指数与指数函数教学设计
指数与指数函数教案
2.1.1 指数与指数幂的运算（一）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解n次方根与根式的概念；（2）正确运用根式运算性质化简、求值；（3）了解分类讨论思想在解题中的应用.2．过程与方法通过与初中所学的知识（平方根、立方根）进行类比，得出n次方根的概念，进而学习根式的性质.3．情感、态度与价值观（1）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（2）培养学生认识、接受新事物的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）根式概念的理解；（2）掌握并运用根式的运算性质.2．教学难点：根式概念的理解.（三）教学方法：本节概念性较强，为突破根式概念的理解这一难点，使学生易于接受，故可以从初中已经熟悉的平方根、立方根的概念入手，由特殊逐渐地过渡到一般的n次方根的概念，在得出根式概念后，要引导学生注意它与n次方根的关系，并强调说明根式是n次方根的一种表示形式，加强学生对概念的理解，并引导学生主动参与了教学活动.故本节课可以采用类比发现，学生合作交流，自主探索的教学方法.（四）教学过程：一、引入课题1．以折纸问题引入，激发学生的求知欲望和学习指数概念的积极性2．由实例（见教材P48—49）引入，了解指数的意义是什么，指数概念提出的背景，体会引入指数的必要性；3．初中根式的概念；如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根；二、新课教学（一）指数与指数幂的运算1．根式的概念x n ，那么x叫做a的n次方根（n th root），其中n>1，且n∈N*．一般地，如果a当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数．此时，a的n次方根用符号n a表示．式子n a叫做根式（radical），这里n叫做根指数（radical exponent），a叫做被开方数（radicand）．当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数．此时，正数a 的正的n 次方根用符号na 表示，负的n 次方根用符号－n a 表示．正的n 次方根与负的n 次方根可以合并成±n a （a >0）．由此可得：负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0，记作00=n．思考：（课本P 50探究问题）nn a =a 一定成立吗？．（学生活动） 结论：当n 是奇数时，a a nn =当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn 三．例题讲解例1．（教材P 50例1）． 略 补充例题（按情况讲解）例21,a =-a 求的取值范围.例3例4四．巩固练习： 练习 计算下列各式的值.（1）33)(a ；（2 （1n >，且n N *∈）（3）1n >，且n N *∈）五．归纳总结1．根式的概念：若n ＞1且*n N ∈，则n x a 是的次方根.x n 为奇数时, n 为偶数时，x =2．掌握两个公式：,n n 为奇数时(0)||(0)a a n a a a ≥⎧==⎨-<⎩为偶数时 六．课后作业： 七．板书设计：（略） 八．课后反思：2.1.2 指数与指数幂的运算（二）（一）教学目标1．知识与技能（1）理解分数指数幂的概念；（2）掌握分数指数幂和根式之间的互化；（3）掌握分数指数幂的运算性质；（4）培养学生观察分析、抽象等的能力.2．过程与方法通过与初中所学的知识进行类比，得出分数指数幂的概念，和指数幂的性质.3．情感、态度与价值观（1）培养学生观察分析，抽象的能力，渗透“转化”的数学思想；（2）通过运算训练，养成学生严谨治学，一丝不苟的学习习惯；（3）让学生体验数学的简洁美和统一美.（二）教学重点、难点1．教学重点：（1）分数指数幂的理解；（2）掌握并运用分数指数幂的运算性质；2．教学难点：分数指数幂概念的理解（三）教学方法发现教学法1．经历由利用根式的运算性质对根式的化简，注意发现并归纳其变形特点，进而由特殊情形归纳出一般规律.2.在学生掌握了有理指数幂的运算性质后，进一步推广到实数范围内.由此让学生体会发现规律，并由特殊推广到一般的研究方法.（四）教学过程：一．引入课题1.n次方根的定义记法nnnnaa ⎧⎪⎨±⎪⎩为奇数为偶数2.根式：n a3. 3.{,||,a n a n 为奇数为偶数巩固强化知识点，为本节课的教学奠定知识基础 二．新课讲授1．回顾正整数指数幂导出探究的问题 能否这样表示？指出当根式的被开方数能被根指数整除时，根式可以表示为分数指数幂的形式，能否将这个结论推广到正数的正分数指数幂的形式上去？ 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义规定：)1,,,0(*>∈>=n N n m a a an m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m aa aanmnm nm0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义指出：规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数推广到了有理数指数，那么整数指数幂的运算性质也同样可以推广到有理数指数幂． 3．有理指数幂的运算性质（1）r a ·s r ra a +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s ra a=)(),,0(Q s r a ∈>； （3）s r ra a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>>．三．例题讲解引导学生解决本课开头实例问题例题．（教材P 51例2、例3、例4、例5） 补充例题 例1计算（1）.)01.0(41225325.02120-⎪⎭⎫⎝⎛⋅+⎪⎭⎫ ⎝⎛--==412510)2()1(a a 34432552)()(aa a a ==412510aa ==)0()0(>>a a ()4315220aaa a ===>（1）5.1213241)91()6449()27()0001.0(---+-+； 例2.化简下列各式：（1）313315383327----÷÷a a a a a a ；（2）33323323134)21(248a ab a abb b a a ⨯-÷++-. 说明：让学生熟练掌握根式与分数指数幂的互化和有理指数幂的运算性质运用． 巩固练习：（教材P 54练习1-3） 4． 无理指数幂结合教材P 52实例利用逼近的思想理解无理指数幂的意义．指出：一般地，无理数指数幂),0(是无理数αα>a a是一个确定的实数．有理数指数幂的运算性质同样适用于无理数指数幂．有理数指数幂推广到无理数指数幂，进而推广到整个实数范围，说明可以用指数的运算来解决生活中的实际问题．四．课堂小结1. 正数的正分数指数幂的意义2. 正数的负分数指数幂的意义3. 运算性质五．课后作业 六．板书设计（略） 七．课后反思：2.1.3 指数函数及其性质（一）（一）教学目标1．知识与技能了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象． 2．过程与方法能借助计算器或计算机画出具体指数函数的图象，探索指数函数图象特征． 3．情感、态度与价值观在解决简单实际问题的过程中，体会指数函数是一类重要的函数模型，激发学生学习数学的兴趣，努力培养学生的创新意识．（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和图象． 2．教学难点：指数函数的概念和图象． （三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，通过各种教学媒体（如计算机或计算器），调动学生参与课堂教学的主动性和积极性． （四）教学过程 一．复习引入1. 在本章的开头，问题（1）中时间x 与GDP 值中的1.073(20)x y x x =∈≤与问题(2)中时间t 和C-14含量P 的对应关系]t 51301P=[()2，请问这两个函数有什么共同特征. 2. 这两个函数有什么共同特征157301][()]2t P =t57301把P=[()变成2，从而得出这两个关系式中的底数是一个正数，自变量为指数，即都可以用x y a =（a ＞0且a ≠1来表示）.二．新课讲授 1.指数函数的定义 一般地，函数x y a =（a ＞0且a ≠1）叫做指数函数(exponential function)，其中x 是自变量，函数的定义域为R .提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？（1）22x y += （2）(2)x y =- （3）2x y =-（4）x y π= （5）2y x = （6）24y x = （7）x y x = （8）(1)x y a =- （a ＞1，且2a ≠）小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为a ＞0，x 是任意一个实数时，xa 是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R .000,0xx a a x a ⎧>⎪=⎨≤⎪⎩x当时,等于若当时,无意义若a ＜0，如1(2),,8x y x x =-=1先时,对于=等等,6在实数范围内的函数值不存在.若a =1,11,x y == 是一个常量，没有研究的意义，只有满足(0,1)x y a a a =>≠且的形式才能称为指数函数，5,,3,31x x x a y x y y +===+1xx为常数,象y=2-3,y=2等等,不符合(01)x y a a a =>≠且的形式,所以不是指数函数2.指数函数的性质我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究. 先来研究a ＞1的情况 下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数2x y =的图象再研究，0＜a ＜1的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数1()2x y =的图象.从图中我们看出12()2x x y y ==与的图象有什么关系?通过图象看出12()2x x y y y ==与的图象关于轴对称,实质是2xy =上的x,y 点(-)x y x,y y 1与=()上点(-)关于轴对称.2讨论： 1.12()2x x y y ==与的图象关于y 轴对称，所以这两个函数是偶函数，对吗？2.画出115,3,(),()35x xx x y y y y ====的函数图象.问题：1：从画出的图象中，你能发现函数的图象与底数间有什么样的规律.x x.问题2：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性. 问题3：指数函数x y a =（a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.指数函数的图象和性质x y a =三．例题讲解例1 比较下列各题中两个数的大小：(1) 3 0.8 ,30.7(2) 0.75-0.1, 0.750.1四．课堂练习练习p58 1,2五．板书设计六．课后反思：2.1.2 指数函数及其性质（二） （一）教学目标 1．知识与技能： （1）理解指数函数的概念和意义，根据图象理解和掌握指数函数的性质.（2）体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想；2．过程与方法：展示函数图象，让学生通过观察，进而研究指数函数的性质.3．情感、态度与价值观（1）让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理.（2）培养学生观察问题，分析问题的能力.（二）教学重点、难点1．教学重点：指数函数的概念和性质及其应用.2．教学难点：指数函数性质的归纳，概括及其应用.（三）教学方法采用观察、分析、归纳、抽象、概括，自主探究，合作交流的教学方法，利用多媒体教学，使学生通过观察图象，总结出指数函数的性质，调动学生参与课堂教学的主动性和积极性．从而培养学生的观察能力，概括能力.（四）教学过程一．复习引入复习指数函数的概念和图象.1.指数函数的定义2.指数函数的图象问题：根据函数的图象研究函数的定义域、值域、特殊点、单调性、最大（小）值、奇偶性.问题：指数函数x y a （a ＞0且a ≠1），当底数越大时，函数图象间有什么样的关系.二．新科讲授一．例题讲解题型一：单调区间的求法例1：求下列函数的单调区间：（1）223x x y a +-=； （2）10.21x y =- 题型二：与指数有关的定义域（值域）问题 例2 ：（1）求下列函数的定义域、值域（1)y=22)21(++-x x ； （2）110.3x y -=； （3）513x y -=（2）．求函数4225x x y =-⋅+，[0,2]x ∈的最大值和最小值．练习 求函数2233x x y -++=的定义域、值域并指出单调区间．题型三：与指数函数有关的图象问题１．如图指数函数①x y a =②x y b =③x y c =④x y d =的图象，则 （ ） （A ）01a b c d <<<<<（B ）01b a d c <<<<<（C ）1a b c d <<<<（D ）01a b d c <<<<<题型四：指数函数图象与方程和不等式例4:（2）求方程24x x +=的解的个数练习：补充例题 例题：已知f(x)=11+-x x a a （a>0,且a 1≠）(1)求f(x)的定义域和值域； (2)判断f(x)的奇偶性；(3)讨论f(x)的单调性；练习：已知21()21x x f x -=+. （1）讨论()f x 的奇偶性； （2）讨论()f x 的单调性. 二．课堂练习1．函数2651()()3x x f x -+=的单调递减区间为（ ）. A. (,)-∞+∞ B. [3,3]- C. (,3]-∞ D. [3,)+∞2．定义运算()() , .a a b a b b a b ≤⎧⎪*=⎨>⎪⎩ 则函数()12x f x =*的值域为 . 3：设a 是实数，2()()21x f x a x R =-∈+， （1）求a 的值，使函数()f x 为奇函数（2）试证明：对于任意,()a f x 在R 为增函数；三．课后作业四．板书设计五．课后反思。
指数与指数函数教案
