探索图形的面积等分课件
幼儿等分学习课件
情感目标
在操作活动中体验成功的 喜悦，培养幼儿对数学学 习的兴趣和信心。
课件内容
等分概念引入
通过实物、图片等直观材料引入 等分的概念，引导幼儿感知和理
解等分的含义。
等分方法讲解
介绍等分的基本方法，如对折、测 量、目测等，通过示范和讲解引导 幼儿掌握正确的等分方法。
等分实践操作
提供各种材料和工具，让幼儿进行 等分实践操作活动，如分蛋糕、分 水果、分玩具等，帮助幼儿加深对 等分的理解和掌握。
04
实物操作演示及讲解
实物准备与展示
教具准备
准备颜色、大小、形状相同的实物，如水果、玩具等。
展示方式
将实物摆放在操作台上，确保幼儿可以清楚看到。
操作步骤详解
演示等分方法
教师首先演示如何将实物等分成若干份，如使用 刀具将水果切成若干等份。
幼儿操作引导
教师引导幼儿尝试自己操作，将实物等分成若干 份，观察等分后的结果。
幼儿等分学习课件
汇报人： 2023-11-26
目录
• 引言 • 等分概念及基础知识 • 实物操作演示及讲解 • 互动环节设计与实践 • 知识点巩固与拓展延伸 • 课件结尾与致谢
01
课件目标
01
02
03
认知目标
学习掌握等分的概念，理 解等分的意义和基本方法 。
能力目标
通过实践操作，培养幼儿 进行等分活动的能力，提 高观察、比较、分析和解 决问题的能力。
06
知识点巩固与拓展延伸
关键知识点回顾总结
等分概念
回顾等分的定义，强调将整体分成若干相等部分的概念。
等分方法
总结常见的等分方法，如折叠、划线、使用工具等。
应用场景
六年级上册数学说课 圆的面积冀教版优秀PPT 课件
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三、说学生情况
学生了解和掌握了圆的特征，学会 了圆周长的计算，会利用割补的方法求 直线图形的面积。对圆的探究充满好奇。 这种好奇心有利于本课的学习。
六年级上册数学说课 圆的面积冀教版优秀PPT 课件
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我能吃到最大 的草地面积是
多少？
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（2）类比迁移建立圆的面积概念
圆所占平面的大小叫做圆的面积。
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平行四边形的面 积公式是怎样得
到的呢？
推导过程：Байду номын сангаас长方形的面积=长×宽
这个方法叫做 “割补法”
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平形四边形的面积=底×高
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2.发挥学生的主动性，小组合作推导圆面积的计算公式
（1）学生操作
拿出准备好的16等分的圆，和小组同学一起剪 一剪，拼一拼，看看能拼成一个什么图形？
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以近似长方形为例：
等分的份数越多，其面积越接近长方形的面积。
平行四边形面积四等分的方法_概述说明
平行四边形面积四等分的方法概述说明1. 引言1.1 概述本文将探讨平行四边形面积四等分的方法，该问题涉及到如何将一个平行四边形分割成四个具有相同面积的部分。
通过研究和介绍不同的解决方法，我们可以深入理解这一几何难题，并找到有效的解决方案。
1.2 文章结构本文主要包括五个部分：引言、正文、方法介绍、实验与结果以及结论和展望。
接下来的正文部分将详细介绍平行四边形面积四等分问题，并对不同方法进行系统性的介绍和比较。
实验与结果部分将设计相关实验并进行数据分析。
最后，我们将总结主要研究结论并提出改进方向。
1.3 目的本文旨在描述并总结目前已知的平行四边形面积四等分方法，为读者提供一个全面了解该问题以及解决方案的资源。
同时，本研究也希望通过实验与结果的讨论，能够对各种方法的优劣进行评估，并提出进一步改进策略。
通过这一工作，我们期望能够为学术研究和实践中遇到类似问题的读者提供有价值的参考和启示。
2. 正文平行四边形是一种具有特殊性质的四边形，其两组对边分别平行且相等长度。
本篇文章旨在介绍平行四边形面积四等分的方法。
首先，我们需要了解什么是面积四等分。
所谓面积四等分，指的是将一个平行四边形划分为四个面积相等的部分。
这是一个具有一定难度的几何问题，但通过合理的方法与技巧，我们可以轻松地实现这一目标。
接下来，我们将介绍三种常用的方法来实现平行四边形面积的四等分。
3.1 方法一：对角线法该方法是最直观也最简单的一种方法。
即通过连接平行四边形的两组对角线，将其划分为两个不重叠的三角形。
由于三角形面积公式为底乘以高再除以2，因此使得两个三角形面积相等即可实现面积四等分。
3.2 方法二：高度法这种方法依托于平行四边形内部垂直相交线段之间长度之比与面积之比的关系。
通过找到合适位置并画出垂直交线段，在确定好长度比例后进行切割即可达到面积四等分的目标。
3.3 方法三：三角形切割法该方法利用平行四边形可以视为两个相等的三角形之和。
中心对称图形的性质与图形面积的等分
2、圆的对称中心是
圆心
3、中心对称图形面积等分的方法是 找到对称中心，过对称中心任意画一条 直线
•把下列图形面积二等分
合作
探究
1、在两个平行四边形的内部 分别有一个圆和一个矩形.请 你各用一条直线分别把左、右 两图中的阴影部分分割为面积 相等的两部分.
