5机械振动g解析

t 1 15.7cms
1
1 sin( 1 ) 6 A vm 2
a1 0 , 则 cos( 1 0 ) 0 1
7 11 1 或 6 6 6
3.14 s 1
k 2 2 m J R




例2 已知某简谐振动的 速度与时间的关系曲线如 图所示，试求其振动方程。 1 v(cms )
解：方法1
31.4 15.7 设振动方程为 0 x A cos( t 0 ) 15.7 31.4
1
t ( s)
0 A sin 0 15.7cms 1 a0 2 A cos 0 0 0 15.7 1 1 A v m 31.4cms sin 0 A 31.4 2 5 a0 0 ,则cos 0 0 0 或 0 6 6 6
m 31.4 A 10cm 3.14
7 6 6
故振动方程为 x 10 cos(t 方法2： 用旋转矢量法辅助求解。

6
)cm
x A cos(t ) A sin(t ) m cos(t ) 2 1 m A 31.4cms
m k
1 2
k m
固有周期、固有频率、固有角频率
3、位相和初位相
x A cos( t 0 )
A sin( t 0 )
0 是t =0时刻的位相—初位相
t 0 —位相，决定谐振动物体的运动状态
位相差
两振动位相之差。
2 1
当=2k ,k=0,±1,±2…,两振动步调相同,称同相
k 0,1,2,
两分振动相互减弱
如 A1=A2 , 则 A=0
二. 同方向不同频率简谐振动的合成 分振动 合振动
x1 A cos 1t A cos 21t x2 A cos 2 t A cos 22 t
2 1 x 2 A cos 2 2 合振动不是简谐振动
d 2 2 0 2 dt
复摆：绕不过质心的水平固定轴转动的刚体 当 sin 时
d 2 mgh J 2 dt
mgh J
2
O
h
C
d 2 2 0 2 dt
mg
结论：复摆的小角度摆动振动是简谐振动。
例:如图m=2×10-2kg, 弹簧的静止形变为l=9.8cm t=0时 x0=-9.8cm 0 =0 m ⑴ 取开始振动时为计时零点， 写出振动方程； （2）若取x0=0， 0>0为计时零点， 写出振动方程,并计算振动频率。 解：⑴ 确定平衡位置 mg=k l 取为原点 k=mg/ l 令向下有位移 x, 则 f=mg-k(l +x)=-kx 作谐振动 设振动方程为 x A cos( t
合振动 : x x1 x 2
A2
M 2
2 1

M A1 1
x2
x1
x
x A cos(t )
A A A 2 A1 A2 cos( 2 1 )
2 1 2 2
A1 sin 1 A2 sin 2 tg 0 A1 cos 1 A2 cos 2
x x1 x2
2 1 t cos 2 t 2
2 1 2 1 则：x A( t ) cos 2 t 当 2 1 时,
2 1 随t 缓变 A( t ) 2 A cos 2 t 式中 2 2 1 cos 2 t cos 2 t 随t 快变 2

k m g l 9.8 10rad / s 0.098
O
x X
0
)
由初条件得
2
10rad / s
O
x
0 2 A x0 ( ) 0.098m m 0 0 arctg( ) 0, x 0 由x0=Acos0=-0.098<0 cos0<0, 取0=
1 2 E E k E p kA 2
机械能
简谐振动系统机械能守恒
E
E
Ep
o x
Ek
t
T
t
由起始能量求振幅
1 2 E kA 2
2 E0 2E A k k
5-2
简谐振动的合成
பைடு நூலகம்
A
M
一、同方向、同频率谐振动的合成 质点同时参与同方向同频率 的谐振动 :
x1 (t ) A1 cos(t 1 ) x2 (t ) A2 cos(t 2 )
（或正弦）规律变化的振动。
x A cos( t 0 )
一、简谐振动的运动学方程
弹簧振子：弹簧—物体系统
物体—可看作质点
轻弹簧—质量忽略不计，形变满足胡克定律
平衡位置：弹簧处于自然状态的稳定位置
k O
m
F kx
km
2
d2x kx m 2 dt
简谐振动 微分方程
x
d x 2 x 0 2 dt
谐振动系统的能量=系统的动能Ek+系统的势能Ep
某一时刻，谐振子速度为v，位移为x
A sin(t 0 ) x A cos( t 0 )
1 E k m 2 2 1 2 kA sin2 ( t 0 ) 2
1 2 E p kx 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
谐振动的动能和势能是时间的周期性函数
动 E 1 m 2 k 2 能
E k max
1 2 kA 2
1 2 2 kA sin ( t 0 ) 2
Ek min 0
E p max , E p min , E p
情况同动能。
势 能
E p 1 kx 2 2
1 2 kA cos 2 ( t 0 ) 2
四、简谐振动的实例 单摆
C
T
摆球对C点的力矩 M mgl sin 当 sin 时
d 2 ml 2 mgl dt
M mgl
O
f
mg
g/l
2
结论：单摆的小角度摆动振动是简谐振动。 角频率,振动的周期分别为： g 2 l 0 T 2 l g
2
简谐振动的微分方程 其通解为：
d2x 2 x0 2 dt
x A cos( t 0 )
简谐振动的运动学方程
cos( t 0 ) sin( t 0

