2021年人教版八年级下册第十七章第一节勾股定理知识点复习(含例题与课堂练习)

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初二数学下册(人教版)第十七章勾股定理17.2知识点总结含同步练习及答案

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4. 五根小木棒，其长度分别为 7, 15, 20, 24, 25 ，现将他们摆成两个直角三角形，其中正确的是 (
A．
B．
C．
D．
答案： C 解析：勾股定理判断各个三角形．
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四、课后作业
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1. 下列能构成直角三角形三边长的是 ( A．1 、 2 、 3
答案： C
)
C．3 、 4 、 5 D．4 、 5 、 6
B．2 、 3 、 4
2. 下列说法中，不正确的是 (
)
A．三个角的度数之比为 1 : 3 : 4 的三角形是直角三角形 B．三个角的度数之比为 3 : 4 : 5 的三角形是直角三角形 C．三条边的长度之比为 3 : 4 : 5 的三角形是直角13 的三角形是直角三角形
3. 下列各组数据中的三个数，可作为三边长构成直角三角形的是 ( A．1, 2, 3
答案： C 解析：因为
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)
D．√3 , √3 , √5
B．3 2 , 4 2 , 5 2
C．√1 , √2 , √3
(√1 ) + (√2 ) = (√3 ) ，故选C． )
1.勾股定理逆定理描述：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长 a ，b ，c 满足 a2 + b 2 = c 2 ，那么这个三角形是直角三角形．例题：已知三组数据：① 2 ，3 ，4 ；② 3 ，4 ，5 ；③ 1 ，√3 ，2 ．分别以每组数据中的三个数为三角形的三边长，构成直角三角形的有（） A. ② B. ①② C. ①③ D. ②③ 解：D．一艘轮船向东北方向走了 80 千米后，另一艘轮船沿另一个方向行驶了 60 千米，此时两个轮船相距 100 千米．那么你能推测出另一艘轮船行驶的方向吗？解：因为 802 + 602 = 100 2 ，所以说明两艘轮船行驶方向的夹角是 90∘ ，所以另一艘轮船的行驶方向是东南方向或者西北方向．

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练(附答案)

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》解答题优生辅导训练（附答案）1．某游乐场部分平面图如图所示，点C、E、A在同一直线上，点D、E、B在同一直线上，DB⊥AB．测得A处与E处的距离为80m，C处与E处的距离为40m，∠C＝90°，∠BAE ＝30°．（1）请求出旋转木马E处到出口B处的距离；（2）请求出海洋球D处到出口B处的距离；（3）判断入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离是否相等？若相等，请证明；若不相等，请说明理由．2．如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，若AB＝5，BD＝3，AD＝4，AC＝8．（1）求△ABD的面积．（2）求BC的长（结果保留根号）．3．伊通河，是长春平原上的千年古流，是松花江的二级支流，它发源于吉林省伊通县境内哈达岭山脉青顶山北麓，如图，在伊通河笔直的河流一侧有一旅游地C，河边有两个景点A、B．其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，为方便游客决定在河边新建一个景点H（A、H、B三点在同一直线上），并新修一条路CH，测得BC＝5千米，CH＝4千米，BH＝3千米．（1）判断△BCH的形状，并说明理由；（2）求原路线AC的长．4．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，AC的中垂线DE交AC于点D，交BC于点E．延长DE交AB的延长线于点F，连接CF．（1）求出CD的长；（2）求出CF的长．5．若直角三角形的三边的长都是正整数，则三边的长为“勾股数”．构造勾股数，就是要寻找3个正整数，使它们满足“其中两个数的平方和（或平方差）等于第三个数的平方”，即满足以下关系：（ㅤㅤ）2+（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；①或（ㅤㅤ）2﹣（ㅤㅤ）2＝（ㅤㅤ）2；②要满足以上①、②的关系，可以从乘法公式入手，我们知道：（x+y）2﹣（x﹣y）2＝4xy．③如果等式③的右边也能写成“（ㅤㅤ）2”的形式，那么它就符合②的关系．因此，只要设x＝m2，y＝n2，③式就可化成：（m2+n2）2﹣（m2﹣n2）2＝（2mn）2．于是，当m，n为任意正整数，且m＞n时，“m2+n2，m2﹣n2和2mn”就是勾股数，根据勾股数的这种关系式，就可以找出勾股数．（1）当m＝2，n＝1时，该组勾股数是；（2）若一组勾股数中最大的数与最小的数的和为72，且m﹣n＝1，求m，n的值；（3）若一组勾股数中最大的数是2p2+6p+5（p是任意正整数），则另外两个数分别为，（分别用含p的代数式表示）．6．如图，斜靠墙上的一根竹竿AB长为13m，端点B离墙角的水平距离BC长为5m．（1）若A端沿垂直于地面的方向AC下移1m，则B端将沿CB方向移动多少米？（2）若A端下移的距离等于B端沿CB方向移动的距离，求下移的距离．（3）在竹竿滑动的过程中，△ABC面积有最值（填“大”或“小”）为（两个空直接写出答案不需要解答过程）．7．如图，点A是网红打卡地诗博园，市民可在云龙湖边的游客观光车站B或C处乘车前往，且AB＝BC，因市政建设，点C到点A段现暂时封闭施工，为方便出行，在湖边的H处修建了一临时车站（点H在线段BC上），由H处亦可直达A处，若AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km．（1）判断△ACH的形状，并说明理由；（2）求路线AB的长．8．如图，某港口A位于东西海岸线上，甲乙两船同时离开港口，各自沿一固定方向航行，甲船每小时航行45海里，乙船每小时航行60海里，它们离开港口1.2小时后分别位于点B、C处，且相距90海里．若甲船沿南偏西25度方向航行，问乙船沿哪个方向航行？9．如图，△ABC中，AC＝b，BC＝a，CD⊥AB于D．（1）若a＝b＝13，AB＝10，求CD的长；（2）若∠ACB＝90°，CD＝4，求AD×DB的值；（3）若CD2＝AD×DB，判断△ABC的形状，并说明理由．10．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，点D在线段AB上从点B出发，以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t0．（1）AB＝cm，AB边上的高为cm；（2）点D在运动过程中，当△BCD为等腰三角形时，求t的值．11．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向320km的B处，以每小时40km的速度向北偏东60°的BF方向移动，距离台风中心200km的范围内是受台风影响的区域．（1）A城是否受到这次台风的影响？为什么？（2）若A城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？12．大家在学完勾股定理的证明后发现运用“同一图形的面积不同表示方式相同”可以证明一类含有线段的等式，这种解决问题的方法我们称之为面积法．学有所用：在等腰三角形ABC中，AB＝AC，其一腰上的高为h，M是底边BC上的任意一点，M到腰AB、AC 的距离分别为h1、h2．（1）请你结合图形来证明：h1+h2＝h；（2）当点M在BC延长线上时，h1、h2、h之间又有什么样的结论．请你画出图形，并直接写出结论不必证明；（3）利用以上结论解答，如图在平面直角坐标系中有两条直线l1：y＝x+3，l2：y＝﹣3x+3，若l2上的一点M到l1的距离是．求点M的坐标．13．如图，已知在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝16，D是AC上的一点，CD ＝3，点P从B点出发沿射线BC方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点P的运动时间为t．连接AP．（1）当t＝3秒时，求AP的长度（结果保留根号）；（2）当△ABP为等腰三角形时，求t的值；（3）过点D作DE⊥AP于点E．在点P的运动过程中，当t为何值时，能使DE＝CD？14．课堂上学习了勾股定理后，知道“勾三、股四、弦五”．王老师给出一组数让学生观察：3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，学生发现这些勾股数的勾都是奇数，且从3起就没有间断过，于是王老师提出以下问题让学生解决．（1）请你根据上述的规律写出下一组勾股数：11、、；（2）若第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，那么后两个数用含a的代数式分别怎么表示？聪明的小明发现每组第二个数有这样的规律4＝，12＝，24＝…，于是他很快表示了第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为；（3）用所学知识加以说明．15．数学实验室：制作4张全等的直角三角形纸片（如图1），把这4张纸片拼成以弦长c 为边长的正方形构成“弦图”（如图2），古代数学家利用“弦图”验证了勾股定理．探索研究：（1）小明将“弦图”中的2个三角形进行了旋转，得到图3，请利用图3证明勾股定理；数学思考：（2）小芳认为用其它的方法改变“弦图”中某些三角形的位置，也可以证明勾股定理．请你想一种方法支持她的观点（先在备用图中补全图形，再予以证明）．16．在如图所示的网格中，每个小正方形的边长均为1个单位．（1）请你在图1中画一个以格点为顶点，面积为6个平方单位的等腰三角形；（2）请你在图2中画一条以格点为端点，长度为的线段；（3）请你在图3中画一个以格点为顶点，为直角边的直角三角形．17．如图是俱乐部新打造的一款儿童游戏项目，工作人员告诉小敏，该项目AB段和BC段均由不锈钢管材打造，总长度为26米，长方形ADCG和长方形DEFC均为木质平台的横截面，点G在AB上，点C在GF上，点D在AE上，经过现场测量得知：CD＝1米，AD＝15米．（1）小敏猜想立柱AB段的长为10米，请判断小敏的猜想是否正确？如果正确，请写出理由，如果错误，请求出立柱AB段的正确长度；（2）为加强游戏安全性，俱乐部打算再焊接一段钢索BF，经测量DE＝3米，请你求出要焊接的钢索BF的长．（结果不必化简成最简二次根式）18．如图，地面上放着一个小凳子（AB与地面平行），点A到墙面（墙面与地面垂直）的距离为40cm．在图①中，一木杆的一端与墙角O重合，另一端靠在点A处，OA＝50cm．（1）求小凳子的高度；（2）在图②中另一木杆的一端与点B重合，另一端靠在墙上的点C处．若OC＝90cm，木杆BC比凳宽AB长60cm，求小凳子宽AB和木杆BC的长度．19．如图，在△ABD中，AC⊥BD于C，点E为AC上一点，连接BE、DE，DE的延长线交AB于F，已知DE＝AB，∠CAD＝45°．（1）求证：DF⊥AB；（2）利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明，已知：如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，求证：a2+b2＝c2．20．已知：如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝5cm，AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为t秒．（1）求BC边的长；（2）当△ABP为直角三角形时，求t的值；（3）当△ABP为等腰三角形时，求t的值．参考答案1．解：（1）在Rt△ABE中，∵∠BAE＝30°，∴BE＝（m），∴旋转木马E处到出口B处的距离为40m；（2）∵∠BAE＝30°，∠CED＝∠AEB，∠C＝∠ABE＝90°∴∠D＝∠BAE＝30°，∴DE＝2CE＝80（m），∴DE+BE＝80+40＝120（m），∴海洋球D处到出口B处的距离为：120m；（3）在Rt△CDE与Rt△ABE中，由勾股定理得：AB＝＝40（m），CD＝＝40（m），∴AB＝CD，∴入口A到出口B处的距离与海洋球D到过山车C处的距离相等．2．解：在△ABD中，AB＝5，BD＝3，AD＝4，∴BD2+AD2＝AB2，∴△ABD是直角三角形，且∠ADB＝90°，∴S△ABD＝AD•BD＝×4×3＝6；（2）由（1）可知，∠ADB＝90°，∴∠ADC＝180°﹣∠ADB＝90°，∴DC2＝AC2﹣AD2＝82﹣42＝48，∴DC＝4，∴BC＝BD+DC＝3+4．3．解：（1）△BCH是直角三角形，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝42+32＝25，BC2＝25，∴CH2+BH2＝BC2，∴△HBC是直角三角形且∠CHB＝90°；（2）设AC＝AB＝x千米，则AH＝AB﹣BH＝（x﹣3）千米，在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣3，CH＝4，由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2，∴x2＝（x﹣3）2+42解这个方程，得x＝，答：原来的路线AC的长为千米．4．解：（1）在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝6，则AC＝＝＝3，∵DE是AC的中垂线，∴CD＝AC＝；（2）∵DF是AC的中垂线，∴F A＝FC，∵AB＝3，∴FB＝F A﹣3＝CF﹣3，在Rt△FBC中，CF2＝BC2+FB2，即CF2＝62+（CF﹣3）2，解得：CF＝．5．解：（1）当m＝2，n＝1时，m2+n2＝5，m2﹣n2＝3，2mn＝4，∴该组勾股数是3，4，5，故答案为：3，4，5；（2）∵（m2+n2）﹣（m2﹣n2）＝2n2＞0，∴m2+n2＞m2﹣n2，∵m2+n2﹣2mn＝（m﹣n）2＞0，∴m2+n2＞2mn，∴最大的数为m2+n2，①当m2﹣n2最小时，（m2+n2）+（m2﹣n2）＝2m2＝72，解得m＝6或m＝﹣6（舍去），又∵m﹣n＝1，∴n＝5；②当2mn最小时，（m2+n2）+2mn＝（m+n）2＝72，解得m+n＝（舍去），综上所述，m＝6，n＝5；（3）2p2+6p+5＝（p2+2p+1）+（p2+4p+4）＝（p+1）2+（p+2）2，令m＝p+2，n＝p+1，则m2﹣n2＝（p+2）2﹣（p+1）2＝2p+3，2mn＝2（p+2）（p+1）＝2p2+6p+4，∴另外两个数分别为2p+3，2p2+6p+4，故答案为：2p+3，2p2+6p+4．6．解：（1）由题意可知△ABC是直角三角形，∵BC＝5米，AB＝13米，∴由勾股定理得：AC＝＝12（米），∴A1C＝AC﹣AA1＝12﹣1＝11（米），∴B1C＝＝4（米），∴BB1＝B1C﹣BC＝（4﹣5）（米），答：B端将沿CB方向移动（4﹣5）米．（2）设AA1＝BB1＝x米，则A1C＝（12﹣x）米，CB1＝（5+x）米，由勾股定理得：A1C2+CB12＝A1B12，即（12﹣x）2+（5+x）2＝132，解得：x＝7，即AA1＝7米．答：下移的距离为7米．（3）以A1B1为底，过C作A1B1的垂线CD，D为垂足，在竹竿下滑过程中，当CD为△A1CB1的中线时，△A1CB1的面积最大，最大值＝×13×＝平方米．故答案为：大，．7．解：（1）△ACH是直角三角形，理由如下：∵AC＝1km，AH＝0.8km，CH＝0.6km，∴AC2＝AH2+CH2，∴△ACH是直角三角形；解：（2）∵△ACH是直角三角形，∴AH⊥BC，设AB＝BC＝xkm，则BH＝BC﹣HC＝（x﹣0.6）km，由勾股定理得：AB2＝AH2+BH2，即x2＝0.82+（x﹣0.6）2，解得：x＝，∴AB＝km．8．解：由题意可得：AB＝45×1.2＝54（海里），AC＝60×1.2＝72（海里），BC＝90海里，则AB2+AC2＝BC2，故△ABC是直角三角形，∠BAC＝90°，∵甲船沿南偏西25度方向航行，∴乙船沿南偏东65方向航行．9．解：（1）∵AC＝BC，CD⊥AB，∴AD＝BD＝5，在Rt△ADC中，CD＝＝12．（2在Rt△ACD中，由勾股定理得，AC2﹣AD2＝CD2＝16①，在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC2﹣BD2＝CD2＝16②，联立①和②得：AC2+BC2﹣（AD2+BD2）＝32，∵AC2+BC2＝AB2，AD2+BD2＝（AD+BD）2﹣2AD•BD，∴AB2﹣AB2+2AD•BD＝32，∴2AD•BD＝32，∴AD•BD＝16；（3）∵CD2＝AD•DB，∴AC2﹣AD2＝AD•BD，BC2﹣BD2＝AD•BD，∴AC2﹣AD2+BC2﹣BD2＝2AD•BD，∴AC2+BC2＝AD2+BD2+2AD•BD，∴AC2+BC2＝（AD+BD）2，即AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形．10．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝30cm，AC＝40cm，∴AB＝＝＝50（cm）；作AB边上的高CE，如图1所示：∵Rt△ABC的面积＝AB•CE＝AC•BC，∴CE＝＝＝24（cm）；故答案为：50，24；（2）分三种情况：①当BD＝BC＝30cm时，2t＝30，∴t＝15（s）；②当CD＝CB＝30cm时，作CE⊥AB于E，如图2所示：则BE＝DE＝BD＝t，由（1）得：CE＝24，在Rt△BCE中，由勾股定理得：BE＝＝＝18（cm），∴t＝18s；③当DB＝DC时，∠BCD＝∠B，∵∠A＝90°﹣∠B，∠ACD＝90°﹣∠BCD，∴∠ACD＝∠A，∴DA＝DC，∴AD＝DB＝AB＝25（cm），∴2t＝25，∴t＝12.5（s）；综上所述：t的值为15s或18s或12.5s．11．解：（1）由A点向BF作垂线，垂足为C，在Rt△ABC中，∠ABC＝30°，AB＝320km，则AC＝160km，因为160＜200，所以A城要受台风影响；（2）设BF上点D，G，使AD＝AG＝200千米，∴△ADG是等腰三角形，∵AC⊥BF，∴AC是DG的垂直平分线，∴CD＝GC，在Rt△ADC中，DA＝200千米，AC＝160千米，由勾股定理得，CD＝＝＝120千米，则DG＝2DC＝240千米，遭受台风影响的时间是：t＝240÷40＝6（小时）．12．（1）证明：连接AM，由题意得h1＝ME，h2＝MF，h＝BD，∵S△ABC＝S△ABM+S△AMC，S△ABM＝×AB×ME＝×AB×h1，S△AMC＝×AC×MF＝×AC×h2，又∵S△ABC＝×AC×BD＝×AC×h，AB＝AC，∴×AC×h＝×AB×h1+×AC×h2，∴h1+h2＝h．（2）解：如图所示：h1﹣h2＝h．（3）解：在y＝x+3中，令x＝0得y＝3；令y＝0得x＝﹣4，所以A（﹣4，0），B（0，3）同理求得C（1，0）．AB＝＝5，AC＝5，所以AB＝AC，即△ABC为等腰三角形．①当点M在BC边上时，由h1+h2＝h得：+M y＝OB，M y＝3﹣＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝，所以此时M（，）．②当点M在CB延长线上时，由h1﹣h2＝h得：M y﹣＝OB，M y＝3+＝，把它代入y＝﹣3x+3中求得：M x＝﹣，所以此时M（﹣，）．③当点M在BC的延长线上时，h1＝＜h，不存在；综上所述：点M的坐标为M（，）或（﹣，）．13．解：（1）根据题意，得BP＝2t，PC＝16﹣2t＝16﹣2×3＝10，AC＝8，在Rt△APC中，根据勾股定理，得AP＝＝＝2．答：AP的长为2．（2）在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝16，根据勾股定理，得AB＝＝＝8若BA＝BP，则2t＝8，解得t＝4；若AB＝AP，则BP＝32，2t＝32，解得t＝16；若P A＝PB，则（2t）2＝（16﹣2t）2+82，解得t＝5．答：当△ABP为等腰三角形时，t的值为4、16、5．（3）①点P在线段BC上时，过点D作DE⊥AP于E，如图1所示：则∠AED＝∠PED＝90°，∴∠PED＝∠ACB＝90°，∴PD平分∠APC，∴∠EPD＝∠CPD，又∵PD＝PD，∴△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝16﹣2t，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+16﹣2t＝20﹣2t，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（16﹣2t）2＝（20﹣2t）2，解得：t＝5；②点P在线段BC的延长线上时，过点D作DE⊥AP于E，如图2所示：同①得：△PDE≌△PDC（AAS），∴ED＝CD＝3，PE＝PC＝2t﹣16，∴AD＝AC﹣CD＝8﹣3＝5，∴AE＝4，∴AP＝AE+PE＝4+2t﹣16＝2t﹣12，在Rt△APC中，由勾股定理得：82+（2t﹣16）2＝（2t﹣12）2，解得：t＝11；综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使DE＝CD．14．解：（1）∵3、4、5；5、12、13；7、24、25；9、40、41；…，∴11，60，61；故答案为：60，61；（2）第一个数用字母a（a为奇数，且a≥3）表示，第二数为，则用含a的代数式表示第三个数为，故答案为：；（3）∵a2+（）2＝，（）2＝，∴a2+（）2＝（）2又∵a为奇数，且a≥3，∴由a，，三个数组成的数是勾股数．15．解：（1）如图3所示∵图形的面积表示为a2+b2+2×ab＝a2+b2+ab，图形的面积也可表示为c2+2×ab＝c2+ab；∴a2+b2+ab＝c2+ab，∴a2+b2＝c2即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．（2））如图4所示：∵大正方形的面积表示为（a+b）2；大正方形的面积也可表示为c2+4×ab∴（a+b）2＝c2+4×ab，a2+b2+2ab＝c2+2ab，∴a2+b2＝c2；即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．16．解：（1）如图1所示；（2）如图2所示；（3）如图3所示．17．解：（1）不正确，理由如下：由题意得：AG＝CD＝1米，GC＝AD＝15米，设BG＝x米，则BC＝（26﹣1﹣x）米，在Rt△BGC中，由勾股定理得：BG2+CG2＝CB2，即x2+152＝（26﹣1﹣x）2，解得：x＝8，∴BG＝8米，∴AB＝BG+GA＝9（米），∴小敏的猜想不正确，立柱AB段的正确长度长为9米．（2）由题意得：CF＝DE＝3米，∴GF＝GC+CF＝18（米），在Rt△BGF中，由勾股定理得：BF＝＝＝（米）．18．解：（1）过A作AM垂直于墙面，垂足M，根据题意可得，AM＝40cm，在Rt△AOM中，OM＝＝＝30，即凳子的高度为30cm．（2）延长BA交墙面于点N，可得∠BNC＝90°，设AB＝xcm，则CB＝x+60，BN＝x+40，CN＝90﹣30＝60，在Rt△BCN中，BN2+CN2＝BC2，即（40+x）2+602＝（60+x）2，解得x＝40，则BC＝60+40＝100（cm）．19．解：（1）∵AC⊥BD，∠CAD＝45°，∴AC＝DC，∠ACB＝∠DCE＝90°，在Rt△ABC与Rt△DEC中，，∴Rt△ABC≌Rt△DEC（HL），∴∠BAC＝∠EDC，∵∠EDC+∠CED＝90°，∠CED＝∠AEF，∴∠AEF+∠BAC＝90°，∴∠AFE＝90°，∴DF⊥AB．（2）∵S△BCE+S△ACD＝S△ABD﹣S△ABE，∴a2+b2＝•c•DF﹣•c•EF＝•c•（DF﹣EF）＝•c•DE＝c2，∴a2+b2＝c2．20．解：（1）在Rt△ABC中，BC2＝AB2﹣AC2＝52﹣32＝16，∴BC＝4（cm）；（2）由题意知BP＝tcm，①当∠APB为直角时，点P与点C重合，BP＝BC＝4cm，即t＝4；②当∠BAP为直角时，BP＝tcm，CP＝（t﹣4）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝32+（t﹣4）2，在Rt△BAP中，AB2+AP2＝BP2，即：52+[32+（t﹣4）2]＝t2，解得：t＝，故当△ABP为直角三角形时，t＝4或t＝；（3）①当AB＝BP时，t＝5；②当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8；③当BP＝AP时，AP＝BP＝tcm，CP＝（4﹣t）cm，AC＝3cm，在Rt△ACP中，AP2＝AC2+CP2，所以t2＝32+（4﹣t）2，解得：t＝，综上所述：当△ABP为等腰三角形时，t＝5或t＝8或t＝．。

