利用最小二乘法的曲线拟合
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令
w 1 / y , z 1 / x,
则得
w a bz
34
例题
例3.4 给定实验数据 x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
y
5.10 5.79 6.53 7.45 8.46
bx y ae 试求形如 的拟合函数。
35
例题
解 对拟合函数的两边取自然对数，即
ln y ln a bx
解得
a0 268.010, a1 13.171, a2 0.163
于是所求拟合曲线为
p2 ( x) 268.010 13.171x 0.163 x
2
14
线性矛盾方程组
方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程 组，一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1m xm b1 a x a x a x b nm m n n1 1 n 2 2
d (e e) T 2 A (b Ax) 0 dx
T
A (b Ax) 0
T
17
线性矛盾方程组（续）
A Ax A b 0
T T
A Ax A b
T T
(3.13)
该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾 方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。
18
例题
8
例题
解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取
p2 ( x) a0 a1 x a2 x
2
9
例题
a0 37a1 37 a2 3.40
2
a0 38a1 38 a2 3.00
2
a0 39a1 39 a2 2.10
2
a0 40a1 40 a2 1.53
2
11
例题
得到的方程组称为矛盾方程组。令
1 1 1 A 1 1 1 1
37 37 2 38 38 39 392 2 40 40 , 41 412 2 42 42 2 43 43
2
a0 w a1 , a 2
wenku.baidu.com
20
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
1 x0 1 x1 A 1 x6
2 x0 2 x1 2 x6
y0 y 1 y y3
a0 w a1 a 2
21
w A bz
30
非线性最小二乘拟合
bx y ae （ 2）
两边取自然对数，得
ln y ln a bx
令 w ln y , A ln a , z x , 则得 w A bz
31
非线性最小二乘拟合（续）
x y ab （ 3）
两边取对数，得
lg y lg a x lg b
第3章
函数逼近
§3.1 曲线拟合的最小二乘法
1
§3.1 曲线拟合的最小二乘法 问题的提出
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应 拉伸倍数的记录。 • 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标 纸上标出各点，可以发现什么?
2
数据表格
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拉伸倍数 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6 强度 kg/mm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5 编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 拉伸倍数 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0 强度 kg/mm2 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
即
15
线性矛盾方程组（续）
Ax＝b
（3.11）
A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维 的列向量, b是 n维的列向量,
剩余向量 e b Ax
e e e 2 b Ax 2 min
T
2
2
（3.12）
16
线性矛盾方程组（续）
e e (b Ax) (b Ax)
T T
令
w lg y , A lg a , B lg b , z x , 则得 w A Bz
32
非线性最小二乘拟合（续）
1 （ 4） y ax b
令 w 1 / y , z x , 则得
w az b
33
非线性最小二乘拟合（续）
x （ 5） y ax b
5
偏差
设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记
ei ( xi ) yi
并称ei为偏差。
(i 0,1,2,, n),
6
最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和
最小为标准
