《精品》2020届高三入学调研考试试卷 理科数学(三)-解析版

2020届高三入学调研考试卷理 科 数 学（三）注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。

2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。

写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。

4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。

一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知集合2{|230}A x x x =+-≤，{|2}B x =<，则A B =（ ）A ．{|31}x x -≤≤B ．{|01}x x ≤≤C ．{|31}x x -≤<D ．{|10}x x -≤≤【答案】B【解析】{|31}A x x =-≤≤，{|04}B x x =≤<， 所以{|01}AB x x =≤≤．故选B ．2．已知复数12z =+，则||z z +=（ ） A．122- B．122-- C．322- D．322+ 【答案】C【解析】因为复数122z =+， 所以复数z的共轭复数122z =-，||1z ==，所以13||12222z z +=-+=-，故选C ． 3．已知1sin 4x =，x 为第二象限角，则sin2x =（ ） A ．316-B．8-C．8±D．8【答案】B【解析】因为1sin 4x =，x 为第二象限角，所以cos x ===，所以1sin 22sin cos 2(4x x x ==⨯⨯=，故选B ． 4．在等比数列{}n a 中，若2a ，9a 是方程260x x --=的两根，则56a a ⋅的值为（ ） A ．6 B ．6- C ．1- D ．1【答案】B【解析】因为2a 、9a 是方程260x x --=的两根，所以根据韦达定理可知296a a ⋅=-，因为数列{}n a 是等比数列，所以5629a a a a ⋅=⋅，566a a ⋅=-，故选B ．5．设函数2sin cos ()(,0)x x xf x a R a ax +=∈≠，若(2019)2f -=，(2019)f =（ ） A ．2 B ．2-C ．2019D ．2019-【答案】B【解析】因为2sin cos ()x x xf x ax +=，所以22sin()cos()sin cos ()()x x x x x xf x f x ax ax---+-==-=-， 因此函数()f x 为奇函数，又(2019)2f -=，所以(2019)(2019)2f f =--=-． 故选B ．6．某调查机构对全国互联网行业进行调查统计，得到整个互联网行业从业者年龄分布饼状图、90后从事互联网行业者岗位分布条形图，则下列结论中不正确的是（ ）注：90后指1990年及以后出生，80后指19801989-年之间出生，80前指1979年及以前出生．A ．互联网行业从业人员中90后占一半以上B ．互联网行业中从事技术岗位的人数超过总人数的20%C ．互联网行业中从事运营岗位的人数90后比80前多D ．互联网行业中从事技术岗位的人数90后比80后多 【答案】D【解析】A ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，90后占了56%，故A 选项结论正确；B ．由90后从事互联网行业岗位分布图可知，技术所占比例为39.65%，故B 选项结论正确；C ．由互联网行业从业者年龄分布饼状图可知，在互联网行业从业者中90后明显比80前多，故C 选项结论正确；D ．在互联网行业从业者中90后与80后的比例相差不大，故无法判断其技术岗位的人数是谁多，故D 选项结论不一定正确． 故选D ．7．已知实数x ，y 满足不等式10320x y x y x y -+≥⎧⎪+≥⎨⎪-≤⎩，则2z x y =+的最小值为（ ）A ．4-B ．5C ．4D ．无最小值【答案】C【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，目标函数即1122y x z =-+，其中z 取得最小值时， 其几何意义表示直线系在y 轴上的截距最小，据此结合目标函数的几何意义可知目标函数在点A 处取得最小值，联立直线方程320x y x y +=⎧⎨-=⎩，可得点的坐标为(2,1)A ，据此可知目标函数的最小值为min 2224z x y =+=+=． 故选C ．8．我国古代《九章算术》将上下两个平行平面为矩形的六面体称为刍童．如图是一个刍童的三视图，其中正视图及侧视图均为等腰梯形，两底的长分别为2和6，高为2，则该刍童的体积为（ ）A ．0031B ．1043C ．27D ．18【答案】B【解析】由题意几何体原图为正四棱台，底面的边长分别为2和6，高为2，所以几何体体积1104(436233V =++⨯=．故选B ．9．已知向量(1,2)a =-，(1,)b m =，则“12m <”是,a b <>为钝角的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为(1,2)a =-，(1,)b m =，所以12a b m ⋅=-+， 则cos ,||||5a b a b a b ⋅<>==⋅，若12m <，则cos ,0||||5a b a b a b ⋅<>==<⋅， 但当2m =-时，a ，b 反向，夹角为180︒； 所以由12m <不能推出,a b <>为钝角； 反之，若,a b <>为钝角，则cos ,0a b <><且2m ≠-，即12m <且2m ≠-， 能推出12m <； 因此，“12m <”是,a b <>为钝角的必要不充分条件． 10．