.适用学科高中数学适用年级高一适用区域 苏教版区域课时时长（分钟）2 课时知识点 根式与指数幂、指数幂的运算法则、指数函数的概念、指数函数的图象与性质、与指数函数有关的复合函数问题的处理方法教学目标 理解指数函数的概念，能画出具体指数函数的图象；在理解指数函数概念、性质的基础上，能应用所学知识解决简单的数学问题；在教学过程中通过类比，回顾归纳从图象和解析式这两种不同角度研究函数性质的数学方法教学重点 指数函数的概念、图象和性质．教学难点 对底数的分类，如何由图象、解析式归纳指数函数的性质.【知识导图】教学过程一、导入我们在初中的学习过程中，已了解了整数指数幂的概念和运算性质．从本节开始我们将 在回顾平方根和立方根的基础上，类比出正数的 n 次方根的定义，从而把指数推广到分数指 数．进而推广到有理数指数，再推广到实数指数，并将幂的运算性质由整数指数幂推广到实 数指数幂．本节安排的内容蕴涵了许多重要的数学思想方法，如推广的思想(指数幂运算律的推 广)、类比的思想、逼近的思想(有理数指数幂逼近无理数指数幂)、数形结合的思想(用指数 函数的图象研究指数函数的性质)等，同时，充分关注与实际问题的结合，体现数学的应用 价值．二、知识讲解考点1．1根式根的式概念@:第 1 页.根式的概念符号表示如果 xn＝a，那么 x 叫做 a 的 n 次方根当 n 是奇数时，正数的 n 次方根是一个正na数，负数的 n 次方根是一个负数当 n 是偶数时，正数的 n 次方根有两个， 这两个数互为相反数±n a (a>0)2．两个重要公式a, n为奇数,(1)nan aa a≥0 aa＜0n为偶数 n(2) n a a (注意 a 必须使 n a 有意义)．备注 n＞1 且 n∈N*零的 n 次方根是零负数没有偶次方 根考1点．幂2 的有有关理概数念的指数幂(1)正分数指数幂： a m n am (a>0，m，n∈N*，且 n>1)； nm(2)负分数指数幂： a n1man1 n am(a>0，m，n∈N*，且 n>1)；(3)0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂没有意义．2．有理数指数幂的性质 (1)aras＝ar＋s(a>0，r，s∈Q)；(2)(ar)s＝ars(a>0，r，s∈Q)；(3)(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r∈Q)．考点 3 指数函数的图像与性质函数y＝ax(a>0，且 a≠1)0<a<1a>1图象图象特征 定义域性 值域质 单调性@:第 2 页在 x 轴上方，过定点(0,1)减函数R (0，＋∞)增函数.函数值变化 规律当 x>0 时，y>1当 x<0 时，y>1；当 x>0 时，0<y<1当 x<0 时，0<y<1； 当 x＝0 时，y＝1类型三一、指例数题式精的析化简求值例题 1化简下列各式(其中各字母均为正数)．(1) a2 3b1 1 2a1 2b1 3；6 a b5 (2) 27 90.5 0.12 210 2723 3037 48【解析】：（1）原式= a 1 1 1 b 1 + 1 5 1 326 236 a（2）原式= 5 +100 9 3 37 100316 48【总结与反思】指数式的化简求值问题，要注意与其他代数式的化简规则相结合，遇到同底数幂相乘或相除，可依据同底数幂的运算规则进行，一般情况下，宜化负指数为正指数，化根式为分数指数幂．对于化简结果，形式力求统一．类型二 指数函数的图像和性质例题 1函数 y＝ax－a(a>0，且 a≠1)的图象可能是( ) 【解析】法一：令 y＝ax－a＝0，得 x＝1，即函数图象必过定点(1,0)，符合条件的只有选项 C. 法二：当 a>1 时，y＝ax－a 是由 y＝ax 向下平移 a 个单位，且过(1,0)，排除选项 A、B； 当 0<a<1 时，y＝ax－a 是由 y＝ax 向下平移 a 个单位，因为 0<a<1，故排除选项 D. 【总结与反思】 1．与指数函数有关的函数的图象的研究，往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象．2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象数形结合求解．@:第 3 页.例题 2已知函数fx 2 3x 2则函数f(x) 的 单 调 递 增 区 间 为 ________ ， 单 调 递 减 区 间 为________．【解析】(－∞，0][0，＋∞)；令t＝|x|－a，则f(x)＝ 2 3t ，不论a取何值，t在(－∞，0]上单调递减，在[0，＋∞)上单调递增，又f(x)＝ 2 3t 是单调递减的，因此 f(x)的单调递增区间是(－∞，0]，单调递减区间是[0，＋∞)．【总结与反思】求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关 性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增 异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．四 、课堂运用1．下基①列础y＝以(x－为4)自x；变②量y＝的π函x；数③中y，＝是－指4x；数④函y数＝的ax是＋2_(a_>_0__且_．a≠(填1序)．号)2．函数 f(x)＝(a2－3a＋3)ax 是指数函数，则 a 的值为________． 3．函数 y＝a|x|(a>1)的图象是________．(填序号)答案与解析1.【答案】②【解析】①中－4<0，不满足指数函数底数的要求，③中因有负号，也不是指数函数，④ 中的函数可化为 y＝a2·ax，ax 的系数不是 1，故也不是指数函数． 2.【答案】2【解析】由题意得a2 3a a＞0且a3 1,1,解得 a＝2.3.【答案】②【解析】该函数是偶函数．可先画出 x≥0 时，y＝ax 的图象，然后沿 y 轴翻折过去，便得到 x<0 时的函数图象．巩固1．函数 f(x)＝ax 的图象经过点(2,4)，则 f(－3)的值为____． 2．若函数 y＝ax－(b－1)(a>0，a≠1)的图象不经过第二象限，则 a，b 需满足的条件为 ________． 3．函数 y＝8－23－x(x≥0)的值域是________． 答案与解析@:第 4 页.1.【答案】 1 8【解析】由题意 a2＝4，∴a＝2.f(－3)＝2－3＝ 1 . 82.【答案】a>1，b≥2. 【解析】函数 y＝ax－(b－1)的图象可以看作由函数 y＝ax 的图象沿 y 轴平移|b－1|个单位得到．若 0<a<1，不管 y＝ax 的图象沿 y 轴怎样平移，得到的图象始终经过第二象限；当 a>1 时，由于 y＝ax 的图象必过定点(0,1)，当 y＝ax 的图象沿 y 轴向下平移 1 个单位后，得到的 图象不经过第二象限．由 b－1≥1，得 b≥2.因此，a，b 必满足条件 a>1，b≥2.3.【答案】2【解析】y＝8－23－x＝8－23·2－x＝8－8·( 1 )x 2＝8[1－( 1 )x]． 2∵x≥0，∴0<( 1 )x≤1，∴－1≤－( 1 )x<0，22从而有 0≤1－( 1 )x<1，因此 0≤y<8. 2拔高1．已知函数 f (x) 的定义域是 (1, 2) ，则函数 f (2x ) 的定义域是.2．当 a 0 且 a 0 时，函数 f (x) ax2 3 必过定点.答案与解析1.【答案】 (0,1)【解析】 2x (1, 2)2.【答案】 2, 2【解析】 a0 1 x 2 时必定过 (2,2)指数函五数、：课堂小结①定义：函数称指数函数，1）函数的定义域为 R；2）函数的值域为；3）当时函数为减函数，当 时函数为增函数。
高中数学指数与指数函数教案
指数与指数函数一、学习目标1、理解n资助方根、根式、分数指数幂概念，会对根式、分数指数幂进行互化；2、掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简、求值；3、培养化归意识，思维的灵活性和严密性；4、掌握指数函数的根念；5、掌握指数函数的图像、性质；6、能利用指数函数的性质比较幂的大小；7、培养学生的应用意识。
二、例题分析第一阶梯[例1]求下列各式的值；分析：根式可化为分数指数幂形式，利用分数指数幂运算性质计算。
解：说明：既含有分数指数幂，又有根式，一般把根式统一化成分数指数幂的形式，便于计算，如果根式中根指数不同，也应化成分数指数幂的形式。
例2、指出下列函数中哪些是指数函数；(1)y=4x; (2)y=x4; (3)y=-4x; (4)y=(-4)x; (5)y=πx;(7)y=xx;分析：根据指数函数定义进行判断。
解：（1）、（5）为指数函数；（2）不是指数函数；（3）是-1与指数函数4x的乘积；（4）中底数-4<0，∴不是指数函数；（6）中指数不是自变量x，而是x的函数x2;（7）中底数x不是常数。
它们都不符合指数函数的定义。
说明：指数函数严格限定在y=ax(a>0且a≠1)这一结构，（2）（3）（4）（6）（7）均不是指数函数，不具备指数函数的基本性质。
第二阶梯例3、A、1B、2a-1C、1或2a-1D、0思路分析:根据根式的意义直接进行判断.解:(2)取a=0,b=1,A不成立;取a=0,b=-1,C不成立;取a=-1,b=-1,D不成立;因为a2+b2≥0,所以B正确,故选B.答案:(1)C (2)B例4、函数f(x)=x2-bx+c满足f(1+x)=f(1-x),且f(0)=3,则f(bx)与f(cx)的大小关系是_______。
思路分析：利用二次函数、指数函数的单调性，结合函数的有关知识进行解答。
解答：∵f(1+x)=f(1-x),∴f(x)的对称轴为x=1,由此得b=2,又∵f(0)=3,∴c=3.∴f(x)=x2-2x+3在（-∞，1）内递减，在（1，+∞）内递增。
高中数学人教新课标必修一B版教案3.1 指数与指数函数的教学设计
3.1 指数与指数函数的教学设计§3.1.1实数指数幂及其运算（第一课时—— 第二课时）一、学习目标1. 理解n 次方根、根式、分数指数幂概念，了解实数指数幂的意义，会对根式、分数指数幂进行互化；2. 掌握分数指数幂的运算性质，熟练运用性质进行化简，求值；3. 通过复习回顾初中所学整数幂运算，用类比的思想来完成实数指数幂的学习；4. 借助计算器或计算机进一步体会“用有理数逼近无理数”的数学思想.二、重点难点1. 重点：分数指数幂的概念和分数指数的运算性质；解决方法：利用正整数幂的概念及性质进行类比分析，由简到繁，逐步深入.2. 难点：根式的概念及分数指数幂的概念；解决方法：由具体到一般，注意过程分析.三、教学内容安排本小节内容包括整数指数幂、分数指数幂、根式的概念以及利用分数指数的运算性质进行指数的运算.1. 整数指数幂的概念及运算性质在初中我们首先研究了正整数指数幂：一个数a 的n 次幂等于n 个a 的连乘积，即个n a a a a ⋅=''正整数指数幂的运算法则有五条：①n m n m a a a +=⋅②n m n m aa a -=÷ （n m a >≠,0） ③mn n m a a =)( ④n n nb a ab ⋅=)( ⑤n nn ba b a =)( )0(≠b 为保证这些法则可以从定义直接推出，我们限定m ，n 都是正整数，且在法则②中限定n m >，为了取消n m >的限制，我们定义了零指数幂和负整数指数幂：1=a )0(≠a nn a a 1=- （0,≠∈+a N n ） 这样一来，原来的5条运算律就可以归纳为3条①③④同时，将指数的概念扩大到了整数. 在这里，应该指出：由于零指数或负整数指数幂要求底数不等于0，因而，对于整数指数幂而言，当然就要求“底数不等于0”2. 根式教材中安排根式这部分内容，是为讲分数指数幂做准备，所以本节教材只讲根式的概念及其性质，先复习平方根、立方根的定义，然后给出n 次方根的定义，同时教材根据n 次方根的意义得出了n 次方根的性质（1）n 次方根的定义如果a x n =，则称x 为a 的n 次方根，n 次方根的定义是平方根、立方根定义的推广，对比平方根、立方根概念，可知：①在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0，设R a ∈，n 是大于1的奇数，则a 的n 次方根为n a ，如－27的3次方根为3273-=-； ②在实数范围内，正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数的偶次方根没有意义，设0≥a ，n 是大于1的偶数，则a 的n 次方根记作n a ±，如16的4次方根为2164±=±，416为16的4次方根中的正根.（2）开方与乘方求a 的n 次方根的运算称为开方运算，开方运算与乘方运算是互逆的运算，不要与乘方运算相混，如求3的四次方，结果是8134=，而求3的四次方根，结果为43± ，对于根式符号n a ，要注意以下几点；①N n ∈，且1>n ②零的任何次方根都是零 ③n 为奇数或0≥a 时，a a n n =)(④当n 为大于1的偶数时，n a 只有当0≥a 时有意义，当0<a 时无意义，)0(≥a a n 表示a 在实数范围内的一个非负n 次方根，另一个是a a a n n n =±-)(;.⑤式子nn a 对任意R a ∈都有意义，当n 为奇数时，a a n n =；当n 为偶数时，⎩⎨⎧<-≥==)0()0(a a a a a a n n 如22)2(22-≠=-要加以注意 （3）根式的概念是教学的难点.教课时，可举几个具体实例，然后再给出n 次方根的一般定义.方根的性质，可以结合立方根与平方根的性质来讲述，即n 次方根的性质实际上是平方根和立方根性质的推广，因此，教课时可以以平方根与立方根为基础来说明.3. 分数指数幂（1）分数指数幂规定：①正数的正分数指数幂的意义是：n m n ma a =（nm N n m a 且,,,0+∈>为既约分数） ②正数的负分数指数幂的意义是：n m n mn ma a a 11==- （+∈>N n m a ,,0，且nm 为既约分数） ③0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义.（2）关于分数指数幂要注意以下几点：①. nm a 的意义，分数指数幂是根式的一种新的写法，根式与分数指数幂表示相同意义的量，只是形式上不同而已.②. 0的指数幂，0的正分数指数幂是0，0的负分数幂没有意义，负数的负分数指数幂是否有意义，应视n m ,的具体数值而言.③. 指数概念在引入了分数指数幂概念后，指数概念就实现了由整数指数幂向有理指数幂的扩充.4. 分数指数幂的运算性质有理数指数幂的运算性质形式上与整数指数幂的运算性质完全一样： s r s r a a a +=⋅； rs s r a a =)(； r r r b a ab =)(；式中0,0>>b a ，Q s r ∈,，对于这三条性质须记准、记熟，会用、用活.5. 讲述实数指数幂的意义及其运算性质时，让学生进一步体会“用有理数逼近无理数”的思想，并结合例1、例2让学生利用计算器或计算机进行实际操作，感受“逼近”过程.6. 参考例题与练习（1）用根式的形式表示下列各式（0>a ）51a 43a 53-a 32-a（2）用分数指数幂表示下列各式 ①32x ②43)(b a + )0(>+b a ③32)(n m - ④4)(n m - （n m >） ⑤56q p （0,>q p ） ⑥m m 3（3）计算 ①5.02120)01.0()412(2)532(-⨯+-- ②432981⨯； ③632125.13⨯⨯ ④)()2(2222---÷+-a a a a（4）化简： ①)65)(41(561312112132-----y x y x yx ②212112m m m m +++-- ③33323323134)21(248a ab a ab b ba a ⨯-÷++-（式中0,0>>b a ）（扩展） （5）已知32121=+-a a ，求下列各式的值①1-+a a ②22-+a a ③21212323----a a aa （扩展）（6）已知22=n a+1，求n n n n a a a a --++33的值（其中+∈N n ），（扩展） （7）若212121x a a =+-（0>a ）求x x x xx x 424222----+-的值.四、教学资源建议教材、教参，与教材相关的课件；信息技术手段等.五、教学方法与学习指导策略建议根据学生情况及本节知识特点，建议采用启发式教学与讲授式教学相结合的教学方法.。
高一数学《指数函数》优秀教案(优秀5篇)-最新
高一数学《指数函数》优秀教案（优秀5篇）作为一名优秀的教育工作者，时常要开展教案准备工作，教案有助于顺利而有效地开展教学活动。
写教案需要注意哪些格式呢？它山之石可以攻玉，下面为您精心整理了5篇《高一数学《指数函数》优秀教案》，我们不妨阅读一下，看看是否能有一点抛砖引玉的作用。
高一数学《指数函数》优秀教案篇一一、教学目标：1、知识与技能(1)理解指数函数的概念和意义；(2)与的图象和性质；(3)理解和掌握指数函数的图象和性质；(4)指数函数底数a对图象的影响；(5)底数a对指数函数单调性的影响，并利用它熟练比较几个指数幂的大小(6)体会具体到一般数学讨论方式及数形结合的思想。
2、情感、态度、价值观(1)让学生了解数学来自生活，数学又服务于生活的哲理。
(2)培养学生观察问题，分析问题的能力。
二、重、难点：重点：(1)指数函数的概念和性质及其应用。
(2)指数函数底数a对图象的影响。
(3)利用指数函数单调性熟练比较几个指数幂的大小。
难点：(1)利用函数单调性比较指数幂的大小。
(2)指数函数性质的归纳，概括及其应用。
三、教法与教具：①学法：观察法、讲授法及讨论法。
②教具：多媒体。
四、教学过程：第一课时讲授新课指数函数的定义一般地，函数(0且≠1)叫做指数函数，其中是自变量，函数的定义域为R。
提问：在下列的关系式中，哪些不是指数函数，为什么？(1)(2)(3)(4)(5)(6)(7)(8)(1，且)小结：根据指数函数的定义来判断说明：因为0，是任意一个实数时，是一个确定的实数，所以函数的定义域为实数集R。
若0，如在实数范围内的函数值不存在。
若=1,是一个常量，没有研究的意义，只有满足的形式才能称为指数函数，不符合我们在学习函数的单调性的时候，主要是根据函数的图象，即用数形结合的方法来研究。
先来研究的情况。
下面我们通过用计算机完成以下表格，并且用计算机画出函数的图象。
再研究，01的情况，用计算机完成以下表格并绘出函数的图象。
必修1第二章指数和指数函数教案(7个课时)
(2)5x 4,5y 2,则52xy _______
练 2、用分数指数幂的形式表示下列各式（a>0）
7
(1) 3 a2 a3
(2) 3 a8 3 a15
不
解：(1)原式=a
7 2
1 3
31
a 23
7
a6
1
a2
2
a3;
练
(2)原式=a
(
8 ) 3
1 2
15 1
讲
an
1 an
(a 0)
5
观察归纳，讲授新课
观察以下式子，并总结出规律： a ＞0
10
① 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
②
8
a8 (a4 )2 a4 a2
12
③ 4 a12 4 (a3 )4 a3 a 4
10
④ 5 a10 5 (a2 )5 a2 a 5
a3 2
45
a 3 2
7
a6.
