2019研究生数学考试数一真题

2019年考研数学—真题及答案解析
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答案纸指定位置上。

（1）当0x →时，若tan x x -与k x 是同阶无穷小，则k = （A ）1. （B ）2. （C ）3.
（D ）4.
（2）设函数(),0,
ln ,0,x x x f x x x x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩则0x =是()f x 的
A.可导点，极值点.
B.不可导点，极值点.
C.可导点，非极值点.
D.不可导点，非极值点.
（3）设{}n u 是单调递增的有界数列，则下列级数中收敛的是
A.1m
n n u n
=∑
B.()
1
11m
n
n n
u =-∑ C.111m
n n n u u =+⎛⎫- ⎪⎝
⎭∑
D.()22
11
m
n n n u u +=-∑ （4）设函数()2,x
Q x y y
=
..如果对上半平面()0y >内的任意有向光滑封闭曲线C 都有()(),,0C
P x y dx Q x y dy +=⎰，那么函数(),P x y 可取为
A.2
3x y y
-.
B.231x y y
-. C.11x y
-. D.1x y
-
. （5）设A 是3阶实对称矩阵，E 是3.阶单位矩阵。

若22A A E +=，且4A =，则二次型T x Ax 的规范形为
A.222123y y y ++.
B.222
123y y y +- C.222123y y y --
D.222123y y y ---
（6）如图所示，有3张平面两两相交，交线相互平行，他们的方程()1231,2,3i i i i a x a y a z d i +++= 组成的线性方程组的系数矩阵和增广矩阵分别记为,A A ，则
A.()()2,3r A r A ==..........
B.()()
2,2r A r A == C.()()1,2r A r A ==..........D.()()
1,1r A r A ==
（7）设A ，B 为随机事件，则()()P A P B =的充分必要条件是 ....A..()()()P A B P A P B =+.........B.()()()P AB P A P B =.
C.()()P AB P BA =..................
D.()()
P AB P AB =
（8）设随机变量X 与Y 相互独立，且都服从正态分布()2,N μσ，则{}1P X Y -< A.与μ无关，而与2σ有关..........B.与μ有关，而与2σ无关. C.与2,μσ都有关..................D.与2,μσ都无关.
二、填空题：9-14小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．
指定位置上. ()9 设函数()f u 可导，()sin sin z f y x xy =-+，则
11cos cos z z
x x y y
∂∂⋅+⋅=∂∂
（10）微分方程22220yy y --=满足条件()01y =的特解y =.......
（11）幂级数()(
)012!n
n
n x n ∞
=-∑在()0,+∞内的和函数()S x = ()12设∑为曲面()222440x y z z ++=≥
的上侧，则z
=
()13设()123,,A ααα=为三阶矩阵，若12,αα线性无关，且312=2ααα-+。

则线性方程组0
Ax =的通解为
()14设随机变量X 的概率密度为(),02,
2
0,x
x f x ⎧<<⎪=⎨⎪⎩其他，()F x 为X 的分布函数，EX 为x 的数学期望，则(){}1P F X EX >-=
三、解答题：15——23小题，共94分，请将解答写在答题纸指定位置上，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。

()15（本题满分10分）设函数()y x 是微分方程22
x y xy e -
'+=满足条件()00y =的特解.
()1.求()y x
()2.求曲线()y y x =的凹凸区间及拐点
()16本题满分10分)设,a b 为实数，函数222z ax by =++在点()3,4处的方向导数中，沿方向
34l i j =--的方向导数最大，最大值为10. .....()1求,a b ；
.....()2求曲面()2220z ax by z =++≥的面积；
()17(本题满分10分)，求曲线()sin 0y e x x x =-≥与x 轴之间图形的面积
（18）（本题满分10
分）设()1
01,2,3...n a x n ==⎰
（1）证明：{}n a 单调递减，且()21
2,3 (2)
n n n a a n n --=⋅=+ （2）1
lim n
n n a a →∞-
（19）（本题满分10分）设Ω是由锥面()()22
21(01)x y z z z +---≤≤与平面0z <围成的锥体，求Ω的行心坐标。

（20）（本题满分11分）已知向量组
（Ⅰ）12321111,0,2443a ααα⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（Ⅱ）12321011,2,3313a a a βββ⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢
⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦
，若向量组（Ⅰ）和向量组（Ⅱ）等价，求α的取值，并将3β用123,ααα线性表示
（21）（本题满分11分）已知矩阵22122002A x --⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦与21001000B y ⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥
⎢⎥⎣⎦
相似， （1）求,x y ；
（2）求可逆矩阵P 使得1P AP B -=;
（22）（本题满分11分）设随机变量X 与Y 相互独立，X 服从参数为1的指数分布，Y 的概率分布为{}{}1,11P Y p P Y p =-===-.令Z XY = （1）求Z 的概率密度；
（2）p 为何值时，X 与Z 不相关；
（3）X 与Z 是否相互独立；
（23）（本题满分11分）设总体X 的概率密度为
()()
2
222
,,0,x A e x f x x μσμσσμ--⎧⎪≥=⎨⎪<⎩
其中μ是已知参数，0σ>是未知参数，A 是常数，12,,,n X X X 是来自总体X 的简单随机样
本，
（1）求A ；
（2）求2σ的最大似然估计量；。