电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第五章习题解答.
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① r 0 时, Az1 (r) 为有限值
②
r
a
时,
Az1 (a)
Az2 (a)
,
Az1 r
ra
Az 2 r
ra
由条件①、②,有
由此可解得 故
C1
0,
1 9
0 J 0a3
C2
ln a
D2
,1 3
0 J0a2
C2
1 a
C2
1 3
0 J0a3
,
D2
1 3
0
J0a3
(
1 3
ln
a)
Az1 (r )
1 9
等效磁荷体密度为
m
M
z
( Az2
B)
2 Az
磁介质球表面的磁化电流面密度为
z
I 1 0 2 x
题 5.8 图
JmS M n ra ez er ( Aa2 cos2 B)
等效磁荷面密度为
e (Aa2 cos2 B)sin
m n M ra er ez (Aa2 cos2 B)
电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第五章习题解答
5.1 真空中直线长电流 I 的磁场中有一等边三角形回路,如题 5.1 图所示,求三角形回路内
的磁通。
解 根据安培环路定理,得到长直导线的电流 I 产生的磁场
z
I
b
x
d
dS
题 5.1 图
B
e
0 I 2 r
穿过三角形回路面积的磁通为
B
dS
0 I
d
半径作一个圆形回路 C ,由安培环路定理,有
I
Im
1 0
C
Bdl
I 0
故得到
Im
( 0
1 I)
在磁介质的表面上,磁化电流面密度为
J mS
M ez z 0
er
( 0 )I 20r
5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 H0 ,若此平面电流回路位于磁导率
分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界平面上,试求两种磁介质中的磁场强度 H1 和 H2 。
Ba
0 J 2 0a2
ra J
ra
2 ra2
ra
a ra a
这里 ra 和 rb 分别是点 oa 和 ob 到场点 P 的位置矢量。
将 Ba 和 Bb 叠加,可得到空间各区域的磁场为
圆柱外:
B
0 2
J
b2 rb2
rb
a2 ra2
ra
(rb b)
圆柱内的空腔外:
B
0 2
J
rb
a2 ra2
又由于
er
2 cos
e
sin
r
3(
cos r2
)
r
3 (
ez er r2
)
故
B
0 pm 4
(
ez er r2
)
0 I 4
(
abez er r2
)
0 I 4
(d
)
5.7 半径为 a 磁介质球,具有磁化强度为
M ez ( Az2 B) 其中 A 和 B 为常数,求磁化电流和等效磁荷。
解 磁介质球内的磁化电流体密度为 Jm M ez (Az2 B) ez ez 2Az 0
ra
(rb b, ra a)
空腔内:
B
0 2
J
rb
ra
0 2
J
d
( ra a)
式中 d 是点和 ob 到点 oa 的位置矢量。由此可见,空腔内的磁场是均匀的。 5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是,求其源变量 J 。
(1) H erar , B 0H (圆柱坐标)
(2) H ex (ay) eyax, B 0H
x y z
a x a y0
(4) 在球坐标系中 B 1 B 1 (ar) 0 r sin r sin
该矢量是磁场的场矢量,其源分布为
er re r sin e
1 J H r2 sin r
era ctag e 2a
0 0 ar2 sin
5.4 由矢量位的表示式 A(r) J (r) d 证明磁感应强度的积分公式
5.5 有一电流分布 J (r) ezrJ0 (r a) ,求矢量位 A(r) 和磁感应强度 B(r) 。
解 由于电流只有 ez 分量,且仅为 r 的函数,故 A(r) 也只有 ez 分量,且仅为 r 的函数,即
A(r) ez Az (r) 。在圆柱坐标系中,由 Az (r) 满足的一维微分方程和边界条件,即可求解出 A(r) , 然后由 B(r) A(r) 可求出 B(r) 。
