电磁场与电磁波(第四版)谢处方 第五章习题解答.

l lim h0
B dS
S
C
由于 B 为有限值，上式右端等于零，所以
A1 l A2 l 0 由于矢量 l 平行于分界面，故有
A1t A2t
5.11 一根极细的圆铁杆和一个很薄的圆铁盘样品放在磁场 B0 中，并使它们的轴与 B0 平行，
（铁的磁导率为 ）。求两样品内的 B 和 H ；若已知 B0 1T 、 50000 ，求两样品内的磁 化强度 M 。
B d S A d S Ad l
S
S
C
（1）
A1 媒质① l
媒质②
h C
A2
题 5.10 图
在媒质分界面上任取一点 P ，围绕点 P 任作一个跨越分界面的狭小矩形回路 C ，其长为 l 、
宽为 h ，如题 5.10 图所示。将式（1）应用于回路 C 上，并令 h 趋于零，得到
Ad l A1 l A2
ra
(rb b, ra a)
空腔内：
B
0 2
J
rb
ra
0 2
J
d
( ra a)
式中 d 是点和 ob 到点 oa 的位置矢量。由此可见，空腔内的磁场是均匀的。 5.3 下面的矢量函数中哪些可能是磁场？如果是，求其源变量 J 。
(1) H erar , B 0H （圆柱坐标）
(2) H ex (ay) eyax, B 0H
(Aa2 cos2 B) cos
5.8 如题 5.8 所示图，无限长直线电流 I 垂直于磁导率分别为 1 和 2 的两种磁介质的分界 面，试求：（1）两种磁介质中的磁感应强度 B1 和 B2 ；（2）磁化电流分布。
解 （1）由安培环路定理，可得
I H e 2 r
所以得到
B1
0 H
e
0 I 2 r
解 由于是平面电流回路，当其位于两种均匀磁介质的分界平面上时，分界面上的磁场只有
法向分量，根据边界条件，有 B1 B2 B 。在分界面两侧作一个小矩形回路，分别就真空和存
在介质两种不同情况，应用安培环路定律即可导出 H1 、 H2 与 H0 的关系。 在分界面两侧，作一个尺寸为 2h l 的小矩形回路，如题 5.9 图所示。根据安培环路定律，
r
(ar 2
)
2a
0
该矢量不是磁场的场矢量。
（2）
B (ay) (ax) 0
x
y
该矢量是磁场的矢量，其源分布为
ex J H
x
ey ez y z ez 2a
a y a x 0
（3）
B (ax) (ay) 0
x
y
该矢量是磁场的场矢量，其源分布为
ex ey ez J H 0
Ba
0 J 2 0a2
ra J
ra
2 ra2
ra
a ra a
这里 ra 和 rb 分别是点 oa 和 ob 到场点 P 的位置矢量。
将 Ba 和 Bb 叠加，可得到空间各区域的磁场为
圆柱外：
B
0 2
J
b2 rb2
rb
a2 ra2
ra
(rb b)
圆柱内的空腔外：
B
0 2
J
rb
a2 ra2
B 0I (d ) 4
式中 d abez er 场点对小电流回路所张的立体角。 r2
解 （1）电流回路的矢量位为
A( r) 0I 1 dl
4 C R
式中： R [(x x)2 ( y y)2 z2 ]1 2 [r2 2r sin (xcos ysin ) x2 y2]1 2
记 r a 和 r a 的矢量位分别为 A1(r) 和 A2 (r) 。由于在 r a 时电流为零，所以
2
Az1(r)
1 r
r
(r
Az1 r
)
0
J0r
（r a）
由此可解得
2
Az 2
(r)
1 r
r
(r
Az 2 r
)
0
（r a）
Az1
(r
)
1 9
0
J
0
r
3
C1
ln
r
D1
Az2 (r) C2 ln r D2 Az1 (r) 和 Az2 (r) 满足的边界条件为
又由于
er
2 cos
e
sin
r
3(
cos r2
)
r
3 (
ez er r2
)
故
B
0 pm 4
(
ez er r2
)
0 I 4
(
abez er r2
)
0 I 4
(d
)
5.7 半径为 a 磁介质球，具有磁化强度为
