当列车开始走上曲线时的速度v0=30km/h，而将要离开
曲线轨道时的速度是v1＝48km/h。 求列车走上曲线与将要离开曲线时的加速度？
大学物理：chap3-5刚体的自由度
当物体的运动受到限制时，自由度会减少 物体有n个自由度，它的运动规律 就可归结为几个独立的方程式
二、刚体的自由度 1.自由刚体：
总的说来，自由刚体共有6个自由度，其中3 个平动自由度，3个转动自由度。
2.平面平行运动的刚体：
§4-4 刚体的自由度
一、自由度 决定物体在空间的位置所需要的独立坐标的数目
一个物体有几种自由运动可能性，确定它 的空间位置时就需要几个独立坐标
所以自由度是表示物体有多少种自由运 动可能性的物理量
一质点在空间 3个独立坐标 自由度为3 （飞机） 自由运动
若质点被限制在 2个独立坐标 自由度为2 （轮船） 平面上运动
质心：2个自由度 绕轴转动：1个自由度 一共3个自由度
3.定轴转动的刚体：
刚体运动描述
i3
如：车轮滚动
i 1 1
4 刚体的一般运动可以分解为随质心的平移 和绕质心的定点转动
i 3 3
二 、定轴转动的描述 角量
p点：角位置 角位移 d d 2 2 dt dt
o
o
转动平面 p Q x
Q点：角位置 角位移 d ( 0 ) 式中 0 0
2 2 0
是 t=0 时刻的角速度和角位置
角速度矢量
d 大小为 方向由右螺旋法则确定 dt 规定顺着刚体转动的右螺旋前进方向为 角速度矢量的方向
在定轴转动下
v r
v r
d 角加速度矢量： dt
2 转动：刚体上所有各点绕同一直线作圆周 运动，这一直线称为转轴。
（1）定轴转动：转轴固定于参考系 如：门 窗
i 1 ( )
如：玩具陀螺
o
p
x
（2）定点转动：转轴上有一点静止于参考系
i3
（转轴方向2，绕轴转角1）
3 平面平行运动：刚体上每一质元的运动都 平行于某一固定平面
可以分解为刚体随质心的平移（2）和绕 质心垂直于运动平面的定轴转动（1）
第5章 刚体力学基础
刚体是一个理想模型，指物体受到力的作用时 完全不会发生形变。因此运动过程中刚体内部 任意两点之间的距离始终保持不变。 第一节 刚体运动的描述 一、 刚体运动基本形式和自由度 自由度：完全描述运动所需的独立坐标数
（决定物体空间位置）
1 平动（平移）：刚体内任意两质点连线的 方向保持不变 自由度 i 3 ( xc yc zc )
2
线量与角量之关系：
v r
2
dv d at r r dt dt
刚体一般运动的描述
第４０卷第５期大 学 物 理Ｖｏｌ．４０Ｎｏ．５２０２１年５月ＣＯＬＬＥＧＥ ＰＨＹＳＩＣＳＭａｙ２０２１ 收稿日期：２０２０－０９－１１；修回日期：２０２０－１１－１８作者简介：邵瀚雍（２０００—），男，四川德阳人，北京师范大学物理学系２０１８级本科生．櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍櫍殻殻殻殻大学生园地 刚体一般运动的描述邵瀚雍（北京师范大学物理学系，北京 １００８７５）摘要：刚体的一般运动是刚体运动学中最复杂的一类运动，其求解通常需要借助欧拉定理或沙勒定理．通过这两个定理，我们可以把刚体的一般运动分解成较简单的定轴转动和平动．本文主要应用代数理论中的正交矩阵描述刚体的运动，并用代数语言分析了定点转动的本征问题，证明了欧拉定理．随后，将刚体的定点转动进行分解，并给出了物理图像和推导结论，完成了对刚体复杂的一般运动的简单描述． 关键词：刚体一般运动；正交矩阵；沙勒定理；欧拉角中图分类号：Ｏ３１ 文献标识码：Ａ 文章编号：１０００ ０７１２（２０２１）０５ ００６２ ０５【ＤＯＩ】１０．１６８５４／ｊ．ｃｎｋｉ．１０００ ０７１２．２００４０５一般运动是刚体运动学中最复杂的问题，因此国内的理论力学教材大多对此介绍较少．且由于刚体运动学教学难度大，课时少，故多数同学跳过了刚体一般运动的内容，但这恰是将刚体运动转化成代数知识的极佳机会，不得不说是一种遗憾．事实上，刚体的一般运动总能分解成基点的运动和绕过该点某轴线的定轴转动，国外教材对此用代数语言给出了证明，但也没有就代数理论和刚体运动的关联进行深入的探讨．本文从正交矩阵讲起，力图用清晰简明的语言，论证使用矩阵描述刚体运动的合理性和优越性，并借用代数思想，将刚体运动和线性代数的知识联系起来，希望能对理论力学的相关教学和学生的学习起到一定的补充和帮助作用．１ 参考系实验室参考系，即观者所在的惯性参考系；本体参考系，即固连在刚体上，并与之共同运动的参考系，一般是非惯性系．固连在两种参考系上的坐标系各有利弊．在实验室坐标系中，基矢对时间的微商为零，便于建立动力学方程，但许多力学量在该系中较复杂并不断变动；在本体坐标系中，这些力学量虽然直观简单，恒定不变，但其坐标轴的基矢处在变动之中．在研究刚体定点转动的问题时，我们需要寻找这两种系之间的关联，恰当使用它们描述刚体的运动［１］．