2、请你分别用一条直线将下图中两 个图形分割成面积相等的两部分.
•1.常见的中心对称图形有哪 些？ •2、中心对称的性质是什么？ •3、如何找到中心对称图形的条直线把图（1） 中的两个图形分别分割成面积 相等的两部分.
图（1）
思
考
还有别的直线等分平行四边形和 圆面积？其方法的共同特点是什 么？
1、平行四边形的对称中心是 对角线的交点
•3、用一条直线把下列图 形的面积二等分
• 掌握等分中心对称图形面积的方法如
下： • 1. 会等分平行四边形和圆的面积. • 2. 会等分由两个中心对称图形构成的 图形的面积. • 3. 会等分由多个中心对称图形所构成 的图形的面积.
中心对称图形的性质与图 形面积的等分
周世国
学习目标
• 1．知识目标 • （1）体会中心对称图形的特性， 进一步理解四边形的相关性质. • （2）掌握等分中心对称图形面 积的方法.
• 2．能力目标 • 探索图形面积等分问题的规律， 培养学生解决问题的意识和能 力. • 3．情感目标 • 通过学习课题，使学生获得成 功的体验，增强自信心.
《二等分四等分》幼儿园大班数学PPT课件
怎样四等分？
二等分
四等分
5
6
8
活动目标： 1.理解二等分、四等分的含义，知道等分后变成两个或四个一样大的图形，理解整体与部 分的关系。 2.探索图形二等分、四等分的方法，能表述清楚自己的操作过程。 3.对等分活动感兴趣，愿意与同伴交流自己的发现。 活动重难点： 难点：理解二等分、四等分的含义，知道等分后变成两个或四个一样大的图形，理解整体 与部分的关系。 难点：探索图形二等分、四等分的方法，能表述清楚自己的操作过程。 活动准备： 1.经验准备：幼儿具有折纸经验；发现、感知生活中等分的事物。 2.物质准备：等分教学课件、圆形、正方形等分操作纸和材料盘每人一份、等分拼图材料 每组一份、替钉胶。
大班数学图形二等分课件
谢谢聆听
两个图形如果完全重合，则它们 具有相等关系。例如，两个全等 的三角形具有相等的三边和三角
。
相似关系
两个图形如果形状相似但大小不 一定相同，则它们具有相似关系 。例如，两个相似的三角形具有 相等的对应角和成比例的对应边
。
包含关系
一个图形如果完全被另一个图形 所包含，则它们具有包含关系。 例如，一个圆内切于一个正方形
图形基本性质介绍
01
点的性质
点是图形的基本元素，没有大小、形状和方向，只有位 置。
02
线的性质
线是由无数个点组成的，有长度和方向。根据线的不同 特征，可以将其分为直线、线段和射线等。
03
面的性质
面是由线围成的封闭图形，有大小、形状和方向。根据 面的不同特征，可以将其分为平面和曲面等。
图形变换与相似性
培养孩子对二等分的兴趣
01
实践操作
通过让孩子亲手操作一些二等分的实例，如将一块饼干分成两半、将一
张纸对折等，让孩子直观感受二等分的概念。
02 03
游戏化学习
设计一些有趣的游戏和活动，让孩子在游戏中学习和掌握二等分的概念 和应用。例如，可以设计一个“找一半”的游戏，让孩子在一堆物品中 找出某一物品的一半。
实现方法
找到图形的中心点或对称 轴，通过该点或轴画出一 条直线，将图形分成两个 面积相等的部分。
角度二等分法
定义
通过将一个角度分成两个相等的部分 来二等分图形。
适用图形
实现方法
找到图形的顶点或角度所在位置，利 用量角器或三角函数计算出该角度的 一半，然后通过作图工具将角度二等 分。
适用于有角度的图形，如三角形、扇 形等。
定期评估孩子掌握情况并给予反馈
三年级《分数的初步认识》ppt课件
与整数、小数关系
与整数的关系
分数可以表示整数的一部分，例如1/2是1的一半。同时，整数也可以看作是特 殊的分数，例如2可以看作是2/1。
与小数的关系
分数可以转换为小数形式，例如1/2等于0.5。同时，小数也可以转换为分数形 式，例如0.75等于3/4。这种转换有助于理解分数和小数之间的等价性和联系。
注意事项
在进行分数乘除法时，要确保 运算顺序正确，先乘除后加减 ，有括号先算括号内的。
04
图形中的分数应用
图形切割与拼接问题
切割图形
将图形按照一定比例或规则进行 切割，得到若干个小图形，每个 小图形都与原图形有一定的分数
关系。
拼接图形
将若干个小图形拼接成一个新的 大图形，通过观察和计算，发现 新图形与原图形之间的分数关系
三年级《分数的初 步认识》ppt课件
目录
• 分数概念引入 • 分数基本性质与分类 • 分数运算基础 • 图形中的分数应用 • 解决实际问题中的分数应用 • 总结回顾与拓展延伸
01
分数概念引入
生活中的分数实例
食物的分配
例如，一个蛋糕被切成相等的四份， 每份可以用1/4来表示。
空间的划分
一个房间被划分为两个相等的部分， 每部分可以用1/2来表示。
调整食材配比
根据口味或健康需求，适当调整食材 的比例。
速度、时间和距离关系问题
速度的定义
理解速度是单位时间内行驶的距离，用分数表示速度。
比较不同速度下的行驶时间
通过比较分数大小，判断哪个速度更快或更慢。
06
总结回顾与拓展延伸
关键知识点总结
分数的定义
分数的读写
分数表示整体的一部分，形如a/b（b≠0） 的数叫做分数。
图形与面积
图形与面积专题1、小方桌面的边长是1米，把它的四边撑开，就成了一张圆桌面（如图）。
求圆桌面的面积。
2、把底面半径是6厘米，高10厘米的圆柱体切割成若干等分，拼成一个近似的长方体。
在这个切拼过程中，体积与表面积有没有发生变化？如果没有发生变化，请说明理由。
如果发生变化，请计算增加或减少的数量。
3、我们都知道：圆的周长与直径的比值就是圆周率。