E ei2 w( xi )[( xi ) yi ]2 min
令
w ln y , A ln a , z x ,
则上式 成为关于A，b 的线性函数
w A bz
36
例题
根据数据(x , y) 算出对应的(z , w) , 得下表 z w 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353
T T
即
4 a 45 46 4 1.3525 b 2.55
解得
a 1.537650114 b 6.432976311
于是所求拟合曲线为
y 1.537650 x 6.432976 / x
27 27
非线性最小二乘拟合
已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3， 46)，试用最小二乘法求形如
3
数据图
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12
4
曲线拟合
已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是 通过观测而得到的，经常带有观测误差。
曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映 结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较 大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函 数(x)与被逼近函数 f(x)在区间[a,b]上的偏差满 足其种要求即可。
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
x0 x 1 A x2 x3
1 / x0 1 / x1 1 / x2 1 / x3
y0 y 1 y y2 y3
a w b
26
例题
其法方程为
A Aw A y
上的经验公式。
b ( x) ax x
24
例题
解：记
x0 1, y0 5; x1 2, y1 0; x2 4, y2 5; x3 5, y3 6;
按题意，得矛盾方程组，
axi b xi yi
写成矩阵形式，为
(i 0,1,2,3)
25 25
例题
建立法方程
7.5 A 9.4052 5 7.5 11.875 b 14.4239
37
例题
解得
A 1.1225 , b 0.5057 , a e A 3.0725
因此，所求的拟合函数为
y 3.0725e 0.5057 x
i 0 i 0
n
n
( x ) a j j ( x )
j 0
m
7
例题
例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有 如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲 线y=P(x)。 i x y 0 37 1 38 2 39 3 40 4 41 5 42 6 43
3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90
sin( 37) cos( 37) 5 10 sin( 38) cos( 38) 3.40 5 10 3.00 sin( 39) cos( 39) a 2.10 5 10 0 a 1.53 sin( 40) cos( 40) 1 5 10 a 1.80 2 sin( 41) cos( 41) 5 10 1.90 2.90 sin( 42) cos( 42) 5 10 sin( 43) cos( 43) 5 10
例3.2 对例3.2中的数据，试求形如
( x) a0 a1 sin
的拟合函数。
5
x a2 cos
10
x
解：按题意，得矛盾方程组，
a0 a1 sin( xi ) a2 cos( xi ) yi 5 10
i 0,1,2 ,6
19
例题
1 1 1 1 1 1 1
y ax
b
上的经验公式。
28
非线性最小二乘拟合
5 a 1
b b b
21 a 2
46 a 3
得到的是非线性方程组，求解通常
比较困难。
29
非线性最小二乘拟合
y ax （ 1）
b
两边取对数，得
lg y lg a b lg x
令 w lg y , A lg a , z lg x , 则得
38
本章小结
最小二乘法曲线拟和是实验数据处理的常用方
法。对于非线性最小二乘拟合，需首先转化为
线性最小二乘拟合后求解。
39
40
22
例题
解出
a0 5.289 , a1 0.394 , a2 3.581
因此所求的拟合函数为
( x) 5.289 0.394 sin
5
x 3.581cos
10
x
23 23
例题
例3.3 已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，
试用最小二乘法求形如
3.40 3.00 2.10 b 1.53 1.80 1.90 2.90 12
例题
得
Aw b
上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 A
T
AT Aw AT b
即
13
例题
280 11228 a0 16.63 7 280 11228 451360 a 661 . 2 1 a 26368.2 11228 451360 18188996 2