２ 刚体的一般运动刚体在空间不受约束自由运动时，其自由度ｓ＝６．一般选定广义坐标（ｘｃ，ｙｃ，ｚｃ，φ，θ，ψ）描述刚体的状态，其中ｘｃ、ｙｃ、ｚｃ为刚体质心在实验室系中的笛卡尔坐标，φ、θ、ψ为刚体的本体系和实验室系坐标变换对应的欧拉角．刚体一般运动有４类特殊情况：平动、定轴转动、平面平行运动、定点转动．虽然它们形式各异，但可以证明如下两点［２］：１）定点转动总可以等效于绕过该定点某一轴线的定轴转动．２）刚体一般运动总可以分解为某点的运动和绕过该点某轴线的旋转．换言之，总可以将复杂的一般运动，分解成过一点的定轴转动（或由多个定轴转动合成）与该点的运动．第１点所谈到的内容，正是刚体运动欧拉定理．该定理指出，对于基点固定的刚体，其运动可以分解为绕某个或多个转轴的转动．根据欧拉运动定理，我们可以将之推广，即第２点，沙勒定理．该定理指出，刚体的最广义位移等价于一个平移和一次旋转．它们是本文的重点，在证明前，需要先通过代数的语言，合理描述刚体的运动，以便于后续的证明．第５期邵瀚雍：刚体一般运动的描述６３ ３ 正交矩阵在线性代数理论中，正交矩阵Ａ被定义为行向量、列向量皆正交且值为１的方阵［３］，即满足如下的性质（Ｅ为单位阵）：ＡＴＡ＝ＡＡＴ＝Ｅ（１）矩阵乘法等价于一次线性变换，换句话说，在数学里这种特殊的变换（正交变换）可以保持空间中任意两点的欧式距离不变．这意味着若将某向量ｖ乘上正交矩阵Ａ，得到的新向量长度不变，且空间的原点不变．我们通常将这种变换称为欧拉变换［４］．此外，由于正交矩阵满足：ＡＴＡ＝Ａ－１Ａ＝Ｅ（２）正交变换一定存在逆变换，而且该逆变换很容易写出：Ａ－１＝ＡＴ．正交矩阵的这些特殊性质在描述刚体运动时展现出极大的优越性，因此，我们常用它描述刚体运动．４ 刚体运动的代数表达［２］从物理上讲，根据沙勒定理，刚体的运动可以分为两种：定点转动和点的运动．也就是第２节中提到的６个广义坐标．而上一节中提到的正交变换———欧氏距离不变的线性变换，恰好可以准确反映刚体的定点转动．换言之，刚体的定点旋转过程可以由一次欧拉变换来描述．容易得知，这种变换对应的正交矩阵Ｒ应是一个含时矩阵，即Ｒ（ｔ）．仅仅描述旋转过程是不够的，还需要描述点的运动．易知，描述该运动只需在旋转后添上一个简单的平移矢量ｐ即可．从数学上讲，刚体的运动，可以反过来看作是坐标轴的运动．因此，假设两组正交基分别为［ｅ１，ｅ２，ｅ３］和［ｅ′１，ｅ′２，ｅ′３］．在这两组基下，某向量ｖ在这两组基下的值分别为［ａ１，ａ２，ａ３］Ｔ和［ａ′１，ａ′２，ａ′３］Ｔ．因此有｜ｖ｜＝［ｅ１ ｅ２ ｅ３］ａ１ａ２ａ３＝［ｅ′１ ｅ′２ ｅ′３］ａ′１ａ′２ａ′３（３）于是，得到ａ１ａ２ａ３＝ｅＴ１ｅ′１ ｅＴ１ｅ′２ ｅＴ１ｅ′３ｅＴ２ｅ′１ ｅＴ２ｅ′２ ｅＴ２ｅ′３ｅＴ３ｅ′１ ｅＴ３ｅ′２ ｅＴ３ｅ′３ａ′１ａ′２ａ′３（４）已知ａ＝［ａ１，ａ２，ａ３］Ｔ，ａ′＝［ａ′１，ａ′２，ａ′３］Ｔ且定义如下：ｅＴ１ｅ′１ ｅＴ１ｅ′２ ｅＴ１ｅ′３ｅＴ２ｅ′１ ｅＴ２ｅ′２ ｅＴ２ｅ′３ｅＴ３ｅ′１ ｅＴ３ｅ′２ ｅＴ３ｅ′３Ｒ（５）则可以将上式写为ａ＝Ｒａ′（６）称Ｒ是旋转矩阵．可以看到，Ｒ矩阵是由两个标准正交基相乘而来，在线性代数中可以很容易证明，这样得到的矩阵Ｒ是正交矩阵，或者反过来说，任何正交矩阵都可以拆分为两个标准正交基的矩阵乘积．因此，旋转矩阵Ｒ恰好是正交矩阵，而正交矩阵对应的变换也恰好是两组基之间的旋转变换，也就是实验室系和本体系的欧拉变换；并且，任意实正交矩阵都能看作为一个旋转矩阵．值得一提的是，旋转矩阵的集合称之为特殊正交群：ＳＯ（ｎ）＝｛Ｒ∈瓗ｎ×ｎ｜ＲＲＴ＝Ｅ，ｄｅｔＲ＝１｝这个正交群可以描述ｎ维空间的旋转变换，在此只考虑ｎ＝３的情况．再考虑定点的运动，可以将刚体的运动在数学上表示为ａ′＝ＲＴａ＋ｐ（７）数学的正交矩阵（变换），对应着欧式空间中距离不变的线性变换，而物理的旋转矩阵（旋转），对应着刚体运动时的任意两点保持相对距离不变的属性．这样，在本节和上一节中已经论证了刚体运动的代数表达，这种代数的表达方式是相当合适且严谨的．５ 旋转变换的本征问题刚体的定点转动定理指出，对于基点固定的刚体，其一般运动都可以分解为绕某个或多个轴的转动．根据定理，假设转轴对应的空间列向量为ｐ，由于转轴并不会因为刚体转动而发生任何变化（刚体本身就在绕轴转动），因此，当发生旋转变换时，ｐ应当保持不变．这对应着数学中的不变子空间理论．请看定理［４］：设φ是线性空间Ｖ上的线性映射（变换），而总能找到Ｖ的子空间Ｕ，使得φ（Ｕ） Ｕ即子空间Ｕ的任意元素ｐ在线性映射φ的像Ｉｍφ中依然是ｐ本身，称Ｕ为φ的不变子空间．易得，φ总有两种特殊的不变子空间Ｕ，分别是零子空间和６４ 大 学 物 理 第４０卷全空间Ｖ，并称之为平凡子空间．可以发现，在三维旋转映射Ｒ下，有一个我们最关注的非平凡不变子空间，这个子空间恰好就是转轴所处直线对应的子空间．