它是一个无限不循环小数，用字母Л表示。
但你未必知道“圆方率”，就让我们一起来探索吧！【探索】把一个棱长a厘米的正方体削成一个最大的圆柱体。
求这个圆柱体与正方体体积和表面积比。
（计算涉及圆周率，直接用Л表示）4、如图已知扇形的半径OA=OB=4厘米，45∠=°，AC垂直OB于点C。
A O B那么图中阴影部分的面积是多少平方厘米？（4分）5、如图三角形ABC中，EF平行于BC，AB=4AE，求三角形甲、乙、丙的面积之比？6、如右图正方形的面积是36平方厘米，△ABC的面积比△ACE的面积大2平方厘米。
DE的长度是多少厘米？7、如图，圆的半径是2厘米，请分别求出大正方形和小正方形的面积。
8、如图：求图中阴影部分的面积。
（单位：厘米）9、已知正方形的面积是80平方厘米，求圆的面积。
10、求右图阴影部分的周长和面积。
（单位：厘米）11、求下图中阴影部分面积。
（单位：厘米）12、如图，正方形的边长和圆的直径都是313、如下图所示的长方形中，三角形ADE 与四边形DEBF 、三角形CDF 面积相等，求三角形DEF 的面积是多少？C DF14、在一个棱长为8cm的正方体玻璃缸种，盛有一定深度的水，将棱长为4cm 的正方体铁片放入缸中。
（1）若缸中水深为6cm，则水会上升多少？（2）若缸中水深为2cm，则水深上升多少？15、求图中阴影部分的面积（单位：厘米）16、如图，梯形ABCD的面积是45平方厘米，下底AB=10厘米，高6厘米，三角形DOC的面积为5平方厘米，求三角形AOB的面积。
课题画一条直线两等分简单组合图形的面积
课题：画一条直线两等分简单组合图形的面积东宝区教研室 朱昌宝教学 目标 知识技能三角形、梯形的中位线、中线、对称轴、面积 数学思考 探索如何用一条直线两等分简单组合图形的面积 解决问题 用化归和类比的方法解决数学问题 情感态度培养学生学习数学的兴趣重点 常见基本图形的面积等分 难点 梯形面积的两等分教学流程安排活动流程图 活动内容与目的活动1 设置悬念 活动2 探索与化归 活动3 探索与类比 活动4 探索与解疑 活动5 探索与收获 用一条直线将稍复杂图形分成面积相等的两个部分 基本图形如圆、三角形、平行四边形面积的两等分 梯形面积的两等分 引例题面积的两等分 解决问题的方法和途径问题与情境师生行为 设计意图[活动1]设置悬念 问题1：你能画一条直线将下面的组合图形的面积两等分吗？有什么规律？教师板书课题和引例，画出图形.教师提出问题，并对学生回答的问题（感知的）作出判断，并逐步引导学生从规律入手，从数学基础知识上说出道理.设置悬念，引起学生对这类问题的注意.[活动2]探索与化归问题2： 你能用一条直线将下面图形分成面积相等的两个部分吗？本次活动教师重点关注：1、圆具有对称性.2、一条过圆心的直线都可以将圆的面积两等分。
3、这样的直线有无数条.简单的圆形学生有兴趣，而且容易破解，其目的是由浅入深，循序渐近.EDAB CG FOMN问题与情境师生行为 设计意图问题3：你能用一条直线将下列图形的面积两等分吗？说明理由.［活动3］探索与类比用一条直线两等分矩形、正方形的面积.本次活动教师重点关注：1、两等分三角形的面积至少有三条，目前学生易接受理论支撑是“等底等高的两个三角形面积等积”..2、平行四边形两等分面积只要找到中心对称点，任意过对称中心点的直线都可以将其面积两等分,这样的直线有无数条.3、引导学生关注两等分平行四边形的数学基础知识（分析思路和说理是重点）.4、用类比的思想讨论矩形和正方形两等分面积.三角形和平行四边形（含短形和正方形）也是最简单的图形，其目的在于找规律，说理由，用类此的思想同时解决矩形和正方形的等分问题，有一般包涵特殊的思想.问题4：讨论,是否过梯形的O 点作任意一条直线就可以将梯形的面积两等分 教师关注要点： 1、梯形中位线不能将梯形面积两等分（直观法或等高不等底的两个梯形面积不相等）.2、过梯形两底的中点的连线可以将梯形面积两等分,为什么？ 突出转化的思想，把梯形转化为三角形和平行四边形来考虑，一方面培养学生解决问题的途径（化难为易,应用旧知），另一方面又加强了知识简单的相互联系，灵活运用,达到开发思维的目的.编制这一个活动，给出了两种方法，再对梯形的一般性进行研究，特别是“过上、下底且经过梯形中位线的中点”这三个要素进行讨论，有利于培养学生思维的缜密和严谨，方法一：作梯形的中位线能等分两个相等的面积吗？为什么？3、取AB 中点E ，连接BE 交CB 的延长线于F ，由于S △ADE =S △FBE ，再作FC 中点G ，直线DG 将梯形面积两等分（学生说明理由）.方法二：把梯形转化为三角形来等分GFEA C BDDBACODACBF E A CB D方法三：作AD 、BC 中点的连线A CBD4、学生说明理由有利于培养学生在特殊圆形中求一般规律，在一般图形中求特殊解法.举反例是一种反证思想，培养学生发散思维，求异思维，对于问题的理解将更加深入.方法四：把梯形转化为平行四边形来等分5、同转化为三角形道理一样（学生说明理由）.方法五：取中位线的中点，在什么条件下作一直线将梯形面积两等分？6、条件：过上下底边并且经过中点的直线可以将梯形面积两等分（要求学生从多个角度说明理由）.7、讨论：两等分平行四边形和梯形有什么不同？在条件上有哪些限制，举反例.问题先简单后复杂，解题先易后难，加强思维培养，提高解题能力.[活动4]探索与解疑 解答引例O 2O 1EDABCGF方法一：作两矩形的对角线，两交点O 1O 2连接的直线即为所作.学生实践、教师关注要点：把这个组合图形分成两个基本图形，再利用以上所学的结论(分开看). 基于以上活动、支手实践和规律探索，学生基本上可以从方法一、方法二中解决问题，对于方法三和利用梯形存在困难，因此观察图形特点，从“分”和“补”两个方面通盘考虑问题，使问题的解决更加灵活，手段更加多样，道理更加充分，思路更加清晰. 通过交流，让学生用自FGE A CBDE FA CBD方法二：作两矩形的对角线，两交点O 1O 2连接的直线即为所作.己的语言清楚表达解决问题的过程，提高语言表达能力.方法三：作矩形ABEH 和矩形GFHD 的对角线，O 1O 2所在的直线平分这个组合图形补全图形，从整体入手。