不
讲
7
教学内容
第3课 （单元）
主题
分数指数幂及其性质 2
1 课时
1、理解分数指数幂的概念；
教
知识 与技能
2、掌握分数指数幂和根式之间的互化；
3、掌握分数指数幂的运算性质.
学
过 程 从整数指数幂到分数指数幂，再推广到无理指数幂，将指数范围扩充到实数，
目 与方法 进而学习分数指数幂以及指数幂的性质.
图象特征函数性质轴正负方向无限延伸函数的定义域为r图象关于原点和y轴不对称非奇非偶函数函数图象都在x轴上方函数的值域为r自左向右图象逐渐上升自左向右图象逐渐下降增函数减函数在第一象限内的图象纵坐标都大于1在第一象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都小于1在第二象限内的图象纵坐标都大于1学习目标
专题08 指数与指数函数(教学案)
高考数学（文）一轮复习精品资料专题08 指数与指数函数（教学案）1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，12，13的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型． 1．根式的性质 (1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a . 当n 为偶数时na n ＝{ a a ≥0－a a <0.2．有理数指数幂 (1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n 个 (n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1ap (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：a －m n ＝1a m n ＝1na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质 ①a r a s ＝a r ＋s (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a r )s ＝a rs (a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )r ＝a r b r (a >0，b >0，r ∈Q )． 3．指数函数的图象与性质y ＝a xa >10<a <1图象定义域 (1)R值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1) (4)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1(5)当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数高频考点一 指数幂的运算例1、化简：(1)a3b23ab2a b4ab(a>0，b>0)；(2)【感悟提升】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【方法规律】(1)指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：①必须同底数幂相乘，指数才能相加；②运算的先后顺序． (2)当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．(3)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．【变式探究】 (1)[(0.064)－2.5]－3338－π0＝_______________________________. (2)(14)·4ab －130.1－1·a3·b －3＝________.4213-13()21103227()0.00210(52)(23).8--－－＋－－＋－152312-12高频考点二 指数函数的图象及应用 例2、(1)函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )(2)若曲线|y |＝2x ＋1与直线y ＝b 没有公共点，则b 的取值范围是________．【方法规律】(1)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(2)有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．【变式探究】 (1)定义运算a ⊕b ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝1⊕2x 的图象是( )(2)方程2x ＝2－x 的解的个数是________． 高频考点三 指数函数的图象和性质 例3、(1)下列各式比较大小正确的是( ) A ．1.72.5>1.73B ．0.6－1>0.62 C ．0.8－0.1>1.250.2D ．1.70.3<0.93.1(2)设a ＝⎝⎛⎭⎫35，b ＝⎝⎛⎭⎫25，c ＝⎝⎛⎭⎫25，则a ，b ，c 的大小关系是________． 【变式探究】设函数f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x<0，x ，x≥0，若f(a)<1，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－3)B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)253525高频考点四、和指数函数有关的复合函数的性质例4、设函数f(x)＝kax －a －x(a>0且a≠1)是定义域为R 的奇函数． (1)若f(1)>0，试求不等式f(x2＋2x)＋f(x －4)>0的解集；(2)若f(1)＝32，且g(x)＝a2x ＋a －2x －4f(x)，求g(x)在[1，＋∞)上的最小值．【感悟提升】指数函数的性质及应用问题解题策略(1)比较大小问题．常利用指数函数的单调性及中间值(0或1)法．(2)简单的指数方程或不等式的求解问题．解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．(3)解决指数函数的综合问题时，要把指数函数的概念和性质同函数的其他性质(如奇偶性、周期性)相结合，同时要特别注意底数不确定时，对底数的分类讨论．【变式探究】(1)已知函数f(x)＝2|2x －m|(m 为常数)，若f(x)在区间[2，＋∞)上是增函数，则m 的取值范围是________．(2)如果函数y ＝a2x ＋2ax －1(a>0，a≠1)在区间[－1,1]上的最大值是14，则a 的值为( ) A.13 B ．1 C ．3D.13或3 高频考点五、换元法在和指数函数有关的复合函数中的应用 例5、(1)函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x ＋1在区间[－3,2]上的值域是________．(2)函数f(x)＝⎝⎛⎭⎫12的单调减区间为________________________________． 【特别提醒】(1)解决和指数函数有关的复合函数的单调性或值域问题时，要熟练掌握指数函数的单调性，搞清复合函数的结构，利用换元法转化为基本初等函数的单调性或值域问题；(2)换元过程中要注意“元”的取值范围的变化． 【方法与技巧】1．通过指数函数图象比较底数大小的问题，可以先通过令x ＝1得到底数的值，再进行比较． 2．指数函数y ＝ax (a>0，a≠1)的性质和a 的取值有关，一定要分清a>1与0<a<1. 3．对与复合函数有关的问题，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成．221－＋＋xx1.【2016高考新课标3理数】已知，，，则（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） 【2015高考天津，理7】已知定义在 上的函数 （为实数）为偶函数，记 ，则 的大小关系为( ) （A ） （B ） （C ） （D ）【2015高考山东，理10】设函数则满足的取值范围是（ ） （A ） （B ） （C ） （D ） （2014·福建卷）若函数y ＝log a x (a >0，且a ≠1)的图像如图11所示，则下列函数图像正确的是( )图11A BC D（2014·江西卷）已知函数f (x )＝5|x |，g (x )＝ax 2－x (a ∈R)．若f [g (1)]＝1，则a ＝( ) A ．1 B ．2 C ．3 D ．－1（2014·辽宁卷）已知a ＝2－13，b ＝log 213，c ＝log 1213，则( )A ．a >b >cB ．a >c >b432a =254b =1325c =b a c <<a b c <<b c a <<c a b <<R ()21x mf x -=-m ()()0.52(log 3),log 5,2a f b f c f m ===,,a b c a b c <<a c b <<c a b <<c b a <<()()2log 502log 5214,2(0)210b f c f m f ==-====-=()31,1,2,1xx x f x x -<⎧=⎨≥⎩2,13⎡⎤⎢⎥⎣⎦[]0,12,3⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭[)1,+∞C ．c >a >bD ．c >b >a（2014·山东卷）设集合A ＝{x ||x －1|＜2}，B ＝{y |y ＝2x ，x ∈[0，2]}，则A ∩B ＝( ) A ．[0，2] B ．(1，3) C ．[1，3) D ．(1，4)（2014·山东卷）已知实数x ，y 满足a x ＜a y (0＜a ＜1)，则下列关系式恒成立的是( ) A.1x 2＋1＞1y 2＋1B. ln(x 2＋1)＞ln(y 2＋1)C. sin x ＞sin yD. x 3＞y 3（2014·陕西卷）下列函数中，满足“f (x ＋y )＝f (x )·f (y )”的单调递增函数是( ) A ．f (x )＝x 12 B ．f (x )＝x 3C ．f (x )＝⎝⎛⎭⎫12xD ．f (x )＝3x（2014·陕西卷）已知4a ＝2，lg x ＝a ，则x ＝________．（2013·安徽卷）已知一元二次不等式f(x)<0的解集为x⎪⎪⎪ )x<－1或x>12，则f(10x )>0的解集为( )A ．{x|x<－1或x>－lg 2}B ．{x|－1<x<－lg 2}C ．{x|x>－lg 2}D ．{x|x<－lg 2}（2013·湖南卷）设函数f(x)＝a x ＋b x －c x ，其中c>a>0，c>b>0.(1)记集合M ＝{(a ，b ，c)|a ，b ，c 不能构成一个三角形的三条边长，且a ＝b}，则(a ，b ，c)∈M 所对应的f(x)的零点的取值集合为________；(2)若a ，b ，c 是△ABC 的三条边长，则下列结论正确的是________．(写出所有正确结论的序号)①x ∈(－∞，1)，f(x)>0；②x ∈R ，使a x ，b x ，c x 不能构成一个三角形的三条边长； ③若△ABC 为钝角三角形，则x ∈(1，2)，使f(x)＝0. （2013·浙江卷）已知x ，y 为正实数，则( ) A ．2lg x＋lg y＝2lg x ＋2lg y B ．2lg(x＋y)＝2lg x ·2lg yC ．2lg x·lg y ＝2lg x ＋2lg yD ．2lg(xy)＝2lg x ·2lg y1．若a ＝⎝⎛⎭⎫23x，b ＝x 2，c ＝log 23x ，则当x >1时，a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．c <a <b B ．c <b <a C ．a <b <c D ．a <c <b2.函数f (x )＝a x－b的图象如图所示，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <03．已知a ＝⎝⎛⎭⎫3525，b ＝⎝⎛⎭⎫2535，c ＝⎝⎛⎭⎫2525，则( ) A ．a <b <cB ．c <b <aC ．c <a <bD ．b <c <a4．已知函数f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)，如果以P (x 1，f (x 1))，Q (x 2，f (x 2))为端点的线段的中点在y 轴上，那么f (x 1)·f (x 2)等于( ) A ．1B ．aC ．2D ．a 25．若函数f (x )＝a |2x －4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2]6．若存在正数x 使2x (x －a )<1成立，则a 的取值范围是( ) A ．(－∞，＋∞) B ．(－2，＋∞) C ．(0，＋∞) D ．(－1，＋∞)7．已知函数f (x )＝x －4＋9x ＋1，x ∈(0，4)，当x ＝a 时，f (x )取得最小值b ，则函数g (x )＝a |x ＋b |的图象为( )8．已知奇函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧f （x ），x >0，g （x ），x <0.如果f (x )＝a x (a >0，且a ≠1)对应的图象如图所示，那么g (x )＝________．9．已知max(a ，b )表示a ，b 两数中的最大值．若f (x )＝max{e |x |，e |x －2|}，则f (x )的最小值为________．10．已知f (x )＝⎝⎛⎭⎫1a x －1＋12x 3(a >0，且a ≠1)．(1)讨论f (x )的奇偶性；(2)求a 的取值范围，使f (x )>0在定义域上恒成立． 11．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)解关于t 的不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－1)<0.12．已知函数f (x )＝e x －e －x (x ∈R ，且e 为自然对数的底数)． (1)判断函数f (x )的单调性与奇偶性；(2)是否存在实数t ，使不等式f (x －t )＋f (x 2－t 2)≥0对一切x ∈R 都成立？若存在，求出t ；若不存在，请说明理由．。
