复习课：线段与角

复习课：线段与角知识梳理题型讲解题型一计算几何图形的数量1．数线段（直线）条数例1 如图1所示，B、C为线段AD上的任意两点，那么图中共有_______条线段.图1解：按照从左到右的顺序去数线段条数，以A为一个端点的线段有3条：AB、AC、AD；以B为一个端点的新线段有2条：BC、BD；以C为一个端点的新线段有1条：CD．所以共有线段3＋2＋1＝6(条)．点拨线段的条数与线段上固定点(包括线段两个端点)的个数有密切联系，线段上有n个点(包括线段两个端点)时，共有线段(1)2n n-条．例2 小明在看书时发现这样一个问题：在一次聚会中，共有6人参加，如果每两人都握一次手，共握几次手呢?小明通过认真思考得出了答案．为了解决一般问题，小明设计了下列图表进行探究：参加人数2 3 4 5 …握手示意图握手次数 1 2＋1=3 3＋2＋1=6 4＋3＋2＋1=10…请你根据上面图表归纳出参加人数与握手次数之间关系的一般结论．分析本题研究的是握手次数问题，但可以将此问题转化成研究平面上的点构成线段的条数问题．这里把每个人看作一个点，根据图表中的信息，通过探究推理可得到问题的答案．解：若有6人参加，则共握手15次．结论：若有n(n≥2，且n为整数)人参加，则共握手(n－1)＋(n－2)＋(n－3)＋…＋4＋3＋2＋1＝(1)2n n-(次)．点拨解决此类问题的关键是将实际问题抽象转化为平面图形的具体计数问题。

再进行探究．2.数直线分平面的块数例4 豆腐是我们生活中的常见食品，常被分割成长方体或正方体的小块出售．现请你用刀切豆腐，每次切三刀，能将豆腐切成多少块?分析这三刀可以随意切，不要拘泥于规范、常见切法．从不同的角度下手，得到的小块豆腐的块数可能不同．解：如图2所示，能将豆腐切成4块、6块、7块或8块．图2点拨在截一个几何体之前应充分想象截面可能的形状，然后实际操作，在比较想象结果与实际结果的差异的过程中，可以丰富我们的几何直觉，积累数学活动经验，同时培养我们的空间观察能力．题型二两角互补、互余定义及其性质的应用例5 一个角的补角是这个角的4倍，求这个角的度数．解：设这个角是x°，则它的补角是(180－x)°．由题意，得180－x＝4 x，解得x＝36．所以这个角是36°．点拨本题主要考查补角定义的应用，数学中利用方程、转化思想，可将“形”的问题转化为“数”的问题研究，从而简捷解决问题．例6 如果一个角的补角是120°，那么这个角的余角是( )A．30° B．60° C．90° D．150°分析本题是对余角、补角的综合考查，先根据这个角的补角是120°，求出这个角是60°，再求出它的余角是30°．答案：A例7 根据补角的定义和余角的定义可知，10°的角的补角是170°，余角是80°；15°的角的补角是165°，余角是75°；32°的角的补角是148°，余角是58°．…. 观察以上各组数据，你能得出怎样的结论?请用任意角α代替题中的10°、15°、32°的角来说明你的结论．解：结论为：一个角的补角比这个角的余角大90°．说明：设任意角是α(0＜α＜90°)，α的补角是180°－α，α的余角是90°－α，则 (180°－α)－(90°－α)＝90°.题型三角的有关运算例8 画图OB、OC是∠AOD内任意两条射线，OM平分∠AOB，ON平分∠COD，若∠MON＝α，∠BOC=β，用α、β表示∠AOD．解：因为∠MON＝α，∠BOC=β，所以∠BOM＋∠CON＝∠MON－∠BOC=α－β又OM平分∠AOB，ON平分∠COD，所以∠AOB＋∠COD＝2∠BOM＋2∠CON=2(∠BOM＋∠CON)＝2(α－β)，所以∠AOD＝∠AOB＋∠COD＋∠BOC＝2(α－β)＋β=2α－β.例 9 (1)用度、分、秒表示54．12°．(2)32°44′24″等于多少度?(3)计算：133°22′43″÷3．解：(1)因为0．12°＝60′×0．12=7．2′，0.2′=60″×0．2=12″，所以54．12°=54°7′12″．(2)因为24″=(160)′×24＝0．4′，44．4′=(160)°×44．4=0．74°，所以32°44′24″=32.74°．