欧拉公式推导

欧拉公式推导：

图4.3所示的两端铰支杆件，受轴向压力N 作用而处于中性平衡微弯状态，杆件弯曲后截面中产生了弯矩M 和剪力V ，在轴线任意点上由弯矩产生的横向变形为1y ，由剪力产生的横向变形为2y ，总变形21y y y +=。

y

图4.3 两端铰支的轴心压杆临界状态

设杆件发生弯曲屈曲时截面的临界应力小于材料比例极限p f ，即p f ≤σ（对理想材料取y p f f =）。由材料力学可得：

EI M dz y d -=2

12 由剪力V 产生的轴线转角为：

dz dM GA V GA dz

dy ⋅=⋅==ββγ2 式中 A 、I ——杆件截面面积、惯性矩；

E 、G ——材料的弹性模量、剪切模量； β—— 与截面形状有关的系数。

因为 222

22dz M d GA dz y d ⋅=β 所以 2222122222d y d y d y M d M dz dz dz EI GA dz

β=+=-+⋅ 由 y N M ⋅=得：

2222dz

y d GA N y EI N dz y

d ⋅+⋅-=β

01=⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛-''y EI

N GA N y β 令 ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=GA N EI N

k β12

得常系数线性二阶齐次方程 20y k y ''+=

其通解为：sin cos y A kz B kz =+

由边界条件：;0,0==y z 0=B ，kz A y sin =。再由0,==y l z 得：

0sin =kl A

上式成立的条件是0=A 或0sin =kl ，其中0=A 表示杆件不出现任何变形，与杆件微弯的假设不符。由0sin =kl ，得πn kl =（=n 1，2，3…），取最小值=n 1，得π=kl ，即

2

221N k N l EI GA πβ==⎛⎫- ⎪⎝⎭

由此式解出N ，即为中性平衡的临界力cr N

12222222211Ι11γππβππ⋅+⋅=⋅+⋅=l

ΕΙl ΕGA l ΕΙl ΕΙ

N cr （4.6） 临界状态时杆件截面的平均应力称为临界应力cr σ

12

22211γλπλπσ⋅+⋅==ΕΑΕA N cr cr （4.7）

式中 1γ——单位剪力时杆件的轴线转角，)/(1GA βγ=；

l ——两端铰支杆得长度；

λ——杆件的长细比，i l /=λ；

i ——杆件截面对应于屈曲轴的回转半径，A I i /=。

如果忽略杆件剪切变形的影响（此影响很小）则式（4.6）、（4.7）变为：

22cr E πσλ

= （4.8）

22l EI

N cr π= （4.9）

（4.8）、(4.9)式也称为欧拉公式