最新常用的经济函数介绍
简单的经济函数
解 由供需均衡条件 Qd = Qs ，有
14 1.5 p = 5 + 4 p ,
由此得均衡价格为
p0
=
19 3.45 . 5.5
9
例 5 （1）已知鸡蛋的收购价为5元/千克时，每月能 收购5000千克，若收购价每千克提高0.1元，则每 月收购量可能增加500千克.求鸡蛋的线性供给函数.
（2）已知鸡蛋的销售价为8元/千克时，每月能销售 5000千克.若销售价每千克降低0.5元，则每月销售 量可增加500千克，求鸡蛋的线性需求函数.
平均成本函数：C ( x) = C( x) .
x
1
例1 某工厂生产某产品，每日最多生产100单位. 它的 日固定成本为130元，生产一个单位产品的可变成本为6 元.求该厂日总成本函数及平均单位成本函数. 解 设日总成本为C，平均单位成本为`C，日产量为x.
由于日总成本为固定成本与可变成本之和，根据题 意，日总成本函数为
L(30)=10.
4
例3 某工厂生产某产品,年产量为台,单位成本为500 元,每台售价为600元,当年产量超出800台时,超出部分 按9折出售,这样可以多售出200台,如果再多生产,本年 就销售不出去了.试写出本年的收益函数和利润函数.
解 因为产量超出800台时产品按9折出售,而最多只 能销售1000台,多生产则无收益.所以,收益按产量的 三种情况考虑.
（2）设鸡蛋的线性需求函数为 Qd = a bp ，其中
Qd 需求量（即销售量），p 为销售价格.由题意则有
5000 = a 8b 5000+ 500 = a (8 0.5)b
解得
a = 13000 ,
b = 1000
于是，所求鸡蛋的线性需求函数为 Qd = 13000 1000 P
常见的经济函数
Q 14 1.5P, Q 5 4 P
求该商品均衡价格。 解：由供需均衡条件，有
14 1.5P 5 4P
由此，得均衡价格 P 19 3.45 0
5.5
二、成本、收益、利润 1. 成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生产要素 投入的价格或费用总额, 常用C(x)或C(Q)表示。 成本由固定成本和可变成本组成。固定成本是指 支付固定生产要素的费用, 包括厂房、设备折旧以 及管理人员工资等, 常用C(0)表示；可变成本是指 支付可变生产要素的费用，包括原材料、燃料的
饱和期
k
y ka
bt
初始期 发展期
饱和期
由图可见戈珀兹曲线当 t > 0 且无限增大时，其无限 与直线 y = k 接近，且始终位于该直线下方。在产品 销售预测中，当预测销售量充分接近到 k 的值时，
表示该产品在商业流通中将达到市场饱和。
即可变成本函数 C 2Q 2
2. 收益函数
总收益是生产者出售一定数量产品所得到的全部 收入，用 Q 表示出售的产品数量，R 表示总收益，
R 表示平均收益，则
R Q R R Q , R Q 如果产品的价格 P 保持不变，则
R PQ , R P
例4
解
设某商店以每件a元的价格出售商品，若顾客 一次购买50件以上，则超出部分每件优惠 10%，试将一次成交的销售收入R表示为销售量 x的函数。 由题意，一次售出50件以内的收入为 R=ax元，而售出50件以上时，收入为
a
a, b 0
Q kP ，其中 k 0, a 0
指数函数： aebP ，其中 Q
a 0, b 0
例 1 设某商品需求函数为
经济数学微积分经济学中的常用函数
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E C1Tq C 2 2 q
1 Q 其中 ， C1Tq 为贮存费，C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线
戈珀兹 曲线是指数函数
y ka
bt
在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
当 lg a 0 ， 0 b 1 时，图形如上页所示.
由图可见，曲线当t 0 且无限增大时，
其无限与直线 y k 接近 ， 且始终位于该直
线 下方. 在产品销售预测中，当预测销售量充
分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中将
达到市场饱和 .
练习题
1.设需求函数由 P+Q=1 给出，（1）求总收益 函数 P;(2)若售出 1/3 单位，求其总收益。
该点的横坐标称为供需平衡价格 .