幼儿园大班科学《有趣的四等分》课件
二、重点与难点 重点：了解不同的等分方法，发展思维的灵活性。 难点：理解部分与整体的关系。
三、活动准备
三、操作与拓展 欣赏评价。 出示图形纸片，请幼儿介绍哪些图形被四等分，师幼共同检查。 四、整体与部分： 比较等分后的结果，等分后的每份和原来的一份相比哪个大，感 知等分的次数越多，等分后的每份越小，整体大于部分，整体最大 五、活动延伸：分食物 教师：猪妈妈为了感谢小朋友，要送给你们一些食物，请小朋友 把可以四等分的食物动脑筋分一分吧！并送给小伙伴一起分享。
材料：各种几何图形的纸、剪刀、山楂糕、面包等各种形状的食物。
活动过程： 一、复习二等分，理解等分的含义。 1、观看课件，激发幼儿兴趣。 狐狸分饼的故事。鼓励个别幼儿讲解故事，教师作适当的补充。 2、帮小猪分饼。 （1）出示一张圆形的纸，教师：如果小朋友遇到小猪兄弟俩你能 帮他们分成相等的两份吗？ （2）鼓励个别幼儿示范分圆形。 （3）教师：怎样知道这两半是一样大小呢？ （4）引导幼儿将分成的两半对折比较大小。
二、问题解决 1、帮助猪妈妈分蛋糕。 （1）教师：今天猪妈妈做了几块不同形状的蛋糕，有些什么形状 呢？ （2）出示圆形、长方形和正方形图卡，鼓励幼儿说一说。 2、四等分图形。 （1）请幼儿取出图形卡中的图卡，自主尝试折一折，分一分。 （2）教师：你是怎么分圆形蛋糕的？分成的四块是一样大小的吗？ （3）请幼儿展示并介绍分的结果，鼓励幼儿用重叠的方法比较分 好的四块蛋糕是否一样大小。 重点指导幼儿探索不同的分法，请个别幼儿展示自己的分法，并 尝试用语言完整表述出来
七年级思维探究(26)图形面积的计算
海伦，古希腊数学家、测量学家和工程师，在数学史上，他以出色解决几何测量问题而闻名．他提出了不少计算图形面积和体积的精确或近似公式，其中包括著名的已知三角形三边，求三角形面积的“海伦公式”．26．图形面积的计算 解读课标面积是平面几何中一个重要概念，计算图形面积是平面几何中最常见的基本问题之一，与面积相关的知识有：1．常见图形面积计算公式；2．等底等高的两个三角形面积相等；3．等高（或等底）两个三角形面积的比等于对应底（或高）的比．面积的计算主要是求一些非常规图形的面积．非常规图形面积的计算往往可转化为常规图形面积的计算，在转化的过程中常用到恰当连线、图形割补、等积变形、代数化等知识方法． 熟悉以下基本图形．问题解决例1 如图，梯形ABCD 被对角线分为4个小三角形，AOB △和BOC △的面积分别为225cm 和，梯形的面积是__________2cm ．隐含多对面积相等的三角形，要求梯形的面积需求出DOC △的，过线段的比把三角形面积联系起来．例2 如图，正方形ABCD 和CEFG 的边长分别为m 、n ，那么AEG △的面积的值（）．A ．只与m 的大小有关B ．只与n 的大小有关C ．与m 、n 的大小都有关D ．与m 、n 的大小都无关试一试略 例3 如图，三角形ABC 内的线段BD 、CE 相交于点O ，已知OB OD =，2OC OE =．设三角形BOE 、三角形BOC 、三角形COD 和四边形AEOD 的面积分别为1S 、2S 、3S 、4S ． （1）求13:S S 的值；（2）如果22S =，求4S 的值．试一试恰当连线（如连OA ），把线段比转化为对应的三角形面积比．对于（2），设AOE S x =△，利用三角形面积之间的关系建立方程．例4 如图，ABC △的面积为1，D 、E 为AC 的三等分点，F 、G 为BC 的三等分点．S 2S 1S 1S2S 1S 2S 3S 4S 1S 2S 4S 3ODC BAGF ED CBAE OD CBA求：（1）四边形PECF 的面积； （2）四边形PFGN 的面积．试一试（1）连CP ，设PCF S x =△，PCE S y =△，可建立关于x ，y 的方程组，解题的关键是把相关图形的面积用x ，y 的代数式表示，并利用等分点导出隐含图形的面积；（2）连NC ，仿（1），先求出BNC △的面积，再得出BNG △面积，进而可求四边形PFGN 的面积．例5 如图①，已知正方形ABCD 的面积为1，M 为AB 的中点．求图中阴影部分的面积．解法1 如图①，14AMD AMC S S ==△△，AMG S △为公共部分，所以AGD MCG S S =△△，因为AMG △与AMD△的高相等（以A 为顶点作高），MCG △与MCD △的高相等（以C 为顶点作高），所以AMG MCG AMD MCD S S MG S S MD==△△△△，即141142MCG MCG S S -=△△， 解得16MCG S =△，11263S =⨯=阴影．解法2 如图②，连接GB ，由正方形的对称性得ABG AGD S S =△△， 又1122AMG ABG AGD S S S ==△△△，所以2211=22212343AGD AMD S S S =⨯=⨯⨯=+阴影△△． 