高二数学导数大题练习(详细答案)

1．已知函数d x b a c bx ax x f +--++=)23()(23的图象如图所

示．

(I)求d c ,的值；

（II)若函数)(x f 在2=x 处的切线方程为0113=-+y x ,求函数)(x f 的解析式；

(ＩＩＩ）在（I Ｉ）的条件下,函数)(x f y =与m x x f y ++'=5)(3

1的图象有三个不同的交点，求m 的取值范围．

2.已知函数)(3ln )(R a ax x a x f ∈--=. (I ）求函数)(x f 的单调区间;

(ＩI)函数)(x f 的图象的在4=x 处切线的斜率为

,2

3

若函数]2

)('[31)(23m

x f x x x g ++=

在区间（1，３)上不是单调函数,求m 的取值范围．

３．已知函数c bx ax x x f +++=23)(的图象经过坐标原点,且在1=x 处取得极大值． (I)求实数a 的取值范围； (ＩI ）若方程

9

)32()(2

+-

=a x f 恰好有两个不同的根，求)(x f 的解析式;

（ＩII ）对于（II)中的函数)(x f ，对任意R ∈βα、,求证:81|)sin 2()sin 2(|≤-βαf f ．

4．已知常数0>a ,e 为自然对数的底数，函数x e x f x

-=)(,x a x x g ln )(2-=. （I)写出)(x f 的单调递增区间,并证明a e a >;

（II ）讨论函数)(x g y =在区间),1(a e 上零点的个数．

5．已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+． (Ｉ)当1k =时,求函数()f x 的最大值；

(II ）若函数()f x 没有零点,求实数k 的取值范围;

6．已知2x =是函数2()(23)x f x x ax a e =+--的一个极值点（⋅⋅⋅=718.2e ）． (I ）求实数a 的值；

（ＩI ）求函数()f x 在]3,2

3[∈x 的最大值和最小值．

7．已知函数)0,(,ln )2(4)(2≠∈-+-=a R a x a x x x f (I)当a ＝18时,求函数)(x f 的单调区间； (II)求函数)(x f 在区间],[2e e 上的最小值.

8.已知函数()(6)ln f x x x a x =-+在(2,)x ∈+∞上不具有．．．单调性． （I ）求实数a 的取值范围；

(II ）若()f x '是()f x 的导函数，设2

2

()()6g x f x x '=+-

，试证明:对任意两个不相等正

数12x x 、,不等式121238|()()|||27

g x g x x x ->-恒成立．

9．已知函数.1,ln )1(2

1)(2>-+-=a x a ax x x f (I)讨论函数)(x f 的单调性;

（II)证明:若.1)

()(,),,0(,,52

1212121->--≠+∞∈

10．已知函数2

1()ln ,()(1),12

f x x a x

g x a x a =+=+≠-.

（Ｉ）若函数(),()f x g x 在区间[1,3]上都是单调函数且它们的单调性相同，求实数a 的取值范围;

（I Ｉ）若(1,]( 2.71828)a e e ∈=,设()()()F x f x g x =-，求证：当12,[1,]x x a ∈时,不

等式12|()()|1F x F x -<成立.

11.设曲线C :()ln f x x ex =-（ 2.71828e =⋅⋅⋅），()f x '表示()f x 导函数. (Ｉ)求函数()f x 的极值;

（ＩI)对于曲线C 上的不同两点11(,)A x y ，22(,)B x y ，12x x <,求证:存在唯一的

0x 12(,)x x ∈,使直线AB 的斜率等于0()f x '.

12.定义),0(,,)1(),(+∞∈+=y x x y x F y ，

(I ）令函数22()(3,log (24))f x F x x =-+，写出函数()f x 的定义域； （II ）令函数322()(1,log (1))g x F x ax bx =+++的图象为曲线C ,若存在实数b 使得曲线C 在)14(00-<<-x x 处有斜率为－８的切线，求实数a 的取值范围； (III)当,*x y ∈N 且x y <时,求证(,)(,)F x y F y x >.

答案

1．解:函数)(x f 的导函数为 b a c bx ax x f 2323)(2'--++= …………（2分） (I)由图可知 函数)(x f 的图象过点(０,３）,且0)1('=f 得

⎩⎨⎧==⇒⎩⎨

⎧=--++=0

3

23233c d b a c b a d …………（4

分）

（I Ｉ)依题意

3

)2('-=f 且5)2(=f

⎩

⎨

⎧=+--+-=--+5346483

23412b a b a b a b a

解得 6,1-==b a 所以396)(23++-=x x x x f …………（8分) (ＩII ）9123)(2+-='x x x f ．可转化为:()m x x x x x x +++-=++-534396223有三个

不等实根，即:()m x x x x g -+-=8723与x 轴有三个交点;

42381432--=+-='x x x x x g ()m g m g --=-=⎪⎭⎫ ⎝⎛164,27

68

32． …………(10分） 当且仅当()0164027

68

32<--=>-=

⎪⎭⎫ ⎝⎛m g m g 且时,有三个交点, 故而,27

6816<<-m 为所求． …………(１2

分)

2.解:(Ｉ）)0()

1()('>-=

x x

x a x f ﻩﻩ（２分) 当(][)+∞>,1,1,0)(,0减区间为的单调增区间为时x f a

当[)(];1,0,,1)(,0减区间为的单调增区间为时+∞

（I Ｉ）32ln 2)(,22

3

43)4('-+-=-==-

=x x x f a a f 得 2)4()(',2)22

(31)(223-++=∴-++=

∴x m x x g x x m

x x g （6分） 2)0(',)3,1()(-=g x g 且上不是单调函数在区间

⎩

⎨

⎧><∴.0)3(',

0)1('g g （8分)⎪⎩

⎪⎨

⎧>-<∴,319,

3m m （１０分))3,319

(--∈m （12分)

3．解:（Ｉ),

23)(,00)0(2b ax x x f c f ++='=⇒=320)1(--=⇒='a b f