高中数学：函数压轴题专项练习,-WPS Office

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高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案)之欧阳家百创编

高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）欧阳家百（2021.03.07）1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式211222(log )7log 30x x ++≤，求22()log log 42x x f x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．2.（14分）已知定义域为R 的函数2()12x x af x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数,且12()25f =.(1) 求实数a ,b 的值；(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。

(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x 2-2bx+4b(b ≥1)，(I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

6. （12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点.（1）写出函数()y g x =的解析式；（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a的值.7. （12分）设函数124()lg()3x xa f x a R ++=∈.（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围；（3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案)之欧阳德创编

高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式211222(log )7log 30x x ++≤，求22()log log 42x xf x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．2.（14分）已知定义域为R 的函数2()12x xaf x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围； 3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax bf x x +=+为奇函数,且12()25f =. (1) 求实数a ,b 的值；(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0， (1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。

(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x2-2bx+4b (b≥1)，(I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

6. （12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点.（1）写出函数()y g x =的解析式；（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.7. （12分）设函数124()lg ()3xxa f x a R ++=∈.（1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围；（3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <. 8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

函数性质选填压轴题(含答案59页)

函数性质选填压轴题1. 已知函数f(x)的定义域为R，若存在常数m>0，对任意x∈R，有∣f(x)∣≤m∣x∣，则称f(x)为F函数．给出下列函数：①f(x)=0；②f(x)=x2；③f(x)=sinx+cosx；④f(x)=xx2+x+1；⑤f(x)是定义在R上的奇函数，且满足对一切实数x1,x2均有∣f(x1)−f(x2)∣≤2∣x1−x2∣．其中是F函数的序号为( )A. ①②④B. ②③④C. ①④⑤D. ①②⑤2. 定义：如果函数f(x)在[a,b]上存在x1，x2(0<x1<x2＜a)满足fʹ(x1)=f(b)−f(a)b−a ，fʹ(x2)=f(b)−f(a)b−a，则称函数f(x)是[a,b]上的“双中值函数”．已知函数f(x)=x3−x2+a是[0,a]上的“双中值函数”，则实数a的取值范围是( )A. (13,12) B. (32,3) C. (12,1) D. (13,1)3. 已知函数y=f(x)与y=F(x)的图象关于y轴对称，当函数y=f(x)和y=F(x)在区间[a,b]同时递增或同时递减时，把区间[a,b]叫做函数y=f(x)的“不动区间”．若区间[1,2]为函数f(x)=∣2x−t∣的“不动区间”，则实数t的取值范围是( )A. (0,2]B. [12,+∞)C. [12,2] D. [12,2]∪[4,+∞)4. 将函数f(x)=sin2x的图象向右平移φ(0<φ<π2)个单位后得到函数g(x)的图象，若对满足∣f(x1)−g(x2)∣=2的x1，x2，有∣x1−x2∣min =π3，则φ=( )A. 5π12B. π3C. π4D. π65. 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x<0时，f(x)=(x+1)e x，则对任意的m∈R，函数F(x)=f(f(x))−m的零点个数至多有( )A. 3个B. 4个C. 6个D. 9个6. 设函数f(x)={3x−1,x<1,2x,x≥1.，则满足f(f(a))=2f(a)的a取值范围是( )A. [23,1] B. [0,1] C. [23,+∞) D. [1,+∞)7. 设函数f(x)=e x(sinx−cosx)(0≤x≤2016π)，则函数f(x)的各极小值之和为( )A. −e 2π(1−e2016π)1−e2πB. −e2π(1−e1008π)1−eπC. −e 2π(1−e1008π)1−e2πD. −e2π(1−e2014π)1−e2π8. 已知函数f(x)=x2−2ax+5在(−∞,2]上是减函数，且对任意的x1,x2∈[1,a+1]总有∣f(x1)−f(x2)∣≤4则实数a的取值范围为( )A. [1,4]B. [2,3]C. [2,5]D. [3,+∞)9. 已知函数f(x)=x2+bx，则“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的( )A. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件10. 已知函数f(x)=x3−32x2+34x+18，则∑f(k2017)2016k=1的值为( )A. 0B. 504C. 1008D. 201611. 将函数y=ln(x+1)(x≥0)的图象绕坐标原点逆时针方向旋转角θ(θ∈(0,α])，得到曲线C，若对于每一个旋转角θ，曲线C都仍然是一个函数的图象，则α的最大值为( )A. πB. π2C. π3D. π412. 已知函数f(x)=x2x−1+cos(x−π+12)，则∑f(k2017)2016k=1的值为( )A. 2016B. 1008C. 504D. 013. 已知 fʹ(x ) 是定义在 (0,+∞) 上的函数 f (x ) 的导函数，若方程 fʹ(x )=0 无解，且 ∀x ∈(0,+∞)，f [f (x )−log 2016x ]=2017，设 a =f (20.5)，b =f (log π3)，c =f (log 43)，则 a ，b ，c 的大小关系是 ( )A. b >c >aB. a >c >bC. c >b >aD. a >b >c14. 已知 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，其导函数为 fʹ(x )，若 fʹ(x )<f (x )，且 f (x +1)=f (3−x )，f (2015)=2，则不等式 f (x )<2e x−1 的解集为 ( )A. (1,+∞)B. (e,+∞)C. (−∞,0)D. (−∞,1e)15. 已知函数 f (x )={x 2+(4a −3)x +3a,x <0,log a (x +1)+1,x ≥0（a >0，且 a ≠1）在R 上单调递减，且关于 x 的方程 ∣f (x )∣=2−x 恰好有两个不相等的实数解，则 a 的取值范围是 ( ) A. (0,23]B. [23,34]C. [13,23]∪{34}D. [13,23)∪{34}16. 设 f (x )=e x ，f (x )=g (x )−ℎ(x )，且 g (x ) 为偶函数，ℎ(x ) 为奇函数，若存在实数 m ，当 x ∈[−1,1] 时，不等式 mg (x )+ℎ(x )≥0 成立，则 m 的最小值为 ( )A.e 2−1e 2+1B.2e 2+1C. e 2+1e 2−1D. 1−e 21+e 217. 对函数 f (x )，如果存在 x 0≠0 使得 f (x 0)=−f (−x 0)，则称(x 0,f (x 0)) 与 (−x 0,f (−x 0)) 为函数图象的一组奇对称点．若 f (x )=e x −a （e 为自然数的底数）存在奇对称点，则实数 a 的取值范围是 ( )A. (−∞,1)B. (1,+∞)C. (e,+∞)D. [1,+∞)18. 若函数 f (x ) 满足：在定义域 D 内存在实数 x 0，使得 f (x 0+1)=f (x 0)+f (1) 成立，则称函数 f (x ) 为“1 的饱和函数”．给出下列四个函数：① f (x )=1x ；② f (x )=2x ；③ f (x )=lg (x 2+2)；④ f (x )=cos (πx )．其中是“1 的饱和函数”的所有函数的序号为 ( )A. ①③B. ②④C. ①②D. ③④19. 已知函数 f (x )=sin 2ωx 2+12sinωx −12(ω>0)，x ∈R ．若 f (x ) 在区间(π,2π) 内没有零点，则 ω 的取值范围是 ( ) A. (0,18] B. (0,14]∪[58,1)C. (0,58]D. (0,18]∪[14,58]20. 已知函数 f (x )=2mx 2−2(4−m )x +1，g (x )=mx ，若对于任意实数 x ，函数 f (x ) 与 g (x ) 的值至少有一个为正值，则实数 m 的取值范围是 ( )A. (2,8)B. (0,2)C. (0,8)D. (−∞,0)21. 已知函数 f (x )={√1+9x 2,x ≤01+xe x−1,x >0，点 A ，B 是函数 f (x ) 图象上不同两点，则 ∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是 ( )A. (0,π4)B. (0,π4]C. (0,π3)D. (0,π3]22. 定义在 R 上的偶函数 f (x ) 满足 f (2−x )=f (x )，且当 x ∈[1,2] 时，f (x )=lnx −x +1，若函数g (x )=f (x )+mx 有 7 个零点，则实数 m 的取值范围为 ( ) A. (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)B. (ln2−16,ln2−18) C. (1−ln28,1−ln26)D. (1−ln28,ln2−16)23. 已知定义在 R 上的函数 f (x ) 满足： ① f (x )+f (2−x )=0； ② f (x −2)=f (−x )；③ 当 x ∈[−1,1] 时，f (x )={√1−x 2,x ∈[−1,0]cos π2x,x ∈(0,1]则函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上的零点个数为 ( )A. 5B. 6C. 7D. 824. 已知定义在 R 上的函数 y =f (x ) 对任意的 x 都满足 f (x +2)=f (x )，当 −1≤x <1 时，f (x )=x 3，若函数 g (x )=f (x )−log a ∣x ∣(a >0)，且 (a ≠1) 至少有 6 个零点，则 a 取值范围是 ( ) A. (0, 15]∪(5, +∞)B. (0, 15)∪(5, +∞)C. (17, 15]∪(5, 7]D. (17, 15)∪[5, 7)25. 若定义在 R 上的函数 f (x ) 满足：对任意的 x 1≠x 2，都有 x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1)，则称函数 f (x ) 为“H 函数”．给出下列函数：① f (x )=−x 3+x +1 ； ② f (x )=3x −2(sinx −cosx ) ； ③ f (x )=e x +1 ； ④ f (x )={ln|x|,x ≠0,0,x =0, 其中函数 f (x ) 是“H 函数”的个数是 ( )A. 1B. 2C. 3D. 426. 已知函数 f (x )=log a x （a >0 且 a ≠1）和函数 g (x )=sin π2x ，若f (x ) 与g (x ) 两图象只有 3 个交点，则 a 的取值范围是 ( ) A. (15,1)∪(1,92)B. (0,17)∪(1,92)C. (17,12)∪(3,9) D. (17,13)∪(5,9) 27. 已知 fʹ(x ) 是奇函数 f (x ) 的导函数，f (−1)=0，当 x >0 时，xfʹ(x )−f (x )>0，则使得 f (x )>0 成立的 x 的取值范围是 ( ) A. (−∞,−1)∪(0,1) B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−1,0)∪(0,1)D. (−∞,−1)∪(1,+∞)28. 已知函数 f (x )=sinx x，若 π3<a <b <2π3，则下列结论正确的是 ( )A. f (a )<f(√ab)<f (a+b 2)B. f(√ab)<f (a+b 2)<f (b )C. f(√ab)<f (a+b 2)<f (a )D. f (b )<f (a+b2)<f(√ab)29. 已知实数a，b满足2a=3，3b=2，则函数f(x)=a x+x−b的零点所在的区间是( )A. (−2,−1)B. (−1,0)C. (0,1)D. (1,2)30. 定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足：对任意正数a，b，若f(a)−f(b)=1，有a−b<1，则称f(x)是(0,+∞)上的“Ⅰ级函数”．给出函数f(x)=x3，g(x)=e x，ℎ(x)=x+lnx，其中“Ⅰ级函数”的个数为( )A. 0B. 1C. 2D. 331. 设函数fʹ(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(−1)=0，当x>0时，xfʹ(x)−f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是( )A. (−∞,−1)∪(0,1)B. (−1,0)∪(1,+∞)C. (−∞,−1)∪(−1,0)D. (0,1)∪(1,+∞)32. 设函数f(x)=√e x+x−a（a∈R，e为自然对数的底数），若曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0，则a的取值范围是( )A. [1,e]B. [e−1−1,1]C. [1,e+1]D. [e−1−1,e+1]33. 设△A n B n C n的三边长分别为a n，b n，c n，△A n B n C n的面积为S n（n=1，2，3，⋯）．若b1>c1，b1+c1=2a1，a n+1=a n，b n+1=c n+a n2，c n+1=b n+a n2，则( )A. {S n}为递减数列B. {S n}为递增数列C. {S2n−1}为递增数列，{S2n}为递减数列D. {S2n−1}为递减数列，{S2n}为递增数列34. 过双曲线x 2a2−y2b2=1(a>0,b>0)的一个焦点F作平行于渐近线的两直线，与双曲线分别交于A,B两点，若∣AB∣=2a，则双曲线离心率e 的值所在区间是( )A. (1,√2)B. (√2,√3)C. (√3,2)D. (2,√5)35. 已知函数 f (x )={−xx+1,−1<x ≤0,x,0<x ≤1与函数 g (x )=a (x +1) 在(−1,1] 上有 2 个交点，若方程 x −1x =5a 的解为正整数，则满足条件的实数 a 有 ( )A. 0 个B. 1 个C. 2 个D. 3 个36. 设二次函数 f (x )=ax 2+(2b +1)x −a −2(a,b ∈R,a ≠0) 在 [3,4] 上至少有一个零点，则 a 2+b 2 的最小值为 ( )A.1100B. 110C.4289D.1(2√5+4)237. 已知函数 f (x )={2x 3x+1,x ∈(12,1],−13x +16,x ∈[0,12].函数 g (x )=asin (π6x)−2a +2 (a >0)，若存在 x 1、x 2∈[0,1]，使得 f (x 1)=g (x 2) 成立，则实数 a 的取值范围是 ( )A. [12,43]B. (0,12]C. [23,43]D. [12,1]38. 若存在直线 l 与曲线 C 1 和曲线 C 2 都相切，则称曲线 C 1 和曲线 C 2 为“相关曲线”，有下列四个命题：①有且只有两条直线 l 使得曲线 C 1:x 2+y 2=4 和曲线 C 2:x 2+y 2−4x +2y +4=0 为“相关曲线”；② 曲线 C 1:y =12√x 2+1 和曲线 C 2:y =12√x 2−1 是“相关曲线”；③ 当 b >a >0 时，曲线 C 1:y 2=4ax 和曲线 C 2:(x −b )2+y 2=a 2 一定不是“相关曲线”；④ 必存在正数 a 使得曲线 C 1:y =alnx 和曲线 C 2:y =x 2−x 为“相关曲线”．其中正确命题的个数为 ( )A. 1B. 2C. 3D. 439. 已知 A (1,0)，点 B 在曲线 C:y =ln (x +1) 上，若线段 AB 与曲线M:y =1x 相交且交点恰为线段 AB 的中点，则称 B 为曲线 C 关于曲线M 的一个关联点．记曲线 C 关于曲线 M 的关联点的个数为 a ，则 ( )A. a =0B. a =1C. a =2D. a >240. 设 Ω 为平面直角坐标系 xOy 中的点集，从 Ω 中的任意一点 P 作 x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为 M ，N ，记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (Ω)，点 N 的纵坐标的最大值与最小值之差为 y (Ω)．若 Ω 是边长为 1 的正方形，给出下列三个结论：① x (Ω) 的最大值为 √2；② x (Ω)+y (Ω) 的取值范围是 [2,2√2]；③ x (Ω)−y (Ω) 恒等于 0．其中所有正确结论的序号是 ( )A. ①B. ② ③C. ① ②D. ① ② ③① f (x )=sinx ；② f (x )=x 3−3x ；③ f (x )=lgx +3其中具有性质 P 的函数是（填入所有满足条件函数的序号）． 42. 