高考数学一轮复习 2.2函数的基本性质
高考数学一轮复习： 第二章 函数 2.2 函数的基本性质
换元法:若f(x+2)=f(x-2),令x+2=t,则x=t-2,
∴f(t)=f(t-4),∴周期T=4.
例4 (1)(2016江苏泰州模拟)定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x),当-3
≤x<-1时,f(x)=-(x+2)2;当-1≤x<3时,f(x)=x.则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 017)等
在(0,1)上递减;∵2>1,∴y=2x+1在(0,1)上递增.故在区间(0,1)上单调递减 的函数序号是②③.
答案 ②③
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
10
方法 2 函数单调性的应用
函数的单调性有如下几个方面的基本应用:
(1)利用函数的单调性解不等式;
(2)在已知函数单调性的条件下,求参数的取值范围.
例2
已知函数f(x)=
ax (a
(x 0), 3)x
4a(
x
0)
满足对任意x1≠x2,都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,则a的取值范围是
.
x1 x2
2019年5月18日
缘分让我在这里遇见你缘
11
解析
由对任意x1≠x2都有
f (x1) f (x2 ) <0成立,知f(x)是减函数,于是
(5)利用导数判断单调性.
1
例1 给定函数①y= x 2 ,②y=lo g1 (x+1),③y=|x-1|,④y=2x+1,其中在区间(0,
2
1)上单调递减的函数序号是
.
2019年5月18日
新课标高考数学专题复习 §2.2 函数的基本性质
§2.2 函数的基本性质探考情 悟真题 【考情探究】考点内容解读5年考情预测热度考题示例考向关联考点函数的单调性及最值理解函数的单调性,最大(小)值及其几何意义 2017课标全国Ⅰ,9,5分 函数单调性 函数图象的对称性★★★2017课标全国Ⅱ,8,5分 函数单调性 — 2019课标全国Ⅲ,12,5分 函数单调性 函数的奇偶性 函数的奇偶性 了解函数奇偶性的含义,会判断简单函数的奇偶性2018课标全国Ⅲ,16,5分 函数奇偶性 对数运算 ★★☆ 2017课标全国Ⅱ,14,5分 函数奇偶性 求函数值 2019课标全国Ⅱ,6,5分 函数奇偶性 求函数解析式函数的周期性 函数的周期性2018课标全国Ⅱ,12,5分函数周期性—★★☆分析解读本节在高考中多以选择题、填空题的形式出现,分值为5分左右,属于中低档题.函数的奇偶性、周期性、单调性的综合应用是近几年高考的热点,复习时应给予关注.破考点 练考向 【考点集训】考点一 函数的单调性及最值1.(2018陕西汉中第一次检测,3)下列函数在(0,2)上是单调递增函数的是( ) A.y=1x -2B.y=lo g 12(2-x) C.y=(12)x -2D.y=√2-x答案 B2.(2019广东清远期末,7)已知函数f(x)在R 上单调递减,且a=33.1,b=(13)π,c=ln 13,则f(a), f(b), f(c)的大小关系为( ) A. f(a)>f(b)>f(c) B. f(b)>f(c)>f(a) C. f(c)>f(a)>f(b) D. f(c)>f(b)>f(a) 答案 D3.(2020届河南十所名校阶段性测试,10)已知函数f(x)=x(e x -e -x ),若f(2x-1)<f(x+2),则x 的取值范围是( ) A.(-13,3) B.(-∞,-13) C.(3,+∞) D.(-∞,-13)∪(3,+∞) 答案 A考点二 函数的奇偶性1.(2019河北唐山二模,5)已知函数f(x)={x 2-ax,x ≤0,ax 2+x,x >0为奇函数,则a=( )A.-1B.1C.0D.±1答案A2.(2018福建福安一中测试,8)已知f(x)=x 2-3x+2x2+2,若f(a)=13,则f(-a)=()A.13B.-13C.53D.-53答案C3.(2018江西师范大学附属中学4月月考,10)若函数y=f(2x-1)是偶函数,则函数y=f(2x+1)的图象的对称轴是()A.x=-1B.x=0C.x=12D.x=-12答案A考点三函数的周期性1.(2019湖南永州第三次模拟,7)已知f(x)满足∀x∈R,f(x+2)=f(x),且x∈[1,3)时,f(x)=log2x+1,则f(2019)的值为()A.-1B.0C.1D.2答案C2.(2019江西临川第一中学期末,4)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,对任意的实数x,f(x-2)=f(x+2),当x∈(0,2)时,f(x)=-x2,则f(132)=()A.-94B.-14C.14D.94答案D3.(2020届河南安阳模拟,9)定义域为R的奇函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,且f(2)=2018,则f(2018)+f(2016)=()A.2018B.2020C.4034D.2答案A炼技法 提能力 【方法集训】方法1 函数单调性的解题方法1.(2018衡水金卷信息卷(二),4)下列函数既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 3B.y=x 14C.y=|x|D.y=|tan x|答案 C2.(2019湖北武汉4月调研,7)已知a>0且a ≠1,函数f(x)={a x ,x ≥1,ax +a -2,x <1在R 上单调递增,那么实数a 的取值范围是( )A.(1,+∞)B.(0,1)C.(1,2)D.(1,2]答案 D3.(2020届吉林第一中学调研,12)已知函数f(x)是定义在R 上的偶函数,且在[0,+∞)上是增函数,若对任意x ∈[1,+∞),都有f(x+a)≤f(2x-1)恒成立,则实数a 的取值范围是( ) A.[-2,0] B.(-∞,-8] C.[2,+∞) D.(-∞,0] 答案 A方法2 判断函数奇偶性的方法1.(2019辽宁顶级名校联考,5)设函数f(x)=e x -e -x2,则下列结论错误的是( )A.|f(x)|是偶函数B.-f(x)是奇函数C.f(x)·|f(x)|是奇函数D.f(|x|)·f(x)是偶函数答案 D2.(2019江西吉安一模,12)已知函数f(x)=[(ln3)x -1(ln3)x]·x 3,且f(x-2)>0,则实数x 的取值范围是( ) A.(-∞,2) B.(2,+∞) C.(-∞,2)∪(2,+∞) D.(-∞,+∞)答案 C3.(多选题)(2020届山东夏季高考模拟,12)函数f(x)的定义域为R,且f(x+1)与f(x+2)都为奇函数,则( ) A. f(x)为奇函数 B. f(x)为周期函数 C. f(x+3)为奇函数 D. f(x+4)为偶函数答案 ABC方法3 函数性质的综合应用的解题方法1.(2018河南顶级名校测评,5)设f(x)是周期为4的奇函数,当0≤x ≤1时,f(x)=x(1+x),则f (-92)=( ) A.-34B.-14C.14D.34答案 A2.(2018河南顶级名校测评,10)设函数f(x)=lg(1+2|x|)-11+x 4,则使得f(3x-2)>f(x-4)成立的x 的取值范围是( )A.(13,1) B.(-1,32) C.(-∞,32) D.(-∞,-1)∪(32,+∞) 答案 D3.(2019福建龙岩期末,9)设函数f(x)是定义在R 上的奇函数,满足f(x+1)=-f(x-1),若f(-1)>1, f(5)=a 2-2a-4,则实数a 的取值范围是( )A.(-1,3)B.(-∞,-1)∪(3,+∞)C.(-3,1)D.(-∞,-3)∪(1,+∞)答案 A【五年高考】A 组 统一命题·课标卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2019课标全国Ⅲ,12,5分)设f(x)是定义域为R 的偶函数,且在(0,+∞)单调递减,则( ) A. f (log 314)>f(2-32)>f(2-23) B. f (log 314)>f(2-23)>f(2-32) C. f(2-32)>f(2-23)>f (log 314) D. f(2-23)>f(2-32)>f (log 314) 答案 C2.(2017课标全国Ⅰ,9,5分)已知函数f(x)=ln x+ln(2-x),则( ) A. f(x)在(0,2)单调递增 B. f(x)在(0,2)单调递减C.y=f(x)的图象关于直线x=1对称D.y=f(x)的图象关于点(1,0)对称 答案 C考点二 函数的奇偶性1.(2019课标全国Ⅱ,6,5分)设f(x)为奇函数,且当x ≥0时, f(x)=e x -1,则当x<0时, f(x)=( ) A.e -x -1 B.e -x +1 C.-e -x -1 D.-e -x +1答案 D2.(2018课标全国Ⅲ,16,5分)已知函数f(x)=ln(√1+x 2-x)+1, f(a)=4,则f(-a)= . 答案 -23.(2017课标全国Ⅱ,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的奇函数,当x ∈(-∞,0)时, f(x)=2x 3+x 2,则f(2)= . 答案 12考点三 函数的周期性(2018课标全国Ⅱ,12,5分)已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=( ) A.-50 B.0 C.2D.50答案 CB 组 自主命题·省(区、市)卷题组考点一 函数的单调性及最值1.(2019北京,3,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上单调递增的是( ) A.y=x 12 B.y=2-x C.y=lo g 12xD.y=1x答案 A2.(2016北京,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是( ) A.y=11-xB.y=cos xC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案 D考点二 函数的奇偶性1.(2017天津,6,5分)已知奇函数f(x)在R 上是增函数.若a=-f (log 215),b=f(log 24.1),c=f(20.8),则a,b,c 的大小关系为( ) A.a<b<c B.b<a<c C.c<b<a D.c<a<b答案 C2.(2016天津,6,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a 满足f(2|a-1|)>f(-√2),则a 的取值范围是( ) A.(-∞,12)B.(-∞,12)∪(32,+∞)C.(12,32) D.(32,+∞) 答案 C3.(2015广东,3,5分)下列函数中,既不是奇函数,也不是偶函数的是( ) A.y=x+sin 2x B.y=x 2-cos x C.y=2x +12x D.y=x 2+sin x答案 D4.(2015安徽,4,5分)下列函数中,既是偶函数又存在零点的是( ) A.y=ln x B.y=x 2+1 C.y=sin x D.y=cos x答案 D考点三 函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时, f(x)=x 3-1;当-1≤x ≤1时, f(-x)=-f(x);当x>12时, f (x +12)=f (x -12).则f(6)=( ) A.-2B.-1C.0D.2答案 D2.(2017山东,14,5分)已知f(x)是定义在R 上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x ∈[-3,0]时, f(x)=6-x ,则f(919)= . 答案 63.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x ,则f (-52)+f(2)= . 答案 -2C组教师专用题组考点一函数单调性及最值1.(2014课标Ⅰ,5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C2.(2014北京,2,5分)下列函数中,定义域是R且为增函数的是()A.y=e-xB.y=x3C.y=ln xD.y=|x|答案B3.(2014湖南,4,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(-∞,0)上单调递增的是()A.f(x)=1B.f(x)=x2+1C.f(x)=x3D.f(x)=2-xx2答案A4.(2014天津,12,5分)函数f(x)=lg x2的单调递减区间是.答案(-∞,0)考点二函数的奇偶性1.