复合导数运算法则PPT

•第3课时 导数的运算法则及复合函数的导数
例1 指出下列函数是怎样复合而成的： (1)y＝(3＋5x)2；(2)y＝log3(x2－2x＋5)； (3)y＝cos 3x. 解 (1)y＝(3＋5x)2是由函数y＝u2，u＝3＋5x复合而成的．
(2)y＝log3(x2－2x＋5)是由函数y＝log3u，u＝x2－2x＋5复合 而成的．
变式训练 1 求下列函数的导数． (1)y＝1＋13x5； (2)y＝sin(x2－π6)； (3)y＝ln(lnx)； (4)y＝e2x2＋1.
解Biblioteka Baidu(1)令u＝1＋3x，则y＝u15＝u－5， ∴y′x＝y′u·u′x＝－5u－6·3 ＝－15u－6＝－1＋153x6. (2)令u＝x2－6π，则y＝sinu， ∴y′x＝y′u·u′x ＝cosu·(x2－6π)′＝2xcosu＝2xcos(x2－6π)．
刚才的发言，如 有不当之处请多指
正。谢谢大家！
10
(3)令 u＝lnx，则 y＝lnu， ∴y′x＝y′u·u′x ＝1u·1x＝xl1nx. (4)令 u＝2x2＋1，则 y＝eu， ∴y′x＝y′u·u′x＝eu·4x ＝4x·e2x2＋1.
例2 求下列函数的导数． (1)y＝(x2－4)2； (2)y＝log2(2x2＋3x＋1)； (3)y＝esin(ax＋b) 分析 先将复合函数分解，找出中间变量，然后按复合 函数求导公式y′＝y′u·u′x进行求导．
解 (1)方法1：y＝(x2－4)2＝x4－8x2＋16 ∴y′＝(x4－8x2＋16)′ ＝4x3－16x. 方法2：y′＝2(x2－4)(x2－4)′ ＝2(x2－4)·2x ＝4x3－16x.
(2)y′＝[log2(2x2＋3x＋1)]′ ＝2x2＋31x＋1ln2·(2x2＋3x＋1)′ ＝2x2＋4x3＋x＋31ln2. (3)y′＝[esin(ax＋b)]′＝esin(ax＋b)[sin(ax＋b)]′ ＝esin(ax＋b)·cos(ax＋b)·(ax＋b)′ ＝acos(ax＋b)·esin(ax＋b)．
(3)y＝cos 3x是由函数y＝cos u，u＝3x复合而成的．
跟踪训练1 指出下列函数由哪些函数复合而成： (1)y＝ln x；(2)y＝esin x；(3)y＝cos ( 3x＋1)．
解 (1)y＝ln u，u＝ x； (2)y＝eu，u＝sin x； (3)y＝cos u，u＝ 3x＋1.