供需平衡点 供需平 衡价格
Q0
E
P0
三、生产函数 生产函数刻画了一定时期内各生产
要素的投入量与产品的最大可能产量之
间的关系.一般说来，生产要素包括资金
和劳动力等多种要素 .为方便起见，我
们暂时先考虑只有一个投入变量，而其
他投入皆为常量的情况 .
例 2 设投入 x 与产出 g ( x ) 间的函数关系为
成本是生产一定数量产品所需要的
各种生产要素投入的价格或费用总额，
它由固定成本与可变成本两部分组成.
C总 C固 C可变
支付固定生产 要素的费用 支付可变生产 要素的费用
总 成 本 固 定 成 本 可 变 成 本 平 均 成 本 产量 产量
C ( Q ) C 1 C 2 (Q ) 即C AC Q Q Q
优选常用的经济函数介绍
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD (P)
4
所以总收益为TR(Q) P Q 100Q 3Q2 , 4
平均收益为 AR(Q) P(Q) 100 3Q . 4
2、利润函数
利润是生产中获得的总收益与投入的总成
本之差。即 (Q) TR(Q) TC(Q)
利润函数的三种情况：
Q TRQ TC Q 0 盈余状态 Q TRQ TC Q 0 亏损状态 Q TRQ TC Q 0 保本状态
所以 (Q) TR(Q) TC(Q)
20 18Q 0.5Q2
(20) 20 18 20 0.5 202
140(万元)
20
(20)
7
令20 18Q 0.5Q2 0
20
解得： Q1 1.15,Q2 34.85
例6 某厂生产一种产品，据调查其需求函数为 Q=-900P+45000，生产该产品的固定成本是 270000元，而单位产品的变动成本为10元，为 获得最大利润，出厂价格应为多少？
(舍去)，
P2 15 Q2 6
三、成本函数与平均成本函数
1、成本函数
成本是生产一定数量产品所需要的各种生
产要素投入的价格或费用总额，它由固定成本 与可变成本两部分组成.
TC(Q) FC VC (Q)
2、平均成本函数
平均成本
总成本 产量
固定成本 可变成本 产量
03第三节常用经济函数
03 第三节常用经济函数常用经济函数是经济学中用来描述经济变量之间关系的数学模型。
这些函数可以用来分析经济发展、预测经济趋势、制定经济政策等。
下面介绍几种常用的经济函数及其含义。
一、消费函数消费函数是指消费者在某一时期内消费的商品或服务的数量与收入之间的函数关系。
通常表示为C=f(Y)，其中C表示消费，Y表示收入。
消费函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着收入的增加，消费也会增加。
但在达到一定收入后，消费增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
二、投资函数投资函数是指企业在某一时期内进行的投资数量与资本存量之间的函数关系。
通常表示为I=f(K)，其中I表示投资，K表示资本存量。
投资函数曲线是一条向右上方倾斜的曲线，表示随着资本存量的增加，投资也会增加。
但在达到一定资本存量后，投资增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
三、总供给函数总供给函数是指某一时期内，企业愿意且有能力提供的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总供给，P表示价格水平。
总供给函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总供给会减少。
但在达到一定价格水平后，总供给增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
四、总需求函数总需求函数是指某一时期内，消费者愿意且有能力购买的商品和服务的总量与价格水平之间的函数关系。
通常表示为Y=f(P)，其中Y表示总需求，P表示价格水平。
总需求函数曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着价格水平的提高，总需求会减少。
但在达到一定价格水平后，总需求增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
五、菲利普斯曲线菲利普斯曲线是指通货膨胀率与失业率之间的函数关系。
通常表示为π=f(u)，其中π表示通货膨胀率，u表示失业率。
菲利普斯曲线是一条向右下方倾斜的曲线，表示随着失业率的降低，通货膨胀率会上升。
但在达到一定失业率后，通货膨胀率增长速度会逐渐减缓，甚至出现零增长或负增长。
经济学中的常用函数
b b Q = 0 时 P = , 它表示价格为 时 , a a
无人愿意购买此商品.