(2015福建,3,5分)下列函数为奇函数的是()A.y=√xB.y=e xC.y=cos xD.y=e x-e-x答案D2.(2014广东,5,5分)下列函数为奇函数的是()A.y=2x-1B.y=x3sin xC.y=2cos x+1D.y=x2+2x2x答案A3.(2014重庆,4,5分)下列函数为偶函数的是()A.f(x)=x-1B.f(x)=x2+xC.f(x)=2x-2-xD.f(x)=2x+2-x答案D4.(2014课标Ⅱ,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案35.(2014湖南,15,5分)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a=.答案-32考点三函数的周期性1.(2014大纲全国,12,5分)奇函数f(x)的定义域为R.若f(x+2)为偶函数,且f(1)=1,则f(8)+f(9)=()A.-2B.-1C.0D.1答案D2.(2013湖北,8,5分)x为实数,[x]表示不超过x的最大整数,则函数f(x)=x-[x]在R上为()A.奇函数B.偶函数C.增函数D.周期函数答案D3.(2014安徽,14,5分)若函数f(x)(x ∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)={x(1-x), 0≤x ≤1,sin πx,1<x ≤2,则f (294)+f (416)= . 答案516 4.(2014四川,13,5分)设f(x)是定义在R 上的周期为2的函数,当x ∈[-1,1)时, f(x)={-4x 2+2,-1≤x <0,x,0≤x <1,则 f (32)= .答案 1【三年模拟】时间:45分钟 分值:65分一、选择题(每小题5分,共30分)1.(2019湖南百所重点名校大联考,10)已知定义在R 上的奇函数f(x)满足当x ≥0时, f(x)=log 2(x+2)+x+b,则|f(x)|>3的解集为( ) A.(-∞,-2)∪(2,+∞) B.(-∞,-4)∪(4,+∞) C.(-2,2) D.(-4,4) 答案 A2.(2019湖南郴州第二次教学质量检测,9)已知f(x)是定义在[2b,1-b]上的偶函数,且在[2b,0]上为增函数,则f(x-1)≤f(2x)的解集为( )A.[-1,23] B.[-1,13] C.[-1,1] D.[13,1]答案 B3.(2018四川德阳测试,10)已知f(x)=x 3,当x ∈[1,2]时,f(x 2-ax)+f(1-x)≤0,则a 的取值范围是( ) A.a ≤1 B.a ≥1 C.a ≥32D.a ≤32答案 C4.(2018安徽宣城第二次调研,11)定义在R 上的奇函数f(x)满足f(x+2)=-f(x),且在[0,1]上是减函数,则有( ) A. f (32)<f (-14)<f (14) B. f (14)<f (-14)<f (32) C. f (32)<f (14)<f (-14) D. f (-14)<f (32)<f (14)答案 C5.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,11)已知函数f(x)={-x 2+2x,x >0,0,x =0,x 2+mx,x <0是奇函数,且在区间[-1,a-2]上单调递增,则实数a 的取值范围是( )A.(1,3]B.[1,3)C.(1,3)D.[1,3]答案 A6.(2019湖南衡阳二模,10)若两函数具有相同的定义域、单调区间、奇偶性、值域,则称这两函数为“亲密函数”.下列三个函数y=2|x|-1,y=x 21+x 2,y=x 22+cos x-1中,与函数f(x)=x 4不是亲密函数的个数为( )A.0B.1C.2D.3答案 B二、填空题(每小题5分,共10分)7.(命题标准样题,11)设f(x)=ln a -x2+x为奇函数,则a= .答案 28.(2019安徽马鞍山一模,13)若函数f(x)=e x -e -x ,则不等式f(2x+1)+f(x-2)>0的解集为 . 答案 (13,+∞)三、解答题(共25分)9.(命题标准样题,19)给出一个满足以下条件的函数f(x),并证明你的结论. ①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线; ②f(x)是偶函数;③f(x)在(0,+∞)上不是单调函数; ④f(x)恰有2个零点.答案 试题考查函数图象、函数的单调性、偶函数的概念与性质、函数零点的概念等数学知识,考查了函数的研究方法,数形结合的思想.试题采用开放式设计,答案不唯一.试题体现了理性思维和数学探究的学科素养,考查了逻辑推理能力、运算求解能力、创新能力,落实了基础性、综合性、创新性的考查要求. 可取f(x)=|x 2-1|.①f(x)的定义域是R,且其图象是一条连续不断的曲线. ②因为f(-x)=f(x),所以f(x)是偶函数.③当0<x<1时, f(x)=1-x 2, f(x)是减函数;当x>1时, f(x)=x 2-1, f(x)是增函数,所以f(x)在(0,+∞)上不是单调函数. ④f(x)=0恰有两个根x 1=-1,x 2=1,因此f(x)恰有2个零点.10.(2020届甘肃甘谷第一中学第一次检测,21)设函数f(x)的定义域是(0,+∞),且对任意正实数x,y,都有f(xy)=f(x)+f(y)恒成立,已知f(2)=1,且x>1时,f(x)>0. (1)求f (12)的值;(2)判断f(x)在(0,+∞)上的单调性并给出证明; (3)解不等式f(2x)>f(8x-6)-1.答案 (1)对于任意x,y ∈R,都有f(xy)=f(x)+f(y),∴当x=y=1时,有f(1)=f(1)+f(1),解得f(1)=0,当x=2,y=12时,有f (2×12)=f(2)+f (12), 即f(2)+f (12)=0,又f(2)=1,∴f (12)=-1. (2)f(x)在(0,+∞)上单调递增,证明如下: 设任意x 1,x 2,且0<x 1<x 2,则f(x 1)+f (x 2x 1)=f(x 2), 即f(x 2)-f(x 1)=f (x 2x 1),∵0<x 1<x 2,∴x 2x 1>1,故f (x 2x 1)>0, 即f(x 2)>f(x 1),故f(x)在(0,+∞)上为增函数. (3)由(1)知,f (12)=-1,∴f(8x-6)-1=f(8x-6)+f (12)=f (8x -62)=f(4x-3), ∴f(2x)>f(4x-3).∵f(x)在定义域(0,+∞)上为增函数,∴{2x >4x -3,4x -3>0,解得34<x<32,∴原不等式的解集为{x |34<x <32}.。
2025版高考数学一轮总复习知识必备第二章函数2.2函数的基本性质第2课时函数的奇偶性与周期性
第2课时函数的奇偶性与周期性课程标准有的放矢1.结合具体函数，了解奇偶性的概念和几何意义.2.结合三角函数，了解周期性的概念和几何意义.必备知识温故知新【教材梳理】1.函数的奇偶性名称偶函数奇函数定义一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数且，那么函数就叫做奇函数图象特点关于轴对称关于原点对称2.函数的周期性一般地，设函数的定义域为，如果存在一个非零常数，使得对每一个都有，且，那么函数就叫做周期函数.非零常数叫做这个函数的周期.3.函数奇偶性的重要性质（1）具有奇偶性函数的定义域关于原点对称，即“定义域关于原点对称”是“一个函数具有奇偶性”的必要不充分条件.（2）为偶函数.（3）若奇函数在处有定义，则0.（4）若既是奇函数，又是偶函数，则它的图象一定在轴上.（5）若函数为奇函数，且在上单调递增（减），则在上单调递增（减）；若函数为偶函数，且在上单调递增（减），则在上单调递减（增）.（6）奇、偶函数的“运算”（共同定义域上）:奇奇奇，偶偶偶，奇×奇偶，偶×偶偶，奇×偶奇.（7）常用的两个等价关系.①为偶函数的图象关于直线对称.②为奇函数的图象关于点对称.常用结论1.函数周期性的几个常用结论（1）周期函数的定义域必定至少一端是无界的.（2）是的周期，则也是的周期.（3）若函数是周期函数，且周期为，则函数也为周期函数，且周期.（4）以下等式中任何一个可推得为的周期;；；.2.常见抽象函数及其原型（1），原型为一次函数.（2）以及，原型为幂函数.（3）以及，原型为指数函数，且.（4）以及，原型为对数函数，且.（5），原型为余弦函数.自主评价牛刀小试1. 判断下列命题是否正确，正确的在括号内画“√”,错误的画“×”.（1）定义在上的函数满足,则是偶函数. （×）（2）偶函数图象不一定过原点，奇函数的图象一定过原点. （×）（3）若函数是偶函数，则函数的图象关于直线对称.（√）（4）函数在定义域上满足，则是周期为的周期函数. （√）（5）偶函数在上单调递增，则在上单调递减. （√）2. 【多选题】下列函数是偶函数的是（AD）A. B.C. D.解：为偶函数，故正确.为奇函数，故错误.的定义域为，不是偶函数，故错误.函数的定义域为，且，所以为偶函数，故正确.故选.3. 已知函数对于任意实数满足条件，若，则（B）A. B. C. D. 2解：由题意，知的周期是4.所以.故选.4. [2023年全国甲卷]若为偶函数，则2．解：（方法一）因为为偶函数，所以，即.则，故，检验知符合题意.故．（方法二）.因为,都是偶函数，所以也为偶函数，故，.故填2.。
2019版高考数学文科一轮复习：2.2 函数的基本性质
答案 B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.
2.(2013北京,3,5分)下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )
A.y= 1 B.y=e-x
x
C.y=-x2+1
D.y=lg|x|
答案
C
A中y= 1x 是奇函数,A不符合题意;B中y=e-x=
答案 D 本题主要考查复合函数的单调性. 由x2-2x-8>0可得x>4或x<-2, 所以x∈(-∞,-2)∪(4,+∞), 令u=x2-2x-8, 则其在x∈(-∞,-2)上单调递减, 在x∈(4,+∞)上单调递增. 又因为y=ln u在u∈(0,+∞)上单调递增, 所以y=ln(x2-2x-8)在x∈(4,+∞)上单调递增.故选D.
高考文数 (北京市专用)
§2.2 函数的基本性质
遇上你是缘分，愿您生活愉
2019/9/13
快，身体健康，学业有成，
1
五年高考
A组 自主命题·北京卷题组
考点一 函数的单调性
1.(2016北京,4,5分,0.90)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是 ( )
1
A.y= 1 x
B.y=cos x C.y=ln(x+1) D.y=2-x
遇上你是缘分，愿您生活愉
2019/9/13
快，身体健康，学业有成，
12
4.(2015课标Ⅱ,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)- 1
1 x
2
,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是
()
A.
1 3
高中数学(理)第2章函数 §2.2函数的基本性质
(x)=
4
x2
2,
x,
1 0
x 0, x 1,
则f
3 2
=
.
答案 (1)C (2)1
解析 (1)由题意可知 f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A, f(-x)·g(-x)=-f(x)·g
(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|
(1)=- 2 .
3
(1)求证: f(x)在R上是减函数; (2)求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值.
解析 (1)证明:∵函数f(x)对于任意x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y), ∴令x=y=0,得f(0)=0. 再令y=-x,得f(-x)=-f(x).
在R上任取x1>x2,则x1-x2>0. 又∵当x>0时, f(x)<0, ∴f(x1-x2)<0, 又f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(-x2)=f(x1-x2). ∴f(x1)<f(x2). 因此f(x)在R上是减函数. (2)∵f(x)在R上是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为f(-3)与f(3). 而f(3)=3f(1)=-2, f(-3)=-f(3)=2. ∴f(x)在[-3,3]上的最大值为2,最小值为-2.
A.
1 2
, 0
,[1,+∞)
B.
,
1 2
,[0,1]
C.