0 4
1 (ez Iab) ( r )
0 4
r pm ( r3 )
0 pm r 4 r3
(2)由于
A(r) 0 4
pmez
(
r r3
)
e
0 pm 4
sin r2
故
B A er
1 r sin
(sin A ) e
1 r r (rA )
0 pm 4 r3
(er 2 cos
e
sin )
2 3b 2 z [ d z]d x
0 I
d
3b
2
z
dx
S
2 d x 0
dx
由题 5.1 图可知, z (x d ) tan x d ,故得到 63
0I d 3b 2 x d d x 0I [b d ln(1 3b)]
3 d x
2 3
2d
5.2 通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,如题 5.2 图所
解 由于是平面电流回路,当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时,分界面上的磁场只有
法向分量,根据边界条件,有 B1 B2 B 。在分界面两侧作一个小矩形回路,分别就真空和存
在介质两种不同情况,应用安培环路定律即可导出 H1 、 H2 与 H0 的关系。 在分界面两侧,作一个尺寸为 2h l 的小矩形回路,如题 5.9 图所示。根据安培环路定律,
(Aa2 cos2 B) cos
5.8 如题 5.8 所示图,无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界 面,试求:(1)两种磁介质中的磁感应强度 B1 和 B2 ;(2)磁化电流分布。
解 (1)由安培环路定理,可得
I H e 2 r
所以得到
B1
0 H
e
0 I 2 r
根据矢量积分公式 d l d S ,有
C
S
而
( 1 ) ( 1 )
R
R
所以
A(r) 0I d S( 1 )
4 S
R
C
1 R
d l
d
S
S( 1 ) R
对于远区场, r x, r y ,所以 R r ,故
A(r)
0 I 4
S
d S(1) r
0 4
[I
S
d
S ] ( 1 ) r
叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律 B dl 0I ,可得到电流密度为 J 、均匀分布在半径为 b 的圆柱内的电
C
rb J
ra d
a
ob oa
b
题 5.2 图
流产生的磁场为
Bb
0 J 2 0b2
rb J
rb
2 rb2
rb
b rb b
电流密度为 J 、均匀分布在半径为 a 的圆柱内的电流产生的磁场为
B 0I (d ) 4
式中 d abez er 场点对小电流回路所张的立体角。 r2
解 (1)电流回路的矢量位为
A( r) 0I 1 dl
4 C R
式中: R [(x x)2 ( y y)2 z2 ]1 2 [r2 2r sin (xcos ysin ) x2 y2]1 2
(r a)
B2 (r)
A2 (r)
e
0 J0a3 3r
(r a)
5.6 如题 5.6 图所示,边长分别为 a 和 b 、载有电流 I 的小矩形回路。
(1)求远处的任一点 P(x, y, z) 的矢量位 A(r) ,并证明它可以写成
A(r )
0 pm r 4 r3
。
其
中 pm ez Iab ; (2)由 A 求磁感应强度 B ,并证明 B 可以写成
B d S A d S Ad l
S
S
C
(1)
A1 媒质① l
媒质②
h C
A2
题 5.10 图
在媒质分界面上任取一点 P ,围绕点 P 任作一个跨越分界面的狭小矩形回路 C ,其长为 l 、
宽为 h ,如题 5.10 图所示。将式(1)应用于回路 C 上,并令 h 趋于零,得到
Ad l A1 l A2
鉄芯的相对磁导率 r 1400 ,环上绕 N 1000 匝线圈,通过电流 I 0.7A。
(1)计算螺旋管的电感;
(2)在鉄芯上开一个 l0 0.1cm 的空气隙,再计算电感。(假设开口后鉄芯的 r 不变)
(3)求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。
解 (1)由于 a r0 ,可认为圆形截面上的磁场是均匀的,且等于截面的中心处的磁场。
有
H d l H1(P1)h H2 (P1)h H1(P2 )h H2 (P2 )h I