2
)
0

2
x A sin(t )
x A cos( t 0 )
用旋转矢量表示相位关系

A2 A1
x
同相 反相

A2 A1 A2

x
A1
x
谐振动的位移、速度、加速度之间的位相关系
x A cos( t 0 )
A sin( t 0 ) m cos( t 0

2
)
a A 2 cos( t 0 ) am cos( t 0 )
o
a
mg
T
x
当m有位移x时
mg T ma
a T k ( l x )R J R 联立得 J kx m 2 a R d2x k x0 2 2 dt m J R
k
RJ
m
T
m
F2
o
a
mg
T
x


物体作简谐振动
m J R2 T 2 k 2
当=(2k+1) , k=0,±1,±2... 两振动步调相反,称反相
0
2 超前于1 或 1滞后于 2
位相差反映了两个振动不同程度的参差错落
三、简谐振动的旋转矢量表示法
t=t A
t+0
0
A t=0
x
o
X
x A cos( t 0 )
的旋转矢量与 轴夹角表示
t 时刻相位

t

t 0


2

2 由图知 2 3
2

1

6
o

t 1s
1
s
m 31.4 A 10cm 3.14 x 10 cos(t )cm
6
五 简谐振动的能量
以弹簧振子为例
第二篇
机械振动 与机械波
机械振动：物体在其平衡位置附近作来回往复的运动。 广义振动：任一物理量(如位移、电流等)在某一 数值附近反复变化。
振动分类
线性振动 自由振动 非线性振动
受迫振动
8-1 简谐振动
最简单最基本的线性振动。 简谐振动：一个作往复运动的物体，如果其偏离
平衡位置的位移x（或角位移）随时间t按余弦
振动方程为：x=9.810-2cos(10t+)
(2)按题意 t=0 时 x0=0， 0 >0 1 g 2 2 l x0=Acos0=0 , cos0=0 0=/2 ,3/2 0=-Asin>0 , sin 0 <0, 取0=3/2 1.6 Hz 固有频率 x=9.810-2cos(10t+3/2) m 对同一谐振动取不同的计时起点不同，但、A不变
x , , a
o
x
T/4
a
T/4
T t


m
A
90
0
0

90

t+
o
·
x
由图可见：
超前 x 2 a 超前 2
am
x m cos(t 2) a x am cos(t ) 2 A cos(t 2) A cos(t )

m
X
例:如图所示，振动系统由一倔强系数为k的 轻弹簧、 一半径为R、转动惯量为I的 定滑轮和一质量为m的 物体所组成。使物体略偏离平衡位置后放手，任其 振动，试证物体作简谐振动，并求其周期T. 解：取位移轴ox，m在平 衡位置时，设弹簧伸长量 为l，则
k
RJ
m
mg kl 0
T
m
F2
v A sin( t 0 )
初始条件 t 0 , x x0 , v v0
x0 A cos 0

v0

A sin 0
A
x0 (
2
v0

)
2
0 tan 0 x 0
二、描述简谐振动的特征量
1、振幅 A 简谐振动物体离开平衡位置的最大位 移（或角位移）的绝对值。
合振动可看作振幅缓变的简谐振动
x1
t
x2
t
x
t
拍
合振动忽强忽弱的现象
拍频 : 单位时间内强弱变化的次数
=|2-1|
拍 2 1
2 或：T 2 1
三、两个相互垂直的简谐振动的合成：同频率
分振动
x A1 cos(t 1 )
y A2 cos(t 2 )
合振动是简谐振动, 其频率仍为
分析
A A12 A22 2 A1 A2 cos( 2 1 )
若两分振动同相：
2 1 2k
A A1 A2
k 0,1,2,
两分振动相互加强
若两分振动反相:
2 1 (2k 1)
A A1 A2
合振动
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 A1 A2
x2 y2 x y 2 2 cos( ) sin ( 2 1 ) 2 1 2 2 A1 A2 讨论 A1 A2 A2 x y 2 x ) 0 y (1) 2 1 0 ( A1 A1 A2
2、周期 、频率、角（圆）频率
周期T 物体完成一次全振动所需时间。
1 频率 单位时间内振动的次数。 T 2 2 角频率 2
T
对弹簧振子
k m
A cos( t 0 ) A cos ( t T ) 0
T
2
T 2