人教版八年级下册数学第17章勾股定理集训课堂练素养勾股定理解题的十种常见题型

设BC＝x，则CD＝16－x，由勾股定理得x2＝82＋(16－x)2，解得x＝10. ∴BC＝10，CD＝6.
【点拨】当已知条件比较分散且无法直接使用时，往往通过作辅助线构造特殊三角形进行计算．
5 如图，将长方形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在 AB边的中点C′处．若AB＝6，BC＝9，求BF的长．
6 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AB＝5cm， AC＝3cm，动点P从点B出发沿射线BC以1cm/s的速度移动，设运动的时间为ts. (1)求BC边的长；
解：在Rt△ABC中，BC2＝AB2－AC2＝52－32＝16， ∴BC＝4cm.
(2)当△ABP为直角三角形时，借助图①求t的值；
(3)当△ABP为等腰三角形时，借助图②求t的值．
解：当△ABP为等腰三角形时，有三种情况： Ⅰ.如图①，当BP＝AB时，t＝5； Ⅱ.如图②，当AB＝AP时，BP＝2BC＝8cm，t＝8.
Ⅲ .如图③，当 BP＝AP 时，AP＝BP＝t cm， CP＝|t－4|cm，AC＝3 cm. 在 Rt△ACP 中，AP2＝AC2＋为等腰三角形时， t＝5 或 t＝8 或 t＝285.
解：如图，连接BD. ∵在等腰直角三角形ABC中，点D为AC边的中点， ∠ABC＝90°，∴BD⊥AC，BD平分∠ABC. ∴∠ABD＝∠CBD＝45°. 又易知∠C＝45°，∴∠ABD＝∠CBD＝∠C. 易知BD＝CD. ∵DE⊥DF，BD⊥AC， ∴∠FDC＋∠BDF＝∠EDB＋∠BDF.
∴∠FDC＝∠EDB. 在△EDB 和△FDC 中， ∠BDE＝BDC＝D，∠C，
情况二：如图②，连接EC. 根据勾股定理可求得 EC2＝82＋(30＋12＋15)2＝3313. 情况三：如图③，连接EC. 根据勾股定理可求得 EC2＝122＋(30＋8＋15)2＝2953. ∵625＜2953＜3313， ∴小虫爬行的最短路程是25cm..