二、供给函数
供给的含义： 供给的含义：在某一时间内， 在某一时间内，在一定的价格条件 下，生产者愿意并且能够售出的商品． 生产者愿意并且能够售出的商品．
如果价格是决定供给量的最主要因素， 如果价格是决定供给量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
第五节 经济学中的常用函数
一、需求函数
需求的含义： 需求的含义： 消费者在某一特定的时期内， 消费者在某一特定的时期内， 在一 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要． 定的价格条件下对某种商品具有购买力的需要．
如果价格是决定需求量的最主要因素， 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 Q 是 P 的函数。 的函数。记作
幂函数： 幂函数：Q = kP − A , 其中 A > 0 , k > 0
例 1 设某商品的需求函数为
Q = −aP + b (a , b > 0)
讨论 P = 0 时的需求量和 Q = 0 时的价格 .
解 P = 0 时 Q = b , 它表示价格为零时的
需求量为 b ，称为饱和需求量 称为饱和需求量； 饱和需求量；
2
六、库存函数
设某企业在计划期 T 内，对某种物品总需求 量为 Q ，由于库存费用及资金占用等因素， 由于库存费用及资金占用等因素，显然 一次进货是不划算的， 一次进货是不划算的，考虑均匀的分 n 次进货， 次进货，
Q T 每次进货批量为 q = ，进货周期为 t = . 假定 n n 每件物品的贮存单位时间费用为 C 1 ，每次进货费 用为C 2 ，每次进货量相同， 每次进货量相同，进货间隔时间不变， 进货间隔时间不变， q 以匀速消耗贮存物品， 以匀速消耗贮存物品，则平均库存为 ， 2
1.3 常用的经济函数介绍
4、收益函数与利润函数 TR(Q) PQ , AR P , (Q) TR(Q) TC (Q)
QS QS ( P )
称为供给函数.
常见的供给函数： 线性函数： QS aP b , a , b 0 幂函数：
QS kP a , a 0 , k 0
bP Q ae , a0,b0 指数函数： S
在同一个坐标系中作出需求曲线 D和供
给曲线 S ，两条曲线的交点称为供需均衡点， 该点的横坐标称为供需均衡价格 .
将本利和A1再存入, 第2期末的本利和为:
A2 A1 A1r A0 (1 r )2
再把本利和存入银行, 如此反复, 第t期末的本利和为:
At A0 (1 r )t
若按年为期, 年利率为R, 则第n年末的本利和为:
An A0 (1 R)n
二、需求函数与供给函数
1、需求函数
需求的含义：消费者在某一特定的时期内， 在一定的价格条件下对某种商品具有购买力 的需要． 如果价格是决定需求量的最主要因素， 可以认为 需求量QD 是 价格P的函数。记作
QD QD ( P )
称为需求函数.
常见的需求函数：
线性函数： QD aP b 幂函数： QD kP a 指数函数： QD ae bp ( 其中 a,b,k > 0 ) 需求函数QD=QD(P)的反函数，称为价格函 数，记为 P=P(QD）
TR(Q) PQ , AR P
例 4 设某商品的需求关系是 3Q+4P=100, 求总收 益和平均收益．
100 3Q P , 解 价格函数为 4
100Q 3Q 所以总收益为TR(Q ) P Q , 4 平均收益为 AR(Q ) P (Q ) 100 3Q . 4
经济学中常用的函数
例1 某产品销售70元/件, 可买出10000件, 价格每增 某产品销售 元 件 可买出 件 元就少买300件 的函数. 加3元就少买 件, 求需求量 Qd 与价格 p 的函数 元就少买 设价格由70元增加 个 元 解 设价格由 元增加 k个3元, 则
p = 70 + 3k , Qd = 10000 300k
p( x ) =
库存费为 (x/2) c, 故
为批数, 为库存量. 其中 a/x 为批数 x/2 为库存量
ab cx , x ∈ (0, a ]. + x 2
12
某矿厂A要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 例6 某矿厂 要将生产出的矿石运往铁路旁的冶炼厂 B冶炼 已知该矿距冶炼厂所在铁路垂直距离为 a 公里 冶炼. 公里, 冶炼 公里. 它的垂足 C 到 B 的距离为 b公里 又知铁路运价为 m 元/ 公里 公里, 公里(m 为节省运费, 吨公里 公路运价是 n元/吨公里 < n), 为节省运费 公里 元 吨 公里 作为转运站, 拟在铁路上另修一小站 M 作为转运站 那么总运费的多 少决定于M的位置 试求出运费与距离 |CM| 的函数关系. 少决定于 的位置. 的函数关系 的位置 解 设 运费 CM＝ x , 运费为 y, 则
1 x + 40, x ∈ (0,1600] 40
10
工厂生产某种产品, 生产准备费1000元, 可变资 例4 工厂生产某种产品 生产准备费 元 本4元, 单位售价 元. 求： 元 单位售价8元 (1) 总成本函数 总成本函数; (3) 销售收入函数 销售收入函数; 解 (2) 单位成本函数 单位成本函数; (4) 利润函数 利润函数.