指数与指数函数教案
指数与指数函数教案TPMK standardization office【 TPMK5AB- TPMK08- TPMK2C- TPMK18】指数与指数函数一、教学目标1．理解分数指数的概念，掌握有理指数幂的运算性质．2．掌握指数函数的概念,图象和性质.二、重点、难点讲解1. 指数（1） 根式若x n =a(n>1,且*∈N n ),则x 叫做a 的n 次方根.当n 为奇数时，a 的n 次方根是n a .当n 为偶数时，若a>0，a 的n 次方根有2个，这两个方根互为相反数，即n a ±，其中正的一个n a 叫做a 的n 次算术根；若a=0，0的n 次方根只有一个，是0；若a<0，a 的n 次方根不存在（在实数范围内）.当n 为奇数时，a a n n =.当n 为偶数时，=n n a ⎩⎨⎧-a a(2)指数概念的推广① 零指数.若运用指数运算法则，0a a a a n n n n ==÷-，又有1=÷n n a a ，因此规定)0(10≠=a a .② 负整数指数.若运用指数运算法则，n n n n a a a a a --==÷=÷001，又有nn a a 11=÷，因此规定),0(1*-∈>=N n a aa n n . ③ 正分数指数.若运用指数运算法则，m n nm nnm a aa ==⋅)(，因此规定).1,,,0(>∈>=*n N n m a a an m nm且④ 负分数指数，若运用指数运算法则，nm nm nm nm a a aa a --==÷=÷001，又有nm nmaa 11=÷，因此规定)1,,,0(11>∈>==*-n N n m a a aanmnm nm 且且.⑤ 无理数指数，若a>0,p 是无理数，则a p 也表示一个实数（因知识的原因，教材中对具体的规定已省略）（3）指数运算法则若a>0,b>0,Q s r ∈,,则有下列指数运算法则：①s r s r a a a +=⋅；②rs s r a a =)(；③r r r b a ab =)(.实际上上述法则当r,s 为无理数时也成立.2．指数函数（1）形如y=a x)1,0(≠>a a 的函数叫做指数函数，因此x x y y π==,)31(都是指数函数，而x x y y 4,32-=⋅=均不能称为指数函数.（2）在y=a x 中，当0≤a 时a x 可能无意义，当a>0时x 可以取任何实数，当a=1时，)(1R x a x ∈=，无研究价值，且这时11==x y 不存在反函数，因此规定y=a x 中.1,0≠>a a 且（3）指数函数的图象和性质(4)指数函数y=a x的性质可以由x x x y y y )21(,2,10===的图像这三条曲线来记忆.由图可见，当a>1时，指数函数y=a x 的底数越大，它的图象在第一象限部分越“靠近y “靠近x 轴”.又因函数y=a x和x ay )1(=实际上x x a ay -==)1(,因此当0<a<1越小，它的图像在第二象限部分越“靠近y 轴”，在第一象限部分越“靠近x 轴”.(5)函数值的变化特征：注意：a 值的变化与图像的位置关系（详见图形）二．经典例题题型1：根式与分数指数幂的运算例1．（1）34383316154168515--+；（2）3232+-（3）32ab （4）42)(a - 题型2：指数式的化简求值例2（1）计算:;)13()32(10008.0)416(25.00132211-+-⨯-⨯⨯---（2）计算:21210112])21[()12()35(42-++⨯+-÷-++n n（3）化简：3163)278(--b a （4）化简：5332332323323134)2(248aa a a ab aaab b b a a ⋅⋅⨯-÷++--例3．（1）已知31=+-a a ，求22-+a a 与33-+a a 的值（2）已知11223x x-+=，求22332223x x x x--+-+-的值题型3：指数比较大小问题例4（1）6351,9,2===c b a 试比较c b a ,,的大小。
指数与指数函数(自备教案新部编本)
精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan教师学科教课设计[ 20–20学年度第__学期]任教课科： _____________任教年级： _____________任教老师： _____________xx市实验学校目录指数与指数函数1、根式2、指数的扩大3、指数运算律4、指数函数的观点5、指数函数图像的定点问题6、指数函数的图像辨别7、依据底数判断单一性8、指数函数图像关系的辨别9、指数函数的图像变换10、用图像解指数型方程的根11、用性质剖析指数型方程12、用单一性解方程与不等式13、用单一性比较数的大小14、用中间量比较数的大小15、用换元法，有界性法求指数函数的值域16、利用单一性求指数型函数的值域17、用换元法求指数型复合函数的单一区间18、已知指数型函数奇偶性求参数的值或范围19、复习1、根式一、知识回首1、乘方a n a a a a, a0 1 (a0)2、平方根精选教课教课设计设计| Excellent teaching plan1 2221、± 1 叫 1 的平方根； 1 的平方根是± 14、± 2 叫 4 的平方根； 4 的平方根是± 220、0叫0的平方根；0的平方根是0x2 a 、x叫a的平方根；a的平方根是x（a≥0）4 的平方根是有理数， 7 的平方根是多少呢？约在 2.5—— 2.8、（－ 2.8）——（－ 2.5）之间。
哪么 7 的平方根怎么表示呢？x27，x7（注意：平方根有两个数，两个数互为相反数。
）因为在有理数范围找不到 7 的平方根，故用“”（读作根号）来表示。
即：x 2a x aX——叫 a 的平方根（a叫a的算术平方根）2——叫根子数a——叫被开方数同理，x24 ， x42，即42, 22 2 ， 42,222x2121 ， x12111，即12111, 11211 ，121 11,112 11公式①：a2 a a R 。
2.5指数与指数函数经典教案【强烈推荐】
§2.5 指数与指数函数考试会这样考 1.考查指数函数的求值、指数函数的图像和性质；2.讨论与指数函数有关的复合函数的性质；3.将指数函数与对数函数、抽象函数相结合，综合考查指数函数知识的应用．复习备考要这样做 1.重视指数的运算，熟练的运算能力是高考得分的保证；2.掌握两种情况下指数函数的图像和性质，在解题中要善于分析，灵活使用；3.对有关的复合函数要搞清函数的结构．1．根式的概念如果一个数的n 次方等于a (n ＞1且，n ∈N *)，那么这个数叫做a 的n 次方根．也就是，若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．2． 根式的性质(1)(na )n ＝a .(2)当n 为奇数时na n ＝a .当n 为偶数时n a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)3． 有理数指数幂(1)幂的有关概念①正整数指数幂：a n ＝a ·a ·…·a n个(n ∈N *)． ②零指数幂：a 0＝1(a ≠0)．③负整数指数幂：a －p ＝1a p (a ≠0，p ∈N *)．④正分数指数幂：nm a ＝na m (a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑤负分数指数幂：n-m a＝n1m a＝1na m(a >0，m 、n ∈N *，且n >1)．⑥0的正分数指数幂等于0,0的负分数指数幂没有意义． (2)有理数指数幂的性质①a m a n ＝a m ＋n (a >0，r 、s ∈Q )； ②(a m )n ＝a mn (a >0，r 、s ∈Q )； ③(ab )n ＝a n b n (a >0，b >0，r ∈Q )．4．指数函数的图像与性质y ＝a xa >1 0<a <1图像定义域(1)R 值域(2)(0，＋∞) 性质(3)过定点(0,1)(4)当x >0时，y >1；x <0时，0<y <1 (5)当x >0时，0<y <1；x <0时，y >1(6)在(－∞，＋∞)上是增函数(7)在(－∞，＋∞)上是减函数[难点正本 疑点清源]1． 根式与分数指数幂的实质是相同的，通常利用分数指数幂的意义把根式的运算转化为幂的运算，从而可以简化计算过程．2． 指数函数的单调性是底数a 的大小决定的，因此解题时通常对底数a 按：0<a <1和a >1进行分类讨论． 3． 比较指数式的大小方法：利用指数函数单调性、利用中间值．1． 化简[]2161--2-）（）（的值为________．解析 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝7.2． 若函数y ＝(a 2－1)x在(－∞，＋∞)上为减函数，则实数a 的取值范围是__________．答案 (－2，－1)∪(1，2)解析 由y ＝(a 2－1)x 在(－∞，＋∞)上为减函数，得0<a 2－1<1，∴1<a 2<2，即1<a <2或－2<a <－1.3． 若函数f (x )＝a x －1 (a >0，且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a ＝________.答案 3 解析 当a >1时，x ∈[0,2]，y ∈[0，a 2－1]． 因定义域和值域一致，故a 2－1＝2，即a ＝ 3. 当0<a <1时，x ∈[0,2]，y ∈[a 2－1,0]．此时，定义域和值域不一致，故此时无解． 综上，a ＝ 3.4． 函数y ＝a x －1a(a >0，且a ≠1)的图像可能是 ( )解析 当a >1时，y ＝a x －1a 为增函数，且在y 轴上的截距为0<1－1a <1，排除A ，B.当0<a <1时，y ＝a x －1a 为减函数，且在y 轴上的截距为1－1a<0，故选D.5． 设函数f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，则 ( )A ．f (－2)>f (－1)B ．f (－1)>f (－2)C ．f (1)>f (2)D ．f (－2)>f (2)答案 A 解析 ∵f (x )＝a －|x |(a >0，且a ≠1)，f (2)＝4，∴a －2＝4，∴a ＝12，∴f (x )＝⎝⎛⎭⎫12－|x |＝2|x |，∴f (－2)>f (－1)，故选A.题型一 指数幂的运算例1 (1)计算：4361211627-322124++）（(2)已知32121=+-a a，则a ＋a－1= 、 a 2＋a －2＝答案 解 (1)(124＋223)12－2716＋1634＝(11＋3)2×12－33×16＋24×34＝11＋3－312＋23＝19(2)解析 由已知条件(a 12＋a －12)2＝9.整理得：a ＋a －1＝7又(a ＋a －1)2＝49，因此a 2＋a －2＝47. 计算下列各式的值：(1)01-21-32-3-22-510-002.0827-）（）（）（）（++；(2)15＋2－(3－1)0－9－45； (3)ab a ab b a 421413223)(∙ (a >0，b >0)．解 (1)原式＝()－278－23＋()1500－12－105－2＋1＝()－82723＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679. (2)原式＝5－2－1－(5－2)2＝(5－2)－1－(5－2)＝－1.(3)原式＝3221b--a .题型二 指数式大小比较例2 已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则( )A ．a >b >cB ．a >c >bC ．c >a >bD ．b >c >a 解析：(1)由0.2<0.6,0.4<1，并结合指数函数的图象可知0.40.2>0.40.6，即b >c ；因为a ＝20.2>1，b ＝0.40.2<1，所以a >b .综上，a >b >c .1、同底，看单调性；2、同指，则化为根式或结合幂函数单调性；3、都不同，则与1比较。
指数与指数函数说课设计
上述两个函数解析式有什么共同特征？你能用准确的语言概括吗？
函数解析式都是指数形式 底数为常数且自变量在指数位置
舒城中学
信息交流揭示规律
指数函数的定义
1、请学生思考对 于底数 a 的限制， 并探究。
2、结合指数的有 一般地，函数 y a x (a 0且a 1)叫做指数函数， 关概念来理解指 数函数的定义， 并通过具体例子 其中x是自变量。函数的定义 域为R。 体现指数函数的 形式特点。
）
2.
若a 1,1 b 0, 则函数y a x b的图像一定在（
A.第一二三象限 C.第二三四象限 B.第一三四象限 D.第一二四象限
）
3.
函数y a (a 1)的图像是（
x
）
舒城中学
课堂小结知识升华
指数函数的定义
掌握理解
指数函数的图像
指数函数的性质
重点难点
数形结合 分类讨论
思 想
指数函数的简单应用
舒城中学
作业布置设置悬念
.
课本P 6、 7、 8、 9题 59习题2.1A组第 同步作业P 51 P 53
设a, b, c, d , 都是不等于1 的正数，
.
.
函数：y a x，y b x，y c x，y d x，
在同一坐标系中的图象 如图所示 .