人教版八年级下期第十七章《勾股定理小结与复习》共17张PPT

考点二勾股定理的逆定理及其应用 a b c 例4 在△ABC中，AB=c，BC=a，AC=b，， 3 4 5 2c-b=12，求△ABC的面积．解：由题意可设a=3k，则b=4k，c=5k， ∵2c-b=12， ∴10k-4k=12， ∴k=2， ∴a=6，b=8，c=10， ∵62+82=102， ∴a2+b2=c2， ∴△ABC为直角三角形， 1 ∴△ABC的面积为 2 ×6×8=24．
如果两个命题的题设、结论正好相反，那么把其中
一个叫做原命题，另一个叫做它的逆命题.
考点讲练
考点一勾股定理及其应用例1 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D， AC=20，BC=15. （1）求AB的长；（2）求BD的长．解：（1）∵在Rt△ABC中，∠ACB=90°， AB AC2 BC2 202 152 25; 1 1 （2）方法一：∵S△ABC= AC•BC= 2 AB•CD， 2 ∴20×15=25CD， ∴CD=12． ∴在Rt△BCD中，BD BC2 CD2 152 122 9.
c a 2 b2 , a c 2 b2 , b c 2 a 2
二、勾股定理的逆定理
1.勾股定理的逆定理 b 如果三角形的三边长a，b，c满足 C a2 +b2=c2 ，那么这个三角形是直角43;b2=c2的三个正整数，称为勾股数.
3.原命题与逆命题
考点三勾股定理与折叠问题
例6 如图，在长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，求 △ABE的面积. 解：∵长方形折叠，使点B与点D重合， ∴ED=BE. 设AE=xcm，则ED=BE=(9-x)cm，在Rt△ABE中， AB2+AE2=BE2， ∴32+x2=(9-x)2，解得x=4. 1 ∴△ABE的面积为3×4× 2 =6(cm2).

初二数学下册(人教版)第十七章勾股定理17.1知识点总结含同步练习及答案

− − − − − − − − − −
− − − − − −
3 ． 2
四、课后作业
（查看更多本章节同步练习题，请到快乐学）
1. 如图，已知 △ABC 中， AB = 17 ， AC = 10 ， BC 边上的高 AD = 8 ，则边 BC 的长为
(
)．
A．21 C．6
答案： A
1.勾股定理描述：勾股定理如果直角三角形的两条直角边长分别为 a ，b ，斜边长为 c ，那么 a2 + b 2 = c 2 ．例题：在 Rt△ABC 中，∠C = 90∘ ，∠A，∠B，∠C 的对边分别是 a ，b ，c ．（1）已知 a = b = 6，求 c ；（2）已知 c = 3 ，b = 2 ，求 a ；（3）已知 a : b = 2 : 1 ， c = 5 ，求 b ．解：（1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90∘ ， a = b = 6，根据勾股定理，得 c = √a2 + b 2 = 6√2；（2）在 Rt△ABC 中，∠C = 90∘ ， c = 3 ，b = 2 ，
− − − − − −
解：连接 AO，在 Rt△AOB 中，∠AOB = 90 ∘ ，AO = 2.4 ，OB = 0.7 ，根据勾股定理得：AB 2 = AO2 + OB2 ，
− − − − − − − − −
− − − − − − − − − AB = √2.4 2 + 0.7 2 = 2.5 ．
4. 如图，正方形网格中，每个小正方形的边长为 1 ，则网格上的三角形 ABC 中，边长为无理数的边数为 (
)．
A．0 条
答案： C
B．1 条
C．2 条

2021学年八年级数学人教版下册第十七章勾股定理《勾股定理实际问题》随堂练习(含答案)有答案

如果别人思考数学的真理像我一样深入持久，他也会找到我的发现。

——高斯2021年人教版数学八年级下册《勾股定理实际问题》随堂练习一、选择题1.如图，阴影部分是一个长方形，则长方形的面积是( )A．3 cm2 B．4 cm2 C．5 cm2 D．6 cm22.如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端，绳子末端刚好接触到地面，然后将绳子末端拉到距离旗杆8 m处，发现此时绳子末端距离地面2 m，则旗杆的高度为(滑轮上方的部分忽略不计)( )A．12 m B．13 m C．16 m D．17 m3.如图，一棵大树被大风刮断后，折断处离地面8m，树的顶端离树根6m，则这棵树在折断之前的高度是（）A．18m B．10m C．14m D．24m4.如图，小明在广场上先向东走10米，又向南走40米，再向西走20米，又向南走40米，再向东走70米.则小明到达的终止点与原出发点的距离是( )A.90米B.100米C.120米D.150米5.人在平地上以1.5米/秒的速度向东走了80秒，接着以2米/秒的速度向南走了45秒，这时他离开出发点（）A.180米B.150米C.120米D.100米6.如图，矩形ABCD中，AB=3，AD=1，AB在数轴上，若以点A为圆心，对角线AC的长为半径作弧交数轴的正半轴于M，则点M表示的实数为( )A．5 B． C． D．7.如图所示，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面1米处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=2米，则树高为（）A.米B.米C.(+1)米D.3米8.如图，铁路MN和公路PQ在点O处交汇，∠QON=30°．公路PQ上A处距O点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路MN上沿ON方向以72千米/时的速度行驶时，A处受噪音影响的时间为（）A．12秒 B．16秒 C．20秒 D．30秒．二、填空题9.如图，阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为．10.如图，桌面上竖直放置一等腰直角三角板ABC，若测得斜边AB的两端点到桌面的距离分别为AD,BE. DE为8cm，BE=3cm，则点A距离桌面的高度为．11.如图，从电线杆离地面6m处向地面拉一条长10m的固定缆绳，这条缆绳在地面的固定点距离电线杆底部有m.12.如图，在一个高为3米，长为5米的楼梯表面铺地毯，则地毯长度为米.13.在△ABC中，三边长分别为8、15、17，那么△ABC的面积为．14.如图，在△ACB中，∠C=90°，∠CAB与∠CBA的角平分线交于点D，AC=3，BC=4，则点D到AB的距离为.三、解答题15.写出如图格点△ABC各顶点的坐标，求出此三角形的周长。

人教版八年级数学下册第十七章《勾股定理》复习(1)课件(共14张ppt)

在RtΔABF中,BF= 102 82 =6cm
CF=10﹣6=4cm．
答：CF的长为4cm.
（2）设CE=xcm，EF=DE=(8﹣x）cm，
在RtΔECF中，EF2=CE2+CF2，
即（8﹣x）2=x2+42，
A
10
D
8-x
8
10
E8 8-x x
∴ x=3．答：EC的长为3cm．
B
6
F4 C
10
已知一边和另两边关系求边长
用方程求解
六、课后作业
1．在直角三角形中,若两直角边的长分别为1cm，2cm ，则斜边长为_____5_c_m__.
六、课后作业
2.在RtΔABC中，∠C=90°.
①若a=5，b=12，则c=_____1_3_____； ②若a=15，c=25，则b=____2__0_____；
b c2 a2
B
a
c
Cb A
变式2.已知直角三角形的两边长为6、8，则第三边长是
_____1_0_或____2__7___． 6,8都是直角边 8是斜边,6是直角边
分类思想
第三边为 62 82
第三边为 82 62
二、例题教学
方程思想
考点2：（已知一边和另两边关系求边长)
AB=AC+2
1.小明想知道学校旗杆的高，他发现旗杆顶端的绳
六、课后作业
3.在RtΔABC中，a，b，c为三边长，则下列关系中正确的是（D ）.
A.a2+ b2=c2 B.a2+ c2= b2 C.c2+ b2=a2 D.以上都有可能
六、课后作业
4.已知RtΔABC中，∠C=90°，若

八年级数学下册第十七章勾股定理勾股定理的整理、拓展、归纳辅导 (新版)新人教版

学习资料第十七章、勾股定理一、知识精读（一)、勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方;表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为a ，b ,斜边为c ，那么222a b c +=勾股定理的由来:勾股定理也叫商高定理，在西方称为毕达哥拉斯定理．我国古代把直角三角形中较短的直角边称为勾，较长的直角边称为股，斜边称为弦．早在三千多年前,周朝数学家商高就提出了“勾三，股四，弦五"形式的勾股定理，后来人们进一步发现并证明了直角三角形的三边关系为：两直角边的平方和等于斜边的平方（二)。

勾股定理的应用。

勾股定理是直角三角形的一个重要的性质，它是把三角形由一个直角的“形"的特征转化为三边“数”的关系，因此它是数形结合的一个典范。

勾股定理能够帮助我们解决直角三角形中的边长的计算或直角三角形中线段之间的关系的证明问题．在使用勾股定理时,必须把握直角三角形的前提条件,了解直角三角形中，斜边和直角边各是什么，以便运用勾股定理进行计算,应设法添加辅助线(通常作垂线），构造直角三角形，以便正确使用勾股定理进行求解．（三）。

勾股定理的证法。

勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠,没有空隙,面积不会改变②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式,推导出勾股定理常见方法如下:方法一：4EFGH S S S ∆+=正方形正方形ABCD ,2214()2ab b a c ⨯+-=，化简可证．c ba HG FEDC B A b ac b a c c a b c a b a b c c b a E D C B A方法二：四个直角三角形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积．四个直角三角形的面积与小正方形面积的和为221422S ab c ab c =⨯+=+大正方形面积为222()2S a b a ab b =+=++ 所以222a b c +=方法三：1()()2S a b a b =+⋅+梯形，2112S 222ADE ABE S S ab c ∆∆=+=⋅+梯形，化简得证（四).勾股定理的应用①已知直角三角形的任意两边长,求第三边在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c ，b =,a②知道直角三角形一边，可得另外两边之间的数量关系③可运用勾股定理解决一些实际问题（五)。

