国赛赛题解析(五)2005A 长江水质的评价和预测(灰色预测和多元线性回归)
2005年A题全国数学建模优秀论文3
问题假设
1. 2. 3. 假设干流的自然净化能力是均匀的； 假设两个观测站之间河段的平均流速是等于两个观测站流速的平均值； 假设废水的处理对各类污染程度的河流的影响是均匀的。
符号说明
X1 X2 X3 X4 溶解氧的浓度（DO） 高锰酸盐指数（CODMn） 氨氮浓度（NH3－N） PH 值 污染物的浓度 水流的流量 污染物的降解系数 水流的流速 污染物流过的距离 第 n 个观测站（地区）水流所含污染物的质量 第 n 个观测站（地区）排放污染物的质量 第 i 类污染程度的河流总长度比例 第 t 年排污量
再根据排污量预测值，利用 BP 神经网络对未来十年的不同水质的河长比例进行了 预测。 为了得到排污量与各类水质的河长比例，本文再次利用 BP 神经网络的高精度逼近 能力对排污量与六类水质的河长比例的关系进行拟合。 从而可以得到每年控制污染所应 当处理的废水量：单位（亿吨） 年份 废水处理量 2005 58.2 2006 123.6 2007 133.3 2008 174.3 2009 163.0 2010 189.9 2011 245.4 2012 272.1 2013 300.5 2014 300.7
华南理工大学：李宁、董泽彦、林泽彬，指导教师：陶志穗
有很多传统的系统评估方法比如加权评估法、专家评估法、综合评分法以及层次分 析法都不免受到主观因素不同程度的影响。 而本文使用的基于主成分分析所构造的评估 机制则可以避免主观因素对评估的影响，使得评估结果客观的反映系统状况。 主成分分析方法是一种将多维因子纳入同一系统进行定量化研究、 理论成熟的多元 统计分析方法。通过分析变量之间的相关性，使得所反映信息重叠的变量 被某一主成分替代，减少了变量数目，从而降低了系统评价的复杂性。再以方差贡献率 作为每个主成分的权重，由每个主成分的得分加权即可完成对水质的综合评价。 为了确定主要污染物高锰酸盐指数（CODMn）和氨氮（NH3-N）的主要污染源,我 们需要知道各个地区主要污染物的排放质量。 而本地区污染物的排放质量可以通过当前 观测站的污染物质量与上游对本地区影响部分质量的差值来确定。 通过污染物的降解公 式分析出上游对本地区影响部分质量变化关系， 进而得出本地区污染物排放的质量关系 式。根据长江干流近一年多的基本数据计算出各地区污染物的平均排放速度，进而确定 主要污染源。 长江水质被分为六个级别，代表了不同程度的污染，不同水质河长的比例可以表征 一定时期内的水污染状况。所以说预测长江未来十年的水污染趋势，就是要预测未来不 同水质的河长的比例。对每年的排污量与不同水质河长的比例做一个相关性分析： 第I类 第 II 类 第 III 类 第 IV 类 第V类 劣V类 -0.8058 0.3164 -0.3371 0.3183 0.6624 0.9570 相关系数 可见排污量与不同水质河长的比例有很高的相关性， 与劣 V 类的相关系数更是达到 了 0.9570 的水平， 因此在作对不同水质河长的比例之前， 必须先对未来的排污量有比较 精确的预测。 由于附件中数据样本少,需要预测的时间长，直接应用神经网络很难取得理想的效 果，因此本文采用 GM(1,1)模型与神经网络模型联合预测长江未来十年的水污染趋势， 尝试着首先较精确预测出部分重要的数据， 为建立神经网络预测未来不同水质的河长的 比例提供更多的数据，从而完成对不同水质河长的比例的预测。GM(1,1)模型就可以用 来较好的预测出未来的排污量。
cumcm05A长江水质的分析和预测
长江水质的分析和预测摘要本文基于十年内长江流域水流量和水质的数据,对长江水质作出定量的综合分析, 研究并探讨了水质的变化及其影响因素,对未来十年的长江水质作出预测. 对于问题 1,分别给出 4 个观测项目标准下的各水质等级观测值数量的比例,及其 地域分布规律.对于水质的综合评价,我们首先以单指标最差原则得出各个河段水质的 综合评价结果;而后,引入模糊评价方法,以各水质等级作为污染物浓度的模糊子集, 计算各断面的污染程度对水质类别的隶属度,得出各河段水质的综合评价. 对问题 2,将干流污染问题简化为非点污染源对干流污染物浓度变化的影响问题. 在此条件下根据质量守恒原理与水动力学得出一维水质模型微分方程, 在非点源为线源 形式时,分别给出流速不变与河道横截面积不变两种情况下浓度的解析解,继而求出各 地区污染源的平均污染物浓度, 进而得到两种主要污染物的主要污染源均在宜昌到岳阳 地区和岳阳到九江地区的结论. 对于未来十年的水质预测,为了降低预测的复杂性,我们首先通过聚类分析将六类 水质聚合为三个等级, 然后采用时间序列分析和多元分析两种数理统计方法对水质进行 预测.对于前者,我们尝试了指数平滑法和神经网络算法做时间序列分析,得到未来水 质百分比变化.对于多元分析,我们构造简单的水箱模型作出水质等级百分比和年废水 排量与年流量比值存在线性关系的猜想,并通过相关性分析验证此猜想,建立线性预测 模型;同时,通过曲线拟合得出了模型中的重要因子年废水排放量和年流量的未来十年 变化规律,从而预测出对应年份的各水质等级河段的比例: 预测 I,II,III IV,V 劣V 2005 68.5% 19.7% 11.7% 2006 66.1% 20.9% 13.1% 2007 64.5% 21.6% 13.9% 2008 63.9% 21.8% 14.3% 2009 63.6% 22.0% 14.4% 2010 63.1% 22.2% 14.7% 2011 61.7% 22.8% 15.5% 2012 59.4% 23.9% 16.7% 2013 56.1% 25.4% 18.6% 2014 52.3% 27.1% 20.6%对于问题 4,我们根据线性预测模型的预测结果,以处理污水总量最小为目标建立 线性规划模型,在满足劣 V 类水和 IV,V 类水比例的约束条件下得出每年需要处理的 污水量(如下表)并分析了两类约束对最优解的影响. 年份 处理量 2005 141.5 2006 155.8 2007 167.1 2008 175.8 2009 183.5 2010 192.2 2011 203.5 2012 218.1 2013 235.1 2014 252.8关键字:隶属度,一维水质模型,聚类分析,时间序列指数平滑法,神经网络, 相关性分析,多元分析法1长江水质的分析和预测............................................................................................................ 1 1.摘要................................................................................................................................. 1 2.问题重述......................................................................................................................... 2 3.问题分析......................................................................................................................... 3 3.1 水质的综合评价.................................................................................................. 3 3.2 主要污染源.......................................................................................................... 3 3.3 水质的预测.......................................................................................................... 3 3.4 每年所需处理的污水量...................................................................................... 3 4.符号约定......................................................................................................................... 4 5.模型假设......................................................................................................................... 4 6.水质综合评价,地区污染状况:对问题 1 的回答..................................................... 4 6.1 总体概览.............................................................................................................. 4 6.2 单项目指标评价.................................................................................................. 5 6.3 地区单项目对比评价.......................................................................................... 6 6.4 综合评价.............................................................................................................. 8 7.污染源分析:对问题 2 的回答................................................................................... 11 8.