空间谱估计

...
a
b
θ l U 1M c d r θ
a θr b
r a θ b
U 21 θ l
c θr d
θ l U 22 θ l c d r θ
...
r a θ b
θ l U 2M c r d θ
两列旋转 单元
单边Jacobi算法并行 计算相对小，收敛略慢 一般适用多核处理器实现
...
c
...
...
r a θ b
理论 发展
成功 实用 系统 极少 处理 芯片 性能 提高
硬件 水平
理论 转向 实现
1. 2. 3.
MUSIC算法原理 常见的MUSIC改进 算法流程图
1、简单接收模型
z

O
C d
y
x


s(t ) s(t )e
xi (t ) s(t )e
因此阵列接收为：
j
j0
0
r
b spl
...
a
b
a
spl U 1M spl c d spr a spr b spl U 2M spl c d spr 奇 数 末 列
c
a spr b spl U 22 spl c sp d r
U 21 spl
...
...
a
0 cos sin 1
sin cos
最小方差时 最优估计
短数据 高信噪比

该类方法认识到信号与噪声的特征差异， 增加了信息的利用率，且均无偏。
阵元间隔大 精度要求低
1986 1989 Schmidt等提出 MUSIC (Multiple 算法 Roy等提出 ESPRIT (Estimation Signal
1989~至今
Signal Classification)
2
...
X(2m) ...
[Nx/m]+1
X(m[Nx/m]+1) ... X(N_x)
X(m)
X(m+1)
...
x1
x2
...
X[Nx/m]+1

虚拟平滑
z
(x i , y i , z i )
M-1 0 ... 1 K-1
...
y
...
M-1 0 ... 1 K-1
x
...
M-1 0 ... K-1
Rij e
j01 ( i 1 j 1 )
Rs1 +e
j01 (i 2 j 2 )
Rs2 e Rs1s2...+ 2
jij
2 对一个M阵元的天线阵，采样点数为N，则共需要 次 NM 2 复数乘法，需要 ( N 1)M 次复数加法(浮点需要考虑)
奇异值分解作为MUSIC类算法的核心计算部分，其运算时间，运算 数据类型等因素直接影响算法的实时性与精度。
a b a

2 a 'b c ' d 0.5arctan (a ' a c ' c) (b ' b d ' d )
a 'b c ' d a 'b c ' d sp 0
U 11 spl
c sp d r a spr b
spl U 12 c sp d
c
（ai ,bi ,ci）
(ai cos sin bi sin sin ci cos )
s(t )e ji ( )
方向矢量
e j11 ( ) j21 ( ) e x(t ) As(t ) n(t ) jM 1 ( ) 阵列流形 e
被统称作：
MUSIC类算法； ESPRIT类算法。
最小方差法
1988
19Байду номын сангаас1
1997
子空间拟合算法 (Subspace Fitting, SF)
求子空间
加权信号子空间 拟合算法(WSF)
加权噪声子空间 拟合算法(WNF)
子空间分解 子空间拟合
构造拟合结构
极大似然估计
求最小二乘解
空间谱估计转换为多维最优化问题
奇异值分解
...
奇异值
特征向量
分离相位差组合 (多信号为张成空间)
M倍信号功率 (无加权接收)
3、奇异值分解常用算法
奇异值分解的常用实现方法主要有三种：
矩阵计算 185页 常用算法程 序集102页
QR分解算法
Householder 变换
单边Jacobi算法 以 行 列 正 交 为 迭 代 目 标
单边Jacobi算法 以 对 称 元 素 消 元 为 迭 代 目 标
1 M M k i 1 AIC (k ) ln ( M k ) i k M i i k 1
② MDL算法(Minimum Description Length) 仅后面的惩罚函数不同： p 0.5k (2M k )ln N ③ 盖氏圆算法 适用于色噪声下信号源数目估计。
e j12 ( ) e j22 ( ) e jM 2 ( )
s1 (t ) n(t ) s ( t ) 2
接收数据