已知A 为椭圆2229x y +=的左顶点，该椭圆与双曲线22221x y a b-=的渐近线在第一象限内的交点为B ，若直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，则该双曲线的离心率为（ ） A．2B ．5C ．2D 【答案】D【解析】因为直线AB 垂直于双曲线的另一条渐近线，所以直线AB 的方程为(3)ay x b=+，联立(3)ay x b b y x a⎧=+⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，可得交点2222233(,)a abB a b a b ----， 代入椭圆方程整理得224b a =，即有225c a =11．如图，正方形的四个顶点(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D-，及抛物线2(1)y x =-+和2(1)y x =-，若将一个质点随机投入正方形ABCD 中，则质点落在图中阴影部分区域的概率是（ ）A ．23B ．13C ．16D ．12【答案】B【解析】∵(1,1)A --，(1,1)B -，(1,1)C ，(1,1)D -， ∴正方形的ABCD 的面积224S =⨯=，根据积分的几何意义以及抛物线的对称性可知阴影部分的面积：122310012[1(1)]2()|3S x dx x x =--=-⎰1242[(1)0]2333=--=⨯=，则由几何槪型的概率公式可得质点落在图中阴影区域的概率是41343=．故选B ．12．不等式3ln 1x x e a x x --≥+对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围（ ） A ．(,1]e -∞- B ．2(,2]e -∞-C ．(,2]-∞-D ．(,3]-∞-【答案】D【解析】题意即为3ln 1x a x x e x -≤--对(1,)x ∀∈+∞恒成立，即31ln x x e x a x ---≤对(1,)x ∀∈+∞恒成立，从而求31ln x x e x y x---=，(1,)x ∈+∞的最小值，而33ln 3ln 3ln 1x x x x x x e e e e x x ---==≥-+， 故313ln 113ln x x e x x x x x ---≥-+--=-，即313ln 3ln ln x x e x x x x----≥=-．当3ln 0x x -=时，等号成立，方程3ln 0x x -=在(1,)+∞内有根，故3min 1()3ln x x e x x---=-，所以3a ≤-，故选D ．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．设某总体是由编号为01，02，，19，20的20个个体组成，利用下面的随机数表选取6个个体，选取方法是从随机数表第1行的第3列数字开始从左到右依次选取两个数字，则选出来的第6个个体编号为__________．1818079245441716580979838619第1行 6206765003105523640505266238第2行【答案】19【解析】由题意，从随机数表第1行的第3列数字1开始，从左到右依次选取两个数字的结果为18，07，17，16，09，19，，故选出来的第6个个体编号为19．14．51(2)2x y -的展开式中23x y 的系数为__________．【答案】20-【解析】由二项式定理可知，展开式的通项为5151()(2)2rrr r T C x y -+=-，要求解51(2)2x y -的展开式中含23x y 的项，则3r =，所求系数为32351()(2)202C -=-．15．设()sin 22f x x x =+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度，得到()g x 的图像，若()g x 是偶函数，则ϕ的最小值为__________． 【答案】512π【解析】()sin 22sin(2)3f x x x x π=+=+，将()f x 的图像向右平移(0)ϕϕ>个单位长度得到()2sin(22)3g x x πϕ=-+，因为函数()g x 是偶函数，所以232k ππϕπ-+=+，122k ππϕ=-+，k ∈Z ，(0)ϕ>， 所以min512πϕ=，故答案为512π． 16．某外商计划在4个候选城市中投资3个不同的项目，且在同一个城市投资的项目不超过2个，则该外商不同的投资方案有种 ． 【答案】60【解析】每个城市投资1个项目有3343C A 种， 有一个城市投资2个有212423C C C 种，投资方案共3321243423243660C A C C C +=+=种．三、解答题：本大题共6大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．（12分）在ABC ∆中，角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c，sin (2)b A a B =-．（1）求角B 的大小；（2）D 为边AB 上的一点，且满足2CD =，4AC =，锐角三角形ACD面积为BC 的长．【答案】（1）6B π=；（2）BC =【解析】（1）因为sin (2)b A a B =-，所以sin sin sin (2)B A A B =，解得sin 2B B =，所以sin()13B π+=，因为(0,)B π∈，所以4(,)333B πππ+∈，32B ππ+=，解得6B π=． （2）因为锐角三角形ACD所以1sin 2AC CD ACD ⋅⋅∠=sin 4ACD ∠=， 因为三角形ACD为锐角三角形，所以1cos 4ACD ∠==， 在三角形ACD 中，由余弦定理可得：2222cos AD AC CD AC CD ACD =+-⋅⋅∠，所以4AD =，在三角形ACD 中，sin sin CD AD A ACD=∠，所以sin A =， 在三角形ABC 中，sin sin BC ACA B=，解得BC = 18．