上述内容也可以在拓扑理论中理解成映射的不动点原理（Ｂｒｏｕｗｅｒ’ｓＦｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔＴｈｅｏｒｅｍ）．从物理上讲，这是一类本征值问题．即在旋转后向量ｐ不发生改变，也就是Ｒｐ＝１ｐ．这与数学物理方法和量子力学中的本征问题有着异曲同工之妙．将线性算符Ｌ＾作用于某函数ψ，若有［５］Ｌ＾ψ＝λψ（８）则称函数ψ为线性算符Ｌ＾的本征函数，λ为算符Ｌ＾的本征值．例如，定态薛定谔方程Ｈ＾ψ＝Ｅψ．因此，由Ｒｐ＝１ｐ，得知ｐ为旋转变换φ的本征函数，λ为变换φ的本征值，这恰好就是线性代数中熟知的矩阵特征值问题：Ａｐ＝λｐ（９）所以若要证明欧拉定理，可以将定理的证明等价于证明旋转矩阵Ｒ的特征值组中必然有一特征值λ１＝１．本征值与本征函数对刻画线性系统的普遍性质和演化规律有着重要意义．它是所有线性体系中最根本的特点．如果能得到线性体系对应的本征值与本征函数，就可以通过线性组合的方法描述或解释这一体系更为普遍的规律．６ 欧拉运动定理的证明和推论欧拉运动定理的论证过程在Ｈ．Ｇｏｌｄｓｔｅｉｎ所著的ＣｌａｓｓｉｃａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ［６］和ＢｅａｔｔｙＭ．Ｆ．所著的Ｐｒｉｎ ｃｉｐｌｅｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ：Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ中都有着详细的描述．两本书巧妙利用矩阵和线性代数理论证明了欧拉定理，而我们的证明过程也借鉴了其中的思想．设旋转矩阵为Ｒ，欧拉定理中所描述的轴线为ｐ，则有：Ｒｐ＝ｐ．根据上一节中内容，若需要证明旋转过程中存在始终不变的轴线ｐ，则等价于证明矩阵Ｒ具有特征值λ１＝＋１．容易证明旋转矩阵Ｒ为正交矩阵，所以由ＲＴＲ＝ＲＲＴ＝Ｅ，可得：（Ｒ－Ｅ）ＲＴ＝Ｅ－ＲＴ（１０）｜Ｒ－Ｅ｜｜ＲＴ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜（１１）设旋转前后两组正交基的基点重合于刚体的定点，且初始基为标准正交基．则可以得出初始旋转矩阵为三阶单位阵Ｅ．因此，根据矩阵乘法，后续的旋转矩阵的行列式的值｜Ｒ｜和｜ＲＴ｜仍为＋１．由式（１１）可得｜Ｒ－Ｅ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜＝｜Ｅ－ＲＴ｜Ｔ＝｜Ｅ－Ｒ｜（１２）因此，有｜Ｒ－Ｅ｜＝｜Ｅ－Ｒ｜＝｜－１（Ｒ－Ｅ）｜（１３）而｜－１（Ｒ－Ｅ）｜＝（－１）ｎ｜Ｒ－Ｅ｜（１４）其中ｎ为矩阵维数，也是空间维数．所以得到｜Ｒ－Ｅ｜＝（－１）ｎ｜Ｒ－Ｅ｜（１５）刚体所处为三维空间，ｎ＝３，所以｜Ｒ－Ｅ｜＝－｜Ｒ－Ｅ｜＝０（１６）最终得出｜Ｒ－Ｅ｜＝０，即矩阵Ｒ至少有一个特征值λ１＝＋１，欧拉运动定理得证．需要多谈两个问题：其一［１］，如果刚体所处空间不为奇数维度，而是偶数维度，则得不到｜Ｒ－Ｅ｜＝０的结论，也就是说欧拉运动定理在二维、四维等偶数维空间失效．所以，平面内不存在欧拉定理，因为当坐标系转动时，任何位于平面内的矢量均会发生改变，唯有沿转轴方向的矢量不发生改变，但此时它与平面垂直，并不在平面内．这是一个相当有意思的推论，这意味着我们所处的三维空间并不是随便确定的．其二，是旋转矩阵Ｒ是否还存在别的特征值？答案是肯定的．利用矩阵的久期方程：｜Ｒ－λＥ｜＝０（１７）可以发现，这是一个关于λ的三次方程．高斯的代数基本定理指出，该一元三次方程在复数域C 中必然存在三个根．在文献［７］中，我们可以根据矩阵的迹ｔｒ（Ｒ）求得另外两个特征值分别为λ２，３＝ｅ±ｉΩ（１８）也就是说，旋转矩阵的另外两个复特征值的辐角，恰好为欧拉定理中绕固定轴线ｐ的旋转角Ω．这里给出两个特殊情况：１）λ１，２，３＝＋１：此时Ω＝０，意味着刚体保持了初始时刻的状态，为平凡解．２）λ１＝＋１；λ２，３＝－１：此时Ω＝π，意味着刚体绕轴转过了１８０°，刚体任意两点之间的矢量ｐ′都做了关于ｐ的空间坐标反演操作．而沙勒定理是欧拉定理的一个直接推论．该定理的证明如下．刚体的一般运动可以分解为刚体中某一点的运第５期 邵瀚雍：刚体一般运动的描述６５ 动并叠加上刚体对该点的定点运动．而根据欧拉运动定理，后一运动可以认为是绕过该点的某一轴线的转动．因此，刚体的一般运动可以分解为某点的运动和绕过该点某轴线的旋转．沙勒定理得证．至此，我们完成了刚体一般运动中沙勒定理的证明，论证了刚体的任意运动都可以分解为某点运动和定轴转动．矩阵语言虽然简练，但不能直观反映物理实质．这里需要寻找一种物理的描述办法刻画刚体的运动，这就是所谓的欧拉角，也是前面所述的３个广义坐标φ、θ、ψ．