2
这个函数的几何形态, 这个函数的几何形态 是一条反应需求量与价格关系的 曲线, 我们称之为需求曲线, 如右图. 曲线 我们称之为需求曲线 如右图
常用经济函数
当 L R C 0 时, 生产者亏损;
当 L R C 0 时, 生产者盈亏平衡;
使 L( x) 0的点 x0称为盈亏平衡点(又称为
盈亏转折点、保本点).
平均利润L L( x) R( x) C( x) R C
x
x
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
解 据 C( x) C固 C变 , 可得每天总成本函数为
C( x) 160 8x, x [0,200] 每天总收益函数 R R( x) 10x, x [0,200]
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
每天总利润函数
L( x) R( x) C( x) 10x (160 8x) 2x 160,
即C C ( x) C0 C1 ( x)
x
x
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
例7 某工厂生产某产品,每日最多生产200单位.它的 日固定成本为150元, 生产一个单位产品的可变成本 为16元. 求该厂日总成本函数及平均成本函数.
解 据 C( x) C固 C变 , 可得总成本
C( x) 150 16x, x [0,200]
均衡 数量
均衡
Q0
价格
供求平衡点 E
P0
《高等数学(一)》
辽宁对外经贸学院
例6 某种商品的供给函数和需求函数分别为
Qs 25P 10, Qd 200 5P
求该商品的市场均衡价格和市场均衡数量.
解 由均衡条件 Qd Qs 得 200 5P 25P 10
30 p 210
P0 7 Q0 25P0 10 165
平均成本
C
(x)
C(x) x
16
经济学中常用的函数
微分学在经济中的应用§1 经济学中的常用函数一、需求函数消费者对商品有需求才是使商品在市场上得以流通的源动力。
这种源动力的核心主要有两个：一是购买商品的愿望，二是有购买商品的能力。
影响需求的因素有人口、收入、财产、价格和爱好等等。
忽略其他因素，只考虑与价格的关系就得到了需求函数)(P f D =， （1-1）需求函数通常是单调下降函数（如图1-1所示）。
产生下降的原因有两个：一是收入效应，二是替代效应。
注：需求量与价格有时也是按上升方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格越高，越被人门人为是珍品，因而需求量就越大。
下列函数可作为需求函数：线性函数 )0,0(>>-=b a bP a D ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>--=c b a cP bP a D ，指数函数 )0,0(>>=-b A Ae D bP ，幂 函 数 )0,0(>>=-ααA AP D 。
二、供给函数供给是生产者在一定时间内，在一定的价格水平下对某种商品愿意并能够出售的数量，需求是对消费者而言，供给是对生产者而言。
所以，供给和需求是相对的概念，这就是 说产生了和生产者之间的一对永恒的矛盾。
产生供给的条件有个，一是有出售商品的愿望，二是有供给商品的能力。
影响供给的因素有生产成本、技术成本、劳动力及价格等等。
忽略其他因素，只考虑与 价格的关系就得到了供给函数：)(P g Q =， （1-2）供给函数通常是单调上升函数（如图1-2所示）。
注：供给量与价格有时也是按下降方式变化的。
例如，古画、文物等珍品价格上升后，人们就会把存货拿出来出售，供给量增加，当价格上升到一定程度后，人们以为它更珍贵，就不会再提供给市场。
因而价格上涨供给量反而减少。
经常采用的供给函数有如下形式：线性函数 )0,0(>>+-=d c dP c Q ， 二次函数 )0,0,0(2>≥>++-=c b a cP bP a Q ，指数函数 ),0,0,0(A B k B A B Ae Q kP >>>>-=， 幂 函 数 )0,0,0(>>>-=-ααB A BAP D 。
经济学中常用函数
B
b M
a xC
ynx2a2m (bx),x [0 ,b ]
13
例7 (复利息问题)设银行将数量为 A0 的款贷出, 每 期利率为 r. 若一期结算一次, 则 t 期后连本带利可收回
A0(1 r)t 若每期结算 m 次, 则 t 期后连本带利可收回
A0[(1m r)m]tA0(1m r)mt
Q sg(p)cpd (c、d 均为正常数)
反应供给量与价格关系的曲线,我们称之为供给曲线,
如图.