2、经典MUSIC算法原理
R xx E [ x (t )x (t )H ] AR ss A H 2I N
--多重信号分类算法(MUSIC)



1、超分辨测向算法简介 2、发展历史与现状 3、MUSIC算法 4、算法分解 5、算法的分析与改进
1. 2.
什么是超分辨测向算法 算法特点
波达方向估计 空间谱估计
超分辨测向
阵列信号处理
自适应波束形成
空间
->
相位矢量
->
正交性
比起传统算法，超分辨测向算法具有如下特点：
仅适用均匀阵列，受误差与相位 模糊影响大，计算量小。
智能优化算法
应用较多的是遗传算法(DSP)与粒 子群算法(FPGA), 运算量适中， 稳定性好

空间平滑(TOEP算法实质上也是空间平滑)
1 2
...
m m+1
...
M-m+1
... ...
M
x1
时间平滑
1
X(1) X(2) ...
x2
...
xM-m+1
4
5
6
7
8
9
10
11
12
snapshots/2x
Pmusic ( , )
1 H α H ( , )Uˆ nUˆ n α ( , )
构造方向矢量,求所有空间谱点， 并求倒数，再比较幅值。计算量 为 (M 1)M / 次乘法， / 次除法。
直接搜索
谱 峰 搜 索
求根算法
Parameter via Rotational Invariance Techniques)算法
Root-MUSIC, 模式空间算法， 高阶累积量算法，循环相关 算法等
相同子阵
协方差矩阵
协方差
求噪声子空间
求信号子空间
谱峰搜索
方向角求解
这两种算法： ①标志着子空间 分解类算法成型； ②是超分辨测向 算法的里程碑； ③两种算法均是 有偏估计(渐进 无偏)。

能够突破阵列的瑞利限； 能适应多信号、小角度、低信噪比等复杂环境； 方向入射相干信号，能有效对抗诱饵干扰； 算法灵活，易于改进，且适用于无源设备。
多重信号分类MUSIC
常规波束形成CBF
1. 2.
3.
4. 5.
线性预测类算法 子空间分解类算法 子空间拟合类算法 时域处理算法 研究现状
时间平滑算法 TOEP算法
解相干 改变阵列流形
空间平滑类算法
①②以算法性能与适应性为主
接收数据 ① 数据预处理 协方差矩阵 ② ③主要包括 矩阵降维算法 线性运算 等快速估计算法 ④中 免信源估计算法 与SF算法类似 计算量极大 ⑤中主要包括 求根类算法 智能优化算法 虚拟变换 ①； 高阶累积量 ①； 循环相关 ①； 空间/时间平滑 ①； TOEP算法 ②； 实值化 ②； 模式空间 ①②均可；
书籍与综述 [1] 王永良等 .空间谱估计理论与算法，清华大学出版社 ,2004;
c sp d r
c
...
...
...
a spr b
UM1 spl
c spr d
...
a a b a
spr
b
spl U M2 spl c d spr b
...
奇数末行
a spr b spl sp U
l MM
a
c
spr
d
c
...
a
b
λ
优点： 分辨率高，能突破瑞利限； 灵活，易修改； 能解相干信号； 可进行多参数估计； 算法精度高 。 缺点： 计算量大，计算量大，计算量大； 算法的改进多针对特定情况，普适性有限； 解相干信号代价大(信息量，精度，计算量)； 稳健性差，需要进行校正。
D( N ) M 1 GDE (k ) rk ri M 1 i 1