解法3 如图③，连接BD 、BG ，设BD 、AC 交于点O ，AMG S x =△，因为14AMD AOD ABCD S S S ==△△，所以GOD AOD AGD AMD AGD AMG S S S S S S x =-=-==△△△△△△． 又BOG GOD S S x ==△△，BMG AMG S S x ==△△， 因为AOB AGM GOB BMG S S S S =++△△△△， 即14x x x =++，所以112x =． 所以()123AGD MCG AMD AMG S S S S S =+=-=阴影△△△△．皮克公式例6 用水平线和竖直线将平面分成若干个边长为1的小正方形格子，小正方形的顶点叫格点，以格点为顶点的多边形叫格点多边形．设格点多边形的面积为S ，它各边上格点的个数和为x ．P Q M NGF E D CBA 图①图②图③（1）上图中的格点多边形，其内部都只有一个格点，它们的面积与各边上格点的个数和的对应关系如S x S =． 2个格点．此时所画的各个多边形的面积S 与它各边上格点的个数和x 之间的关系式是：S =___________．（3）请你继续探索，当格点多边形内部有且只有n 个格点时，猜想S 与x 有怎样的关系？ 试一试本例是按多边形内部的点来分情况探究的．对于（3），可以研究当多边形内部的点数为3、4、5等的情况，从特殊到一般作出猜想． 数学冲浪 知识技能广场1．如图，一个大正方形被2条线段分割成2个小正方形和2个长方形，如果2175cm S =，2215cm S =，那么大正方形的面积S =_____________2cm ．2．图中最大正方形的边长是10cm ，那么，阴影部分的总面积是__________2cm ．3．如图，将边长为4cm 的等边ABC △沿边BC 向右平移2cm 得DEF △，DE 与AC 交于点G ，则:ABC ABFD S S =四边形△_____________．4．把三张大小相同的正方形卡片A ，B ，C 叠放在一个底面为正方形的盒底上，底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．若按图①摆放时，阴影部分的面积为1S ；若按图②摆放时，阴影部分的面积为2S ，则1S ____________2S （填“>”、“<”或“=”）．④③②①S 4S 3S 2S 1GF EDCBA图①图②5．如图，在直角扇形ABC 中，分别以AB 、AC 为直径作半圆，两条半圆弧相交于点D ，整个图形被分成1S 、2S 、3S 、4S 四部分，则2S 与4S 的大小关系是（）． A ．24S S < B ．24S S = C ．24S S > D ．无法确定的6．已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形的面积为1个平方单位，则点C 的个数为（）．A ．3个B ．4个C ．5个D ．6个7．如图，在长方形ABCD 中，11223AE BG BF AD AB =====，E 、H 、G 在同一条直线上，则阴影部分的面积等于（）．A ．8B ．12C ．16D ．208．如图，凸四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于O 点，若三角形AOD 的面积是2，三角形COD的面积是1，三角形COB 的面积是4，则四边形ABCD 的面积是（）． A ．16 B ．15 C ．14 D ．139．如图，正方形ABCD 、正方形BEFG 和正方形RKPF 的位置如图所示，点G 在线段DK 上，已知正方形BEFG 的边长为4，求DEK △的面积．10．如图，ABC △的边30cm AB =，25cm AC =，点D 、F 在AC 上，点E 、G 在AB 上，::::1:2:3:4:5ADE DEF EFG FGC GBC S S S S S =△△△△△，求AD 和GE 的长．S 4S 3S 2S1D CB AODCBA思维方法天地11．如图，若长方形APHM 、BNHP 、CQHN 的面积分别为7、4、6，则阴影部分的面积是__________．12．如图，三角形ABC 的面积为1，:2:1BD DC =，E 是AC 的中点，AD 与BE 相交于点P ，那么四边形PDCE 的面积为______________．13．如图，长方形ABCD 中，60cm AD =，45cm AB =，Q 为CD 的中点，在BC 上取一点P ，使APQ △的面积等于2900cm ，则BP =_______________．14．如图，若P 为平行四边形ABCD 内的一点，且5PAB S =△，2PAD S =△，则PAC S =△______________．15．如图，ABCD 是平行四边形，E 在AB 上，F 在AD 上，1214BCE CDF ABCD S S S ==⋅=平行四边形△△，则CEF S =△___________．16．如图，大圆中有4个面积相等的小圆，已知小圆半径为5cm ，大圆半径等于小圆直径，则空白部分的面积是__________2cm （π取3）．GF ED CBANCB PE DCBAABCD PQPHDCBAF EDC BA17．如图，三角形ABC 的面积为1，E 是AC 的中点，O 是BE 的中点，连接AO 并延长交BC 于D ，连接CO 并延长交AB 于F ．求四边形BDOF 的面积．18．