C
因 H 垂直于分界面,所以积分式中 H l 0 。这里 I 为与小矩形回路交链的电流。
对平面电流回路两侧为真空的情况,则有
(1)
H0 d l 2H0 (P1)h 2H0 (P2 )h I
r
(ar 2
)
2a
0
该矢量不是磁场的场矢量。
(2)
B (ay) (ax) 0
x
y
该矢量是磁场的矢量,其源分布为
ex J H
x
ey ez y z ez 2a
a y a x 0
(3)
B (ax) (ay) 0
x
y
该矢量是磁场的场矢量,其源分布为
ex ey ez J H 0
0
J0r3
D1
(r a)
Az
2
(r
)
1 3
0
J0a3
ln
r
1 3
0
J
0a3
(
1 3
ln
a)
(r a)
式中常数 D1 由参考点确定,若令 r 0 时, Az1(r) 0 ,则有 D1 0 。
z P (x, y, z)
r
a
b
y
I x
空间的磁感应强度为
题 5.6 图
B1(r)
A1(r)
e
1 3
0 J0r2
B2
H
e
I 2 r
(2)磁介质在的磁化强度
M
1 0
B2
H
e
( 0 )I 2 0r
则磁化电流体密度
Jm
M
ez
1 r
d dr
(rM )
ez
( 0 )I 2 0
1 r
d d
(r
1) r
0
H1(P1) H 2 (P1 )
l
h
H1 (P2 )H 2 (P2 )
1 2
题 5.9 图
在 r 0 处,B2 具有奇异性,所以在磁介质中 r 0 处存在磁化线电流 I m 。以 z 轴为中心、r 为
4 R
并证明 B 0
B(r )
0 4
J
(r ) R3
R
d
解: B(r) A(r) 0 J (r) d 0 J (r) d 0 J (r) ( 1 ) d
4 R
4
R
4
R
0 J (r) ( R ) d 0 J (r) R d
4
R3
4 R3
B [ A(r)] 0
示。计算各部分的磁感应强度 B ,并证明腔内的磁场是均匀的。
解 将空腔中视为同时存在 J 和 J 的两种电流密度,这样可将原来的电流分布分解为两个
均匀的电流分布:一个电流密度为 J 、均匀分布在半径为 b 的圆柱内,另一个电流密度为 J 、
均匀分布在半径为 a 的圆柱内。由安培环路定律,分别求出两个均匀分布电流的磁场,然后进行
l lim h0
B dS
S
C
由于 B 为有限值,上式右端等于零,所以
A1 l A2 l 0 由于矢量 l 平行于分界面,故有
A1t A2t
5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场 B0 中,并使它们的轴与 B0 平行,
(铁的磁导率为 )。求两样品内的 B 和 H ;若已知 B0 1T 、 50000 ,求两样品内的磁 化强度 M 。
记 r a 和 r a 的矢量位分别为 A1(r) 和 A2 (r) 。由于在 r a 时电流为零,所以
2
Az1(r)
1 r
r
(r
Az1 r
)
0
J0r
(r a)
由此可解得
2
Az 2
(r)
1 r
r
ห้องสมุดไป่ตู้
(r
Az 2 r
)
0
(r a)
Az1
(r
)
1 9
0
J
0
r
3
C1
ln
r
D1
Az2 (r) C2 ln r D2 Az1 (r) 和 Az2 (r) 满足的边界条件为
解 对于极细的圆铁杆样品,根据边界条件 H1t H2t ,有
H H0 B0 0
B
H
0
B0
B
1
4999
M
0
H
0
( 0
1)B0
0
对于很薄的圆铁盘样品,根据边界条件 B1n B2n ,有
B B0
H B B0
M
B 0
H
(1 0
1
)
B0
4999 50000
5.12 如题 5.12 图所示,一环形螺线管的平均半径 r0 15 cm,其圆形截面的半径 a 2 cm,
C
由于 P1 和 P2 是分界面上任意两点,由式(1)和(2)可得到 H1 H2 2H0
即
B 1
B 2
2H0
于是得到
B
212 1 2
H0
(2)
故有 5.10
H1
B 1
22 1 2
H0
H2
B 2
21 1 2
H0
证明:在不同介质分界面上矢量位 A 的切向分量是连续的。
解 由 B A得 n
(3) H exax eyay, B 0H