1 2
,1
D.[0,1]
栏目索引
答案 (1)A (2)A
解析
高考数学一轮复习 2.2 函数的性质 2.2.2 系统题型—函数的性质及其应用课件
＋∞)上单调递增，故正确；选项 D 中的函数是奇函数，在 R
上单调递增，故不正确．故选 C. 答案：C
2.[考法二]定义在 R 上的偶函数 f(x)满足 f(x)＝f(x＋2)，且在
[－1,0]上单调递减，设 a＝f( 2)，b＝f(2)，c＝f(3)，则 a，b，
c 的大小关系是
()
A．b<c<a
[答案] －54
(3)函数 y＝3xx－＋21的值域为________． [解析] (分离常数法)y＝3xx－＋21＝3xx－－22＋7＝3＋x－7 2， 因为x－7 2≠0，所以 3＋x－7 2≠3， 所以函数 y＝3xx－＋21的值域为{y|y∈R 且 y≠3}．
[答案] {y|y∈R 且 y≠3}
a>1， 上的最低点，即4－a2>0， a≥4－a2＋2，
[答案] [4,8)
解得 a∈[4,8)．
[方法技巧] 利用函数单调性求参数的策略
(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确 定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数．
(2)需注意若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此 区间的任意子集上也是单调的．
常见的考法有：(1)判断函数的单调性、求单调区间． (2)利用函数的单调性比较大小．(3)解函数不等式．(4)求参 数的取值范围．
考法一 确定函数的单调性及求单调区间
[例 1] (2019·新乡一中月考)函数 y＝log 1 (x2－3x＋2)的单
3
调递增区间是
()
A．(－∞，1) C．(2，＋∞)
[答案] A
[例 2] (2019·广东佛山联考)讨论函数 f(x)＝x2a－x 1(a>0) 在(－1,1)上的单调性．
2018年高考数学一轮复习(讲+练+测)： 专题2.2 函数定义域、值域(讲)
专题2.2 函数定义域、值域【考纲解读】【直击考点】题组一 常识题1．下列函数中，其定义域和值域分别与函数y ＝10lg x的定义域和值域相同的是________．A ．y ＝xB ．y ＝lg xC ．y ＝2xD ．y ＝1x【答案】D 【解析】y ＝10lg x＝x ，定义域与值域均为(0，＋∞)，只有选项D 满足题意．2．已知函数y ＝f (x ＋1)的定义域是[－2，3]，则y ＝f (2x －1)的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 【解析】 由x ∈[－2，3]，得x ＋1∈[－1，4]，由2x －1∈[－1，4]，得x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，52 3．[教材改编] 函数f (x )＝8－xx ＋3的定义域是________． 【答案】(－∞，－3)∪(－3，8]【解析】要使函数有意义，则需8－x ≥0且x ＋3≠0，即x ≤8且x ≠－3，所以其定义域是(－∞，－3)∪(－3，8]． 题组二 常错题4．函数y ＝f (cos x )的定义域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，则函数y ＝f (x )的定义域为________．【答案】 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1【解析】 由于函数y ＝f (cos x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π－π6，2k π＋2π3(k ∈Z )，所以u ＝cos x 的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1，所以函数y ＝f (x )的定义域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，1.5．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x，x ∈[0，1]，92－32x ，x ∈（1，3]，当t ∈[0，1]时，f [f (t )]∈[0，1]，则实数t 的取值范围是______________． 【答案】⎣⎢⎡⎦⎥⎤log 373，1【解析】 因为t ∈[0，1]，所以f (t )＝3t ∈[1，3]，所以f [f (t )]＝f (3t)＝92－32·3t ∈[0，1]，即73≤3t≤3，所以log 373≤t ≤1.6．若函数f (x )＝x －4mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m 的取值范围是________．【答案】⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34. 【解析】函数的定义域为R ，即mx 2＋4mx ＋3≠0恒成立．①当m ＝0时，符合题意；②当m ≠0时，Δ＝(4m )2－4×m ×3<0，即m (4m －3)<0，解得0<m <34.综上所述，实数m 的取值范围是⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.题组三 常考题7．若一系列函数的解析式相同、值域相同，但其定义域不同，则称这些函数为“同族函数”，那么函数解析式为y ＝x 2，值域为{1，4}的“同族函数”共有________个． 【答案】98． 函数f (x )＝lg(x 2＋x －6)的定义域是________． 【答案】{x |x <－3或x >2}【解析】 要使函数有意义，则需x 2＋x －6>0，解得x <－3或x >2.9．设函数f (x )在区间[0，1]上有意义，若存在x ∈R 使函数f (x －a )＋f (x ＋a )有意义，则a 的取值范围为________. 【答案】 [－2，－1].【知识清单】1 函数的定义域1．已知函数解析式,求定义域,其主要依据是使函数的解析式有意义,主要形式有:(1)分式函数,分母不为0；(2)偶次根式函数,被开方数非负数； (3)一次函数、二次函数的这定义域为R ； （4）0x 中的底数不等于0； （5）指数函数x y a =的定义域为R ；（6）对数函数log a y x =的定义域为{}|0x x >； （7）sin ,cos y x y x ==的定义域均为R ；（8）tan y x =的定义域均为|,2x x k k z ππ⎧⎫≠+∈⎨⎬⎩⎭； 2.求抽象函数的定义域:（1）由()y f x =的定义域为D ，求[()]y f g x =的定义域，须解()f x D ∈; （2）由[()]y f g x =的定义域D ，求()y f x =的定义域，只须解()g x 在D 上的值域就是函数()y f x = 的定义域;（3）由[()]y f g x =的定义域D ，求[()]y f h x =的定义域.3.实际问题中的函数的定义域，除了使解析式本身有意义，还要使实际问题有意义. 2 函数的值域 函数值域的求法:(1)利用函数的单调性:若y=f(x)是 [a,b]上的单调增(减)函数,则f(a),f(b)分别是f(x)在区间[a,b]上取得最小(大)值,最大(小)值.(2)利用配方法:形如2(0)y ax bx c a =++≠型,用此种方法,注意自变量x 的范围. (3)利用三角函数的有界性,如sin [1,1],x ∈-cos [1,1]x ∈-.(4)利用“分离常数”法:形如y=ax b cx d ++ 或2ax bx ey cx d++=+ (a,c 至少有一个不为零)的函数,求其值域可用此法.(5)利用换元法:形如y ax b =+,可用此法求其值域. (6)利用基本不等式:(7)导数法:利用导数与函数的连续性求图复杂函数的极值和最值,然后求出值域【考点深度剖析】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起，难度中等．【重点难点突破】考点1 函数的定义域 【1-1】函数y（＋）的定义域为_________．【答案】(－∞，－1)∪(－1，0)．【1-2】函数22-25+1+)cos (=x x log y 的定义域为_________．【答案】33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭【解析】由已知条件，自变量x 需满足22log cos 10250x x +≥⎧⎨-≥⎩得1cos 22,23355x k x k k Z x ππππ⎧≥⇒-+≤≤+∈⎪⎨⎪-≤≤⎩ 所以33x ππ-≤≤故而所求函数定义域为33x x ππ⎧⎫-≤≤⎨⎬⎩⎭.【1-3】设()x x x f -+=22lg，则⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为________．【答案】()()2,11,2 --【解析】由202x x +>-得，()f x 的定义域为{}|22x x -<<.故22,222 2.xx⎧-<<⎪⎪⎨⎪-<<⎪⎩，解得()()4,11,4x ∈--.故⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎭⎫ ⎝⎛x f x f 22的定义域为()()2,11,2 -- 【1-4】若函数f (x )＝ 2x 2＋2ax －a －1的定义域为R ，则a 的取值范围为________． 【答案】[－1,0]【思想方法】(1)已知具体函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)对实际问题：由实际意义及使解析式有意义构成的不等式(组)求解． (3)对抽象函数：①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出；②若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．【温馨提醒】对于含有字母参数的函数定义域，应注意对参数取值的讨论；对于实际问题的定义域一定要使实际问题有意义；而分段函数的定义域是各段区间的并集、各个段上的定义域交集为空集，即各个段的端点处不能重复． 考点2 函数的值域【2-1】求函数y ＝x ＋4x(x <0)的值域．【答案】(－∞，－4]．【解析】∵x <0，∴x ＋4x＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－x －4x ≤－4，当且仅当x ＝－2时等号成立． ∴y ∈(－∞，－4]． ∴函数的值域为(－∞，－4]．【2-2】 求函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域． 【答案】[0,15]．【解析】(配方法)y ＝x 2＋2x ＝(x ＋1)2－1，∵y ＝(x ＋1)2－1在[0,3]上为增函数， ∴0≤y ≤15，即函数y ＝x 2＋2x (x ∈[0,3])的值域为[0,15]． 【2-3】 求函数y ＝1－x21＋x 2的值域．【答案】(－1,1]．【2-4】 求函数f (x )＝x －1－2x .的值域．【答案】1(,]2-∞.【解析】法一：(换元法)令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是1(,]2-∞.法二：(单调性法)容易判断f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以11()22y f ≤=即函数的值域是1(,]2-∞.【2-5】 求函数y ＝x 2－xx 2－x ＋1的值域．【答案】1[,1)3-【思想方法】求函数值域常用的方法(1)配方法，多适用于二次型或可转化为二次型的函数． (2)换元法． (3)基本不等式法． (4)单调性法． (5)分离常数法．【温馨提醒】求函数值域的方法多样化，需结合函数解析式的特点选用恰当的方法【易错试题常警惕】分段函数的参数求值问题，一定要注意自变量的限制条件． 如：已知实数0a ≠，函数()2,12,1x a x f x x a x +<⎧=⎨--≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的值为_______．【分析】当0a >时，11a -<，11a +>，由()()11f a f a -=+得2212a a a a -+=---，解得32a =-，不合题意；当0a <时，11a ->，11a +<，由()()11f a f a -=+得 1222a a a a -+-=++，解得34a =-．所以a 的值为34-．【易错点】没有对a 进行讨论，以为11a -<，11a +>直接代入求解而致误；求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 【练一练】函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2 x ，x >0，4x ，x ≤0，则f (f (－1))的值为________.【答案】－2【解析】∵f (－1)＝4－1＝14，∴f (f (－1))＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫14＝log 2 14＝－2.。
2022版高考数学大一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质1
第二章函数概念与基本初等函数Ⅰ第二讲函数的基本性质练好题·考点自测1.下列说法中正确的个数是() (1）若函数y=f(x）在[1，+∞）上是增函数，则函数的单调递增区间是[1，+∞).(2）对于函数f（x），x∈D,若对任意x1，x2∈D(x1≠x2）,有（x1-x2）［f（x1）-f（x2)］〉0,则函数f（x）在区间D上是增函数。
(3)若函数y=f（x+a)是偶函数,则函数y=f（x）的图象关于直线x=a对称。
（4）若函数y=f(x+b）是奇函数,则函数y=f(x)的图象关于点（b,0)中心对称。
(5)已知函数y=f（x）是定义在R上的偶函数,若f（x）在(-∞,0)上是减函数，则f（x）在(0，+∞)上是增函数。
(6)若T为函数y=f(x）的一个周期，那么nT（n∈Z）也是函数f(x)的周期。
A.3 B。
4 C.5 D。
62。
［2019北京，3,5分]［文］下列函数中,在区间（0,+∞)上单调递增的是(）A。
y=x12 B.y=2-xC.y=lo g12x D.y=1x3.[2019全国卷Ⅱ，6,5分]［文］设f（x)为奇函数,且当x≥0时,f(x)=e x—1，则当x<0时，f（x）=()A .e —x —1B .e -x +1C .—e —x —1 D.—e -x +14.［2020山东，8,5分］若定义在R 的奇函数f (x )在（—∞,0）上单调递减，且f (2)=0，则满足xf （x —1)≥0的x 的取值范围是( )A.［—1，1]∪［3，+∞）B.［-3,-1］∪［0,1] C 。
[—1,0]∪[1，+∞） D 。
［-1,0］∪[1，3］5.［2021大同市调研测试］已知函数f （x ）=ax 3+b sin x +c ln(x +√x2+1)+3的最大值为5,则f （x )的最小值为 ( ）A.—5 B 。
1 C .2 D.36.[2020福州3月质检]已知f (x )是定义在R 上的偶函数,其图象关于点(1,0)对称。
高考数学一轮复习 2.2函数的基本性质课件
b.两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; c.一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 . 5.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这 个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 6.对称性 若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a
(2)令x2-x=1-x2得x=- 1 或x=1.
