随机过程第5章(Galton-Waston分支过程)
随机过程马氏过程
5
一 齐次马氏链的遍历性
定义4.1 设齐次马氏链的状态空间为 E={1,2,…}，若对于E中所有的状态 i,j，存在 不依赖于i的常数πj，为其转移概率的极限， 即
lim p ij
n (n)
j,
i, j E
其相应的转移矩阵有
6
P
(n)
n P
P
(2)
P
2
即知其所有的二步转移概率均大于0，由定理 4.1知，此链具有遍历性.
11
再由转移概率与稳态概率满足的方程组得
1 1 1 2 3 0 1 2 2 1 1 2 1 2 0 3 2 2 1 1 0 1 2 3 3 2 2
(n) n
lim p 12
n
(n)
0 1 lim p 22 ,
(n) n
故由定义4.1知，此链不具有遍历性,也不存在 稳态概率。
14
二 齐次马氏链的平稳分布
定义4.2 设{X(n),n≥0}是一齐次马氏链，若存 在实数集合{rj,j∈E}，满足
(1 )
(2)
rj 0
于是由此可推测
(n)
lim P
n
0 0 0
1/ 2 1 0
1/2 0 1
4
因此,一般来说，通常讨论关于齐次马氏 链的n步转移概率的两方面问题，一是其极 限是否存在？二是如果此极限存在，那么 它是否与现在所处状态i无关，在马氏链理 论中，有关这两方面问题的定理，统称为 遍历性定理。
i E
p i ( 0 ) p ij
(1 )
(n)
随机过程
所以状态1是遍历的。状态2,3,4也是遍历的
5马尔科夫过程——Markov链
i,jS={A,B,C,D}({1,2,3,4}) 有: 则 lim P n π
( pijm ) 0
P4 = P2 P2 0.7020 0.2908 0.2536 0.2876
0.8194 P 2 P P 0.1790 0.1480 0.1780
0.02 0.05 0.02 0.70
5 马尔科夫过程——Markov链 由此解得： 1= 0.482 ；2= 0.253 ；3= 0.179 ；4 =0.086 即 ={1, 2, 3, 4}={0.482 ,0.253 ,0.179 ,0.086}； 因此A,B,C,D四种品牌牙膏长期的市场占有率分别为： 48.2%，25.3%，17.9%，8.6%
0.8
2
0.05 0.01 0.9 0.05 0.01 0.05 0.8 0.03
1
0.01
0.08 0.02 0.01
3
0.02 0.01
4
0.7
(1 ( ( f11 f11 ) f112) f11n) p11 p12 p21 p13 p31 1
5 马尔科夫过程——Markov链
定理6：设{Xn,n0}是一马氏链，则{Xn,n0}为平 稳过程的充分必要条件是(0) =(i(0),iS ) 是 平稳分布,即有： (0) = (0) P
定理7：不可约的具有遍历性的Markov链恒有 唯一的平稳分布 且 lim p ( n ) 1
0.1786 0.1787 0.1787 0.1787
0.1787 0.1787 0.1787 0.1787
随机过程_课件---第五章
随机过程_课件---第五章第五章离散参数Markov 链5.1 Markov 链的基本概念1、Markov 链和转移概率矩阵定义5-1考虑只取有限个或可数个值的随机过程{},0,1,2,n X n = 。
把过程所取可能值得全体称为它的状态空间，记之为E ，通常假设{}0,1,2,E= 。
若n X i =就说“过程在时刻n 处于状态i ”，假设每当过程处于状态i ，则在下一个时刻将处于状态j 的概率是固定的ij p ，即对任意时刻n1(|)n n ij P X j X i p +===若对任意状态011,,,(,n 0)n i i i i j -≥ 及任意的有11111001(|,,,,)(|)n n n n n n n P X j X i X i X i X i P X j X i +--+======== 这样的随机过程称为Markov 链。
称矩阵00010201011121012j j i i i ij p p p p p p p p P p p p p ??=是一步转移概率矩阵，简称为转移矩阵。
由ij p 的定义可知，这是一种带有平稳转移概率的Markov 链，也称作时间齐次Markov 链或简称时齐次Markov 链。