Q
o
d
p
c
–d
5
显然只有价格不低于 d/c 时, 才有供给量Qs, 因为厂 商都不愿作亏本生意.
例2 某商品当价格为50元时, 有50单位投放市场, 当价格为75元时, 有100单位投放市场, 求供给 Qs 与价 格p的函数.
§1.3 经济学中常用的函数
一. 常用的几个经济函数 二. 建立函数关系举例
1
§1.3 经济学中常用的函数
一.常用的几个经济函数
1.需求函数
(1) 需求函数商品的需求量 Qd,受消费者的偏好收入及 商品价格等等因素的影响. 但最主要的是价格因素; 若
不考其它因素, 把需求量 Qd 只看成价格 p 的函数, 即 Qd f (p)
运用数学来解决实际问题, 首先要把问题中的数量关系 用数学表达式表示出来, 也就是建立数学模型. 为此必须明
确问题中的常量和变量, 变量中的自变量和因变量, 以及 它们之间存在什么关系, 以确定函数关系,根据实际问题 的要求指出定义域.
例3 某型号手机价格为每只1000元时能卖出15只, 当价
格为每只800元时, 能卖出20只. 已知手机的价格高低与
解 设批量为 x台, 库存费与生产准备费之和为p(x) , 则 全年的生产准备费为 (a/x) ∙ b, 库存费为 (x/2) ∙ c, 故
几种基本经济函数模型
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偏好
消费者的个人喜好和品味会影响其对商品的需求。如果消费者更偏好 某种商品，那么对该商品的需求量就会增加。
相关商品价格
其他与该商品相关的商品的价格也会影响对该商品的需求。例如，如 果某商品的替代品价格上涨，那么该商品的需求量可能会增加。
类型
线性需求函数
线性需求函数是指需求量与价格之间 存在线性关系，即需求量随价格的变 化而等比例变化。
市场调节
市场通过价格机制自动调节供需关 系，使市场达到新的均衡状态。
04 弹性函数
需求弹性
需求弹性是指商品需求量对价格变动 反应的敏感程度，通常用弹性系数来 表示。
需求价格弹性反映商品需求量与价格 之间的变动关系，是衡量价格变动对 需求量影响程度的重要指标。
需求弹性分为需求价格弹性、需求收 入弹性和需求交叉弹性等类型。
它通常表示为一种商品的需求量（Q） 与其价格（P）以及其他因素（如消 费者收入、偏好、相关商品价格等） 之间的函数关系。
影响因素
价格
当其他因素保持不变时，商品的需求量会随着价格的下降而增加，随 着价格的上升而减少。
收入
消费者的收入水平会影响其购买力，从而影响对商品的需求量。一般 来说，收入水平越高，对商品的需求量越大。
非线性需求函数
非线性需求函数是指需求量与价格之 间存在非线性关系，即需求量随价格 的变化而以不同的比例变化。
02 供给函数
定义
供给函数是指描述商品或服务的供给 量与影响供给的因素之间的关系的数 学表达式。
它表示在一定的价格水平下，生产者 愿意并能够提供的商品或服务的数量 。
影响因素
01
02
(经济中常用的函数)精讲
R(400) 200 400 80000 元 R(600) 180 600 10000 118000 元
12
2.供给函数
供给函数，记为 S S ( p)． 供给函数为价格 p 的单调增加函数．
线性供给函数为 S c dp (c 0, d 0) ． 使某种商品的市场需求量与供给量相等 的价格 p0，称为均衡价格．
19500(元)
例1 当鸡蛋收购价为每 kg 4.5元时，某 收购站每月能收购5 000 kg ．若收购价每 kg 提高0.1元，则收购量可增加400 kg ，求鸡蛋 的线性供给函数．