例题
其法方程为
A Aw A y
T T
即
0.0 5.6957 a0 16.6300 7 0.0 4 . 3090 0 . 0 a 1 . 6980 1 a 12.9064 5 . 6957 0 . 0 4 . 8090 2
2
a0 41a1 41 a2 1.80
2
a0 42a1 42 a2 1.90
2
a0 43a1 43 a2 2.90
2
10
例题
1 1 1 1 1 1 1
37 37 3.40 3.00 2 38 38 2 39 39 a0 2.10 2 40 40 a1 1.53 2 a 1.80 41 41 2 2 42 42 1.90 2 2.90 43 43
w 1 / y , z 1 / x,
则得
w a bz
34
例题
例3.4 给定实验数据 x 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00
y
5.10 5.79 6.53 7.45 8.46
bx y ae 试求形如 的拟合函数。
35
例题
解 对拟合函数的两边取自然对数，即
ln y ln a bx
解得
a0 268.010, a1 13.171, a2 0.163
于是所求拟合曲线为
p2 ( x) 268.010 13.171x 0.163 x
2
14
线性矛盾方程组
方程个数大于未知量个数的方程组称为矛盾方程 组，一般形式为
a11 x1 a12 x2 a1m xm b1 a x a x a x b nm m n n1 1 n 2 2
d (e e) T 2 A (b Ax) 0 dx
T
A (b Ax) 0
T
17
线性矛盾方程组（续）
A Ax A b 0
T T
A Ax A b
T T
(3.13)
该式称为方程组Ax＝b 的法方程。因此，求解n阶矛盾 方程组的问题转化求解m阶线性方程组的问题。
18
例题
8
例题
解 将数据标在坐标纸上，由散点图可以 推断他们大致分布在一条抛物线上。为 此取
p2 ( x) a0 a1 x a2 x
2
9
例题
a0 37a1 37 a2 3.40
2
a0 38a1 38 a2 3.00
2
a0 39a1 39 a2 2.10
2
a0 40a1 40 a2 1.53
2
11
例题
得到的方程组称为矛盾方程组。令
1 1 1 A 1 1 1 1
37 37 2 38 38 39 392 2 40 40 , 41 412 2 42 42 2 43 43
2
a0 w a1 , a 2
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20
例题
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
1 x0 1 x1 A 1 x6
2 x0 2 x1 2 x6
y0 y 1 y y3
a0 w a1 a 2
21
w A bz
30
非线性最小二乘拟合
bx y ae （ 2）
两边取自然对数，得
ln y ln a bx
令 w ln y , A ln a , z x , 则得 w A bz
31
非线性最小二乘拟合（续）
x y ab （ 3）
两边取对数，得
lg y lg a x lg b
第3章
函数逼近
§3.1 曲线拟合的最小二乘法
1
§3.1 曲线拟合的最小二乘法 问题的提出
• 某种合成纤维的强度与其拉伸倍数有直接关系， 下表是实际测定的24个纤维样品的强度与相应 拉伸倍数的记录。 • 提示：将拉伸倍数作为x, 强度作为y,在座标 纸上标出各点，可以发现什么?
2
数据表格
编号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 拉伸倍数 1.9 2.0 2.1 2.5 2.7 2.7 3.5 3.5 4.0 4.0 4.5 4.6 强度 kg/mm2 1.4 1.3 1.8 2.5 2.8 2.5 3.0 2.7 4.0 3.5 4.2 3.5 编号 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 拉伸倍数 5.0 5.2 6.0 6.3 6.5 7.1 8.0 8.0 8.9 9.0 9.5 10.0 强度 kg/mm2 5.5 5.0 5.5 6.4 6.0 5.3 6.5 7.0 8.5 8.0 8.1 8.1
即
15
线性矛盾方程组（续）
Ax＝b
（3.11）
A是 n ×m阶的列满秩矩阵, x是 m维 的列向量, b是 n维的列向量,
剩余向量 e b Ax
e e e 2 b Ax 2 min
T
2
2
（3.12）
16
线性矛盾方程组（续）
e e (b Ax) (b Ax)
T T
令
w lg y , A lg a , B lg b , z x , 则得 w A Bz
32
非线性最小二乘拟合（续）
1 （ 4） y ax b
令 w 1 / y , z x , 则得
w az b
33
非线性最小二乘拟合（续）
x （ 5） y ax b
5
偏差
设给定数据点 (xi,yi), (i=0,1,2, …,n),记
ei ( xi ) yi
并称ei为偏差。
(i 0,1,2,, n),
6
最小二乘法
曲线拟合的最小二乘法：以使得偏差的平方和
最小为标准