第17章勾股定理章末知识点分类训练2021-2022学年人教版八年级数学下册

2021-2022学年人教版八年级数学下册《第17章勾股定理》章末知识点分类训练（附答案）一．勾股定理1．我国古代数学家赵爽的“勾股方圆图”是由四个全等的直角三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形（如图所示），如果大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，直角三角形的两直角边分别是a和b，那么（a+b）2的值为（）A．49 B．25 C．13 D．12．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，以AC为直径的圆恰好过点B，AB＝8，BC＝6，则阴影部分的面积是（）A．100π﹣24 B．100π﹣48 C．25π﹣24 D．25π﹣483．如图是一株美丽的勾股树，其中所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，若最大正方形G的边长是6cm，则正方形A，B，C，D，E，F，G的面积之和是（）A．18cm2 B．36cm2C．72cm2D．108cm24．如图所示为一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②，…，依此类推，若正方形①的面积为64，则正方形⑤的面积为（）A．2 B．4 C．8 D．165．已知：如图，以Rt△ABC的三边为斜边分别向外作等腰直角三角形．若斜边AB＝3，则图中阴影部分的面积为．6．如图，梯形ABCD中，AB∥DC，∠ADC+∠BCD＝90°，且DC＝2AB，分别以DA，AB，BC为边向梯形外作正方形，其面积分别为S1，S2，S3，则S1，S2，S3之间的关系是．7．已知，如图长方形ABCD中，AB＝3cm，AD＝9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为（）A．3cm2B．4cm2C．6cm2D．12cm28．如图，矩形ABCD中，AB＝8，BC＝4，将矩形沿AC折叠，点D落在点D′处，则重叠部分△AFC的面积为．9．如图所示，在△ABC中，BD是AC边上的中线，BD⊥BC，∠ABC＝120°，AB＝8，则BC 的值为（）A．3 B．4 C．5 D．610．如图，在△ABC中，有一点P在直线AC上移动，若AB＝AC＝5，BC＝6，则BP的最小值为（）A．4.8 B．5 C．4 D．11．已知直角三角形两边的长为3和4，则此三角形的周长为（）A．12 B．7+C．12或7+D．以上都不对12．将一副直角三角板如图放置，点C在FD的延长线上，AB∥CF，∠F＝∠ACB＝90°，∠E ＝30°，∠A＝45°，AC＝6，则CD的长为（）A．2B．6﹣3C．6﹣2D．313．把两个同样大小的含45°角的三角尺按如图所示的方式放置，其中一个三角尺的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，且另三个锐角顶点B，C，D在同一直线上．若AB ＝，则CD＝．14．如图，△ABC中，∠A＝90°，AB＝2，AC＝4，点D是AC边的中点，点P是BC边上一点，若△BDP为等腰三角形，则线段BP的长度等于．15．如图，在△ABC中，已知AB＝2，AD⊥BC，垂足为D，BD＝2CD．若E是AD的中点，则EC＝．16．如图，小正方形边长为1，连接小正方形的三个顶点，可得△ABC，则AC边上的高长度为．17．如图，等边三角形ABC中，M为AC上一点，AM＝2，CM＝8，P，Q分别为AB，BC上的动点，且∠PMQ＝60°，则AP2+CQ2的最小值为．18．如图，在Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，点D是Rt△ABC外一点，连接DC，DB，且CD＝4，BD＝3．求：四边形ABDC的面积．19．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，CD是高．（1）求AB的长；（2）求△ABC的面积；（3）求CD的长．二．勾股定理的证明20．如图，将直角三角形分割成一个正方形和两对全等的直角三角形，直角三角形ABC中，∠ACB＝90°，BC＝a，AC＝b，AB＝c，正方形IECF中，IE＝EC＝CF＝FI＝x（1）小明发明了求正方形边长的方法：由题意可得BD＝BE＝a﹣x，AD＝AF＝b﹣x因为AB＝BD+AD，所以a﹣x+b﹣x＝c，解得x＝（2）小亮也发现了另一种求正方形边长的方法：利用S△ABC＝S△AIB+S△AIC+S△BIC可以得到x与a、b、c的关系，请根据小亮的思路完成他的求解过程：（3）请结合小明和小亮得到的结论验证勾股定理．三．勾股定理的逆定理21．△ABC满足下列条件中的一个，其中不能说明△ABC是直角三角形的是（）A．b2＝（a+c）（a﹣c）B．a：b：c＝1：：2C．∠C＝∠A﹣∠B D．∠A：∠B：∠C＝3：4：522．若一个三角形的三边长为3、4、x，则使此三角形是直角三角形的x的值是（）A．5 B．6 C．D．5或23．下列各组数中，能构成直角三角形的是（）A．4，5，6 B．1，1，C．6，8，11 D．5，12，23 24．若△ABC的三边a、b、c满足（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，则△ABC是（）A．等腰三角形 B．直角三角形C．等腰直角三角形 D．等腰三角形或直角三角形25．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别记为a，b，c，下列结论中不正确的是（）A．如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形B．如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠C＝90°C．如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，那么△ABC是直角三角形D．如果a2：b2：c2＝9：16：25，那么△ABC是直角三角形26．若一个三角形的三边之比为5：12：13，且周长为60cm，则它的面积为cm2．27．如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，四边形ABCD的顶点都在格点上．（1）求四边形ABCD的周长；（2）连接AC，试判断△ACD的形状，并说明理由．四．勾股数28．在下各组数中，是勾股数的一组是（）A．B．5，6，7C．0.3，0.4，0.5 D．40，41，929．观察下列勾股数：3，4，5；5，12，13；7，24，25；9，40，41；…，a，b，c 根据你发现的规律，请写出（1）当a＝19时，求b、c的值；（2）当a＝2n+1（n为正整数）时，求b、c的值；（3）用（2）的结论判断15，111，112是否为一组勾股数，并说明理由．五．勾股定理的应用30．如图一个圆柱形饮料罐，底面半径是5，高是12，上底面中心有一个小圆孔，则一条到达底部直吸管在罐内部分a的长度（罐壁的厚度和小圆孔的大小忽略不计）范围是（）A．12≤a≤13 B．12≤a≤15 C．5≤a≤12 D．5≤a≤1331．如图，小巷左右两侧是竖直的墙．一架梯子斜靠在左墙时，梯子底端到左墙角的距离为0.7m，顶端距离地面2.4m．若梯子底端位置保持不动，将梯子斜靠在右墙时，顶端距离地面2m，则小巷的宽度为m．32．如图，《九章算术》中的“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去根六尺，问折高者几何？意思是：一根竹子，原高一丈（一丈＝10尺），一阵风将竹子折断，其竹梢恰好抵地，抵地处离竹子底部6尺远，求折断处离地面的高度．33．在一条东西走向河的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，其中AB＝AC，由于某种原因，由C到A的路现在已经不通，某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A、H、B在一条直线上），并新修一条路CH，测得CB＝3千米，CH＝2.4千米，HB ＝1.8千米．（1）问CH是否为从村庄C到河边的最近路？（即问：CH与AB是否垂直？）请通过计算加以说明；（2）求原来的路线AC的长．六．平面展开-最短路径问题34．如图，一圆柱高8cm，底面半径为cm，一只蚂蚁从点A爬到点B处吃食，要爬行的最短路程是cm．35．如图所示，有一个高18cm，底面周长为24cm的圆柱形玻璃容器，在外侧距下底1cm的点S处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距开口处1cm的点F处有一只苍蝇，则急于捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是（）A．16cm B．18cm C．20cm D．24cm36．如图，已知圆柱底面周长为8dm，高为3dm，在圆柱的侧面上，点A和点C相对，过点A和点C嵌有一圈金属丝，则这圈金属丝的长度最小为（）A．10 B．8 C．5 D．1137．如图，圆柱形玻璃杯，高为11cm，底面周长为16cm，在杯内离杯底3cm的点C处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿4cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁到达蜂蜜的最短距离为．（结果保留根号）38．如图，小红想用一条彩带缠绕易拉罐，正好从A点绕到正上方B点共四圈，已知易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，那么所需彩带最短的是（）A．13cm B．4cm C．4cm D．52cm39．如图，O为圆锥的顶点，M为圆锥底面上一点，点P在OM上，一只蜗牛从点P出发，绕圆锥侧面沿最短路线爬行一圈回到点P，若沿OM将圆锥侧面剪开并展开，所得侧面展开图是（）A．B．C．D．40．如图，长方体的底面边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B，那么所用细线最短需要cm．41．如图，长方体的长为15，宽为10，高为20，点B离点C的距离为5，一只蚂蚁如果要沿着长方体的表面从点A爬到点B，需要爬行的最短距离是（）A．5B．25 C．10+5 D．3542．如图，一个三级台阶，它的每一级的长宽和高分别为20、3、2，A和B是这个台阶两个相对的端点，A点有一只蚂蚁，想到B点去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬到B点最短路程是．参考答案一．勾股定理1．解：由于大正方形的面积25，小正方形的面积是1，则四个直角三角形的面积和是25﹣1＝24，即4×ab＝24，即2ab＝24，a2+b2＝25，则（a+b）2＝25+24＝49．故选：A．2．解：∵Rt△ABC中∠B＝90°，AB＝8，BC＝6，∴AC＝＝＝10，∴AC为直径的圆的半径为5，∴S阴影＝S圆﹣S△ABC＝25π﹣×6×8＝25π﹣24．故选：C．3．解：由图可得，A与B的面积的和是E的面积；C与D的面积的和是F的面积；而E，F 的面积的和是G的面积．即A、B、C、D、E、F、G的面积之和为3个G的面积．∵G的面积是62＝36cm2，∴A、B、C、D、E、F、G的面积之和为36×3＝108cm2．故选：D．4．解：第一个正方形的面积是64；第二个正方形的面积是32；第三个正方形的面积是16；…第n个正方形的面积是，∴正方形⑤的面积是4．故选：B．5．解：在Rt△ABC中，AB2＝AC2+BC2，AB＝3，S阴影＝S△AHC+S△BFC+S△AEB＝×+×+×＝（AC2+BC2+AB2）＝AB2，＝×32＝．故图中阴影部分的面积为．6．解：过点A作AE∥BC交CD于点E，∵AB∥DC，∴四边形AECB是平行四边形，∴AB＝EC，BC＝AE，∠BCD＝∠AED，∵∠ADC+∠BCD＝90°，DC＝2AB，∴AB＝DE，∠ADC+∠AED＝90°，∴∠DAE＝90°，那么AD2+AE2＝DE2，∵S1＝AD2，S2＝AB2＝DE2，S3＝BC2＝AE2∴S2＝S1+S3．故答案为：S2＝S1+S3．7．解：将此长方形折叠，使点B与点D重合，∴BE＝ED．∵AD＝9cm＝AE+DE＝AE+BE．