且具有，0ij p ≥ , 01ij j p ∞==∑2、例题例5-1（直线上的随机游动）考虑在直线上整数点上运动的粒子，当它处于位置j 时，向右转移到j+1的概率为p ，而向左移动到j-1的概率为q=p-1，又设时刻0时粒子处在原点，即00X =。
于是粒子在时刻n 所处的位置{}n X 就是一个Markov 链，且具有转移概率,1,10,jk p k j p q k j =+??==-其他当12p q ==时，称为简单对称随机游动。
例5-6（排队模型）考虑顾客到服务台排队等候服务，在每个服务周期中只要服务台前有顾客在等待，就要对排队在队前的一位顾客提供服务，若服务台前无顾客时就不实施服务。
随机过程Ch5-连续时间的马尔可夫链
推论：对有限齐次马尔可夫过程，有
qii qij ji
称该马尔可夫过程为保守的。
证： pij (h) 1 1 pii (h) pij (h)
jI
ji
lim1
h0
pii (h) h
lim h0
ji
pij (h) h
qij
ji
即 qii qij 状态空间有限 ji
若状态空间为I 1，2,, N有限，
为的指数变量，而在回到状态0之前，它停留 在状态1的时间是参数为的指数变量。显然该
马氏链是一个齐次马氏链。
其状态转移概率为：
p01h p10 h
h h
0h 0h
由指数分布的无后效性得到。
理由如下：设正常工作为0状态，故障为1状态。
设器件寿命X服从参数为的指数分布。
f
x
ex
,
x0
0, x 0
则器件在0, t 正常工作，即寿命超过t的概率为： PX t exdx et
t
已知器件用了t小时，器件寿命超过t h，
即在t,t h器件不坏的概率为：
p00h PX t h / X t
PX
t h, X
PX t
t
PX PX
t h t
eth eh 1 h 0h
互通：i j i j，j i。 若所有状态都是互通的，则称此马尔可夫链 为不可约的。
定理5.7 设连续时间马尔可夫链是不可 约的，则有下列性质：
(1)若它是正常返的，则极限 lim t
pij (t)
存在
且等于j >0，jI。这里j 是
jq jj kqkj,
j 1
k j
jI
的唯一非负解，此时称{j >0，jI}是该
5随机过程第五章马尔可夫过程
P X nk m j | X n i, X nk l P X nk l | X n i
lS
k m pil n . plj n k
lS
特殊地，在C-K方程中，m=1, 有
P k 1 n P k n P1 n k P k n P n k
5、1 马尔可夫过程定义
2）时间离散 状态连续
3）时间连续 状态离散 泊松过程 更新过程
马尔可夫序列
纯不连续马尔可夫过程 生灭过程 排队服务系统
4）时间状态连续
维纳过程
5、2 马尔可夫链的转移概率及概率分布
设Markov链 X n , n 0 状态空间为S 1．转移概率 (1) 定义： n时刻 X n i k步转移
1
1 0
1/2
2
1/2
对齐次链，有关C-K方程和概率分布可简化
C-K方程
故有 绝对分布
pij
k m
pil plj ,
k m
lS
P
k m
P
k
P
m
Pk Pk , k 0
n j n i 0 . pij
一步转移概率矩阵
P n pij n , i, j S
(4) 0步转移概率 k=0 连续性条件 则
P
0
1, i j pij n ij 0, i j
0
n I
单位矩阵
1,2,3，系统在n时刻的k步转移概率矩阵为 例 状态空间 S
t iS
t t1
t1 ... pit it tn1
随机过程第5章 Brown运动与Ito积分
泛应用于金融工程、物理学、通讯等许多领域。
事实上，在介绍连续时间随机过程遍历性时已
经接触到随机积分，如 X T
=
1 2T
∫−TT
X (t)dt
.
定义5.3 设X={X(t), t∈T}是一随机过程, 若对每个
t∈T，都有
E[ X 2(t)] < ∞,
则称{X(t), t∈T}为二阶矩过程.
由Schwarz不等式可得，二阶矩过程X的均值 函数mX(t)和自协方差函数RX(s,t)都存在. 因此，二 阶矩过程是一个很大的过程类。事实上，宽平稳 过程、Gauss过程、Brown运动都是二阶矩过程。
π |a| t
推论5.1 P{τ a < ∞} = 1.