预测模型的建立和求解:对问题 3 的回答............................................................... 14 8.1 对六种类别的聚类分析:................................................................................ 14 8.2 时间序列分析预测:指数平滑法.................................................................... 15 8.3 时间序列分析预测:神经网络........................................................................ 16 8.4 多元分析预测:线性预测模型........................................................................ 16 8.4.1 年废水排放量 W 与年总流量 F 对水质的函数关系的猜想.................. 17 8.4.2 单位流量的污水排放量 R 与各水质等级比例的函数关系确定........... 19 8.4.3 年污水排放量 W 的预测 .......................................................................... 21 8.4.4 水流量 F 的预测....................................................................................... 22 8.4.5 未来十年内各等级水河段比例的趋势................................................... 23 9.模型应用:对问题 4 的解答....................................................................................... 24 10.污染治理方略:对问题 5 的回答............................................................................. 25 11.模型评价 ..................................................................................................................... 26 11.1 时间序列分析方法和多元分析方法 ............................................................ 26 11.2 线性预测模型的局限性 ................................................................................ 26 12.模型拓展..................................................................................................................... 27 13.参考文献..................................................................................................................... 272.问题重述根据附表对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价, 并分析各地区水质的污 染状况;研究,分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源;假如 不采取更有效的治理措施,依照过去 10 年的主要统计数据,对长江未来水质污染的发 展趋势做出预测分析,比如研究未来 10 年的情况;根据预测分析,确定每年处理污水 量使得未来 10 年内每年长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水的比例在 20%以内, 且没有劣Ⅴ类水.23.问题分析3.1 水质的综合评价 我们认为,对水质的评价分为层次评价和综合评价,前者是以某一个因素作为分类 变量对不同因素下的水质进行单独评价和对比;而后者是在一定的原则下,对各地 区的水质用一个综合的参数来描述.对于前者,我们分别在 4 个观测项目标准的层 面下分析了整个流域各采样点在各个水质等级的分布,同时在不同地区的层面上对 各污染指标在各地区的分布作了统计分析.在综合评价中,当综合评价指标反映该 地区水质满足饮用水要求的水平时,应该以四个水质水平中最差的一项作为该地区 污染水平的度量;当此指标反映该地区各个水质因素的综合影响时,应考虑四个水 质标准的某种方式下的加权平均.3.2 主要污染源 我们认为,主要污染源是单位时间内污染物排放量最大的若干河段.因此,主要污 染源的确定问题等效为污染物排放量的确定问题.各河段污染物主要来自于上流的 污染物和本河段的污染物排放,而本河段污染量可由观测点的水流量,流速和污染 物浓度确定.因此,在确知本河段的水流量,流速,污染物浓度和上游河段的这三 个量的值的情况下,建立相应的水质变化模型描述污染物浓度随漂流距离的变化, 可以求出个河段的污染物排放量.3.3 水质的预测 水质的预测可以用两种不同的数理统计方法.一是将水质自身的历史变化视为时间 序列,对此序列进行统计分析寻求其规律性,并据此对水质未来的变化作出分析预 测;第二种方法是寻求影响水质的因素并通过统计分析找出两者的统计关系,通过 对影响因素的预测,得出水质的预测值.我们对于这两种方法都作了尝试并分析其 结果.3.4 每年所需处理的污水量 我们认为短期内, 每年污水的排放量只由当年的工业发展需求与居民生活需求决定, 而与上一年的水质和治理情况无关,则根据污水排放量的预测值,并结合上题中污 水排放量与水质的关系,可以计算出达到一定水质下每年所需处理的污水量.34.符号约定Qi Vi Ci :干流上各观察站处水流量 :干流上各观察站处水流速 :干流上各观察站处水中污染物浓度 :干流上相邻观察站之间地区所接纳水流平均污染物浓度 :干流上相邻观察站之间地区单位时间排放污染物的量 :干流上相邻观察站之间距离 :污染物降解速率,本题中取 k = 0.2 / 天 :年总废水排放量 :年总流量 :年废水总排放量与年总流量之比 :某类水质对应的河段长度占总河长的百分比 :年处理废水量Cd , i Mi LikWF R Px5.模型假设1.假设在干流相邻观察站点之间,排污点沿岸均匀分布,且每个排污点排出的各污染 物的浓度均相同; 2.不考虑污染物在江水中的弥散作用,认为污染物排入江水后立即与江水混合均匀.6.水质综合评价,地区污染状况:对问题 1 的回答6.1 总体概览 对 2003.6.~2005.9.的长江流域的 17 个观测站进行 476 次水质观测数据综合评价, 各 类水质所占百分比如下图:4如上图所示,I 类水质相当少,仅占 7.8%,超过半数的测验结果属于第 II 类水质, 其次有 19.1%属于第 III 水质,不可饮用的 IV,V 和劣 V 类水质共占到 15.6% 采用加权平均法, 将长江干流上的各个观察站的某物质浓度以该站水流量为权重求 取平均值,可得到长江干流上该物质的平均浓度.我们以此考察水质分类所用的 3 项物 质在长江干流中的平均含量.由于题目仅给出 13 个月的水流量数据,我们选取 2004.5.~2005.4.数据,对 7 个观察站水流量以及 3 项物质在观察站处的浓度进行插值计 算,再加权平均,得到最近的一年内长江干流上溶解氧,高锰酸盐指数,氨氮的平均浓 度,其值分别为 8.26mg/L, 2.62mg/L, 0.25mg/L .可见,长江的水质目前在总体上可划归 第 II 类.6.2 单项目指标评价 在 476 次测量中,分别以四个项目的标准限值划分水质等级,得出这四种划分方式 下各水质等级采样点所占总采样点比例数如下 水质类别 PH 值 溶氧量(DO) 高锰酸盐指数 氨氮(NH3-N) I 56.51% 28.99% 27.52% II 30.46% 53.78% 50.21% 100% III 7.14% 13.03% 11.76% IV 5.46% 4.20% 4.83% V 0.21% 0 2.10% 劣V 0 0.21% 0 3.57% 可见 PH 值无超标现象,另外三种指标的第 I,II 类水质均占到 80%左右,对不可 饮用水 (IV, 劣 V 类) 其比例分别为 5.82%, V, , 4.2%和 10.5%, 可见水域中氨氮 (NH3-N) 的污染相对严重, 高锰酸钾指数 (CODMn) 无低于第 IV 类标准的采样值, 溶氧量 (DO) 也极少低于第 IV 类标准.56.3 地区单项目对比评价 用 spss 软件分别绘制各个水质项目标准的地区状况图如下:各个地区的 PH 值虽有不同,但都在 6-9 的范围内,并且距离超限还有较大空间;所有地区的平均溶解氧(DO)都在第 III 类水质标准以上,即平均为可饮用水,并 且除四川乐山岷江大桥和江西南昌滁槎外其它均为第 I,II 类水质;而且可看出干流的6七个观测点的水质要明显优于支流平均状况.对于平均高锰酸盐指数(CODMn) ,除四川乐山岷江大桥和湖南岳阳岳阳楼为 III 类水质外,其它均为第 I,II 类水质;然而水质最好的地区的平均高锰酸盐指数都接近 于第 I 和 II 类的分界线,说明各地区虽污染程度不严重,但普遍被污染.7显而易见,江西南昌滁槎的平均氨氮(NH3-N)远远高于其它地区,并远远超出劣 V 类水质标准,污染相当严重.属于第 III 类水质的湖南长沙新港,四川泸州沱江二桥 和四川乐山岷江大桥也接近 IV 类水质标准,其它地区水质相对好,尤其在七个干流区 域,平均水质都在 I,II 类别.支流的某些区域相对容易受到氨氮的污染. 各地区各项观测指标的平均水平基本都符合饮用水要求,即属于 I,II,III 类水平, 但并不保证所有时间,这些地区的水质都适合饮用,因为各项观测指标的平均水平反映 的是各地区不同污染物的大致状况.