∴BE＝9﹣AE，根据勾股定理可知AB2+AE2＝BE2．解得AE＝4．∴△ABE的面积为3×4÷2＝6．故选：C．8．解：易证△AFD′≌△CFB，∴D′F＝BF，设D′F＝x，则AF＝8﹣x，在Rt△AFD′中，（8﹣x）2＝x2+42，解之得：x＝3，∴AF＝AB﹣FB＝8﹣3＝5，∴S△AFC＝•AF•BC＝10．故答案为：10．9．解：过点A作AE⊥BC，交CB的延长线于E．∵AE⊥BC，DB⊥BC，∴AE∥BD，∵AD＝CD，∴BD是△ACE的中位线，∴BC＝BE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝60°，∴∠BAE＝30°，∴AB＝2BE＝2BC，∵AB＝8，∴BC＝4，故选：B．10．解：根据垂线段最短，得到BP⊥AC时，BP最短，过A作AD⊥BC，交BC于点D，∵AB＝AC，AD⊥BC，∴D为BC的中点，又BC＝6，∴BD＝CD＝3，在Rt△ADC中，AC＝5，CD＝3，根据勾股定理得：AD＝＝＝4，又∵S△ABC＝BC•AD＝BP•AC，∴BP＝＝＝4.8．故选：A．11．解：设Rt△ABC的第三边长为x，①当4为直角三角形的直角边时，x为斜边，由勾股定理得，x＝5，此时这个三角形的周长＝3+4+5＝12；②当4为直角三角形的斜边时，x为直角边，由勾股定理得，x＝，此时这个三角形的周长＝7+，故选：C．12．解：如图，过点B作BM⊥FD于点M，在△ACB中，∠ACB＝90°，∠A＝45°，AC＝6，∴BC＝AC＝6，∵AB∥CF，∴BM＝BC×sin45°＝6×＝6，CM＝BM＝6，在△EFD中，∠F＝90°，∠E＝30°，∴∠EDF＝60°，∴MD＝BM÷tan60°＝6÷＝2，∴CD＝CM﹣MD＝6﹣2．故选：C．13．解：如图，过点A作AF⊥BC于F，在Rt△ABC中，∠B＝45°，∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1，∵两个同样大小的含45°角的三角尺，∴AD＝BC＝2，在Rt△ADF中，根据勾股定理得，DF＝＝∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1，故答案为：﹣1．14．解：如图，当PD＝PB时，连接PA交BD于点H，过P作PE⊥AC于E，PF⊥AB于F．∵点D是AC边的中点，AC＝4，∴AD＝DC＝2，∵AB＝2，∴AB＝AD，∵PB＝PD，∴PA垂直平分线段BD，∴∠PAB＝∠PAD，∴PE＝PF，∵•AB•PF+•AC•PE＝•AB•AC，∴PE＝PF＝，在Rt△ABD中，AB＝AD＝2，∴BD＝AB＝2，∵PA垂直平分BD，∴BH＝DH＝AH＝BD＝，∠PAE＝∠APE＝45°，∴PE＝AE＝，∴PA＝PE＝，PH＝PA﹣AH＝，在Rt△PBH中，PB＝＝＝；当BD＝BP′时，BP′＝2，综上所述，线段BP的长度为2或，故答案为：2或．15．解：设AE＝ED＝x，CD＝y，∴BD＝2y，∵AD⊥BC，∴∠ADB＝∠ADC＝90°，在Rt△ABD中，∴AB2＝4x2+4y2，∴x2+y2＝1，在Rt△CDE中，∴EC2＝x2+y2＝1∵EC＞0∴EC＝1．另解：依据AD⊥BC，BD＝2CD，E是AD的中点，即可得判定△CDE∽△BDA，且相似比为1：2，∴＝，即CE＝1．故答案为：116．解：四边形DEFA是正方形，面积是4；△ABF，△ACD的面积相等，且都是×1×2＝1．△BCE的面积是：×1×1＝．则△ABC的面积是：4﹣1﹣1﹣＝．在直角△ADC中根据勾股定理得到：AC＝＝．设AC边上的高线长是x．则AC•x＝x＝，解得：x＝．17．解：∵△ABC是等边三角形，∴∠A＝∠C＝90°，∴∠APM+∠AMP＝120°，∵∠PMQ＝60°，∴∠QMC+∠AMP＝120°，∴∠APM＝∠QMC，∴△APM∽△CMQ，∴，∴AP•CQ＝AM•MC＝16，设AP＝x（x＞0），CQ＝y（＞0），即xy＝16，∵（x﹣y）2＞0，即x2﹣2xy+y2≥0，当且仅当x＝y时，（x﹣y）2有最小值，∴x2﹣2xy+y2＝0，即x2+y2＝2xy＝32，∴AP2+CQ2的最小值为32．故答案为：32．18．解：∵Rt△ABC中，∠BCA＝90°，AC＝12，AB＝13，∴BC＝＝＝5；∵在△BCD中，CD＝4，BD＝3，BC＝5，∴CD2+BD2＝BC2，∴△BCD是直角三角形，∴四边形ABDC的面积＝S△ABC+S△BCD＝×12×5+×3×4＝36．19．解：（1）∵在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝15，AC＝20，∴AB2＝AC2+BC2，解得AB＝25．答：AB的长是25；（2）AC•BC＝×20×15＝150．答：△ABC的面积是150；（3）∵CD是边AB上的高，∴AC•BC＝AB•CD，解得：CD＝12．答：CD的长是12．二．勾股定理的证明20．解：（2）因为S△ABC＝S△ABI+S△BIC+S△AIC＝cx+ax+bx所以x＝．答：x与a、b、c的关系为x＝．（3）根据（1）和（2）得：x＝＝．即2ab＝（a+b+c）（a+b﹣c）化简得a2+b2＝c2．三．勾股定理的逆定理21．解：A、由b2＝（a+c）（a﹣c）可得：c2+b2＝a2，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；B、12+（）2＝22，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；C、由∠C＝∠A﹣∠B，∠A+∠B+∠C＝180°，可得：∠A＝90°，可以组成直角三角形，故此选项不符合题意；D、∵∠A：∠B：∠C＝3：4：5，∠A+∠B+∠C＝180°，∴最大角∠C＝75°，∴不能构成直角三角形，故选项符合题意；故选：D．22．解：当4是直角三角形的斜边时，32+x2＝42，解得x＝；当4是直角三角形的直角边时，32+42＝x2，解得x＝5．故使此三角形是直角三角形的x的值是5或．故选：D．23．解：A、∵42+52≠62，∴不能构成直角三角形，故A错误；B、∵12+12＝，∴能构成直角三角形，故B正确；C、∵62+82≠112，∴不能构成直角三角形，故C错误；D、∵52+122≠232，∴不能构成直角三角形，故D错误．故选：B．24．解：∵（a﹣b）2+|a2+b2﹣c2|＝0，∴a﹣b＝0，a2+b2﹣c2＝0，解得：a＝b，a2+b2＝c2，∴△ABC的形状为等腰直角三角形；故选：C．25．解：如果∠A﹣∠B＝∠C，那么△ABC是直角三角形，A正确；如果a2＝b2﹣c2，那么△ABC是直角三角形且∠B＝90°，B错误；如果∠A：∠B：∠C＝1：3：2，设∠A＝x，则∠B＝2x，∠C＝3x，则x+3x+2x＝180°，解得，x＝30°，则3x＝90°，那么△ABC是直角三角形，C正确；如果a2：b2：c2＝9：16：25，则如果a2+b2＝c2，那么△ABC是直角三角形，D正确；故选：B．26．解：设三边分别为5x，12x，13x，则5x+12x+13x＝60，∴x＝2，∴三边分别为10cm，24cm，26cm，∵102+242＝262，∴三角形为直角三角形，∴S＝10×24÷2＝120cm2．故答案为：120．27．解：（1）由题意可知AB＝＝3，AD＝＝，DC＝＝2，BC＝＝，∴四边形ABCD的周长＝AB+BC+CD+AD＝+3+3；（2）△ACD是直角三角形，理由如下：∵AD＝，DC＝2，AC＝5，∴AD2+CD2＝AC2，∴△ACD是直角三角形．四．勾股数28．解：A、∵不是整数，∴此选项不符合题意．B、∵52+62≠72，∴此选项不符合题意；C、∵不是整数，∴此选项符合题意；D、∵402+92＝412，∴此选项符合题意；故选：D．29．解：（1）观察得给出的勾股数中，斜边与较大直角边的差是1，即c﹣b＝1 ∵a＝19，a2+b2＝c2，∴192+b2＝（b+1）2，∴b＝180，∴c＝181；（2）通过观察知c﹣b＝1，∵（2n+1）2+b2＝c2，∴c2﹣b2＝（2n+1）2，（b+c）（c﹣b）＝（2n+1）2，∴b+c＝（2n+1）2，又c＝b+1，∴2b+1＝（2n+1）2，∴b＝2n2+2n，c＝2n2+2n+1；（3）由（2）知，2n+1，2n2+2n，2n2+2n+1为一组勾股数，当n＝7时，2n+1＝15，112﹣111＝1，但2n2+2n＝112≠111，∴15，111，112不是一组勾股数．五．勾股定理的应用30．解：a的最小长度显然是圆柱的高12，最大长度根据勾股定理，得：＝13．即a的取值范围是12≤a≤13．故选：A．31．解：在Rt△ACB中，∵∠ACB＝90°，BC＝0.7米，AC＝2.4米，∴AB2＝0.72+2.42＝6.25．在Rt△A′BD中，∵∠A′DB＝90°，A′D＝2米，BD2+A′D2＝A′B2，∴BD2+22＝6.25，∴BD2＝2.25，∵BD＞0，∴BD＝1.5米，∴CD＝BC+BD＝0.7+1.5＝2.2（米）．故答案为：2.2．32．解：设竹子折断处离地面x尺，则斜边为（10﹣x）尺，根据勾股定理得：x2+62＝（10﹣x）2．解得：x＝3.2答：折断处离地面的高度是3.2尺．33．解：（1）是，理由是：在△CHB中，∵CH2+BH2＝（2.4）2+（1.8）2＝9BC2＝9∴CH2+BH2＝BC2∴CH⊥AB，所以CH是从村庄C到河边的最近路（2）设AC＝x在Rt△ACH中，由已知得AC＝x，AH＝x﹣1.8，CH＝2.4由勾股定理得：AC2＝AH2+CH2∴x2＝（x﹣1.8）2+（2.4）2解这个方程，得x＝2.5，答：原来的路线AC的长为2.5千米．六．平面展开-最短路径问题34．解：底面圆周长为2πr，底面半圆弧长为πr，即半圆弧长为：×2π×＝6（cm），展开得：∵BC＝8cm，AC＝6cm，根据勾股定理得：AB＝＝10（cm）．故答案为：10．35．解：如图展开后连接SF，求出SF的长就是捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径，过S作SE⊥CD于E，则SE＝BC＝×24＝12cm，EF＝18﹣1﹣1＝16cm，在Rt△FES中，由勾股定理得：SF＝＝＝20（cm），答：捕获苍蝇充饥的蜘蛛所走的最短路径的长度是20cm．故选：C．36．解：如图，把圆柱的侧面展开，得到矩形，则这圈金属丝的周长最小为2AC的长度．∵圆柱底面的周长为8dm，圆柱高为3dm，∴AB＝3dm，BC＝BC′＝4dm，∴AC2＝32+42＝25，∴AC＝5dm．∴这圈金属丝的周长最小为2AC＝10dm．故选：A．37．解：如图，将杯子侧面展开，作A关于EF的对称点A′，连接A′C，则A′C即为最短距离，A′C2＝A′D2+CD2＝82+122＝208，∴CA′＝4cm答：蚂蚁到达蜂蜜的最短距离的是4cm．故答案为4cm．38．解：由图可知，彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处，将易拉罐表面切开展开呈长方形，则螺旋线长为四个长方形并排后的长方形的对角线长，∵易拉罐底面周长是12cm，高是20cm，∴x2＝（12×4）2+202，所以彩带最短是52cm．故选：D．39．解：蜗牛绕圆锥侧面爬行的最短路线应该是一条线段，因此选项A和B错误，又因为蜗牛从p点出发，绕圆锥侧面爬行后，又回到起始点P处，那么如果将选项C、D 的圆锥侧面展开图还原成圆锥后，位于母线OM上的点P应该能够与母线OM′上的点（P′）重合，而选项C还原后两个点不能够重合．故选：D．40．解：将长方体展开，连接A、B′，∵AA′＝1+3+1+3＝8（cm），A′B′＝6cm，根据两点之间线段最短，AB′＝＝10cm．故答案为：10．41．解：将长方体展开，连接A、B，根据两点之间线段最短，（1）如图，BD＝10+5＝15，AD＝20，由勾股定理得：AB＝＝＝＝25．（2）如图，BC＝5，AC＝20+10＝30，由勾股定理得，AB＝＝＝＝5．（3）只要把长方体的右侧表面剪开与上面这个侧面所在的平面形成一个长方形，如图：∵长方体的宽为10，高为20，点B离点C的距离是5，∴BD＝CD+BC＝20+5＝25，AD＝10，在直角三角形ABD中，根据勾股定理得：∴AB＝＝＝5；由于25＜5＜5，故选：B．42．解：如图所示，∵三级台阶平面展开图为长方形，长为20，宽为（2+3）×3，∴蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程是此长方形的对角线长．设蚂蚁沿台阶面爬行到B点最短路程为x，由勾股定理得：x2＝202+[（2+3）×3]2＝252，解得：x＝25．故答案为25．。