已知函数 f (x )=sinωx +cosωx (ω>0)，x ∈R ，若函数 f (x ) 在区间(−ω,ω) 内单调递增，且函数 y =f (x ) 的图象关于直线 x =ω 对称，则 ω 的值为． 43. 已知函数 f (x )={x+1x−1−1,x >12−e x ,x ≤1，若函数 ℎ(x )=f (x )−mx −2 有且仅有一个零点，则实数 m 的取值范围是． 44. 函数 f (x )=cosx −2x −2−x −b (b ∈R )．①.当 b =0 时，函数 f (x ) 的零点个数是；②.若函数 f (x ) 有两个不同的零点，则 b 的取值范围是．45. 已知函数 f (x )={2x +1,x >00,x =02x −1,x <0，则不等式 f (x 2−2)+f (x )<0 的解集为．46. 已知函数 f (x )={(12)x+34,x ≥2,log 2x,0<x <2.若函数 g (x )=f (x )−k 有两个不同的零点，则实数 k 的取值范围是．47. 已知函数 f (x )=(x −1)e x −ax 2，若 y =f (cosx ) 在 x ∈[0,π] 上有且仅有两个不同的零点，则实数 a 的取值范围为．48. 将函数 f (x )=2cos2x 的图象向右平移 φ(0<φ<π2) 个单位后得到函数 g (x ) 的图象，若对满足 ∣f (x 1)−g (x 2)∣=4 的 x 1，x 2，有 ∣x 1−x 2∣min =π6，则 φ= ．49. 定义：如果函数 y =f (x ) 在定义域内给定区间 [a,b ] 上存在 x 0(a <x 0<b ) 满足 f (x 0)=f (b )−f (a )b−a，则称函数 y =f (x ) 是 [a,b ] 上的“平均值函数”，x 0 是它的一个均值点．例如 y =∣x∣ 是 [−2,2] 上的“平均值函数”，0 就是它的均值点．给出以下命题：①函数 f (x )=cosx −1 是 [−2π,2π] 上的“平均值函数”； ②若 y =f (x ) 是 [a,b ] 上的“平均值函数”，则它的均值点 x 0≥a+b 2；③若函数 f (x )=x 2−mx −1 是 [−1,1] 上的“平均值函数”，则实数 m的取值范围是 (0,2)；④若 f (x )=lnx 是区间 [a,b ](b >a ≥1) 上的“平均值函数”，x 0 是它的一个均值点，则 lnx 0<1√ab．其中真命题有．（写出所有真命题的序号） 50. 已知函数 f (x )=x ⋅e x ，若关于 x 的方程 [f (x )+12e]⋅[f (x )−λ]=0 有且仅有 3 个不同的实数解，则实数 λ 的取值范围是． 51. 函数 f (x )=1+sinx 2+cosx的最大值与最小值之和为．52. 函数 f (x ) 的定义域为实数集 R ，f (x )={(12)x−1,−1≤x <0log 2(x +1),0≤x <3，对于任意 x ∈R 都有 f (x +2)=f (x −2)，若在区间 [−5,3] 内函数g (x )=f (x )−mx +m 恰有三个不同的零点，则实数 m 的取值范围是．53. 函数 f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，且满足 f (x +2)=f (x )．当 x ∈[0,1] 时，f (x )=2x ．若在区间 [−2,3] 上方程 ax +2a −f (x )=0 恰有四个不相等的实数根，则实数 a 的取值范围是．54. 定义在 R 上的函数 f (x ) 满足 f (x +y )=f (x )+f (y )+2xy (x,y ∈R )，f (1)=2，则 f (−3) 等于．55. 定义 fʺ(x ) 是 y =f (x ) 的导函数 y =fʹ(x ) 的导函数，若方程 fʺ(x )=0 有实数解 x 0，则称点 (x 0,f (x 0)) 为函数 y =f (x ) 的“拐点”.可以证明，任意三次函数 f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0) 都有“拐点”和对称中心，且“拐点”就是其对称中心，请你根据这一结论判断下列命题： ②函数 f (x )=x 3−3x 2−3x +5 的对称中心也是函数 y =tan π2x 的一个对称中心；③存在三次函数 ℎ(x )，方程 ℎʹ(x )=0 有实数解 x 0，且点 (x 0, ℎ(x 0))为函数 y =ℎ(x ) 的对称中心； ④若函数 g (x )=13x 3−12x 2−512，则 g (12016)+g (22016)+g (32016)+⋅⋅⋅+g (20152016)=−1007.5 .其中正确命题的序号为（把所有正确命题的序号都填上）.56. 已知函数 f (x )={∣x ∣,x ≤mx 2−2mx +4m,x >m，其中 m >0．若存在实数b ，使得关于 x 的方程 f (x )=b 有三个不同的根，则 m 的取值范围是．57. 已知函数 y =f (x ) 是定义在 R 上的偶函数，对于 x ∈R ，都有 f (x +4)=f (x )+f (2) 成立，当 x 1，x 2∈[0,2] 且 x 1≠x 2 时，都有f (x 1)−f (x 2)x 1−x 2<0，给出下列四个命题：① f (−2)=0；② 直线 x =−4 是函数 y =f (x ) 的图象的一条对称轴； ③ 函数 y =f (x ) 在 [4,6] 上为增函数；④函数y=f(x)在(−8,6]上有四个零点．其中所有正确命题的序号为．58. 已知函数f(x)=x2+ax+b(a,b∈R)在区间[0,1]上有零点，则ab的最大值是．59. 在实数集R中定义一种运算"∗"，对任意a，b∈R，a∗b为唯一确定的实数，且具有性质：（Ⅰ）对任意a∈R，a∗0=a；（Ⅱ）对任意a，b∈R，a∗b=ab+(a∗0)+(b∗0)．关于函数f(x)=(e x)∗1e x的性质，有如下说法：①函数f(x)的最小值为3；②函数f(x)为偶函数；③函数f(x)的单调递增区间为(−∞,0]．其中所有正确说法的序号为．60. 定义域为{x∣x∈N∗,1≤x≤12}的函数f(x)满足∣f(x+1)−f(x)∣=1(x=1,2,⋯,11)，且f(1)，f(4)，f(12)成等比数列，若f(1)=1，f(12)=4，则满足条件的不同函数的个数为．61. 函数f(x)=sinωx+√3cosωx+1(ω>0)的最小正周期为π，当x∈[m,n]时，f(x)至少有5个零点，则n−m的最小值为．62. 若实数a>0，b>0，且1a +2b=1，则当2a+b8的最小值为m时，函数f(x)=e−mx∣lnx∣−1的零点个数为．63. 已知点A(3,1)，B(53,2)，且平行四边形ABCD的四个顶点都在函数f(x)=log2x+1x−1的图象上，则四边形ABCD的面积为．64. 对于函数f(x)，若存在区间A=[m,n]，使得{y∣y=f(x),x∈A}=A，则称函数f(x)为“同域函数”，区间A为函数f(x)的一个“同域区间”．给出下列四个函数：①f(x)=cosπ2x；②f(x)=x2−1；③f(x)=∣x2−1∣；④f(x)= log2(x−1)．存在“同域区间”的“同域函数”的序号是请写出所有正确的序号）65. 已知函数f(x)=∣x⋅e x∣，g(x)=f2(x)+λf(x)，若方程g(x)=−1有且仅有4个不同的实数解，则实数λ的取值范围是．66. 已知函数f(x)=x∣x2−a∣，若存在x∈[1,2]，使得f(x)<2，则实数a的取值范围是．67. 如图，已知正方形ABCD的边长为2，BC平行于x轴，顶点A，B和C分别在函数y1=3log a x，y2=2log a x和y3=log a x(a>1)的图象上，则实数a的值为．68. 在平面直角坐标系中，把位于直线y=k与直线y=l（k，l均为常数，且k<l）之间的点所组成的区域（含直线y=k，直线y=l）称为“k⊕l型带状区域”，设f(x)为二次函数，三点(−2,f(−2)+2)，(0,f(0)+2)，(2,f(2)+2)均位于“0⊕4型带状区域”，如果点(t,t+1)位于“−1⊕3型带状区域”，那么，函数y=∣f(t)∣的最大值为．c2，若70. 设a，b，c分别为△ABC三内角A，B，C的对边，面积S=12 ab=√2，则a2+b2+c2的最大值是．71. 已知f(x)=x3−6x2+9x−abc，a<b<c，且f(a)=f(b)=f(c)=0．现给出如下结论：①f(0)f(1)>0；②f(0)f(1)<0；③f(0)f(3)>0；④f(0)f(3)<0．其中正确结论的序号是．72. 设函数f(x)，g(x)的定义域分别为D J，D E，且D J⊆D E．若对于任意x∈D J，都有g(x)=f(x)，则称函数g(x)为f(x)在D E上的一个延拓函数．设f(x)=e x(x+1)(x<0)，g(x)为f(x)在R上的一个延拓函数，且g(x)是奇函数，给出以下命题：①当x>0时，g(x)=e−x(x−1)；②函数g(x)有5个零点；③ g (x )>0 的解集为 (−1,0)∪(1,+∞)；④函数 g (x ) 的极大值为 1，极小值为 −1；⑤ ∀x 1,x 2∈R ，都有 ∣g (x 1)−g (x 2)∣<2．其中正确的命题是（填上所有正确的命题序号）．73. 对于三次函数 f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，给出定义：设 fʹ(x )是函数 y =f (x ) 的导数，fʺ(x ) 是 fʹ(x ) 的导数，若方程 fʺ(x ) 有实数解 x 0，则称点 (x 0,f (x 0)) 为函数 y =f (x ) 的“拐点”．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有“拐点”；任何一个三次函数都有对称中心，且“拐点”就是对称中心．设函数 f (x )=13x 3−12x 2+3x −512，请你根据这一发现，计算 f (12015)+f (22015)+f (32015)+⋯+f (20142015)= ．74. 已知函数 f (x )=(12)x 的图象与函数 g (x ) 的图象关于直线 y =x 对称，令 ℎ(x )=g (1−∣x ∣)，则关于 ℎ(x ) 有下列命题：（1）ℎ(x ) 的图象关于原点对称；（2）ℎ(x ) 为偶函数；（3）ℎ(x ) 的最小值为 0；（4）ℎ(x ) 在 (0,1) 上为减函数．其中正确命题的序号为．（将你认为正确的命题的序号都填上）75. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知 P 是函数 f (x )=e x (x >0) 的图象上的动点，该图象在点 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M ，过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N ，设线段 MN 的中点的纵坐标为 t ，则 t 的最大值是．76. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 A (0,−2)，点 B (1,−1)，P 为圆x 2+y 2=2 上一动点，则 PB PA 的最大值是．77. 若数列 {a n } 满足 a 1=1219，a n+1=220a n 2，则 a 1a 2⋯a n 的最小值为．78. 若存在正实数 M ，对于任意 x ∈(1,+∞)，都有 ∣f (x )∣≤M ，则称函数f (x ) 在 (1,+∞) 上是有界函数．下列函数 ① f (x )=1x−1；② f (x )=xx 2+1；③ f (x )=lnx x ；④ f (x )=xsinx ，其中“在 (1,+∞) 上是有界函数”的序号为．79. 设函数 y =f (x ) 的定义域为 D ，若对于任意的 x 1,x 2∈D 当 x 1+x 2=2a 时，恒有 f (x 1)+f (x 2)=2b ，则称点 (a,b ) 为函数 y =f (x ) 图象的对称中心.研究函数 f (x )=x 3+sinx +2 的某一个对称中心，并利用对称中心的上述定义，可得到 f (−1)+f (−1920)+⋯+f (1920)+f (1)= ．80. 对于函数 f (x ) 和实数 M ，若存在 m,n ∈N ∗，使 f (m )+f (m +1)+f (m +2)+⋯+f (m +n )=M 成立，则称 (m,n ) 为函数 f (x ) 关于 M的一个“生长点”，若 (1,2) 为函数 f (x )=cos (π2x +π3) 关于 M 的一个“生长点”，则 M = ；若 f (x )=2x +1，M =105，则函数f (x ) 关于 M 的“生长点”共有个．81. 已知数列 {a n } 的前 n 项和为 S n ，S n =n 2+2n ，b n =a n a n+1cos (n +1)π，数列 {b n } 的前 n 项和为 T n ，若 T n ≥tn 2 对 n ∈N ∗ 恒成立，则实数 t 的取值范围是．82. 已知函数 f (x ) 的定义域为 R ，若存在常数 m >0，对任意 x ∈R ，有∣f (x )∣≤m∣x∣，则称函数 f (x ) 为 F − 函数．给出下列函数：① f (x )=x 2；② f (x )=xx 2+1；③ f (x )=2x ；④ f (x )=sin2x ．其中是 F − 函数的序号为．83. 对于函数 y =f (x )，若存在区间 [a,b ]，当 x ∈[a,b ] 时的值域为[ka,kb ](k >0)，则称 y =f (x ) 为 k 倍值函数．若 f (x )=lnx +x 是 k倍值函数，则实数 k 的取值范围是．84. 关于函数 f (x )=14x +2 的性质，有如下四个命题：① 函数 f (x ) 的定义域为 R ；② 函数 f (x ) 的值域为 (0,+∞)；③ 方程 f (x )=x 有且只有一个实根；④ 函数 f (x ) 的图象是中心对称图形．其中正确命题的序号是．85. 已知关于 x 的方程 (t +1)cosx −tsinx =t +2 在 (0,π) 上有实根．则实根 t 的最大值是．86. 若函数 f (x )=ax 2+20x +14(a >0) 对任意实数 t ，在闭区间[t −1,t +1] 上总存在两实数 x 1，x 2，使得 ∣f (x 1)−f (x 2)∣≥8 成立，则实数 a 的最小值为．87. 设函数 f (x )=(2x +3)e x+1−ax −a,a ∈R ．若存在唯一的整数 t ，使得 f (t )<0，则实数 a 的取值范围为．88. 已知正数 a,b,c 满足：5c −3a ≤b ≤4c −a ，clnb ≥a +clnc ，则 b a 的取值范围是．89. 已知 f (x )=m (x −2m )(x +m +3)，g (x )=2x −2．若同时满足条件：① ∀x ∈R ，f (x )<0 或 g (x )<0；② ∃x ∈(−∞,−4),f (x )g (x )<0，则 m 的取值范围是．90. 若整数 m 满足不等式 x −12≤m <x +12（x ∈R ），则称 m 为 x 的“亲密整数”，记作 {x }，即 {x }=m ，已知函数 f (x )=x −{x }．给出以下四个命题：① 函数 y =f (x )（x ∈R ）是周期函数，且其最小正周期为 1；② 函数 y =f (x )（x ∈R ）的图象关于点 (k,0)（k ∈Z ）中心对称； ③ 函数 y =f (x )（x ∈R ）在 [−12,12] 上单调递增； ④ 方程 f (x )=12sin (π⋅x ) 在 [−2,2] 上共有 7 个不相等的实数根．其中正确命题的序号是．（写出所有正确命题的序号）．91. 定义 M {x,y }={x,x ≥y y,x <y，设 a =x 2+xy +x ，b =4y 2+xy +2y (x,y ∈R )，则 M {a,b } 的最小值为，当 M 取到最小值时，x = ，y = ．92. 已知 OA ⃗⃗⃗⃗⃗ ，OB ⃗⃗⃗⃗⃗ 是非零不共线的向量，设 OC⃗⃗⃗⃗⃗ =1r+1OA ⃗⃗⃗⃗⃗ +r r+1OB ⃗⃗⃗⃗⃗ ，定义点集 M ={K∣∣KA⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅KC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣KA ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣=KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅KC ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣KB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣}．当 K 1,K 2∈M 时，若对于任意的 r ≥2，不等式 ∣∣K 1K 2⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣≤c ∣∣AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∣∣ 恒成立，则实数 c 的最小值为．93. 对于三次函数 f (x )=ax 3+bx 2+cx +d (a ≠0)，给出定义：设 fʹ(x )是函数 y =f (x ) 的导数，fʺ(x ) 是 fʹ(x ) 的导数，若方程 fʺ(x )=0 有实数解 x 0，则称点 (x 0,f (x 0)) 为函数 y =f (x ) 的＂拐点＂．某同学经过探究发现：任何一个三次函数都有＂拐点＂；任何一个三次函数都有对称中心，且拐点就是对称中心．若 f (x )=13x 3−12x 2+16x +1，则该函数的对称中心为，计算 f (12013)+f (22013)+f (32013)+⋯+f (20122013)= ．94. 设函数 f (x ) 的定义域为 D ，若存在非零实数 l 使得对于任意 x ∈M (M ⊆D )，有 x +l ∈D ，且 f (x +l )≥f (x )，则称 f (x ) 为 M 上的 l 高调函数．（1）如果定义域为 [−1,+∞) 的函数 f (x )=x 2 为 [−1,+∞) 上的 m 高调函数，那么实数 m 的取值范围是．（2）如果定义域为 R 的函数 f (x ) 是奇函数，当 x ≥0 时，f (x )=∣x −a 2∣−a 2，且 f (x ) 为 R 上的 4 高调函数，那么实数 a 的取值范围是．95. 已知函数 f (x )=sin π2x ，任取 t ∈R ，定义集合：A t ={y ∣ y =f (x ),点P(t,f (t )),Q(x,f (x )) 满足∣PQ ∣≤√2}．设 M t ，m t 分别表示集合 A t 中元素的最大值和最小值，记 ℎ(t )=M t −m t ．则① 函数 ℎ(t ) 的最大值是；② 函数 ℎ(t ) 的单调递增区间为．96. 如图，在直角梯形 ABCD 中，AB ∥CD ，AB ⊥BC ，AB =2，CD =1，BC =a (a >0)，P 为线段 AD （含端点）上一个动点，设 AP⃗⃗⃗⃗⃗ =xAD ⃗⃗⃗⃗⃗ ，PB ⃗⃗⃗⃗⃗ ⋅PC⃗⃗⃗⃗⃗ =y ，对于函数 y =f (x )，给出以下三个结论：①当 a =2 时，函数 f (x ) 的值域为 [1,4]；② ∀a ∈(0,+∞)，都有 f (1)=1 成立；③ ∀a ∈(0,+∞)，函数 f (x ) 的最大值都等于 4．其中所有正确结论的序号是．97. 记实数 x 1,x 2,⋯,x n 中的最大数为 max {x 1,x 2,⋯,x n }，最小数为min {x 1,x 2,⋯,x n }．已知实数 x ，y 满足 1≤x ≤y 且 1，x ，y 能构成三角形的三边，若 t =max {1x ,x y ,y}⋅min {1x ,x y ,y}，则 t 的取值范围是．98. 已知曲线 C:y 2=2x +a 在点 P n (n,√2n +a)(a >0,n ∈N ) 处的切线 l n的斜率为 k n ，直线 l n 交 x 轴，y 轴分别于点 A n (x n ,0)，B n (0,y n )，且 ∣x 0∣=∣y 0∣．