第四章 二次型 第三节 正定二次型

第三节 正定二次型
1
复习：
若n元实二次型 f X X T AX ( AT A，
R( A) r ), 通过可逆线性替换X CY , 化为形如
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1

y 0 p r n ,
2 r
的标准型，称其为二次型 f 的规范形.
解
它的顺序主子式
5 f x1 , x2 , x3 的矩阵为 2 4
5 2 2 1
2 1 2
4
4 2 , 5
5
1 0,
2 1 2
5 0,
2 4
2 1 0, 5
故上述二次型是正定的.
判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 2 x1 4 x2 5 x3 4 x1 x3 是否正定. 解 用特征值判别法.
1r
a11 a1r 0, arr
r 1,2, , n.
ar 1
正定矩阵具有以下一些简单性质
1. 设A为正定实对称阵, 则A T , A 1 , A均为正 定矩阵;
2. 若A, B均为n阶正定矩阵, 则A B也是正定 矩阵.
例 判别二次型 2 2 2 f x1 , x2 , x3 5 x1 x2 5 x3 4 x1 x2 8 x1 x3 4 x2 x3 是否正定.
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1

y 0 p r n ,
2 r
矩阵表达式：
的标准型，称其为二次型 f 的规范形.
y1 , y2 ,
Ep ,yn
Er p
y1 y2 0 yn
矩阵充分必要条件是其对角元di 0, i 1, 2,
推论4.3.2
n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A合同于n阶单位矩阵E. 推论4.3.3 n阶实对称矩阵A为正定矩阵充分
必要条件是A的特征值均为正数.
推论4.3.4 若n阶实对称矩阵A为正定矩阵， A 0 .
定义4.3.2
A设A aij 是一个n阶方阵，则称A中形如 Ak a11 a21 ak 1 a12 a22 ak 2 a1k a2 k akk , n）.
2 1 2 2 2 3
试问t取何值时，实二次型f x1 , x2 , x3 为正定二次型.
1 t 1 解 二次型f x1, x2 , x3 的矩阵为 A t 1 2 1 2 5 根据赫尔维茨定理知f 为正定的充分必要条件为
a11 =1 0, a11 a21
i = 0,
, 0,1, 0, , 0 ,
T
有
iT A i aii 0, i 1, 2, , n.
思考题
设A, B分别为m 阶, n阶正定矩阵, 试判定分块 A 矩阵C 0 0 . 是否为正定矩阵 B
百度文库
复习：
惯性定理 任给n元实二次型
f X X T AX ( AT A), 总可以经过 可逆线性替换X CY 化为规范形
f y
2 1
+y y
2 p
2 p 1

y 0 p r n ,
2 r
或
f y1 , y2 ,
且规范形是唯一的.
Ep ,yn
Er p
y1 y2 0 yn
即上述中的p是确定的. 称其为矩阵A的正惯性指数. r-p为矩阵A的负惯性指数.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
定理4.3.4 n元实二次型 f ( X ) X AX 为正定
T
二次型 或对称矩阵A为正定矩阵
充分必要条件是矩阵A的正惯性指数为n.
另一种说法： 实二次型f x Ax为正定的充分
T
必要条件是 : 它的标准形的n个系数全为正.
推论4.3.1 n阶实对角矩阵diag d1 , d 2 ,
, d n 为正定 , n.
例
2
二次型的矩阵为 A 0 2
0 4 0
2 0 , 5
令 A E 0 1 1, 2 4, 3 6.
即知 A 是正定矩阵， 故此二次型为正定二次型.
例
判别二次型 2 f 5 x 2 6 y 4 z 2 4 xy 4 xz 的正定性.
解
5 A 2 f的矩阵为 2
该对角矩阵称为矩阵A的规范形矩阵，由A唯一确定. p称为矩阵A的正惯性指数；
r-p称为矩阵A的负惯性指数；
矩阵A的正惯性指数和负惯性指数的和为矩阵A的秩.
定理4.3.1 任意n阶实对称矩阵都合同于一个 n阶对角矩阵 E p
Er p . 0
定理4.3.2 两个n阶实对称矩阵合同 充分必要条件是它们具有相同的秩和正惯性指数.
2 6 0
2 0 , 4
2 6 26 0,
a11 5 0,
5 a11 a12 2 a 21 a 22
A 80 0, 根据赫尔维茨定理知f 为负定.
例 设 f x1 , x2 , x3 x x 5 x 2tx1 x2 2 x1 x3 4 x2 x3 ,
如果对任何X 0都有f ( X ) 0, 则称 f 为负定二次型, 并称对称矩阵A是负定的.
2 2 2 f x 4 y 16 z 例如三元二次型 为正定二次型
二元二次型
2 2 f x1 3 x2
为负定二次型
注 n阶对称矩阵A为负定矩阵当且仅当A为正定矩阵.
定理4.3.3 可逆的线性替换不改变n元 实二次型的正定性.
的子式为矩阵A的k阶顺序主子式（k 1, 2,
定理4.3.5 （赫尔维茨定理） 对称矩阵 A 为 正定矩阵的充分必要条件是： A 的各阶主子式为正， 即
a11 0,
a11 a21
a12 0, a22
,
a11 a n1
a1n 0; ann
对称矩阵 A 为负定的充分必要条件是：奇数阶主 子式为负，而偶数阶主子式为正，即
定理4.2.3（惯性定理） 任给n元实二次型 f X X T AX ( AT A), 总可以经过可逆 线性替换化为规范形，且规范形是唯一的.
复习：
若n元实二次型 f X X T AX ( AT A，
R( A) r ), 通过可逆线性替换X CY , 化为形如
a12 a22

1 t
0, A t t 1
1
t 1
1 2 0. 5
1 2
4 解得 t 0. 5
2 1 t 0, 即 2 5t 4t 0.
例 证明：n阶正定矩阵的对角元素均为正数.
证明
设A aij 为n阶正定矩阵，则对于非零向量