1
则a, b, c, d的大小关系是
舒城中学
教材分析
学情分析 教法分析 学法分析
教学过程
设计说明
根据本节特点，遵循“教 师的主导作用和学生的主体 地位相统一的教学规律”， 采用直观教学法，启发发现 法、课堂讨论法，并结合多 媒体教学，达到突破难点的 目标 。
第5讲指数与指数函数(教案)
指数与指数函数教学目标：掌握指数运算（高考要求A ）及指数函数的有关概念（高考要求B ）. 教学重难点：熟悉指数运算，掌握指数函数图像性质及其应用。
教学过程： 一.知识要点： 1．指数运算(1) 根式的定义：若一个数的n 次方等于),1(*∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。
即若a x n =，则x 称a 的n 次方根（)1*∈>N n n 且， ① 当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ；②当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作)0(>±a a n 。
（2）根式性质：①a a n n =)(；②当n 为奇数时，a a n n =；③当n(0)||(0)a a a a a ≥⎧==⎨-<⎩。
（3）幂运算法则：①∈⋅⋅⋅=n a a a a n ( N *) ②)0(10≠=a a ；n 个 ③∈=-p aap p(1Q ，4）m a a a n m n m,0(>=、∈n N *且)1>n 。
（4）幂运算性质： ①r a a a a sr s r ,0(>=⋅+、∈s Q ）；②r a a a s r s r ,0()(>=⋅、∈s Q ）；③∈>>⋅=⋅r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。
（注）上述性质对r 、∈s R 均适用。
2.指数函数：(1) 指数函数定义：函数)1,0(≠>=a a a y x 且称指数函数，函数的定义域为R ；函数的值域为),0(+∞； (2)函数图像及性质：①指数函数的图象都经过点（0，1），且图象都在第一、二象限；②当10<<a 时函数为减函数，当1>a 时函数为增函数。
③指数函数都以x 轴为渐近线（当10<<a 时，图象向左无限接近x 轴，当1>a 时，图象向右无限接近x 轴）；④对于相同的)1,0(≠>a a a 且，函数x x a y a y -==与的图象关于y 轴对称。
高二数学指数函数与指数方程的优秀教案范本
高二数学指数函数与指数方程的优秀教案范本一、教学目标1. 理解指数函数与指数方程的基本概念；2. 掌握指数函数的图像特征和性质；3. 熟练解决与指数函数相关的实际问题。
二、教学重点1. 指数函数的定义与性质；2. 指数函数的图像特征及其与底数、指数的关系。
三、教学难点1. 理解指数函数图像的特点；2. 掌握指数方程的解题方法。
四、教学过程Step 1 引入新知1. 教师通过引导学生思考，让学生回顾一下高一数学中学习过的知识：二次函数、一次函数等，引导学生思考这些函数在图像上有何特点，并与指数函数进行对比。
2. 教师通过设计问题，引导学生思考指数函数的含义和定义，引导学生自主学习指数函数的相关知识。
Step 2 指数函数的定义与特性1. 学生通过自主学习，探究指数函数的定义与基本特性，通过图像展示和实例分析来加深对指数函数的理解。
2. 教师利用多媒体教学工具，给出不同底数和指数的指数函数图像，并带领学生观察和总结不同情况下的图像特征和性质。
Step 3 指数方程的解法1. 学生通过自主学习，了解指数方程的基本概念和解题方法。
2. 教师通过实例讲解和解题步骤的导引，引导学生掌握解指数方程的常用方法和技巧。
3. 学生根据教师给出的习题，进行练习和解答，并通过讨论与交流，提高解题能力和思维能力。
Step 4 实际问题的应用1. 学生通过讨论和分组分享，将所学的指数函数与指数方程的知识应用于实际问题的解决过程中。
2. 教师给出一些与生活、工作、科学等领域相关的实际问题，让学生利用所学知识，进行分析和解决。
五、教学评价1. 教师通过观察学生在学习过程中的表现和参与度来评价学生的学习情况；2. 学生通过小组合作完成的实际问题解决方案来评价学生的综合能力；3. 教师可以通过测试、小测验等形式来评价学生对指数函数与指数方程的掌握程度。
六、教学反思在教学过程中，教师应充分利用多种教学手段和资源，激发学生的学习兴趣和主动性。
指数与指数函数教案
第_____次课 1 龙文教育个性化辅导教案 教师 郭岚丹 学生 张佩仪 授课时间
授课题目
《指数与指数函数》 教学目标
或要求
教学重点、难点
教学内容：
1.指数
（1）n 次方根的定义
若x n =a ，则称x 为a 的n 次方根，“n ”是方根的记号.
在实数范围内，正数的奇次方根是一个正数，负数的奇次方根是一个负数，0的奇次方根是0；正数的偶次方根是两个绝对值相等符号相反的数，0的偶次方根是0，负数没有偶次方根.
（2）方根的性质
①当n 为奇数时，n n a =a .
②当n 为偶数时，n n a =|a |=⎩⎨
⎧<-≥).0(),0(a a a a （3）分数指数幂的意义
①a n m =n m a （a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.
②a n m
-=n m
a 1
=n m a 1（a ＞0，m 、n 都是正整数，n ＞1）.
课后反思：（提示：从学生的态度到接受的情况进行分析，不断完善教学方法，提高教学效率。
）
本次课后作业：
学生对于本次课的评价：
○ 特别满意 ○ 满意 ○ 一般 ○ 差 学生签字：
教师评定：
1、 学生上次作业评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差
2、 学生本次上课情况评价： ○ 好 ○ 较好 ○ 一般 ○ 差 教师签字：。
第四节 指数与指数函数 教案
第四节 指数与指数函数核心素养立意下的命题导向1.将根式与指数幂相结合考查它们之间的互化，凸显数学运算的核心素养． 2．与方程、不等式等相结合考查指数函数图象的应用，凸显直观想象的核心素养． 3．与二次函数、不等式等问题综合考查指数型函数的性质及应用，凸显数学运算、直观想象和逻辑推理的核心素养．[理清主干知识]1．根式 (1)根式的概念若x n ＝a ，则x 叫做a 的n 次方根，其中n ＞1且n ∈N *.式子 na 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数． (2)a 的n 次方根的表示x n＝a ⇒⎩⎨⎧x ＝ n a (当n 为奇数且n >1时)，x ＝±n a (当n 为偶数且n >1时).2．有理数指数幂幂的有 关概念正分数指数幂：am n＝na m (a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1) 负分数指数幂：a-m n＝1am n＝1n a m(a ＞0，m ，n ∈N *，且n ＞1)0的正分数指数幂等于_0_，0的负分数指数幂无意义有理数 指数幂 的性质a r a s ＝a r ＋s (a ＞0，r ，s ∈Q ) (a r )s ＝a rs (a ＞0，r ，s ∈Q ) (ab )r ＝a r b r (a ＞0，b ＞0，r ∈Q )3．指数函数的图象和性质y ＝a xa >10<a <1图象性质函数的定义域为R；值域为(0，＋∞)函数图象过定点(0,1)，即当x＝0时，y＝1当x>0时，恒有y>1；当x>0时，恒有0<y<1；当x<0时，恒有0<y<1当x<0时，恒有y>1函数在定义域R上为增函数函数在定义域R上为减函数4．指数函数的图象与底数大小的比较如图是指数函数(1)y＝a x，(2)y＝b x，(3)y＝c x，(4)y＝d x的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c>d>1>a>b.由此我们可得到以下规律：在y轴右(左)侧图象越高(低)，其底数越大．[澄清盲点误点]一、关键点练明1．(指数型函数图象)函数y＝2x＋1的图象是()答案：A2．(指数幂的运算)计算：π0＋2－2×⎝⎛⎭⎫21412＝________.答案：1183．(根式的意义)若(2a－1)2＝3(1－2a)3，则实数a的取值范围为________．解析：(2a－1)2＝|2a－1|，3(1－2a)3＝1－2a.因为|2a －1|＝1－2a .故2a －1≤0，所以a ≤12.答案：⎝⎛⎦⎤－∞，12 4．(函数过定点)函数f (x )＝a x －2＋1(a >0且a ≠1)的图象恒过定点________． 解析：令x －2＝0，得x ＝2.此时a 0＋1＝2，∴定点为(2,2)． 答案：(2,2)5．(指数函数的值域)函数y ＝3x 2－2x 的值域为________．解析：设u ＝x 2－2x ，则y ＝3u ，u ＝x 2－2x ＝(x －1)2－1≥－1，所以y ＝3u ≥3－1＝13，所以函数y ＝3x 2－2x 的值域是⎣⎡⎭⎫13，＋∞. 答案：⎣⎡⎭⎫13，＋∞ 二、易错点练清1．(化简na n (a ∈R )时忽略n 的范围)计算 3(1＋2)3＋ 4(1－2)4＝________. 答案：2 22．(错误理解指数函数的概念)若函数f (x )＝(a 2－3)·a x 为指数函数，则a ＝________. 答案：23．(忽视对底数a 的讨论)若函数f (x )＝a x 在[－1,1]上的最大值为2，则a ＝________. 答案：2或12考点一 指数幂的化简与求值 [典例] (1)a 3a ·5a 4(a >0)的值是( )A ．1B ．aC ．a 15D ．a1710(2)⎝⎛⎭⎫2350＋2－2·⎝⎛⎭⎫214-12－(0.01)0.5＝________. [解析] (1)a 3a ·5a 4＝a 3a 12·a45＝a 143--25＝a 1710.故选D.(2)原式＝1＋14×⎝⎛⎭⎫4912－⎝⎛⎭⎫110012＝1＋14×23－110＝1＋16－110＝1615. [答案] (1)D (2)1615[方法技巧]1．指数幂运算的一般原则(1)有括号的先算括号里的，无括号的先做指数运算． (2)先乘除后加减，负指数幂化成正指数幂的倒数．(3)底数是负数，先确定符号；底数是小数，先化成分数；底数是带分数的，先化成假分数． (4)若是根式，应化为分数指数幂，尽可能用幂的形式表示，运用指数幂的运算性质来解答． 2．化简指数幂常用的技巧 (1)⎝⎛⎭⎫b a －p ＝⎝⎛⎭⎫a b p (ab ≠0)； (2)a ＝()a 1mm，a nm ＝()a 1m n (式子有意义)；(3)1的代换，如1＝a －1a,1＝a-12a 12等；(4)乘法公式的常见变形，如(a 12＋b 12)(a 12－b 12)＝a －b ，(a 12±b 12)2＝a ±2a 12b 12＋b ，(a 13±b 13)(a 23∓a 13b 13＋b 23)＝a ±b .[针对训练] 1．化简(a 23·b －1)-12·a-12·b136a ·b 5(a >0，b >0)的结果是( )A ．aB ．abC ．a 2bD ．1a解析：选D 原式＝a-13b 12a -12b13a 16b56＝a1611---32·b115+-236＝1a. 2．已知14a ＝7b ＝4c ＝2，则1a －1b ＋1c ＝________. 解析：由题设可得21a ＝14,21b ＝7,21c ＝4，则211a b-＝147＝2， ∴2+111a b c-＝2×4＝23，∴1a －1b ＋1c ＝3.答案：33．若x >0，则(2x 14＋332)(2x 14－332)－4x -12(x －x 12)＝________.解析：因为x >0，所以原式＝(2x 14)2－(332)2－4x -12·x ＋4x-12·x 12＝4x1×24－33×22－4x-+112＋4x-+1122＝4x 12－33－4x 12＋4x 0＝－27＋4＝－23.答案：－23考点二 指数函数的图象及应用[典题例析](1)已知函数f (x )＝(x －a )(x －b )(其中a >b )的图象如图所示，则函数g (x )＝a x ＋b 的图象是( )(2)(多选)已知实数a ，b 满足等式2 020a ＝2 021b ，下列四个关系式中成立的关系式是( ) A ．0<b <a B ．0<a <b C ．a ＝bD ．a <b <0(3)函数y ＝|3x －2|＋m 的图象不经过第二象限，则实数m 的取值范围是________． [解析] (1)由函数f (x )的图象可知，b <－1<0<a <1，∴g (x )＝a x ＋b 的图象是递减的．又g (0)＝a 0＋b ＝1＋b <0，∴g (x )的图象与y 轴交于负半轴，故选A.(2)在同一平面直角坐标系中作出y ＝2020x 与y ＝2 021x 的图象如图所示．设2 020a ＝2 021b ＝t . 当t >1时，0<b <a ，A 正确． 当t ＝1时，a ＝b ＝0，C 正确．当0<t <1时，a <b <0，D 正确．故选A 、C 、D.(3)作出函数y ＝|3x －2|的图象如图所示．由图可知，若函数y ＝|3x －2|＋m 的图象不经过第二象限，则将函数y ＝|3x －2|的图象至少向下移动2个单位，则m ≤－2.[答案] (1)A (2)ACD (3)(－∞，－2] [方法技巧]有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a 与1的大小关系不确定时应注意分类讨论． (3)有关参数取值范围问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解． [针对训练]1．函数f (x )＝1－e |x |的图象大致是( )解析：选A 由f (x )＝1－e |x |是偶函数，其图象关于y 轴对称，排除B 、D.又e |x |≥1，所以f (x )的值域为(－∞，0]，排除C ，故选A. 2.函数f (x )＝a x －b的图象如图，其中a ，b 为常数，则下列结论正确的是( )A ．a >1，b <0B ．a >1，b >0C ．0<a <1，b >0D ．0<a <1，b <0 解析：选D 由f (x )＝a x －b的图象可以观察出，函数f (x )＝a x－b在定义域上单调递减，所以0<a <1.函数f (x )＝a x－b的图象是在f (x )＝a x 的基础上向左平移得到的，所以b <0.故选D.3．若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则m 的取值范围是________．解析：作出函数g (x )＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |的图象如图所示，由图象可知0<g (x )≤1，则m <g (x )＋m ≤m＋1，即m <f (x )≤m ＋1.