推论5.2 E[τ a ] = ∞ .
∫ 定理5.2
P{max 0≤s≤t
Bs
≥ a} =
2 +∞ e− y2 2dy， a ≥ 0.
π |a| t
证明：对于任意的a ≥ 0 ，则
0m≤as≤xt Bs ≥ a ≅ {τ a ≤ t}.
§5.2 Brown运动性质
容易证明：Brown运动具有下面性质 性质1 Brown运动的轨道是时间t的连续函数. 性质2 Brown运动是独立增量过程. 定义5.2 设X={Xt, t ≥ 0}是一个可积的随机过
程. 如果对任意的t>s≥0均有E[Xt|Fs]=Xs, 则 称X是一个鞅；如果E[Xt|Fs] ≥ Xs, 则称X是 一个下鞅；E[Xt|Fs] ≤ Xs, 则称X是一个上鞅.
5.3.2 关于Brown运动的积分
设{Wt, -∞<t<∞}是方差参数为σ2的Brown运 动，a和b为两个有限数，f(t)是[a,b]上的连续可
第五章 随机过程中的马尔可夫过程
p(k m) ij
(n)
p(k il
)
(n)
p(m lj
)
(n
k
),
i, j S,
n, k, m 0
l
或
P(km) (n) P(k) (n)P(m) (n k)
证明
2006年9月
p(k ij
m)
(n)
P{X
nk
m
j|
Xn
i}
P{U( X nk l), X nkm j | X n i} l
i
P( X 0 i)P( Xt1 i1 | X 0 i)P( X t2 i2 | X 0 i, X t1 i1)L i
• P( X tn in | X 0 i, X t1 i1, X t2 i2 ,L , X tn1 in1)
P( X 0 i)P( X t1 i1 | X 0 i)P( X t2 i2 | X 0 i)P( X tn in | X tn1 in1)
i
qi0
pt1 ii1
(0)
pt2 i1i2
t1
(t1
)L
p (t ) tn tn1
in1in
n1
i
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
3) 绝对分布
称q(jn) P(Xn j), n 0, j S为马尔可夫链{Xn，n 0}的绝对分布。
2006年9月
陕西师范大学物理学与信息技术学院 ——— 《随机过程》
一种最简单的形式:
P{X (t1) i1, X (t2 ) i2,L , X (tn1) in1, X (tn ) in} P{X (t1) i1}P{X (t2) i2}L P{X (tn ) in}
随机过程课件-c5
⎧1 , i = j lim pij (t ) = ⎨ t →0 ⎩0 , i ≠ j
5 连续时间的马尔可夫链
12
转移速率
5 连续时间的马尔可夫链
13
Q矩阵
若连续时间齐次马尔可夫链具有有限状态空间I={0,1,2,…,n}
λ
λ
26
求其平稳分布。
pij(t)极限存在且与i无关，存在平稳分布
5 连续时间的马尔可夫链
27
或者
此Markov链是不可约的
5 连续时间的马尔可夫链
28
5 连续时间的马尔可夫链
29
5.3 生灭过程
5 连续时间的马尔可夫链
30
Q矩阵
I = {0,1,2,3,...}
⎛ − λ0 ⎜ ⎜ μ1 ⎜ Q=⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎜ ⎝
⎛ − q00 ⎜ ⎜ q10 Q =⎜ ⎜ ⎜ q ⎝ n0 q01 − q11 qn1 q0 n ⎞ ⎟ q1n ⎟ ⎟ ⎟ − qnn ⎟ ⎠
Q= P′ (0)
利用Q可以推出任意时间间隔的转移概率所满足的方程组，从 而求解转移概率。
5 连续时间的马尔可夫链
14
微分方程
P′(t)=QP(t) 定理5.5 (科尔莫戈罗夫向前方程) 在适当的正则条件下有
5 连续时间的马尔可夫链
22
渐近性质
5 连续时间的马尔可夫链
23
5 连续时间的马尔可夫链
24
回顾
转移概率： pij(s,t)= P{X(s+t)=j|X(s)=i} P(s+t)=P(s)P(t) 转移速率 Q= P′ (0) 科尔莫戈罗夫微分方程 向后方程：P′(t)=QP(t) 向前方程：P′(t)=P(t)Q