给出以下结论：① a =1；②当 n ∈N ∗ 时，y n 的最小值为 54； ③当 n ∈N ∗ 时，k n <√2sin1√2n+1； ④当 n ∈N ∗ 时，记数列 {k n } 的前 n 项和为 S n ，则 S n <√2(√n +1−1)．其中，正确的结论有（写出所有正确结论的序号）99. 已知函数 f (x )={1,x ∈Q,0,x ∈∁R Q,则（1）f(f (x ))= ；（2）给出下列三个命题：① 函数 f (x ) 是偶函数；②存在 x i ∈R (i =1,2,3)，使得以点 (x i ,f (x i ))(i =1,2,3) 为顶点的三角形是等腰直角三角形；③存在 x i ∈R (i =1,2,3,4)，使得以点 (x i ,f (x i ))(i =1,2,3,4) 为顶点的四边形为菱形．其中，所有真命题的序号是．(n=2,3,4,⋯)，则100. 数列{ a n}中，a1=2,a n=1−1a n−1 n+φ)+B的通a4=；若{ a n}有一个形如a n=Asin(2π3项公式，其中A,B,φ均为实数，且∣φ∣<π，则此通项公式为2a n=（要求写出A,B,φ的数值）．答案1. C2. C 【解析】由题意可知，因为 f (x )=x 3−x 2+a 在区间 [0,a ] 存在 x 1，x 2 (a <x 1<x 2＜b)，满足 fʹ(x 1)=fʹ(x 2)=f (a )−f (0)a =a 2−a ，因为 f (x )=x 3−x 2+a ，所以 fʹ(x )=3x 2−2x ，所以方程 3x 2−2x =a 2−a 在区间 (0,a ) 有两个不相等的解．令 g (x )=3x 2−2x −a 2+a ，(0<x <a )．则 { Δ=4−12(−a 2+a )>0,g (0)=−a 2+a >0,g (a )=2a 2−a >0,0<16<a. 解得：12<a <1．所以实数 a 的取值范围是 (12,1)．3. C 【解析】因为函数 y =f (x ) 与 y =F (x ) 的图象关于 y 轴对称，所以 F (x )=f (−x )=∣2−x −t∣，因为区间 [1,2] 为函数 f (x )=∣2x −t∣ 的“不动区间”，所以函数 f (x )=∣2x −t∣ 和函数 F (x )=∣2−x −t∣ 在 [1,2] 上单调性相同，因为 y =2x −t 和函数 y =2−x −t 的单调性相反，所以 (2x −t )(2−x −t )≤0 在 [1,2] 上恒成立，即 1−t (2x +2−x )+t 2≤0 在 [1,2] 上恒成立，即 2−x ≤t ≤2x 在 [1,2] 上恒成立，即 12≤t ≤2． 4. D 【解析】由题意，如图所示，可知 φ+π3=π2．所以 φ=π6．5. A【解析】当 x <0 时，f (x )=(x +1)e x ，可得 fʹ(x )=(x +2)e x ，可知 x ∈(−∞,−2)，函数是减函数，x ∈(−2,0) 函数是增函数，f (−2)=−1e 2，f (−1)=0，且 x →0 时，f (x )→1，又f(x)是定义在R上的奇函数，f(0)=0，而x∈(−∞,−1)时，f(x)<0，所以函数的图象如图：令t=f(x)则f(t)=m，由图象可知：当t∈(−1,1)时，方程f(x)=t至多3个根，当t∉(−1,1)时，方程没有实数根，而对于任意m∈R，方程f(t)=m至多有一个根，t∈(−1,1)，从而函数F(x)=f(f(x))−m的零点个数至多有3个．6. C【解析】1）当a≥1时，f(a)=2a≥2，此时f(f(a))=2f(a)，成立．2）当a<1时，f(a)=3a−1．当f(a)=3a−1≥1，即1>a≥23时，f(f(a))=2f(a)，成立．当f(a)=3a−1<1，即a<23时，f(f(a))=3f(a)−1，此时3f(a)−1<2f(a)，所以不满足题意．综上，a的取值范围是[23,+∞)．7. D 【解析】提示：令fʹ(x)=2sinx⋅e x=0，得x=kπ，易知当x=2kπ(k∈Z),1≤k≤1007时f(x)取到极小值，故各极小值之和为8. B 【解析】函数f(x)的对称轴为x=a，且在区间(−∞,2]上是减函数，得a≥2，对任意的x1,x2∈[1,a+1]，总有∣f(x1)−f(x2)∣≤4恒成立，即∣f(x1)−f(x2)∣max≤4，又∣f(x1)−f(x2)∣max=f(x)max−f(x)min，当x∈[1,a+1]时，f(x)min=f(a)，f(x)max=f(1)，所以f(1)−f(a)=(a−1)2≤4，又a≥2，所以a的取值范围是[2,3]．9. A 【解析】f min(−b2a )=−b24，若b<0，则−b2>−b24，所以当f(x)=−b2a 时，f(f(x))取最小值，即f(−b2)=−b24，所以“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分条件；若“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”，则f min(x)≤−b22，即−b24≤−b2，解得b≥2或b≤0；所以“b<0”是“f(f(x))的最小值与f(x)的最小值相等”的充分不必要条件．10. B11. D 12. B 【解析】因为函数 f (x )=x 2x−1+cos (x −π+12)，所以则 ∑f (k2017)2016k=1=12×2016=1008． 13. D 【解析】由题意，可知 f (x )−log 2016x 是定值，不妨令 t =f (x )−log 2016x ，则 f (x )=log 2016x +t ，又 f (t )=2017，所以 log 2016t +t =2017⇒t =2016，即 f (x )=log 2016x +2016，则 fʹ(x )=1xln2016，显然当x ∈(0,+∞) 时，有 fʹ(x )>0，即函数 f (x ) 在 (0,+∞) 上为单调递增，又 20.5>1>log π3>log 43，所以 f (20.5)>f (log π3)>f (log 43)． 14. A 【解析】因为函数 f (x ) 是偶函数，所以 f (x +1)=f (3−x )=f (x −3)．所以 f (x +4)=f (x )，即函数 f (x ) 是周期为 4 的周期函数．因为 f (2015)=f (4×504−1)=f (−1)=f (1)=2，所以 f (1)=2．设 g (x )=f (x )e x，则 gʹ(x )=fʹ(x )e x −f (x )e xe 2x=fʹ(x )−f (x )e x<0，所以 g (x ) 在 R 上单调递减．不等式 f (x )<2e x−1 等价于 f (x )e x<2e，即 g (x )<g (1)，所以 x >1，所以不等式 f (x )<2e x−1 的解集为 (1,+∞)． 15. C【解析】由 y =log a (x +1)+1 在 [0,+∞) 上递减，则 0<a <1，又 f (x ) 在 R 上单调递减，则：{02+(4a −3)⋅0+3a ≥f (0)=1,3−4a 2≥0,⇒13≤a ≤34．由图象可知，在 [0,+∞) 上，∣f (x )∣=2−x 有且仅有一个解，故在 (−∞,0) 上，∣f (x )∣=2−x 有且仅有一个解，当 3a >2，即 23<a ≤34时，由 ∣x 2+(4a −3)x +3a ∣=2−x 得 x 2+(4a −2)x +3a −2=0，则Δ=(4a−2)2−4(3a−2)=0，解得：a=34或1（舍），当3a≤2即13≤a≤23时，由图象可知，符合条件．综上：a∈[13,23]∪{34}．16. A 【解析】由f(x)=g(x)−ℎ(x)，即e x=g(x)−ℎ(x), ⋯⋯①得e−x=g(−x)−ℎ(−x)，又g(x)，ℎ(x)分别为偶函数、奇函数，所以e−x=g(x)+ℎ(x), ⋯⋯②联立①②解得，g(x)=12(e x+e−x)，ℎ(x)=12(e x−e−x)．mg(x)+ℎ(x)≥0，即m⋅12(e x+e−x)+12(e x−e−x)≥0，也即m≥e−x−e xe x+e−x，即m≥1−21+e−2x，因为存在实数m，当x∈[−1,1]时，不等式mg(x)+ℎ(x)≥0成立，1−21+e−2x ≤e2−1e2+1，所以m≥e 2−1e2+1．所以m的最小值为e 2−1e2+1．17. B 18. B 【解析】对于①，若存在实数x0，满足f(x0+1)=f(x0)+ f(1)，则1x0+1=1x0+1，所以x02+x0+1=0，（x0≠0，且x0≠−1），该方程无实根，因此①不是“1的饱和函数”；对于②，若存在实数x0，满足f(x0+1)=f(x0)+f(1)，则2x0+1=2x0+2，解得x0=1，因此②是“1的饱和函数”；对于③，若存在实数x0，满足f(x0+1)=f(x0)+f(1)，则lg[(x0+1)2+2]=lg(x02+2)+lg(12+2)，化简得2x02−2x0+3=0，该方程无实根，因此③不是“1的饱和函数”；对于④，注意到f(13+1)=cos4π3=−12，f(13)+f(1)=cosπ3+cosπ=−12，综上可知，其中是“1的饱和函数”的所有函数的序号是②④．19. D 【解析】f(x)=1−cosωx2+sinωx2−12=√22sin(ωx−π4)．由 f (x )=0，得 sin (ωx −π4)=0，解得 x =kπ+π4ω(k ∈Z )．由 f (x ) 在 (π,2π) 内没有零点，得kπ+π4ω∉(π,2π)(k ∈Z )，解得 ω∉(18,14)∪(58,54)∪(98,94)∪⋯=(18,14)∪(58,+∞)，20. C【解析】当 m <0 时，函数 f (x ) 的图象为开口向下的抛物线，所以在 x >0 时，f (x )>0 不恒成立．函数 g (x )=mx 当 x >0 时，g (x )<0．所以不满足题意．当 m =0 时，f (x )=−8x +1，g (x )=0，不满足题意．当 m >0 时，需 f (x )>0 在 x <0 时恒成立，所以令 Δ<0 或 {Δ≥0,−b2a ≥0,f (0)>0,即 4(4−m )2−8m <0 或 {4(4−m )2−8m ≥0,4−m 2m≥0.解得 2<m <8 或 0<m ≤2．综合得：0<m <8．21. A 【解析】当 x ≤0 时，由 y =√1+9x 2 得 y 2−9x 2=1(x ≤0)，此时对应的曲线为双曲线，双曲线的渐近线为 y =−3x ，此时渐近线的斜率 k 1=−3，当过原点的直线和 f (x ) 相切时，设切点为 (a,1+ae a−1)，函数的导数 fʹ(x )=e x−1+xe x−1=(x +1)e x−1，则切线斜率 k 2=fʹ(a )=(a +1)e a−1，则对应的切线方程为 y −(1+ae a−1)=(1+a )e a−1(x −a )，即 y =(1+a )e a−1(x −a )+1+ae a−1，当 x =0，y =0 时，(1+a )e a−1(−a )+1+ae a−1=0，即 a 2e a−1+ae a−1=1+ae a−1，即 a 2e a−1=1，得 a =1，此时切线斜率 k 2=2，则切线和 y =−3x 的夹角为 θ，则 tanθ=∣∣−3−21−2×3∣∣=55=1，则 θ=π4，故 ∠AOB （O 为坐标原点）的取值范围是 (0,π4)．22. A 【解析】因为函数 f (2−x )=f (x ) 可得图象关于直线 x =1 对称，且函数为偶函数则其周期为 T =2，又因为 fʹ(x )=1x −1=1−x x，当 x ∈[1,2] 时有 fʹ(x )≤0，则函数在 x ∈[1,2]为减函数，作出其函数图象如图所示：其中 k OA =ln2−16，k OB =ln2−18，当 x <0 时 , 要使符合题意则 m ∈(ln2−16,ln2−18)，根据偶函数的对称性，当 x >0 时，要使符合题意则 m ∈(1−ln28,1−ln26)．综上所述，实数 m 的取值范围为 (1−ln28,1−ln26)∪(ln2−16,ln2−18)．23. A 【解析】由 f (x )+f (2−x )=0 得函数 f (x ) 的图象关于点 (1,0) 对称，由 f (x −2)=f (−x ) 得函数 f (x ) 的图象关于直线 x =−1 对称，作出函数 f (x ) 在区间 [−1,1] 上的图象，再由对称性作出函数 f (x ) 在区间 [−3,3] 上的图象，并在同一坐标系内作出函数 y =(12)∣x∣的图象，由图象可知函数 y =f (x )−(12)∣x∣在区间 [−3,3] 上有 5 个零点．24. A 【解析】f (x +2)=f (x ) 故函数周期为 2，已知其在 −1≤x <1 的解析式是 f (x )=x 3 可画出图象．g (x )=f (x )−log a ∣x ∣(a >0) 的零点就是 log a ∣x∣ 与 f (x ) 交点．可知 log a 5<1 或 log a 5≥−1 满足题意．解得 a 范围是 (0, 15)∪(5, +∞) .25. B【解析】由 x 1f (x 1)+x 2f (x 2)>x 1f (x 2)+x 2f (x 1) 整理得，x 1(f (x 1)−f (x 2))−x 2(f (x 1)−f (x 2))>0(x 1−x 2)(f (x 1)−f (x 2))>0，由单调性定义，可知“H 函数”为单调递增函数.所以对于①，f ʹ(x )=−3x 2+1 在 R 上不恒大于 0，所以 f (x ) 不是" H 函数".对于②，f ʹ(x )=3−2cosx −2sinx =3−2√2sin (x +π4)>0 恒成立.所以 f (x ) 是" H 函数".对于③，由图象可知为" H 函数".对于④，由图象可知不是" H 函数"．26. D 【解析】由题意 f (x )=log a x （a >0 且 a ≠1）与 g (x )=sin π2x 图象有 3 个交点，sin π2x ∈[−1,1] 如图所示，①当 a >1 时，f (x ) 恒过点 (1,0)，在 (0,+∞) 上单调递增，所以 f (x ) 与 g (x ) 在 (1,2)(4,5)(5,6) 上有 3 个交点．所以 {a >1,log a 5<1,log a 9>1,得 5<a <9．②当 0<a <1 时，f (x ) 在 (0,+∞) 上单调递减，f (x ) 与 g (x ) 在 (0,1)，(2,3)，(3,4) 上有 3 个交点．所以 {0<a <1,log a 3>−1,log a 7<−1,所以 17<a <13．综合①②可得 a 的取值范围为 (17,13)∪(5,9)．27. B 【解析】g (x )=f (x )x，则 gʹ(x )=xfʹ(x )−f (x )x 2>0 .所以 g (x ) 单调递增．又因为 fʹ(x ) 是奇函数且 f (−1)=0．所以使得 f (x )>0 成立的 x 的取值范围是 (−1,0)∪(1,+∞) . 28. D 【解析】fʹ(x )=xcosx−sinxx 2(0<x <π)．（i ）当 x =π2时，fʹ(x )=−4π2<0；（ii ）当 0<x <π，且 x ≠π2时，fʹ(x )=xcosx−sinxx 2=cosx (x−tanx )x 2．① 当 0<x <π2时，根据三角函数线的性质，得 x <tanx ，又 cosx >0，所以 fʹ(x )<0；② 当 π2<x <π 时，tanx <0，则 x −tanx >0，又 cosx <0，所以 fʹ(x )<0．综合（i ）（ii ），当 0<x <π 时，fʹ(x )<0．所以 f (x ) 在 (0,π) 上是减函数．若π3<a<b<2π3，则π3<a<√ab<a+b2<b<2π3，所以f(a)>f(√ab)>f(a+b2)>f(b)．29. B 30. D31. A【解析】当x>0时，xfʹ(x)−f(x)<0，可得(f(x)x )ʹ=xfʹ(x)−f(x)x2<0，所以g(x)=f(x)x在(0,+∞)上单调递减．因为f(x)为奇函数，所以g(x)=f(x)x为偶函数，在(−∞,0)上单调递增．又f(−1)=0，所以f(1)=0，所以g(−1)=g(1)=0．当x>0时，f(x)>0的解集为g(x)>0的解集(0,1)；当x<0时，f(x)>0的解集为g(x)<0的解集(−∞,−1)．所以f(x)>0的解集为(−∞,−1)∪(0,1)．32. A 【解析】曲线y=sinx上存在点(x0,y0)使得f(f(y0))=y0，则y0∈[−1,1]．考查四个选项，B，D两个选项中参数值都可取0，C，D两个选项中参数都可取e+1，A，B，C，D四个选项参数都可取1，由此可先验证参数为0与e+1时是否符合题意，即可得出正确选项．当a=0时，f(x)=√e x+x，此是一个增函数，且函数值恒非负，故只研究y0∈[0,1]时f(f(y0))=y0是否成立．由于f(x)=√e x+x是一个增函数，可得出f(y0)≥f(0)=1，而f(1)=√e+1>1，故a=0不合题意，由此知B，D两个选项不正确．当a=e+1时，f(x)=√e x+x−e−1此函数是一个增函数，f(1)=√e1+1−e−1=0，而f(0)没有意义，故a=e+1不合题意，由此C，D 两个选项不正确．综上讨论知，可确定B，C，D三个选项不正确，故A选项正确．33. B 【解析】b1=2a1−c1且b1>c1，所以2a1−c1>c1，所以a1>c1，所以 b 1−a 1=2a 1−c 1−a 1=a 1−c 1>0，所以 b 1>a 1>c 1，又 b 1−c 1<a 1，所以 2a 1−c 1−c 1<a 1，所以 2c 1>a 1，所以 c 1>a 12．由题意，得 b n+1+c n+1=b n +c n 2+an ，整理，得 b n+1+c n+1−2a n =12(b n +c n −2a n )，结合 b 1+c 1=2a 1 递推，得 b n +c n −2a n =0，所以 b n +c n =2a n =2a 1，即 b n +c n =2a 1．又由题意，得 b n+1−c n+1=c n −b n 2，所以 b n+1−(2a 1−b n+1)=2a 1−b n −b n2=a 1−b n ，化简，得 b n+1−a 1=12(a 1−b n )，则 b n −a 1=(b 1−a 1)(−12)n−1，所以 b n =a 1+(b 1−a 1)(−12)n−1，c n =2a 1−b n =a 1−(b 1−a 1)(−12)n−1，由海伦公式，得显然 S n 2是关于 n 的增函数（可证当 n=1 时a 124−(b 1−a 1)2>0）．34. C 【解析】由∣AB∣=2a，得A(acb ,a)，即O到AB的距离为acb；又tan∠AFO=ba ,从而得F到AB的距离为a2b．所以，acb +a2b=c，由c2=a2+b2,e=ca．得：e4−2e2−2e−1=0．令f(e)=e4−2e2−2e−1,e>1,fʹ(e)=4e3−4e−2=4e(e2−1)−2，根据e4−2e2=2e+1>3,得e2>3,即e>√3．所以fʹ(e)>0,所以f(e)在(√3,+∞)为增函数．根据零点定理，f(e)在(√3,2)上为增函数，且满足：f(√3)f(2)<0，所以e4−2e2−2e−1=0在(√3,2)有唯一解．35. B【解析】在同一坐标系中画出函数y=f(x)与y=g(x)的图象，如图所示，结合图象可知，实数a的取值范围是(0,12]．由x−1x=5a可得x2−5ax−1=0．设ℎ(x)=x2−5ax−1．逐个检验，当x=1时，ℎ(1)=1−5a−1=0可得a=0，不成立；当x=2时，ℎ(2)=22−10a−1=3−10a=0可得a=310≤12，满足条件；当x=3时，ℎ(3)=32−15a−1=8−15a=0可得a=815>12，不满足条件．又函数y=x−1x在(0,+∞)上单调递增，故满足条件的实数a只有1个．36. A 【解析】解法 1：由已知得，设t为二次函数在[3,4]上的零点，则有at2+(2b+1)t−a−2=0，变形(2−t)2=[a(t2−1)+2bt]2≤(a2+b2)((t2−1)2+4t2)=(a2+b2)(1+t2)2，于是a2+b2≥(t−21+t2)2=1(t−2+5t−2+4)2≥1100，。