精品解析2021-2022学年人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题训练试题(含解析)

人教版八年级数学下册第十七章-勾股定理专题训练考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、下列条件：①222b c a =-；②C A B ∠=∠-∠；③111::::345a b c =；④::3:4:5A B C ∠∠∠=，能判定ABC 是直角三角形的有（） A ．4个 B ．3个 C ．2个 D ．1个2、如图，在△ABC 中，∠A ＝90°，AB ＝6，BC ＝10，EF 是BC 的垂直平分线，P 是直线EF 上的任意一点，则PA ＋PB 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．123、如图，在ABC 中，5AB AC ==，8BC =，D 是线段BC 上的动点（不含端点B 、C ）．若线段AD 长为正整数，则点D 的个数共有（）A．4个B．3个C．2个D．1个4、如图，在4×4的正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，AD⊥BC于点D，则AD的长为（）A B．2 C D．35、满足下列条件的△ABC，不是直角三角形的是（）A．∠A：∠B：∠C＝5：12：13 B．a：b：c＝3：4：5C．∠C＝∠A﹣∠B D．b2＝a2﹣c26、如图，一张直角三角形纸片，两直角边AC=4cm，BC=8cm，将△ABC折叠，点B与点A重合，折痕为DE，则DE的长为（）．A．B C D．5BC，F是AC的中点，连接EF并延长7、如图，在等边△ABC中，AD⊥BC于D，延长BC到E，使CE＝12EF交AB于G，BG的垂直平分线分别交BG，AD于点M，点N，连接GN，CN，下列结论：①∠ACN＝EF；③∠GNC＝120°；④GM＝CN；⑤EG⊥AB，其中正确的个数是（）∠BCN；②GF＝12A．2个B．3个C．4个D．5个8、如图，以Rt△ABC（AC⊥BC）的三边为边，分别向外作正方形，它们的面积分别为S1﹑S2﹑S3，若S1＋S2＋S3＝12，则S1的值是（）A．4 B．5 C．6 D．79、下列四组数中，是勾股数的是（）A．5，12，13 B．23，24，25C．1D．7，24，2610、如图，OA＝OB，则数轴上点A所表示的数是（）A ．﹣1.5BCD ．﹣2第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、如图每个小方格都是边长为1的小正方形，则正方形A 的面积是_____，正方形B 的面积是_____，正方形C 的面积＝边长为7的正方形与4个直角边为_____的直角三角形的面积差为_____2、细心观察图形，认真分析各式，然后填空．OA22）2+1＝2S 1OA32＝12+）2＝3S 2OA 42＝12+2＝4S 3_____个三角形？3、如图，在平面直角坐标系中，点(0,3)A ，(2,5)B ，(3,2)M ．在第一象限内找一点横坐标、纵坐标均为整数的点C ，使得点M 是ABC 的三边垂直平分线的交点，则点C 的坐标为___________．4、如图，已知△ABC 中，∠ABC ＝90°，以△ABC 的各边为边，在△ABC 外作三个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，若S 1＝81，S 2＝225，则BC ＝__________．5、（1）已知甲、乙两人在同一地点出发，甲往东走了4 km ，乙往南走了3 km ，这时甲、乙两人相距_____km ．（2）如图是某地的长方形大理石广场示意图，如果小王从A 角走到C 角，至少走_____米．（3）如图：有一个圆柱，底面圆的直径AB ＝16 ，高BC ＝12，P 为BC 的中点，蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离是_____．三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）1、如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝6cm，BC＝8cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，求CD的长．2、已知△ABC中，∠C=90°，BC=3cm，BD=12cm，AD=13cm，△ABC的面积是6cm2．（1）求AB的长度；（2）求△ABD的面积．3、如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC是△ABC中最短的边，边AC的长度比BC长10cm，斜边AB 的长度比BC长度的2倍短10cm．（1）求Rt△ABC的各条边的长．（2）求AB边上的高．（3）点D从点B出发在线段AB上以2cm/s的速度向终点A运动，设点D的运动时间为t（s）．①用含t的代数式表示线段BD的长为；②当△BCD为等腰三角形时，请求出t的值．4、如图，正方形网格中的每个小正方形边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画图形．（1）在图1中，画一个等腰三角形（不含直角），使它的面积为8；（2）在图2中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数；（3）在图3中，画一个正方形，使它的面积为10．5、我边防战士在海拔高度（即CD的长）为50米的小岛顶部D处执行任务，上午8时发现在海面上的A处有一艘船，此时测得该船的俯角为30º，该船沿着AC方向航行一段时间后到达B处，又测得该船的俯角为45º，求该船在这一段时间内的航程（计算结果保留根号）．---------参考答案-----------一、单选题1、C【分析】根据三角形的内角和定理以及勾股定理的逆定理即可得到结论．【详解】解：①222b c a =-即222+=a b c ，△ABC 是直角三角形，故①符合题意；②∵∠A +∠B +∠C =180°，∠C =∠A −∠B ，∴∠A +∠B +∠A −∠B =180°，即∠A =90°，∴△ABC 是直角三角形，故②符合题意； ③∵111::::345a b c =，设a =3k，b =4k ，c =5k ，则222543k k k ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ∴△ABC 不是直角三角形，故③不合题意；④∵::3:4:5A B C ∠∠∠=，∴∠C =5345++×180°=75°，故不是直角三角形；故④不合题意．综上，符合题意的有①②，共2个，故选：C ．【点睛】本题主要考查了直角三角形的判定方法．①如果三角形中有一个角是直角，那么这个三角形是直角三角形；②如果一个三角形的三边a ，b ，c 满足a 2+b 2=c 2，那么这个三角形是直角三角形．【分析】如图，由线段垂直平分线的性质可知PB=PC，则有PA+PB=PA+PC，然后可知当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长．【详解】解：如图，连接PC，∵EF是BC的垂直平分线，∴PB=PC，∴PA+PB=PA+PC，∴PA＋PB的最小值即为PA＋PC的最小值，当点A、P、C三点共线时，PA+PB取得最小值，即为AC的长，∴在Rt△ABC中，∠A＝90°，AB＝6，BC＝10，由勾股定理可得：AC，8∴PA＋PB的最小值为8；故选B．【点睛】本题主要考查垂直平分线的性质及勾股定理，熟练掌握垂直平分线的性质及勾股定理是解题的关键．【分析】首先过A 作AE ⊥BC ，当D 与E 重合时，AD 最短，首先利用等腰三角形的性质可得BE =EC ，进而可得BE 的长，利用勾股定理计算出AE 长，然后可得AD 的取值范围，进而可得答案．【详解】解：如图：过A 作AE ⊥BC 于E ，∵在△ABC 中，AB =AC =5，BC =8，∴当AE ⊥BC ，EB =EC =4，∴AE 3，∵D 是线段BC 上的动点(不含端点B ，C ).若线段AD 的长为正整数，∴3⩽AD <5，∴AD =3或AD =4，当AD =4时，在靠近点B 和点C 端各一个，故符合条件的点D 有3点.故选B .【点睛】本题主要考察了等腰三角形的性质，勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握等腰三角形的性质，勾股定理的计算.4、B【分析】首先由勾股定理得AB ，AC ，BC 的三边长，从而有AB 2+AC 2＝BC 2，得∠BAC ＝90°，再根据S △ABC 1122AC AB BC AD =⋅=⋅，代入计算即可．【详解】解：由勾股定理得：AB=AC BC5=，∵AB2+AC2＝25，BC2＝25，∴AB2+AC2＝BC2，∴∠BAC＝90°，∴S△ABC1122AC AB BC AD =⋅=⋅，5AD=⨯，∴AD＝2，故选：B．【点睛】本题主要考查了勾股定理，通过勾股定理计算出三边长度，判断出∠BAC＝90°是解题的关键．5、A【分析】根据三角形的内角和定理和勾股定理逆定理对各选项分析判断利用排除法求解．【详解】解：A、∵∠A：∠B：∠C＝5：12：13，∴∠C＝180°×1325＝93.6°，不是直角三角形，故此选项正确；B、∵32+42＝52，∴是直角三角形，故此选项不合题意；C、∵∠A﹣∠B＝∠C，∴∠A＝∠B+∠C，∵∠A+∠B+∠C＝180°，∴∠A＝90°，∴是直角三角形，故此选项不合题意；D、∵b2＝a2﹣c2，∴a2＝b2+c2，是直角三角形，故此选项不合题意；故选：A．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，主要利用了三角形的内角和定理，勾股定理逆定理．6、B【分析】由翻折易得DB=AD，根据勾股定理即可求得CD长，再在Rt△BDE中，利用勾股定理即可求解．【详解】解析：由折叠可知，AD=BD，DE⊥AB，∴BE=12AB设BD为x，则CD=8-x，∵∠C=90°，AC=4，BC=8，∴AC2+BC2=AB2∴AB2=42+82=80，∴AB=∴BE=在Rt△ACD中，AC2+CD2=AD2 ，∴42+(8-x)2=x2，解得x=5，在Rt △BDE 中，BE 2+DE 2=BD 2，即(2+DE 2=52，∴DE故选：B ．【点睛】本题考查了翻折变换（折叠问题），勾股定理，熟记翻折前后对应边相等是解题的关键．7、B【分析】由ABC 是等边三角形，M 不是AB 中点可判断①；根据等边三角形的性质和三角形外角的性质得30E ∠=︒，由60B ∠=︒可判断⑤；设AG x =，则2AF FC CE x ===，表示EF 和FG 的长可判断②；作辅助线，构建三角形全等，先根据角平分线的性质得NH NM =，由线段垂直平分线的性质得BN CN NG ==，证明()Rt NGM Rt NCH HL ≅，NG GM >可判断③④．【详解】解：ABC 是等边三角形，MN 是BG 的垂直平分线M ∴不是AB 中点，N 点不在∠ACB 的角平分上，∴CN 不平分∠ACB ，ACN BCN ∴∠≠∠，故①错误； ABC 是等边三角形，60BAC ACB ∴∠=∠=∠=︒，AC BC =， 12CE BC =，F 是AC 的中点， CF CE ∴=，E CFE ∴∠=∠，60ACB E CFE ∠=∠+∠=︒，30E ∴∠=︒，90BGE ∴∠=︒，EG AB ∴⊥，故⑤正确；设AG x =，则2AF FC CE x ===，FG ∴=，6BE x =，在Rt BGE 中，3BG x =，EG =，EF EG FG ∴=-==，12GF EF ∴=，故②正确；如图，过N 作NH AC ⊥于H ，连接BN ，在等边ABC 中，AD BC ⊥，AD ∴平分BAC ∠，BN CN =，MN AB ⊥，NH NM ∴=， MN 是BG 的垂直平分线，BN NG ∴=，BN CN NG ∴==，在Rt NMG 中，NG GM >，GM CN ∴≠，故④错误；在Rt NGM 和Rt NCH △中，MN NH GN NC =⎧⎨=⎩， ()Rt NGM Rt NCH HL ∴≅，GNM CNH ∴∠=∠，MNH CNG ∴∠=∠，60ANM ANH ∠=∠=︒，120GNC ∴∠=︒，故③正确．故选：B ．【点睛】本题考查了等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、垂直平分线的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；熟练掌握勾股定理和等边三角形的性质，证明三角形全等是解题的关键．8、C【分析】根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案．【详解】解：∵由勾股定理得：AC 2+BC 2=AB 2，∴S 3+S 2=S 1，∵S 1+S 2+S 3=12，∴2S 1=12，∴S 1=6，故选：C ．【点睛】题考查了勾股定理和正方形面积的应用，注意：分别以直角三角形的边作相同的图形，则两个小图形的面积等于大图形的面积．9、A【分析】根据勾股数的定义：有a 、b 、c 三个正整数，满足222+=a b c ，称为勾股数．由此判定即可．【详解】解：A 、22251213+=，是勾股数，符合题意；B 、222222(3)(4)(5)+≠，不是勾股数，不符合题意；CD 、22272426+≠，不是勾股数，不符合题意．故选：A ．【点睛】本题考查了勾股数，熟练掌握勾股数的定义是解题的关键．10、C【分析】利用勾股定理求得线段OB 的长，结合数轴即可得出结论．【详解】解：OB∵OA ＝OB ，∴OA∴数轴上点A故选：C ．【点睛】本题主要考查了数轴，勾股定理．利用勾股定理求得线段OB 的长度是解题的关键．二、填空题1、9 16 3和4 25【分析】利用网格求各图形的面积，利用面积和差填空即可．【详解】解：正方形A 的面积是239=，正方形B 的面积是2416=，正方形C 的面积＝边长为7的正方形与4个直角边为3和4的直角三角形的面积差为217434252-⨯⨯⨯=；故答案为：9；16；3和4；25．【点睛】本题考查了网格面积问题，解题关键是准确识图，熟练运用网格求面积．2、20【分析】根据题意可以得到规律2211n n OA nS -=+==，由此求解即可．【详解】解：∵OA 222+1＝2S 1＝2；OA32＝12+）2＝3S 2OA42＝12+2＝4S 3∴2211n n OA nS -=+==，= ∴21n =，∴它是第21-1=20个三角形，故答案为：20．【点睛】本题主要考查了勾股定理和与实数运算有关的规律型问题，解题的关键在于能够根据题意找到规律求解．3、（4，5）或（6，1）或（6,3）【分析】连接MA ，MB ，根据线段垂直平分线的性质结合勾股定理可求出MA MB MC ===C 点坐标为()a b ，，则MC ==C 点在第一象限内，且横、纵坐标都为整数，即可确定a ，b 的值，即得出答案．【详解】如图，连接MA ，MB ，根据图可知MA MB ==∵点M 是△ABC 的三边垂直平分线的交点，∴MA MB MC ===设C 点坐标为()a b ，．根据题意可知00a b >>，，且a b ，都为整数．∴MC 33a ->-，22b ->-．=∴3123a b -=⎧⎨-=⎩或3123a b -=-⎧⎨-=⎩或3321a b -=⎧⎨-=⎩或3321a b -=⎧⎨-=-⎩，解得：45a b =⎧⎨=⎩或25a b =⎧⎨=⎩（舍）或63a b =⎧⎨=⎩或61a b =⎧⎨=⎩． ∴C 点坐标为(4，5)或(6，1)或(6，3)．故答案为：(4，5)或(6，1)或(6，3)．【点睛】本题考查线段垂直平分线的性质，勾股定理，两点的距离公式．理解题意，结合线段垂直平分线的性质，分析出MA MB MC ==是解答本题的关键．4、12【分析】根据勾股定理得到AC 2+BC 2=AB 2，再由正方形的面积公式计算即可得到答案．【详解】解：∵∠ABC =90°，∴由勾股定理得，AC 2+BC 2＝AB 2，∵21=S AB ，23=S BC ，22=S AC ， ∴213=S S S +，∴2321===144S BC S S -，∴BC =12故答案为：12．【点睛】本题主要考查的是勾股定理和算术平方根，如果直角三角形的两条直角边长分别是a ，b ，斜边长为c ，那么a 2+b 2=c 2．5、5 50 10【分析】（1）因为甲向东走，乙向南走，其刚好构成一个直角．两人走的距离分别是两直角边，则根据勾股定理可求得斜边即两人的距离；（2）连接AC ，利用勾股定理求出AC 的长即可解决问题；（3）把圆柱的侧面展开，连接AP ，利用勾股定理即可得出AP 的长，即蚂蚁从A 点爬到P 点的最短距离．【详解】解：（1）如图，∵∠AOB=90°，OA=4km，OB=3km，∴AB km．故答案为：5；（2）如图连接AC，∴四边形ABCD是矩形，∴∠B=90°，在Rt△ABC中，∵∠B=90°，AB=30米，BC=40米，∴AC=米)．根据两点之间线段最短可知，小王从A角走到C角，至少走50米，故答案为：50；（3）解：已知如图：∵圆柱底面直径AB=16π，高BC=12，P为BC的中点，∴圆柱底面圆的半径是8π，BP=6，∴AB=12×2×8π•π=8，在Rt△ABP中，AP，∴蚂蚁从A点爬到P点的最短距离为10．故答案为：10．【点睛】本题考查勾股定理的应用，平面展开-最短路径问题，根据题意画出圆柱的侧面展开图，利用勾股定理求解是解答此题的关键．三、解答题1、CD＝74cm【分析】由翻折易得DB＝AD，利用直角三角形ACD，勾股定理即可求得CD长．【详解】解：由题意得DB＝AD；设CD＝xcm，则AD＝DB＝（8﹣x）cm，∵∠C＝90°，∴在Rt△ACD中，根据勾股定理得：AD2﹣CD2＝AC2，即（8﹣x）2﹣x2＝36，解得x ＝74；即CD ＝74cm ．【点睛】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知翻折前后对应边相等，勾股定理的应用．2、（1）5cm （2）230cm【分析】（1）根据直角三角形ABC 的面积求得AC ，再根据勾股定理即可求得AB 的长；（2）根据勾股定理的逆定理证明△ABD 是直角三角形，即可求解．【详解】解：（1）∵∠C ＝90° ∴16,32ABCS AC BC BC =⋅== ∴4AC =∵90C ∠=︒∴5cm AB（2）∵22251213+=∴222AB BD AD +=∴90ABD ∠=︒ ∴2130cm 2ABDS AB BD =⋅=．【点睛】此题主要是考查了勾股定理及其逆定理．注意：直角三角形的面积等于两条直角边的乘积的一半．3、（1）AB =50cm ，BC =30cm ，AB =40cm ，（2）AB 边上的高为24cm ；（3）①2t ；②当△BCD 为等腰三角形时， t 的值为15s 或18s 或252s ．【分析】（1）设cm BC x =，则()10cm AC x =+，()210cm AB x =-，然后利用勾股定理求解即可；（2）过点C 作CE ⊥AB 于E ，然后利用面积法求解即可；（3）①根据路程=速度×时间即可得到答案；②分三种情况：当30cm BD BC ==时，当30cm CD CB ==时，当CD BD =时，讨论求解即可．【详解】解：（1）设cm BC x =，则()10cm AC x =+，()210cm AB x =-，∵∠ACB =90°，∴222AC BC AB +=，∴()()22210210x x x ++=-，解得30x =或0x =（舍去），∴30cm BC =，则40cm AC =，50cm AB =；（2）如图所示，过点C 作CE ⊥AB 于E ， ∴11=22ABC S AC BC AB CE ⋅=⋅， ∴24cm AC BC CE AB ⋅==， ∴AB 边上的高为24cm ；（3）①由题意得：2cm=，BD t故答案为：2cmt；②如图3-1所示，当30cm==时，BD BC∴2=30t，解得15t=；如图3-2所示，当30cm==时，过点C作CE⊥AB于E，CD CB由（2）得24cmCE=，∴236cm==，BD BE∴236t=，解得18t=；如图3-3所示，当CD BD =时，过点C 作CE ⊥AB 于E ，由（2）得24cm CE =，设cm CD BD y ==，在直角△CEB 中18cm BE ==，∴()18cm DE BD BE y =-=-，在直角△CDE 中，222CD DE CE =+，∴()2221824y y =-+，解得25y =，∴225t =，解得252t =；综上所述，当t 的值为15或18或252时，△BCD 为等腰三角形．【点睛】本题主要考查了勾股定理，三角形面积，等腰三角形的性质，熟知勾股定理是解题的关键．4、（1）作图见详解；（2）作图见详解；（3）作图见详解．【分析】（1）根据题意找出三角形底为4，高为4的三角形即可；（2）根据题意可画出直角边分别为3，4的直角三角形，斜边通过勾股定理计算为5，符合题意；（3【详解】（1）如图所示，三角形底为4，高为4，面积为8，符合题意，即为所求；（2）如图所示，三角形为所求，直角边分别为3，4，根据勾股定理，斜边为5，符合题意；（310，符合题意．【点睛】此题主要考查网格与图形，解题的关键是熟练运用勾股定理．5、50)AB =米【分析】先求出∠A =∠EDA =30°，∠DBC =∠EDB =45°，∠C =90°，即可得到AD =2CD =100米，∠BDC =45°，然后分别求出AC ，BC 的长，即可求得AB 的长．【详解】解：如图所示，由题意得：∠EDA =30°，∠EDB =45°，AC ∥ED ，CD ⊥AC ，CD =50米，∴∠A =∠EDA =30°，∠DBC =∠EDB =45°，∠C =90°，∴AD =2CD =100米，∠BDC =45°，∴AC BDC =∠DBC =45°，∴BC =CD =50米，∴()50AB AC BC =-=米，∴该船在这一段时间内的航程为()50米．【点睛】本题主要考查了勾股定理和含30度角的直角三角形的性质，平行线的性质，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解．。