考虑到各地区水质随时间变化有着很大的不均衡 性,为了更严格的确定各地区水质类别,我们采用单指标最差原则,即认为各个地区水 质污染状况由其水质最差指标的级别决定.6.4 综合评价 单指标最差原则: 对于地区的每次观测,取 4 个指标下水质最差的类别作为观测结果,取其 28 次的 观测结果中水质最差者作为其水质类别.单指标最差原则是对水质的一个严格的限制, 该原则下的各地区任何时期的水质水平都严格优于其水质类别要求. 即该原则下属于饮 用水标准 I,II,III 类的地区,在任何时间的水质都是饮用安全的. 根据在每个地区进行的 28 次,共计 476 次观测结果,我们得到下表: (单位:次) I类 8 0 0 0 2 1 2 0 1 3 20 0 0 0 0 0 0 II 类 15 20 25 18 26 26 25 4 19 13 8 3 15 18 0 19 20 III 类 3 8 3 10 0 1 1 9 4 4 0 14 10 9 3 5 7 IV 类 2 0 0 0 0 0 0 9 1 4 0 11 3 1 10 4 1 V类 0 0 0 0 0 0 0 6 3 1 0 0 0 0 1 0 0 劣V类 0 0 0 0 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 14 0 0 水质类别 IV III III III II III III V V 劣V II IV IV IV 劣V IV IV四川攀枝花 重庆朱沱 湖北宜昌南津关 湖南岳阳城陵矶 江西九江河西水厂 安徽安庆皖河口 江苏南京林山 四川乐山岷江大桥 四川宜宾凉姜沟 四川泸州沱江二桥 湖北丹江口胡家岭 湖南长沙新港 湖南岳阳岳阳楼 湖北武汉宗关 江西南昌滁槎 江西九江蛤蟆石 江苏扬州三江营在长江一维概化图上,依照上述分类结果得到长江水质的大略分布图:8由上图可看出, 长江流域水大部分属于第 III 类和第 IV 类. 干流水质优于支流水质, 四川岷江,沱江,江西赣江流域污染严重,而南水北调的引水区丹江口水库水质较好. 此外,水流经洞庭湖,鄱阳湖后水质均变好. 隶属度评价: 在上述单指标最差原则评价中, 一个地区水质的综合评价由本河段影响最大的污染 因素的指标来衡量,则最差因素相同而其他污染因素水平有差别的两个河段,在此综合 评价中的等级是相同的.为了得到河水中各个污染因素对水质的综合影响,我们引入模 糊综合评价法对各断面的水质情况做出综合评价. 首先对影响水质的各个污染因素进行 单独评价,用模糊数学的概念,计算出每个地区的污染因素的平均浓度对于各个水质类 别的隶属度.然后考虑不同因素在总体中的地位,配以适当的权重,经过运算得出总的 评价评价结果.起计算步骤如下: Step1: 建 立 因 子 集 : 根 据 题 目 所 给 的 影 响 水 质 的 因 素 , 建 立 因 子 集 为u = {DO, CODMn, NH 3 H , PH } .Step2: 对于每一个因子集里的元素, 计算每个地区的相应因素对于各个等级的隶属 度.以氨氮 NH 3 H 为例,以 NH 3 H 的浓度作为论域 U = {0, +∞} ,则"I 类水质", "二类水质" 等都是 U 上的模糊子集. 每一个确定的 NH 3 H 的浓度 ρ 对于模糊子集 "第i 类水质"的隶属度为 μi ( ρ ) ,其中函数 μ = μi ( x) 为浓度 x 对于模糊子集的隶属度函数.NH 3 H 的浓度区间分界线为题目中所给出的《地表水环境质量标准》的六个限值,即LNH 3 ={0.15,0.5,1.0,1.5,2.0,+∞} ,则定义隶属度函数为:1 LNH 3 (2) x μ1 ( x) = LNH 3 (2) LNH 3 (1) 0 … x < LNH 3 (1) LNH 3 (1) ≤ x < LNH 3 (2) else91 μi ( x) LNH 3 (i + 1) x μi ( x ) = LNH 3 (i + 1) LNH 3 (i ) 0 …LNH 3 (i 1) ≤ x < LNH 3 (i ) LNH 3 (i ) ≤ x < LNH 3 (i + 1) elseLNH 3 (5) ≤ x elseμ6 ( x) = 1 μ5 ( x) 0由此可得出此地区的 NH 3 H 的浓度关于 6 个水质等级的隶属度向量. 类此可得出 其他污染因素的隶属度向量 Step3: 设四个因素对总体水质影响的权值分别分 λ1 , λ2 , λ3 , λ4 ,将同一个地区四个污 染因素的隶属度向量以 λ1 , λ2 , λ3 , λ4 为权值求加权平均,则可得到 17 个地区的整体水质 对于六个水质类别的隶属度. 在此以 λ1 = λ2 = λ3 = λ4 = 1/ 4 ,求的 17 个地区的整体水质的隶属度向量如下 I类 0.90 0.81 0.75 0.53 0.92 0.82 0.98 0 0.61 0.30 1.00 0.50 0.44 0.72 0.28 0.58 0.70 II 类 0.10 0.19 0.25 0.47 0.08 0.18 0.02 0.36 0.39 0.49 0 0.22 0.53 0.28 0.29 0.42 0.30 III 类 0 0 0 0 0 0 0 0.64 0 0.21 0 0.28 0.03 0 0.10 0 0 IV 类 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 V类 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 劣V类 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0.33 0 0四川攀枝花 重庆朱沱 湖北宜昌南津关 湖南岳阳城陵矶 江西九江河西水厂 安徽安庆皖河口 江苏南京林山 四川乐山岷江大桥 四川宜宾凉姜沟 四川泸州沱江二桥 湖北丹江口胡家岭 湖南长沙新港 湖南岳阳岳阳楼 湖北武汉宗关 江西南昌滁槎 江西九江蛤蟆石 江苏扬州三江营从上表看出,整体水质隶属度的提出,可以避免传统的仅用一个确定性指标衡量而 导致对水质总体污染程度性缺乏认识的现象,使评价更为全面和客观.此表即可作为个 地区污染水平的一个总的评价,也可作为采取污水处理工作优先级别的确定. 但这种基于模糊数学的评价标准也存在其固有的缺陷.首先,由于我们对各个不同 污染因素的影响做加权平均,如果在某一河段,某一种污染物的浓度显著的高,而其它10污染物水平相对较低，会导致两种污染物浓度对应的污染程度的模糊子集没有交集甚至相差很远；此时，加权后整体水质的隶属度集合中会出现断层。
长江水质的评价与预测_2005年甲组全国一等奖(江帆、纪诚、雷春财)
长江水质的评价与预测摘要：文章对长江水质进行了评价和预测，具体包括以下四个方面：(一) 由附件3中的数据得到每个地区28个月的时间内4个主要项目指标的平均值、方差和置信区间，结合质量标准确定每个地区水质的类别（水质类别的确定：各项指标中类别最高（也即该项指标最差）作为水质最后的综合评价类别）；得到各个水质类别依此给出长江整体水质评判为Ⅱ类。
（二）长江干流某一个地区污染物的浓度（总量）取决于上游下来的污染物的浓度（总量）、长江干流自然净化能力以及本地区排放的污染物的浓度（总量）。
考虑一年多来的情况可以得到某一个地区13个月排放的污染物的浓度（总量），对得到的13个值求均值、置信区间，然后对长江干流7个观测站污染物的浓度（总量）排序、比较得出高锰酸盐和氨氮的污染源在：湖北宜昌、湖南岳阳、江西九江。
（三）考虑到这是一个短期的、少数据量的时间序列，本文首先采用了灰色预测的方法，以某类水质河长占统计河长的百分比为对象，分三个时期（枯水期、丰水期、水文年），预测长江未来十年全流域、干流与支流的水质状况。
鉴于灰色预测方法的应用前提是数据序列符合或基本符合指数规律变化，序列波动小且变化速度慢，同时考虑到对长江水质污染起主要作用的是Ⅳ、Ⅴ、和劣Ⅴ类水，本文将Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类水的百分比求和作为一个整体取对数变换后进行预测。
由于三类水百分比相加后使得数据序列更平滑，预测得到的结果更加合理。
对Ⅳ、Ⅴ、和劣Ⅴ类，采取间接预测：如对Ⅳ类水质，由于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、和劣Ⅴ类水的百分比总和为1，本文不直接以Ⅳ类的百分比为对象预测，而是以Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ、和劣Ⅴ类水的百分比的和为对象，取对数后预测，再由预测结果还原得到劣Ⅴ类水的预测值，由于Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅴ、和劣Ⅴ类水百分比和相对波动小，预测得到的结果比较合理。
然后，本文采用了线性回归模型对灰色预测模型进行比较与验证。
（四）本文假定长江干流的污水主要来自长江支流，并且排放的废水中主要包括Ⅳ、Ⅴ、和劣Ⅴ类水，首先预测未来十年内长江支流的年废水排放量，然后利用（三）中的预测数据（未来十年Ⅳ、Ⅴ、和劣Ⅴ类水的百分比）得到每年排放的废水中这三类水质的总量，引入长江干流水的总量这一个参量（实际的计算中不需要），结合具体的要求得到每年需要处理的污水总量。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A 长江水质的评价和预测
长江水质的评价和预测摘要文章在已有数据的基础上，建立了水质依靠流量、流速和降解系数的数学模型，找出了污染源的所在地。
建立一元线性回归模型，对后十年污水治理做出了预测。
利用Matlab，C语言程序进行求解。
得出了有关结论。
针对问题一，根据03、04年长江流域水质报告表，对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价。
对每一个地区在近两年的28个月中的水质情况进行统计，找出该地区污染的种类及该种类污染出现的频率。
以此为依据分析各地区水质的污染状况。
针对问题二，根据主要污染物在各个观测点的观测数据，建立了水质依靠流量、流速和降解系数的数学模型。
对长江干流沿岸各个地段的排污量进行统计，找出了主要污染源所在地区：长江中游湖北宜昌至湖南岳阳段。
针对问题三，根据各个年份废水排放量总量，采用一元线性回归模型找出废水排放量总量与年份之间的关系。
根据水文年支流和干流的相关数据和各年长江总流量和废水排放量，得出长江总流量中废水排放量的比例，利用matlab对1995-2004年长江总流量中废水排放量的比例拟合（不考虑1998年特大洪水），对未来十年废水排放量占长江总流量比例进行预测。