高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案)之欧阳体创编

高一数学第一学期函数压轴（大题）练习（含答案）1．（本小题满分12分）已知x 满足不等式211222(log )7log 30x x ++≤，求22()log log 42x x f x =⋅的最大值与最小值及相应x 值．2.（14分）已知定义域为R 的函数2()12x xaf x -+=+是奇函数（1）求a 值；（2）判断并证明该函数在定义域R 上的单调性；（3）若对任意的t R ∈，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求实数k 的取值范围；3. （本小题满分10分）已知定义在区间(1,1)-上的函数2()1ax b f x x +=+为奇函数,且12()25f =. (1) 求实数a ,b 的值；(2) 用定义证明:函数()f x 在区间(1,1)-上是增函数； (3) 解关于t 的不等式(1)()0f t f t -+<.4. (14分)定义在R +上的函数f(x)对任意实数a,b +∈R ,均有f(ab)=f(a)+f(b)成立，且当x>1时,f(x)<0，(1)求f(1) (2)求证：f(x)为减函数。

(3)当f(4)= -2时，解不等式1)5()3(-≥+-f x f5.（本小题满分12分）已知定义在[1，4]上的函数f(x)＝x2-2bx+4b (b≥1)，(I)求f(x)的最小值g(b)； (II)求g(b)的最大值M 。

6. （12分）设函数()log (3)(0,1)a f x x a a a =->≠且，当点(,)P x y 是函数()y f x =图象上的点时，点(2,)Q x a y --是函数()y g x =图象上的点. （1）写出函数()y g x =的解析式；（2）若当[2,3]x a a ∈++时，恒有|()()|1f x g x -，试确定a 的取值范围；（3）把()y g x =的图象向左平移a 个单位得到()y h x =的图象，函数1()22()()()2h x h x h x F x a a a ---=-+，（0,1a a >≠且）在1[,4]4的最大值为54，求a 的值.7. （12分）设函数124()lg()3x xa f x a R ++=∈. （1）当2a =-时，求()f x 的定义域；（2）如果(,1)x ∈-∞-时，()f x 有意义，试确定a 的取值范围；（3）如果01a <<，求证：当0x ≠时，有2()(2)f x f x <.8. （本题满分14分）已知幂函数(2)(1)()()k k f x x k z -+=∈满足(2)(3)f f <。

第8章函数应用【压轴题型专项训练】(解析版)

2021-2022学年高一数学单元复习过过过【压轴题型专项训练】第8章函数应用一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．已知函数()f x 为R 上的奇函数，当0x 时2()2f x x x =-，若函数()g x 满足(),0()(),0f x xg x f x x ⎧=⎨-<⎩ 且(())0f g x a -=，有6个不同的解，则实数a 的取值范围为A ．1a <-B ．10a -<<C ．01a <<D ．1a >【答案】C【解析】当0x <时，()()(()22())22f x f x x x x x =--=----=--，222(0)()2(0)u u u y f u u u u ⎧-==⎨--<⎩ ，222(0)()2(0)x x x u g x x x x ⎧-==⎨+<⎩，则有1u - ，作函数()y f u =和()u g x =的图象如图所示，当且仅当01a <<时，110u -<<，22u >，(())f g x a =有6个不同解，所以实数a 的取值范围为(0,1)．故选C．2．设函数22|(1)|,13()(4),3log x x f x x x -<⎧=⎨->⎩ ，()f x a =有四个实数根1x ，2x ，3x ，4x ，且1234x x x x <<<，则341211()4x x x x ++的取值范围是A ．10(3，9)2B ．(0,1)C ．5(2，10)3D ．3(2，2)【答案】A【解析】222(1)(12)()(1)(23)(4)(3)log x x f x log x x x x --<<⎧⎪=-⎨⎪->⎩ ，f （2）f =（4）0=，f （3）1=，作()y f x =图象如图所示，()f x a =有四个实数根，所以01a <<，因为1234x x x x <<<，因为341()42x x +=，2122(1)(1)log x a log x a --=⎧⎨-=⎩，所以121212aax x -⎧=+⎪⎨=+⎪⎩，34112211121()224212a ax x x x x x ++=+=+++，令g （a ）212212a a=+++，因为g （a ）在(0,1)上单调递减，所以当01a <<时，g （1）g <（a ）(0)g <，因为g （1）103=，9(0)2g =，所以341211()4x x x x ++的取值范围是所以的取值范是10(3，9)2．故选A．3．已知函数()f x 满足对任意的实数m ，n ，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，函数12()21x x g x +=+．若()f x 与()g x 的图象有3个不同的交点1(x ，1)y ，2(x ，2)y ，3(x ，3)y ，其中123x x x <<，则123123()()f x x x f y y y +++++=A ．169B ．259C ．85D ．135【答案】B【解析】函数()f x 满足对任意实数m ，n ，恒有()()()1f m n f m f n +=+-，令0m n ==，可得(0)1f =，令m x =，n x =-，可得()()2f x f x +-=，∴函数()f x 的图象关于点(0,1)对称，又122()22121x x x g x +==-++，满足22()()2222121x x g x g x -+-=-+-=++，()g x ∴的图象也关于点(0,1)对称，可得1230x x x ++=，1233y y y ++=，123123()()(0)f x x x f y y y f f ∴+++++=+（3）(0)f g =+（3）4321625112199=+=+=+．故选B ．4．已知函数2|2|,0()log ,0x x f x x x +⎧=⎨>⎩ ，关于x 的方程2[()]()1f x mf x =+有4个不同的实数根，则实数m 的取值范围是A ．3(,1)2-B ．3(,]2-∞C ．3(1,]2D ．3(,)2-∞-【答案】B【解析】函数2|2|,0()log ,0x x f x x x +⎧=⎨>⎩ 的图象如图所示，令()t f x =，则方程2[()]()1f x mf x =+可变形为210t mt --=，由题意可知该方程有2个不同的实数根，设为1t ，212()t t t <，则1202t t <⎧⎨<⎩ ，设2()1g t t mt =--，所以g （2）320m =- ，解得32m ，所以实数m 的取值范围是3(,]2-∞．故选B ．5．中国科学院院士吴文俊在研究中国古代数学家刘徽著作的基础上，把刘徽常用的方法概括为“出入相补原理”：一个图形不论是平面的还是立体的，都可以切割成有限多块，这有限多块经过移动再组合成另一个图形，则后一图形的面积或体积保持不变．利用这个原理，解决下面问题：已知函数f （）满足f （4﹣）＝f （），且当∈[0，2]时的解析式为，则函数y ＝f （）在∈[0，4]时的图象与直线y ＝﹣6围成封闭图形的面积是（）A ．12B ．24C ．16D ．32【答案】B【解析】解：因为函数()f x 满足(4)()f x f x -=，所以()f x 的图象关于直线2x =对称，又当[0x ∈，2]时的解析式为(1)(2)(3),01(1)(1),12x x x x x x x x ---⎧⎨-+<⎩，则(0)6f =-，f （1）0=，f （2）6=，在区间[0，4]上，作出函数()f x 的图象如图所示，将图中的Ⅰ补到Ⅲ，Ⅱ补到Ⅳ，所以围成的图形的面积为矩形OABC 的面积，故4624OABC S =⨯=矩形．故选B ．6．已知()f x 是定义在R 上的偶函数，且满足(1)(1)f x f x -=+，当[0x ∈，1]时，2()f x x =，则函数4()|log |||y f x x =-的零点个数为A ．2B ．4C ．6D ．8【答案】D【解析】函数()f x 是定义在R 上的偶函数，则函数()f x 的图象关于y 轴对称，又()f x 满足(1)(1)f x f x -=+，所以()f x 的图象关于1x =对称，故函数()f x 的周期为2，因为当[0x ∈，1]时，2()f x x =，作出函数()f x 的图象如图所示，函数4()|log |||y f x x =-的零点个数即为函数()y f x =与函数4|log |||y x =的图象的交点个数，作出4|log |||y x =的图象如图所示，由图象可得，两个函数的交点个数为8个，所以函数4()|log |||y f x x =-的零点个数为8个．故选D．7．某种药物需要2个小时才能全部注射进患者的血液中．在注射期间，血液中的药物含量以每小时1000mg 的速度呈直线上升；注射结束后，血液中的药物含量每小时以20%的衰减率呈指数衰减．若该药物在病人血液中的含量保持在1000mg 以上时才有疗效，则该药物对病人有疗效的时长大约为（参考数据： 1.80.20.0552≈， 1.90.20.0470≈，3.10.80.5007≈， 3.20.80.4897)≈A ．2小时B ．3小时C ．4小时D ．5小时【答案】C【解析】设时间为x ，血液中药物的浓度为y ，则21000,022000(120%),2x x x y x -<⎧=⎨->⎩，当02x < 时，10001000x >，解得12x < ；当2x >时，22000(120%)1000x -->，即21082x -⋅>，即2 3.10.80.8x ->，解得2 5.1x <<．综上所述，1 5.1x <<，故该药物对病人有疗效的时长大约为4小时．故选C ．8．已知函数2(43)3,0()(0,1)log (1)1,0a x a x a x f x a a x x ⎧+-+<=>≠⎨++⎩ 在R 上单调递减，且关于x的方程|()|2f x x +=恰好有两个不相等的实数解，则实数a 的取值范围是A ．2(0,]3B ．23[,34C ．123[,{}334D ．123[,){}334【答案】C【解析】log (1)1a y x =++在[0，)+∞递减，则01a <<，函数()f x 在R 上单调递减，则23402010(43)03(01)1aa a a a log -⎧⎪⎪<<⎨⎪+-⋅+++⎪⎩ ．解得1334a ；关于x 的方程|()|2f x x +=恰好有两个不相等的实数解，|()|y f x ∴=与2y x =-+的图象有两个交点．|()|y f x =的图象与x 轴交点的横坐标为11a -，又11123a- ，由图象可知，在[0，)+∞上，|()|2f x x +=有且仅有一个解，故在(,0)-∞上，|()|2f x x +=同样有且仅有一个解，当32a >，即23a >时，设直线2y x =-+与2(43)3y x a x a =+-+相切于0(x ，0)y ，则200002(43)312(43)x x a x a x a ⎧-=+-+⎪⎨-=+-⎪⎩，整理可得24730a a -+=．解得34a =或1（舍去），当132a 时，由图象可知，符合条件，综上：a 的取值范围为1[3，23]{}34．故选C．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数2,1()4()(2),1x a x f x x a x a x ⎧-<=⎨--⎩恰有2个零点的充分条件的a 的取值范围是A ．(1，2]B ．(3,)+∞C ．1(,1)2D ．1(0,]2【答案】BC【解析】作函数()y f x =图象如图所示，()f x 恰有2个零点的充要条件是：20(1)0a f -⎧⎨⎩ ，或20(1)0a f ->⎧⎨<⎩，即204(1)(12)0a a a -⎧⎨--⎩ ，或204(1)(12)0a a a ->⎧⎨--<⎩，解得2a 或112a <<，当(3,)a ∈+∞或1(,1)2a ∈时，有2a 或112a <<成立，于是()f x 恰有2个零点，所以B 与C 都是()f x 恰有2个零点的充分条件，A 和D 不是．故选BC．10．关于x 的函数222()(1)|1|f x x x k =---+，给出下列四个命题，其中是真命题的为A ．存在实数k ，使得函数恰有2个零点B ．存在实数k ，使得函数恰有4个零点C ．存在实数k ，使得函数恰有5个零点D ．存在实数k ，使得函数恰有8个零点【答案】ABCD【解析】原问题等价于考查函数222()(1)|1|g x x x =---与函数()h x k =-的交点个数，注意到()g x 为偶函数，故首先研究函数()g x 在[0，)+∞上的性质：当01x 时，222()(1)(1)g x x x =---，函数2()1u x x =-在区间[0，1]上单调递减，值域为[0，1]，函数2y u u =-在区间[0，1]2上单调递减，在区间1[2，1]上单调递增，由复合函数单调性的法则可得，函数()g x 在区间[0，22上单调递减，在区间2[2，1]上单调递增，同理可得函数在区间[1，]2上单调递减，在区间[2，)+∞上单调递增，据此函数函数()g x 的图象如图所示，经计算21(24g =-，61(24g =-，如图所示x 轴上方的直线与函数图象交点个数为2个，选项A 正确，14x =-与函数图象交点个数为4个，选项B 正确，x 轴与函数图象交点个数为5个，选项C 正确，x 轴下方的直线与函数图象交点个数为8个，选项D 正确，故选ABCD ．11．几名大学生创业，经过调研，他们选择了一种技术产品，生产此产品获得的月利润()p x （单位：万元）与每月投入的研发经费x （单位：万元）有关：当每月投入的研发经费不高于16万元时，21()6205p x x x =-+-，研发利润率()100%p x y x=⨯．他们现在已投入研发经费9万元，则下列判断正确的是A ．投入9万元研发经费可以获得最大利润率B ．要再投入6万元研发经费才能获得最大利润C ．要想获得最大利润率，还需要再投入研发经费1万元D ．要想获得最大利润，还需要再投入研发经费1万元【答案】BC【解析】因为产品的月利润为2211()620(15)12555P x x x x =-+-=--+，(016)x ，则当15x =时，月利润有最大值为125万元，即在已经投入9万元时需再投入6万元，才能使月利润最大，故B 正确，D 错误，而利润率21620()1205(65x x p x y x x x-+-===-++，因为116055x <，20504x > ，所以12045x x += ，即120(64625y x x =-++-+= ，当且仅当1205x x=，即10x =万元时，利润率有最大值为2，即在已经投入9万元时再投入1万元，才能使利润率最大，故A 错误，C 正确，故选BC ．12．定义在R 上的函数()f x 满足()2(2)f x f x =-，且[0x ∈，1)时，()(f x f =（1）)x，[1x ∈，2]时，4()f x x=．令()()g x f x x a =--，[2x ∈-，6]，若函数()g x 的零点有8个，则a 的可能取值为A ．2.5B ．2.6C ．2.8D ．3【答案】BC【解析】()2(2)f x f x =- ，∴自变量每增加2个单位，纵坐标扩大为原来的2倍，[0x ∈ ，1)时，()(f x f =（1）)4x x =，[1x ∈，2]时，4()f x x=．作出()f x 的图象如图：()()g x f x x a =--的零点有8个，即()f x 与()h x x a =+在[2-，6]上有8个交点，由图可知，(1)2h -<，h （1）4<，h （3）8<，h （5）16<，1(2)2h ->，(0)1h >，h （2）2>，h （4）4>，h （6）8>．解得532a <<．a ∴可求2.6，2.8．故选BC ．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．有一座大桥既是交通拥挤地段，又是事故多发地段，为了保证安全，交通部门规定．大桥上的车距()d m 与车速(/)v km h 和车长()l m 的关系满足：21(2d kv l l k =+为正的常数），假定车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长．应规定车速为/km h 时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多？【答案】50【解析】车身长为4m ，当车速为60(/)km h 时，车距为2.66个车身长，所以2212.66 2.1620.00066060l l k l -===，故20.000242d v =+，设每小时通过的车辆为Q ，则10004v Q d =+，故21000100010001250060.002460.24360.002420.0024v Q v v v v v===++⋅，当且仅当60.0024v v =，即50v =时取等号，所以应规定车速为50/km h 时，才能使大桥上每小时通过的车辆最多．故答案为：50．14．已知函数()y f x =是R 上的奇函数，且当0x >时，2()23f x x x =--，若关于x 的方程|()|f x x a =+恰有四个互不相等的实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】(1.5，3)(3⋃，3.5)【解析】由函数()y f x =是R 上的奇函数，可得()()f x f x -=-，当0x =时，(0)0f =；由0x >时，2()23f x x x =--，当0x <时，0x ->，22()()(23)23f x f x x x x x =--=-+-=--+，即有2223,0()0,023,0x x x f x x x x x ⎧--+<⎪==⎨⎪-->⎩，分别作出()y f x =和|()|y f x =的图象(x 轴上方（包含x 轴上的点）)，关于x 的方程|()|f x x a =+恰有四个互不相等的实数根等价为|()|y f x =的图象与直线y x a =+有四个交点．作出直线y x =，将它向上平移，当直线y x a =+经过点( 1.5,0)-，解得 1.5a =，此时|()|y f x =的图象与直线 1.5y x =+有3个交点；当直线y x a =+经过点(0,3)，可得3a =，此时直线3y x =+与223(0 1.5)y x x x =-++<<的图象相切，有3个交点；当直线y x a =+与223(1.50)y x x x =--+-<<的图象相切，可得△48(3)0a =--=，解得 3.5a =，此时有3个交点；所以当1.53a <<和3 3.5a <<时，|()|y f x =的图象与直线y x a =+有四个交点．故答案为：(1.5，3)(3⋃，3.5)．15．已知函数()((2,2))2||x f x x x =∈--，有下列结论：①(2,2)x ∀∈-，等式()()0f x f x -+=恒成立；②[0m ∀∈，)+∞，方程|()|f x m =有两个不等实根；③1x ∀，2(2,2)x ∈-，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠；④存在无数多个实数k ，使得函数()()g x f x kx =-在(2,2)-上有三个零点．则其中正确结论序号为．【答案】①③④【解析】已知函数()((2,2))2||x f x x x =∈--，有下列结论：对于①，因为(2,2)x ∀∈-，()()02||2||2||2||x x x x f x f x x x x x ---+=+=+=-----，所以①对；对于②，因为当0[0m =∈，)+∞时，方程|()|0f x =，只有一个实根0x =，所以②错；对于③，因为当(2x ∈-，0]时，2()122x f x x x ==-++，单调递增，当[0x ∈，2)时，2()122x f x x x ==----，单调递增，所以()f x 在(2,2)-上单调递增，所以1x ∀，2(2,2)x ∈-，若12x x ≠，则一定有12()()f x f x ≠，所以③对；对于④，函数()()g x f x kx =-在(2,2)-上有三个零点，即方程2||x kx x =-在(2,2)-上有三个根，因为0x =必为一根，只要方程12||k x =-有两个根，即只要12||x k -=有两个根，由函数图象知1(0,2)k∈，1(2k ∈，)+∞，所以④对．故答案为：①③④．16．已知函数226,0(),0x x x f x lnx x ⎧---=⎨>⎩，若函数()()2g x f x mx =-+有四个零点，则实数m 的取值范围是．【答案】(2,)e【解析】若函数()()2g x f x mx =-+有四个零点，需()y f x =和2y mx =-有四个交点，当0x >时，作出函数()f x lnx =和2y mx =-的图象如下图所示，直线2y mx =-恒过定点(0,2)-，设2y mx =-于y lnx =相切于点0(x ，0)y ，则002y mx =-，00y lnx =，由y lnx =，得1y x '=，所以01m x =，解得01,x m e e ==，即当0m e <<时，函数()f x lnx =与2y mx =-有两个交点，当0x 时，若2y mx =-与226y x x =---有两个交点，需224(0)mx x x x =---= 有两个不相等的实根，当0x =时，m 无解；当0x <时，42m x x+=--，由对勾函数图象可得，当24m +>，即2m >时，2y m =+与4y x x =--有两个交点，故2y mx =-与226y x x =---有两个交点，综上可得，当2m e <<时，函数()()2g x f x mx =-+有四个零点．故答案为：(2,)e ．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．已知函数1()2421x x f x a +=⨯-⋅+．（1）若6a =，求不等式()0f x <的解集；（2）若关于x 的方程()0f x =有解，求a 的取值范围．【答案】（1）当6a =时，由()0f x <，得1246210x x +⨯-⨯+<，即(421)(221)0x x ⨯-⨯-<，则11242x <<，解得21x -<<-．故不等式()0f x <的解集为{|21}x x -<<-；（2）()0f x =，即124210x x a +⨯-⋅+=，则18418222x x x x a +⨯==+⨯ ．当且仅当1822x x =⨯，即32x =-时，等号成立．a ∴的取值范围是)+∞．18．作为“中华有为”的华为公司，计划在2021年生产某新款手机，经市场调查数据分析显示：生产此款手机全年需投入固定成本250万，而且每生产x （千部）手机，还需另投入成本()R x 万元，且210100,040()100007019450,40x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，若每部手机售价为7000元，且当年所生产的手机能全部售完，请你帮忙解决以下问题：（1）求2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数解析式（利润=销售额-成本）；（2）求2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）当040x <<时，22()700(10100)25010600250W x x x x x x =-+-=-+-，当40x 时，1000010000()700(7019450)250()9200W x x x x x x=-+--=-++，故210600250,040()10000()9200,40x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨-++⎪⎩．（2）当040x <<时，2()(30)8750W x x =--+，故当30x =时，()8750max W x =万元，当40x ，根据对数函数的性质可得，当10000x x=，即100x =时，()9000max W x =万元，90008750> ，2021∴年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．19．已知函数()1()41x a f x a R =-∈+是奇函数．（1）求a 的值；（2）是否存在实数k ，使得关于x 的方程()4xk f x =在R 上有两个不等的实根？若存在，求出实数k 的取值范围；若不存在，请说明理由．【答案】（1）因为函数()1?41x a f x =+是定义在R 的奇函数，则4(14)()()1122204141414(41)41x x x x x x x x a a a a a f x f x a --⋅++-=-+-=--=-=-=+++++，解得2a =；（2）因为关于x 的方程()4x k f x =在R 上至少有两个不等的实根，即21?414x x k =+，可得242(411)224442(41)341414141x x x x x x x x x x k ⋅⋅+-=-=-=-+=++-++++，令411x t =+>，则关于t 的方程23k t t=+-在(1,)t ∈+∞时至少有两个不等的实根，由23k t t =+-可得2(3)20t k t -++=，令2()(3)2g t t k t =-++，则函数()g t 在(1,)+∞上至少有两个不等的零点，所以2(3)80312(1)0k k g k ⎧=+->⎪+⎪>⎨⎪=->⎪⎩，解得30k -<<．故实数k的取值范围是3,0)．20．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G ，然而这并没有让华为却步．华为在2019年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国的华为为了进一步增加市场竞争力，计划在2021年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x （千部）手机，需另投入成本()R x 万元，且210100,030()100006017250,30x x x R x x x x ⎧+<<⎪=⎨+-⎪⎩，由市场调研知，每部手机售价0.6万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．（1）求出2021年的利润()W x （万元）关于年产量x （千部）的函数关系式；（利润=销售额-成本）（2）2021年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？【答案】（1）销售x （千部）手机获得的销售额为0.61000600x x ⨯=，当030x <<时，22()6002501010010500250W x x x x x x =---=-+-，当30x 时，1000010000()60025060172507000W x x x x x x=---+=--+，故210500250,030()100007000,30x x x W x x x x ⎧-+-<<⎪=⎨--+⎪⎩．（2）当030x <<时，2()10500250W x x x =-+-，当25x =时，()6250125002506000max W x =-+-=，当30x时，10000()700070006800W x x x =--+-= ，当10000x x-=-，即100x =时，等号成立，68006000> ∴当100x =（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是6800（万元）．21．已知函数2()2(1)4f x x a x a =-++．（1）解关于x 的不等式()0f x <；（2）函数2()(4)5g x a x a a =++-+，1x ，2x 为方程()()0f x g x +=的两个实根，求2212x x +的最大值．【答案】（1）对于二次函数2()2(1)4f x x a x a =-++，其对应的二次方程为22(1)40x a x a -++=，△224(1)164(1)0a a a =+-=- ，其两根为2x =，2x a =．当22a >，即1a >时，不等式()0f x <的解集为(2,2)a ；当22a =，即1a =时，不等式()0f x <的解集为∅；当22a <，即1a <时，不等式()0f x <的解集为(2,2)a ；综上，1a >时，不等式()0f x <的解集为(2,2)a ；1a =时，不等式无解；1a <时，不等式()0f x <的解集为(2,2)a ．（2）函数2()(4)5g x a x a a =++-+，函数2()2(1)4f x x a x a =-++，方程()()0f x g x +=，可得222(1)4(4)50x a x a a x a a -+++++-+=，即22(2)350x a x a a --+++=，1x ，2x 为方程的两个实根，∴△22(2)4(35)0a a a =--++ ，解得[4a ∈-，4]3-，可得122x x a +=-，21235x x a a =++，222222121212()2(2)2(35)106x x x x x x a a a a a +=+-=--++=---，开口向下，对称轴为5a =-，所以函数在[4a ∈-，4]3-是减函数，2212x x +的最大值为：2(4)10(4)618---⨯--=．22．已知函数2()21g x ax x b =-++，a ，b R ∈，且关于x 的不等式()0g x <的解集为{|13}x x -<<，设()()g x f x x=．（1）若存在0[1x ∈，3]，使不等式00()2f x x m - 成立，求实数m 的取值范围；（2）若方程2(|21|)30|21|x x f k k -+⋅-=-有三个不同的实数解，求实数k 的取值范围．【答案】（1）不等式2()210g x ax x b =-++<的解集为{|13}x x -<<，11x ∴=-，23x =是方程2210ax x b -++=的两个根，∴12122213x x a b x x a ⎧+==⎪⎪⎨+⎪⋅==-⎪⎩，解得14a b =⎧⎨=-⎩，2()23g x x x ∴=--．∴3()2f x x x =--．∴存在0[1x ∈，3]，使不等式00()2f x x m - 成立，等价于32x m x--- 在[1x ∈，3]上有解，而332(222x x x x ---=-+---=-- ，当且仅当3x x =，即x =m ∴的取值范围为(,2]-∞--；（2）原方程可化为2|21|(32)|21|(23)0x x k k --+-+-=，令|21|x t -=，则[0t ∈，)+∞，则2(32)230t k t k -++-=有两个不同的实数解1t ，2t ，其中101t < ，21t >，或101t < ，21t =，记2()(32)23h t t k t k =-++-，则(0)230(1)40h k h k =->⎧⎨=--<⎩①，解得32k >，或(0)230(1)4032012h k h k k ⎧⎪=->⎪=--=⎨⎪+⎪<<⎩②，不等式组②无实数解，∴实数k 的取值范围为3(,)2+∞．。