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第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k kp xEX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p e t g k )( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，k k k EX i g =)0(５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = p q DX =二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = npq DX =泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 222)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21ex p{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。
随机过程第5章(Galton-Waston分支过程)
存在性
对于给定的生育概率函数， Galton-Watson分支过程存在。
唯一性
对于给定的生育概率函数， Galton-Watson分支过程是唯一 的。
灭绝概率
定义
灭绝概率是指种群最终消亡的概率。
计算方法
通过递归方式计算每一代种群数量的概率分布， 最终得到灭绝概率。
应用
灭绝概率在生态学、遗传学等领域有广泛应用， 如评估种群稳定性、预测种群发展趋势等。
计算机科学
在计算机科学中，GaltonWatson分支过程可用于模拟网络 流量、路由协议等。
统计学
在统计学中，Galton-Watson分 支过程可用于估计事件的概率分 布和参数估计。
02
Galton-Watson分支过程的 数学模型
模型建立
01
02
03
定义
初始条件
繁殖规则
Galton-Watson分支过程是一个 离散时间的马尔可夫链，描述了 一代代繁殖的种群数量变化。
01
02
03
无重叠世代
每一代种群与下一代种群 没有重叠，即每一代种群 中的个体不会在下一代中 出现。
无移民和迁出
种群中没有新的个体加入 或离开，即种群数量只受 繁殖和死亡的影响。
独立同分布
每一代种群中个体的繁殖 数量独立且服从相同的概 率分布。
03
Galton-Watson分支过程的 性质与定理
存在性与唯一性
生物多样性研究
通过模拟不同环境下的物种繁殖和灭 绝过程，可以研究生物多样性的形成 和维持机制，为保护生物多样性提供 理论支持。
遗传学中的应用
基因传递模型
Galton-Watson分支过程可以用于描述基因在世代之间的传 递过程，帮助遗传学家理解基因突变和进化的机制。
随机过程课件5
which is the winnings up to time n, then {Zn, n =
0, 1, · · · } is a martingale. – Let N = min{n : Xn = Zn − Zn−1 > 0}, N is a stopping time with respect to {Zn, n = 0, 1, · · · }. – When N = n, it represents that X1 = −1, · · · , Xn−1 = −2n−2, and Xn = 2n−1.
N N n i=1 Xi N i=1 Xi
= E(N )E(Xi).
− nµ, then {Zn, n = 0, 1, · · · } is
E(ZN ) = E
i=1
Xi − N µ
=E
i=1
Xi
− E(N )µ
= E(Z0) = 0. – Hence, E
N i=1 Xi= E(N )E(来自i).nZn =
i=1
[Xi − E(Xi | X1, · · · , Xi−1)] ,
then {Zn, n = 1, 2, · · · } is a martingale.
4
5.1 Martingales • Example: Random Walk Hypothesis (Fama 1970). If a stock market is informationally fully efficient, then the stock price Pt will follow a random walk, that is, Pt = Pt−1 + Xt, where {Xt} is independent across different periods. Let Zt = Pt − E(Pt), then {Zt, t = 1, 2, · · · } is a martingale. • Example: Let X1, X2, · · · be independent random variables with E(Xi) = 1. Let Zn =
应用随机过程_全书