解 设鸡蛋的线性供给函数为 S c dp ， 由题意有 5 000 c 4.5d， 5 400 c 4.6d． 解得 d 4 000 ， c 13 000 ，所求供给函数为 S 13 000 4 000 p ．
例8
某产品日产量不超过1000件，已知产
品的固定成本为500(元)，每生产 x 件产品
1 2 的生产成本为 x 100 x ，每件售价为 6 1 400 x ，求利润函数以及销售400件时的 3
利润。
解
由题设成本函数
1 2 C C ( x) x 100 x 500 6
收入函数
10
例6 某产品每台售价200元，当年产量500台 以内时，可以全部售出；当年产量超过500台 时，经广告宣传后又可再多卖200台，这时需 要支付每台20元的广告费。生产再多，本年 就卖不出去了。试建立销售总收入 R 关于产 量 q 的收入函数。并求当产量为400台、600 台时的收入为多少元？
11
R R(Q) PQ QP ．(Q)
9
经济学中常用的函数
因此一般地，需求函数是单调减少函数．
常用的需求函数有如下几种类型： 1、线性需求函数：Q a bp (a 0,b 0); 2、二次需求函数：Q a bp cp2 (a 0,b 0,c 0); 3、指数需求函数：Q a eb p (a 0,b 0).
的固定成本C0 ，以及随产量变化而变化的变动 成本C1(Q)，即C(Q) C0 C1(Q) ．
平均成本函数 C
为商品价格，Q 为商品量，R 为总收入，
R 为平均收益，
则总收入函数 R (Q) Q P ．
平均收入
R
R
(Q
)
QP Q
P
利润函数
一些常见代表函数变量的字符
数量—— Q （Quantity） 成本—— C （Cost） 收益（收入）—— R （Revenue ） 利润—— L 价格—— P （Price ） 供给——S （Supply）
需求函数
设P 表示商品价格，Q 表示需求量，将需求量与商
品价格之间的函数关系Q Q P 称为需求函数．
在产量和销量一致时，利润L 是产量（或 销售量）Q 的函数，且利润函数等于收入函数 与成本函数之差，即L L(Q) R (Q) C (Q)
1、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为有盈余生
产，即生产处于有利润状态；
2、L(Q) R (Q) C (Q) 0 ，此时称为亏损生产，
供求关系
如果市场上某种商品的市场需求量与供给量
相等，则该商品市场处于平衡状态，这时的商 品价格 P0 称为均衡价格
p p0 p p0
1-6经济学中的常用函数
练习题答案
1 2 1. R = Q − Q , R( ) = ; 2 9 2. R = 0.11Q − 0.4 , P (15) = 0.0025, P (12) = 0.0034, P ( 20) = 0.0017, R(10) = 0.044, R(12) = 0.041, R(15) = 0.037; 3.C = C (Q ) = 200000 + 1000Q;
在时间 T 内的总费用 E 为
1 Q E = C1Tq + C 2 2 q 1 Q 为贮存费， 其中 ， C1Tq 为贮存费， C 2 为进货费用 . 2 q
八、戈珀兹 (Gompertz) 曲线 戈珀兹 曲线是指数函数 y = ka
bc
在经济预测中，经常使用该曲线 在经济预测中，经常使用该曲线.
k
初始期 发展期
饱和期
0 当 lg a < 0 ， < b < 1 时，图形如上页所示 . 且无限增大时， 由图可见 ，曲线当 t > 0 且无限增大时， 其无限与直线 y = k 接近 ，且始终位于该直
下方. 在产品销售预测中， 线 下方 在产品销售预测中，当预测销售量充 分接近到 k 值时，表示该产品在商业流通中 值时， 将达到市场饱和 .