要使函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12|1－x |＋m 的图象与x 轴有公共点，则⎩⎪⎨⎪⎧1＋m ≥0，m <0，解得－1≤m <0. 答案：[－1,0)考点三 指数函数的性质及应用考法(一) 与指数函数有关的函数单调性问题 [例1] 若函数f (x )＝a |2x－4|(a >0，且a ≠1)，满足f (1)＝19，则f (x )的单调递减区间是( )A ．(－∞，2]B ．[2，＋∞)C ．[－2，＋∞)D ．(－∞，－2][解析] 由f (1)＝19，得a 2＝19，解得a ＝13或a ＝－13(舍去)，即f (x )＝⎝⎛⎭⎫13|2x －4|. 由于y ＝|2x －4|在(－∞，2]上递减，在[2，＋∞)上递增， 所以f (x )在(－∞，2]上递增，在[2，＋∞)上递减，故选B. [答案] B [方法技巧]与指数函数有关的复合函数的单调性，要弄清复合函数由哪些基本初等函数复合而成，要注意数形结合思想的运用． 考法(二) 比较指数式大小[例2] 已知f (x )＝2x －2－x ，a ＝⎝⎛⎭⎫79－14，b ＝⎝⎛⎭⎫9715，c ＝log 279，则f (a )，f (b )，f (c )的大小关系为( )A ．f (b )<f (a )<f (c )B ．f (c )<f (b )<f (a )C ．f (c )<f (a )<f (b )D ．f (b )<f (c )<f (a )[解析] 易知f (x )＝2x －2－x在R 上为增函数，又a ＝⎝⎛⎭⎫79－14＝⎝⎛⎭⎫9714>⎝⎛⎭⎫9715＝b >0，c ＝log 279<0，则a >b >c ，所以f (c )<f (b )<f (a )． [答案] B[方法技巧] 比较指数幂大小的常用方法[例3] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是( ) A ．(－∞，－3) B ．(1，＋∞)C ．(－3,1)D ．(－∞，－3)∪(1，＋∞)[解析] 当a <0时，不等式f (a )<1可化为⎝⎛⎭⎫12a －7<1，即⎝⎛⎭⎫12a <8，即⎝⎛⎭⎫12a <⎝⎛⎭⎫12－3， 因为0<12<1，所以a >－3，此时－3<a <0；当a ≥0时，不等式f (a )<1可化为a <1， 所以0≤a <1.故a 的取值范围是(－3,1)． [答案] C [方法技巧]简单的指数方程或不等式的求解问题解决此类问题应利用指数函数的单调性，要特别注意底数a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论．考法(四) 与指数函数有关的函数最值问题[例4] (1)(2021·昆明模拟)已知集合A ＝{x |(2－x )·(2＋x )>0}，则函数f (x )＝4x －2x ＋1－3(x ∈A )的最小值为( ) A ．4B ．2C ．－2D ．－4(2)若函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫13243－＋ax x 有最大值3，则a ＝________. [解析] (1)由题知集合A ＝{x |－2<x <2}．又f (x )＝(2x )2－2×2x －3，设2x ＝t ，则14<t <4，所以f (x )＝g (t )＝t 2－2t －3＝(t －1)2－4，且函数g (t )的对称轴为直线t ＝1，所以最小值为g (1)＝－4.故选D.(2)令h (x )＝ax 2－4x ＋3，y ＝⎝⎛⎭⎫13h (x )，由于f (x )有最大值3，所以h (x )应有最小值－1， 因此必有⎩⎪⎨⎪⎧a >0，12a －164a ＝－1，解得a ＝1，即当f (x )有最大值3时，a 的值为1. [答案] (1)D (2)1 [方法技巧]解决形如y ＝a 2x ＋b ·a x ＋c (a >0，且a ≠1)型函数最值问题，多利用换元法，即令t ＝a x ，转化为y ＝t 2＋bt ＋c 的最值问题，注意根据指数函数求t 的范围． [针对训练]1．设a ＝0.60.6，b ＝0.61.5，c ＝1.50.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．b <a <cD ．b <c <a解析：选C 因为函数y ＝0.6x 在R 上单调递减，所以b ＝0.61.5<a ＝0.60.6<1.又c ＝1.50.6>1，所以b <a <c .2．(多选)对于给定的函数f (x )＝a x －a －x (x ∈R ，a >0，且a ≠1)，下面给出四个命题，其中真命题是( )A ．函数f (x )的图象关于原点对称B ．函数f (x )在R 上不具有单调性C ．函数f (|x |)的图象关于y 轴对称D ．当0<a <1时，函数f (|x |)的最大值是0解析：选ACD ∵f (－x )＝－f (x )，∴f (x )为奇函数，f (x )的图象关于原点对称，A 是真命题；当a >1时，f (x )在R 上为增函数，当0<a <1时，f (x )在R 上为减函数，B 是假命题；y ＝f (|x |)是偶函数，其图象关于y 轴对称，C 是真命题；当0<a <1时，y ＝f (|x |)在(－∞，0)上为增函数，在[0，＋∞)上为减函数，∴当x ＝0时，y ＝f (|x |)的最大值为0，D 是真命题．故选A 、C 、D.3．函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x －x 2的单调递增区间是( ) A.⎝⎛⎦⎤－∞，12 B ．⎣⎡⎦⎤0，12 C.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ D ．⎣⎡⎦⎤12，1解析：选D 令x －x 2≥0，得0≤x ≤1，所以函数f (x )的定义域为[0,1]，因为y ＝⎝⎛⎭⎫12t是减函数，所以函数f (x )的增区间就是函数y ＝－x 2＋x 在[0,1]上的减区间⎣⎡⎦⎤12，1，故选D. 4．若不等式1＋2x ＋4x ·a >0在x ∈(－∞，1]时恒成立，则实数a 的取值范围是________． 解析：从已知不等式中分离出实数a ，得a >－⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x .因为函数y ＝⎝⎛⎭⎫14x 和y ＝⎝⎛⎭⎫12x 在R上都是减函数，所以当x ∈(－∞，1]时，⎝⎛⎭⎫14x ≥14，⎝⎛⎭⎫12x ≥12，所以⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≥14＋12＝34，从而得－⎝⎛⎭⎫14x ＋⎝⎛⎭⎫12x ≤－34.故实数a 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－34，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－34，＋∞一、创新命题视角——学通学活巧迁移 1．(2021·昆明模拟)能说明“已知f (x )＝2|x－1|，若f (x )≥g (x )对任意的x ∈[0,2]恒成立，则在[0,2]上，f (x )min ≥g (x )max ”为假命题的一个函数g (x )＝________.(填出一个函数即可) 解析：易知函数f (x )＝2|x －1|在x ∈[0,2]上的最小值是1，取g (x )＝x －12，作出f (x )，g (x )在[0,2]上的图象如图所示，满足f (x )≥g (x )对任意的x ∈[0,2]恒成立，但g (x )＝x －12在[0,2]上的最大值是32，不满足f (x )min ≥g (x )max ，所以g (x )＝x －12能说明题中命题是假命题．答案：x －12(答案不唯一)2．已知a ，b ，c ，m 都是正数，a m ＝b m ＋c m ，当m 取何值时，长分别为a ，b ，c 的三条线段能构成三角形？解：由于a m ＝b m ＋c m ，且a ，b ，c ，m 都是正数，所以a >b >0且a >c >0.因此要使长分别为a ，b ，c 的三条线段能构成三角形，则只要b ＋c >a 即可． 注意到f (x )＝⎝⎛⎭⎫b a x ＋⎝⎛⎭⎫c a x在R 上单调递减． 若m ＝1，则b ＋c ＝a ，显然此时不能构成三角形；若m >1，则f (m )<f (1)，又f (m )＝⎝⎛⎭⎫b a m ＋⎝⎛⎭⎫c a m ＝b m ＋c m a m ＝1，f (1)＝b ＋c a ，所以b ＋c a >1，即b ＋c >a ，此时可以构成三角形； 若0<m <1，则f (m )>f (1)，即b ＋ca<1，即b ＋c <a ，显然此时不能构成三角形． 综上可知，当m >1时，长分别为a ，b ，c 的三条线段能构成三角形．二、创新考查方式——领悟高考新动向1．对于函数f (x )，若在定义域内存在实数x 0满足f (－x 0)＝－f (x 0)，则称函数f (x )为“倒戈函数”．设f (x )＝3x ＋2m －1(m ∈R ，且m ≠0)是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，则实数m 的取值范围是( )A.⎣⎡⎦⎤－13，0 B.⎣⎡⎭⎫－13，0 C.⎣⎡⎭⎫13，＋∞ D ．(－∞，0)解析：选B ∵f (x )＝3x ＋2m －1是定义在[－1,1]上的“倒戈函数”，∴∃x 0∈[－1,1]满足f (－x 0)＝－f (x 0)，∴3－x 0＋2m －1＝－3x 0－2m ＋1，∴4m ＝－3－x 0－3x 0＋2.构造函数g (x )＝－3－x －3x ＋2，x ∈[－1,1]，令t ＝3x ，则t ∈⎣⎡⎦⎤13，3，则g (x )可转化为h (t )＝－1t －t ＋2，易知h (t )＝－1t －t ＋2在⎣⎡⎦⎤13，1上单调递增，在[1,3]上单调递减，∴y ＝h (t )∈⎣⎡⎦⎤－43，0.又m ≠0，∴－43≤4m <0，∴－13≤m <0.2．已知函数y ＝f (x )和函数y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，当函数y ＝f (x )和y ＝g (x ) 在[a ，b ]上同时递增或同时递减时，[a ，b ]叫做函数y ＝f (x )的“不动区间”．若[1,2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，则实数t 的取值范围为________．解析：因为函数y ＝f (x )与y ＝g (x )的图象关于y 轴对称，所以g (x )＝f (－x )＝|2－x ＋t |.因为[1,2]为函数y ＝|2x ＋t |的“不动区间”，所以函数y ＝|2x ＋t |和函数g (x )＝|2－x ＋t |在[1,2]上的单调性相同．又因为y ＝2x ＋t 和y ＝2－x ＋t 的单调性相反，所以(2x ＋t )(2－x ＋t )≤0在[1,2]上恒成立，即2－x ≤－t ≤2x 在[1,2]上恒成立，得－2≤t ≤－12.答案：⎣⎡⎦⎤－2，－12 3．对于某种类型的口服药，口服x 小时后，由消化系统进入血液中的药物浓度y (单位)与时间t (时)的关系为y ＝k (e －at－e－bt)，其中k >0，b >a >0，k ，a ，b 为常数，对于某一种药物k＝4，a ＝1，b ＝2.(1)口服药物后________小时血液中药物浓度最高；(2)这种药物服药n (n ∈N *)小时后血液中药物浓度f (n )如下表：一个病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，第三次服药的时间是________．(时间以整点为准) 解析：(1)药物浓度y (单位)与时间t (时)的关系为y ＝k (e －at－e－bt)，对于某一种药物k ＝4，a＝1，b ＝2，代入可得y ＝4(e －t －e－2t)＝－4⎝⎛⎭⎫1e 2t －1e t＝－4⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1e t 2－1e t ＋14＋1＝－4⎝⎛⎭⎫1e t －122＋1，所以当1e t －12＝0，即t ＝ln 2时取得最大值．(2)由题可知，病人上午8：00第一次服药，要使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，则第二次服药时间在11：00.第一次服药7个小时后药物浓度为0.116 3，此时为第二次服药后4个小时，药物浓度为0.468 0，而0.116 3＋0.468 0＝0.584 3>0.5；第一次服药8个小时后的药物浓度为0.072 0，此时为第二次服药后5个小时，药物浓度为0.301 0，而0.072 0＋0.301 0＝0.373 0<0.5.综上可知，若使得病人血液中药物浓度保持在0.5个单位以上，则第三次服药时间为第一次服药后的7个小时，即为15：00. 答案：(1)ln 2 (2)15：004．已知函数f (x )＝2－x ，给出下列结论： ①若x >0，则f (x )>1；②对于任意的x 1，x 2∈R ，x 1－x 2≠0，必有(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0； ③若0<x 1<x 2，则x 2f (x 1)<x 1f (x 2)； ④对于任意的x 1，x 2∈R ，x 1－x 2≠0，必有f (x 1)＋f (x 2)2>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22.其中所有正确结论的序号是________． 解析：f (x )＝2－x ＝⎝⎛⎭⎫12x .对于①，当x >0时，⎝⎛⎭⎫12x ∈(0,1)，故①错误．对于②，f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 在R 上单调递减，所以(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0，故②正确． 对于③，f (x )x 表示f (x )图象上的点与原点连线的斜率，由f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x 的图象可知，当0<x 1<x 2时，f (x 1)x 1>f (x 2)x 2，即x 2f (x 1)>x 1f (x 2)，故③错误．对于④，由f (x )的图象可知，f (x 1)＋f (x 2)2>f ⎝⎛⎭⎫x 1＋x 22，故④正确．综上所述，所有正确结论的序号是②④. 答案：②④ [课时跟踪检测]一、基础练——练手感熟练度 1．函数y ＝ln(2x －1)的定义域是( ) A ．[0，＋∞)B ．[1，＋∞)C ．(0，＋∞)D ．(1，＋∞)解析：选C 由2x －1>0，得x >0，所以函数的定义域为(0，＋∞). 2．函数y ＝⎝⎛⎭⎫122x －x 2的值域为( ) A.⎣⎡⎭⎫12，＋∞ B ．