一、随机过程简介随机过程这一学科最早起源于对物理学的研究，如吉布斯（美国物理化学家、数学物理学家）、玻尔兹曼（奥地利物理学家）、庞加莱（法国数学家）等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳(Wiener ，美国数学家，控制论的创始人)、莱维(Levy ，法国数学家)等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫(Markov)研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
一般认为，随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫（Kolmog orov ）和杜布(Doob)奠定的。
第一章 随机过程的基本概念一、随机过程的定义例1：医院登记新生儿性别，0表示男，1表示女，X n 表示第n 次登记的数字，得到一个序列X 1 ， X 2 ， ···，记为{X n ，n=1,2, ···}，则X n 是随机变量，而{X n ，n=1,2, ···}是随机过程。
例2：在地震预报中，若每半年统计一次发生在某区域的地震的最大震级。
令X n 表示第n 次统计所得的值，则X n 是随机变量。
为了预测该区域未来地震的强度，我们就要研究随机过程{X n ，n=1,2, ···}的统计规律性。
例3：一个醉汉在路上行走，以概率p 前进一步，以概率1-p 后退一步（假设步长相同）。
以X(t)记他t 时刻在路上的位置，则{X(t), t ≥0}就是（直线上的）随机游动。
随机过程第五章
显然，绝对分布与初始分布和n步转移概率有如下 关系：
( q(jn ) qi(0) pijn ) (0), n 0, i , j S i
或
q
( n)
q P (0)
( 0) ( n)
4．齐次马尔可夫链
定义 设{ X n , n 0} 是一马尔可夫链，如果其一步转移 概率 pij (n) 恒与起始时刻n无关，记为 pij , 则称
r0 q 0 P 0 0
p0 r q 0 0
0 p r 0 0
0 0 0 0 p 0
0 0 0
0 q r 0 0 qa
0 0 0 p ra
例5.3 设一个坛子中装有m个球，它们或是红色的， 或是黑色的，从坛子中随机的摸出一球，并换入一 个相反颜色的球。设经过n次摸球坛中黑球数为Xn,则 { X n , n 0}是以 S {0,1,, m} 为状态空间的齐次 马尔可夫链，其一步转移概率矩阵为
{ X n , n 0} 在n 时处于状态i的条件下经过k+m步转移
于n+k+m时到达状态j,可以先在n时从状态i出发， 经过k步于n+k时到达某种中间状态l,再在n+k时从状 态l出发经过m步转移于n+k+m时到达最终状态j,而 中间状态l要取遍整个状态空间。
定理 马尔可夫链的k 步转移概率由一步转移概率所 完全确定。
为系统首次到达状态j的时间，简称首达时. 当 {n n 1, X n j} 时，定义Tj
引理2
(1) fij(n) P{Tj n X 0 i} (2) fij P{Tj X 0 i}
(3) ij E[T j X 0 i] n fij( n )
《随机过程》第5章-布朗运动
定
义
性 ������ ������2 − ������ ������1 (������1 < ������2)的概率密度函数为 质
推 广
������ ������; ������2 − ������1 =
1
������−2(������2������−2 ������1)
2������(������2 − ������1)
布朗运动又称维纳过程；
性 • 是具有连续时间参数和连续状态空间的一类随机过程； 质
• 在金融领域的证券市场中（如债券、期权等），有着极其 重要的应用。将布朗运动与股票价格行为联系在一起，进
推 而建立起维纳过程的数学模型是本世纪的一项具有重要意 广 义的金融创新，在现代金融数学中占有重要地位。
中南民族大学经济学院
当������1 > ������2时， ������ ������1, ������2 = ������2������2
推 ∴ ������ ������1, ������2 = ������2 min ������1, ������2 广
∴ ������������������������ ������1, ������2 = ������ ������1, ������2 − ������ ������ ������1 ������ ������ ������2 = ������2 min ������1, ������2
中南民族大学经济学院
5
《随机过程》第5章-布朗运动
1 基本概念
有限维联合分布