(压轴题)高中数学必修一第二单元《函数》检测题(包含答案解析)(3)

一、选择题1．已知函数()f x =的定义域为R ，则实数m 的取值范围是（）A ．04m ≤≤B ．04m <≤C ．04m ≤<D ．04m <<2．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与2(22)f a a ++的大小关系是（）A ． 2(1)(22)f f a a ->++B ．2(1)(22)f f a a -<++C ．2(1)(22)f f a a -≥++D ． 2(1)(22)f f a a -≤++3．若函数()()21225,012,1bb x f x x x b x x -⎧-+<<⎪=⎨⎪+-≥⎩对于任意的实数12x x ≠，都有()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦成立，则实数b 的取值范围为（）A ．1,42⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．[)4,+∞C ．[]1,4D ．1,2⎛⎫+∞⎪⎝⎭4．如果()()211f x mx m x =+-+在区间(]1-∞，上为减函数，则m 的取值范围（） A ．103⎛⎤ ⎥⎝⎦，B ．103⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．103⎡⎫⎪⎢⎣⎭，D ．103⎛⎫ ⎪⎝⎭，5．已知函数()f x 的定义域为R ，()0f x >且满足()()()f x y f x f y +=⋅，且()112f =，如果对任意的x 、y ，都有()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，那么不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为（）A ．(][),12,-∞+∞ B ．[]1,2C ．()1,2D ．(],1-∞6．若函数()f x =0,，则实数m 的取值范围是（） A ．()1,4 B ．()(),14,-∞⋃+∞C ．(][)0,14,+∞ D ．[][)0,14,+∞7．已知定义在R 上的奇函数()y f x =，当0x ≥时，22()f x x a a =--，若对任意实数x 有()()f x a f x -≤成立，则正数a 的取值范围为（） A ．)1,4⎡+∞⎢⎣B ．)1,2⎡+∞⎢⎣C ．(10,4⎤⎥⎦D ．(10,2⎤⎥⎦8．已知函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，则m 的值为（） A ．1或3B ．3或134C ．3D ．1349．已知函数log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩（0a >，且1a ≠），则((1))f f -=（）A ．1B ．0C ．-1D ．a10．已知函数()f x 的定义域为R ,对任意的 12,x x <都有1212()(),f x f x x x -<-且(3)4,f =则(21)2f x x ->的解集为( )A ．(2,)+∞B ．(1,)+∞C ．(0,)+∞D ．(1,)-+∞11．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭12．已知函数()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，且()21f =，()()()f xy f x f y =+，则不等式()()23f x f x +-≤（）A ．()1,2B ．[)1,3C ．()2,4D ．(]2,4二、填空题13．已知函数f (x )满足2f (x )＋f (－x )＝3x ，则f (x )＝________．14．已知函数()()1f x a =-[]0,2上是减函数，则实数a 的取值范围是_____.15．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .16．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.17．若233()1x x f x x -+=-，()2g x x =+，求函数()()y f g x =的值域________.18．函数的定义域为A ，若12,x x A ∈且12()()f x f x =时总有12x x =，则称()f x 为单函数，例如，函数()21f x x =+()R x ∈是单函数，下列命题： ①函数4()f x x =()R x ∈是单函数；②若()f x 为单函数，12,x x A ∈且12x x ≠，则12()()f x f x ≠；③若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，在A 中至多有一个数与它对应； ④函数()f x 在某区间上具有单调性，则()f x 在其定义域上一定是单函数．期中正确命题的序号是___________．19．函数()f x =的单调递增区间为__________．20．定义在R 上的函数()f x 满足(3)()1f x f x +=+，且[0,1]x ∈时，()6x f x =，(1,3)x ∈时，(1)()f f x x=，则函数()f x 的零点个数为__________. 三、解答题21．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若集合(){}{}|12A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数；（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[]22-，上的最小值. 22．已知22()2x af x x -=+.（1）若0a =，证明：()f x 在递增，若()f x 在区间(12,1)m m --递增，求实数m 的范围；（2）设关于x 的方程1()f x x=的两个非零实根为1x ，2x ，试问：是否存在实数m ，使得不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立？如果存在求出m 的范围，如果不存在请说明理由.23．已知函数22()3mx f x x n+=+是奇函数，且()523f =（1）求实数m 和n 的值；（2）利用“函数单调性的定义”判断()f x 在区间[]2,1--上的单调性，并求()f x 在该区间上的最值．24．已知函数()2x x f x e ke -=--为偶函数．（1）求k 的值及函数()f x 的最小值；（2）设()(2)2(()2)g x f x m f x =-+，当0x >时，()0>g x ，求m 的取值范围． 25．已知函数()()kf x x x R x=+∈，且()()12f f =. （1）求k ；（2）用定义证明()f x 在区间)+∞上单调递增.26．已知二次函数2()23=-+f x x x ．（Ⅰ）求函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈⎥⎝⎦的值域；（Ⅱ）若对任意互不相同的21,(2,4)x x ∈，都有()()1212f x f x k x x -<-成立，求实数k 的取值范围．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．C 解析：C 【分析】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立，然后分0m =和0m ≠，结合题意可得出关于实数m 的不等式组，由此可解得实数m 的取值范围. 【详解】由题意可知，对任意的x ∈R ，210mx mx ++>恒成立. 当0m =时，则有10>，合乎题意；当0m ≠时，则有240m m m >⎧⎨∆=-<⎩，解得04m <<. 综上所述，04m ≤<. 故选：C. 【点睛】结论点睛：利用二次不等式在实数集上恒成立，可以利用以下结论来求解：设()()20f x ax bx c a =++≠①()0f x >在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆<⎩； ②()0f x <在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆<⎩； ③()0f x ≥在R 上恒成立，则00a >⎧⎨∆≤⎩； ④()0f x ≤在R 上恒成立，则0a <⎧⎨∆≤⎩. 2．C解析：C 【分析】由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2(22)f a a ++的大小即可，而2222(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与2(22)f a a ++大小关系.【详解】因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，又2222(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．3．C解析：C 【分析】根据函数单调性的定义判断出函数()f x 为()0,∞+上的增函数，进而可得出关于实数b 的不等式组，由此可解得实数b 的取值范围. 【详解】对任意的正实数1x 、2x ，当12x x ≠时，()()()12120x x f x f x -->⎡⎤⎣⎦，不妨设12x x >，则()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，所以，函数()f x 为()0,∞+上的增函数，则()()120212122512b b b b b -<⎧⎪-⎪≤⎨⎪--+≤+-⎪⎩，解得14b ≤≤. 因此，实数b 的取值范围是[]1,4. 故选：C. 【点睛】思路点睛：利用分段函数的单调性求参数范围，应该各支函数在各自的区间内利用单调性以及函数在间断点处端点值的大小关系得出参数的不等式组，从而解得参数的取值范围.4．B解析：B 【分析】当m =0时，()f x =1x -，符合题意.当0m ≠时，由题意可得0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，求得m 的范围.综合可得m 的取值范围.【详解】当0m =时，()1f x x =-+，满足在区间(]1-∞，上为减函数；当0m ≠时，由于()()211f x mx m x =+-+的对称轴为12mx m-=，且函数在区间(]1-∞，上为减函数，则0112m m m>⎧⎪-⎨≥⎪⎩，解得103m <≤.综上可得，103m ≤≤. 故选：B 【点睛】要研究二次型函数单调区间有关问题，首先要注意二次项系数是否为零.当二次项系数不为零时，利用二次函数的对称轴来研究单调区间.5．B解析：B 【分析】计算出()24f -=，并由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦可得出函数()y f x =在R 上为减函数，再由()()234f x f x-⋅≥，可得出()()232f xx f -≥-，再由函数()y f x =在R 上的单调性可得出232x x -≤-，解出该不等式即可. 【详解】由于对任意的实数x 、y ，()()()f x y f x f y +=⋅且()0f x >. 令0x y ==，可得()()()000f f f =⋅，且()00f >，解得()01f =. 令y x =-，则()()()01f x f x f ⋅-==，()()1f x f x -=，()()1121f f -==. ()()()211224f f f ∴-=-⋅-=⨯=.设x y <，则0x y -<，由()()()0x y f x f y ⎡⎤--<⎣⎦，得()()f x f y >. 所以，函数()y f x =在R 上为减函数，由()()234f x f x-⋅≥，可得()()232f x x f -≥-.所以232x x -≤-，即2320x x -+≤，解得12x ≤≤.因此，不等式()()234f x f x -⋅≥的解集为[]1,2.故选B. 【点睛】本题考查抽象函数的单调性解不等式，解题的关键就是将不等式左右两边转化为函数的两个函数值，并利用函数的单调性进行求解，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.6．D解析：D 【分析】令t =()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】令t =1y t=的值域为0,，根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞()0,+∞，记函数()22(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即()24240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.故选：D.7．C解析：C 【分析】由于22()f x x a a =--有绝对值，分情况考虑2x a ≥和2x a <，再由()y f x =是奇函数画出图象，再根据()()f x a f x -≤考虑图象平移结合图形可得答案. 【详解】由题得，当0x ≥时，22()f x x a a =--，故写成分段函数222222,0(),x a a x a f x x a a x a ⎧-+-≤≤=⎨-->⎩，化简得222,0()2,x x a f x x a x a⎧-≤≤=⎨->⎩，又()y f x =为奇函数，故可画出图像：又()f x a -可看出()y f x =往右平移a 个单位可得，若()()f x a f x -≤恒成立，则222(2)a a a ≥--，即24a a ≤，又a 为正数，故解得104a <≤. 故选：C . 【点睛】本题主要考查绝对值函数对分段函数的转换，图象的平移，属于中档题.8．D解析：D 【分析】依题意可得()f x 在[]0,2上的最大值为9，求出函数的对称轴，通过讨论m 的范围，求出函数的单调区间，求出函数的最大值，得到关于m 的方程，解出即可．【详解】解：因为函数()()220f x x mx m =-+>满足：①[]()0,2,9x f x ∀∈≤；②[]()000,2,9x f x ∃∈=，即函数()()220f x x mx m =-+>在[]0,2上的最大值为9，因为222()2()f x x mx x m m =-+=--+，对称轴是x m =，开口向下，当02m <<时，()f x 在[0，)m 递增，在(m ，2]递减，故2()()9max f x f m m ===，解得：3m =，不合题意，2m 时，()f x 在[0，2]递增，故()()2449max f x f m ==-=，解得：134m =，符合题意，故选：D ．【点睛】本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，属于中档题．9．C解析：C 【分析】根据分段函数的解析式，代入求值即可. 【详解】因为log ,0(),0a x x x f x a x >⎧=⎨≤⎩，所以11(1)f aa --==，所以11((1))()log 1a f f f a a--===-，故选：C 【点睛】本题主要考查了利用分段函数的解析式，求函数值，涉及指数函数与对数函数的运算，属于中档题.10．A解析：A 【分析】由题可得[][]1122()()0f x x f x x ---<,可构造函数()()F x f x x =-是R 上的增函数,原不等式可转化为()()213F x F ->,再结合增函数的性质可求出答案. 【详解】由题意,[][]121211221122()()()()()()0f x f x x x f x x f x x f x x f x x -<-⇔-<-⇔---<, 因为12,R x x ∈且12,x x <所以函数()()F x f x x =-是R 上的增函数.()3(3)31F f =-=,因为(21)2(21)(21)1f x x f x x ->⇔--->,所以()()213F x F ->, 则213x ->,解得2x >. 故选:A. 【点睛】本题考查了函数的单调性的应用,构造函数()()F x f x x =-是解决本题的关键,属于中档题.11．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围．【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C 【点睛】本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．12．D解析：D【分析】根据()()()f xy f x f y =+且()21f =可得()42f =，83f ，则()()23f x f x +-≤可化为()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，然后根据单调性求解.【详解】根据()()()f xy f x f y =+可得，()()23f x f x +-≤可转化为()23f x x -≤⎡⎤⎣⎦，又()()()()422222f f f f =+==，所以()()()842213f f f =+=+=，即()()28f x x f -≤⎡⎤⎣⎦，因为()f x 是定义在()0,∞+上的增函数，所以只需满足()28020x x x x ⎧-≤⎪>⎨⎪->⎩，解得：24x <≤.故选：D. 【点睛】本题考查抽象函数的应用，考查利用函数的单调性解不等式，难度一般，根据题目条件将问题灵活转化是关键.二、填空题13．【分析】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x)＝－3x②解上面两个方程即得解【详解】因为2f(x)＋f(－x)＝3x①所以将x 用－x 替换得2f(－x)＋f(x) 解析：3x【分析】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①,所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，②,解上面两个方程即得解. 【详解】因为2f (x )＋f (－x )＝3x ，①所以将x 用－x 替换，得2f (－x )＋f (x )＝－3x ，② 解由①②组成的方程组得f (x )＝3x . 故答案为3x 【点睛】本题主要考查函数的解析式的求法，意在考查学生对该知识的理解掌握水平，属于基础题.14．