从预测结果中，发现污水百分比呈逐年上升的趋势（从2005年的3.27%到2014年的6.24%），由此说明长江污水的处理迫在眉睫。
针对第四问，依照过去10年的Ⅳ类、Ⅴ类水和Ⅵ水的统计数据，通过数据拟合构建了一元线性回归模型、预测的未来十年Ⅳ类、Ⅴ类水和Ⅵ水占长江总水量的百分比。
引入流量的概念，得到长江的总水量HS。
由治理污水的标准建立分段函数。
从而求出未来十年每年需要处理的污水量。
针对第五问，提出了解决长江水质污染问题的从四方面着手的方案：沿江工厂的整治，民众意识的唤醒，上游植被的保护，以及法律的硬性要求。
一问题重述2004年10月“保护长江万里行”考察团，对长江沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”，并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤。
全国数学建模大赛历年题目分析以及参赛成功方法
全国数学建模大赛历年题目分析以及参赛成功方法数学建模竞赛的赛题分析1. CUMCM历年赛题简析2. “彩票中的数学”问题3. 长江水质的评估、预测与控制问题4. 煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题5. 其他几个数学建模的问题数学建模竞赛的规模越来越大,水平越来越高；竞赛的水平主要体现在赛题水平；赛题的水平主要体现：（１）综合性、实用性、创新性、即时性等；（２）多种解题方法的创造性、灵活性、开放性等；（３）海量数据的复杂性、数学模型的多样性、求解结果的不唯一性等。
纵览16年的本科组32个题目(专科组13个)，从问题的实际意义、解决问题的方法和题型三个方面作一些简单的分析。
一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1992年:(Ａ)作物生长的施肥效果问题(北理工：叶其孝）(B)化学试验室的实验数据分解问题（复旦：谭永基）1993年:(Ａ)通讯中非线性交调的频率设计问题（北大:谢衷洁）(Ｂ)足球甲级联赛排名问题（清华：蔡大用）1994年:(Ａ)山区修建公路的设计造价问题（西电大：何大可）(Ｂ)锁具的制造、销售和装箱问题（复旦:谭永基等）1995年:(Ａ)飞机的安全飞行管理调度问题（复旦:谭永基等）(Ｂ)天车与冶炼炉的作业调度问题（浙大:刘祥官等）一、CUMCM历年赛题的简析1. CUMCM 的历年赛题浏览：1996年:(A)最优捕鱼策略问题（北师大：刘来福）(B)节水洗衣机的程序设计问题（重大：付鹂）1997年:(A)零件参数优化设计问题（清华：姜启源）(B)金刚石截断切割问题（复旦：谭永基等）1998年:(A)投资的收益和风险问题（浙大：陈淑平）(B)灾情的巡视路线问题（上海海运学院:丁颂康）1999年:(A)自动化机床控制管理问题（北大：孙山泽）(B)地质堪探钻井布局问题（郑州大学：林诒勋）(C)煤矸石堆积问题（太原理工大学：贾晓峰）一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览：2000年:(A)DNA序列的分类问题（北工大：孟大志）(B)钢管的订购和运输问题（武大：费甫生）(C)飞越北极问题（复旦：谭永基）(D)空洞探测问题（东北电力学院：关信）2001年:(A)三维血管的重建问题（浙大：汪国昭）(B)公交车的优化调度问题（清华：谭泽光）(C)基金使用计划问题（东南大学：陈恩水）2002年:(A)汽车车灯的优化设计问题（复旦:谭永基等）(B)彩票中的数学问题（信息工程大学：韩中庚）(D) 球队的赛程安排问题（清华大学：姜启源）一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览2003年:(A)SARS的传播问题（集体）(B)露天矿生产的车辆安排问题（吉林大：方沛辰）(D)抢渡长江问题（华中农大：殷建肃）2004年:(A)奥运会临时超市网点设计问题(北工大：孟大志)(B)电力市场的输电阻塞管理问题(浙大:刘康生）(C)酒后开车问题（清华大学：姜启源）(D)公务员的招聘问题（信息工程大学：韩中庚）2005年:(A)长江水质的评价与预测问题（信息工大:韩中庚）(B)DVD在线租赁问题（清华大学：谢金星等）(C) 雨量预报方法的评价问题（复旦：谭永基）一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览2006年:(A)出版社的资源管理问题（北工大:孟大志）(B)艾滋病疗法的评价及预测问题（天大：边馥萍）(C)易拉罐形状和尺寸的设计问题（北理工：叶其孝）(D)煤矿瓦斯和煤尘的监测与控制问题（信息工程大学：韩中庚）2007年:(A)中国人口增长预测问题（清华大学:唐云）(B)“乘公交，看奥运”问题（吉大：方沛辰，国防科大：吴孟达）(C)“手机套餐”优惠几何问题(信息工程大学:韩中庚)(D)体能测试时间的安排问题(首都师大:刘雨林)一、CUMCM历年赛题的简析一、CUMCM历年赛题的简析1.CUMCM 的历年赛题浏览2001年夏令营三个题:(A)三峡工程高坡开挖优化设计(三峡大学:李建林等）(B)城市交通拥阻的分析与治理(北京理工大学:叶其孝）(C)乳房癌的诊断问题（复旦大学:谭永基）2006年夏令营三个题:(A)教材出版业的市场调查、评估和预测方法问题（北工大:孟大志）(B)铁路大提速下的京沪线列车调度问题（信息工程大学:韩中庚）(C)旅游需求的预测预报问题（北京理工：叶其孝）2、从问题的实际意义分析32个问题从实际意义分析大体上可分为：工业、农业、工程设计、交通运输、经济管理、生物医学和社会事业等七个大类。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题: 长江水质的评价和预测水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。
专家们呼吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。
”长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。
2004年10月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。
为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速）。
通常认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。
一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。
反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。
事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2(单位：1/天)。
附件4是“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。
下面的附表是国标(GB3838-2002)给出的《地表水环境质量标准》中4个主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
请你们研究下列问题：（1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地区水质的污染状况。
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区?（3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去10年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的情况。
【全国大学生数学建模竞赛获奖优秀论文作品学习借鉴】长江水质的评价和预测
长江水质的评价和预测李云锋王勇...本文利用长江流域近两年多主要城市水质检测数据，通过对原始数据进行归一化综合处理，确定了水质新的综合评判指标函数ψ。
在对整个长江流域所有观测站的位置关系作一定的简化假设后，得到长江综合评定函数值ψ=0．4331，水质为良好。
主要污染物为氨氮。
通过建立污染浓度的反应扩散方程，本文用三种方法反演出未知的污染源强迫函数f（x，t），并对，（x，t）的三种数据加以综合分析，分别给出了高锰酸钾盐和氨氮污染源的主要分布地区。
为了对长江未来水质污染发展趋势进行预测，本文建立了回归分析模型并对回归系数进行了F检验，结果是如果不采取有效的治理措施。
长江可饮用水将逐年下降，且10年后可饮用水所占长江水总量的比例将不到50％。
根据这一预测结果，我们进而使用二元线性回归模型。
通过对各种不可饮用水进行综合考虑，得到如下结果：要在未来10年内使长江干流的不可饮用水（IV类和V类水）的比例控制在20％以内，且没有劣V 类水，那么每年污水处理量至少为75．195亿吨长江水质的评价和预测.pdf (370.52 KB)水质的评价和预测模型张震张超...本文首先考虑到水质类别的差异和相同类别水质在数量上的差异对综合评价的影响。
构造“S”形的变权函数，对属于不同水质类别的同种污染指标进行“动态加权”，建立基于逼近理想点排序法的评价模型和利用灰色关联度的分析方法。
对长江水质状况做出了综合评价：其次，根据7个观测站的位置将干流分成8段，把每段河道内所有污染源都等效为一个段中央的连续稳定源，分别利用稳态条件下的一维水质模型及质量守恒定律。
得出中间6段每个月的排污量，综合比较各河段一年多来的总排污量得到主要污染源的分布区域：然后，用每年不可饮用类水的百分比之和刻画水质状况。
综合利用灰色GM（1，1）模型和时间序列分析方法，对变化趋势进行了预测：最后，建立不可饮用类水的百分比与长江水总流量和废水排放量的线性回归模型，计算在满足约束条件下排污量的极限值，用排污量的预测值减去极限值，得到未来10年的污水处理量水质的评价和预测模型.pdf (283.07 KB)长江水质的评价预测模型谯程骏张东辉...本问题是一个对长江的水质进行综合评价、预测和控制的问题。
数学建模竞赛命题过程及题目分析
油位探针
油位探测 装置
油位探针
油
β
3m
地平线垂直线
（a）无偏转倾斜的正截面图 （b）横向偏转倾斜后正截面图
结合评奖对本科组选作A, B题的分析
• 本科组全国14108队参赛，送全国1393份论文，其中A题877 份（63%），B题516份（37%），其比例基本代表全部参赛 队的情况.