背 设*������ ������ , ������ ≥ 0+为标准布朗运动，对∀0 = ������0 < ������1 < ⋯ < ������ ������������ )的联合概率密度函数为
(完整)随机过程总结,推荐文档
第一章随机变量基础1历史上哪些学者对随机过程学科的基础理论做出了突出贡献？答:随机过程整个学科的理论基础是由柯尔莫哥洛夫和杜布奠定的。
这一学科最早源于对物理学的研究，如吉布斯、玻尔兹曼、庞加莱等人对统计力学的研究，及后来爱因斯坦、维纳、莱维等人对布朗运动的开创性工作。
1907年前后，马尔可夫研究了一系列有特定相依性的随机变量，后人称之为马尔可夫链。
1923年维纳给出布朗运动的数学定义，直到今日这一过程仍是重要的研究课题。
随机过程一般理论的研究通常认为开始于20世纪30年代。
1931年，柯尔莫哥洛夫发表了《概率论的解析方法》，1934年A·辛饮发表了《平稳过程的相关理论》，这两篇著作奠定了马尔可夫过程与平稳过程的理论基础。
1953年，杜布出版了名著《随机过程论》，系统且严格地叙述了随机过程基本理论。
2 全概率公式的含义？答：全概率公式的含义就是各种可能发生的情况的概率之和为1。
3 概率空间有哪几个要素，其概念体现了对随机信号什么样的建模思想？答：样本空间、事件集合、概率函数称为概率空间的三要素。
概率函数建立了随机事件与可描述随机事件可能性大小的实数间的对应关系，因此，概率空间是在观测者观测前对随机事件发生的可能性大小进行了量化，其有效性是通过多次观测体现出来的，也即在多次观测中，某个随机事件发生的频率可直接认为与其发生的概率相等，所以，概率空间的建模思想实际是对大量观测中某随机事件发生频率的稳定性的描述。
4 可用哪些概率函数完全描述一个随机变量？答：概率分布函数（cdf）、概率密度函数（pdf）、特征函数（cf）、概率生成函数（gf）。
5 可用哪些数字特征部分描述一个随机变量？答：均值、方差、协方差、相关系数和高阶矩。
6 随机变量与通常意义上的变量有何区别与联系？答：随机变量具有通常意义上的变量的所有性质和特征（即变量特性），还增加了变量取每个值的可能性大小的描述（即概率特性）。
因此，描述或刻画一个随机变量时，还必须要特别考察其概率函数或各阶矩函数。
卢正新《随机过程》第五章 布朗运动与鞅-全
解：B(2) ~ N (0, 2) P{B(2) 0} 0.5，则
PB(t) 0,t 1, 2 PB(1) 0, B(2) 0
PB(1) 0, B(1) B(2) B(1) 0
PB(1) 0, B(2) B(1) B(1)
5
布朗运动定义2：随机过程{B(t)，t≥0}为布朗运动，如果满足： 1）（正态增量）B(t)-B(s)~N(0,t-s) ； 2）（独立增量）B(t)-B(s)独立于过去的状态B(v)，0≤v ≤ s； 3）（轨道连续） {B(t)，t≥0}的轨道是t的连续函数。
注：并未强调B(0)=0，如果B(0)=x，可用B(t)-x进行变换。 定理：设{B(t)，t≥0}是正态过程，轨道连续，B(0)=0，对任意的s， t>0，有EB(t)=0，E[B(s)B(t)]=min(s,t)，则{B(t)，t≥0}为布朗运动， 反之亦然。
2）设Y0=0，{Yn， n≥0}是随机变量序列， E|Yn|<∞， EYn= μn≠0， n≥1， 定义X0=0，则Xn =Y1Y2…Yn/ μ1 μ2… μn是鞅。
n
解：1)E | X n | | Yk | ，n 1, 2 k 1
E X n+1 | Yn Y0 E X n Yn+1 | Yn Y0
6
证： 1）充分性 若B(t),t 0是布朗运动，则其为正态过程。
设0 s t，则：
E B(s)B(t) E B(s)B(t) B(s) B(s) E B(s)B(t) B(s) E B(s)B(s) s
2）必要性，当B(t),t 0为正态过程，且 E B(s)B(t) min(s,t)，则多s,t 0，有 E B(t) B(s) 0; E B(t) B(s)2 EB2(t) EB2(s) 2E B(t)B(s)
《随机过程》PPT课件
主要内容
随机过程的定义
随机过程的分类
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和非平稳随机过程 按照是否具有记忆性分为纯粹随机过程、Markov过程、独 立增量过程 按照一阶变差是否有限分类：若随机过程{t}t≥0的一阶 变差有限，称为有界变差过程。 按照二阶矩是否有限分类：若随机过程的均值和方差都有 限，称为二阶矩过程，例如前面提到的宽平稳过程。 3 按照概率分布特征分类：如Weiner过程，Poission过程等。
随机过程的分类——平稳随机过程