数学人教版八年级下册第十七章勾股定理单元复习2021学年

2021学年数学人教版八年级下册单元复习第十七章勾股定理重难点知识讲解勾股定理文字语言符号语言图示变式应用直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方如果直角三角形的两条直角边长分别为,a b ，斜边长为c ，那么222a b c +=.22a c =-22;b b =22.c a -22;c a b =+22;a cb =-22.b c a =-勾股定理的逆定理与勾股定理的联系与区别勾股定理勾股定理的逆定理条件在Rt ABC △中，90C ∠=︒. 在ABC △中，222a b c +=.结论222a b c +=90C ∠=︒区别勾股定理以“一个三角形是直角三角形”为条件，进而得到数量关系“222a b c +=”，即由“形”到“数”勾股定理的逆定理以“一个三角形的三边满足222a b c +=”为条件，进而得到“这个三角形是直角三角形”，即由“数”到“形”.联系两者都与三角形的三边有关系【延伸】设三角形的三边长分别为,,a b c （c 为最长边的长）.如果222a b c +=，那么这个三角形是直角三角形；如果222a b c +<，那么这个三角形是钝角三角形；如果222a b c +>，那么这个三角形是锐角三角形. 跟踪训练1.下列说法正确的有( )①每个命题都有逆命题；②互逆命题的真假性一致；③每个定理都有逆定理 A.0个B.1个C.2个D.3个2.如图，在平面直角坐标系中有两点()5,0A ，()0,4B ，则它们之间的距离为( )A.41B.35C.29D.33.已知Rt ABC 中，90C ∠=︒，若108a b c +==，，则Rt ABC 的面积为( ) A.9B.18C.24D.364.图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，此图由四个全等的直角三角形拼接而成，其中512AE BE ==，，则EF 的长是( )A.7B.8C.72D.735.以下列线段的长为三边的三角形中，能构成直角三角形的是( ) A.2223,4,5B.13，5，12C.111,,345D.1113,4,52226.如图，长为8cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端A 和B ，然后把中点C 向上拉升3cm 至D 点，则橡皮筋被拉长了( )A.2cmB.3cmC.4cmD.5cm7.如图所示，已知在三角形纸片ABC 中，3690BC AB BCA ==∠=︒，，，在AC 上取一点E ，以BE 为折痕，折叠ABC ，使点A 与BC 延长线上的点D 重合，则DE 的长度为( )A.6B.3C.23D.38.甲、乙两艘客轮同时离开港口，航行的速度都是每分钟40m，甲客轮用15分钟到达点A，乙客轮用20分钟到达点B，若A、B两点的直线距离为1000m，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，则乙客轮的航行方向可能是( )A.南偏东60°B.南偏西60°C.北偏西30°D.南偏西30°9.我国南宋著名数学家秦九韶的著作《数书九章》里有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是有一块三角形沙田，三条边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中“里”是我国市制长度单位，1里500米，则该沙田的面积为( )A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米10.图是用三块正方形纸片以顶点相连的方式设计的“毕达哥拉斯”图案.现有五种正方形纸片，面积分别是1,2,3,4,5，选取其中三块（可重复选取）按如图所示的方式组成图案，使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，则选取的三块纸片的面积分别是( )A.1，4，5B.2，3，5C.3，4，5D.2，2，411.如图，已知圆柱体底面圆的半径为2π，高为2，AB，CD分别是两底面的直径.若一只小虫从A点出发，沿圆柱侧面爬行到C点，则小虫爬行的最短路线的长度是__________(结果保留根号).12.如图，1AB BC CD DE ====，且,,BC AB CD AC DE AD ⊥⊥⊥，则线段AE 的长为_______.13.如图，已知908412A AC AB CD BD ∠=︒====，，，，则ACD ∠=_________度.14.如图所示的网格是正方形网格，则PAB PBA ∠+∠=________°.(点A ，B ，P 是网格线的交点).15.如图，在四边形ABCD 中，90AB AD A C =∠=∠=︒，，四边形ABCD 的面积为S .若35CD CB ==，，求S .答案以及解析1.答案：B解析：把原命题的题设与结论交换得到原命题的逆命题，所以①正确；命题：若a b =，则||||a b =，是真命题，其逆命题为若||||a b =,则a b =，是假命题，所以②错误；每个定理一定有逆命题，但定理的逆命题不一定是真命题，所以③错误.所以说法正确的有1个.故选B. 2.答案：A解析：由题意可知5OA =，4OB =，90AOB ∠=°，在Rt AOB △中，由勾股定理可得AB .故选A.3.答案：A解析：210,()100a b a b +=∴+=，又22264a b c +==，()2221001006436ab a b ∴=-+=-=，解得18ab =，19,Rt 2ab ABC ∴=∴的面积为9.故选A. 4.答案：C 解析：512AE BE ==，，即12和5为两条直角边长时，小正方形的边长1257=-=，EF ∴==故选C.5.答案：B解析：A.222222(4)())(53+≠，不能构成直角三角形；B.22251213+=，能构成直角三角形；C.222111453⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不能构成直角三角形：D.222111345222⎛⎫⎛⎫⎛⎫+≠ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，不能构成直角三角形.故选B. 6.答案：A解析：在Rt ACD 中，14cm 2AC AB ==，3cm CD =；根据勾股定理，得：5cm AD =， 21082cm AD BD AB AD AB ∴+-=-=-=；故橡皮筋被拉长了2cm . 故选A. 7.答案：C解析：3,690BC AB BCA ==∠=︒，，22226333AC AB BC ∴=-=-=，由翻折的性质得，,6DE AE BD AB ===，633,33CD BD BC CE DE ∴=-=-==-，在Rt CDE 中，222CD CE DE +=，即2223(33)DE DE +-=，解得23DE =. 8.答案：A解析：如图，甲、乙两艘客轮同时离开港口O ，航行的速度都是每分钟40m ，甲客轮用15分钟到达点A ，乙客轮用20分钟到达点B ， 4015600(m),4020800(m)OA OB ∴=⨯==⨯=.A 、B 两点间的直线距离为1000m ，2226008001000,90AOB ∠+=∴=，甲客轮沿着北偏东30°的方向航行，∴乙客轮沿着南偏东60°的方向航行，故选A.9.答案：A 解析：22251213+=，∴三条边构成了直角三角形，∴这块沙田面积为155001250075000002⨯⨯⨯⨯=（平方米）7.5=（平方千米）.故选A. 10.答案：B解析：当选取的三块纸片的面积分别是1，4，5时，141⨯=；当选取的三块纸片的面积分别是2，3，5236⨯=；当选取的三块纸片的面积分别是3，4，5时，围成的三角形不是直角三角形；当选取的三块纸片的面积分别是2，2，4221⨯=，又61>，∴为了使所围成的三角形是面积最大的直角三角形，应选取的三块纸片的面积分别是2，3，5，故选B. 11.答案：22解析：将圆柱体的侧面沿AD 剪开并铺平，得长方形AA D D ''，连接AC ，如图. 线段AC 就是小虫爬行的最短路线. 根据题意得212π2π2AB =⨯⨯=. 在Rt ABC △中，由勾股定理得222AC AB BC =+22228=+=，822AC ∴==.12.答案：2解析：,,,90BC AB CD AC AD DE B ACD ADE ∠∠∠⊥⊥⊥∴===，1AB BC CD DE ====，∴由勾股定理得222222112,(2)13,(3)12AC AD AE =+=+=+.13.答案：45解析：2290,8,8882A AC AB BC ∠===∴+2224,12,16128144CD BD CD BC BD ==∴+=+==，BCD ∴是直角三角形，90DCB ∴∠=︒， 90AC AB A =∠=︒，， 4545ACB ACD ∴∠=︒∴∠=︒，.14.答案：45解析：如图，延长AP 交网格边缘于D ，连接BD ，设每个小正方形的边长为1，则2222125PD BD ==+=，2221310PB =+=， 222PD DB PB ∴+=，90PDB ∴∠=︒，45DPB PAB PBA ∴∠=∠+∠=︒.15.答案：如答图,连接BD .90,3,5,A C CD CB ∠=∠===22223534BD DC BC ∴=+=+=.设(0)AB AD x x ==>，2234x ∴=，解得17x =（负值已舍去），111717351622ADAB DCBS S S∴=+=⨯⨯+⨯⨯=.。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章知识点归纳及典型题分类

勾股定理全章知识点归纳及典型题分类一．基础知识点： 1：勾股定理直角三角形两直角边a 、b 的平方和等于斜边c 的平方。

（即：a 2+b 2＝c 2）要点诠释：勾股定理反映了直角三角形三边之间的关系，是直角三角形的重要性质之一，其主要应用：（1）已知直角三角形的两边求第三边（在ABC ∆中，90C ∠=︒，则c，b，a ）（2）已知直角三角形的一边与另两边的关系，求直角三角形的另两边（3）利用勾股定理可以证明线段平方关系的问题 2：勾股定理的逆定理如果三角形的三边长：a 、b 、c ，则有关系a 2+b 2＝c 2，那么这个三角形是直角三角形。

要点诠释：勾股定理的逆定理是判定一个三角形是否是直角三角形的一种重要方法，它通过“数转化为形”来确定三角形的可能形状，在运用这一定理时应注意：（1）首先确定最大边，不妨设最长边长为：c ；（2）验证c 2与a 2+b 2是否具有相等关系，若c 2＝a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为直角的直角三角形（若c 2>a 2+b 2，则△ABC 是以∠C 为钝角的钝角三角形；若c 2<a 2+b 2，则△ABC 为锐角三角形）。

（定理中a ，b ，c 及222a b c +=只是一种表现形式，不可认为是唯一的，如若三角形三边长a ，b ，c 满足222a c b +=，那么以a ，b ，c 为三边的三角形是直角三角形，但是b 为斜边）3：勾股定理与勾股定理逆定理的区别与联系区别：勾股定理是直角三角形的性质定理，而其逆定理是判定定理；联系：勾股定理与其逆定理的题设和结论正好相反，都与直角三角形有关。

4：互逆命题的概念如果一个命题的题设和结论分别是另一个命题的结论和题设，这样的两个命题叫做互逆命题。

如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的逆命题。

5：勾股定理的证明勾股定理的证明方法很多，常见的是拼图的方法用拼图的方法验证勾股定理的思路是①图形进过割补拼接后，只要没有重叠，没有空隙，面积不会改变 ②根据同一种图形的面积不同的表示方法，列出等式，推导出勾股定理 6：勾股数①能够构成直角三角形的三边长的三个正整数称为勾股数，即222a b c +=中，a ，b ，c 为正整数时，称a ，b ，c 为一组勾股数②记住常见的勾股数可以提高解题速度，如3,4,5；6,8,10；5,12,13；7,24,25等③用含字母的代数式表示n 组勾股数：221,2,1n n n -+（2,n ≥n 为正整数）； 2221,22,221n n n n n ++++（n 为正整数）2222,2,m n mn m n -+（,m n >m ，n为正整数）二、典型题归类类型一：等面积法求高【例题】如图，△ABC 中，∠ACB=900，AC=7，BC=24，C D ⊥AB 于D 。

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章考点例析

人教版八年级数学下册第十七章勾股定理全章考点例析知识框架考点例析知识点一：勾股定理1．勾股定理的内容：在直角三角形中，两直角边的的平方和等于斜边的平方．2．勾股定理的表示方法：如果直角三角形的两直角边分别为,a b ，斜边为c ，那么有a 2+b 2=c 2。

