直线的方程公开课

【例2】 （12分）过点P（2，1）的直线l交x 轴、y轴正半轴于A、B两点，求使： （1）△AOB面积最小时l的方程； （2）|PA|·|PB|最小时l的方程.
解题示范 解 方法一 设直线的方程为
x y 1(a 2, b 1), a b 2 1 1分 由已知可得 1. a b 2 1 2 1 3分 (1) 2 1, ab 8. a b a b 1 S Δ AOB ab 4. 2 2 1 1 当且仅当 ,即a=4,b=2时，S△AOB取最 a b 2 小值4， 4分 x y 此时直线l的方程为 1, 即x 2 y 4 0. 6分 4 2
②直线方程的斜截式
直线的斜率为k，与y轴的交点是P（0，b）， y 则直线 l 的方程是：
y kx b
说明：
P o
x
1、上述方程是由直线的斜率和它在y轴上的截距确定的，叫做直线方程 的斜截式。
2、我们称b为直线在y轴上截距。
3、截距b可以大于0，也可以等于或小于0。
③直线方程的两点式
经过点P1（ x1，y1 ）、P2（ x2，y2 ）的直线 y 的方程是：
2 1 (2)由 1, 得ab a 2b 0, a b 变 得 (a 2)(b 1) 2, 形 PA PB (2 a) 2 (1 0) 2 (2 0) 2 (1 b) 2 [(2 a) 2 1] [(1 b) 2 4] 2(a 2) 4(b 1).
说明：
y y xx y y x x
1 2 1 2
P1 P2 o x
1
1
1、这个方程是由直线上两点确定的； 2、当直线的倾斜角为0°时（y=y1） ，或当直线倾斜角90 °为时 （x=x1） ，它的方程不能用两点式求出。 3、经过点P1（x1，y1）、P2（x2，y2）的所有直线的方程可以写成 （y-y1）（x2-x1）=（y2-y1）（x-x1）
1.C 2. A
3 . x+2y-2=0或2x+y+2=0
二 要点梳理
y
P
O
x
①直线方程的点斜式：
直线的斜率为k，且经过点P（ x1，y1 ）， 则直线的方程是：
y y k(x x )
1 1
说明：
1、这个方程是由直线上一点和斜率确定的； 2、当直线的倾斜角为0°时，直线方程为y=y1； 3、当直线倾斜角90 °时，直线没有斜率，它的方程不能用点斜式表 示，这时直线方程为x=x1。
【知能迁移】 已知直线l:kx-y+1+2k=0 (k∈R).
（1）证明：直线l过定点；
（2）若直线不经过第四象限，求k的取值范 围； （3）若直线l交x轴负半轴于A，交y轴正半轴 于B，△AOB的面积为S，求S的最小值并求此
时直线l的方程.
思想方法
感悟提高
1.求直线方程中一种重要的方法就是先设直 线方程，再求直线方程中的系数，这种方 法叫待定系数法。 2.利用五种直线方程形式求直线方程时，要 注意这五种直线方程的适用范围。要能根 据题中所给已知条件选用最恰当的表示形 式，并能根据问题的需要灵活准确地进行 互化。 3.在设直线的关键量斜率和截距时，要注意 它们的限制，参考图形及时补救。
濉溪中学
王奎花
Baidu Nhomakorabea
一 基础自测
1.如果A· C＜0,且B· C＜0,那么直线Ax+By+C=0 不通过 （ ） A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.已知A（1，2）、B（-1，4）、C（5,2），则 ΔABC的边AB上的中线所在的直线方程为（ ） A.x+5y-15=0 B.x=3 C. x-y+1=0 D.y-3=0 3.一条直线经过点A（-2，2），并且与两坐标轴围成 的三角形的面积为1，则此直线的方程为＿＿
④直线方程的截距式
y
直线l与x轴的交点为P1(a,0),与y轴的交点为P2（0，b）, 其中a≠0，b≠0，则直线 l 的方程是：
x y 1 a b
P1
P2
o
x
说明：1这一直线方程由直线在x轴和y轴上截距确定，所以叫做直线方 程的截距式；
2截距式适用于横、纵截距都存在且不为0的直线。
⑤直线方程的一般式：
Ax By C 0( A、B不同为零)
说明：在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表 示这条直线的关于x，y的二元一次方程。 在平面直角坐标系中，任何关于x，y的二元一次方程都表示 一条直线。
三 重要题型剖析
【例1】 求适合下列条件的直线方程： （1）经过点P（3，2），且在两坐标轴上的 截距相等； （2）经过点A（-1，-3），且倾斜角等于直 线y=3x的倾斜角的2倍.
探究提高
在求直线方程时，应先选择适当的直
线方程的形式，并注意各种形式的适用条件，用 斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两 点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能 表示与坐标轴垂直或经过原点的直线，故在解题
时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距
是否为零，若采用点斜式，应先考虑斜率不存在 的情况.
（2）|PA|·|PB|=
4
1 2 ( ) 1 4 4k 2 k
4k 2 8 4, 10分 k2 4 当且仅当 2 =4k2,即k=-1时取得最小值,此时直 k 线l的方程为y-1=-(x-2),即x+y-3=0. 12分
研究提高：求直线方程最常用的方法 是待定系数法，本题所要求的直线过 定点，设直线方程的点斜式，由另一 条件确定斜率，思路顺理成章，方法 一和方法二联系已知条件与相关知识 新颖独特，需要较高的逻辑思维能力 和分析问题、解决问题的能力.
当且仅当a-2=1,b-1=2,
即a=3,b=3时，|PA|·|PB|取最小值4. 此时直线l的方程为x+y-3=0.
8分
10分
12分
方法二
设直线l的方程为y-1=k(x-2) (k＜0),
则l与x轴、y轴正半轴分别交于
1 A(2 ,0)、B (0,1 2k ). 1分 k 1 1 (1) SΔ AOB (2 )(1 2k ) 2 k 1 1 [4 (4k ) ( )] 2 k 1 (4 4) 4. 3分 2 1 1 当且仅当-4k=- ,即k=- 时取最小值，此时直 2 k 1 线l的方程为y-1=(x-2),即x+2y-4=0. 6分 2