７ 欧拉角在天体和力学领域里，为了完备、清晰地刻画刚体运动，分别用了章动角θ、进动角φ和自转角ψ来描述．这些称呼来自陀螺的定点运动，如图１所示．图１ 陀螺定点运动示意图为了便于描述欧拉角的具体意义，可将刚体的定点转动通过坐标轴的旋转，依次分成３个步骤，如图２—图４，这里在每个步骤后面都写上了对应的旋转矩阵Ｒ．每一次的旋转并不是任意的，它们都可以在图１的陀螺运动中找到对应，转动顺序是进动、章动、自转，如下所示．１）绕Ｏｚ０轴进动φ：图２（ａ）→（ｂ）图２ 进动示意图从Ｏｘ０ｙ０ｚ０到Ｏｘ′ｙ′ｚ′的旋转矩阵为Ｒφ＝ｃｏｓφ－ｓｉｎφ０ｓｉｎφｃｏｓφ０００１（１９）２）绕Ｏｘ′轴（节线ＯＮ）章动θ：图３（ａ）→（ｂ）图３ 章动示意图从Ｏｘ′ｙ′ｚ′到Ｏｘ″ｙ″ｚ″的旋转矩阵为Ｒθ＝１０００ｃｏｓθ－ｓｉｎθ０ｓｉｎθｃｏｓθ（２０）３）绕Ｏｚ″轴自转ψ：图４（ａ）→（ｂ）图４ 自动示意图从Ｏｘ″ｙ″ｚ″到Ｏｘｙｚ的旋转矩阵为Ｒψ＝ｃｏｓψ－ｓｉｎψ０ｓｉｎψｃｏｓψ０００１（２１）经过上面的三次旋转变换，可以得到描述刚体的任意旋转的总变换矩阵：Ｒ ＝ＲψＲθＲφ（２２）由前面的结论可知，所有的变换矩阵都是正交矩阵，均由变换前后的两组基底相乘而来（此处为一组基的转置和另一组基之间的矩阵乘法）．在前文中，我们提到过刚体的定点运动可以由一个旋转矩阵Ｒ来描述，矩阵的特征值λ２，３＝ｅ±ｉΩ，其中Ω为绕该轴的转角．那么，我们现在找到了一６６ 大 学 物 理 第４０卷种物理的语言，可以将Ω对应的总角速度ω分解为刚体的章动、进动和自转．根据图２—图４中的转动过程，三个欧拉角的角速度方向分别为：φ 沿实验室系ｚ０轴，θ 沿节线ＯＮ，ψ 沿本体系ｚ轴，分解如下式：ω＝φ ｋ０＋θ ｉ′＋ψ ｋ（２３）将不同的角速度对应的基矢利用旋转矩阵得到的函数关系展开化简，可以得到如下的结论：ω在实验室系的坐标轴投影为ω０ｘ＝ψ ｓｉｎθｓｉｎφ＋θｃｏｓφω０ｙ＝ψ ｓｉｎθｃｏｓφ＋θｓｉｎφω０ｚ＝ψｃｏｓθ＋φ（２４）ω在本体系的坐标轴投影为ωｘ＝φ ｓｉｎθｓｉｎψ＋θ ｃｏｓψωｙ＝φ ｓｉｎθｃｏｓψ－θ ｓｉｎψωｚ＝ψ＋φ ｃｏｓθ（２５）这样，我们得到了刚体定点转动中绕某一轴线旋转的角速度ω的实际物理意义，即可以把这一定轴转动对应的转角Ω分解到３个有意义的欧拉角（也就是φ、θ、ψ）上去．不过，需要强调的是，在导出欧拉角的时候，所经历的三次连续旋转的转轴的选取顺序其实存在着随意性．只要每次选定的旋转轴不与上一次相同，便可以任意选取．因此，在右手系中我们有３×２×２＝１２种不同的旋转方法，这称为欧拉角的顺规．大多数的理论力学教材所采用的是ｘ顺规，即第二次旋转绕ｘ轴（前文中的节线ＯＮ），而多数的量子物理、核物理的教材所采用的是ｙ顺规，即第二次旋转绕ｙ轴．在工程中，为了弥补前两种顺规在变换前后的坐标系区分程度低的缺点，常采用第三种常见顺规：ｘｙｚ顺规［２］，这样得到的３个角就分别是飞机的偏航角（Ｙａｗ）、俯仰角（Ｐｉｔｃｈ）和滚动角（Ｒｏｌｌ）．８ 总结在本文中，我们介绍了正交矩阵在描述刚体运动的优越性，并将之应用到刚体的旋转运动中，随后利用旋转矩阵证明了刚体运动的沙勒定理，这意味着复杂的刚体一般运动可以由定轴转动和点的运动来描述．之后，我们从物理给出了刚体定点运动的图像，并用欧拉角来描述这样的运动．刚体的运动学在数学上和物理上都全部得以描述．参考文献：［１］ 秦敢，向守平．力学与理论力学（下册）［Ｍ］．北京：科学出版社，２０１７：１３４ １３５．［２］ ＢｅａｔｔｙＪｒＭＦ．ＰｒｉｎｃｉｐｌｅｓｏｆＥｎｇｉｎｅｅｒｉｎｇＭｅｃｈａｎｉｃｓ：Ｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ—ＴｈｅＧｅｏｍｅｔｒｙｏｆＭｏｔｉｏｎ［Ｍ］．ＳｐｒｉｎｇｅｒＳｃｉｅｎｃｅ＆ＢｕｓｉｎｅｓｓＭｅｄｉａ，２０１３．［３］ 同济大学数学系．工程数学线性代数［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２０１４：１１８ １１９．［４］ 姚慕生，吴泉水，谢启鸿．高等代数学［Ｍ］．上海：复旦大学出版社，２００３：２０２．［５］ 杨福家．原子物理学［Ｍ］．北京：高等教育出版社，２００８：１２５ １２６．［６］ ＧｏｌｄｓｔｅｉｎＨ，ＰｏｏｌｅＣ，ＳａｆｋｏＪ．ＣｌａｓｓｉｃａｌＭｅｃｈａｎｉｃｓ［Ｍ］．２００２．［７］ 毛文炜．刚体定点转动的欧拉定理［Ｊ］．大学物理，１９８８，１（４）：１５．Ｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓ ｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎＳＨＡＯＨａｎ ｙｏｎｇ（ＤｅｐａｒｔｍｅｎｔｏｆＰｈｙｓｉｃｓ，ＢｅｉｊｉｎｇＮｏｒｍａｌＵｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｂｅｉｊｉｎｇ１００８７５，Ｃｈｉｎａ）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｉｓｔｈｅｍｏｓｔｃｏｍｐｌｉｃａｔｅｄｔｙｐｅｏｆｍｏｔｉｏｎｉｎｒｉｇｉｄｂｏｄｙｋｉｎｅｍａｔｉｃｓ，ａｎｄｉｔｓｓｏｌｕｔｉｏｎｕｓｕａｌｌｙｒｅｑｕｉｒｅｓｔｈｅａｉｄｏｆＥｕｌｅｒ＇ｓｔｈｅｏｒｅｍｏｒＣｈａｓｌｅｓ ｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｒｏｕｇｈｔｈｅｓｅｔｗｏｔｈｅｏｒｅｍｓ，ｗｅｃａｎｄｅｃｏｍｐｏｓｅｔｈｅｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙｉｎｔｏｓｉｍｐｌｅｒｆｉｘｅｄ－ａｘｉｓｒｏｔａｔｉｏｎａｎｄｔｒａｎｓｌａｔｉｏｎ．Ｔｈｉｓｐａｐｅｒｍａｉｎｌｙｕｓｅｓｔｈｅｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘｉｎｔｈｅａｌｇｅｂｒａｔｈｅｏｒｙｔｏｄｅｓｃｒｉｂｅｔｈｅｍｏｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙ，ａｎｄａｎａｌｙｚｅｓｔｈｅｅｉｇｅｎｐｒｏｂ ｌｅｍｓｏｆｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔｒｏｔａｔｉｏｎ，ａｎｄｐｒｏｖｅｓＥｕｌｅｒ ｓｔｈｅｏｒｅｍ．Ｔｈｅｎｉｔｄｅｃｏｍｐｏｓｅｓｔｈｅｆｉｘｅｄ－ｐｏｉｎｔｒｏｔａｔｉｏｎｏｆａｒｉｇｉｄｂｏｄｙ．Ｐｈｙｓｉｃａｌｉｍａｇｅｓａｎｄｄｅｒｉｖａｔｉｏｎｃｏｎｃｌｕｓｉｏｎｓａｒｅｇｉｖｅｎ，ａｎｄａｓｉｍｐｌｅｄｅｓｃｒｉｐｔｉｏｎｏｆｔｈｅｃｏｍｐｌｅｘｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎｏｆｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓｉｓｃｏｍｐｌｅｔｅｄ．Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｒｉｇｉｄｂｏｄｉｅｓｇｅｎｅｒａｌｍｏｔｉｏｎ；ｏｒｔｈｏｇｏｎａｌｍａｔｒｉｘ；Ｃｈａｓｌｅｓ ｔｈｅｏｒｅｍ；ＥｕｌｅｒＡｎｇｌｅｓ。
第八章 刚体的基本运动
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第八章 刚体的基本运动
荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。 例8-1 荡木用两条等长的钢索平行吊起，如图所示。钢索长 为 长 l， 长 度 单 位 为 m。 当 荡 木 摆 动 时 钢 索 的 摆 动 规 律 ， 。 π 为时间，单位为s；转角φ 为 ϕ =ϕ0 sin t ，其中 t 为时间，单位为 ；转角 0的单位为 4 rad，试求当 和t=2 s时，荡木的中点 的速度和加速度。 的速度和加速度。 ，试求当t=0和 时 荡木的中点M的速度和加速度
∴aτ =ε × r
∴a n =ω × v
a n =ω × v
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第八章 刚体的基本运动
三、定轴轮系的传动比 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 在实际工程中，不同机器的工作转速往往是不一样的， 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。 故需要利用轮系的传动来提高或降低机器转速。常用的有 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 带传动和齿轮传动。一般将主动轮转速与从动轮转速之比， 表示， 用i表示，即 表示 n主 ω主 i= = n从 ω 从 1．带传动 当主动轮Ⅰ转动时， 当主动轮Ⅰ转动时，利用胶带与带轮轮缘间的摩擦带动 从动轮Ⅱ转动。 从动轮Ⅱ转动。 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度， 不考虑胶带由于拉力引起的变形及胶带的厚度，为此在 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等， 同一瞬时胶带上各点速度大小应相等，即v1 = v = v2。若胶带 与带轮间没有滑动， 与带轮间没有滑动，则