• 获一等奖的210 队中A题133队，B题77队.
• A题获一等奖的队多数集中在重点高校：
北京17队（北航5、北大3、北邮3、清华2）
图3 储油罐截面示意图
油
注油口
位
出油管
探
针 油浮子
1.2m
1.2m
油 α
0.4m 2.05m (a) 小椭圆油罐cm正面示意图
水平线
1.78m
Байду номын сангаас
(b) 小椭圆油罐截面示意图
图4 小椭圆型油罐形状及尺寸示意图
附件1 实验数据
流水 C进油 D油位高
号
量/L 度/mm
采集时间
说明
2010-08-20 (1)罐体无变位进油，罐内
11
50 159.02
10:32:18 油量初值262L；
12
100 176.14
2010-08-20 (2)C列进油量是每次加入 10:33:18 50L油后的累加值
13
150 192.59
2010-08-20 (3)D列是原罐内初始油量加入 10:34:18 相应油量后油位高度值。
05年A题
但对于收益性指标 DO ,则计算式应定义为：
Iij = Sj Cij
当每个评价指标的超标比都计算完之后,通过归 一化对数据进行标准化,便能算出每个评价指标的权 重:
Wij I ij
I
j 1
3
ij
由此得到权重矩阵 Wij 用于模糊综合评价，如下 表：
项目 溶解氧权重 观测站
附件 3 给出了长江沿线 17 个观测站 （地区） 近两年 多主要水质指标的检测数据，以及干流上７个观测站近 一年多的基本数据（站点距离、水流量和水流速） 。通常 认为一个观测站（地区）的水质污染主要来自于本地区 的排污和上游的污水。 一般说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化 能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和 生物降解等使水中污染物的浓度降低。
2 0.15
4 0.5
6 1.0 6---9
10 1.5
15 2.0
∞ ∞
请研究下列问题： （1） 对长江近两年多的水质情况做出定量的综合 评价，并分析各地区水质的污染状况。 （2） 研究、 分析长江干流近一年多主要污染物高 锰酸盐指数和氨氮的污染源主要在哪些地区? （3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 10 年的主要统计数据，对长江未来水质污染的发展 趋势做出预测分析，比如研究未来 10 年的情况。
2.4 问题四 题目要求根据预测分析结果，在未来 10 年内每年都 要求长江干流的Ⅳ类和Ⅴ类水总的比例控制在 20%以内， 且没有劣Ⅴ类水的前提下，求出每年需要处理的污水量。 我们由第三问预测结果可以得到 I、II 和 III 类水即饮用 水百分比与废水排放总量的关系式，IV 和 V 类水百分比 与废水排放总量的关系式和劣 V 类水百分比与废水排放 总量的关系式。我们理解处理污水是在废水排放之前就 要处理掉，所以依据条件：饮用水的百分比>=80%、Ⅳ类 和Ⅴ类水总的百分比<=20％和劣 V 类水的百分比为 0， 就可以求出允许的最大废水排放总量，再计算其与预测 出的 2005 年～2014 年每一年废水排放总量之差， 结果就 是 2005 年～2014 年每一年所需要处理的污水总量。
05A长江水质的评价和预测 真题分析
长江水质的评价和预测
分类
标准值
序
项目
号
Ⅰ类
Ⅱ类
Ⅲ类
Ⅳ类பைடு நூலகம்
Ⅴ类 劣Ⅴ类
7.5
1 溶解氧(DO) ≥
（或饱和率 6
他因此被评为首届“中国十大民间环保杰出人 物”、“2005中国最具影响力100人”之一，并被 联合国有关机构授予“全球生态和环保杰出成就 奖”，被中央主流媒体誉为“长江之子”。
2020/8/19
7
三、长江水质的评价与预测问题－－
1.问题的背景与提出
章琦给中央有关部门撰写了长篇研究报告，发 表多篇保护长江的文章和做多场报告，促使成为 2005年两会关注的主题。
先后联系走访了单位和专家：
•中国研究院院长：章琦及其秘书；
•华东师大终身教授、博导、全国政协委员：
•中国环保局信息中心；
•水利部中国水环境研究院信息中心； •科学院水质研究所；
陆健健
•长江水利管理委员会信息中心；
•《长江年鉴》编辑部。
主要数据来源：
国家环保局网站：长江流域水质检测数据、
《长江年鉴》、长江流域相关网站等。
数学建模培训讲座 ----
长江水质的评价和预测
• 水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对 于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼 吁：“以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境， 减少污染。”
• 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋 严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10 月，由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行” 考察团，从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做 了实地考察，揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让 人触目惊心。为此，专家们提出“若不及时拯救，长江生态10 年内将濒临崩溃”（附件１），并发出了“拿什么拯救癌变长 江”的呼唤（附件2）。
2005A
关于2005年A题的感想一、做2005年A题的主要思路2005年全国数学建模竞赛A题是关于长江水质的评价和预测。
题目的4个附件给出了长江沿线17个观测站28个月的主要水质指标的检测数据（主要包括四个指标：PH值、氨氮含量、高锰酸盐含量以及含氧量），以及干流上7个观测站近一年多的基本数据（包括站点距离、水流量和水流速），此外还给出了“1995~2004年长江流域水质报告”给出的主要统计数据（主要是十年间不同类型水质的河长和百分比）。
要求解决的主要问题是对长江水质做出定量的评价；确定主要污染物的污染源；预测未来水质污染趋势；预测分析排污量。
那么分析题目可以确定主要问题是要做评价和预测两项工作。
首先，对于问题一附件4中给出了国家标准地表水的评价指标，先要明确水质有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ共 6个类别，每一类对每一项指标都有相应的标准值（区间），只要有一项指标达到高类别标准就算是高类别的水质。
这是一个评价标准。
而Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水，Ⅳ、Ⅴ、劣Ⅴ类为不可饮用水，因此应该想到用归一法将两类水区分开。
另外，由于各项指标在各类别中的标准值（区间）差别很大，量纲也不同，评价时要先对各项指标的数据做标准化处理。
依据现有的四个水质指标的数据要评价水质我们有两种思考方向：一、主成分分析法提取主成分，并把主成分得分按方差贡献率加权求和，得出每个地区的污染综合评价指数，进而可以计算每个月长江流域的污染综合评价指数。
这种思想的好处是能够消除指标之间可能存在的相关性，以避免数据对结果的影响叠加造成误差，另外还可以确定不同的指标对水质影响的权重，避免了直接加权法和层次分析法过程中主观因素造成的误差；二、建立评价指标函数。
评价指标函数应当能够全面准确的描述水质。
首先可以查找资料，看有没有现成的水质评测函数。
其次就是要根据附件所给的四个指标（PH值、氨氮含量、高锰酸盐含量以及含氧量）分析权重建立合理的指标函数。
建立指标函数的过程应该系统科学。
2005年中国大学生数学建模竞赛论文(长江水质的评价和趋势分析模型)I.pdf
云南大学：张平、肖哲、陈哲愚，指导教师：施继红
Wpf max ： Wyc Wcl min ： ：
4 问题分析
本题针对长江水的污染问题， 提出对长江水质现状的评测以及对长江水质将来状况 的预测问题。我们认为对长江水质的综合评价应该从各类污染物对水质的影响出发，从 客观的实测数据出发，给定各类物质各一个权值反映其对水质影响大小，利用相对比较 的原理进行评测， 对一个时期内的水质的综合分析采用把大时期划分成小时期的方式考 虑；对各地水质污染状况的评测，可以采用平均监测值的方法去判断一个时期内此地区 的水质状况； 考虑污染源的定位问题可以考虑上游观测站与下游观测站的污染物浓度存 在差值的原因是污染源的污水排放量与江水自净能力，在这些数据中只要知道上游观测 站浓度、 下游观测站浓度、 江水自净系数即可求出在观测站之间江水段上注入的污水量， 此量相对越大就说明此江水段上存在主要的污染源；对于预测，可以考虑到将来的值与
4
ti ：
C ij ：
Q C C混 Bi ： ： ：
：
bi ：
