概率论与统计学基础

概率
随机实验某一结果发生的可能性，或 随机变量取某一数值的可能性 古典定义：假设随机实验每一基本结果 发生的可能性都相同（丢硬币，抽王8） 频率定义：频数除以事件发生的总数 （班级成绩十档划分）
0≤p≤1
总体与样本
总体对应的随机变量（Y）
英语 期末成绩
85分
总体与样本
总体和抽样 随机样本 个体，样本容量 随机样本对应的随机变量：独立同分布随机 变量的集合 一个样本：一组观察值
离散型随机变量
连续型随机变量
概率密度函数
标准正态分布
期望值
期望值：随机变量集中趋势的度量 以概率为权数的加权平均值 定义：离散型随机变量数学期望
变量X的取值 x1 x2 …… xn 相应概率P p1 p2 …… pn
期望值
期望值：随机变量的集中趋势 以概率为权数的加权平均值 定义：离散型随机变量数学期望
离散型随机变量
概率函数
X-正面朝上的次数，0（1/4）,1（1/2）,2（1/4） -----------一个硬币扔两次
商A0731班第四学期英语期末成绩
实验：随机抽一位同学 问题： 你被抽中的概率是多少？ 用随机变量Y代表被抽中同学的成绩 1、Y的取值范围： A0731班第四学期英语期末成绩 2、Y的概率函数
协方差为正：同方向变动 协方差为负：反方向变动
(线性)相关系数
-1< 相关系数 < 0 0 < 相关系数 < 1
相关与独立
相关系数为零，则不相关 不相关，不一定相互独立 相互独立，则一定不相关，相关系数为零
样本与总体
总体：随机变量Y 例如：全班同学上学期的英语成绩 随机样本，样本容量 例如，五个成绩，即五个随机变量 Y1,Y2,Y3,Y4,Y5 1、样本的随机变量和总体的随机变量同 分布 2、样本的随机变量相互独立
Var(x+y)=Var(x)+Var(y)=Var(x-y) （5）Var(a+bx)=b 2 Var(x) （6）Var(x)=E(x2)-(E(x))2
连续型随机变量的趋期势望与方差
协方差
一种特殊的期望值，度量两个随机变量 同时变动的方向
协方差
一种特殊的期望值，度量两个随机变量 同时变动的方向
E(X×Y)=E(X) ×E(Y)
条件期望
E(Y | X) :给定X的取值，Y的期望值 性质1： 如果E(Y | X) ＝ E(Y) ＝a，则X与Y不相关 性质2： 如果E(Y | X) ＝ f（X），则X与Y相关
方差
方差：随机变量离散程度的度量
平均值
实际值
方差
方差：随机变量平均离散程度的度量
无偏性
有效性
总体某个参数θ的无偏估计量往往不只一 个，而且无偏性仅仅表明估计量的所有 可能的取值按概率平均（均值）等于θ， 它的可能取值可能大部分与θ相差很大。 为保证估计量的取值能集中于θ附近，必 须要求估计量的方差越小越好。所以， 提出有效性标准。
有效性
有效性
正态分布
正态分布的概率密度函数
实验
计算： （Y1＋Y2＋Y3＋Y4＋Y5）/5 总体均值： 72.28
估计量
估计总体的公式 总体方差的估计量：样本方差
估计量
估计总体的公式 总体方差的估计量：样本方差
估计量的选择标准
可以设计很多种估计量。 衡量估计量优良性的重要标准： 无偏性，有效性
无偏性
无偏性的直观意义： 根据样本推得的总体参数的估计值和总 体参数的真值一般不会相同 但是，无数个样本估计值的均值可以和 总体参数的真值相同 “平均来说，我的估计方法是准确的” 特别提醒：无偏性是估计量的性质，不 是估计值的性质。
第一部分
概率论与统计学基础
基本符号
基本符号
基本符号
基本符号
基本符号
基本符号
基本符号
基本符号
随机实验
至少有两个可能结果，但不确定哪个结 果会出现的实验。 例如： 约会请求
总体
随机实验所有可能结果的集合
随机变量
将实验的每一结果量化，就可以用随机 变量来刻划总体 随机变量：取值由随机实验结果决定的 变量(如：大头朝上的个数1、2、0)
若随机变量X的数学期望E(X)存在，称 [X-E(X)]为随机变量X的离差。
随机变量离差平方的数学期望，叫随机
变量的方差，记作Var(x)
方差的算术平方根叫标准差。
方差
随机变量离差平方的数学期望，叫随机 变量的方差，记作Var(x) 方差的算术平方根叫标准差。
方差的性质
（1）Var(c)=0 （2）Var(c+x)=Var(x) （3）Var(cx)=c 2 Var(x) （4）如果x,y为相互独立的随机变量，则
变量X的取值 x1 x2 …… xn 相应概率P p1 p2 …… pn
期望值
期望值
连续型随机变量：
数学期望的性质
1. 若a、b为常数，则E(aX+b)=aE(X)+b 2. 若X、Y为两个随机变量，则
E(X+Y)=E(X)+E(Y) 3. 若g(x)和f(x)分别为X的两个函数，则
E[g(X)+f(X)]=E[g(X)]+E[f(X)] 4.若X、Y是两个独立的随机变量，
估计量（估计公式）
用样本估计总体参数的公式 例如代表上学期英语成绩的随机变量Y的 均值 随机样本：Y1,Y2,Y3,Y4,Y5 问题： 如何估计Y的均值（期望值）？ 加总39个同学的成绩再除以39？？？ 样本均值：（Y1＋Y2＋Y3＋Y4＋Y5）/5
估计Βιβλιοθήκη Baidu与估计值
估计量是随机变量 随机样本：无数个样本（575757） 一个具体的样本： 1、样本中每个随机变量都取定一个观察 值 2、根据估计量的公式计算估计值
正态分布
小概率事件
如果随机变量X服从正态分布，方差为σ 那么|X| > 2σ的概率是5％ 在实践中，人们普遍认为小概率事件是 不可能发生的 反证法：如果根据某一假设进行推理， 得到的结果是一个小概率事件， 那么可以认为上述假设是错误的
标准正态分布
正态分布的性质
中心极限定理
随数量的增加，独立同分布随机变量的 和趋向于服从正态分布 或者说 无论总体服从什么类型的分布，当样本 容量不断增大时，样本均值趋向于服从 正态分布
均值：n，n为自由度 方差：2n，n为自由度
t分布
t分布
t分布的均值为0 t分布的方差为n/(n-2); n=30, 1.07
F分布
F分布