如图，ABC △中，12DC EA FB DB EC FA ===，求GHI ABC 的面积的面积△△的值．应用探究乐园19．在如图①至图③中，ABC △的面积为a ． 探索（1）如图①，延长ABC △的边BC 到点D ，使CD BC =，连接DA ．若ACD △的面积为1S ，则1S =__________（用含a 的代数式表示）；（2）如图②，延长ABC △的边BC 到点D ，延长CA 到点E ，使C D B C =，AE CA =，连接DE ．若DEC△的面积为2S ，则2S =_________（用含a 的代数式表示），并写出理由；（3）在图②的基础上延长AB 到点F ，使B F A B =，连接FD 、FE ，得到DEF △（如图③）．若阴影部分的面积为3S ，则3S =________（用含a 的代数式表示）． 发现像上面那样，将ABC △各边均顺次延长一倍，连接所得端点，得到DEF △（如图③），此时，我们称ABC △向外扩展了一次，可以发现，扩展一次后得到的DEF △的面积是原来ABC △面积的______倍． 应用O F EDCBAG IHF E DCBA图①图②图③图④去年在面积为210m 的ABC △空地上栽种了某种花卉．今年准备扩大种植规模，把ABC △向外进行两次扩展，第一次由ABC △扩展成DEF △，第二次由DEF △扩展成MGH △（如图④）．求这两次扩展的区域（即阴影部分）面积共为多少2m ？20．如图，红黄绿三块一样大的正方形纸片放在一个正方形盒内，它们之间互相重叠．已知露在外面的部分中，红色的面积是20，黄色的面积是14，绿色的面积是10，求正方形盒子的面积．红绿黄26．图形面积的计算 问题解决例1 144()235cm AOD BOC S S ==△△，AOD DOCABO BOCS S DO S BO S ==△△△△，得()249cm DOC S =△． 例2 B 连AC ，AC GE ∥，212AGE GCE S S n ==△△．例3 （1）23S S =，212S S =，得13:1:2S S =． （2）由22S =，得11S =，32S =，连接OA ， 设AOE S x =△，则1AOD AOB S S x ==+△△， 因2AOC AOE S S =△△．故122x x ++=，解得3x =，14x +=，所以4347S =+=．例4 （1）133133x y x y ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩①②，①+②，得16x y +=，即16PECF S =四边形．（2）连NC ，ND ，设NGB S a =△，NCE S b =△， 则2NOG S a =△，2NEA S b =△，则1332233a b a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故1115321642BEC BNG PFGN PECF S S S S =--=--=四边形四边形△△．例6 （1）12S x =；（2）112S x =+；（3）112S x n =+-．数学冲浪1．108 2．25 3．2:1ABC ADFC S S =四边形△ 4．= 5．B 6．D 7．B 8．B 9．16DEK BEFG S S ==正方形△10．设cm AD x =，则2cm DF x =，3cm AF x =， 由():123:43:2AFG FGC S S =++=△△，得2cm FC x =， 3225AC x x =+=，故5x =，即5cm AD =，同理AE EG =，2AG BG =，20cm AG =，10cm EG =．11．8.5连HD 12．73013．40cm 设cm BP x =，则()60cm PC x =-，由()1451145604560456090022222APQ S x x =⨯-⨯⨯-⨯--⨯=△，得40x =．14．3设PAH S m =△，PCH S n =△，则1252BHC BHC ABCD S n m S S ++=-+=平行四边形△△．15．74连AC ，DE ，则1B C ES =△，12CDF S =△，4ABCD S =平行四边形，2AB EB =，E 为AB 中点，4AD FD =，34AF AD =，3344AEF ADE S S ==△△，13741244CEF CDF AEF BCE ABCD S S S S S =---=---=平行四边形△△△△．16．150如图，因为1与2、3与4、5与6、7与8、9与10、11与12部分的面积相等，所以空白部分的面积为半个大圆的面积，即20.5π1050π150⨯⨯==（平方厘米）．17．16设BOF S x =△，BOD S y =△，则14AOE COE AOB COB S S S S ====△△△△， 14AOF S x =-△，34ACF S x =-△，14BCF S x =+△．由AOF ACF BOF BCF S S AF S BF S ==△△△△，得134414x x x x --=+，即2213164x x x -=-，解得112x =．同理有14COD S y =-△，34ACD S y =-△，14ABD S y =+△，由BOD ABD COD ACD S BD S S CD S ==△△△△，得112y =． 故11112126BDOF S x y =+=+=四边形．18．