N ( M k )
k (2 M k )
信息论
这里，D是一个有 关采样数的人为设 定值，具有一定主 观性
2、信号源数目估计正确率
信 噪 比 正 确 率 曲 线 (28,30KHz) 100
求旋转角
\
Givens变换
旋转变换
驱逐出境
4、Jacobi算法的并行实现方法
a b a
BLV仅适用偶数维 度对称实阵，存在 计算误差时第4i条 副对角线不收敛
b
U 11 θ l
矩阵存储 求向量积 求旋转角
数据与单位 矢量旋转
...
两列旋转 单元 两列旋转 单元
c
θr
d
θ l l U 12 θ c d r θ
1. 2.
均匀圆阵的奇偶阵元数数分析 SVD实现方法修正
阵元投影(波程差)特点
...
y S(t) d1odd x
y
...
d1even
S(t)
x
... ...
(a) 奇数阵投影方向
...
(b) 偶数阵投影方向
...
各向等效性
算法相位模糊测试
针对BLV阵列不能收敛且只能运算实数数据的问题， 对BLV阵列做出了如下修正：
1、奇异值分解原理：
奇异值分解本质上是将原坐标系的矢量变换到另一个坐标系的单位 矢量方向上，一个M维方阵，计算量为 M 3，以二维为例：
原始矢量
分解后 目标矢量值 即为奇异值
目标坐标系 即特征向量
2、奇异值分解在算法中的意义
以圆阵为例：
y
...
路径不同 投影不同
S(t)
不同信号 相位差组合不同
x
...
UM1 θ l
d
双边Jacobi算法BLV实现 计算量大，收敛快，并行化程度高 一般适用FPGA实现
...
...
...
r a θ b
r a θ b
θ l U M2 θl c d
θ l UMM c d
1、常见的信号源数目估计算法 ① AIC算法(A Kaik Information Theoretic Criteria)
1967
1969
扫描，比幅, 干涉仪， 常规波束形成等方法
Burg等提出 最大熵法
Capon提出 最小方差法 又称极大似然法

最大熵法(Maximum Entropy Method，MEM)
自相关函数 最大熵原则 外推数据

最小方差法(Minimum Variance Method, MVM)
寻加权矢量 恢复信号
收敛条件
求角
算法特点： ① 精度高分辨率高； ② 能直接分辨相干信号； ③ 无需信号源数目估计； ④ 思想简单实现复杂。
2005
时域处理算法
构建时域模型 算法特点： ① 只适用单信号； ② 基于时域模型； ③ 宽/窄带同时适用 ④ 计算量大，包含多重积分与 多维搜索
贝叶斯估计
多维搜索
现状
致力于算法应用 与实现的研究
奇异值分解
③
免分解或降维
信号源数目估计
④
免信源估计
③⑤以降 低计算量 为主要目 的
谱峰搜索
⑤
求根或快速搜索
1. 2. 3. 4. 5.
协方差矩阵 奇异值分解（SVD） 信号源数目估计 谱峰搜索 解相干算法
协方差矩阵是各阵元两两求协方差的结果： 假设波达最大时间差不超过一个采样间隔，则有： 单信号： R e j0 ( i j ) R + 2 ij s 多信号：
快 拍 数 正 确 率 曲 线 (15dB,30kHz) 100
80 MDL AIC GDE MDL去 失 配 AIC去 失 配 GDE去 失 配
80 MDL AIC GDE MDL去 失 配 AIC去 失 配 GDE去 失 配
正 确 率 /%
60
正 确 率 /%
60
40
40
20
20
0
0
5 10 15 snr/dB 20 25
U s Σ sV s U n Σ nV n
奇异值分解 协方差矩阵
ˆU ˆ H α ( , )]} ( , )MUSIC arg{min[α H ( , )U n n
,
依角度的扫描矢量
信号源数目估计
1 Pmusic ( , ) H H α ( , )Uˆ nUˆ n α ( , )
谱峰搜索
为了构造尖锐谱峰取倒数
改进算法 思路
谱峰搜索
求根类算法 旋转不变技术
目的
缩短运行时间 奇异值分解
智能优化算法
多级滤波 线性运算
避免复数运算
实值算法
起始算法
循环平稳特性 MUSIC 提高精度
阵元拓展 抑制色噪声 高阶累积量算法
虚拟阵型 模式空间算法
循环相关算法
阵型适用性
空间变换 信号传播特性