按统计特性是否变化分为平稳随机过程和
非平稳随机过程
统计特性不随时间变化而变化的随机过程，
称为平稳过程，否则，统计特性随时间变化而变化
的随机过程，称为非平稳过程。
平稳过程的严格定义为：对于时间t 的n个
任意的时刻t1,t2,…,tn 和任意实数C，若随机过程
{t }t≥0的分布函数满足
例如：如果有两列时间序列数据表现出一致的 变化趋势（非平稳的），即使它们没有任何有意义 的关系，但进行回归也可表现出较高的可决系数。
在现实经济生活中：
情况往往是实际的时间序列数据是非平稳的， 而且主要的经济变量如消费、收入、价格往往表现 为一致的上升或下降。这样，仍然通过经典的因果 关系模型进行分析，一般不会得到有意义的结果。12
宽平稳的不变性表现在统计平均的一、二阶
矩上，而平稳过程的不变性表现在统计平均的概率
分布上，所以二者不同，并且不能由平稳随机过程
得到宽平稳随机过程。二阶矩存在的平稳随机过程
一定是宽平稳随机过程。
6
§3.1 时间序列的平稳性及其检验
一、问题的引出：非平稳变量与经典回归模型 二、时间序列数据的平稳性 三、平稳性的单位根检验 四、单整、趋势平稳与差分平稳随机过程
第5章高斯随机过程ppt课件
二、高斯随机过程
✓高斯过程是二阶矩过程 E[ X 2 (t)] ✓严格平稳和广义平稳等价
✓相互独立和互不相关等价
✓特征函数
n(v1,v2,
, vn;t1,t2,
, tn )
exp
j
n i1
aivi
1 2
n i1
n
CX
k 1
(ti ,tk )vivk
高斯随机过程
一、多维高斯随机变量 二、高斯随机过程 三、窄带平稳实高斯随机过程 四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和 五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布 六、维纳过程
一、多维高斯随机变量
1、一维分布 x ~ N(a, 2 )
1
(x a)2
f (x)
exp{
}
2
2 2
x
+
F (x) P( X x) f ( )d
2
1
四、随机相位正弦波加窄带平稳高斯随机过程之和
设随机相位正弦波加窄带平稳高斯过程之和为
Y (t) s(t) N(t)
式中 s(t) B cos[0t ] B cos0t cos B sin 0t sin
N(t)为窄带噪声，是一个平稳高斯过程
N (t) An (t) cos[0t n (t)] Nc (t) cos0t Ns (t) sin 0t
并将其称为具有n个自由度的Ｘ2变量，其概率分布为Ｘ2分
布
五、Ｘ2分布及非中心Ｘ2分布
1、Ｘ2分布
Ｘ2的概率密度函数为
f
(s)
1
2
n 2
(
n
)
n 1 s
s2 e 2,s
0
概率论发展史
概率论的发展过程1．概率英文：Probability，意思是某种事物发生的几率与机会。
在数学词典上的定义是“一个给定事件发生的几率，通常是一个由该事件与所有可能事件相除所得到的量”。
概率分理论概率(Theoretical Probability)和动态概率（Dynamical Probability）。
概率论所产生的学科有：统计学（Statistics），积分几何（Integral Geometry），博弈论（Ga me Theory），随机过程（Stochastic Process）和精算数学（Acturial Mathem atics）。
2．理论概率的发展过程(a) 早期的发展历程：概率起源与赌博（Gambling），最初发现它的是Pascal, 在与Fermat 的通信中（1654年）提出了概率的雏形。
Pascal利用概率来证明他的两个问题，而最早在该学科中有所研究的是Huygens，正是Huygens的研究（1657年），从而奠定了概率论今后一百年的发展方向。
（1713年），Jakob Bernoulli在他的Ars Conjectandi中充分证明了Huygens没有完成的理论，也就是后来的“大数定律”；同时De Moivre在他的Doctrine of Chance (1718年) 对Huygens的问题也有研究。
(b) 误差分析加速了概率论的发展：（1722年），Roger Cotes在他的Opera Miscellanea中提出了误差这个概念，但是最后是由Thomas Simpson (1755年)把它充分的论证。
经过研究，正误差和负误差发生的几率相等，在经过多次事件后，误差的极限趋于一个特定的数；同时在他的书中，他给出了极限图和最早的概率曲线。
（1774年），Laplace给出了比较理想的概率曲线公式以及它的性质；同时，Daniel Bernoulli提出了他的“概率最大求积定律”（1778年）。