6-5 两个正态总体均值及方差比的置信区间

推导过程如下:
由于
( n1 1 ) S 1
2
1
2
~ ( n 1 1 ),
2
( n2 1) S 2
2
2
2
~ ( n 2 1 ),
2
且由假设知
( n1 1 ) S 1
2
1
2
与
S1 S2
2 2
( n2 1) S 2
2
2
1 2
2 2
2
相互独立 ,
根据F分布的定义, 知
和 N (
2
,
2
2
)，两总体方差相同，两
值差
样本相互独立，
1 ， 2，
均未知。求两总体均
1 2
的置信水平为0.95的置信区间。
连续训练
样本容量 样本均值 样本标准差
间断训练
n1 9
n2 7
x 43 . 71
s 1 5 . 88
y 39 . 63
s 2 7 . 68
.
1 2
1 n1 n2 1
16 / 63 ) ,
即
（4.08±7.25）＝（－3.17，11.33）.
例2 测得两个民族中各5位成年人的身高 （以cm计）如下
A民族 B民族 162.6 175.3 170.2 177.8
，
172.7 167.6
165.1 180.3
解
现在
1 0 . 95 , / 2 0 . 025 ,
t 0 .025 ( n 1 n 2 2 ) t 0 .025 (14 ) 2 . 1448 .
sw
2
( n1 1 ) s1 ( n 2 1 ) s 2
2
2
n1 n 2 2 8 5 . 88 6 7 . 68
157.5 182.9
设样本分别来自总体
2 2 N ( 1 , ) , N ( 2 , ) , 1 ,
2 ,
2
未知，两样本独立，求
1 2 的置信水
，
平为0.90的置信区间。
解
现在
n1 n 2 5 ,
1 0 . 90 ,
/ 2 0 . 05 ,
2 1 , X ~ N 1, n1
2 2 , Y ~ N 2, n2
可知
2 2 1 2 , X Y ~ N 1 2, n1 n2
或
X
Y 1 2
1
2
即所求置信区间为 ( 3 . 07 , 4 . 93 ).
2. 两个总体方差比
仅讨论总体均值
1 2
2 2
的置信区间
.
1 , 2 为未知的情况
1 的置信区间
1 2
2 2
的一个置信度为
2 S12 1 S1 1 2 . , 2 S F ( n 1, n 1 ) S F ( n1 1 , n 2 1 ) /2 1 2 1 / 2 2 2
3 . 单个正态总体均值
的置信区间 2 z / 2 . ( 1 ) 为已知 , X n ( 2 ) 2为未知 , X S t ( n 1 ) . /2 n
4 . 单个正态总体方差
的置信区间
2
2 ( n 1) S 2 ( n 1) S 2 . , 2 ( n 1 ) 1 / 2 ( n 1 ) /2

2
2
~ N 0 , 1 ,
n1
n2
1 的置信区间
于是得 1 2 的一个置信度为
2 2 1 2 X Y z /2 n1 n2
wk.baidu.com
( 2 ) 1 和 2 均为未知 , 只要 n 1 和 n 2 都很大 ( 50 即可 ), 则有
2
1 / 2 的置信水平为0.90的置信区间为
2
2 s 12 s1 1 1 s 2 F ( 6 , 7 ) , s 2 F ( 6 , 7 ) ( 2 . 87 , 46 . 81 ). 0 . 95 2 2 0 .05
这个区间的下限大于1，在实际中，我们就认为
经计算
t 0 .05 ( 5 5 2 ) 1 . 8595 .
x 165 . 62 ,
s 1 6 . 05 ,
y 176 . 78 ,
4( s1 s 2 )
2 2
s 2 5 . 86 ,
2 x y 11.16 , s w
( 5 . 96 )
2
8
得 1 2 的一个置信水平为0.90的置信区间为
11 . 16 1 . 8595 5 . 96
1
1 ( 11 . 16 7 . 01 ) 5 5
即 （－18.17，－4.15）. 这个区间的上限小于零，在实际中我们就认为 比 小。
1
2
例3
为比较І, ІІ两种型号步枪子弹的枪口速度,
n2 8 ,
1 0 .9 ,
/ 2 0 . 05 ,
1 4 . 12 ,
F 0 .05 ( 6 , 7 ) 3 . 87 , F 1 0 .05 ( 6 , 7 )
经计算得 所求的
2
1 F 0 .05 ( 7 , 6 )
s 1 0 . 00189 ,
2
s 2 0 . 00017 ,
: t 0 . 025 ( 28 ) 2 . 0484 ,
2
sw
2
9 1 . 10 19 1 . 20 28
, sw
S w 1 . 1688 ,
2
于是得 1 2的一个置信度为
0 .95 的置信区间
1 1 x 1 x 2 S w t 0 .025 ( 28 ) ( 4 0 . 93 ), 10 20
6.5 两个正态总体均值差及 方差比的置信区间
1.
两正态总体均值差
1 2的置信区间
2.
两个总体方差比
1 2
2 2
的置信区间
3. 小结
设给定置信度为 第一个总体
1 , 并设 X 1 , X 2 , , X n 为
2
N ( 1 , 1 )的样本 , Y 1 , Y 2 , , Y n 为第二
要点回顾
1. 估计量的评选的三个标准
2 . 置信区间是一个随机区 数具有预先给定的概率
无偏性 有效性 相合性 间 ( , ), 它覆盖未知参
( 置信水平 ) , 即对于任
意的 , 有 P { } 1 .
求置信区间的一般步骤(分三步).
~ F ( n 1 1 , n 2 1 ),
( n1 1 ) S 1
即 S1 S2
2 2
2
1 2
2 2