2
画出函数f(x)图象,如图.
观察图象得增区间为 12和,0[1,+∞).故选A.
1.讨论函数单调性,一定要先确定定义域,然后根据所给函数的结构特征及 要求选择合适的方法求解.最后结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区 间不连续时,不能用并集符合连接. 2.用定义法证明函数的单调性的步骤:取值—作差—变形—确定符号—下 结论. 3.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤: (1)确定定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为 减函数,即“同增异减”.
B. ,[0,1],
1 2
C. 12 ,1 D.[0,1]
答案 (1)A (2)A 解析 (1)y=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;y=2-x= 12为x 减函数,排 除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除 D;y= t和t=x+1均为增函数,所以y= 为x 增1 函数,故选A.
高考数学专题复习-2.2函数的基本性质-高考真题练习(附答案)
2.2函数的基本性质考点一函数的单调性及最值1.(2016北京文,4,5分)下列函数中,在区间(-1,1)上为减函数的是()A.y=11−B.y=cosxC.y=ln(x+1)D.y=2-x答案D选项A中,y=11−=1-(t1)的图象是将y=-1的图象向右平移1个单位得到的,故y=11−在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项B中,y=cosx在(-1,0)上为增函数,在(0,1)上为减函数,不符合题意;选项C 中,y=ln(x+1)的图象是将y=lnx的图象向左平移1个单位得到的,故y=ln(x+1)在(-1,1)上为增函数,不符合题意;选项D符合题意.评析本题考查了基本函数的图象和性质以及图象的变换,属中档题.2.(2015课标Ⅱ文,12,5分)设函数f(x)=ln(1+|x|)-11+2,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的取值范围是(),1 B.-∞C.-13D.-∞∞答案A当x>0时,f(x)=ln(1+x)-11+2,∴f'(x)=11++2(1+2)2>0,∴f(x)在(0,+∞)上为增函数,∵f(-x)=f(x),∴f(x)为偶函数,由f(x)>f(2x-1)得f(|x|)>f(|2x-1|),∴|x|>|2x-1|,即3x2-4x+1<0,解得13<x<1,故选A.3.(2016浙江,7,5分)已知函数f(x)满足:f(x)≥|x|且f(x)≥2x,x∈R.()A.若f(a)≤|b|,则a≤bB.若f(a)≤2b,则a≤bC.若f(a)≥|b|,则a≥bD.若f(a)≥2b,则a≥b答案B依题意得f(a)≥2a,若f(a)≤2b,则2a≤f(a)≤2b,∴2a≤2b,又y=2x是R上的增函数,∴a≤b.故选B.4.(2020课标Ⅲ文,12,5分)已知函数f(x)=sinx+1sin,则()A.f(x)的最小值为2B.f(x)的图象关于y轴对称C.f(x)的图象关于直线x=π对称D.f(x)的图象关于直线x=π2对称答案D对于A,令sinx=t,t∈[-1,0)∪(0,1],则g(t)=t+1,当t∈(0,1]时,g(t)=t+1≥2,当且仅当t=1时,取“=”,故g(t)∈[2,+∞),又∵g(t)=-g(-t),∴g(t)为奇函数,∴g(t)的值域为(-∞,-2]∪[2,+∞),故A错误;对于B,由f(x)≠f(-x),知f(x)不是偶函数,故B错误;对于C,f(2π-x)=sin(2π-x)+1sin(2π-p=-sinx-1sin≠f(x),故C错误;对于D,f(π-x)=sin(π-x)+1sin(π-p=sinx+1sin=f(x),故f(x)的图象关于直线x=π2对称,故D正确.故选D.5.(2021全国甲文,4,5分)下列函数中是增函数的为()A.f(x)=-xB.f(x)3C.f(x)=x2D.f(x)=3答案D解题指导:排除法,利用基本初等函数的性质逐一判断四个选项.解析对于f(x)=-x,由正比例函数的性质可知,f(x)是减函数,故A不符合题意;对于f(x),由指数函数的单调性可知,f(x)是减函数,故B不符合题意;对于f(x)=x2,由二次函数的图象可知,f(x)在(-∞,0)上单调递减,在(0,+∞)上单调递增,故C不符合题意;对于f(x)=3=13,由幂函数的性质可知,f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,故选D.方法总结:一次函数y=kx+b(k≠0)单调性的判断:若k>0,则函数在R上单调递增;若k<0,则函数在R上单调递减.指数函数y=a x(a>0且a≠1)单调性的判断:若a>1,则函数在R上单调递增;若0<a<1,则函数在R上单调递减.幂函数y=xα单调性的判断:若α>0,则函数在(0,+∞)上单调递增;若α<0,则函数在(0,+∞)上单调递减.6.(2021全国乙文,8,5分)下列函数中最小值为4的是()A.y=x2+2x+4B.y=|sin xC.y=2x+22-xD.y=ln x+4ln答案C解题指导:对于A,利用配方法或二次函数的单调性求最值,对于B,C,D,利用换元法转化为对勾函数进行判断.解析对于A,y=x2+2x+4=(x+1)2+3≥3,所以它的最小值为3,所以A不符合题意;对于B,设|sin x|=t,则0<t≤1,y=|sin x=+4,t∈(0,1],易知y=t+4在(0,1]上单调递减,故t=1时,y min=1+41=5,所以B不符合题意;对于C,令2x=t(t>0),则y=2x+22-x=t+4,t>0,易知y=t+4在(0,2)上单调递减,在(2,+∞)上单调递增,所以当t=2时,y取最小值,y min=2+42=4,故C符合题意;对于D,令ln x=t,t∈R且t≠0,则y=ln x+4ln=+4,显然t<0时,函数值小于0,不符合题意.故选C.7.(2020新高考Ⅰ,8,5分)若定义在R的奇函数f(x)在(-∞,0)单调递减,且f(2)=0,则满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是() A.[-1,1]∪[3,+∞) B.[-3,-1]∪[0,1]C.[-1,0]∪[1,+∞)D.[-1,0]∪[1,3]答案D∵f(x)是定义在R上的奇函数,∴f(x-1)的图象关于点(1,0)中心对称,又∵f(x)在(-∞,0)上单调递减,∴f(x-1)在(-∞,1)上单调递减,在(1,+∞)上也单调递减,且过(-1,0)和(3,0),f(x-1)的大致图象如图:当-1≤x≤0时,f(x-1)≤0,∴xf(x-1)≥0;当1≤x≤3时,f(x-1)≥0,∴xf(x-1)≥0.综上,满足xf(x-1)≥0的x的取值范围是[-1,0]∪[1,3].故选D.8.(2016北京文,10,5分)函数f(x)=t1(x≥2)的最大值为.答案2解析解法一:∵f'(x)=-1(t1)2,∴x≥2时,f'(x)<0恒成立,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法二:∵f(x)=t1=t1+1t1=1+1t1,∴f(x)的图象是将y=1的图象向右平移1个单位,再向上平移1个单位得到的.∵y=1在[2,+∞)上单调递减,∴f(x)在[2,+∞)上单调递减,故f(x)在[2,+∞)上的最大值为f(2)=2.解法三:由题意可得f(x)=1+1t1.∵x≥2,∴x-1≥1,∴0<1t1≤1,∴1<1+1t1≤2,即1<t1≤2.故f(x)在[2,+∞)上的最大值为2.评析本题考查函数的最值,有多种解法,属中档题.9.(2015浙江文,12,6分)已知函数f(x)=2,x≤1,+6-6,x>1,则f(f(-2))=,f(x)的最小值是.答案-12;26-6解析f(-2)=(-2)2=4,f(f(-2))=f(4)=4+64-6=-12.当x≤1时,f(x)=x2≥0,当x>1时,f(x)=x+6-6≥26-6,当且仅当x=6时,等号成立,又26-6<0,所以f(x)min=26-6.考点二函数的奇偶性1.(2015北京文,3,5分)下列函数中为偶函数的是()A.y=x2sinxB.y=x2cosxC.y=|lnx|D.y=2-x答案B A中函数为奇函数,B中函数为偶函数,C与D中函数均为非奇非偶函数,故选B.2.(2014课标Ⅰ,理3,文5,5分)设函数f(x),g(x)的定义域都为R,且f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,则下列结论中正确的是()A.f(x)g(x)是偶函数B.|f(x)|g(x)是奇函数C.f(x)|g(x)|是奇函数D.|f(x)g(x)|是奇函数答案C由题意可知f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x),对于选项A,f(-x)·g(-x)=-f(x)·g(x),所以f(x)g(x)是奇函数,故A项错误;对于选项B,|f(-x)|g(-x)=|-f(x)|g(x)=|f(x)|g(x),所以|f(x)|g(x)是偶函数,故B 项错误;对于选项C,f(-x)|g(-x)|=-f(x)|g(x)|,所以f(x)|g(x)|是奇函数,故C项正确;对于选项D,|f(-x)g(-x)|=|-f(x)g(x)|=|f(x)g(x)|,所以|f(x)g(x)|是偶函数,故D项错误,选C.评析本题考查函数奇偶性的定义及其应用,考查学生的知识应用能力及逻辑推理论证能力,准确理解函数奇偶性的定义是解决本题的关键.3.(2011课标,理2,文3,5分)下列函数中,既是偶函数又在(0,+∞)单调递增的函数是()A.y=x3B.y=|x|+1C.y=-x2+1D.y=2-|x|答案B y=x3是奇函数,y=-x2+1和y=2-|x|在(0,+∞)上都是减函数,故选B.评析本题考查函数的奇偶性和单调性的判定,属容易题.4.(2021全国乙理,4,5分)设函数f(x)=1−1+,则下列函数中为奇函数的是()A.f(x-1)-1B.f(x-1)+1C.f(x+1)-1D.f(x+1)+1答案B解题指导:思路一:将函数f(x)的解析式分离常数,通过图象变换可得函数图象关于(0,0)对称,此函数即为奇函数;思路二:由函数f(x)的解析式,求出选项中的函数解析式,由函数奇偶性定义来判断.解析解法一:f(x)=-1+2r1,其图象的对称中心为(-1,-1),将y=f(x)的图象沿x轴向右平移1个单位,再沿y 轴向上平移1个单位可得函数f(x-1)+1的图象,关于(0,0)对称,所以函数f(x-1)+1是奇函数,故选B.解法二:选项A,f(x-1)-1=2-2,此函数为非奇非偶函数;选项B,f(x-1)+1=2,此函数为奇函数;选项C,f(x+1)-1=−2K2r2,此函数为非奇非偶函数;选项D,f(x+1)+1=2r2,此函数为非奇非偶函数,故选B.5.(2021全国甲理,12,5分)设函数f(x)的定义域为R,f(x+1)为奇函数,f(x+2)为偶函数,当x∈[1,2]时,f(x)=ax2+b.