⎝⎛⎦⎤－∞，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D ．(0,2]解析：选A 设t ＝2x －x 2，则t ≤1，所以y ＝⎝⎛⎭⎫12t ，t ≤1，所以y ∈⎣⎡⎭⎫12，＋∞，故选A. 3．化简4a 23·b -13÷⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a -13b 23的结果为( ) A ．－2a3bB ．－8ab C ．－6a bD ．－6ab解析：选C 原式＝－6a ⎛⎫-- ⎪⎝⎭2133b--1233＝－6ab －1＝－6a b .4．已知函数f (x )＝4＋2a x －1的图象恒过定点P ，则点P 的坐标是( )A ．(1,6)B ．(1,5)C ．(0,5)D ．(5,0)解析：选A 由于函数y ＝a x 的图象过定点(0,1)，当x ＝1时，f (x )＝4＋2＝6，故函数f (x )＝4＋2a x－1的图象恒过定点P (1,6)．5．已知a ＝20.2，b ＝0.40.2，c ＝0.40.6，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a ＞b ＞c B ．a ＞c ＞b C ．c ＞a ＞bD ．b ＞c ＞a解析：选A 由0.2＜0.6,0.4＜1，并结合指数函数的图象可知0.40.2＞0.40.6，即b ＞c ；因为a ＝20.2＞1，b ＝0.40.2＜1，所以a ＞b .综上，a ＞b ＞c .二、综合练——练思维敏锐度 1．(2021·衡水模拟)已知ab ＝－5，则a －ba＋b －ab的值是( ) A ．2 5 B ．0C ．－2 5D ．±2 5解析：选B 由题意知ab <0，a －ba ＋b－a b ＝a－ab a 2＋b －ab b 2＝a 5a 2＋b 5b 2＝a 5|a |＋b 5|b |＝0.故选B.2．已知0<b <a <1，则在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是( ) A ．b a B ．a a C ．a bD ．b b解析：选C ∵0<b <a <1，∴y ＝a x 和y ＝b x 均为减函数，∴a b >a a ，b a <b b ，又∵y ＝x b 在(0，＋∞)上为增函数，∴a b >b b ，∴在a b ，b a ，a a ，b b 中最大的是a b .故选C. 3．函数y ＝⎝⎛⎭⎫132+1x 的值域为( ) A ．(0,1) B ．(1，＋∞) C ．(2，＋∞)D ．(0,1)∪(1，＋∞)解析：选D 由2x ＋1≠0，得y ＝⎝⎛⎭⎫132+1x ≠1，又y >0，所以值域为(0,1)∪(1，＋∞)，故选D.4．函数y ＝a x (a >0且a ≠1)与函数y ＝(a －1)x 2－2x －1在同一个坐标系内的图象可能是( )解析：选C 两个函数分别为指数函数和二次函数，其中二次函数过点(0，－1)，故排除A 、D ；二次函数的对称轴为直线x ＝1a －1，当0<a <1时，指数函数递减，1a －1<0，C 符合题意；当a >1时，指数函数递增，1a －1>0，B 不符合题意，故选C. 5．已知定义在R 上的函数f (x )＝2|x －m |－1为偶函数，记a ＝f (log 0.53)，b ＝f (log 25)，c ＝f (2m )，则a ，b ，c 的大小关系是( ) A ．a <b <c B ．a <c <b C ．c <a <bD ．c <b <a解析：选C 函数f (x )＝2|x－m |－1为偶函数，则m ＝0，故f (x )＝2|x |－1，a ＝f (log 0.53)＝2|log 0.53|－1＝2log 23－1＝2，b ＝f (log 25)＝2 log 25－1＝4，c ＝f (0)＝20－1＝0.所以c <a <b ，故选C.6．(2021·安徽皖江名校模拟)若e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，则有( ) A ．a ＋b ≤0 B ．a －b ≥0 C ．a －b ≤0D ．a ＋b ≥0解析：选D 令f (x )＝e x －π－x ，则f (x )在R 上单调递增，因为e a ＋πb ≥e －b ＋π－a ，所以e a －π－a ≥e －b －πb ，则f (a )≥f (－b )，所以a ≥－b ，即a ＋b ≥0.故选D. 7．(多选)已知函数f (x )＝2x －12x ＋1，下面说法正确的有( )A ．f (x )的图象关于原点对称B ．f (x )的图象关于y 轴对称C ．f (x )的值域为(－1,1)D ．∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2＜0解析：选AC 对于选项A ，f (x )＝2x －12x ＋1，定义域为R ，则f (－x )＝2－x －12－x ＋1＝1－2x1＋2x ＝ －f (x )，则f (x )是奇函数，图象关于原点对称，故A 正确；对于选项B ，计算f (1)＝2－12＋1＝13，f (－1)＝12－112＋1＝－13≠f (1)，故f (x )的图象不关于y 轴对称，故B 错误；对于选项C ，f (x )＝2x －12x＋1＝1－21＋2x ，令1＋2x＝t ，t ∈(1，＋∞)，则f (x )＝g (t )＝1－2t ，易知1－2t ∈(－1,1)，故f (x )的值域为(－1,1)，故C 正确；对于选项D ，易知函数t ＝1＋2x 在R 上单调递增，且y ＝1－2t 在t ∈(1，＋∞)上单调递增，根据复合函数的单调性，可知f (x )＝1－21＋2x 在R 上单调递增，故∀x 1，x 2∈R ，且x 1≠x 2，f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2>0，故D 错误．故选A 、C.8．化简：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝_______. 解析：(23a 2·b )(－6a ·3b )÷(－36a ·6b 5)＝⎝⎛⎭⎫2a 23·b 12⎝⎛⎭⎫－6a 12·b 13÷⎝⎛⎭⎫－3a 16·b 56＝4a1621+-32·b5611+-23＝4a 1·b 0＝4a .答案：4a9．若函数f (x )＝a x －1(a >0且a ≠1)的定义域和值域都是[0,2]，则实数a 的值为________． 解析：当0<a <1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为减函数，故f (x )max ＝f (0)＝a 0－1＝0，这与已知条件函数f (x )的值域是[0,2]相矛盾．当a >1时，f (x )＝a x －1在[0,2]上为增函数，又函数f (x )的定义域和值域都是[0,2]，所以⎩⎪⎨⎪⎧f (0)＝0，f (2)＝a 2－1＝2，a >1，解得a ＝3，所以实数a 的值为 3.答案： 310．当x ∈(－∞，－1]时，不等式(m 2－m )·4x －2x <0恒成立，则实数m 的取值范围是________． 解析：∵(m 2－m )·4x －2x <0在(－∞，－1]上恒成立，∴(m 2－m )<12x 在x ∈(－∞，－1]上恒成立．∵y ＝12x 在(－∞，－1]上单调递减，∴当x ∈(－∞，－1]时，y ＝12x ≥2，∴m 2－m <2，解得－1<m <2，故m 的取值范围是(－1,2)． 答案：(－1,2)11．设a >0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值． 解：令t ＝a x (a >0，且a ≠1)，则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t >0)． ①当0<a <1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13. ②当a >1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.12．已知函数f (x )＝2a ·4x －2x －1.(1)当a ＝1时，求函数f (x )在x ∈[－3,0]上的值域； (2)若关于x 的方程f (x )＝0有解，求a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1时，f (x )＝2·4x －2x －1＝2(2x )2－2x －1， 令t ＝2x ，因为x ∈[－3,0]，所以t ∈⎣⎡⎦⎤18，1. 故y ＝2t 2－t －1＝2⎝⎛⎭⎫t －142－98，t ∈⎣⎡⎦⎤18，1， 故值域为⎣⎡⎦⎤－98，0. (2)设2x ＝m >0，关于x 的方程2a (2x )2－2x －1＝0有解， 等价于方程2am 2－m －1＝0在(0，＋∞)上有解， 记g (m )＝2am 2－m －1，当a ＝0时，解为m ＝－1<0，不成立． 当a <0时，开口向下，对称轴m ＝14a<0，过点(0，－1)，不成立．当a >0时，开口向上，对称轴m ＝14a>0，过点(0，－1)，必有一个根为正． 综上，a 的取值范围为(0，＋∞)．13．已知定义域为R 的函数f (x )＝－2x ＋b2x ＋1＋a 是奇函数．(1)求a ，b 的值；(2)若对任意的t ∈R ，不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0恒成立，求k 的取值范围． 解：(1)因为f (x )是定义在R 上的奇函数，所以f (0)＝0，即－1＋b2＋a ＝0，解得b ＝1，所以f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋a.又由f (1)＝－f (－1)知－2＋14＋a ＝－－12＋11＋a ，解得a ＝2.(2)由(1)知f (x )＝－2x ＋12x ＋1＋2＝－12＋12x ＋1，由上式易知f (x )在R 上为减函数，又因为f (x )是奇函数，从而不等式f (t 2－2t )＋f (2t 2－k )<0等价于f (t 2－2t )<－f (2t 2－k )＝f (－2t 2＋k )．因为f (x )是R 上的减函数，由上式推得t 2－2t >－2t 2＋k . 即对一切t ∈R 有3t 2－2t －k >0， 从而Δ＝4＋12k <0，解得k <－13.故k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－13. 三、自选练——练高考区分度1．已知函数f (x )＝|2x －1|，a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )，则下列结论中，一定成立的是( ) A ．a <0，b <0，c <0 B ．a <0，b ≥0，c >0 C ．2－a <2cD ．2a ＋2c <2解析：选D 作出函数f (x )＝|2x －1|的图象，如图所示． 因为a <b <c 且f (a )>f (c )>f (b )， 结合图象知，0<f (a )<1，a <0，c >0， 所以0<2a <1.所以f (a )＝|2a －1|＝1－2a <1， 所以f (c )<1，所以0<c <1.所以1<2c <2，所以f (c )＝|2c －1|＝2c －1， 又因为f (a )>f (c )，所以1－2a >2c －1， 所以2a ＋2c <2，故选D.2．(多选)若实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，则下列关系式中可能成立的是( ) A ．x ＝y B ．1<x <y C ．0<x <y <1D ．y <x <0解析：选ACD 由题意，实数x ，y 满足5x －4y ＝5y －4x ，可化为4x ＋5x ＝5y ＋4y ，设f (x )＝4x ＋5x ，g (x )＝5x ＋4x ，由基本初等函数的性质，可得f (x )，g (x )在R 上都是单调递增函数，画出函数y ＝f (x )，y＝g (x )的大致图象，如图所示．根据图象可知，当x ＝0时，f (0)＝g (0)＝1；当x ＝1时，f (1)＝g (1)＝9.故当x ＝y ＝0或1时，f (x )＝g (y )，所以5x －4y ＝5y －4x 成立，故A 正确；当1<x <y 时，f (x )<g (y )，故B 不正确；当0<x <y <1时，f (x )＝g (y )可能成立，故C 正确；当y <x <0时，f (x )＝g (y )可能成立，故D 正确．故选A 、C 、D.3．(多选)设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数，例如， [－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x 1＋e x －12，则关于函数g (x )＝[f (x )]和f (x )的叙述中正确的是( ) A ．g (x )是偶函数 B ．f (x )是奇函数 C ．f (x )在R 上是增函数 D ．g (x )的值域是{}－1，0，1解析：选BC 根据题意知f (x )＝e x 1＋e x －12＝12－11＋e x ，定义域为R.∵g (1)＝[f (1)]＝⎣⎡⎦⎤e 1＋e －12＝0，g (－1)＝[f (－1)]＝⎣⎡⎦⎤1e ＋1－12＝－1，∴g (1)≠g (－1)，g (1)≠－g (－1)，∴函数g (x )既不是奇函数也不是偶函数，A 错误；∵f (－x )＝e －x 1＋e －x －12＝11＋e x －12＝－f (x )，∴f (x )是奇函数，B 正确；由复合函数的单调性知f (x )＝12－11＋e x 在R 上是增函数，C 正确；∵e x >0，∴1＋e x >1，∴－12<f (x )<12，∴g (x )＝[f (x )]的值域是{}－1，0，D 错误．故选B 、C.。
教学设计8：指数与指数函数