1 2
2 2
( n1 1 )
( n2 1) S 2
2
~ F ( n1 1 , n 2 1 ),
( n2 1)
2 2 S1 1 P F1 / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) 2 2 S2 2
2 2

6 . 71 .
2
14
1 1 由 X Y t / 2 ( n 1 n 2 2 ) S w 得所求 n1 n 2 的一个置信水 平为0.95的置信区间为
x y t 0 .025 ( n 1 n 2 2 ) s w
(43.71 - 39.63 2.1448 6.71
2 S12 1 S1 1 2 . , S F ( n 1, n 1 ) S 2 F ( n1 1 , n 2 1 ) 2 1 / 2 2 /2 1 2
例4 分别由工人和机器人操作钻孔机在纲部件 上钻孔，今测得所钻的孔的深度（以cm计）如下
工人 操作 机器人操 作 4.02 3.64 4.03 4.02 3.95 4.06 4.00
2
个总体 N ( 2 , 2 )的样本 , X , Y 分别是第一、二个 总体的样本均值 的样本方差 .
讨论两个正态总体均值差和方差比的估计问题.
, S 1 , S 2 分别是第一、二个总体
2
2
1. 两个总体均值差
2 2
1 2 的置信区间
( 1 ) 1 和 2 均为已知
地服从正态分布,且由生产过程可认为它们的方差 相等, 求两总体均值差 信区间. 解 由题意, 两总体样本独立且方差相等(但未知),
1 2的置信度为
0 .95 的置

0.025,
2 查 t ( n 1 ) 分布表可知
2
n1 10 ,
n 2 20 ,
n1 n 2 2 28 ,
4.01
4.03
4.02
4.01
4.00
3.99
4.02
4.00
涉及的两总体分别为
N ( 1 , ) 和 N ( 2 , ), 1 , 2 , 1 , 2
2 2 2
2
均未知，两样本相互独立， 0.90的置信区间。
2 求 12 / 2 的置信水平为
解
现在
n1 7 ,
从正态分布
N ( 1 , ), N ( 2 , ), i , i ( i 1 , 2 )
2 1 2 2
2
均未知, 求方差比 区间. 解 n 1 18 ,
2
1
2
2 的置信度为
2
0 .90 的置 信
n 2 13 ,
2
0 . 10 ,
s 2 0 . 29 ( mm ),
2 2
s 1 0 . 34 ( mm ),
F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) F 0 . 05 ( 17 , 12 ) 2 . 59 , F1 / 2 ( 17 , 12 ) F 0 . 95 ( 17 , 12 )
1 2的一个置信度为
1 的置信区间
2 2 1 2 X Y z /2 n1 n2
.
推导过程如下:
因为 X , Y 分别是 1 , 2 的无偏估计 所以 X Y 是 1 2 的无偏估计 ,
,
由 X , Y 的独立性及
1,
2 2 S12 1 1 S1 1 P 2 2 2 S 2 F1 / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) S 2 F / 2 ( n 1 1 , n 2 1 ) 2
1,
于是得
1 2
2 2
的一个置信度为
1 的置信区间
1 比
2
2 2
大。
例5
研究由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径, 随
机抽取机器 A 生产的管子 18 只, 测得样本方差为
2 s 1 0 . 34 ( mm ); 抽取机器B生产的管子 13 只, 测 2
得样本方差为
s 2 0 . 29 ( mm ). 设两样本相互独
2 2
立,且设由机器 A 和机器 B 生产的钢管内径分别服
2
X Y t / 2 ( n1 n 2 2 ) S w
2
其中 S w
2
( n1 1 ) S 1 ( n 2 1 ) S 2 n1 n 2 2
,
Sw
Sw .
2
例1. 耗氧率是跑步运动员生理活力的一个重要测度。 文献中报导了大学生男运动员的两种不同的训练方法， 一种是在一定时段内每日连续训练；另一种是间断训练（两种训练方法 总训时间相同）。下面给出了两种不同训练方法下的实测数据。单位为 毫升（氧）/千克 （体重）· 分钟。设数据分别来自正态总体 2 N ( 1 , )
随机地取І型子弹10发, 得到枪口速度的平均值为
x 1 500 ( m / s ),标准差 s 1 1 . 10 ( m / s ), 随机地取ІІ
型子弹20发, 得枪口速度平均值为
x 2 496 ( m / s ),
标准差 s 2 1 . 20 ( m / s ), 假设两总体都可认为近似
2 2
1 2的一个置信度为
1 的近似置信区间
(3) 1
2
2 2 S1 S2 X Y z /2 n1 n2 2 2 2 2 , 但 为未知 ,
.
1 2的一个置信度为
1 的置信区间
1 . n1 n 2 1