M ez ( Az2 B) 其中 A 和 B 为常数，求磁化电流和等效磁荷。
解 磁介质球内的磁化电流体密度为 Jm M ez (Az2 B) ez ez 2Az 0
5.5 有一电流分布 J (r) ezrJ0 (r a) ，求矢量位 A(r) 和磁感应强度 B(r) 。
解 由于电流只有 ez 分量，且仅为 r 的函数，故 A(r) 也只有 ez 分量，且仅为 r 的函数，即
A(r) ez Az (r) 。在圆柱坐标系中，由 Az (r) 满足的一维微分方程和边界条件，即可求解出 A(r) ， 然后由 B(r) A(r) 可求出 B(r) 。
鉄芯的相对磁导率 r 1400 ，环上绕 N 1000 匝线圈，通过电流 I 0.7A。
（1）计算螺旋管的电感；
（2）在鉄芯上开一个 l0 0.1cm 的空气隙，再计算电感。（假设开口后鉄芯的 r 不变）
（3）求空气隙和鉄芯内的磁场能量的比值。
解 （1）由于 a r0 ，可认为圆形截面上的磁场是均匀的，且等于截面的中心处的磁场。
(3) H exax eyay, B 0H
(4) H ear , B 0H （球坐标系） 解 根据恒定磁场的基本性质，满足 B 0 的矢量函数才可能是磁场的场矢量，否则， 不是磁场的场矢量。若是磁场的场矢量，则可由 J H 求出源分布。
（1）在圆柱坐标中
B
1 r
r
(rBr
)
1 r
① r 0 时， Az1 (r) 为有限值
②
r
a
时，
Az1 (a)
Az2 (a)
，
Az1 r
ra
Az 2 r
ra
由条件①、②，有
由此可解得 故
C1
0，
1 9
0 J 0a3
C2
ln a
D2
，1 3
0 J0a2
C2
1 a
C2
1 3
0 J0a3
，
D2
1 3
0
J0a3
(
1 3
ln
a)
Az1 (r )
1 9
（r a）
B2 (r)
A2 (r)
e
0 J0a3 3r
（r a）
5.6 如题 5.6 图所示，边长分别为 a 和 b 、载有电流 I 的小矩形回路。
（1）求远处的任一点 P(x, y, z) 的矢量位 A(r) ，并证明它可以写成
A(r )
0 pm r 4 r3
。
其
中 pm ez Iab ； （2）由 A 求磁感应强度 B ，并证明 B 可以写成
B2
H
e
I 2 r
（2）磁介质在的磁化强度
M
1 0
B2
H
e
( 0 )I 2 0r
则磁化电流体密度

Jm
M
ez
1 r
d dr
(rM )
ez
( 0 )I 2 0
1 r
d d
(r
1) r
0
H1(P1) H 2 (P1 )
l
h
H1 (P2 )H 2 (P2 )
1 2
题 5.9 图
在 r 0 处，B2 具有奇异性，所以在磁介质中 r 0 处存在磁化线电流 I m 。以 z 轴为中心、r 为
0 4
1 (ez Iab) ( r )
0 4
r pm ( r3 )
0 pm r 4 r3
（2）由于
A(r) 0 4
pmez
(
r r3
)
e
0 pm 4
sin r2
故
B A er
1 r sin
(sin A ) e
1 r r (rA )
0 pm 4 r3
(er 2 cos
e
sin )
0
J0r3
D1
（r a）
Az
2
(r
)
1 3
0
J0a3
ln
r
1 3
0
J
0a3
(
1 3
ln
a)
（r a）
式中常数 D1 由参考点确定，若令 r 0 时， Az1(r) 0 ，则有 D1 0 。
z P (x, y, z)
r
a
b
y
I x
空间的磁感应强度为
题 5.6 图
B1(r)
A1(r)
e
1 3
0 J0r2
解 对于极细的圆铁杆样品，根据边界条件 H1t H2t ，有
H H0 B0 0
B
H
0
B0
B
1
4999
M
0
H
0
( 0
1)B0
0
对于很薄的圆铁盘样品，根据边界条件 B1n B2n ，有
B B0
H B B0
M
B 0