【分析】根据f （x ）定义在02上且4﹣ax≥0即可得出a≤2然后讨论：①1＜a≤2时满足条件；②a=1时不合题意；③0＜a ＜1时不合题意；④a=0时不合题意；⑤a ＜0时满足条件这样即可求出实数a 的取解析：012a a <<≤或【分析】根据f （x ）定义在[0，2]上，且4﹣ax≥0，即可得出a≤2，然后讨论：①1＜a≤2时，满足条件；②a=1时，不合题意；③0＜a ＜1时，不合题意；④a=0时，不合题意；⑤a ＜0时，满足条件，这样即可求出实数a 的取值范围．【详解】∵f （x ）定义在[0，2]上；∴a ＞2时，x=2时，4﹣ax ＜0，不满足4﹣ax≥0； ∴a≤2；①1＜a≤2时，a ﹣1＞0；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ②a=1时，f （x ）=0，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠1；③0＜a ＜1时，a ﹣1＜0； ∵[0，2]上是减函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是增函数； ∴0＜a ＜1不合题意；④a=0时，f （x ）=﹣2，不满足在[0，2]上是减函数； ∴a≠0；⑤a ＜0时，a ﹣1＜0；[0，2]上是增函数；∴()(1f x a =-[0，2]上是减函数； ∴综上得，实数a 的取值范围为012a a <<≤或．故答案为012a a <<≤或．【点睛】考查函数定义域的概念，函数单调性的定义及判断．15．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7 【解析】由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中,令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.16．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于解析：－8 【解析】∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．17．【分析】将代入得到的解析式然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立则即将函数代入得：令则所以又或故函数的值域为故答案为：【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单可先将的解析：(][),31,-∞-+∞【分析】将()2g x x =+代入，得到()()y f g x =的解析式，然后利用换元法求出值域．【详解】要使函数()()y f g x =成立，则21x +≠，即1x ≠-，将函数()2g x x =+代入233()1x x f x x -+=-得： ()()()()222323111x x x x y f g x x x +-++++===++，令1x t ，则1x t =-，所以22(1)111t t t t y t t t t-+-+===-+，又111t t -+≥或113t t -+≤-，故函数()()f g x 的值域为(][),31,-∞-+∞.故答案为：(][),31,-∞-+∞.【点睛】求解复合函数()()f g x 的值域的一般方法如下：（1）若函数()g x 的形式比较简单，可先将()()f g x 的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；（2）采用换元法，令()g x t =，计算()g x 的值域即t 的取值范围，然后计算()f t 的值域．18．②③【分析】结合单函数的定义对四个命题逐个分析可选出答案【详解】命题①：对于函数设则由与可能相等也可能互为相反数即不是单函数故①错误；命题②：假设因为函数为单函数所以与已知矛盾故即命题②正确；命题③解析：②③ 【分析】结合单函数的定义，对四个命题逐个分析，可选出答案. 【详解】命题①：对于函数4()f x x =()R x ∈，设()4400f x x a ==，则0x a =±，由a 与a -可能相等，也可能互为相反数，即4()f x x =不是单函数，故①错误；命题②：假设12()()f x f x =，因为函数()f x 为单函数，所以12x x =，与已知12x x ≠矛盾，故12()()f x f x ≠，即命题②正确；命题③：若:f A B →为单函数，则对于任意b B ∈，()b f a =，假设不只有一个原象与其对应，设为12,,a a ，则()()12f a f a ==，根据单函数定义，可得12a a ==，又因为原象中元素不重复，故函数:f A B →至多有一个原象，即命题③正确；命题④：函数()f x 在某区间上具有单调性，并不意味着在整个定义域上具有单调性，则可能存在不同的12,x x ，使得12()()f x f x =，不符合单函数的定义，故命题④错误. 综上可知，真命题为②③. 故答案为②③．【点睛】关键点点睛：本题考查新定义函数，解题关键是根据新定义的特点，弄清新定义的性质，按照新定义的要求，“照章办事”，逐条分析、验证、运算，使问题得以解决，考查学生的逻辑推理能力，计算求解能力，属于中档题.19．【分析】先求出函数的定义域在利用复合函数单调性得解【详解】因为或所以函数的定义域为由在上单减在单增由复合函数单调性质得函数在单增故答案为：【点睛】复合函数单调性同增异减注意定义域属于基础题解析：(,1)-∞-【分析】先求出函数的定义域，在利用复合函数单调性得解. 【详解】因为22303x x x -->⇒>或1x <- 所以函数的定义域为(,1)(3,)-∞-+∞由223t x x =--在(,1)-∞-上单减，在(3,)+∞单增由复合函数单调性质得函数()f x =在(,1)-∞-单增故答案为：(,1)-∞- 【点睛】复合函数单调性“同增异减”，注意定义域.属于基础题20．【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数可得函数零点的个数【详解】解：由题意可得：（1）时即：结合绘制函数图象如图所示：由图可得函数图象与横轴交点有9 解析：9【分析】由题意首先结合所给的关系式画出函数图象，结合函数图象即可确定函数图象与横轴交点个数，可得函数零点的个数．【详解】解：由题意可得：f （1）166==，∴(1,3)x ∈时，(1)6()f f x x x==，即：6,01()6,13x x f x x x⎧⎪=⎨<<⎪⎩，结合(3)()1f x f x +=+绘制函数图象如图所示：由图可得，函数图象与横轴交点有9个，所以函数()f x 的零点个数为9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查函数的零点，数形结合的数学思想，函数图象的绘制等知识，函数零点的几种等价形式：函数()()y f x g x =-的零点⇔函数()()y f x g x =-在x 轴的交点⇔方程()()0f x g x -=的根⇔函数()y f x =与()y g x =的交点．三、解答题21．（1）①2()22f x x x =-+，②见解析；（2）2min42,4(),44442,4b b bf x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩. 【分析】（1）①先求得2c =；{1A =，2}说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，b ，从而可得解析式；②写成分段函数形式，再利用二次函数图象与性质求解．（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）①(0)2f =，2c ∴={1A =，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．由韦达定理得，212112ab a⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩2()22f x x x∴=-+②函数()2222,022,0 x xxy f xx x x⎧-+≥==⎨-+<⎩，函数()y f x=的图象如图，同一坐标系内画出函数y a=的图象，由图可知，当1a<时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为0；当1a=或2a>时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为2；当12a<<时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为4；当2a=时，函数y a=和函数()y f x=的图象的公共点个数为3；（2）a=1，c=0，函数2()f x x bx=+，当2,42bb-≤-≥时，()min()242f x f b=-=-；当22,442bb-<-<-<<时，2min()24b bf x f⎛⎫=-=-⎪⎝⎭；当2,42bb-≥≤-时，()min()242f x f b==+；综上，2min42,4(),44442,4b bbf x bb b-≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.22．（1）证明见解析；23m <≤2）存在；2m ≥或2m ≤-. 【分析】（1）运用单调性的定义，注意取值、作差和变形、定符号和下结论等步骤，可得f （x）在递增，由奇函数的性质推得f （x）在(递增，可得m 的不等式组，解得m 的范围；（2）运用韦达定理和配方，可得|x 1﹣x 2|的最大值，再由m 2+tm ﹣2≥0对任意t ∈[﹣1，1]恒成立，设g （t ）＝m 2+tm ﹣2＝tm +m 2﹣2，由一次函数的单调性可得m 的不等式组，解不等式可得所求范围．【详解】（1）当0a =时，任取12,x x ∈，12x x <，则()()()()()()()()()()2212212112121222222212212122222222222222x x x x x x x x x x f x f x x x x x x x +-+--⎛⎫⎛⎫-=-== ⎪ ⎪++++++⎝⎭⎝⎭，12x x <∈()()211220x x x x ∴--<，()()120f x f x ∴-<，即()f x在递增；∵()f x 为R 上的奇函数，∴()f x在(递增，又∵()f x 在区间(12,1)m m --递增，则121121m m m m ⎧≤-⎪⎪-≤⎨⎪-<-⎪⎩，解得2132m +<≤（2）由2212x a x x-=+，得220x ax --=，此时280a ∆=+>恒成立，由于1x ，2x 是方程220x ax --=的两实根，所以12122x x a x x +=⎧⎨=-⎩，从而12x x -==11a -≤≤，123x x ∴-=，不等式2121m tm x x ++≥-对任意[1,1]a ∈-及[1,1]t ∈-恒成立，当且仅当213m tm ++≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，即220m tm +-≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，设22()22g t m tm tm m =+-=+-，则()0g t ≥对任意[1,1]t ∈-恒成立，(1)0(1)0g g ≥⎧∴⎨-≥⎩，即222020m m m m ⎧+-≥⎨-+-≥⎩，解得2m ≥或2m ≤-. 【点睛】方法点睛：证明函数的单调性.定义法：在定义域内任意取值、作差和变形、定符号和下结论；导数法：给函数求导，在定义域内判断导数的正负，若导数为正，则函数递增，若导数为负，则函数递减.23．（1）2m =；0n =；（2）单调递增；()max 43f x =-，()min 53f x =-.【分析】（1）根据函数的奇偶性的关系建立方程即可求实数m 和n 的值；（2）利用定义证明函数的单调性，即取值，作差，变形，定号，下结论，再利用单调性即可求最值. 【详解】（1）∵()f x 是奇函数，∴()()f x f x -=-，∴222222333mx mx mx x n x n x n+++=-=-++--. 所以33x n x n -+=--，解得：0n =，又()523f =， ∴425(2)63m f +==，解得2m =. ∴实数m 和n 的值分别是2和0.（2）由（1）知22222()333x x f x x x+==+. 任取[]12,2,1x x ∈--，且12x x <，则()()()()1212121212121212133x x f x f x x x x x x x x x ⎛⎫--=--=- ⎪⎝⎭， ∵1221x x -≤<≤-，∴120x x -<，121x x >，1210x x ->， ∴()()120f x f x -<，即()()12f x f x <， ∴函数()f x 在区间[]2,1--上单调递增， ∴()()max 413f x f =-=-，()()min 523f x f =-=-. 【点睛】方法点睛：利用定义证明函数单调性的方法（1）取值：设12,x x 是该区间内的任意两个值，且12x x <；（2）作差变形：即作差，即作差12()()f x f x -，并通过因式分解、配方、有理化等方法，向有利于判断符号的方向变形；（3）定号：确定差12()()f x f x -的符号；（4）下结论：判断，根据定义作出结论. 即取值---作差----变形----定号----下结论.24．（1）1k =-，()f x 的最小值为0；（2）[0,)+∞ 【分析】（1）根据函数()2x xf x e ke -=--为偶函数．由()()f x f x -=恒成立求解.进而得到()2x x f x e e -=+-，再利用对勾函数的性质求最小值.（2）由（1）得到()()2()24x xx x g x e e m e e --=+-+-，根据0x >时，()0>g x ，由()()42,0x x x xm e e x e e --<+->+恒成立求解. 【详解】（1）因为函数()2x xf x e ke -=--为偶函数．所以()()f x f x -=恒成立，即22x x x x e ke e ke ----=--恒成立，即()()10xx k ee --+=恒成立，解得1k =-，所以1()22xxx x f x e ee e -=+-=+-，令0x m e =>，由对勾函数的性质得：12y m m=+≥，所以函数()f x 的最小值为0；（2）()()()222()2224x x x xx xx x g x e e m e e e e m e e ----=+--+=+-+-，因为当0x >时，()0>g x ，所以()()2240,0xx x x e em e e x --+-+->>恒成立，即()()42,0x xx xm e e x e e --<+->+恒成立，令()()()4x xx x h x e e e e --=+-+，令2x xt e e-+>=，因为4y t t=-，在()2,+∞上递增，所以()0h x >，所以20m ≤，即0m ≤，所以m 的取值范围是[0,)+∞. 【点睛】方法点睛：恒成立问题的解法：若()f x 在区间D 上有最值，则()()min ,00x D f x f x ∀∈>⇔>；()()max ,00x D f x f x ∀∈<⇔<；若能分离常数，即将问题转化为：()a f x >（或()a f x <），则()()max a f x a f x >⇔>；()()min a f x a f x <⇔<.25．（1）2；（2）证明见解析. 【分析】（1）由题得122kk +=+，解方程即得解；（2）利用定义法证明函数在区间)+∞上单调递增. 【详解】（1）由()()12f f =得122k k +=+，解得2k =，所以()2f x x x=+ （2）21x x ∀>>()()21212122f x f x x x x x ⎛⎫⎛⎫-=+-+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()()()1221212112222x x x x x x x x x x -⎛⎫=-+-=-+ ⎪⎝⎭()()1221122x x x x x x -=-，∵21x x >>，∴210x x ->，212x x >， ∴()()210f x f x ->，即()()21f x f x >，所以函数()f x在区间)+∞上单调递增.【点睛】方法点睛：用定义法判断函数的单调性的一般步骤：①取值，设12,x x D ∈，且12x x <；②作差，求12()()f x f x -；③变形（合并同类项、通分、分解因式、配方等）；④判断12()()f x f x -的正负符号；⑤根据函数单调性的定义下结论.26．（Ⅰ）[]2,11；（Ⅱ）[)6,+∞. 【分析】（Ⅰ）令2log 2t x =+，求出其值域；再结合二次函数的性质即可求解；（Ⅱ）设12x x <，可得()()2211f x kx f x kx -<-，令()()g x f x kx =-，()2,4x ∈，问题转化为()g x 在()2,4上是减函数，利用二次函数的性质建立不等式，即可求解.【详解】（Ⅰ）令2log 2t x =+，因为1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦，所以(]2log 2,2x ∈-，(]2log 20,4t x =+∈，()()22log 223y f x f t t t =+==-+，对称轴为：1t = ，所以()223f t t t =-+在区间()0,1上单调递减，在区间()1,4上单调递增，所以()()min 11232f t f ==-+=，()()2max 4424311f t f ==-⨯+=，所以函数()2log 2y f x =+，1,44x ⎛⎤∈ ⎥⎝⎦的值域为[]2,11，（Ⅱ）设12x x <，易知2()23=-+f x x x 在区间(2,4)上单调递增，所以()()12f x f x <，故()()1212f x f x k x x -<-可化为()()2122f x f x kx kx -<-，即()()2211f x kx f x kx -<-，令()()()223g x f x kx x k x =-=-++，()2,4x ∈，所以()()21g x g x <，即()g x 在()2,4上是减函数，故242k +≥，解得：6k ≥所以实数k 的取值范围是[)6,+∞【点睛】关键点点睛：第二问的关键点是将已知条件转化为()()2211f x kx f x kx -<-，构造函数()()g x f x kx =-，可得()()21g x g x <，问题转化为()g x 在()2,4上是减函数，利用二次函数的对称轴建立不等式，即可求解.。