(4) H ear , B 0H (球坐标系) 解 根据恒定磁场的基本性质,满足 B 0 的矢量函数才可能是磁场的场矢量,否则, 不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量,则可由 J H 求出源分布。
(1)在圆柱坐标中
B
1 r
r
(rBr
)
1 r
②
r
a
时,
Az1 (a)
Az2 (a)
,
Az1 r
ra
Az 2 r
ra
由条件①、②,有
由此可解得 故
C1
0,
1 9
0 J 0a3
C2
ln a
D2
,1 3
0 J0a2
C2
1 a
C2
1 3
0 J0a3
,
D2
1 3
0
J0a3
(
1 3
ln
a)
Az1 (r )
1 9
等效磁荷体密度为
m
M
z
( Az2
B)
2 Az
磁介质球表面的磁化电流面密度为
z
I 1 0 2 x
题 5.8 图
JmS M n ra ez er ( Aa2 cos2 B)
等效磁荷面密度为
e (Aa2 cos2 B)sin
m n M ra er ez (Aa2 cos2 B)
电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第五章习题解答
5.1 真空中直线长电流 I 的磁场中有一等边三角形回路,如题 5.1 图所示,求三角形回路内
的磁通。
解 根据安培环路定理,得到长直导线的电流 I 产生的磁场
z
I
b
x
d
dS
题 5.1 图
B
e
0 I 2 r
穿过三角形回路面积的磁通为
B
dS
0 I
d
半径作一个圆形回路 C ,由安培环路定理,有
I
Im
1 0
C
Bdl
I 0
故得到
Im
( 0
1 I)
在磁介质的表面上,磁化电流面密度为
J mS
M ez z 0
er
( 0 )I 20r
5.9 已知一个平面电流回路在真空中产生的磁场强度为 H0 ,若此平面电流回路位于磁导率
分别为 1 和 2 的两种均匀磁介质的分界平面上,试求两种磁介质中的磁场强度 H1 和 H2 。
Ba
0 J 2 0a2
ra J
ra
2 ra2
ra
a ra a
这里 ra 和 rb 分别是点 oa 和 ob 到场点 P 的位置矢量。
将 Ba 和 Bb 叠加,可得到空间各区域的磁场为
圆柱外:
B
0 2
J
b2 rb2
rb
a2 ra2
ra
(rb b)
圆柱内的空腔外:
B
0 2
J
rb
a2 ra2
又由于
er
2 cos
e
sin
r
3(
cos r2
)
r
3 (
ez er r2
)
故
B
0 pm 4
(
ez er r2
)
0 I 4
(
abez er r2
)
0 I 4
(d
)
5.7 半径为 a 磁介质球,具有磁化强度为
M ez ( Az2 B) 其中 A 和 B 为常数,求磁化电流和等效磁荷。
解 磁介质球内的磁化电流体密度为 Jm M ez (Az2 B) ez ez 2Az 0
ra
(rb b, ra a)
空腔内:
B
0 2
J
rb
ra
0 2
J
d
( ra a)
式中 d 是点和 ob 到点 oa 的位置矢量。由此可见,空腔内的磁场是均匀的。 5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场?如果是,求其源变量 J 。
(1) H erar , B 0H (圆柱坐标)
(2) H ex (ay) eyax, B 0H
x y z
a x a y0
(4) 在球坐标系中 B 1 B 1 (ar) 0 r sin r sin
该矢量是磁场的场矢量,其源分布为
er re r sin e
1 J H r2 sin r
era ctag e 2a
0 0 ar2 sin
5.4 由矢量位的表示式 A(r) J (r) d 证明磁感应强度的积分公式
5.5 有一电流分布 J (r) ezrJ0 (r a) ,求矢量位 A(r) 和磁感应强度 B(r) 。
解 由于电流只有 ez 分量,且仅为 r 的函数,故 A(r) 也只有 ez 分量,且仅为 r 的函数,即
A(r) ez Az (r) 。在圆柱坐标系中,由 Az (r) 满足的一维微分方程和边界条件,即可求解出 A(r) , 然后由 B(r) A(r) 可求出 B(r) 。
0 4
1 (ez Iab) ( r )
0 4
r pm ( r3 )
0 pm r 4 r3
(2)由于
A(r) 0 4