若f(0)+f(3)=6,则() A.-94 B.−32 C.74 D.52答案D解题指导:利用奇偶性得到f(x+2)=-f(x),将出现的自变量0,3,92对应的函数值转化为[1,2]内自变量对应的函数值,进而得到a,b以及.解析由题知o−+1)=−o+1),o−p=o+4),从而f(x+4)=-f(x+2),即f(x+2)=-f(x), o−+2)=o+2),即o−p=−o+2),所以6=f(0)+f(3)=-f(2)+[-f(1)]=-(4a+b)-(a+b)=-5a-2b,即5a+2b=-6.①又由题知f(x+1)为奇函数,x∈R,所以f(1)=0,即a+b=0.②由①②得=−2,从而f(x)=-2x2+2,x∈[1,2].所以=2=−==−=−(−2)×+2=52.故选D.一题多解因为f(x+1)与f(x+2)分别为奇函数和偶函数,所以函数f(x)的图象关于点(1,0)和直线x=2对称,且f(x)为周期函数,周期T=4,从而f(0)=-f(2),①f(3)=f(1)=0,②==−由①②结合f(0)+f(3)=6,知a=-2,b=2,所以=−(−2)×+2=52.6.(多选)(2022新高考Ⅰ,12,5分)已知函数f(x)及其导函数f'(x)的定义域均为R,记g(x)=f'(x).若2,g(2+x)均为偶函数,则() A.f(0)=0 B.g−C.f(-1)=f(4)D.g(-1)=g(2)答案BC解法一:若设f(x)=1,则g(x)=0,易知所设f(x)符合题意,此时f(0)=1,故选项A错误.设f(x)=sin(πx),则g(x)=f'(x)=πcos(πx),由于2=sin22π=-cos(2πx),g(2+x)=πcos[π(2+x)]=πcos(2π+πx)=πcos(πx),所以2,g(2+x)均为偶函数,则所设f(x)符合题意.于是g(-1)=πcos(-π)=-π≠g(2),故选项D错误.由于22是奇函数,即2是奇函数,则,注意到g(2+x)是偶函数,于是g−=2=−2=-g−32+22=2=2=2=,故选项B正确.由2=2,取x=54,则f(-1)=f(4),故选项C正确.故选BC.解法二:由题意知2=2⇔=⇔f(-x)=f(3+x)①,取x=1,知f(-1)=f(4),C正确.对①两边求导知-f'(-x)=f'(3+x)⇔f'(-x)=-f'(3+x),即g(-x)=-g(3+x)②,取x=-32,知.g(2+x)=g(2-x)⇔g(-x)=g(x+4)③,由②③知g(x+4)=-g(x+3),即g(x+1)=-g(x),所以g(x+2)=-g(x+1)=g(x).从而g−=2=,B正确.同解法一可判断A,D错误.故选BC.7.(2018课标Ⅲ文,16,5分)已知函数f(x)=ln(1+2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=.答案-2解析本题考查函数的奇偶性.易知f(x)的定义域为R,令g(x)=ln(1+2-x),则g(x)+g(-x)=0,∴g(x)为奇函数,∴f(a)+f(-a)=2,又f(a)=4,∴f(-a)=-2.解题关键观察出函数g(x)=ln(1+2-x)为奇函数.8.(2017课标Ⅱ文,14,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,则f(2)=.答案12解析本题主要考查运用函数的奇偶性求函数值.由题意可知f(2)=-f(-2),∵x∈(-∞,0)时,f(x)=2x3+x2,∴f(2)=-f(-2)=-[2×(-8)+4]=-(-12)=12.9.(2016天津,13,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在区间(-∞,0)上单调递增.若实数a满足f(2|a-1|)>f(-2),则a的取值范围是.答案解析由题意知函数f(x)在(0,+∞)上单调递减.因为f(2|a-1|)>f(-2),f(-2)=f(2),所以f(2|a-1|)>f(2),所以2|a-1|<212,解之得12<a<32.10.(2014课标Ⅱ文,15,5分)偶函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,f(3)=3,则f(-1)=.答案3解析∵函数y=f(x)的图象关于直线x=2对称,∴f(2+x)=f(2-x)对任意x恒成立,令x=1,得f(1)=f(3)=3,∴f(-1)=f(1)=3.11.(2012课标文,16,5分)设函数f(x)=(r1)2+sin2+1的最大值为M,最小值为m,则M+m=.答案2解析f(x)=2+1+2x+sin2+1=1+2rsin2+1,令g(x)=2rsin2+1,则g(x)为奇函数,有g(x)max+g(x)min=0,故M+m=2.12.(2021新高考Ⅰ,13,5分)已知函数f(x)=x3(a·2x-2-x)是偶函数,则a=.答案1解题指导:利用偶函数的定义,取定义域内的特殊值即可求出a的值.解析∵f(x)=x3(a·2x-2-x)为偶函数,∴f(1)=f(-1),∴2a-12=−−2,∴a=1.当a=1时,f(x)=x3(2x-2-x),定义域为R,且满足f(-x)=f(x),即f(x)为偶函数.一题多解y=x3和y=2x-2-x为奇函数,利用结论:奇函数×奇函数=偶函数,可快速判断出a=1.13.(2022全国乙文,16,5分)若f(x)=ln b是奇函数,则a=,b=.答案-12;ln2解析∵f(x)是奇函数,∴f(x)的定义域关于原点对称.由已知得x ≠1,∴x ≠-1,即当x =-1时,,∴a +12=0,∴a =-12,此时f (x )b ,∵f (x )为奇函数且在x =0处有意义,∴f (0)=0,即+=ln 12+b =0,∴b =-ln 12=ln 2.综上可知,a =-12,b =ln 2.考点三函数的周期性1.(2016山东,9,5分)已知函数f(x)的定义域为R.当x<0时,f(x)=x 3-1;当-1≤x≤1时,f(-x)=-f(x);当x>12时,ft 则f(6)=()A.-2B.-1C.0D.2答案D 当x>12时,由ft f(x)=f(x+1),所以f(6)=f(1),而f(1)=-f(-1),f(-1)=(-1)3-1=-2,所以f(6)=f(1)=2,故选D.2.(2021全国甲文,12,5分)设f (x )是定义域为R 的奇函数,且f (1+x )=f (-x ).若f −=13,则()A.-53B.−13C.13D.53答案C 解题指导:求出函数f (x )的周期再进行转化,即可求解.解析由f (1+x )=f (-x ),且f (x )是定义在R 上的奇函数,可得f (1+x )=f (-x )=-f (x ),所以f (2+x )=-f (1+x )=f (x ),所以f (x )的周期为2,则=2=−=13,故选C .知识延伸:若函数f (x )为奇函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为2a ;若函数f (x )为偶函数,且满足f (a +x )=f (-x ),则f (x )图象的对称轴为直线x =2,周期为a.3.(2022新高考Ⅱ,8,5分)已知函数f (x )的定义域为R,且f (x +y )+f (x -y )=f (x )f (y ),f (1)=1,则∑=221i f (k )=()A.-3B.-2C.0D.1答案A 令y =1,得f (x +1)+f (x -1)=f (x )①,故f (x +2)+f (x )=f (x +1)②.由①②得f (x +2)+f (x -1)=0,故f (x +2)=-f (x -1),所以f (x +3)=-f (x ),所以f (x +6)=-f (x +3)=f (x ),所以函数f (x )的周期为6.令x =1,y =0,得f (1)+f (1)=f (1)·f (0),故f (0)=2,同理,令x =1,y =1,得f (2)=-1;令x =2,y =1,得f (3)=-2;令x =3,y =1,得f (4)=-1;令x =4,y =1,得f (5)=1;令x =5,y =1,得f (6)=2.故f (1)+f (2)+f (3)+f (4)+f (5)+f (6)=0,所以∑=221i f (k )=f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-3.故选A .4.(2022全国乙理,12,5分)已知函数f (x ),g (x )的定义域均为R,且f (x )+g (2-x )=5,g (x )-f (x -4)=7.若y =g (x )的图象关于直线x =2对称,g (2)=4,则∑=221i f (k )=()A.-21B.-22C.-23D.-24答案D 由y =g (x )的图象关于直线x =2对称,得g (2+x )=g (2-x ),故g (x )=g (4-x ),由g (x )-f (x -4)=7,得g (2+x )-f (x -2)=7①,又f (x )+g (2-x )=5②,所以由②-①,得f (x )+f (x -2)=-2③,则f (x +2)+f (x )=-2④,所以由④-③,得f (x +2)=f (x -2),即f (x +4)=f (x ),所以函数f (x )是以4为周期的周期函数.对于④,分别令x =1,2,得f (1)+f (3)=-2,f (2)+f (4)=-2,则f (1)+f (2)+f (3)+f (4)=-4.对于①,令x =-1,得g (1)-f (-3)=7,则g (1)-f (1)=7⑦,对于②,令x =1,得f (1)+g (1)=5⑧,由⑦⑧,得f (1)=-1.对于②,令x =0,得f (0)+g (2)=5,又g (2)=4,所以f (0)=1.对于③,令x =2,得f (2)+f (0)=-2,所以f (2)=-3.则∑=221i op =5×(-4)+f (1)+f (2)=-20+(-1)+(-3)=-24.故选D .5.(2016四川,14,5分)已知函数f(x)是定义在R 上的周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=4x,则f +f(1)=.答案-2解析∵f(x)是定义在R 上的奇函数,∴f(x)=-f(-x),又∵f(x)的周期为2,∴f(x+2)=f(x),∴f(x+2)=-f(-x),即f(x+2)+f(-x)=0,令x=-1,得f(1)+f(1)=0,∴f(1)=0.又∵f-412=-2.∴f-6.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,则f(919)=.答案6解析本题考查函数的奇偶性与周期性.由f(x+4)=f(x-2)得f(x+6)=f(x),故f(x)是周期为6的函数.所以f(919)=f(6×153+1)=f(1).因为f(x)为R上的偶函数,所以f(1)=f(-1).又x∈[-3,0]时,f(x)=6-x,所以f(-1)=6-(-1)=6.从而f(1)=6,故f(919)=6.方法小结函数周期性的判断:一般地,若f(x+T)=f(x),则T为函数的一个周期;若f(x+T)=-f(x),则2T为函数的一个周期;若f(x+T)=1op(f(x)≠0),则2T为函数的一个周期.7.(2014安徽文,14,5分)若函数f(x)(x∈R)是周期为4的奇函数,且在[0,2]上的解析式为f(x)=o1-p,0≤x≤1,sinπs1<≤2,则.答案516解析依题意得8=f=-34×14=-316,f8=-sin7π6=sinπ6=12,因此=-316+12=516.。