【例1】在ABC ∆中，90C ︒∠=，（1）若3,4,a b ==则c = ；（2）若6,10a c ==，则b = ；（3）若:3:4,15a b c ==，则a = ，b = 。

【例2】已知直角三角形的两边长分别是3和4，如果这个三角形是直角三角形，第三边为_________________。

3.勾股定理的验证至少掌握勾股定理的三种验证方法，并从中体会到这种验证方法所体现的数学思想。

方法一方法二方法三【例3】2002年8月在北京召开的国际数学家大会会标取材于我国古代数学家赵爽的《勾股圆方图》，它是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形（如图所示）．如果大正方形的面积是13，小正方形的面积是1，直角三角形较短直角边为a ，较长直角边为b ，那么2()a b 的值为（）．A ．13B ．19C ．25D ．169DCBAcbaDCBAc bac baEDCBA【例4】如图，有一只小鸟在一棵高13m 的大树树梢上捉虫子，它的伙伴在离该树12m ，高8m 的一棵小树树梢上发出友好的叫声，它立刻以2m/s 的速度飞向小树树梢，那么这只小鸟至少几秒才可能到达小树和伙伴在一起？例5】已知：如图，四边形ABCD 中，∠B ，∠D 是直角，∠A=45°．若DC=2cm ，AB=5cm ，求AD 和BC 的长．【例6】如图，第①个等腰直角三角形的直角边长等于1，以它的斜边长为腰长作第②个等腰直角三角形，再以第②个等腰直角三角形的斜边长为腰长作第③个等腰直角三角形…．依次得到一系列的等腰直角三角形，其序号依次为①、②、③、④、…．（1）分别求出第①、②、③、④个等腰直角三角形的斜边长；（2）归纳出第n 个等腰直角三角形的斜边长．（n 为正整数）S 1S 2S 3A B C 【例7】如图，在Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°○，以△ABC 各边为边在△ABC 外作三个正方形，S 1，S 2，S 3分别表示这三个正方形的面积，S 1=81，S 3 =225，则S 2= 。

人教版初中八年级数学下册第十七章《勾股定理》知识点总结(含答案解析)(1)

一、选择题1．如图，,,AB AD CB CD AC BD ==、相交于点O ，则下列说法中正确的个数是（） ①OD OB =；②点O 到CB CD 、的距离相等；③BDA BDC ∠=∠；④BD AC ⊥A ．4B ．3C ．2D ．12．如图，,AD BC ⊥垂足为,D BF AC ⊥，垂足为,F AD 与BF 交于点,5,2E AD BD DC ===，则AE 的长为（）A ．2B ．5C ．3D ．73．如图，AD 平分BAC ∠交BC 于点D ，DE AB ⊥于点E ，DF AC ⊥于点F ，若ABC S 12=，DF 2=，AC 3=，则AB 的长是 ( )A ．2B ．4C ．7D ．94．如图，点O 在ABC 内，且到三边的距离相等．若110BOC ∠=°，则A ∠的度数为( )A ．40︒B ．45︒C ．50︒D ．55︒5．用三角尺画角平分线：如图，先在AOB ∠的两边分别取OM ON =，再分别过点M ，N 作OA ，OB 的垂线，交点为P ．得到OP 平分AOB ∠的依据是（）A ．HLB ．SSSC ．SASD ．ASA 6．如图，AP 平分∠BAF ，PD ⊥AB 于点D ，PE ⊥AF 于点E ，则△APD 与△APE 全等的理由是（）A ．SSSB ．SASC ．SSAD ．AAS7．下列说法正确的是（）①近似数232.610⨯精确到十分位；②在2，()2--，38-，2--中，最小的是38-；③如图所示，在数轴上点P 所表示的数为15-+；④用反证法证明命题“一个三角形最多有一个钝角”时，首先应假设“这个三角形中有两个钝角”；⑤如图，在ABC 内一点P 到这三条边的距离相等，则点P 是三个角平分线的交点．A ．1B ．2C ．3D ．48．如图所示，已知∠A ＝∠C ，∠AFD ＝∠CEB ，那么给出的条件不能得到ADF CBE △≌△是（）A ．∠B ＝∠D B ．EB=DFC ．AD=BCD ．AE=CF 9．如图，在Rt ABC 中，C 90∠=，AD 是BAC ∠的平分线，若AC 3=，BC 4=，则ABD ACD S :S 为( )A ．5:4B ．5:3C ．4:3D ．3:4 10．如图，OB 平分∠MON ，A 为OB 的中点，AE ⊥ON ，EA=3，D 为OM 上的一个动点，C 是DA 延长线与BC 的交点，BC //OM ，则CD 的最小值是（）A ．6B ．8C ．10D ．1211．如图，在ABC 中，B C ∠=∠，E 、D 、 F 分别是AB 、BC 、AC 上的点，且BE CD =，BD CF =，若 104A ∠=︒，则EDF ∠的度数为（）A ．24°B ．32°C ．38°D ．52°12．如图，AB ＝AC ，点D 、E 分别是AB 、AC 上一点，AD ＝AE ，BE 、CD 相交于点M ．若∠BAC ＝70°，∠C ＝30°，则∠BMD 的大小为( )A ．50°B ．65°C ．70°D ．80°13．如图，在OAB 和OCD 中，OA OB =，OC OD =，OA OC >，40AOB COD ∠=∠=︒，连接AC 、BD 交于点M ，连接OM ，下列结论：①AC BD =；②40AMB ∠=︒；③OM 平分BOC ∠；④MO 平分BMC ∠，其中正确的为（）A ．①②③B ．①②④C ．②③④D ．①②③④ 14．如图，AB ＝4cm ，AC ＝BD ＝3cm ，∠CAB ＝∠DBA ，点P 在线段AB 上以1cm/s 的速度由点A 向点B 运动，同时，点Q 在线段BD 上由点B 向点D 运动．设运动时间为t （s ），当△ACP 与△BPQ 全等时，则点Q 的运动速度为（）cm/s ．A ．0.5B ．1C ．0.5或1.5D ．1或1.5 15．根据下列条件，能画出唯一ABC 的是（）A ．3AB =，4BC =，7CA =B ．4AC =，6BC =，60A ∠=︒ C ．45A ∠=︒，60B ∠=︒，75C ∠=︒D ．5AB =，4BC =，90C ∠=︒二、填空题16．如图，△ABC 中，∠ACB =90°，点D 在边AC 上，DE ⊥AB 于点E ，DC =DE ，∠A =32°，则∠BDC 的度数为________．17．如图，四边形ABCD 中，180B D ∠+∠=︒，AC 平分DAB ∠，CM AB ⊥于点M ，若4cm AM =， 2.5cm BC =，则四边形ABCD 的周长为______cm ．18．如图，AOP BOP ∠=∠，PD OA ⊥，C 是OB 上的动点，连接PC ，若4PD =，则PC 的最小值为_________．19．如图，ABC 中，D 是AB 上的一点，DF 交AC 于点E ，AE CE =，//CF AB ，若四边形DBCF 的面积是26cm ，则ABC 的面积为______2cm ．20．如图，BD 平分ABC ∠交AC 于点D ，DE BC ⊥于点E ，若2DE =，7BC =，12ABC S =△，则AB 的长为______．21．如图，线段AB ，CD 相交于点O ，AO=BO ，添加一个条件，能使AOC BOD ≅，所添加的条件的是___________________________．22．如图，在ABC 中，点D 是BC 上的一点，已知30DAC ∠=︒，75DAB ∠=︒，CE 平分ACB ∠交AB 于点E ，连接DE ，则DEC ∠=________度．23．如图，△ABC 的面积为1cm 2，AP 垂直∠ABC 的平分线BP 于P ，则△PBC 的面积为___．24．如图，△ACB 和△DCE 中，AC ＝BC ，∠ACB ＝∠DCE ＝90°，∠ADC ＝∠BEC ，若AB ＝17，BD ＝5，则S △BDE ＝_______．25．如图，//AD BC ，ABC ∠的角平分线BP 与BAD ∠的角平分线AP 相交于点P ，作PE AB ⊥于点E ．若9PE =，则两平行线AD 与BC 间的距离为_______．26．如图，AD 是ABC 中BAC ∠的平分线，DE AB ⊥交AB 于点E ，DF AC ⊥交AC 于点F ．若28ABC S =，4DE =，8AB =，则AC =_________．三、解答题27．如图，在△ABC 中，∠BAC 的平分线AD 交BC 于点D ，过点D 作DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别是E ，F ，连接EF ．写出两个结论（∠BAD ＝∠CAD 和DE ＝DF 除外），并选择一个结论进行证明．（1）____________；（2）____________．28．将Rt ABC △的直角顶点C 置于直线l 上，AC BC =，分别过点 A 、B 作直线l 的垂线，垂足分别为点D 、E ，连接AE ．若3BE =， 5DE =．求ACE △的面积．29．如图，点E 在线段BD 上，已知,,AB AC AD AE BE CD ===．（1）求证：BAC EAD ∠=∠．（2）写出123∠∠∠、、之间的数量关系，并予以证明．30．如图，已知：AB ＝AD ，BC ＝DE ，AC ＝AE ，试说明：∠1＝∠2．。

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勾股定理
考点1：勾股定理证明,网]
【例1】利用几何图形的性质探索勾股定理：
探索一：剪4个与图1完全相同的直角三角形，
再将它们拼成如图2所示的图形。

大正方形的面积可以表示为：；
又可以表示为。

∵两种方法都是表示同一个图形的面积
∵ =
即 = ∵（用字母表示）【例2】将图2沿中间的正方形的对角线剪开，
得到如图所示的梯形：
直角梯形的面积可以表示为：；
三个直角三角形的面积和可以表示为：；
利用“直角梯形的面积”与“三个直角三角形的面积和”的关系，可以得到：
= + +
∵ =
即 =
∵
（用字母表示）
【例3】利用代数的计算方法探索勾股定理:
探索一：如图一，观察图中用阴影画出的三个正方形（每一个小方格的边长为1）
∵= ，= ；
∵ =
即：（用字母表示）
考点2：勾股定理
如果直角三角形两直角边分别为a ，b ，斜边为c ，那么a2+b2=c2.
即:直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
222=+222=+21S S +3S =+
【例题1】、在Rt∵ABC 中，∵C=90°，
①若a=5，b=12，则c=___________；
②若a=15，c=25，则b=___________；
③若c=61，b=60，则a=__________；
④若a∵b=3∵4，c=10则SRt∵ABC=________
【例题2】直角三角形两直角边长分别为5和12，则它斜边上的高为__________.
【例题3】.在Rt∵ABC 中，∵C=90°，AB=4，则AC2+BC2+AB2= .
【例题4】. ∵ABC 中，AB=AC=10cm ，BC=16cm ，AD∵BC 于D ，则AD= .
【例题5】.已知等腰三角形的腰长为10，一腰上的高为6，则以底边为边长的正方形的面积为（）
A ．40
B ．80
C ．40或360
D ．80或360
【例题6】. 如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC =6cm ，BC =8cm ，现将直角边AC 沿直线AD 折叠，使它落在斜边AB 上，且与AE 重合，求CD .
【随堂练习】
1、若等腰三角形中相等的两边长为10cm ，第三边长为16 cm ，那么第三边上的高为 ( )
A 、12 cm
B 、10 cm
C 、8 cm
D 、6 cm
2、若等腰直角三角形的斜边长为2，则它的直角边的长为，斜边上的高的长为。

3、一个高1.5米、宽0.8米的长方形门框，需要在其相对的顶点间用
222
2b c a b a c -=+=A C D B
E C
一条木条加固，则需木条长为。

4、从电杆离地面5m处向地面拉一条长为7m的钢缆，则地面
钢缆A到电线杆底部B的距离为。

5、有一个边长为50dm的正方形洞口，想用一个圆盖盖住这个洞口，
圆的直径至少为（结果保留根号）
6、已知直角三角形的两边长分别为3cm和5cm，，则第三边长为。

7、已知等边三角形的边长为2cm，则它的高为，面积为。

8、一旗杆离地面6m处折断，其顶部落在离旗杆底部8m处，则旗杆折断前高。

9.如右图，池塘边有两点A，B，点C是与BA方
向成直角的AC方向上一点．测得CB＝60m，AC＝20m，
你能求出A、B两点间的距离吗?
10、如图，滑杆在机械槽内运动，∵ACB为直角，已知滑杆AB长100cm，顶端A在AC上运动，量得滑杆下端B距C点的距离为60cm，当端点B向右移动20cm时，
滑杆顶端A下滑多长？
11、已知等腰三角形腰长是10，底边长是16，求这个等腰三角形的面积。

12、在数轴上作出表示17的点。

A
E
B D C
13、已知：在Rt∵ABC 中，∵C=90°，CD∵AB 于D ，∵A=60°，CD=3，
求线段AB 的长。

14、如图，在∵ABC 中，∵ACB=900，AB=5cm ，BC=3cm ，
CD∵AB 与D 。

求：
（1）AC 的长；（2）∵ABC 的面积；（3）CD 的长。

C A
B D。

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