平均收益为 100 Q − 3 Q AP ( Q ) = P ( Q ) = . 4
六、利润函数 利润是生产中获得的总收益与投入的 总成本之差。 总成本之差。即
L(Q ) = R(Q ) − C (Q )
例 5 设某种商品的总成本为C (Q) = 20 + 2Q + 0.5Q ,
2
万元， 若每售出一件该商品的收入是 20 万元， 求生产 10 件的总利润． 件的总利润．
(1-1) 经济函数
年订货与库存总成本
年订货与库存总成 本 C(q) 由 年 库 存 成 本与年订货成本组 成，即
q D C (q ) a b 2 q
q D a b 2 q
总 成 本
C (q )
O
q*
订货批量
如图3。其中 q* 为经 济批量。
图3 库存成本、订货成本与总成本曲线
案例2
a 某工厂生产某型号车床， 年产量为 台， 分若 干批进行生产，每批生产准备费为 b 元。设产品 均匀投入市场， 且上一批用完后立即生产下一批， 即平均库存量为批量的一半。设每年每台库存费 为 c 元。显然，生产批量大则库存费高；生产批 量少则批数增多，因此准备费高。为了选择最优 批量，试求出一年中库存费与生产准备费之和与 批量的函数关系。
1 2 R R(Q) 400Q Q , 0 Q 400 2
求利润函数。
解 总成本函数为
C C (Q) 20000 100Q
由会计学知， 未销售的产品进入产成品 仓库，本期核算利润时不予以考虑，则利 润函数为
L L(Q) R(Q) C (Q)
2
Q 300Q 20000, 2
案例1.8
六、库存函数
案例 1 设某公司按年度计划需要某种物资 D 单位，已知该物资每单位每年库存费为 a 元， 每次订货费为 b 元，为了节省总成本，分批 订货，假定公司对这种物资的使用是均匀的， 如何求订货与库存总成本最小的订货批量。
年平均库存量
q
q 2
T1
T2
Tn
年库存成本
设订货批量为 q 单 位，则年平均库存 量为 q/2，因为每单 位该物资每年库存 费为 a 元，则：年 库存成本＝(q/2)×a。 可见，库存成本与 订货批量成正比， 如图1。
经济函数
一、常用的经济函数1、总成本函数、总收入函数、总利润函数总成本函数是指在一定时期内，生产产品时所消耗的生产费用之总和。
常用C 表示，可以看作是产量x 的函数，记作()C C x =总成本包括固定成本和可变成本两部分，其中固定成本F 指在一定时期内不随产量变动而支出的费用，如厂房、设备的固定费用和管理费用等；可变成本V 是指随产品产量变动而变动的支出费用，如税收、原材料、电力燃料等。
固定成本和可变成本是相对于某一过程而言的。
在短期生产中，固定成本是不变的，可变成本是产量x 的函数，所以()()C x F V x =+，在长期生产中，支出都是可变成本，此时0F =。
实际应用中，产量x 为正数，所以总成本函数是产量x 的单调增加函数，常用以下初等函数来表示：（1）线性函数 C a bx =+, 其中0b >为常数.（2）二次函数 2C a bx cx =++,其中0,0c b ><为常数.（3）指数函数 ax C be =, 其中,0a b >为常数.平均成本：每个单位产品的成本，即 ()C x C x=. 总收益函数是指生产者出售一定产品数量（x ）所得到的全部收入，常用R 表示，即 ()R R x =其中x 为销售量. 显然，0(0)0Q R R ===，即未出售商品时，总收益为０.若已知需求函数()Q Q p =，则总收益的为1()()R R Q P Q Q p Q -==⋅=⋅ 平均收益：()R x R x=，若单位产品的销售价格为p ，则R p x =⋅，且R p =. 总利润函数是指生产中获得的纯收入，为总收益与总成本之差，常用L 表示，即 ()()()L x R x C x =-例 某工厂生产某产品，每日最多生产100个单位。