高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题

高三数学函数与导数压轴题训练——函数不等式问题在近几年的高考试题中，出现了一类抽象函数与导数交汇的重要题型，这类问题由于比较抽象，很多学生解题时，突破不了由抽象而造成的解题障碍．实际上，根据所解不等式，联想导数的运算法则，构造适当的辅助函数，然后利用导数判断其单调性是解决此类问题的通法．[典例]设函数f′(x)是奇函数f(x)(x∈R)的导函数，f(－1)＝0，当x>0时，xf′(x)－f(x)<0，则使得f(x)>0成立的x的取值范围是()A．(－∞，－1)∪(0,1)B．(－1,0)∪(1，＋∞)C．(－∞，－1)∪(－1,0) D．(0,1)∪(1，＋∞)[思路点拨]观察xf′(x)－f(x)<0这个式子的特征，不难想到商的求导公式，尝试构造函数F(x)＝f(x)x求解．[方法演示]法一：构造抽象函数求解设F(x)＝f(x)x.因为f(x)是奇函数，故F(x)是偶函数，F′(x)＝xf′(x)－f(x)x2，易知当x>0时，F′(x)<0，所以函数F(x)在(0，＋∞)上单调递减．又f(－1)＝0，则f(1)＝0，于是F(－1)＝F(1)＝0，f(x)＝xF(x)，解不等式f(x)>0，即找到x与F(x)的符号相同的区间，易知当x∈(－∞，－1)∪(0,1)时，f(x)>0，故选A.法二：构造具体函数求解设f(x)是多项式函数，因为f(x)是奇函数，所以它只含x的奇次项．又f(1)＝－f(－1)＝0，所以f(x)能被x2－1整除．因此可取f(x)＝x－x3，检验知f(x)满足题设条件．解不等式f(x)>0，得x∈(－∞，－1)∪(0,1)，故选A.答案：A[解题师说]抽象函数的导数问题在高考中常考常新，可谓变化多端，解决此类问题的关键是构造函数，常见的构造函数方法有如下几种：(1)利用和、差函数求导法则构造函数①对于不等式f′(x)＋g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)＋g(x)；②对于不等式f′(x)－g′(x)>0(或<0)，构造函数F(x)＝f(x)－g(x)；特别地，对于不等式f′(x)>k(或<k)(k≠0)，构造函数F(x)＝f(x)－kx.(2)利用积、商函数求导法则构造函数①对于不等式f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )； ②对于不等式f ′(x )g (x )－f (x )g ′(x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )g (x )(g (x )≠0)． (3)利用积、商函数求导法则的特殊情况构造函数①对于不等式xf ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝xf (x )； ②对于不等式xf ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x(x ≠0)； ③对于不等式xf ′(x )＋nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝x n f (x )； ④对于不等式xf ′(x )－nf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )x n (x ≠0)； ⑤对于不等式f ′(x )＋f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e x f (x )； ⑥对于不等式f ′(x )－f (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e x； ⑦对于不等式f (x )＋f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝sin xf (x )； ⑧对于不等式f (x )－f ′(x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )sin x (sin x ≠0)；⑨对于不等式f ′(x )－f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝cos xf (x )； ⑩对于不等式f ′(x )＋f (x )tan x >0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )cos x (cos x ≠0)．⑪(理)对于不等式f ′(x )＋kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝e kx f (x )； ⑫(理)对于不等式f ′(x )－kf (x )>0(或<0)，构造函数F (x )＝f (x )e kx ；[应用体验]1．定义在R 上的函数f (x )，满足f (1)＝1，且对任意x ∈R 都有f ′(x )<12，则不等式f (lg x )>lg x ＋12的解集为__________．解析：构造函数g (x )＝f (x )－x ＋12，则g ′(x )＝f ′(x )－12<0，∴g (x )在定义域上是减函数．又g (1)＝f (1)－1＝0，∴原不等式可化为g (lg x )>g (1)， ∴lg x <1，解得0<x <10.∴原不等式的解集为{x |0<x <10}．答案：(0,10)2．已知定义在⎝⎛⎭⎫0，π2内的函数f (x )的导函数为f ′(x )，且对任意的x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2，都有f ′(x )sin x <f (x )cos x ，则不等式f (x )<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin x 的解集为__________．解析：构造函数g (x )＝f (x )sin x ，则g ′(x )＝f ′(x )sin x －f (x )cos xsin 2x <0，∴g (x )在⎝⎛⎭⎫0，π2内为减函数．由f (x )<2f ⎝⎛⎭⎫π6sin x ，得f (x )sin x <2f ⎝⎛⎭⎫π6＝f ⎝⎛⎭⎫π6sin π6，即g (x )<g ⎝⎛⎭⎫π6，∴π6<x <π2， ∴原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x π6<x <π2.答案：⎝⎛⎭⎫π6，π2一、选择题1.已知函数f (x )的定义域为R ，f ′(x )为其导函数，函数y ＝f ′(x )的图象如图所示，且f (－2)＝1，f (3)＝1，则不等式f (x 2－6)>1的解集为( )A ．(－3，－2)∪(2,3)B ．(－2，2)C ．(2,3)D ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)解析：选A 由y ＝f ′(x )的图象知，f (x )在(－∞，0]上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，又f (－2)＝1，f (3)＝1，∴f (x 2－6)>1可化为－2<x 2－6<3，解得－3<x <－2或2<x <3.2．已知f (x )的定义域为(0，＋∞)，f ′(x )为f (x )的导函数，且满足f (x )<－xf ′(x )，则不等式f (x ＋1)>(x －1)f (x 2－1)的解集为( )A ．(0,1)B ．(1，＋∞)C ．(1,2)D ．(2，＋∞)解析：选D 因为f (x )＋xf ′(x )<0，所以[xf (x )]′<0，故xf (x )在(0，＋∞)上为单调递减函数，又(x ＋1)f (x ＋1)>(x 2－1)f (x 2－1)，所以x ＋1<x 2－1，解得x >2.3．已知定义域为{x |x ≠0}的偶函数f (x )，其导函数为f ′(x )，对任意正实数x 满足xf ′(x )>－2f (x )，若g (x )＝x 2f (x )，则不等式g (x )<g (1)的解集为( )A ．(－∞，1)B ．(－1,1)C ．(－∞，0)∪(0,1)D ．(－1,0)∪(0,1)解析：选D 因为g (x )＝x 2f (x )，所以g ′(x )＝x 2f ′(x )＋2xf (x )＝x [xf ′(x )＋2f (x )]．由题意知，当x >0时，xf ′(x )＋2f (x )>0，所以g ′(x )>0，所以g (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (x )为偶函数，则g (x )也是偶函数，所以g (x )＝g (|x |)，由g (x )<g (1)，得g (|x |)<g (1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧|x |<1，x ≠0，所以x ∈(－1,0)∪(0,1)． 4．设f (x )，g (x )分别是定义在R 上的奇函数和偶函数．当x <0时，f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0，且g (－3)＝0，则不等式f (x )g (x )<0的解集为( )A ．(－3,0)∪(3，＋∞)B ．(－3,0)∪(0,3)C ．(－∞，－3)∪(3，＋∞)D ．(－∞，－3)∪(0,3)解析：选D 设F (x )＝f (x )g (x )，当x <0时， ∵F ′(x )＝f ′(x )g (x )＋f (x )g ′(x )>0， ∴F (x )在(－∞，0)上为增函数．又∵F (－x )＝f (－x )g (－x )＝－f (x )g (x )＝－F (x )，故F (x )为R 上的奇函数．∴F (x )在(0，＋∞)上也为增函数．由g (－3)＝0，得F (－3)＝F (3)＝0.画出函数F (x )的大致图象如图所示， ∴F (x )<0的解集为{x |x <－3或0<x <3}．5．已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的非负可导函数，且满足xf ′(x )＋f (x )≤0，对于任意正数a ，b ，若a <b ，则必有( )A ．af (a )≤f (b )B ．bf (b )≤f (a )C ．af (b )≤bf (a )D ．bf (a )≤af (b )解析：选C ∵xf ′(x )＋f (x )≤0，且x >0，f (x )≥0. ∴f ′(x )≤－f (x )x ，即f (x )在(0，＋∞)上是减函数．又0<a <b ，∴af (b )<bf (a )，当f (x )＝0时，符合题意，则af (b )＝bf (a )，故af (b )≤bf (a )．6．设函数f (x )在R 上的导函数为f ′(x )，2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则下面的不等式在R 上恒成立的是( )A ．f (x )>0B ．f (x )<0C ．f (x )>xD ．f (x )<x解析：选A 法一：令g (x )＝x 2f (x )－14x 4，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )－x 3＝x [2f (x )＋xf ′(x )－x 2]，当x >0时，g ′(x )>0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x <0时，g ′(x )<0，∴g (x )>g (0)，即x 2f (x )－14x 4>0，从而f (x )>14x 2>0；当x ＝0时，由题意可得2f (0)>0，∴f (0)>0. 综上可知，f (x )>0.法二：∵2f (x )＋xf ′(x )>x 2，令x ＝0，则f (0)>0，故可排除B 、D.如果f (x )＝x 2＋0.1，已知条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2成立，但f (x )>x 不恒成立，故排除C ，选A.7．已知函数f(x)的定义域为R，f(－1)＝2，对任意x∈R，f′(x)>2，则不等式f(x)>2x＋4的解集为()A．(－1,1) B．(－1，＋∞)C．(－∞，－1) D．(－∞，＋∞)解析：选B令m(x)＝f(x)－(2x＋4)，则m′(x)＝f′(x)－2>0，∴函数m(x)在R上为单调递增函数．又∵m(－1)＝f(－1)－(－2＋4)＝0，∴m(x)>0的解集为{x|x>－1}，即f(x)>2x＋4的解集为(－1，＋∞)．8．设函数f(x)，g(x)在区间[a，b]上连续，在区间(a，b)上可导，且f′(x)<g′(x)，则当x∈(a，b)时必有()A．f(x)>g(x)B．f(x)<g(x)C．f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)D．f(x)＋g(b)<g(x)＋f(b)解析：选C令函数h(x)＝f(x)－g(x)．因为f′(x)<g′(x)，故h′(x)＝[f(x)－g(x)]′＝f′(x)－g′(x)<0，即函数h(x)在区间[a，b]上单调递减．所以x∈(a，b)时必有h(b)<h(x)<h(a)，即f(b)－g(b)<f(x)－g(x)<f(a)－g(a)，移项整理得，f(x)＋g(a)<g(x)＋f(a)，f(x)＋g(b)>g(x)＋f(b)，故选项C正确．9．函数f(x)是定义在R上的偶函数，f(－2)＝0，且x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，则不等式xf(x)≥0的解集是()A．[－2,0]B．[0,2]C．[－2,2]D．[－2,0]∪[2，＋∞)解析：选D因为x>0时，f(x)＋xf′(x)>0，故构造函数y＝xf(x)，则该函数在(0，＋∞)上单调递增．又因为f(x)为偶函数，故y＝xf(x)为奇函数．结合f(－2)＝0，画出函数y＝xf(x)的大致图象如图所示．所以不等式xf(x)≥0的解集为[－2,0]∪[2，＋∞)．10．函数f (x )是定义在R 上的奇函数，f (3)＝0，且x <0时，xf ′(x )<f (x )，则不等式f (x )≥0的解集为( )A ．(－∞，0)B ．[－3,0]∪[3，＋∞)C ．[－3,3]D ．[0,3]解析：选B 令F (x )＝f (x )x ，因为f (x )为定义在R 上的奇函数，所以F (x )为偶函数，当x <0时，F ′(x )＝xf ′(x )－f (x )x 2<0，故f (x )在(－∞，0)上为减函数，在(0，＋∞)上为增函数．结合f (3)＝0，画出函数F (x )＝f (x )x 的大致图象如图所示．所以不等式f (x )≥0的解集为[－3,0]∪[3，＋∞)．11．函数f (x )是定义在R 上的可导函数，且f (x )>f ′(x )对任意x ∈R 都成立，则下列不等式中成立的是( )A ．f (2 018)>e 2 018f (0)，f (2 018)>e f (2 017)B ．f (2 018)>e 2 018f (0)，f (2 018)<e f (2 017)C ．f (2 018)<e 2 018f (0)，f (2 018)>e f (2 017)D ．f (2 018)<e 2 018f (0)，f (2 018)<e f (2 017) 解析：选D 令函数g (x )＝f (x )e x .由f (x )>f ′(x )，得f ′(x )－f (x )<0，所以g ′(x )＝e x f ′(x )－e x f (x )e 2x ＝f ′(x )－f (x )e x <0，即函数g (x )＝f (x )e x 在R 上单调递减．所以f (2 018)e 2 018<f (2 017)e 2 017<f (0)e0，即有f (2 018)<e f (2 017)，f (2 018)<e 2 018f (0)．12．设定义在R 上的函数f (x )满足f (0)＝－1，其导函数f ′(x )满足f ′(x )>k >1，则下列结论中一定错误的是( )A ．f ⎝⎛⎭⎫1k <1kB ．f ⎝⎛⎭⎫1k >1k －1 C ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1<1k －1D ．f ⎝⎛⎭⎫1k －1>1k －1解析：选C 令g (x )＝f (x )－kx ＋1，则g (0)＝f (0)＋1＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－k ·1k －1＋1 ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1. ∵g ′(x )＝f ′(x )－k >0， ∴g (x )在[0，＋∞)上为增函数．又∵k >1，∴1k －1>0，∴g ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>g (0)＝0， ∴f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1－1k －1>0，即f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1k －1>1k －1.二、填空题13．设f (x )是定义在R 上的可导函数，且满足f (x )＋xf ′(x )>0，则不等式f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)的解集为________．解析：令g (x )＝xf (x )，则g ′(x )＝f (x )＋xf ′(x )>0，∴g (x )是R 上的增函数．又f (x ＋1)>x －1f (x 2－1)可等价转化为x ＋1f (x ＋1)>x 2－1f (x 2－1)，即g (x ＋1)>g (x 2－1)，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>x 2－1，x －1≥0，解得1≤x <2，∴原不等式的解集为{x |1≤x <2}．答案：[1,2)14．设函数f (x )是定义在(－∞，0)上的可导函数，其导函数为f ′(x )，且有2f (x )＋xf ′(x )>x 2，则不等式(x ＋2 018)2·f (x ＋2 018)－4f (－2)>0的解集为________．解析：令g (x )＝x 2f (x )，则g ′(x )＝2xf (x )＋x 2f ′(x )．结合条件2f (x )＋xf ′(x )>x 2，将条件两边同时乘以x ，得2xf (x )＋x 2f ′(x )<x 3<0，即g ′(x )<0， ∴g (x )在(－∞，0)上是减函数，又g (－2)＝4f (－2)，∴由(x ＋2 018)2f (x ＋2 018)－4f (－2)>0，即g (x ＋2 018)>g (－2)，得x ＋2 018<－2，解得x <－2 020， ∴原不等式的解集为(－∞，－2 020)．答案：(－∞，－2 020)15．已知定义在R 上的可导函数y ＝f (x )的导函数为f ′(x )，满足f ′(x )<f (x )，且y ＝f (x ＋1)为偶函数．f (2)＝1，则不等式f (x )<e x 的解集为________．解析：令h (x )＝f (x )e x ，则h ′(x )＝f ′(x )－f (x )e x <0，∴h (x )在R 上是减函数，又y ＝f (x ＋1)是偶函数， ∴y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称， ∴f (2)＝f (0)＝1.由f (x )<e x ，得f (x )e x <1，又h (0)＝f (0)e 0＝1，∴h (x )<h (0)，∴x >0，故原不等式的解集为{x |x >0}．答案：(0，＋∞)16．设f (x )是R 上的奇函数，且f (－1)＝0，当x >0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )<0，则不等式f (x )>0的解集为______．解析：令g (x )＝f (x )x 2＋1，则g ′(x )＝(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )(x 2＋1)2.因为当x >0时，(x 2＋1)f ′(x )－2xf (x )<0，所以g ′(x )<0，所以g (x )在[0，＋∞)上单调递减．又f (x )＝g (x )(x 2＋1)，所以f(x)在[0，＋∞)上单调递减．又f(x)是R上的奇函数，f(－1)＝0，所以f(1)＝0.当x>0时，f(x)>0＝f(1)⇒0<x<1；当x<0时，f(x)>0＝f(－1)⇒x<－1.综上，可得不等式f(x)>0的解集为(－∞，－1)∪(0,1)．答案：(－∞，－1)∪(0,1)。