Ci ：
Vi ：
2005 年全国大学生数学建模竞赛全国一等奖
云南大学：张平、肖哲、陈哲愚，指导教师：施继红
问题三的变量： St( p ) Xt A Yt T ： ： ： ： ： t 周期的 p 次平滑指数 第 t 周期的实测值。 平滑系数，即权系数 第 t 周期的预测值； 由基准的周期数到需要预测时间的周期数；
2005长江流域水质的评价和预测
承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。
我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。
如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。
我们参赛的题目是：长江流域水质的评价与预测我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：中南大学参赛队员(打印并签名) ：1. 封朋成2. 李平衡3. 周佳指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：秦宣云日期： 2005 年 9 月 19 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：长江流域水质的评价和预测摘要本文根据长江流域水质监测数据和近十年长江流域水质统计报告，对长江水质进行了综合评价和污染源分布分析，并分别建立了水质预测和水质控制模型，提出了解决长江水质污染问题的可行性建议。
首先对长江水质作定量评价。
考虑长江水质污染物浓度受水文流量及污染物排放因素的影响较大，存在随机性，且影响大小的量化存在模糊性。
因此建立了模糊概率综合评价模型。
模型建立大致分3个步骤：1、对各评价指标值的等级分布进行概率统计；2、计算各个评价指标值对各个水质等级的隶属度和权重；3、计算被评价点对各个等级的综合隶属度，并据其进行等级划分。
通过模型求解得出各监测点的细致的污染等级分布（见正文中表1），发现17个监测地区的水质大部分（13个）处于等级I与等级Ⅱ之间，Ⅱ级以上的有4个，其中江西南昌滁槎（赣江的鄱阳湖入口处）综合评价等级为5.0859，水质属于劣Ⅴ类，污染强度大。
历届数学建模国赛题
历届数学建模国赛题 及优秀论文赏析
2008 B：高等教育学费标准探讨 问题涉及： 评价（3），预测（2） 主要可用模型或方法： 不定 要求能力： 数据搜索能力，微分方程，个人价值观， 文笔 决胜关键： 结论的合理性，数据的全面程度和准确程 度
2009 A: 制动器试验台的控制方法分析 问题涉及： 计算（3），评价（1），优化（1） 主要可用模型或方法： 物理知识（静动力学分析，转动惯量等）， 排列组合，优化算法 要求能力： 大数据处理，大数据计算，优化软件应用， 计算机仿真 决胜关键： 结果正确性
2007 A：中国人口增长预测 问题涉及： 预测（5） 主要可用模型或方法： 微分方程模型,马尔科夫链，计算机仿真 要求能力： 文字信息处理，大量数据处理，函数拟合以及参 数确定，数据搜索能力，高等数学知识（常微分 方程稳定性和矩阵知识） 决胜关键： 微分方程拟合程度，马尔科夫矩阵的处理和求解， 创新点（如参数确定方法等），结论的合理性
预测类问题
优化类问题
计算类问题
必备能力
大数据处理
计算机仿真
总结
从单纯的统计结果看： 1.预测类问题出现情况成波动状，截至09年 处于低谷。 2.优化类问题出现比较稳定。 3.近两年开始偏向于应用专业知识较多的计 3. 算类问题。 4.总的来说竞赛还不成熟，有时在求新求变， 有时则中规中矩。
一些建议
2007 B: 乘公交，看奥运 乘公交， 问题涉及： 优化（5） 主要可用模型或方法： 图论，动态规划算法，最短路径（dijkstra 算法） 要求能力： 大量数据处理，计算机程序设计，优化软 件应用 决胜关键： 程序运行速度，算法的正确性
国赛赛题解析(五)2005A 长江水质的评价和预测(灰色预测和多元线性回归)
二、问题二
问题分析：
问题二是由历史数据来确定长江干流的主要污染源 事实上这 问题二是由历史数据来确定长江干流的主要污染源，事实上这 是一个微分方程的反问题。 较好的思路： ①利用简化的一维水质模型(连续形式或差分形式)研究污染物 的降解作用，从而可以确定各地区污染物的浓度变化。 ②考虑干流上排污源的影响，并假设排污点在江段内均匀分布， 或者所有的排污源都集中在某一点处等处理方法，这些都是合理的 做法。 最后根据各江段排污量的多少确定主要的污染源在哪里。
10
一、问题提出
附件4：1995年~2004年长江流域水质报告
说明： (1) 表中河长单位为km 说明 k ，比例单位为 比例单位为% 。 (2) 水文年是指在一年内所有检测数据的平均值。 (3) 根据统计资料，每年长江的枯水期为1月～4月，丰水期为5月～10月，平水期为11月 ～12月 月。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 11
上一节课程回顾
1、构成“综合评价”的问题必须要有五个要素:“被评价 对象，评价指标，权重系数，综合评价模型(函数)和评价 者 。 者” 2、解决综合评价问题的一般步骤是：“明确评价目的； 确定被评价对象；建立评价指标体系；评价指标的标准化 处理；确定相对权重系数；选择或构造综合评价模型；计 算各系统的综合评价值，并进行排序或分类”。这是任何 一个综合评价问题都必须要做的工作。 个综合评价问 必 做的 作
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统基本概念 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的 若 个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全 即系统的信息是充足完全 的，我们称之为白色系统。 若 个系统的内部信息是 无所知 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部 团漆黑 只能从它同外部 的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于 者之间 灰色系统的 部分信息是已知的 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部 部 分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关 系。
2005高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目A题
单位：mg/L Ⅴ类 劣Ⅴ类
2
0
15
∞
2.0
∞
（注：附件１~4 位于压缩文件 A2005Data.rar 中, 可从 /mcm05/problems2005c.asp 下载）
附件 1： 专家称若不及时拯救,长江生态 10 年内将濒临崩溃 2004-11-13 00:36:55 来源: 南方网新闻中心
《新民周刊》：在“万里行”中，有没有让您特别感动的事情？ 章琦：我们时间安排得特别紧，12 天行程万里，乘船坐车、跋山涉水，走了 21 个城市，这些城市不 是路过，每个都要看污水处理厂、听汇报。有时候晚上 12 点钟才能睡觉，清早 6 点钟就要起来了，连续 作战。但带队的全国政协人口资源环境委员会主任陈邦柱，70 岁高龄了还带头跑在前面，走到哪里都一定 要闻闻水的气味怎么样。 考察团走到南京时，有位 90 岁的老同志坐着轮椅来签名，他说：我此生的愿望就是保护长江。我没 有别的能力了，我只能签上我的名字。 10 月 22 日，“保护长江万里行”在终点站上海召开研讨会，全国政协副主席李贵鲜说：“你们一路辛 苦了，你们做了一件功在千秋的好事，我要向你们三鞠躬 。”这位老同志站起来向全体考察团成员深深地 鞠了三个躬，在场的人惊讶得鸦雀无声，继而爆发出热烈的掌声，当时感动得我几乎快要流泪了。 《新民周刊》：整个活动策划中您感到困难的事情是什么？ 章琦：筹钱。活动开始之前，我们专门成立了一个筹资处，工作人员当时决心很大：保证筹到 50 万 启动资金，结果一分钱没筹到。我后来亲自出马花了两个月时间才解决这个大难题。仅谈谈保护长江大家 都觉得重要，真要拿钱都没人出声了。我到了江苏江阴一家很大的企业，它是靠着长江发财的，去年产值 100 亿，今年的产值要达到 200 亿，平时掏大笔的钱打高尔夫都是毛毛雨，但拿出几十万救长江都不干。 这是拔一毛以利天下而不为之！后来还是宝钢、武钢、鞍钢三家支持了我们 45 万。还有私营企业和平汽 车的老板周和平，他个人拿了 10 万。 《新民周刊》：“保护长江万里行”活动已经结束，您认为达到了预期构想吗？ 章琦：我看到了希望，保护长江万里行的阶段性目标已经实现。我们第一步就是唤醒民众、领导干部 的环保意识。 下一步我们要求对保护长江立法，促成全国人大在明年全国两会期间进行讨论。一方面制定促进循环经济 发展的政策和法律法规；另一方面，还将建议加大对违法排污行为的处罚力度，要罚就应该罚到不法企业 破产，把对长江的生态环境的合理开发纳入沿江城市政府官员的政绩考核体系，对严重破坏生态环境并造 成生态恶果的地区，应执行官员任用的一票否决制。(新民周刊 记者张静)