（12分）如图，在三棱锥P ABC -中，AC =，2AB BC =，D 为线段AB 上一点，且3AD DB =，PD ⊥平面ABC ，PA 与平面ABC 所成的角为45︒．（1）求证：平面PAB ⊥平面PCD ；（2）求二面角P AC D --的平面角的余弦值． 【答案】（1）见解析；（2）5． 【解析】（1）因为AC =，2AB BC =，所以2222)4AB BC BC =+=，所以ABC ∆是直角三角形，AC BC ⊥；在Rt ABC ∆中，由AC =，30CAB ∠=︒，不妨设1BD =，由3AD BD =得，3AD =，2BC =，AC = 在ACD ∆中，由余弦定理得222222cos30323cos30CD AD AC AD AC =+-⋅︒=+-⨯⨯︒3=，故CD =，所以222CD AD AC +=，所以CD AD ⊥；因为PD ⊥平面ABC ，CD ⊂平面ABC ，所以PD CD ⊥， 又PDAD D =，所以CD ⊥平面PAB ，又CD ⊂平面PCD ，所以平面PAB ⊥平面PCD ．（2）因为PD ⊥平面ABC ，所以PA 与平面ABC 所成的角为PAD ∠，即45PAD ∠=︒，可得PAD ∆为等腰直角三角形，PD AD =，由（1）得3PD AD ==，以D 为坐标原点，分别以DC ，DB ，DP 所在直线为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则(0,0,0)D，C ，(0,3,0)A -，(0,0,3)P ．则(0,0,3)DP =为平面ACD 的一个法向量． 设(,,)x y z =n 为平面PAC 的一个法向量， 因为(0,3,3)PA =--，(3,0,3)PC =-，则由00PC PA ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩nn ，得30330z y z -=--=⎪⎩，令1z=，则x =1y =-，则1,1)=-n 为平面PAC 的一个法向量，故cos ,5DP <>==n ， 故二面角P AC D -- 19．（12分）某公司生产某种产品，一条流水线年产量为10000件，该生产线分为两段，流水线第一段生产的半成品的质量指标会影响第二段生产成品的等级，具体见下表：从第一道生产工序抽样调查了100件，得到频率分布直方图如图：若生产一件一等品、二等品、三等品的利润分别是100元、60元、100-元．（1）以各组的中间值估计为该组半成品的质量指标，估算流水线第一段生产的半成品质量指标的平均值；（2）将频率估计为概率，试估算一条流水线一年能为该公司创造的利润； （3）现在市面上有一种设备可以安装到流水线第一段，价格是20万元，使用寿命是1年，安装这种设备后，流水线第一段半成品的质量指标服从正态分布2(80,2)N ，且不影响产量．请你帮该公司作出决策，是否要购买该设备？说明理由．（参考数据：()0.6826P X μσμσ-<≤+=，(22)0.9548P X μσμσ-<≤+=， (33)0.9974P X μσμσ-<≤+=），【答案】（1）80.2；（2）30万元；（3）见解析． 【解析】（1）平均值为：720.1760.25800.3840.2880.1580.2⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．（2）由频率直方图，第一段生产半成品质量指标(74P x ≤或86)0.25x >=，(7478P x <≤或8286)0.45x <≤=， (7882)0.3P x <≤=，设生产一件产品的利润为X 元，则(100)0.20.250.40.450.60.30.41P X ==⨯+⨯+⨯=，(60)0.30.250.30.450.30.30.3P X ==⨯+⨯+⨯=， (100)0.50.250.30.450.10.30.29P X =-=⨯+⨯+⨯=，所以生产一件成品的平均利润是1000.41600.31000.2930⨯+⨯-⨯=元， 所以一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是30万元． （3）374μσ-=，78μσ-=，82μσ+=，386μσ+=， 设引入该设备后生产一件成品利润为Y 元，则(100)0.00260.20.31480.40.68260.60.536P Y ==⨯+⨯+⨯=， (60)0.00260.30.31480.30.68260.30.3P Y ==⨯+⨯+⨯=， (100)0.00260.50.31480.30.68260.10.164P Y =-=⨯+⨯+⨯=，所以引入该设备后生产一件成品平均利润为1000.536600.31000.16455.2EY =⨯+⨯-⨯=元，所以引入该设备后一条流水线一年能为该公司带来利润的估计值是55.2万元， 增加收入55.23020 5.2--=万元，综上，应该引入该设备．20．（12分）已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b+=>>的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为长为半径的圆与直线0x y -+=相切，过点(4,0)P 的直线l 与椭圆C 相交于A ，B 两点． （1）求椭圆C 的方程；（2）若原点O 在以线段AB 为直径的圆内，求直线l 的斜率k 的取值范围．【答案】（1）22143x y +=；（2）(k ∈．【解析】（1）由12c e a ==可得2243a b =，又b ==24a =，23b =．故椭圆的方程为22143x y +=．（2）由题意知直线l 方程为(4)y k x =-．