pmez
(
r r3
)
e
0 pm 4
sin r2
故
B A er
1 r sin
(sin A ) e
1 r r (rA )
0 pm 4 r3
(er 2 cos
e
sin )
2 3b 2 z [ d z]d x
0 I
d
3b
2
z
dx
S
2 d x 0
dx
由题 5.1 图可知, z (x d ) tan x d ,故得到 63
0I d 3b 2 x d d x 0I [b d ln(1 3b)]
3 d x
2 3
2d
5.2 通过电流密度为 J 的均匀电流的长圆柱导体中有一平行的圆柱形空腔,如题 5.2 图所
解 由于是平面电流回路,当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时,分界面上的磁场只有
法向分量,根据边界条件,有 B1 B2 B 。在分界面两侧作一个小矩形回路,分别就真空和存
在介质两种不同情况,应用安培环路定律即可导出 H1 、 H2 与 H0 的关系。 在分界面两侧,作一个尺寸为 2h l 的小矩形回路,如题 5.9 图所示。根据安培环路定律,
(Aa2 cos2 B) cos
5.8 如题 5.8 所示图,无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界 面,试求:(1)两种磁介质中的磁感应强度 B1 和 B2 ;(2)磁化电流分布。
解 (1)由安培环路定理,可得
I H e 2 r
所以得到
B1
0 H
e
0 I 2 r
根据矢量积分公式 d l d S ,有
C
S
而
( 1 ) ( 1 )
R
R
所以
A(r) 0I d S( 1 )
4 S
R
C
1 R
d l
d
S
S( 1 ) R
对于远区场, r x, r y ,所以 R r ,故
A(r)
0 I 4
S
d S(1) r
0 4
[I
S
d
S ] ( 1 ) r
叠加即可得到圆柱内外的磁场。
由安培环路定律 B dl 0I ,可得到电流密度为 J 、均匀分布在半径为 b 的圆柱内的电
C
rb J
ra d
a
ob oa
b
题 5.2 图
流产生的磁场为
Bb
0 J 2 0b2
rb J
rb
2 rb2
rb
b rb b
电流密度为 J 、均匀分布在半径为 a 的圆柱内的电流产生的磁场为
B 0I (d ) 4
式中 d abez er 场点对小电流回路所张的立体角。 r2
解 (1)电流回路的矢量位为
A( r) 0I 1 dl
4 C R
式中: R [(x x)2 ( y y)2 z2 ]1 2 [r2 2r sin (xcos ysin ) x2 y2]1 2
(r a)
B2 (r)
A2 (r)
e
0 J0a3 3r
(r a)
5.6 如题 5.6 图所示,边长分别为 a 和 b 、载有电流 I 的小矩形回路。
(1)求远处的任一点 P(x, y, z) 的矢量位 A(r) ,并证明它可以写成
A(r )
0 pm r 4 r3
。
其
中 pm ez Iab ; (2)由 A 求磁感应强度 B ,并证明 B 可以写成
B d S A d S Ad l
S
S
C
(1)
A1 媒质① l
媒质②
h C
A2
题 5.10 图
在媒质分界面上任取一点 P ,围绕点 P 任作一个跨越分界面的狭小矩形回路 C ,其长为 l 、
宽为 h ,如题 5.10 图所示。将式(1)应用于回路 C 上,并令 h 趋于零,得到
Ad l A1 l A2
鉄芯的相对磁导率 r 1400 ,环上绕 N 1000 匝线圈,通过电流 I 0.7A。
(1)计算螺旋管的电感;
(2)在鉄芯上开一个 l0 0.1cm 的空气隙,再计算电感。(假设开口后鉄芯的 r 不变)
(3)求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。
解 (1)由于 a r0 ,可认为圆形截面上的磁场是均匀的,且等于截面的中心处的磁场。
有
H d l H1(P1)h H2 (P1)h H1(P2 )h H2 (P2 )h I
C
因 H 垂直于分界面,所以积分式中 H l 0 。这里 I 为与小矩形回路交链的电流。
对平面电流回路两侧为真空的情况,则有
(1)
H0 d l 2H0 (P1)h 2H0 (P2 )h I
r
(ar 2
)
2a