第七章 刚体的基本运动
第二节 刚体绕定轴转动
一. 转动方程
(1)转角 Ⅰ和Ⅱ夹角 ,单位弧度(rad)
(2)转动方程 =f(t)
(3) 的正、负规定
对着z 轴正向看
逆时针为正 顺时针为负
第二节 刚体绕定轴转动
二、角速度
⑴ 平均角速度
t
⑵ 角速度（瞬时）:表示刚
体转动快慢和转动方向的物
理量。
刚体平动→点的运动
第二节 刚体绕定轴转动
1.定义：当刚体运动时 ，刚体内（刚体外）有一 条直线始终保持不动。 2.刚体定轴转动的特点
（1) 始终保持不动的直线称为转轴； （2）其余各点都在垂直于转轴的平面 上以轴上的一点为圆心做圆周运动。
定轴转动实例：电机的转子、机床的主轴、变速箱中 的齿轮、绕固定铰链开关的门窗等！
转动 刚体上任一点的速度分布：
第三节 定轴转动刚体上点的速度和加速度
二.定轴转动刚体上点的加速度
点的加速度包括切向加速度和法向加速度！
⒈ 切向加速度
a
dv dt
d dt
(R)
d
dt
R
R
垂直转动半径，并指向刚体转动的一方。
⒉法向加速度
an
v2 R
(R)2
R
R 2
始终指向转轴O
⒊ 全加速度
⑴ 大小 ： a a 2 an2 R 2 4
⑵
方向 ：
tg
| a an
|
R| | R 2
| | 2
转动刚体内任一点的切向加速度的大小，等于该点的 转动半径与刚体角加速度的乘积，方向沿轨迹的切线 （垂直于转动半径的方向），指向与ε的转向一致。
刚体的运动方程
(欧勒运动学方程)
若：已知 ω 1 , ω 2 , ω 3
& & & 则：计算 ϕ , ψ , θ
讨论：对于对称陀螺，两个主轴可在平面 x1 x 2 上任意 选取，则：取 ox1 沿oN方向 ⇒
& ψ =0& 于是有： ω Nhomakorabea = θ
& & & ω 2 = φ sin θ ω 3 = φ sin θ + ψ
又
rc
∑m r = ∑m
a a a
a a
=0
⇒ 则
∑m r
a
a a
=0
d & 0 + ∑ (ra × ma ra ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
⇒
d & ∑ (ra × mara ) = ∑ ra × Fa 外 dt a a
令
& L( o ) = ∑ ra × ma ra
a
M ( o ) = ∑ ra × Fae
ϕ ：刚体绕固定轴oz转过的角度——进动角； & ϕ ：进动角速度——沿oz方向
& ψ
ψ ：刚体绕 ox3 转过的角度——自转角；
：自转角速度——沿 ox3 方向。
ox θ ： 3 和oz间的夹角——章动角； θ& ：章动角速度——沿oN方向。
1． & 在 x1 x 2平面， 在 θ 由图：
x1 , x 2 , x3 的分量 θ&1 , θ&2 , θ&3 。
dω d ' ω d 'ω = + ω×ω = [ ] dt dt dt
⇒
dv 0 & = w + a + 2ω × v + ω × r + ω × (ω × r ) dt
第五章刚体的运动
ω θ
=[3gsinθ/(2l)]dθ
θ
p O N
ωdω= 0 [3gsinθ/(2l)]dθ 0 ω=[3g(1–cosθ)/l]1/2
例题 一根轻绳跨过一个半径为r，质量为M的 定滑轮，绳的两端分别系有质量为m1和m2的物 体 ，如图所示。假设绳不能伸长，并忽略轴的 摩擦，绳与滑轮也无相对滑动。求：定滑轮转 动的角加速度和绳的张力。
L
O
·
*质点作匀速率圆周运动时， 对圆心的角动量的大小为 v R L Rmv m 方向圆平面不变。
*同一质点的同一运动，如果选取的固定点不同， 其角动量也会不同。
锥摆
O
L 0 ro m m v
Lo ' r mv
L 0 lm v
方向变化
L o ' lm v sin
②积分形式：
其中：
t2 t1
t2 t1
M d t L 2 L1
M d t 称冲量矩
—力矩对时间的积累作用
例题 锥摆的角动量
r ①对O点： om T 0 rom m g l sin （ mg ）
锥摆
O
T l
m
v mg
解: m1, m2 及定滑轮切向受力如 图, 以运动方向为坐标正向. T1–m1g=m1a1 m2g–T2=m2a2
T1 m1 T1
T2
T2 m2
T2R2–T1R1=Jβ
β=a1/R1=a2/R2 J=M1R1
2/2+M 2R2 2/2
m1g
m2g
2(m2R2–m1R1)g 解得 β= 2m1R12+2m2R22+M1R12+M2R22
刚体的基本运动
三、刚体平面运动的运动方程 刚 体 平 面 运 动 建立如图的静坐标系， 建立如图的静坐标系， 基点。 点称为基点 将 O′点称为基点。 当刚体作平面运动时， 当刚体作平面运动时， xO′，yO′ 和 均随时间连续变 化，它们均为时间的单值连 续函数， 续函数，即 x = f (t ) (t