高考数学一轮复习第二章函数2.2函数的基本性质讲义
§2.2函数的基本性质考纲解读考点内容解读要求五年高考统计常考题型预测热度2013 2014 2015 2016 20171.函数的奇偶性1.函数奇偶性的判断2.函数奇偶性的运用B填空题解答题★★☆2.函数的单调性1.函数单调性的判断2.函数单调性的运用B11题5分填空题解答题★★☆分析解读函数的奇偶性和函数的单调性是函数的最基本性质,是研究函数的基础,江苏高考常会考查函数的单调性及其应用,一般会在解答题中综合考查.五年高考考点一函数的奇偶性1.(2017山东文,14,5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x+4)=f(x-2).若当x∈[-3,0]时, f(x)=6-x,则f(919)= .答案 62.(2017天津理改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为.(用“<”连接)答案b<a<c3.(2016四川,14,5分)若函数f(x)是定义在R上的周期为2的奇函数,当0<x<1时, f(x)=4x,则f+f(2)= .答案-24.(2015课标Ⅰ,13,5分)若函数f(x)=xln(x+)为偶函数,则a= .答案 1教师用书专用(5—6)5.(2014湖南改编,3,5分)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数,且f(x)-g(x)=x3+x2+1,则f(1)+g(1)= .答案 16.(2014湖北改编,10,5分)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时, f(x)=(|x-a2|+|x-2a2|-3a2).若∀x∈R, f(x-1)≤f(x),则实数a的取值范围为.答案考点二函数的单调性1.(2017课标全国Ⅰ理改编,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是.答案[1,3]2.(2017江苏,11,5分)已知函数f(x)=x3-2x+e x-,其中e是自然对数的底数.若f(a-1)+f(2a2)≤0,则实数a的取值范围是.答案3.(2013安徽理改编,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)·x|在区间(0,+∞)内单调递增”的条件.答案充分必要教师用书专用(4)4.(2013四川理改编,10,5分)设函数f(x)=(a∈R,e为自然对数的底数).若曲线y=sin x上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0,则a的取值范围是.答案[1,e]三年模拟A组2016—2018年模拟·基础题组考点一函数的奇偶性1.(2018江苏姜堰中学高三期中)若函数f(x)=(a∈R)为奇函数,则f(a)= .答案02.(2018江苏盐城时杨中学高三月考)函数x=f(x)是定义在R上的偶函数,且在(-∞,0]上是增函数,若f(a)≥f(4),则实数a的取值范围是.答案-4≤a≤43.(苏教必1,三,15,变式)若f(x)=ln(e3x+1)+ax是偶函数,则a= .答案-4.(2017江苏苏州学情调研,7)f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时, f(x)=2x-x2,则f(0)+f(-1)= .答案-15.(2017江苏南京高淳质检,9)已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x∈(0,+∞)时, f(x)=log2x,则不等式f(x)<-1的解集是.答案(-∞,-2)∪6.(2016江苏南通一模,9)若函数f(x)=(a>0,b>0)为奇函数,则f(a+b)的值为.答案-1考点二函数的单调性7.(2018江苏无锡高三基础检测)已知函数f(x)=x2+ax-2的单调递减区间为(-∞,1),则实数a的值为.答案-28.(2017江苏徐州沛县中学质检,7)已知函数f(x)=在区间(-∞,a]上单调递减,在(a,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围是.答案[-1,0]9.(2016江苏南京三模,14)已知a,t为正实数,函数f(x)=x2-2x+a,且对任意的x∈[0,t],都有f(x)∈[-a,a].若对每一个正实数a,记t的最大值为g(a),则函数g(a)的值域为.答案(0,1)∪{2}10.(2018江苏如东高级中学高三学情检测)已知函数f(x)=ax2-2ax+2+b(a≠0)在区间[2,3]上有最大值5,最小值2.(1)求a,b的值;(2)若b<1,g(x)=f(x)-2m x在[2,4]上是单调函数,求实数m的取值范围.解析(1)f(x)=a(x-1)2+2+b-a,①当a>0时,f(x)在[2,3]上为增函数,故所以解得②当a<0时,f(x)在[2,3]上为减函数,故所以解得故或(2)因为b<1,所以a=1,b=0,即f(x)=x2-2x+2,g(x)=x2-2x+2-2m x=x2-(2+2m)x+2.若g(x)在[2,4]上单调,则≤2或≥4.所以2m≤2或2m≥6,即m≤1或m≥log26.故实数m的取值范围是(-∞,1]∪[log26,+∞).B组2016—2018年模拟·提升题组(满分:35分时间:20分钟)一、填空题(每小题5分,共20分)1.(2018江苏无锡高三期中测试)已知函数f(x)=-,则f(a+1)+f(a2-1)>0的解集为.答案(-1,0)2.(2018江苏常熟高三调研试卷)已知奇函数f(x)在(-∞,0)上单调递减,且f(2)=0,则不等式>0的解集是.答案(-2,0)∪(1,2)3.(2017江苏南京学情调研,14)已知f(x),g(x)分别是定义在R上的奇函数和偶函数,且f(x)+g(x)=.若存在x0∈,使得等式af(x0)+g(2x0)=0成立,则实数a的取值范围是.答案4.(2016江苏扬州中学开学考试,13)已知f(x)是定义在[-2,2]上的奇函数,且当x∈(0,2]时,f(x)=2x-1,函数g(x)=x2-2x+m.如果∀x1∈[-2,2],∃x2∈[-2,2],使得g(x2)=f(x1),则实数m的取值范围是.答案[-5,-2]二、解答题(共15分)5.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知函数f(x)=x2-ax+1,g(x)=4x-4·2x-a,其中a∈R.(1)当a=0时,求函数g(x)的值域;(2)若对任意x∈[0,2],均有|f(x)|≤2,求a的取值范围;(3)当a<0时,设h(x)=若h(x)的最小值为-,求实数a的值.解析(1)当a=0时,g(x)=(2x-2)2-4,因为2x>0,所以g(x)≥g(1)=-4,g(x)的值域为[-4,+∞).(2)若x=0,则对任意的a∈R,f(x)=1,符合题意.若x∈(0,2],|f(x)|≤2可化为-2≤x2-ax+1≤2,即x2-1≤ax≤x2+3,所以x-≤a≤x+,因为y=x-在(0,2]上为增函数,所以函数y=x-的最大值为,因为x+≥2=2当且仅当x=,即x=时取“=”,所以a的取值范围是a∈.(3)因为h(x)=所以当x≤a时,h(x)=4x-4·2x-a,令t=2x,t∈(0,2a],记p(t)=t2-t=-,因为2a<,p(t)∈[4a-4,0).当x>a时,h(x)=x2-ax+1,即h(x)=+1-,因为a<0,所以>a,h(x)∈.若4a-4=-,a=-,此时1-=>-,h(x)的最小值为-,符合题意.若1-=-,即a=-3,此时4a-4=-4<-,不符合题意,所以实数a=-.C组2016—2018年模拟·方法题组方法1 函数单调性的判断1.已知f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)>0,f(3)=1.判断g(x)=f(x)+在(0,3]上是增函数还是减函数,并加以证明.解析函数g(x)在(0,3]上是减函数.证明如下:任取x1,x2∈(0,3],且x1<x2,则g(x1)-g(x2)=-=[f(x1)-f(x2)].∵f(x)在(0,+∞)上是增函数,∴f(x1)-f(x2)<0.又∵f(x)>0,f(3)=1,∴0<f(x1)<f(x2)≤f(3)=1.∴0<f(x1)f(x2)<1,∴>1,∴1-<0.∴g(x1)-g(x2)>0,∴函数g(x)=f(x)+在(0,3]上是减函数.方法2 函数单调性的应用2.(2018江苏姜堰中学期中)已知函数f(x)=,则f(x2-2x)>f(3x-4)的解集是.答案(2,4)3.(2016江苏镇江模拟)已知函数f(x)=若f(x)在(0,+∞)上单调递增,则实数a的取值范围为.答案(1,2]方法3 函数奇偶性的应用4.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x≥0时,f(x)=x2+2x,若f(2-a2)>f(a),则实数a的取值范围是.答案(-2,1)方法4 函数周期性的应用5.(2018江苏盐城高三(上)期中)设函数f(x)是以4为周期的奇函数,当x∈[-1,0)时,f(x)=2x,则f(log220)= .答案-6.(2018江苏东台安丰高级中学月考)已知函数f(x)是定义在R上的奇函数,且f(x+2)=-f(x),当x∈(-2,0)时,f(x)=e x,则f(2 017)+f(2 018)= .答案-7.(2017江苏苏州期中,7)已知函数f(x)是定义在R上周期为2的奇函数,当0<x<1时,f(x)=8x,则f= .答案-2。
2022届高考数学一轮复习(新高考版) 第2章第3课时 函数性质的综合问题
D.6
解析 ∵f(4－x)＝－f(x)，
∴f(x)的图象关于点(2,0)对称，
∴f(－x)＝－f(x＋4)，
又∵f(－x)＝－f(x)，
∴f(x＋4)＝f(x).
∴T＝4.
(2)函数y＝f(x)对任意x∈R都有f(x＋2)＝f(－x)成立，且函数y＝f(x－1)的 图象关于点(1,0)对称，f(1)＝4，则f(2 020)＋f(2 021)＋f(2 022)的值为_4___.
当fxx<0 时，xf(x)<0，即 f(x)的图象在二、四象限， 即－2<x<0或0<x<2.
思维升华
解决不等式问题，一定要充分利用已知条件，一是把已知不等式化成 f(x1)>f(x2)或f(x1)<f(x2)的形式，再利用单调性解不等式；二是利用函数的 性质，画出f(x)的图象，利用图象解不等式.
课时精练
KESHIJINGLIAN
基础保分练 1.函数f(x)＝x＋ 9 (x≠0)是
x A.奇函数，且在(0,3)上是增函数
√B.奇函数，且在(0,3)上是减函数
C.偶函数，且在(0,3)上是增函数 D.偶函数，且在(0,3)上是减函数
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
解析 由①知f(x)在(0，＋∞)上单调递减，由②知f(x)为奇函数.