0
该矢量不是磁场的场矢量。
(2)
B (ay) (ax) 0
x
y
该矢量是磁场的矢量,其源分布为
ex J H
x
ey ez y z ez 2a
a y a x 0
(3)
B (ax) (ay) 0
x
y
该矢量是磁场的场矢量,其源分布为
ex ey ez J H 0
0
J0r3
D1
(r a)
Az
2
(r
)
1 3
0
J0a3
ln
r
1 3
0
J
0a3
(
1 3
ln
a)
(r a)
式中常数 D1 由参考点确定,若令 r 0 时, Az1(r) 0 ,则有 D1 0 。
z P (x, y, z)
r
a
b
y
I x
空间的磁感应强度为
题 5.6 图
B1(r)
A1(r)
e
1 3
0 J0r2
B2
H
e
I 2 r
(2)磁介质在的磁化强度
M
1 0
B2
H
e
( 0 )I 2 0r
则磁化电流体密度
Jm
M
ez
1 r
d dr
(rM )
ez
( 0 )I 2 0
1 r
d d
(r
1) r
0
H1(P1) H 2 (P1 )
l
h
H1 (P2 )H 2 (P2 )
1 2
题 5.9 图
在 r 0 处,B2 具有奇异性,所以在磁介质中 r 0 处存在磁化线电流 I m 。以 z 轴为中心、r 为
4 R
并证明 B 0
B(r )
0 4
J
(r ) R3
R
d
解: B(r) A(r) 0 J (r) d 0 J (r) d 0 J (r) ( 1 ) d
4 R
4
R
4
R
0 J (r) ( R ) d 0 J (r) R d
4
R3
4 R3
B [ A(r)] 0
示。计算各部分的磁感应强度 B ,并证明腔内的磁场是均匀的。
解 将空腔中视为同时存在 J 和 J 的两种电流密度,这样可将原来的电流分布分解为两个
均匀的电流分布:一个电流密度为 J 、均匀分布在半径为 b 的圆柱内,另一个电流密度为 J 、
均匀分布在半径为 a 的圆柱内。由安培环路定律,分别求出两个均匀分布电流的磁场,然后进行
l lim h0
B dS
S
C
由于 B 为有限值,上式右端等于零,所以
A1 l A2 l 0 由于矢量 l 平行于分界面,故有
A1t A2t
5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场 B0 中,并使它们的轴与 B0 平行,
(铁的磁导率为 )。求两样品内的 B 和 H ;若已知 B0 1T 、 50000 ,求两样品内的磁 化强度 M 。
记 r a 和 r a 的矢量位分别为 A1(r) 和 A2 (r) 。由于在 r a 时电流为零,所以
2
Az1(r)
1 r
r
(r
Az1 r
)
0
J0r
(r a)
由此可解得
2
Az 2
(r)
1 r
r
ห้องสมุดไป่ตู้
(r
Az 2 r
)
0
(r a)
Az1
(r
)
1 9
0
J
0
r
3
C1
ln
r
D1
Az2 (r) C2 ln r D2 Az1 (r) 和 Az2 (r) 满足的边界条件为
解 对于极细的圆铁杆样品,根据边界条件 H1t H2t ,有
H H0 B0 0
B
H
0
B0
B
1
4999
M
0
H
0
( 0
1)B0
0
对于很薄的圆铁盘样品,根据边界条件 B1n B2n ,有
B B0
H B B0
M
B 0
H
(1 0
1
)
B0
4999 50000
5.12 如题 5.12 图所示,一环形螺线管的平均半径 r0 15 cm,其圆形截面的半径 a 2 cm,
C
由于 P1 和 P2 是分界面上任意两点,由式(1)和(2)可得到 H1 H2 2H0
即
B 1
B 2
2H0
于是得到
B
212 1 2
H0
(2)
故有 5.10
H1
B 1
22 1 2
H0
H2
B 2
21 1 2
H0
证明:在不同介质分界面上矢量位 A 的切向分量是连续的。
解 由 B A得 n
(3) H exax eyay, B 0H
(4) H ear , B 0H (球坐标系) 解 根据恒定磁场的基本性质,满足 B 0 的矢量函数才可能是磁场的场矢量,否则, 不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量,则可由 J H 求出源分布。
(1)在圆柱坐标中
B
1 r
r
(rBr
)
1 r