理论力学第十四章 达朗贝尔原理与动静法 教学PPT

Fi Ni Qi 0
mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0 mO (Fi ) mO (Ni ) mO (Qi ) 0
上式表明，在任意瞬时，作用于质点系的主动力、约束力和该点 的惯性力所构成力系的主矢等于零，该力系对任一点O的主矩也等于 零。
达朗贝尔原理一方面广泛应用于刚体动力学求解 动约束力；另一方面又普遍应用于弹性杆件求解 动应力。
工程实例
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爆破时烟囱怎样倒塌
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达郎贝尔原理
质点达朗贝尔原理
设质量为m的非自由质点M，在主动 力F和约束力N作用下沿曲线运动，
该质点的动力学基本方程为
N B
ma F N
考虑到式上式中的求和可以对质点系中任何一部分进行，而不限于 对整个质点系，因此，该式并不表示仅有6个平衡方程，而是共有3n个 独立的平衡方程。同时注意，在求和过程中所有内力都将自动消去。
达朗贝尔原理提供了按静力学平衡方程的形式给出质点系动力学 方程的方法，这种方法称为动静法。这些方程也称为动态平衡方程。
这表明，在质点系运动的任一瞬时，作用于每一质 点上的主动力、约束力和该质点的惯性力在形式上构成一 平衡力系。
这就是质点系的达朗贝尔原理。
质点系达朗贝尔原理
Fi Ni Qi 0
对于所讨论的质点系，有n个形式如上式的平衡方程， 即有n个形式上的平衡力系。将其中任何几个平衡力系合在 一起，所构成的任意力系仍然是平衡力系。根据静力学中 空间任意力系的平衡条件，有
Mac Mrc Macn Mrc 2
显然，当质心C在转轴上时，刚 体的惯性力主矢必为零。
z
RQn
aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
● 主矢
RQ＝－MaC＝－M (aCτ aCn )
z
具有质量对称平面的刚体绕垂 直于质量对称平面的固定轴转动时， 惯性力系向固定轴简化，得到的惯性 力系主矢的大小等于刚体质量与质心 加速度大小的乘积，方向与质心加速 度方向相反。
RQn
aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
● 对转轴的主矩
将刚体对转轴Oz的动量矩 Lz Iz
代入
M
zQ
dLz可得刚体惯性力对轴
dt
Oz的主矩
M zQ
dH z dt
d dt
(Iz) Iz
d
dt
即
M zQ Iz
z
RQn
MzQ aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
● 对转轴的主矩
M zQ
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对于任一固定点（或固定 轴）的主矩，等于质点系对于该点（或该轴）的动量矩对 时间的导数，并冠以负号。
惯性力系理，可以得到质点系的惯
性力对质心C的主矩表达式 ● 对质心轴
M CQ
dLC dt
以及它在通过质心C的某一平动轴 Cz上的投影表达式
惯性力系的主矢的简化
惯性力系的主矢
RQ＝ Qi＝ (－miai ) ＝－MaC
i
i
惯性力系的主矢等于刚体的质量与刚体质心 加速度的乘积，方向与质心加速度方向相反。
惯性力系主矩的简化
● 对任意固定点
又由对任意固定点O的动量矩定理有
MO
dLO dt
，代入
MO
MOQ
0
得
M OQ
dLO dt
● 对固定轴 现将上式两端投影到任一固定轴Oz上，
Q2
m2 Q1
m1 a2
RQ
M aC
Qn mn an
● 主矢
a1
RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
i
● 主矩 MQ＝0
刚体平移时，惯性力系简化为 通过刚体质心的合力。
常见惯性力的主失和主矩
2、刚体做定轴转动 具有质量对称平面的刚体绕垂直
于对称平面的固定轴转动。
设刚体绕固定轴Oz转动，在任意瞬 时的角速度为ω，角加速度为ε。
● 主矢 RQ＝ (－miai ) ＝－MaC
i
aC aC aCn
设质心C的转动半径为rc，则 RQ 和 RQn 的大小可分别表示为
RQ RQ RQn
z
RQn
aC
O
y
aCn C
x
RQ
常见惯性力的主失和主矩
RQ RQ RQn
其中 RQ Mac ; RQn Macn;
RQ＝－MaC＝－M (aCτ aCn )
M zQ
dLz dt
上式表明：质点系的惯性力对质心（或通过质心的平
动轴）的主矩，等于质点系对质心（或该轴）的动量矩对
时间的导数，并冠以负号。
惯性力系的简化
注意
• 惯性力系的主矢与刚体的运动形式无关。 • 惯性力系的主矩与刚体的运动形式有关。
常见惯性力的主失和主矩
1、刚体作平动
刚体平移时，惯性力系向 质心简化
质点达朗贝尔原理
F + N ＋ Q＝0
非自由质点达朗贝尔原理的投影形式
Fx N x Qx 0 Fy N y Qy 0 Fz N z Qz 0
质点系达朗贝尔原理
上述质点的达朗贝尔原理可以直接推广到质点系。将 达朗贝尔原理应用于每个质点，得到n个矢量平衡方程。
Fi Ni Qi 0
达朗贝尔原理与动静法
目录
达朗贝尔原理 惯性力系的简化 动静法应用举例 定轴转动刚体对轴承的动压力
引言
引进惯性力的概念，将动力学系统的二阶运动量 表示为惯性力，进而应用静力学方法研究动力学 问题 —— 达朗贝尔原理。
达朗贝尔原理为解决非自由质点系的动力学问题 提供了有别于动力学普遍定理的另外一类方 法。
QM
a
或
F N (ma) 0
AF
引入质点的惯性力Q=－ma这一 概念，于是上式可改写成
F N Q 0
上式表明，在质点运动的每一瞬时，作用于质点的主动力、约 束力和质点的惯性力在形式上构成一平衡力系。这就是质点的达朗 贝尔原理。
质点达朗贝尔原理
Q＝－ ma —— 质点的惯性力
F + N ＋ Q＝0 —— 非自由质点的达朗贝尔原理 作用在质点上的主动力和约束力与假想施加在 质点上的惯性力，形式上组成平衡力系。
惯性力系的简化
惯性力系的简化
对于作任意运动的质点系，把实际所受的力和虚加惯性力各自向 任意点O简化后所得的主矢、主矩分别记作R、MO和RQ、MOQ，于是， 由力系平衡条件，可得
R RQ 0 MO MOQ 0
由质心运动定理有 R = MaC ,得
RQ MaC
即质点系惯性力的主矢恒等于质点系总质量与质心加速度的乘 积，而取相反方向。