2.5 指数与指数函数1．指数幂的概念与性质(1)根式的定义：若x n＝a，则x叫做a的n次方根，其中n＞1且n∈N*.式子na叫做根式．(2)根式的性质：①(na)n＝_a_；②na n＝⎩⎪⎨⎪⎧a n为奇数，|a|＝⎩⎪⎨⎪⎧a（a≥0）－a（a＜0）n为偶数；(3)有理数指数幂的运算性质：①a r·a s＝a r＋s(a＞0，r、s∈Q)；②(a r)s＝a rs(a＞0，r、s∈Q)；③(ab)r＝a r b r(a＞0，b＞0，r∈Q)．2．指数函数的图象与性质1．(人教A 版教材习题改编)化简[(－2)6]12－(－1)0的结果为( ) A ．－9 B ．7 C ．－10 D ．9 【解析】 [(－2)6]12－(－1)0＝(26)12－1＝8－1＝7.【答案】 B2．化简416x 8y 4(x ＜0，y ＜0)得( ) A ．2x 2y B ．2xy C ．4x 2y D ．－2x 2y 【解析】416x 8y 4＝424（x 2）4y 4＝2x 2|y |＝－2x 2y .【答案】 D3．(2013·烟台模拟)函数y ＝16－4x 的值域是( ) A ．[0，＋∞) B ．[0，4] C ．[0，4) D ．(0，4)【解析】 由题意得0≤16－4x ＜16， ∴函数的值域是[0，4)． 【答案】 C4．(2013·三明模拟)当a ＞0，且a ≠1时，函数f (x )＝a x －2－3的图象必过定点________． 【解析】 ∵a 0＝1，∴x －2＝0，即x ＝2，此时，f (2)＝－2，因此必过定点(2，－2)．【答案】 (2，－2)5．(2013·安庆模拟)指数函数y ＝(a 2－1)x 在定义域内是减函数，则a 的取值范围是________．【解析】 由题意知0＜a 2－1＜1，∴1＜a 2＜2，即1＜a ＜2或－2＜a ＜－1. 【答案】 (－2，－1)∪(1，2)化简：(1)a 3b 23ab 2（a 14b 12）4a －13b 13(a ＞0，b ＞0)；(2)(－278)－23＋(0.002)－12－10(5－2)－1＋(2－3)0. 【思路点拨】 将根式化为分数指数幂，负分数指数化为正分数指数，底数为小数的化成分数，然后运用幂的运算性质进行运算．【尝试解答】 (1)原式＝（a 3b 2a 13b 23）12ab 2a －13b 13＝a 32＋16－1＋13b 1＋13－2－13＝ab －1. (2)原式＝(－278)－23＋(1500)－12－105－2＋1＝(－827)23＋50012－10(5＋2)＋1＝49＋105－105－20＋1＝－1679.,1．这类问题的求解，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺序． 2．当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数．3．运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．计算：(1)3a 92a －3÷3a－73a 13；(2)(0.027)－13－(17)－2＋(279)12－(2－1)0；(3)已知m 12＋m －12＝4，求m 32－m －32m 12－m －12.【解析】 (1)原式＝(a 92a －32)13÷(a －73a 133)12＝(a 3)13÷(a 2)12＝a ÷a ＝1.(2)原式＝(271000)－13－(7)2＋(259)12－1＝103－49＋53－1＝－45. (3)∵m 12＋m －12＝4，∴m ＋m －1＋2＝16，∴m ＋m －1＝14，∴m 32－m －32m 12－m －12＝（m 12－m －12）（m ＋m －1＋1）m 12－m －12＝m ＋m －1＋1＝14＋1＝15.已知f (x )＝|2x －1|， (1)求f (x )的单调区间； (2)比较f (x ＋1)与f (x )的大小；(3)试确定函数g (x )＝f (x )－x 2零点的个数．【思路点拨】 (1)作出f (x )的图象，数形结合求解．(2)在同一坐标系中分别作出f (x )、f (x ＋1)图象，数形结合求解． (3)在同一坐标系中分别作出函数f (x )与y ＝x 2的图象，数形结合求解．【尝试解答】 (1)由f (x )＝|2x －1|＝⎩⎪⎨⎪⎧2x －1，x ≥0，1－2x，x ＜0.可作出函数的图象如图．因此函数f (x )在(－∞，0)上递减；函数f (x )在(0，＋∞)上递增．(2)在同一坐标系中分别作出函数f (x )、f (x ＋1)的图象，如图所示．由图象知，当|2x 0＋1－1|＝|2x 0－1|时，解得x 0＝log 223，两图象相交，从图象可见，当x＜log 223时，f (x )＞f (x ＋1)；当x ＝log 223时，f (x )＝f (x ＋1)；当x ＞log 223时，f (x )＜f (x ＋1)．(3)将g (x )＝f (x )－x 2的零点转化为函数f (x )与y ＝x 2图象的交点问题，在同一坐标系中分别作出函数f (x )＝|2x －1|和y ＝x 2的图象如图所示，有四个交点，故g (x )有四个零点．,1．指数型函数的图象与性质(单调性、最值、大小比较、零点等)的求解往往利用相应指数函数的图象，通过平移、对称变换得到其图象，然后数形结合使问题得解． 2．一些指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应指数型函数图象数形结合求解．若直线y ＝2a 与函数y ＝|a x －1|(a ＞0，a ≠1)的图象有两个公共点，求实数a 的取值范围．【解析】 分底数0＜a ＜1与a ＞1两种情况，分别在同一直角坐标系中作出两函数的图象，如图：从图中可以看出，只有当0＜a ＜1，且0＜2a ＜1， 即0＜a ＜12时，两函数才有两个交点．所以实数a 的取值范围为{a |0＜a ＜12}.(1)函数f (x )＝(13)－x 2－4x ＋3的单调递减区间为________，值域为________．(2)(2013·黄冈模拟)已知f (x )＝(1a x －1＋12)x 3(a ＞0且a ≠1)．①讨论f (x )的奇偶性；②求a 的取值范围，使f (x )＞0在定义域上恒成立．【思路点拨】 (1)根据复合函数的单调性求解．(2)先求函数的定义域，再判断奇偶性；对于恒成立问题，可借助函数的奇偶性，只讨论x ＞0的情况．【尝试解答】 (1)令g (x )＝－x 2－4x ＋3＝－(x ＋2)2＋7，由于g (x )在(－∞，－2)上单调递增，在(－2，＋∞)上单调递减，而y ＝(13)t 在R 上为单调递减，所以f (x )在(－∞，－2)上单调递减．又g (x )＝－(x ＋2)2＋7≤7，∴f (x )≥(13)7＝3－7.【答案】 (－∞，－2) [3－7，＋∞) (2)①由于a x －1≠0，则a x ≠1，得x ≠0， 所以函数f (x )的定义域为{x |x ≠0，x ∈R }． 对于定义域内任意x ，有f (－x )＝(1a －x －1＋12)(－x )3＝(a x 1－a x＋12)(－x )3 ＝(－1－1a x －1＋12)(－x )3＝(1a x －1＋12)x 3＝f (x )．∴f (x )是偶函数． ②由①知f (x )为偶函数， ∴只需讨论x ＞0时的情况．当x ＞0时，要使f (x )＞0，即(1a x －1＋12)x 3＞0，即1a x －1＋12＞0，即a x ＋12（a x －1）＞0， 即a x －1＞0，a x ＞1，a x ＞a 0.又∵x ＞0，∴a ＞1.因此a ＞1时，f (x )＞0.1．求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断．2．与奇、偶函数有关的问题，根据对称性可只讨论x ＞0时的情况．(2013·金华模拟)已知函数f (x )＝a x －1a x ＋1(a ＞0且a ≠1)．(1)求f (x )的定义域和值域；(2)讨论f (x )的奇偶性； (3)讨论f (x )的单调性．【解析】(1)f (x )的定义域是R ，令y ＝a x －1a x ＋1，得a x ＝－y ＋1y －1.∵a x ＞0，∴－y ＋1y －1＞0，解得－1＜y ＜1，∴f (x )的值域为{y |－1＜y ＜1}． (2)∵f (－x )＝a －x －1a －x ＋1＝1－a x1＋a x ＝－f (x )，∴f (x )是奇函数．(3)f (x )＝（a x ＋1）－2a x ＋1＝1－2a x ＋1.设x 1，x 2是R 上任意两个实数，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝2ax 2＋1－2ax 1＋1＝2（ax 1－ax 2）（ax 1＋1）（ax 2＋1）. ∵x 1＜x 2，∴当a ＞1时，ax 2＞ax 1＞0， 从而ax 1＋1＞0，ax 2＋1＞0，ax 1－ax 2＜0，∴f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)，f (x )为R 上的增函数，当0＜a ＜1时，ax 1＞ax 2＞0， 从而ax 1＋1＞0，ax 2＋1＞0，ax 1－ax 2＞0，∴f (x 1)－f (x 2)＞0，即f (x 1)＞f (x 2)，f (x )为R 上的减函数．一种关系分数指数幂与根式的关系根式与分数指数幂的实质是相同的，分数指数幂与根式可以相互转化，通常利用分数指数幂进行根式的化简运算．两点注意1.指数函数的单调性取决于底数a 的大小，因此解题时通常对底数a 按：0＜a ＜1和a ＞1进行分类讨论．2．换元时注意换元后“新元”的范围．三个关键点画指数函数y ＝a x (a ＞0且a ≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a )，(0，1)，(－1，1a)．从近两年高考看，本节多以指数函数为载体，考查指数运算和指数函数的图象与性质的应用；题型以选择题、填空题为主，中低档难度，预计2014年仍延续这一特点，对指数函数与二次函数结合的题目，重点注意参数的计算与比较大小．思想方法之三 构造法在指数幂大小比较中的应用(2012·天津高考)已知a ＝21.2，b ＝(12)－0.8，c ＝2log 52，则a ，b ，c 的大小关系为( )A ．c <b <aB ．c <a <bC ．b <a <cD ．b <c <a【解析】 b ＝(12)－0.8＝20.8<21.2＝a ，c ＝2log 52＝log 522<log 55＝1<20.8＝b ，故c <b <a .【答案】 A易错提示：(1)对a 和b 没有化为同底的意识，造成思维受阻． (2)不能合理的构造函数或找不到恰当的中间量而盲目作答，造成误解． 防范措施：(1)比较幂的大小时，若底数不同，首先看能否化为同底； (2)不能用函数的单调性比较大小的，一般要找中间量比较．1．(2012·山东高考)若函数f (x )＝a x (a >0，a ≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m ，且函数g (x )＝(1－4m )x 在[0，＋∞)上是增函数，则a ＝________．【解析】 若a >1，有a 2＝4，a －1＝m ，此时a ＝2，m ＝12，此时g (x )＝－x 为减函数，不合题意．若0<a <1，有a －1＝4，a 2＝m ，故a ＝14，m ＝116，检验知符合题意．【答案】 142．(2012·上海高考)方程4x －2x ＋1－3＝0的解是________．【解析】 法一 原方程4x －2x ＋1－3＝0可化为(2x )2－2·2x －3＝0，即(2x －3)(2x ＋1)＝0，由于2x ＞0，x ∈R ，∴2x －3＝0，即x ＝log 23.法二 令t ＝2x ，则t ＞0，原方程可化为t 2－2t －3＝0， 解得t ＝3或t ＝－1(舍去)，即2x ＝3，∴x ＝log 23. 【答案】 log 23。
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指数与指数函数教学设计
教学目标：
1、知识目标：使学生理解指数函数的定义，初步掌握指数函数的图像和性质。
2、能力目标：通过定义的引入，图像特征的观察、发现过程使学生懂得理论与实践 的辩证关系，适时渗透分类讨论的数学思想，培养学生的探索发现能力和分析问题、解决问题的能力。
3、情感目标：通过学生的参与过程，培养他们手脑并用、多思勤练的良好学习习惯和勇于探索、锲而不舍的治学精神。
教学重点、难点：
1、 重点：指数函数的图像和性质
2、 难点：底数 a 的变化对函数性质的影响，突破难点的关键是利用多媒体， 动感显示，通过颜色的区别，加深其感性认识。
教学方法：引导——发现教学法、比较法、讨论法
教学过程：
一、事例引入
上节课我们学习了指数的运算性质，今天我们来学习与指数有关的函数。
主要是体现两个变量的关系。
我们来考虑一个与医学有关的例子：我们来看一种球菌的分裂过程：
动画演示（某种球菌分裂时，由1分裂成2个，2个分裂成4个，------。
一个这样的球菌分裂x 次后,得到的球菌的个数y 与x 的函数关系式是： y = 2 x ）
（讨论） 这是球菌个数 y 关于分裂次数 x 的函数，该函数是什么样的形式（指数形式）， 从 函数特征分析：底数 2 是一个不等于 1 的正数，是常量，而指数 x 却是变量，
我们称这种函数为指数函数——点题。
二、指数函数的定义
定义： 函数 y = a x （a ＞0且a ≠1）叫做指数函数， x ∈R.。
问题 1：为何要规定 a > 0 且 a ≠1？
（讨论）
回答 ：(1)当 a ＜0 时，a x 有时会没有意义，如 a=﹣3 时，当x=
2
1就没有意义； （2）当 a=0时，a x 有时会没有意义，如x= - 2时，
(3)当 a = 1 时， 函数值 y 恒等于1，没有研究的必要。
练习：下列那些函数是指数函数（ ）
(1)2x y =,(2)x y 2-=,(3)x y -=2,(4)x y 32•=,(5)x y 32=,(6)13+=x y
三、函数图像的画法： 根据底数a 的规定，考虑两个特定底的指数函数 y = 2x ， y = 的图像。
学生作图，再投影；后演示动画比较
四、指数函数的图像和性质
（演示画图过程）（列表、描点、连线）
观察思考：（讨论）
问题 1：两个函数图像有什么共同点 ？又有何不同特征？
（1）两个图像有何共同特点？
它们的图像都在x 轴的上方，且都过同一个点（0，1）。
图像在x 轴上方说明y ＞0，向下与x 轴无限接近；过点（0，1）说明x=0时，y=1。
（2）再看看它们有何不同之处？
当底数为2时图像上升，当底数为 时，函数图像下降。
补充说明：当a=2即大于a ＞1时函数在R 上为增函数，当a= 即大于0小于1时函数在R 上为减函数
问题2：除此之外，还有什么特征？（S ：------------）若在坐标系上画一条直线y=1？ 当底数是2时，落在第一象限的图像都在直线y=1的上边，落在第二象限的图像都在直线y=1的下边，当底数是 时恰好相反。
图像与性质：
a>1 0<a<1
图
象
性
质 (1)定义域：R （2）值域：（0，+∞） （3）过定点（0，1），即x=0时，y=1 (4)x>0时，y>1;x<0时，0<y<1 (4)x>0时，0<y<1;x<0时，y>1.
（5）在 R 上是增函数 （5）在R 上是减函数
问题 3：影响函数图像特征的主要因素是什么？
五、例题示范
练习1、比较大小：
（1）5.27
.1，37.1 （2） 3.08.0-，1.08.0- （3）3.07.1，1.38.0
练习2、
(1) 已知73.03.0≥x ，求实数x 的取值范围
(2) 已知 16
14<x , 求实数x 的取值范围.
六、归纳小结
1、本节课的主要内容是：指数函数的定义、图像和性质
2、本节学习的重点是：掌握指数函数的图像和性质
3、学习的关键是：弄清楚底数 a 的变化对于函数值变化的影响。
只有彻底弄清并掌握了指数函数的图像和性质，才能灵活运用性质解决实际问题。
七、布置作业。