1 O′ yO′ = f 2 (t ) = f 3 (t )
O
vO
O
ω
A B
O
ω
O1
二、刚体平面运动的简化 刚 体 平 面 运 动 如图所示， 如图所示，刚体作平面 运动时， 运动时，刚体上所有与空间 某固定平面距离相等的点所 构成的平面图形就保持在它 自身所在的平面内运动。 自身所在的平面内运动。
A1
π
A
S
经分析可得如下结 论：
π0
A2
刚体的平面运动可以简化为平面图形S 刚体的平面运动可以简化为平面图形 在其自身所在的平面内运动。 在其自身所在的平面内运动。
静 平 面 动
z
= (t )
平 面
这就是刚体的转动方程。 开门 这就是刚体的转动方程。(开门 转动方程 开门)
刚体上任意一点的轨迹都为圆。
O
二、角速度、角加速度 角速度、
刚体绕定轴转动的角速度等于其位置角对时 8.2 间的一阶导数，用ω 表示，即 间的一阶导数， 表示，
刚 体 的 定
d ω= = dt
绝对运动中,动点的速度与加速度称为绝对速度 va 与绝对加速度
aa
相对运动中,动点的速度和加速度称为相对速度 vr 与相对加速度 ar 牵连运动中,牵连点的速度和加速度称为牵连速度 ve与牵连加速度 ae
牵连点：在任意瞬时，动坐标系中与动点相重合的点，也就是 牵连点 设想将该动点固结在动坐标系上，而随着动坐标系一起运动时 该点叫牵连点。 四．动点的选择原则： 动点的选择原则： 一般选择主动件与从动件的连接点，它是对两个坐标系都有 运动的点。 五．动系的选择原则： 动系的选择原则 动点对动系有相对运动，且相对运动的轨迹是已知的， 或者能直接看出的。
第十章刚体的定点运动及一般运动_理论力学
章动角 等于或近似于常数， 且进动角速度
动称为规则进动。用欧拉角描述规则进动十分方便。 §10-4 刚体绕相交轴转动的合成 刚体绕相交轴转动的合成运动是绕定点运动。
1.
刚体绕两相交轴转动之合成
图 10-7 所示为一两自由度陀 转动， 转子相对于框架绕 CD 轴以 转动， 两轴交点 O 固
螺， 框架 ABCD 绕定轴 Az 以
107角加速度见图106所以108规则进动欧拉角的实际重要性在于有许多力学系统其刚体的运动学方程式中章动角等于或近似于常数且进动角速度和自转角速度等于或近似于常数这种运动称为规则进动
第十章 刚体的定点运动及一般运动 1. 刚体绕固定点运动时，具有三个自由度（见图 10-1）用欧拉角描述其在空间的方位。
角→x'y'z'，形成如图 10-3 所示之欧拉角。 四轴共面，且与 Oz' 正交。
3.
刚 体 绕 定 点 运 动 方 程 式
（10-1） 是时间的单值连续函数。 由式（10-1）可见，定点运动一般具有三个自由度。 角速度矢量 ， 和 如图 10-4 所示。则 （10-2） 可见，定点运动的绝对角速度是一个变矢量，即
A 点的向轴加速度为
最后得 A 点的加速度为
矢量 aA 在 Oy1z1 平面内，且与 Oy1 轴的夹角为
2、 以上是利用瞬时转动轴及瞬时角速度方法求解。下面利用点的合成运动的方法求 A 点的 速度及加速度。 作动坐标系 固结在轴 OO1 上，则牵连运动即为刚体绕 Oz 轴以公转角速度的
转动，A 点相对于动坐标系的速度可由刚体自转角速度决定。 由于公转角速度 和瞬时转动轴位置 OC 已知，不难求出自转角速度 为（图 b）
这样， 定点 O 和瞬时速度为零的 C 点连线 OC 就是碾轮的瞬时转动轴。 由碾轮牵连角
理论力学6刚体的基本运动
当刚体作平动时，只须给出刚体内任意一点的运动，就可以 完全确定整个刚体的运动。这样，刚体平动问题就可看为点 的运动问题来处理。 这样，刚体平动问题就可看为点的运动问题来处理。
综上所述，可以得出刚体平动的特点： 1、平动刚体上的各点具有形状相同的运动轨迹。 2、平动刚体上的各点在某一瞬时具有相同的速度和加速度。 3、刚体平动时的运动分析可以简化为其上任意一点(一般取为 质心)的运动分析。������ ������
因此，研究刚体的平动，可以归结为研究刚体内任一点的运 动。
6.1 刚体的平行移动
平动刚体上各点的速度
平动刚体上各点的加速度
6.1 刚体的平行移动
注意：平动刚体内的点，不一定沿直线运动，也不一定保持 在平面内运动，它的轨迹可以是任意的空间曲线。 如果平动刚体内各点的轨迹都是平面曲线或直线，则这些特 殊情形称为平面平动或直线平动。 由上述定理可见：
即：定轴转动刚体内任一点的速度, 等于该点的转动半径与刚体角速度 的乘积。 式中v与ω两者正负相同。故速度是沿着点M的轨迹圆周的切 线，指向转动前进的一方。
6.3 转动刚体内各点的速度和加速度
即：转动刚体内任一点速度的大小等于刚体角速度与该点到轴 线的垂直距离的乘积，它的方向沿圆周的切线而指向转动的一 方。
6.1 刚体的平行移动
平动的实例