17连BG ，设ABC S S =△，DCG S x =△，BGF S y =△，则1332233x y S x y S ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩，解得121421x S y S⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，同理可得121EAH FBI S S S ==△△，又13ADC BEA S S S ==△△，得12532121GCEH HAFI S S S S ⎛⎫==-= ⎪⎝⎭四边形四边形，这样21011321217GHI S S S ⎛⎫=--= ⎪⎝⎭△，即17GHI ABC S S =△△． 19．探索：（1）a ；（2）2a ；理由：连接AD ，CD BC = ，AE CA =，DAC DAE ABC S S S a ∴===△△△，22S a ∴=； （3）6a ； 发现：7应用：拓展区域的面积：()()227110480m -⨯=．20．51.2移动黄块到左边缘，在移动的过程中，黄块露出的部分减少多少，绿块露出的部分就增加多少，即“黄+绿”141024=+=不变．当黄块移动到靠左边缘时，由于红块是正方形，大盒也是正方形，可得这时“黄”=“绿”24212=÷=，易知此时“左上”⨯“右下”=“右上”⨯“左下”，可得“右上”1212207.2=⨯÷=，所以“大盒”的面积2012127.251.2=+++=．绿红黄。
大班数学图形二等分课件
游戏心得分享
通过游戏，我更加深入地理解了图形二等分的概念， 知道了如何将一个图形分成两个完全相等的部分。
我发现，不同的图形需要采用不同的方法进行二等 分。例如，对于正方形和长方形，可以通过对折的 方式进行二等分；而对于圆形和三角形，则需要使 用直尺和剪刀等工具进行辅助。
则图形可二等分。
复杂图形二等分策略
分割法
对于复杂图形，可以将其分割成若干个简单图形，再对每个简单 图形进行二等分。
补全法
当图形缺失一部分时，可以通过补全图形再进行二等分。
间接法
通过寻找与复杂图形面积相等的简单图形，对简单图形进行二等 分，从而间接实现复杂图形的二等分。
创意性二等分设计
不规则图形的创意二等分
找到一边的中点，并与顶点相连，沿 这条中线进行对折，得到两个相等的 部分。
沿对角线或中垂线进行对折，得到两 个相等的部分。
曲线图形二等分
圆形二等分
沿直径进行对折，得到两个相等 的半圆。
椭圆形二等分
沿长轴或短轴的中垂线进行对折， 得到两个相等的部分。
扇形二等分
找到弧的中点，并与圆心相连，沿 这条半径进行对折，得到两个相等 的部分。
形重新组合，验证是否完全重合。
游戏过程演示
1. 教师首先向幼儿展示各种形状的图 形卡片，并简要介绍图形的基本特征。
3. 幼儿模仿教师的操作，尝试将自己 手中的图形卡片进行二等分。教师在 旁观察并提供必要的指导和帮助。
2. 教师示范如何将一个图形进行二等 分，例如使用直尺找到圆形的直径， 然后沿着直径将圆形剪成两个完全相 等的半圆。
常见图形二等分方法
伽利略定理圆面积三等分推导过程
伽利略定理圆面积三等分推导过程伽利略定理的圆面积三等分推导过程，这可真是个有趣的话题，听着就让人想要一探究竟。
想象一下，你手里拿着一张圆纸，边上还有个小圆规，脑海中闪现着那些数学课上讲的各种公式，心中不禁想：哎，这圆到底是个什么玩意儿呢？圆的面积就是个大宝藏，藏着好多好玩的秘密。
今天咱们就来聊聊，如何把这圆的面积给三等分，听上去挺复杂，其实也没那么难。
咱们得理解一下这圆的面积是怎么来的。
提到面积，很多人第一反应就是公式，啥半径、π（圆周率）之类的。
圆的面积是用半径的平方乘以π来算的。
简单说，半径越大，面积就越大，简直是直接跟着半径走。
咱们可以想象一下，如果把一个大圆的面积切成三份，那每一份就得是这个圆的一部分。
听上去就像切蛋糕，切得不均匀可就尴尬了。
咱们来讲讲怎么切这蛋糕。
想象一下，你在圆的中心画出三条线，把它们均匀地分开。
嘿，这可不是随便画画哦，每一条线都得把圆分成三等份。
这样一来，你就能看到一个个小扇形，像个可爱的迷你披萨。
可是，有些朋友可能会问，这样真的能保证每一份的面积相等吗？当然可以，只要这三条线均匀地从中心发出，就能实现完美的三等分。
说到这里，咱们可以借用个成语，“一视同仁”，这正好形容我们这三条线。
只要它们从同一个点出发，朝着不同的方向延伸，哪怕它们的角度不同，也能保证每一块的面积是一样的。
这就像在平常的生活中，大家分东西，公平分配，总能让人心里舒坦，别小看这平等，里面的道理可大了去了。
然后，咱们再深入一下，来个小实验。
拿一个圆的纸片，随便找个点，把它切成三等份。
嘿，你可能会发现，切的时候总会有些不对称，有的部分厚，有的部分薄。
这个时候，不妨用量角器测量一下，看看每个扇形的角度，保证它们都是120度。
哇，这样一来，所有的扇形面积就自然而然的相等了。
好家伙，真是简单又有趣，生活中的数学原来可以这么实用。
再说了，除了这三等分的面积，伽利略的理论还告诉我们，圆的那些神秘特性。
圆不仅仅是一个简单的图形，还是自然界的一个奇妙存在。
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你发现水渠的位置有什么特点？
探索图形的面积等分
问题情境一反思
A
D
H
G
B
C
EF
因为ＡＤ∥ＨＧ且所作直线和Ａ Ｄ、ＨＧ均相交.，利用上述方法也可 作无数条直线平分面积
探索图形的面积等分
问题情境一反思修改
A
D
H
G
B
EF C
这是不会出现情境一的情况. 本图只能作一条直线平分土地面积.