E ei2 w( xi )[( xi ) yi ]2 min
令
w ln y , A ln a , z x ,
则上式 成为关于A，b 的线性函数
w A bz
36
例题
根据数据(x , y) 算出对应的(z , w) , 得下表 z w 1.00 1.25 1.50 1.75 2.00 1.6292 1.7561 1.8764 2.0082 2.1353
T T
即
4 a 45 46 4 1.3525 b 2.55
解得
a 1.537650114 b 6.432976311
于是所求拟合曲线为
y 1.537650 x 6.432976 / x
27 27
非线性最小二乘拟合
已知观测数据(1，5)，(2，21)，(3， 46)，试用最小二乘法求形如
3
数据图
9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 0 2 4 6 8 10 12
4
曲线拟合
已知的离散数据yi=f(xi) (i=0,1,2, …,n)往往是 通过观测而得到的，经常带有观测误差。
曲线拟合：希望找到—条曲线，它既能反映 结定数据的总体分布形式，又不致于出现局部较 大的波动。这种逼近方式．只要所构造的逼近函 数(x)与被逼近函数 f(x)在区间[a,b]上的偏差满 足其种要求即可。
写成矩阵形式，为
Aw y
其中
x0 x 1 A x2 x3
1 / x0 1 / x1 1 / x2 1 / x3
y0 y 1 y y2 y3
a w b
26
例题
其法方程为
A Aw A y
上的经验公式。
b ( x) ax x
24
例题
解：记
x0 1, y0 5; x1 2, y1 0; x2 4, y2 5; x3 5, y3 6;
按题意，得矛盾方程组，
axi b xi yi
写成矩阵形式，为
(i 0,1,2,3)
25 25
例题
建立法方程
7.5 A 9.4052 5 7.5 11.875 b 14.4239
37
例题
解得
A 1.1225 , b 0.5057 , a e A 3.0725
因此，所求的拟合函数为
y 3.0725e 0.5057 x
i 0 i 0
n
n
( x ) a j j ( x )
j 0
m
7
例题
例3.1 某合金成分x与膨胀系数y之间的关系有 如下实验数据，求膨胀系数y与成分x的拟合曲 线y=P(x)。 i x y 0 37 1 38 2 39 3 40 4 41 5 42 6 43
3.40 3.00 2.10 1.53 1.80 1.90 2.90
sin( 37) cos( 37) 5 10 sin( 38) cos( 38) 3.40 5 10 3.00 sin( 39) cos( 39) a 2.10 5 10 0 a 1.53 sin( 40) cos( 40) 1 5 10 a 1.80 2 sin( 41) cos( 41) 5 10 1.90 2.90 sin( 42) cos( 42) 5 10 sin( 43) cos( 43) 5 10
例3.2 对例3.2中的数据，试求形如
( x) a0 a1 sin
的拟合函数。
5
x a2 cos
10
x
解：按题意，得矛盾方程组，
a0 a1 sin( xi ) a2 cos( xi ) yi 5 10
i 0,1,2 ,6
19
例题
1 1 1 1 1 1 1
y ax
b
上的经验公式。
28
非线性最小二乘拟合
5 a 1
b b b
21 a 2
46 a 3
得到的是非线性方程组，求解通常
比较困难。
29
非线性最小二乘拟合
y ax （ 1）
b
两边取对数，得
lg y lg a b lg x
令 w lg y , A lg a , z lg x , 则得
38
本章小结
最小二乘法曲线拟和是实验数据处理的常用方
法。对于非线性最小二乘拟合，需首先转化为
线性最小二乘拟合后求解。
39
40
22
例题
解出
a0 5.289 , a1 0.394 , a2 3.581
因此所求的拟合函数为
( x) 5.289 0.394 sin
5
x 3.581cos
10
x
23 23
例题
例3.3 已知观测数据(1，-5)，(2，0)，(4，5)，(5，6)，
试用最小二乘法求形如
3.40 3.00 2.10 b 1.53 1.80 1.90 2.90 12
例题
得
Aw b
上述方程组称为矛盾方程组。两边同乘以 A
T
AT Aw AT b
即
13
例题
280 11228 a0 16.63 7 280 11228 451360 a 661 . 2 1 a 26368.2 11228 451360 18188996 2
例题
其法方程为
A Aw A y
T T
即
0.0 5.6957 a0 16.6300 7 0.0 4 . 3090 0 . 0 a 1 . 6980 1 a 12.9064 5 . 6957 0 . 0 4 . 8090 2
2
a0 41a1 41 a2 1.80
2
a0 42a1 42 a2 1.90
2
a0 43a1 43 a2 2.90
2
10
例题
1 1 1 1 1 1 1
37 37 3.40 3.00 2 38 38 2 39 39 a0 2.10 2 40 40 a1 1.53 2 a 1.80 41 41 2 2 42 42 1.90 2 2.90 43 43