2025届高考数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第2讲函数的基本性质作业试题2含解析新人教版
其次讲 函数的基本性质1.[2024江西红色七校第一次联考]下列函数中,既是偶函数又在区间(0,+∞)上单调递减的是 ( )A.y=cos xB.y=x 2C.y=ln|x|D.y=e-|x|2.[2024湖北省四地七校联考]若函数f(x)=sin x·ln(mx+√1+4x 2)的图象关于y 轴对称,则m= ( )A.2B.4C.±2D.±43.[2024郑州三模]若函数f(x)={e x -x +2a,x >0,(a -1)x +3a -2,x ≤0在(-∞,+∞)上是单调函数,则a 的取值范围是( )A.[1,+∞)B.(1,3]C.[12,1) D.(1,2]4.[2024广州市阶段模拟]已知f(x),g(x)分别是定义在R 上的偶函数和奇函数,且 f(x)-g(x)=x 3+x 2+a,则g(2)=( ) A.-4B.4C.-8D.85.[2024长春市第一次质量监测]定义在R 上的函数f(x)满意f(x)=f(x+5),当x∈[-2,0)时,f(x)=-(x+2)2,当x∈[0,3)时,f(x)=x,则f(1)+f(2)+…+f(2 021)= ( )A.809B.811C.1 011D.1 0136.[2024陕西省部分学校摸底检测]已知函数f(x)=2x cosx 4x +a是偶函数,则函数f(x)的最大值为 ( )A.1B.2C.12 D.37.[2024济南名校联考]已知定义在R 上的函数f(x)满意f(x+6)=f(x),y=f(x+3)为偶函数,若f(x)在(0,3)上单调递减,则下面结论正确的是 ( )A.f(192)<f(e 12)<f(ln 2)B.f(e 12)<f(ln 2)<f(192)C.f(ln 2)<f(192)<f(e 12) D.f(ln 2)<f(e 12)<f(192)8.[2024江苏苏州初调]若y=f(x)是定义在R 上的偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)={sinx,x ∈[0,1),f(x -1),x ∈[1,+∞),则f(-π6-5)= .9.函数f(x)=x 3-3x 2+5x-1图象的对称中心为 .10.[2024蓉城名校联考]已知函数f(x)=x+cosx,x∈R,设a= f(0.3-1), b= f(2-0.3),c= f(log 20.2),则 ( )A.b<c<aB.c<a<bC.b<a<cD.c<b<a11.[2024辽宁葫芦岛其次次测试]已知y=f(x-1)是定义在R 上的偶函数,且y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,则不等式f(-2x-1-1)<f(3)的解集为 ( )A.(2,+∞)B.(3,+∞)C.(-∞,2)D.(-∞,3)12.已知f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,若对于随意x,y∈(1,+∞),均有f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,则不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为 ( )A.[52,+∞)B.(52,+∞)C.[1,52]D.(2,52]13.[2024广东七校联考]已知定义在R 上的偶函数y=f(x+2),其图象是连续的,当x>2时,函数y=f(x)是单调函数,则满意f(x)=f(1-1x+4)的全部x 之积为 ( )A.3B.-3C.-39D.3914.[原创题]设增函数f(x)={lnx,x >1,-1+ax x ,0<x ≤1的值域为R,若不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},则实数c 的值为 ( )A.e -√e 2-42B.e+√e 2-42C.e±√e 2-42D.1215.[多选题]已知奇函数f(x)在(-∞,+∞)上单调递增,f(1)=2,若0<f(m)<2,则 ( )A.log m (1+m)<log m (1+m 2) B.log m (1-m)<0 C.(1-m)2>(1+m)2D.(1-m )13>(1-m )1216.[2024湖南六校联考][多选题]已知f(x)是定义在R 上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,则关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|),下列说法正确的是( ) A.g(x)为偶函数B.g(x)在(1,2)上单调递增C.g(x)在[2 016,2 020]上恰有三个零点D.g(x)的最大值为2答 案其次讲 函数的基本性质1.D 函数y=cos x 是偶函数且是周期为2π的周期函数,所以y=cos x 在(0,+∞)上不具有单调性,所以A 选项不符合题意;函数y=x 2为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以B 选项不符合题意;函数y=ln|x|={lnx,x >0,ln(-x),x <0为偶函数,但在(0,+∞)上单调递增,所以C 选项不符合题意;函数y=e -|x|={e -x ,x ≥0,e x ,x <0为偶函数,在(0,+∞)上单调递减,所以D 选项符合题意.故选D.2.C ∵f(x)的图象关于y 轴对称,∴f(x)为偶函数,又y=sin x 为奇函数,∴y=ln(mx+√1+4x 2)为奇函数,即ln[-mx+√1+4·(-x)2]+ln(mx+√1+4x 2)=0,即ln(1+4x 2-m 2x 2)=0,1+4x 2-m 2x 2=1,解得m=±2.故选C.3.B 当x>0时,f(x)=e x -x+2a,则f '(x)=e x-1>0,所以函数f(x)在(0,+∞)上单调递增.因为函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调函数,所以函数f(x)在(-∞,+∞)上是单调递增函数.当x≤0时,f(x)=(a-1)x+3a-2是单调递增函数,所以a-1>0,得a>1.e 0-0+2a≥(a -1)×0+3a -2,解得a≤3.所以1<a≤3,故选B.4.C 依题意f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)-g(x)=x 3+x 2+a ①,所以f(-x)-g(-x)=-x 3+x 2+a,即f(x)+g(x)=-x 3+x 2+a ②,②-①得2g(x)=-2x 3,g(x)=-x 3,所以g(2)=-23=-8.故选C. 5.A 由f(x)=f(x+5)可知f(x)的周期为5,又f(0)=0,f(1)=1,f(2)=2,f(-1)=-1,f(-2)=0,∴f(3)=f(-2)=0,f(4)=f(-1)=-1,f(5)=f(0)=0,∴f(1)+f(2)+f(3)+f(4)+f(5)=2,∴f(1)+f(2)+…+f(2 021)=f(1)+2×404=809.故选A. 6.C 解法一 因为函数f(x)=2x cosx 4x +a 是偶函数,所以f(-x)=f(x),即2-x cos(-x)4-x +a=2x cosx 4x +a ,化简可得a(4x -1)=4x-1,得a=1,所以f(x)=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .又cos x≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)≤12.故选C. 解法二 因为函数f(x)为偶函数,所以f(-1)=f(1),即2-1cos(-1)4-1+a=21cos14+a ,解得a=1,所以f(x)=2x cosx4x +1=cosx2x +2-x .因为cosx≤1,2x+2-x≥2,当且仅当x=0时两个“=”同时成立,所以f(x)max =12,故选C.7.A 由f(x+6)=f(x)知函数f(x)是周期为6的函数.因为y=f(x+3)为偶函数,所以f(x+3)=f(-x+3),所以f(192)=f(72)=f(12+3)=f(-12+3)=f(52).(题眼)(难点:利用函数的性质把自变量的取值化到同一个单调区间内) 因为1<e 12<2,0<ln 2<1,所以0<ln 2<e 12<52<3.因为f(x)在(0,3)上单调递减,所以f(52)<f(e 12)<f(ln 2),即f(192)<f(e 12)<f(ln 2),故选A.8.12 因为y=f(x)是定义在R 上的偶函数,所以f(-π6-5)=f(π6+5).因为x≥1时,f(x)=f(x-1),所以f(π6+5)=f(π6+4)=…=f(π6).又0<π6<1,所以f(π6)=sin π6=12.故f(-π6-5)=12.9.(1,2) 解法一 由题意设图象的对称中心为(a,b),则2b=f(a+x)+f(a-x)对随意x 均成立,代入函数解析式得,2b=(a+x)3-3(a+x)2+5(a+x)-1+(a-x)3-3(a-x)2+5(a-x)-1=2a 3+6ax 2-6a 2-6x 2+10a-2=2a 3-6a 2+10a-2+(6a-6)x 2对随意x 均成立,所以6a-6=0,且2a 3-6a 2+10a-2=2b,即a=1,b=2,即f(x)的图象的对称中心为(1,2).解法二 由三次函数对称中心公式可得,f(x)的图象的对称中心为(1,2).10.D f(x)=x+cos x,则f '(x)=1-sin x≥0,所以f(x)在R 上单调递增,又log 20.2<2-0.3<1<0.3-1=103,所以f(log 20.2)<f(2-0.3)<f(103),即c<b<a.11.D 由题可知y=f(x-1)的图象关于y 轴对称.因为y=f(x)的图象向右平移1个单位长度得到y=f(x-1)的图象,所以y=f(x)的图象关于直线x=-1对称.因为y=f(x)在[-1,+∞)上单调递增,所以f(x)在(-∞,-1)上单调递减.所以|-2x-1-1-(-1)|<|3-(-1)|,即0<2x-1<4,解得x<3,所以原不等式的解集为(-∞,3),故选D.12.A 依据f(x)+f(y)=f(2x+y),f(2)=1,可得2=1+1=f(2)+f(2)=f(24),所以f(x)+f(x-1)-2≥0得f(22x-1)≥f(24).又f(x)是定义在(1,+∞)上的增函数,所以{22x -1≥24,x >1,x -1>1, 解得x≥52.所以不等式f(x)+f(x-1)-2≥0的解集为[52,+∞).13.D 因为函数y=f(x+2)是偶函数,所以函数y=f(x)图象关于x=2对称,因为f(x)在(2,+∞)上单调,所以f(x)在(-∞,2)上也单调,所以要使f(x)=f(1-1x+4),则x=1-1x+4或4-x=1-1x+4.由x=1-1x+4,得x 2+3x-3=0,Δ1>0,设方程的两根分别为x 1,x 2,则x 1x 2=-3;由4-x=1-1x+4,得x 2+x-13=0,Δ2>0,设方程的两根分别为x 3,x 4,则x 3x 4=-13.所以x 1x 2x 3x 4=39.故选D.14.A 当x>1时,f(x)为增函数,且f(x)∈(0,+∞), 当0<x≤1时,-1+ax x=a-1x≤a -1,即f(x)∈(-∞,a -1].因为f(x)为增函数,所以a-1≤0,则a≤1,又函数f(x)的值域为R,所以a-1≥0,即a≥1,从而a=1,函数f(x)={lnx,x >1,-1+x x,0<x ≤1.因为不等式f(x)≥x+b 的解集为{x|c≤x≤e},易知ln x=x+b 的解为x=e,所以b=1-e,当x=1时,x+b=1+1-e=2-e<0=f(1),故0<c<1.令-1+x x=x+1-e,得x 2-ex+1=0,从而x=e -√e 2-42,则c=e -√e 2-42,故选A.15.AD ∵f(x)为奇函数,0<f(m)<2,f(1)=2,f(0)=0,∴f(0)<f(m)<f(1).又f(x)在R 上单调递增,∴0<m<1,∴1+m>1,0<1-m<1,∴log m (1-m)>0,B 错误.∵1+m>1+m 2,∴log m (1+m)<log m (1+m 2),A 正确.∵y=x 2在(0,+∞)上单调递增,1-m<1+m,∴(1-m)2<(1+m)2,C 错误.∵y=(1-m)x在(0,+∞)上单调递减,∴(1-m )13>(1-m )12,D 正确.故选AD. 16.AD 易知函数g(x)的定义域为R,且g(-x)=|f(-x)|+f(|-x|)=|-f(x)|+f(|x|)=|f(x)|+f(|x|)=g(x),所以g(x)为偶函数,故A 正确.因为f(1+x)=f(1-x),所以f(x)的图象关于直线x=1对称,又f(x)是奇函数,所以f(x)是周期为4的函数,其部分图象如图D 2-2-1所示,图D 2-2-1所以当x≥0时,g(x)={2f(x),x∈[4k,2+4k]0,x∈(2+4k,4+4k],k∈N,当x∈(1,2)时,g(x)=2f(x),g(x)单调递减,故B错误.g(x)在[2 016,2 020]上零点的个数等价于g(x)在[0,4]上零点的个数,而g(x)在[0,4]上有多数个零点,故C错误. 当x≥0时,易知g(x)的最大值为2,由偶函数图象的对称性可知,当x<0时,g(x)的最大值也为2,所以g(x)在整个定义域上的最大值为2,故D正确.综上可知,选AD.。
(浙江专用)高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件.pptx
x
对5于, 选1 项x C3,同; 样存在如图(2)所示的函数图象,此
2
时可构造函数f(x)=tan ,x满足12 题 意.由以上分析知,此题选择D.
图(1)
图(2)
8
评析 本题考查函数的概念和单调性,以及函数的三种表示方法,考查学生的转化与化归思想、 数形结合思想和推理论证能力.解题的关键在于理解题中的“存在”二字,以及构造函数的方 法,可以写出解析式,也可画出图象.