联立22(4)143y k x x y =-⎧⎪⎨+=⎪⎩，得2222(43)3264120k x k x k +-+-=．由2222(32)4(43)(6412)0Δk k k =--+->，得214k <．① 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则21223243k x x k +=+，2122641243k x x k -=+． ∴22212121212(4)(4)4()16y y k x k x k x x k x x k =-⋅-=-++．当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，∴22212121212(1)4()16OA OB x x y y k x x k x x k ⋅=+=+-++2222222264123287(1)416250434343k k k k k k k k -=+-⋅+=-<+++，②．由①②，解得55k -<<． ∴当原点O 在以线段AB 为直径的圆内时，直线l的斜率(55k ∈-． 21．（12分）设函数2()(,)xx ax bf x a R b R e ++=∈∈．（1）若1x =-是函数()f x 的一个极值点，试用a 表示b ，并求函数()f x 的减区间；（2）若1a =，1b =-，证明：当0x >时，1()(21)f x x e≤-．【答案】（1）23b a =-，当4a <时，函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞， 当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞；（2）见解析．【解析】（1）由222(2)()(2)()x x x xx a e x ax b e x a x a bf x e e+-++-+-+-'==， 有(1)(12)0f a a b e '-=-+-+-=，得23b a =-．此时有22(2)(23)(2)3()x xx a x a a x a x a f x e e-+-+---+--+'== (1)[(3)][(1)][(3)]x xx x a x x a e e ++-----=-=-．由1x =-是函数()f x 的一个极值点，可知31a -≠-，得4a ≠． ①当31a ->-，即4a <时，令()0f x '<，得3x a >-或1x <-， 函数()f x 的减区间为(,1)-∞-，(3,)a -+∞．②当4a >时，函数()f x 的减区间为(,3)a -∞-，(1,)-+∞．（2）由题意有21()xx x f x e+-=，要证1()(21)(0)f x x x e ≤->， 只要证：2(21)(1)0(0)xx e e x x x --+-≥> 令2()(21)(1)(0)xg x x e e x x x =--+->有()(21)(21)(21)()xxg x x e e x x e e '=+-+=+-． 则函数()g x 的增区间为(1,)+∞，减区间为(0,1)， 则min ()(1)0g x g ==． 故不等式1()(21)f x x e≤-成立．请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．（10分）【选修4−4：坐标系与参数方程】在平面直角坐标系xOy 中，直线l的参数方程为322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩（t 为参数），在极坐标系（与直角坐标系xOy 取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以x 轴正半轴为极轴）中，圆C的极坐标方程为ρθ=． （1）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程；（2）设圆C 与直线l 交于A ，B 两点，若点P的坐标为，求||||PA PB +． 【答案】（1）直线l的普通方程为3y x =-++； 圆C的直角坐标方程为22(5x y +-=；（2）【解析】（1）由直线l的参数方程322x y ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩（t 为参数）得直线l 的普通方程为3y x =-++由ρθ=，得220x y +-=， 即圆C的直角坐标方程为22(5x y +=．（2）将直线l 的参数方程代入圆C 的直角坐标方程，得22(3)()522-+=，即240t -+=，由于2440Δ=-⨯>，故可设1t ，2t是上述方程的两个实根，所以12124t t t t ⎧+=⎪⎨=⎪⎩又直线l过点P ，故1212||||||||PA PB t t t t +=+=+= 23．（10分）【选修4-5：不等式选讲】 已知函数()|||31|f x x m x m =----． （1）若1m =，求不等式()1f x <的解集；（2）对任意的x R ∈，有()(2)f x f ≤，求实数m 的取值范围． 【答案】（1）(,3)-∞；（2）1123m -≤≤． 【解析】（1）()|1||4|1f x x x =---<，所以11(4)1x x x <⎧⎨---<⎩或141(4)1x x x ≤≤⎧⎨---<⎩或4141x x x >⎧⎨--+<⎩．解之得不等式()1f x <的解集为(,3)-∞．（2）当31m m +>，12m >-时，由题得2必须在31m +的右边或者31m +重合，所以231m ≥+；∴13m ≤，所以1123m -<≤；当31m m +=，12m =-时，不等式恒成立；当31m m +<，12m <-时，由题得2必须在31m +的左边或者与31m +重合，由题得231m ≤+，13m ≥，所以m 没有解．综上，1123m -≤≤．。