(3)133°22′43″÷3＝(132°＋82′)÷3＋43″÷3=44°＋82′÷3＋43″÷3＝44°＋(81′＋1′)÷3＋43″÷3=44°＋27′＋1′÷3＋43″÷3=44°＋27′＋103″÷3≈44°＋27′＋34″=44°27′34″.点拨角的有关运算是指角的单位换算和角的加、减、乘、除运算．角度制的单位是 60进制的，和计量时间的时、分、秒一样．加减时，要将度、分、秒分别相加、相减，分、秒逢60要进位，而相减不够时要借1作60；度、分、秒形式乘一个数时，要将度、分、秒分别乘这个数，分、秒逢60进位；度、分、秒形式除以一个数时，也是将度、分、秒分别除以这个数，不过要将高位的余数转化成低位，与原位上的数相加后再除以这个数．题型四钟表的时针与分针夹角问题1.任意时刻两针的夹角例10钟表上2时15分时，时针与分针所形成的锐角的度数是多少？分析要求解此问题，只要弄清时针每小时转过多少度的角，弄清该时针该分针的位置，即经过15分钟转过的角度即可.解：因为36012×214＝30°×49＝67.5°，36060×15＝90°，所以90°－67.5°＝22.5°.评注：通过对本题的求解，同学们可以记住每分钟分针比时针多转了 5.5°，必要时可以利用方程求解此类问题，有时会显得更加简捷.点拨只要能弄清时针、分针之间的关系：时针1小时转1大格1小时转30°1分钟转0.5°分针1小时转12大格1小时转360°1分钟转6°抓住起始和终止两个时刻算出分针走了多少分钟，由上述表格算出时针和分针各转了多少度，再在钟面上比较，求出结果.例11 问题：求a点b分时，两针夹角的度数。

（时间格式为12小时制）分析我们把12：00这一时刻作为时针和分针的起点，因为此时两针夹角为0°. 把a点b分这一时刻作为终点，在这段时间里，时针经过了（a+ b/60）小时，旋转的角度为（a+ b/60）×30°=30°a+0.5°b，分针经过了b分钟，旋转的角度为6°b ，当时针在前，分针在后时，两针夹角为时针从起点开始旋转的度数减去分针从起点转过的度数，即：（30°a+0.5°b）-6°b=30°a-5.5°b 。

当时针在后，分针在前时，两针夹角为分针从起点开始旋转的度数减去时针从起点开始旋转的度数，即：6°b-（30°a+0.5°b）=5.5°b-30°a.两种情况可统一为：a点b分时，两针夹角的度数│30°a-5.5°b│.注由于我们所求的角指不超过180°的角，因此当利用公式求得的的角超过180°，则用360 °减去这个度数，即为两针夹角的度数.2.时针与分针分别转过的角度例12若时针由2点30分走到2点55分，问时针、分针各转过多大角度？分析弄清时针、分针每分钟各转过多少度即可求解.解:因为时针由2点30分走到2点55分，历经25分钟，所以时针转过的角度为3606012×(55－30)＝150°×112＝12.5°，分针转过的角度为36060×(55－30)＝6°×25＝150°.点拨解答此类题目，抓住时针每分转0.5°，分针每分转6°是求解的关键.题型五图形的转化例13 下列图形中不是正方体的平面展开图的是( )分析通过折叠验证四个选项，可得正确答案．答案：C点拨立体图形的平面展开图是沿着立体图形的一些棱将它剪开，把立体图形展开成一个平面图形．一个正方体的平面展开图中，在同一直线上相邻的三个正方形中，首尾两个正方形是正方体中相对的两个面．题型六方位角例14如图3所示，我海军的两艘军舰(分别在A、B两处)同时发现了一艘敌舰，其中A舰发现它在北偏东15°的方向上，B舰发现它在东北方向上，试画出这艘敌舰的位置(用字母C表示)．解：如图4所示，分别以点A、点B为中心建立方位图，表示东北方向的射线BE与表示北偏东15°方向的射线AD的交点C即为这艘敌舰的位置．图3 图4点拨利用角度来描述方位，以正北、正南的方向为基准，先确定是北还是南，然后确定东、西方向，最后确定偏东(或西)的角度，注意东北方向是北偏东45°．思想方法归纳1．