夹 板 锤 的 锤 头
6.1 刚体的平行移动
2. 平动的特点
定理：当刚体作平动时，刚体内所有各点的轨迹形状完 全相同，而且在每一瞬时，刚体各点的速度相等，各点 的加速度也相等。 证明：
rA rB BA
◆速度 刚体平动时，刚体内任一线段AB 的长度和方向都保持不变。 因而 x
6.1 刚体的平行移动
刚体的运动
★ 刚体
—
在外力作用下，形状和大小都不发生变化的物体。 （任意两质点间距离保持不变的特殊质点组）
刚体是理想模型。 一、平动和转动 (Translation and rotation)
1. 刚体的平动 连接刚体中任意两点的线 段在运动中始终保持平行。
A B A B
A B
N 2π 2π 186.8
当t 7 s时： 314 (rad / s)， 41.87 (rad / s2 ) （4）
a r 41.87 0.2 8.37 (m / s2 )
an 2 r 3142 0.2 1.97 104 (m / s2 )
N 2
0 t t 2
2
1 2
1250 625( rev ) 2
(2) 0 t 25 78.5(rad / s) (3) v r 25 1 78.5(m / s)
a R 3.14(/ m / s2 )
2） 任一质点运动 , , 均相同，但 v, a 不同；
3） 运动描述仅需一个坐标 .
单位： rad rad s -1
rad s -2
8
四、匀变速转动公式（ = 衡量） 当刚体绕定轴转动的角加速度为恒量时，刚体做 匀变速转动 .
、 本来是矢量，
由于在定轴转动中轴的 方位不变，故只有沿轴 的正负两个方向，可以 用标量代替。
o
转轴
6
三、刚体转动的角速度和角加速度
z
角坐标 (t ) 约定 沿逆时针方向转动 r
(t )
>0 r 沿逆时针方向转动 < 0角Βιβλιοθήκη 移x参考平面 刚体
第4章 刚体的运动
角动量的时间变化率。
非相对论情况d下L ， 转I d动惯量II为常量：
dt dt 所以，经典力学中刚体的转动定理可表示为：
M I
➢当外力矩一定时，转动惯量越大，则角加速度越小。说明 转动惯量I是刚体转动惯性大小的量度。
例题 4-5
设 m1 > m2，定滑轮可看作匀质圆盘，其质量为M 而半径为r 。绳的质量不计且与滑轮无相对滑动，
Li ri pi
对时间求导： dLi
dt
d dt ( ri pi
)
dri dt
pi
ri
dpi dt
vi mivi ri fi ri fi Mi
其中：
fi
dpi dt
Mi ri fi
为第i个质元所受的作用力； 为fi对转轴的力矩。
对整个刚体： dL d
外力矩持续作用一段时间后，刚体的角速度才会改变。
由转动定理： Mdt dL
t2
Mdt
t1
L2dL
L1
L2
L1
I 2
I 1
式中
t2 t1
Mdt
称为合外力矩在
Δt
=
t2-t1内的冲量矩(N·m
·s)。
角动量定理：刚体所受合外力矩的冲量矩等于刚体在同一
时间内角动量的增量。
➢角动量定理对非刚体也成立，此时：
由平行轴定理：
z
I
Ic
Mh 2
1 12
ML2
Mh 2
当h=L/2时，与(1)的情况相同，由上式：
zc h
C
L、M
I 1 ML2 Mh 2 1 ML2 M( 1 L )2 1 ML2
12
12
2
2.5刚体的运动
4. 刚体与地球系统的重力势能
E p mi gzi
i
(V )
zgdm MgzC
刚体与地球系统的重力势能，可以等价于 一个质点与地球系统的重力势能，等价质点 的位置即刚体的质心。
例4 前面用转动定律解过此题，现在用机械能 守恒再解。
lmg 1 2 sin J 0 2 2
5. 自由运动 这是刚体不受任何限制的一种运动，我们 可以把这种运动看成是刚体上某点的运动加 上绕该点的转动的合成运动。通常我们所选 的那个点都是刚体的质心。
2.5.3 定轴转动定理
1. 力对定轴的力矩 对于定轴转动的系 统，与转轴方向平行 的力显然对转动不起 作用。为此，我们总 是将作用于定轴转动 系统上的力分解为与 转轴平行和与转轴垂 直的分力：
3. 定轴转动刚体的动能定理 我们知道，内力做功可以改变质点系的动 能。但对于刚体这个特殊的质点系，内力却 不能改变其动能（自行证明）。
用 M 代表作用于刚体的合外力矩，利用转 动定律则有：
d dA Md J d Jd dt
A
2 1
1 2 1 2 Jd J2 J1 2 2
x
O
例4
X
gdm
一根长为 l 、质量为 m 的均匀细棒，可绕 位于 O 点的水平光滑轴在竖直平面内转动。 初始时棒在水平位置，并且静止，求它由此 下摆 角时的角速度 。 解 系统所受重力矩，前面已有现成结果：
M 1 3 3g cos mgl cos 2 J 2 ml 2l d d dt d
2
2
圆盘：
dr
r
R
M
O
M 1 2 J r 2 2rdr MR R 2 0