日固定成本为130元，生产每一个单位产品的可变成本为6元，求该厂每日的总成本函数及平均单位成本函数.解 设每日的总成本函数为C 及平均单位成本函数为C ，因为总成本为固定成本与可变成本之和，据题意有()1306(0100)130()6(0100)C C x xx C C x x x ==+≤≤==+<≤例 设某商店以每件a 元的价格出售商品，若顾客一次购买50件以上，则超出部分每件优惠10%，试将一次成交的销售收入R 表示为销售量x 的函数。
第四常用经济函数举例
市场均衡量 q0 供不应求 o
供大于求
qd q( p)
p p0
例1：假设某种商品的供给函数和需求函数分别为
qd 5 p 100
qs 25 p 20
求市场均衡价格和市场均衡量。
解： 由均衡条件：qd qs
5 p 100 25 p 20
30 p 120
市场均衡价格 p0 4 市场均衡量 q0 5 4 100 80
总成本＝固定成本＋变动成本 C(q) C0 C1(q) ——成本函数
常见的成本函数有： （1）线性成本函数
（2）二次成本函数
C(q) C0 aq C(q) C0 aq bq2
C1(q) aq C1(q) aq bq2
一般来讲，成本函数是产量的单调增加函数 。
2 供给函数 在市场中，如果每一种商品均由生产者直接提供，生
产者的供给量是受多种因素影响的，其中该商品的市场销 售价格是影响供给量的一个重要因素。假设供给量仅仅与 市场价格有关，即
qs q( p) 称该函数为供给函数。
由于生产者向市场提供商品是为了赚取利润，一般地， 当商品价格上升时会刺激生产，供给量将增加；反之，当 商品价格下降时会抑制生产，供给量将减少。因此，供给
L(q) R(q) C(q)
单位商品的利润称为平均利润，用 L 表示，即有
L(q) L(q) q
例5：已知 C0 1（0 万元）， C1 0.1q2 4q，需求规律是 q 200 4 p，求总利润和平均利润以及产量为100和110时
的利润。
解：由q 200 4 p得p 50 q
C(q) q
500 20q q
经济师函数知识点归纳总结
经济师函数知识点归纳总结经济师函数知识点归纳总结引言：经济学中的函数是研究经济现象和经济关系的重要工具。
函数是一种数学工具，可用来描述两个变量之间的关系。
经济师在研究经济问题时，通常会使用各种各样的函数来描述不同的经济关系。
本文将对经济师常用的函数进行归纳总结，希望能为读者提供一个全面而清晰的概览。
一、线性函数线性函数是最简单和最常用的函数之一，在经济学中被广泛应用。
线性函数的表达式为：y = ax + b。
（其中，a和b为常数）线性函数的特点是在平面坐标系中表示为一条直线。
例如，如果我们用y表示消费支出，x表示收入，那么x和y之间的关系可以用线性函数来描述。
二、二次函数二次函数是形如y = ax^2 + bx + c的函数，其中a、b和c都是常数。
二次函数的图形是一个抛物线，通常有一个最高点或最低点。
在经济学中，二次函数常用于描述边际效应和成本曲线。
例如，当我们研究某种产品的成本与产量之间的关系时，二次函数可以帮助我们更好地理解成本的变化情况。
三、指数函数指数函数是形如y = a^x的函数，其中a是一个常数。
指数函数的特点是随着x的增加，y值会以指数形式增长或下降。
指数函数在经济学中常用于描述增长率和复利的概念。
例如，当我们研究人口增长、经济增长或利息计算时，指数函数可以提供更准确的结果和预测。
四、对数函数对数函数是指形如y = loga x的函数，其中a是一个常数。
对数函数与指数函数是互逆的关系，即对数函数和指数函数互为反函数。
对数函数在经济学中也是常用的函数之一。
例如，当我们研究货币的时间价值、价格弹性或投资回报率时，对数函数可以为我们提供更多的信息和洞察。
五、多项式函数多项式函数是指形如y = a0 + a1x + a2x^2 + ... + anx^n 的函数，其中a0、a1、a2...a和n都是常数。
多项式函数在经济学中常用于描述复杂的经济关系和现象。
例如，当我们研究经济增长模型、生产函数或收益递减时，多项式函数可以提供更加灵活的表达和分析工具。