2005全国大学生数学建模竞赛A题长江水质一等奖附程序
5.2.2 模型的求解 代入数据可以得到六个区段某一时刻污染物的排放量（单位：106mg/s）
区段 排污量 排名
站点 1~2 3.2215 6
站点 2~3 站点 3~4 站点 4~5
3.7932 7.6285 6.2992
5
1
2
表四：区段某一时刻 CODMn 的排放量
站点 5~6 4.0532 4
站点 6~7 4.8701 3
三、符号说明
x*(i, j, k)
x(i, j, k)
x综（i, j） h
di vi
si
ci
wi
fijk ,
f' ijk
aij , bij , cij ai'j , bi'j , ci'j
mk nk mk'
某地点某时间某一指标的原始数据 某地点某时间某一指标的标准化数据 某地点某时间的综合指标数据 主要污染物的降解系数 某一站点间区段的距离 某一站点的水流速 某一站点的水流量 某一站点的污染物浓度 某一站点间区段的排污量 某一类型某一年的ⅠⅡⅢ类水,ⅣⅤ类水的所占比例 ⅠⅡⅢ类水比例满足的回归方程的回归系数 ⅣⅤ类水比例满足的回归方程的回归系数 某年的废水总排放量 某年的长江总流量 在采取处理后保证水质比例的情况下某年的废水总排放量
4
(k)x(i, j, k)
x(i, j) k1 4
(k)
, (i 1 ~ 17, j 1 ~ 28)
k 1
5.1.2 模型的求解 1) 带入原始数据 x*(i, j, k) 可以得到 x综 (i, j) 的 17*28 矩阵： 2) 从时间上进行评价：
对数据按地点进行平均，得到污染物综合指标按时间的变化趋势如下：
2005A长江水质的综合评价汇总.
水污染调查与监测，得到各站 点的监测值
确定评价指标与水质分级
确定各指标各级 水质标准值
建立数学模型，进行综合评价
评价结论有效性分析
图1 水质评价流程图
结束
各观测站点分布图
水质评价工作的第一步就是确定调查范围，设计检测站点。由
题目中的附件3可知此次水质评价工作的范围为长江中下游地区（从 四川攀枝花到江苏扬州），在这之间设计了17个监测站点。
指 标 溶解氧(DO) 高锰酸盐指数(CODMn) 氨氮（NH3-N） PH值（无量纲 Ⅰ类 [7.5,∞) (0,2] (0,0.15] Ⅱ类 [6,7.5) (2,4] Ⅲ类 [5,6) (4,6] Ⅳ类 [3,5) (6,10] (1,1.5] Ⅴ类 [2,3) (10,15] (1.5,2]
距离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区） 的水质污染主要来自于本地区的排污和上游的污水。一般 说来，江河自身对污染物都有一定的自然净化能力，即污 染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物降解等使 水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力的指标称 为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为 是近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数 和氨氮的降解系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑 取0.2 (单位：1/天)。附件4是“1995~2004年长江流域 水质报告”给出的主要统计数据。下面的附表是国标 (GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个主 要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
案例
1、问题
长江水质的综合评价模型
9.1.1长江水质的评价和预测（2005年大学数学建模A题）
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对于 我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁：“以 人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污染。”
全国数学建模 2005A 优秀论文
（溶解氧、高锰酸盐、氨氮和 PH 值）的实测值。为了较为贴切地反映出各地区水质的 污染状况，对四项监测项目分类统计，找出每个监测项目的最大值、最小值、平均值。 在此基础上，还应该确定出该地区的关键污染因子。所谓的关键污染因子就是指对 该地区的水质级别起着决定性作用的污染物。 如果四个监测项目中存在一个处于最高级 别的项目，那么该项目就是该地区的关键污染因子。但是，对于至少两个项目都处在较 高级别上的情况，就不好判断了。 并且，从《地表水环境质量标准》 （GB3838-2002 ）可 以 看 出 ，水 质 的 类 别 是 根 据 4 个主要项目标准限值来判定的，并且哪个项目的类别最高，就将水质归为那一类。 因为水质从一个类别到下一个类别，中间经历了一个量变到质变的连续过渡过程，使得 这样的评价结果过于明确。 为了克服评价标准的边界过于明确和监测误差对评价结果的 影响，我们采用模糊数学法，找出各个监测项目在六个类别上的隶属度，由此确定每个 地区的关键污染因子。 2.1.2 长江水质的定量综合评价 由于 17 个观测站的数据在时间和空间上都是离散的，不能清晰地反映出长江水质 的整体情况。为了消除时间和地理的因素，我们通过对距离加权、在 28 个月上取算术 平均，得到长江全河段四项监测项目的均值，对照《地表水环境质量标准》 ，确定出主 要的污染物。 接下来，我们采用模糊判别法对长江近两年的水质做出科学合理的综合评价，反映 出长江水质在六个水质类别上的隶属关系和偏倚程度。 2.2 确定高锰酸盐和氨氮的污染源 一个观测站的水质污染主要来源于本地排污和上游的污水。 上游污水在流向下游的 过程中，由于河流自身的净化能力（污染物在水环境中通过物理降解、化学降解和生物 降解） ，污水中的高锰酸盐和氨氮的浓度不断降低，到下一个观测站时，是已经降解的 污水。反映江河自然净化能力的指标称为降解系数。根据降解系数的定义，可以建立高 锰酸盐和氨氮的降解函数来描述它们在流动过程中随时间的浓度变化。 在此基础上，为了找到污染源，就要确定长江干流上相邻两个观测站之间排放的污 染物浓度，进而确定污染带。第 i+1 个观测站处的溶质由第 i 个观测站处经过降解后的 溶质残留量、沿途注入的溶质和此观测站注入的溶质三部分组成。据此，可以建立降解 微分方程，进而分别得到相邻两个观测站之间注入的高锰酸盐和氨氮的质量，其中最大 者所对应的区段即为主要污染源。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
2014/8/18
版权所有，请勿传播
14
二、问题二
问题分析：
片面及错误的理解： 片面及错误的理解 ① 没有考虑长江的自然降解功能，仅对17个观测点的数据做统 计，依据浓度的大小得到结果是不合适的。 ②没有考虑干流上的排污源(包括支流和直排口等)的排污影响。 ③以两观测站之间的观测数据计算出来的排污总量的大小来确 定污染源是不太合理的，因为站点之间的距离不同，排污总量不是 可比指标。 ④对降解系数为0.2不理解，认为是有20%的污染物被降解掉了， 剩下的80%流到下游。
灰色预测
灰色系统理论是研究解决灰色系统分析、建模、预测、 决策和控制的理论。灰色预测是对灰色系统所做的预测。目 前常用的一些预测方法（如回归分析等），需要较大的样本 。若样本较小，常造成较大误差，使预测目标失效。灰色预 测模型所需建模信息少，运算方便，建模精度高，在各种预 测领域都有着广泛的应用，是处理小样本预测问题的有效工 具。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 4
一、问题提出
