矢量势理论

矢量势理论
矢量势的基本理论
（1）、磁矢量势A
利用磁场的无散度特征（▽·B=0），用一矢量的旋度▽×A来计算磁感应强度B，这是因为一个矢量的旋度再取散度恒等于零，即▽·（▽×A）=0，而▽·B=0，故令
B=▽×A
式中的A为矢量磁位，或称磁失位，单位是T·m（特斯拉·米），它是一个辅助矢量。

根据亥姆霍兹定理，要惟一地确定一个矢量必须同时给出它的旋度和散度。

因此，要惟一确定磁失位A，必须对A的散度做一个规定。

对于恒定磁场，一般规定
▽·A=0
并称这种规定为Coulomb Gauge。

在这种规范下，磁失位A就被惟一确定。

在均匀、线性和各向同性的磁介质中，将H=B
μ=1
μ
▽∇×A代入▽×H=J，得
∇×∇×A=μJ
又利用矢量恒等式∇×∇×A=∇（∇∙A）−∇2A和库仑规范▽·A=0，得到
∇2A=−μJ（1）上式称为磁失位A的泊松方程。

在无源区域（J=0），有
∇2A=0
上式称为磁失位A的拉普拉斯方程。

在直角坐标系中，A=e x A x+e y A y+e z A z、J=e x J x+e y J y+e z J z,故式（1）可表示为
∇2 e x A x+e y A y+e z A z=−μ（e x J x+e y J y+e z J z）
由于e x、e y、和e z均为常矢量，故上式可分解为三个分量的泊松方程，即
∇2A x=−μJ x
∇2A y=−μJ y
∇2A z=−μJ z
（2）
式（2）所示的三个分量泊松方程与静电位φ的泊松方程形式相同，可以确认它们的求解方法和所得到的解的形式也应相同，故可参照点位φ的形式直接写出
A x =μ J x ′dV ′+C x V ′A y =μ4π J y |r −r ′|dV ′+C y V ′A z =μ4π J z |r −r ′|dV ′+C z V ′ 将以上三个分量叠加即得磁失位泊松方程的解
A =μ J ′dV ′+C V ′ 上式中得C =e x C x +e y C y +e z C z 为常矢量，它的存在不会影响
B 。

同样可以写出
A =μ4π J |r −r ′|
dS ′+C S ′ A =μ4π J |r −r ′|
dl ′+C l ′ 可见，电流元产生的磁失位d A 是与电流元矢量平行的矢量，这是引入磁矢位的优点之一。

根据恒定磁场在不同煤质分界面上得边界条件
e n × H 1−H 2 =J S
e n ∙ B 1−B 2 =0
以及B =▽×A ，可得到不同煤质分界面上得磁失位A 的边界条件为
e n ×(11∇×H 1−12∇×H 2=J S ) A 1=A 2
（2）、矢量势A 的计算
因为B ＝▽Χ A ，代入∇×E =−∂B ∂t ,得∇×E =−
∂∇×A ∂t ， ∇×（E +
∂A ∂t ）=0 因为▽Χ(▽φ )=0，所以令E +
∂A ∂t =−∇∅，故有，E =−∂A ∂t −∇∅，上式左右两边取散度后有−∇2∅−∂（∇∙A ）
∂t =ρε。

因为B ＝▽Χ A ，代入▽×H ＝J +j ωμεE ，有▽×▽×A =μJ +j ωεμE ，利用公式∇×∇×A =∇（∇∙A ）−∇2A ，有
∇×∇×A =μJ +με[−∇ ∂∅∂t −∂2A ∂t 2]
∇∇∙A−∇2A=μJ−με∇∂∅
−με
∂2A
2
如果取∇∙A=−με∂∅
∂t
在频域，∇∙A r=−jωμε∅(r)称为Lorentz规范，相应的矢势和标势满足，下列方程
∇2∅−με∂2∅
2
=−
ρ
∇2A−με∂2A
∂t2
=−μJ
在频域里：
∇2∅r+ω2με∅r=−
ρ(r)
∇2A r+ω2μεA r=−μJ(r)如果对时间的导数为零，即回到静场：
则
∅=
ρdV
V ,A=μ
JdV
V
在时变场中ρ，A都是与时间有关的函数。

（3）、矢量势F
对于电位移D，在无源场中，D是个无散场，所以又div D=0
又因为
∇∙−∇×F=0
F是任意的矢量，定义D F=−∇×F，或者E F=−1
ε
∇×F,∇×H F=jωεE F，两式相减有
∇×H F+jωF=0
由矢量的定义，有
H F+jωF=−∇φ
所以有
H F=−∇φ−jωF
将∇×E F=−1
ε∇×∇×F=−1
ε
（∇∇∙F−∇2F）代入Maxwell方程
∇×E F=−M−jωμH F
有
∇2F+jωεμH F=∇∇∙F−εM
有
∇2F+β2F=−εM+∇（∇∙F+jωεμ∅m）
使∇∙F=−jωεμ∅m∅m=−1
jωεμ
∇∙F，则有∇2F+β2F=−εM，
H F=−jωF−
j
ωεμ
∇（∇∙F）
个人观点
磁矢量势电磁场学习中最基本的一个矢量定义，由电磁场导出的Lorentz规范和Coulomb规范在以后的学习中有很重要的作用。

Lorentz规范：
由矢量分析知，任一标量场梯度的旋度恒等于零，那么若规定另一个矢量磁位A′(r)为
A′r=A r+∇ψ（r）①式中ψ（r）为任何一个可微的标量函数。

将上式代入
B e r=∇×A(r)②
E e r=−∇∅r−jωA(r)③得
B e r=∇×A′r④
E e r=−∇ ∅r−jωψr−jωA′r⑤由此可见，若规定另一个标量电位∅’（r）为
∅’r=∅r−jωψr⑥
则式⑤变为
E e r=−∇∅’r−jωA′r⑦
变换式①以及式⑥称为规范变换，标量函数ψ（r）称为规范函数，由于ψ（r）是任意一个可微函数，因此，标量电位以及矢量磁位不是唯一的。

将式
④以及式⑦与式②和式③比较可见，在上述规范变换下，电磁场量与位函数之间的管事保持不变，这种特性称为规范不变性。

规定标量电位∅r与矢量磁位A r之间的关系满足Lorentz条件，若要求经过上述规范变换后的位函数A′r与∅’（r）之间满足Lorentz条件，即
∇∙A′r=−jωεμ∅’（r）
则这种规范变换称为Lorentz规范。

但是，满足Lorentz规范的规范函数ψ（r）不是任意的，它应满足一定的条件。

由于
∇∙A‘+jωεμ∅’=∇∙A+jωεμ∅+∇2ψ+k2ψ
可见，为了使A′r与∅’（r）之间满足Lorentz条件，必须要求规范函数ψ（r）满足齐次标量Helmholtz方程，即
∇2ψ+k2ψ=0
Coulomb规范
在电磁场的规范变换中，还有Coulomb规范。

此时，规定A r的散度为零，即∇∙A r=0，上式称为Coulomb条件。

那么，由式
∇2A r−∇∇∙A r=−μεω2A r−jω∇∅r−μJ(r)
∇2∅r+jω∇∙A r=−ρ(r)ε
得知，矢量位A r以及标量位∅r满足的微分方程为
∇2A r+k2A r=−μJ r+jωμε∇∅r
∇2∅r=−ρ(r)ε
对于前述规范变换，若要求变换后的矢量位A r也满足Coulomb条件，则这种规范称为Coulomb规范。

参考文献
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