7
答案 D 由(i)知函数f(x)的定义域为集合S,值域为集合T;由(ii)知f(x)在定义域上单调递增,故选 项A中,函数f(x)=x-1即满足题意;对于选项B,由图(1)知, f(-1)=-8,当-1<x≤3时,必存在单调递增的
8, x 1,
连续函数f(x)满足题意,如:f(x)=
5 2
1 2
x
为减函数,排除C;因为y=log0.5t为减
函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除D;y= t和t=x+1均为增函数,所以y= 为x 1
增函数,故选A.
3.(2014陕西,7,5分)下列函数中,满足“f(x+y)=f(x)f(y)”的单调递增函数是 ( )
1
A.f(x)= x2
B.f(x)=x3
ห้องสมุดไป่ตู้
C.f(x)=
1 2
x
D.f(x)=3x
答案 D ∵f(x+y)=f(x)f(y),∴f(x)为指数函数模型,排除A,B;又∵f(x)为单调递增函数,∴排除C, 故选D.
3
4.(2013安徽,4,5分)“a≤0”是“函数f(x)=|(ax-1)x|在区间(0,+∞)内单调递增”的 ( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
高考数学一轮复习 第二章 函数 2.2 函数的基本性质课件
1.(2017课标全国Ⅰ理改编,5,5分)函数f(x)在(-∞,+∞)单调递减,且为奇函数.若f(1)=-1,则满足-1
≤f(x-2)≤1的x的取值范围是
.
答案 [1,3]
解析 本题考查利用函数的性质求解不等式. 已知函数f(x)在(-∞,+∞)上为单调递减函数,且为奇函数,则 f(-1)=-f(1)=1,所以原不等式可化为f(1)≤ f(x-2)≤f(-1),则-1≤x-2≤1,即1≤x≤3.
6, 6
6
6
x 3a2, x 2a2,
当x≥0时, f(x)= a2, a2 x 2a2, 画出图象,再根,
∵满足∀x∈R, f(x-1)≤f(x),
∴6a2≤1,即- 6 ≤a≤ 6 .
6
6
考点二 函数的单调性
x2 4x, x 0,
∴f(x)= 0, x 0,
x2 4x, x 0.
(1)当x>0时,由f(x)>x得x2-4x>x,解得x>5;
(2)当x=0时, f(x)>x无解;
(3)当x<0时,由f(x)>x得-x2-4x>x,解得-5<x<0.
综上,不等式f(x)>x的解集用区间表示为(-5,0)∪(5,+∞).
2.(2017天津文改编,6,5分)已知奇函数f(x)在R上是增函数.若a=-f log2
1 5
,b=f(log24.1),c=f(20.8),则a,
b,c的大小关系为
.(用“<”连接)
答案 c<b<a 解析 本题考查函数的奇偶性、单调性及对数函数的性质. ∵f(x)为奇函数,∴f(-x)=-f(x), ∴a=-f(-log25)=f(log25), 而log25>log24.1>2>20.8,且y=f(x)在R上为增函数, ∴f(log25)>f(log24.1)>f(20.8),即a>b>c.
2020届高考数学一轮复习第二章函数2.2函数的基本性质教师用书(PDF,含解析)
为周期函数ꎬＴ 为这个函数的周期.
如果在周期函数 ｆ( ｘ) 的所有周期中存在一个最小的正数ꎬ
那么这个最小的正数就叫做它的最小正周期.
１.若函数 ｆ(ｘ)的图象关于直线 ｘ ＝ａ 对称ꎬ则 ｆ(ｘ)＝ ｆ(２ａ－ｘ). ２.若函数 ｆ(ｘ)的图象关于点( ａꎬｂ) 对称ꎬ则 ｆ( ｘ) ＋ｆ(２ａ－
对 于 任 意 的 ｘ ∈ Ｉꎬ 都 有 ｆ( ｘ) ≥Ｍꎻ 存在 ｘ０ ∈Ｉꎬ使得 ｆ( ｘ０ )＝ Ｍ
结论 Ｍ 是 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的最大值
Ｍ 是 ｙ ＝ ｆ(ｘ)的最小值
考点二 函数的奇偶性与周期性
１.函数的奇偶性
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１ ０ ５ 年高考 ３ 年模拟 Ｂ 版( 教师用书)
§ ２.２ 函数的基本性质
考点一 函数的单调性
１.定义
(１) 对任意 ｘ１ ꎬｘ２ ∈Ｄ 且 ｘ１ <ｘ２ ꎬ 若 ｆ( ｘ１ ) <ｆ( ｘ２ ) ꎬ则 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 在 Ｄ 上单调增ꎻ 若 ｆ( ｘ１ ) >ｆ( ｘ２ ) ꎬ则 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 在 Ｄ 上单调减. (２) 对任意 ｘ１ ꎬｘ２ ∈Ｄꎬ 若[ ｆ( ｘ１ ) －ｆ( ｘ２ ) ] ( ｘ１ －ｘ２ ) >０ꎬ则 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 在 Ｄ 上单调增ꎻ 若[ ｆ( ｘ１ ) －ｆ( ｘ２ ) ] ( ｘ１ －ｘ２ ) <０ꎬ则 ｙ ＝ ｆ( ｘ) 在 Ｄ 上单调减. ２.判断函数单调性的方法
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A.
12,[, 10 ,+∞)
B.
C.
1 2
,
1
D.[0,1]
,[0,1],
1 2
整理ppt
答案 (1)A (2)A 解析 (1)y=(x-1)2仅在[1,+∞)上为增函数,排除B;y=2-x= 12 为 x 减函数,排 除C;因为y=log0.5t为减函数,t=x+1为增函数,所以y=log0.5(x+1)为减函数,排除
3 2
B.f(-1)<f
< f32(2 )
D.f(2)<f
< f32(-1)
答案
D
由题意得f(2)=f(-2),又-2<-
3 <-1,所以f(2)=f(-2)<f
2
<32f(-1).故D.整理ppt4.定义在R上的函数f(x)满足f(x+6)=f(x).当-3≤x<-1时, f(x)=-(x+2)2;当-1≤x< 3时, f(x)=x,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(2 012)等于 ( ) A.335 B.338 C.1 678 D.2 012
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5.已知函数f(x)=x+bcos x,其中b为常数,那么“b=0”是“f(x)为奇函数”的
()
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
答案 C f(x)为奇函数⇔f(-x)=-f(x)(x∈R)⇔-x+bcos(-x)=-x-bcos x(x ∈R)⇔bcos x+bcos x=0(x∈R)⇔b=0,故选C.
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图 象 描 述 自左向右看图象是③ 逐渐上 自左向右看图象是④ 逐渐下降 的
升的
(2)单调区间的定义 若函数f(x)在区间I上是⑤ 单调增函数 或⑥ 单调减函数 ,则称函 数f(x)在这一区间上具有单调性,区间I叫做y=f(x)的单调区间. 2.函数的最值
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前提
条件 结论
设函数y=f(x)的定义域为A,如果存在x0∈A,使得对于 任意的x∈A,都有
答案 A ∵函数在[3,6]上是增函数,∴f(6)=8, f(3)=-1,又函数为奇函数, ∴2f(-6)+f(-3)=-2f(6)-f(3)=-2×8+1=-15,选A.
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3.若偶函数f(x)在(-∞,-1]上是增函数,则下列关系式中成立的是 ( )
A.f
3 2
<f(-1)<f(2)
C.f(2)<f(-1)<f
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b.两个偶函数的和、积都是 偶函数 ; c.一个奇函数,一个偶函数的积是 奇函数 . 5.周期性 (1)周期函数:对于函数y=f(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域 内的任何值时,都有f(x+T)=f(x),那么就称函数y=f(x)为周期函数,称T为这 个函数的周期. (2)最小正周期:如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数, 那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 6.对称性 若函数f(x)满足f(a-x)=f(a+x)或f(x)=f(2a-x),则函数f(x)的图象关于直线x=a
对称.
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1.下列函数中,在区间(0,1)上是增函数的是 ( )
A.y=|x|
B.y=3-x
1
C.y= x
D.y=-x2+4
答案 A y=3-x在R上递减,y= 1 在(0,+∞)上递减,y=-x2+4在(0,+∞)上递
x
减,故选A.
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2.已知f(x)为奇函数,在[3,6]上是增函数,且在[3,6]上的最大值为8,最小值为1,则2f(-6)+f(-3)等于 ( ) A.-15 B.-13 C.-5 D.5
f(x)≤f(x0)
f(x)≥f(x0)
ymax=f(x0)
ymin=f(x0)
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3.奇、偶函数的概念 一般地,设函数y=f(x)的定义域为A.如果对于任意的x∈A,都有⑦ f(-x)=f (x) ,那么称函数y=f(x)是偶函数. 如果对于任意的x∈A,都有⑧ f(-x)=-f(x) ,那么称函数y=f(x)是奇函数. 奇函数的图象关于⑨ 原点 对称;偶函数的图象关于⑩ y轴 对称. 4.奇、偶函数的性质 (1)奇函数在关于原点对称的区间上的单调性 相同 ,偶函数在关于 原点对称的区间上的单调性 相反 . (2)在公共定义域内 a.两个奇函数的和是 奇函数 ,两个奇函数的积是偶函数;
答案 B 由f(x+6)=f(x)得f(x)的周期为6,所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=335[f (1)+f(2)+…+f(6)]+f(1)+f(2),而f(1)=1, f(2)=2, f(3)=f(-3)=-1, f(4)=f(-2)=0, f(5)= f(-1)=-1,f(6)=f(0)=0, f(1)+f(2)+f(3)+…+f(6)=1,所以f(1)+f(2)+…+f(2 012)=33 8,故选B项.
D;y= t 和t=x+1均为增函数,所以y= 为x 增1 函数,故选A.
(2)令x2-x=1-x2得x=- 1 或x=1.
2
画出函数f(x)图象,如图.
观察图象得增区间为
12和, 0[1,+∞).故选A.
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1.讨论函数单调性,一定要先确定定义域,然后根据所给函数的结构特征及 要求选择合适的方法求解.最后结果一定要写成区间的形式,当同增(减)区 间不连续时,不能用并集符合连接. 2.用定义法证明函数的单调性的步骤:取值—作差—变形—确定符号—下 结论. 3.求复合函数y=f(g(x))的单调区间的步骤: (1)确定定义域. (2)将复合函数分解成基本初等函数:y=f(u),u=g(x). (3)分别确定这两个函数的单调区间. (4)若这两个函数同增同减,则y=f(g(x))为增函数;若一增一减,则y=f(g(x))为 减函数,即“同增异减”.
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典例题组
函数的单调性 典例1 (1)(2014北京,2,5分)下列函数中,在区间(0,+∞)上为增函数的是 ()
A.y= x 1 B.y=(x-1)2 C.y=2-x D.y=log0.5(x+1) (2)(2014天津武清三模)函数f(x)=max{x2-x,1-x2}的单调增区间是 ( )
课标版 理数 § 2.2 函数的基本性质
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知识梳理
1.函数的单调性 (1)单调函数的定义
增函数
减函数
一般地,设函数f(x)的定义域为I.如果对于定义域I内某 定义 个区间D上的任意两个自变量x1,x2
当x1<x2时,都有① f(x1)<f(x2) ,那么 当x1<x2时,都有② f(x1)>f(x2) ,那么 就说函数f(x)在区间D上是增函数 就说函数f(x)在区间D上是减函数