附件3给出了长江沿线17个观测站（地区）近两年多主要水质指 标的检测数据，以及干流上７个观测站近一年多的基本数据（站点距 离、水流量和水流速）。通常认为一个观测站（地区）的水质污染主 要来自于本地区的排污和上游的污水 要来自于本地区的排污和上游的污水。一般说来，江河自身对污染物 般说来 江河自身对污染物 都有一定的自然净化能力，即污染物在水环境中通过物理降解、化学 降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低 反映江河自然净化能力 降解和生物降解等使水中污染物的浓度降低。反映江河自然净化能力 的指标称为降解系数。事实上，长江干流的自然净化能力可以认为是 近似均匀的 根据检测可知 主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解 近似均匀的，根据检测可知，主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的降解 系数通常介于0.1~0.5之间，比如可以考虑取0.2 (单位：1/天)。附件 是“1995~2004 995 00 年长江流域水质报告 年长江流域水质报告”给出的主要统计数据。下面 给出的主要统计数据。下面 4是 的附表是国标(GB3838-2002) 给出的《地表水环境质量标准》中4个 主要项目标准限值，其中Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ类为可饮用水。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 6
一、问题提出
附表: 《地表水环境质量标准》（GB3838—2002）中4个主要项目 标准限值 单位：mg/L
（注：附件１~4位于压缩文件A2005Data.rar中, 可从 /mcm05/problems2005c.asp下载）
2014/8/18 版权所有，请勿传播 3
一、问题提出
2005A题:长江水质的评价和预测
水是人类赖以生存的资源，保护水资源就是保护我们自己，对 于我国大江大河水资源的保护和治理应是重中之重。专家们呼吁： “以人为本 建设文明和谐社会 改善人与自然的环境 减少污 “以人为本，建设文明和谐社会，改善人与自然的环境，减少污 染。” 长江是我国第一 世界第三大河流 长江水质的污染程度日趋 长江是我国第一、世界第三大河流，长江水质的污染程度日趋 严重，已引起了相关政府部门和专家们的高度重视。2004年10月， 由全国政协与中国发展研究院联合组成 保护长江万里行 考察团， 由全国政协与中国发展研究院联合组成“保护长江万里行”考察团， 从长江上游宜宾到下游上海，对沿线21个重点城市做了实地考察， 揭示了一幅长江污染的真实画面，其污染程度让人触目惊心。为此， 专家们提出“若不及时拯救，长江生态 10年内将濒临崩溃”（附件 １），并发出了“拿什么拯救癌变长江”的呼唤（附件2）。
二、问题二
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮的污 染源主要在哪些地区?
2014/8/18
版权所有，请勿传播
12
二、问题二
问题分析：
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮 ）研究 分析长江干流近 年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮 的污染源主要在哪些地区? 根据干流各观测站的水质数据和相应站点的位置关系，考虑到 上游的污水会对下游的水质造成一定的影响，同时江河本身都有一 定的自洁能力。一般说来自洁规律与江河的水流量、流速、水流断 面、水流距离等参数有关，通常上游的水质对下游的影响服从一维 水质模型。为了简化计算，不妨假设在一定的时间内流速是均匀的， 水流断面变化不大，则可将其一维水质模型简化为简单的常微分方 程。由此可以推算出上游的污水对下游的影响程度，从而可以计算 出干流各个区段的排污 ，即可确定 要的污染源所在的 区 出干流各个区段的排污量，即可确定主要的污染源所在的地区。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 7
一、问题提出
附件3: 1长江流域主要城市水质检测报告
2014/8/18
版权所有，请勿传播
8
一、问题提出
附件3: 1长江流域主要城市水质检测报告
2014/8/18
版权所有，请勿传播
9
一、问题提出
2 长江干流主要观 测站点的基本数据
2014/8/18
版权所有，请勿传播
2014/8/18
版权所有，请勿传播
15
二、问题二
问题解答：
（2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮 ）研究 分析长江干流近 年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮 的污染源主要在哪些地区? 分析确定长江干流主要的污染物来自哪些地区。由于一个江段 的水质污染，主要来处自本地区的污水和上游扩散下来污水两个部 分的合成。一般说来，对于某一江段内的水质情况与该段内的排污 量和上游的水质有关，在这里我们用排污速率(即每秒钟排污的含量) 的大小来判断其排污量的多少。根据长江干流上的七个主要观测站 点，将其分为六段，逐段分析其排污情况，即可以找出主要污染物 的污染源所在的区域。
2014/8/18
版权所有，请勿传播
2
上一节课程回顾
3、一致化处理：极大型指标、极小型指标、中间型指标、 区间型指标。 4、无量纲化处理又称为指标数据的标准化, 、无量纲化处理又称为指标数据的标准化, 或规范化处 理。常用方法: 标准差方法、极值差方法和功效系数方法 等。 5、动态加权综合评价方法不仅适用于水质的综合评价这 一类问题，而且，类似的可以用来研究解决诸如空气质量 的综合评价问题 以经济和军事等领域的很多综合评价问 的综合评价问题，以经济和军事等领域的很多综合评价问 题，动态加权综合评价方法在实际中非常有推广应用价值。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 5
一、问题提出
请你们研究下列问题： （1）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价，并分析各地 ）对长江近两年多的水质情况做出定量的综合评价 并分析各地 区水质的污染状况。 （2）研究、分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮 ）研究 分析长江干流近一年多主要污染物高锰酸盐指数和氨氮 的污染源主要在哪些地区? （3）假如不采取更有效的治理措施，依照过去 ）假如不采取更有效的治理措施 依照过去10年的主要统计数据， 年的主要统计数据 对长江未来水质污染的发展趋势做出预测分析，比如研究未来10年的 情况。 情况 （4）根据你的预测分析，如果未来10年内每年都要求长江干流的Ⅳ 类和Ⅴ类水的比例控制在20%以内，且没有劣 以内 且没有劣Ⅴ类水,那么每年需要 处理多少污水？ （5）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见。 ）你对解决长江水质污染问题有什么切实可行的建议和意见
2014/8/18
版权所有，请勿传播
16
二、问题二
问题解答：
2 1 一维水质模型 2.1 维水质模型
2014/8/18
版权所有，请勿传播
17
二、问题二
问题解答：
2 1 一维水质模型 2.1 维水质模型
2014/8/18
版权所有，请勿传播
18
二、问题二
问题解答：
2 2 污染物排放量的确定方法 2.2
上一节课程回顾
1、构成“综合评价”的问题必须要有五个要素:“被评价 对象，评价指标，权重系数，综合评价模型(函数)和评价 者 。 者” 2、解决综合评价问题的一般步骤是：“明确评价目的； 确定被评价对象；建立评价指标体系；评价指标的标准化 处理；确定相对权重系数；选择或构造综合评价模型；计 算各系统的综合评价值，并进行排序或分类”。这是任何 一个综合评价问题都必须要做的工作。 个综合评价问 必 做的 作
1 灰色系统的定义和特点
灰色系统基本概念 灰色系统产生于控制理论的研究中。 若一个系统的内部特征是完全已知的 若 个系统的内部特征是完全已知的，即系统的信息是充足完全 即系统的信息是充足完全 的，我们称之为白色系统。 若 个系统的内部信息是 无所知 若一个系统的内部信息是一无所知，一团漆黑，只能从它同外部 团漆黑 只能从它同外部 的联系来观测研究，这种系统便是黑色系统。 灰色系统介于 者之间 灰色系统的 部分信息是已知的 灰色系统介于二者之间，灰色系统的一部分信息是已知的，一部 部 分是未知的。 区别白色和灰色系统的重要标志是系统各因素间是否有确定的关 系。
10
一、问题提出
附件4：1995年~2004年长江流域水质报告
说明： (1) 表中河长单位为km 说明 k ，比例单位为 比例单位为% 。 (2) 水文年是指在一年内所有检测数据的平均值。 (3) 根据统计资料，每年长江的枯水期为1月～4月，丰水期为5月～10月，平水期为11月 ～12月 月。
2014/8/18 版权所有，请勿传播 11
2014/8/18
版权所有，请勿传播
19
二、问题二
问题解答：
2 2 污染物排放量的确定方法 2.2
2014/8/18
版权所有，请勿传播
20
二、问题二
2.3 长江干流主要污染源的确定方法
2014/8/18
版权所有，请勿传播
21
灰色预测