探索图形的面积等分
如图，甲、乙两家的地被一条小 路ABC分开，地的两边是两条平行的 道路，现在为方便行走，想把弯道 ABC改成直道(改后两家的地以这条直 道为界)，且不能改变两家的土地面积， 你能帮他们改一下吗？
探索图形的面积等分
问题情境
如图所示，在一块矩形土地
上，有一平行四边形水池，怎样修
一条水渠把土地面积分成相等的两
部分？
A
D
HG
B
C
EF
探索图形的面积等分
困惑与思维突破
困惑：土地被水池占去一部分，剩余的是 不规则图形，怎么平分不规则图形的面积？ 思维突破：原有土地是矩形，水池是平行 四边形，这是两个基本图形的组合图形.
AE
●O1
甲
DB
乙
●O2
CF
探索图形的面积等分
AE
甲
B
●
乙
CF
探索图形的面积等分
A
E
D O
B
F
C
探索图形的面积等分
课后思考： 如果花园形状是任意四边形ABCD，四 边形内部有一条折线小路AEC刚好平分 四边形面积，现在小区的物业公司想把 折线小路修成直线小路，由于各种条件 限制，小路要通过点A，并且只能修在 AC和点E之间，同时还要平分四边形面 积，请你帮助设计？
探索图形的面积等分
A B
A D
CB
A D
CB
D E
C
A B
A
A
D
D
E
E
CB A
D G E
CB F
BF
C
探索图形的面积等分
D G E
C
平分组合图形的面积
问题情境的解决
连接AC和BD
交于O1，连接EG和 A FH交于O2，作直线 O1O2，沿O1O2修水 渠可把土地平分.
D
O1
H
G
B
O2
C
EF
思考：问题就这样轻易解决吗？
如果花园形状是矩形，要求用 一条直线为分界线把这块矩形空地 分成面积相等的两块，应该怎样设 计，才能满足要求？
探索图形的面积等分
除了这几种分法外，还 有其它分法吗？怎么分？
割补 原理
A E
O
FB
探索图形的面积等分
除了这几种分法外，还
有其它分法吗？怎么分？
A
E
O
A
E
O
FB
过矩形中心O的′ 任意一条直线都
等分矩形的面积F 。B
探索图形的面积等分
如果花园形状是平行四边形， 用一条直线为分界线把这块空地分 成面积相等的两块，怎么分？
A
B
●
●
●
C
D
过平行四边形中心的任意 一条直线都等分它的面积。
探索图形的面积等分
如果花园形状是梯形呢？又怎么分
A
ED
A
ED
O
B
F
CB
F
C
E、F分别为梯形上、下底的中 点，只要过EF的中点且与上、下底 相交的直线都可平分梯形面积。
探索图形的面积等分
如果花园是矩形缺一个 角，一条直线将其分成等积 的两块，有几种分法？怎么 分？直线可A以任意E角度吗？
D
B
C
运用转化的思想，将其转化 为已解决的矩形和梯形。
探索图形的面积等分
A
ME
O1
D
探索图形的面积等分
1.知识点
小结
(1)平分三角形面积：找中线；
(2)平分平行四边形面积：找过对称中心的直线；
(3)平分梯形面积: ①找两底中点所在直线； ②等积变形成三角形； ③等积变形成平行四边形；
(4)平分一般四边形：变形成等积的三角形。
2.处理四边形面积问题：把四边形变形成一 个等积的三角形；
O2
B
C
N
A
ME
D
B
C
N
过MN的中点任画一条直线， 只要与AE相交都满足条件。
探索图形的面积等分
如果花园是任意四边形， 一条直线将其分成等积的两 块，有几种分法？怎么分？ 直线可以任A 意角度吗？
D
B
C
运用转化的思想，将其变形
为等积的三角形.
探索图形的面积等分
解题策略： 任意四边形变形为 等积的三角形.
3.遇到实际问题时应该找对应的数学模型， 并用所学的数学知识探索图去形的面解积等分决问题；
探索图形的面积等分
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探索图形的面积等分
要解决怎么平分组合图形的面积， 我们先来研究基本图形平分面积的情况.
探索图形的面积等分
有一块三角形花园，现在物业公 司要对其进行绿化，要求用一条直线为 分界线把这块三角形空地分成面积相等 的两块，一块用来种花，一块用来植绿 色植被，如果你是设计师，你应该怎样 设计，才能满足要求？
A
B
C
探索图形的面积等分