分类讨论思想分类讨论，就是对问题所给对象的条件、结论、图形等不能进行统一研究时，就需要将研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究得出每一类的结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．注意分类时要做到按同一标准且不重不漏．例1已知线段AB＝8cm，在直线AB上画线段BC，使它等于3cm，求线段AC的长．解：本题分两种情况：(1) (2)图5 图6如图5所示，当点C 在线段AB 的延长线上时， AC ＝AB ＋BC ＝8＋3＝11(crn)；如图6所示，当点C 在线段AB 上时，AC =AB －BC ＝8—3＝5(cm). 所以线段AC 的长为11 cm 或5cm. 例2 经过任意三点中的两点共可以画出的直线条数是( ) A ．1或3 B ．3 C ．2 D ．1分析 这道题要分两种情况考虑：一是这三点都在一条直线上时，就只能画出一条直线；二是这三点不在同一条直线上时，此时共可以画出三条直线． 答案：A 2．数形结合思想数形结合思想就是把抽象的数学语言、数量关系与直观的几何图形、位置关系结合起来，通过“以形助数”或“以数解形”，即通过抽象思维与形象思维的结合，可以使复杂问题简单化、抽象问题具体化，从而起到优化解题途径的目的，线段、直线、角的重要性质也都是通过数形结合的思想体现的．例3 如图7所示放置的三角板，把三角板较长的直角边从水平状态开始，在平面上沿着直线BC 滚动一周，求B 点转动的角度．解：三角板转动的路线如图8所示．由图可知第一次转动90°，第二次转动 120°，第三次没动，所以B 点转动了210°．图7 图8点拨 解决本题的关键是明确角的变化情况，因此，可根据题意画出从起点到终点转动一圈的示意图，然后根据图形就很容易确定出B 点转动的角度了． 3．转化思想解决一个问题，往往是由未知向已知转化，由陌生向熟悉转化，由复杂向简单转化，转化思想贯穿整个数学学习的始终．例4 将下列选项中的平面图形绕直线l 旋转一周，可以得到如图9所示立体图形的是( )图9解析 分析立体图形可知，直线l 应为初始旋转的直角梯形垂直于两底的腰所在直线． 答案：B点拨 本题主要考查了同学们识别图形的能力．对于类似的图形识别问题我们要能从所给立体图形入手，分析形成它的基本图形，把复杂的立体图形转化为平面图形去认识、解决．综合评估1.已知n (n ≥2)个点P 1，P 2，P 3，…，P n 在同一平面上，且其中没有任何三点在同一直线上．设S n 表示过这n 个点中任意2个点所作的所有直线的条数，显然，S 2=1，S 3＝3，S 4＝6，S 5＝10，…，由此推断，S n ＝ .2.①一个角的补角是1232416'''︒,则这个角的余角是 . ②5730α'∠=︒，它的余角的三分之二是 .3. 如图,直线AB 、CD 相交于点O,OE 平分∠COD,则∠BOD 的余角是 ，∠COE 的补角是 ，∠AOC 的补角是 .CBA O E D(4)C BAOEDC第3题 第4题4.如图,直线AB 、CD 相交于点O,∠AOE=90°,从给出的A 、B 、C 三个答案中选择适当答案填空. (1)∠1与∠2的关系是( ) (2)∠3与∠4的关系是( ) (3)∠3与∠2的关系是( ) (4)∠2与∠4的关系是( ) A.互为补角 B.互为余角 C.即不互补又不互余5．计算：①100361852'''︒-︒= ；②803252902745''''''︒+︒= ；③180625845'''︒-︒÷= . 6．时钟在一天中从15时5分转到15时10分，分针转了 度，时针转了 度.7．如图,图(1)是正方体木块,把它切去一块,可能得到(2)、(3)、(4)、 (5)所示的图形,问(2)、(3)、(4)、(5)图中切掉的部分可能是其他几块中的哪一块?(1)(2)(3) (4)(5)8. 如图所示，将标号为A 、B 、C 、D 的正方形沿图中虚线剪开后，得到标号为P 、Q 、M 、N 的四组图形，试按照“哪个正方形剪开后得到哪组图形”的对应关系填空：A 与 对应；B 与 对应；C 与 对应；D 与 对应．9. 已知点B 在点A 的正南，点M 在点B 的北偏西方向距点A100米，同时，点M 在B 的北偏西方向。