(word完整版)必修一函数压轴题

函数压轴题一、函数的性质1.已知函数)1()(xx e e x x f -=，若f （x 1)<f （x 2），则（） A ．x 1>x 2 B ．x 1＋x 2＝0 C ．x 1<x 2 D ．2221x x <2。

f (x )是定义在（0,＋∞）上的单调增函数，满足f (xy ）＝f (x ）＋f （y ），f （3）＝1，若f (x ）＋f （x －8)≤2，则x 的取值范围为________．3。

要使函数22)(-+=x kx x f 与y ＝log 3(x －2)在(3,＋∞)上具有相同的单调性，则实数k 的取值范围是________．4.已知函数f (x )是（－∞，＋∞）上的奇函数，且f （x ）的图象关于x ＝1对称，当x ∈［0，1］时，f （x )＝2x －1，①求证：f （x ）是周期函数；②当x ∈［1，2］时，求f （x )的解析式;③计算f (0）＋f （1)＋f （2）＋…＋f （2 017）的值．5.已知f （x )是定义在R 上的偶函数，g （x )是定义在R 上的奇函数，且g (x )＝f (x －1),则f (2 013）＋f (2 015)的值为( )A ．－1B ．1C ．0D ．无法计算6.设f (x )是定义在R 上的奇函数，且对任意实数x ，恒有f （x ＋2）＝－f (x ）．当x ∈［0,2]时,f (x )＝2x －x 2.(1)求证：f （x ）是周期函数；（2)当x ∈[2，4]时，求f （x ）的解析式； (3）计算f （0）＋f （1)＋f （2)＋…＋f (2 014)．7.奇函数f （x ）的定义域为R ，若f （x ＋2)为偶函数，且f （1）＝1，则f （8）＋f （9)＝( ）A ．－2B ．－1C ．0D ．18。

若函数)1ln()(2++=x x x x f 为偶函数，则a ＝________． 9.若函数))(12()(a x x xx f -+=为奇函数,则a ＝________10.已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时,f (x )＝3x ＋m （m 为常数），则f (－log 35）的值为( )A ．4B ．－4C ．6D ．－611.已知函数f (x ）是定义在R 上的偶函数，且在区间［0，＋∞)上单调递增．若实数a 满足)1(2)(log )(log 212f a f a f ≤+,则a 的取值范围是( ）A ．［1，2］B 。

高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案)

高一数学第一学期函数压轴(大题)练习(含答案)1.已知不等式 $2(\log_2 x)^2+7\log_2 x+3\leqslant 0$，求函数 $f(x)=\log_2 x\cdot \log_2 x$ 的最大值、最小值及相应的$x$ 值。

2.已知定义域为 $\mathbb{R}$ 的函数$f(x)=\dfrac{2x+1}{x^2+1}$ 是奇函数。

1）求 $a$ 的值；2）判断并证明该函数在定义域 $\mathbb{R}$ 上的单调性；3）若对任意的 $t\in\mathbb{R}$，不等式 $f(t-2t)+f(2t-k)<0$ 恒成立，求实数 $k$ 的取值范围。

3.已知定义在区间 $(-1,1)$ 上的函数 $f(x)=\dfrac{(1-a)x^2+b}{1-x^2}$。

1）求实数 $a,b$ 的值；2）用定义证明：函数$f(x)$ 在区间$(-1,1)$ 上是增函数；3）解关于 $t$ 的不等式 $\dfrac{(1-a)t^2+b}{1-t^2}>0$。

4.定义在 $\mathbb{R}^+$ 上的函数 $f(x)$ 对任意实数$a,b\in \mathbb{R}^+$，均有 $f(ab)=f(a)+f(b)$ 成立，且当$x>1$ 时，$f(x)<0$。

1）求 $f(1)$；2）求证：$f(x)$ 为减函数；3）当 $f(4)=-2$ 时，解不等式$f(x)+f\left(\dfrac{1}{2}x\right)>0$。

5.已知函数$f(x)=x-2bx+\dfrac{4}{b}$，定义域为$[1,4]$，$b\geqslant 1$。

I）求 $f(x)$ 的最小值 $g(b)$；II）求 $g(b)$ 的最大值 $M$。

6.设函数 $f(x)=\log_a (x-3)$，$a>0$ 且 $a\neq 1$，当点$P(x,y)$ 是函数 $y=f(x)$ 图象上的点时，点 $Q(x-2a,-y)$ 是函数 $y=g(x)$ 图象上的点。

压轴题08 函数的图像与性质(解析版)--2023年高考数学压轴题专项训练(全国通用)

压轴题08函数的图像与性质题型/考向一：函数的概念及表示题型/考向二：函数的性质题型/考向三：函数的图像○热○点○题○型一函数的概念与表示1.复合函数的定义域(1)若f (x )的定义域为[m ，n ]，则在f (g (x ))中，由m ≤g (x )≤n 解得x 的范围即为f (g (x ))的定义域.(2)若f (g (x ))的定义域为[m ，n ]，则由m ≤x ≤n 得到g (x )的范围，即为f (x )的定义域.2.分段函数分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，值域等于各段函数值域的并集.一、单选题1．已知集合A x y ⎧⎫⎪==⎨⎪⎩，(){}2log 1B x y x ==-，则A B ⋃=（）A ．()0,∞+B ．()(),02,-∞+∞C ．()(),01,-∞⋃+∞D ．R2．若函数221,0()=log (3),0x x f x x x ⎧+≤⎨+>⎩，则((f f -=（）A ．1B ．2C ．3D ．4．已知函数的定义域是，则函数21y f x =-的定义域是（）A ．[]5,5-B ．1,22⎡⎤-⎢⎥⎣⎦C ．[]2,3-D ．1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦4．已知()3,0f x a x x <=⎨+≥⎩，若()()()11f f f =-，则实数a 的值为（）A ．178-B ．4-或178-C ．4-D ．不存在5．设c ∈R ，函数()22,0.xf x c x ⎧=⎨-<⎩若()f x 恰有一个零点，则c 的取值范围是（）A ．(0,1)B ．{0}[1,)+∞UC ．1(0,)2D ．1{0}[,)2+∞U 函数,0,()22,0.x x c x f x c x -≥⎧=⎨-<⎩可由易知当0c =时，函数()f x 当0c <时，代表图象往上平移，显然没有零点，不符合题意；当0c >时，图象往下平移，当6．十九世纪德国数学家狄利克雷提出了“狄利克雷函数”()R 0,Q,D x x ⎧=⎨∈⎩ð它在现代数学的发展过程中有着重要意义，若函数()()2f x x D x =-，则下列实数不属于函数()f x 值域的是（）A ．3B ．2C ．1D ．07．已知函数()()31f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．858．已知R λ∈，函数21()()412lg ,0,f xg x x x x x λ⎧+<==-++⎨>⎩，若关于x 的方程(())f g x λ=有6个解，则λ的取值范围为（）A ．10,2⎛⎤ ⎥⎝⎦B ．20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭C ．1,12⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭故选:B.二、填空题9．y x =__________10．已知函数()11ln 1f x x x =+-，则11e e f f ⎛⎫⎛⎫+-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭____________．11．已知()1f x xx=+，则()()()()1111232022232022f f f f f f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫++++++++= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭L L _________12．定义函数()(){}()()()min ,,f x g x g x f x g x ⎧≤⎪=⎨>⎪⎩，设(){}2min 11,38=--+--h x x x ax a ，若()0h x =含有3个不同的实数拫，则实数a 的取值范围是______．当4a =-时，()2044=+-=g x x x 数拫，不满足题意；当4a >-时，如下图，()2=--g a ()0380=-->g a ，解得4a -<<-综上，843a -<<-或8a =-.故答案为：843a -<<-或8a =-.○热○点○题○型二函数的性质1.函数的奇偶性(1)定义：若函数的定义域关于原点对称，则有：f (x )是偶函数⇔f (－x )＝f (x )＝f (|x |)；f (x )是奇函数⇔f (－x )＝－f (x ).(2)判断方法：定义法、图象法、奇偶函数性质法(如奇函数×奇函数是偶函数).2.函数单调性判断方法：定义法、图象法、导数法.3.函数图象的对称中心或对称轴(1)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＝f (b －x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a ＋b2对称.(2)若函数f (x )满足关系式f (a ＋x )＋f (a －x )＝2b ，则函数y ＝f (x )的图象关于(a ，b )对称.一、单选题1．下列函数中，既是定义域内单调递增函数，又是奇函数的为（）A ．()tan =f x xB ．()1f x x=-C ．()cos f x x x =-D ．()e ex xf x -=-．已知是定义域为R 的奇函数，当0x >时，2A ．2B ．2-C ．1D ．1-【答案】B【详解】因为()f x 是定义域为R 的奇函数，所以()24(4)log 42f f -=-=-=-，故选:B.3．下列函数中，是偶函数且在(0,)+∞上单调递减的是（）A ．2()||f x x x =-B ．21()f x x =C ．||()e x f x =D ．()|ln |f x x =【答案】B4．设()f x 是定义域为R 的奇函数，且()()1f x f x +=-．若33f ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，则3f ⎛⎫= ⎪⎝⎭（）A ．53-B ．13-C ．13D ．535．设函数()1e 1x f x -=-，则（）A ．()f x 关于()0,1-对称B ．()f x 关于()0,0对称C ．()f x 关于1x =对称D ．()f x 关于()1,1-对称滤芯）构成，其结构是多层式，主要用于去除铁锈、泥沙、悬浮物等各种大颗粒杂质．假设每一层PP 棉滤芯可以过滤掉三分之一的大颗粒杂质，过滤前水中大颗粒杂质含量为25mg/L ，若要满足过滤后水中大颗粒杂质含量不超过2.5mg/L ，则PP 棉滤芯层数最少为（）（参考数据：lg 20.30≈，lg 30.48≈）A ．5B ．6C ．7D ．87．若实数，b ，0,1c ∈，且满足e e a a = 1.2e 1.2e b b =l.6e 1.6e c c =，b ，的大小关系是（）A ．c b a >>B ．b a c>>C ．a b c>>D ．b c a>>即()()()f a f b f c >>，又a ，b ，[0,1]c ∈，所以a b c >>.故选：C.8．已知函数()()31bx f x a x x =-++的图象过点()0,1与93,4⎛⎫⎪⎝⎭，则函数()f x 在区间[]1,4上的最大值为（）A ．32B ．73C ．54D ．85二、多选题9．已知函数()321132f x x x x λ=+-（R λ∈且2λ≤-），且0.31.7a =，0.3log 1.8b =，0.10.9c =，则下列结论正确的是（）A ．()f x 为R 上的增函数B ．()f x 无极值C ．()()()f b f c f a <<D ．()()()f a f b f c <<[]1,1x ∈-时，()1f x x =-+，则下列说法正确的是（）A ．()1y f x =+是偶函数B ．()3y f x =+为奇函数C ．函数()lg =-y f x x 有8个不同的零点D ．()202311k f k ==∑()1y f x =+为()y f x =向左平移1个单位得到，是偶函数，故()3y f x =+为()y f x =向左平移3个单位得到，是奇函数，故由lg y x =在(,0)-∞上递减，且lg 101-=，lg 10-=；在(0,结合图象：看出()y f x =和lg y x =的图象有10个交点，即由()10f =，()21f =，()30f =，()41f =-，()50f =，()61f =-，()70f =，()81f =，则()()()1280f f f ++⋅⋅⋅+=，所以()()()()2023125201271k f k f f f ==⨯+++⋅⋅⋅+=-⎡⎤⎣⎦∑，故D 错误，故选：AB11．已知函数()21()ln e e 2x x f x a x -=--，其中e 是自然对数的底数，则下列选项正确的是（）A ．若1a =，则()f x 为奇函数B ．若1a =-，则()f x 为偶函数C ．若()f x 具备奇偶性，则1a =-或0a =D ．若()f x 在(0,)+∞上单调递增，则a 的取值范围为[1,)-+∞12．已知定义在[]0,1上的函数()0,010,1,1,,,,f x p px p q q q q ⎧==⎪=⎛⎫⎨= ⎪⎪⎝⎭⎩或或为内的无理数为正整数为既约真分数该函数称为黎曼函数．若数列{}n a 满足1n n a f n ⎛⎫= ⎪+⎝⎭，则下列说法正确的是（）A ．0n a >B ．1n na a +>C ．11nn i a =<∑D ．1112nn n i a a +=<∑【答案】AD○热○点○题○型三函数的图像1.作函数图象有两种基本方法：一是描点法；二是图象变换法，其中图象变换有平移变换、伸缩变换、对称变换.2.利用函数图象可以判断函数的单调性、奇偶性，解不等式、求解函数的零点等问题.一、单选题1．函数()333x x x f x -=+的图象大致是（）A ．B ．C．D．A．B．C．D．3．函数()1e πcos 1e 2x x f x x ⎛⎫-⎛⎫=- ⎪⎪+⎝⎭⎝⎭的部分图象大致形状是（）A．B．C．D．4．函数()22xxf x -+=+的部分图象大致是（）A ．B ．C ．D ．5．函数()cos e 1x x f x -=⋅+的图象大致为（）A ．B ．C ．D ．6．函数的部分图像大致为（）A ．B ．C ．D ．7．函数()113x x f x x--=的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．8．函数()3f x x x=-在[]π,π-上的图像大致为（）A ．B ．C ．D ．【答案】B二、多选题9．已知Z k ∈，则函数()()22k x xf x x -=⋅+的图像可能是（）A ．B ．C ．D ．故选：ABC.10．函数f (x )＝b （x -a ）2（x -b ）的图象可以是（）A ．B ．C ．D ．【答案】BC【详解】由函数解析式可知，a 是不变号零点，b 是变号零点，A.由图可知，变号零点是0，则0b =，则()0f x =，不成立，故A 错误；B.由图可知，变号零点小于0，不变号零点为0，则0,0b a <=，此时()()2f x b x b x =-，当x b <，()0f x >，当0b x <<，()0f x <，当0x >时，()0f x <，满足图象，故B 正确；C.由图可知，0b a >>，()()()2f x b x b x a =--，当x a <时，()0f x <，当a x b <<时，()0f x <，当x b >时，()0f x >，满足图象，故C 正确；D.由图可知，0a b <<，()()()2f x b x b x a =--，当x a <时，()0f x >，与图象不符，所以D 错误.故选：BC11．已知0a >，函数()()0a xf x x a x =->的图象可能是（）A ．B ．C ．D ．【答案】ABC【详解】当01a <<时，函数a y x =在(0,)+∞上单调递增，函数x y a =在(0,)+∞上单调递减，因此函数()a x f x x a =-在(0,)+∞上单调递增，而()()01,0f f a =-=，函数图象为曲线，A 可能；当1a =时，函数()1f x x =-在(0,)+∞上的图象是不含端点(0,1)-的射线，B 可能；当1a >时，取2a =，有(2)(4)0f f ==，即函数2()2,0x f x x x =->图象与x 轴有两个公共点，又,()0x ∈+∞，随着x 的无限增大，函数x y a =呈爆炸式增长，其增长速度比a y x =的大，因此存在正数0x ，当0x x >时，020x x a <恒成立，即()0f x <，C 可能，D 不可能.故选：ABC12．函数(0)||x xa y a x =>的图象的大致形状是（）A ．B ．C ．D ．。

二次函数压轴题(最全最NB的压轴题word文档)

（2012 深圳）如图8，已知△ABC的三个顶点坐标分别为A(-4，0)、B(1，0)、C(-2，6)．(1)求经过A、B、C三点的抛物线解析式；(2)设直线BC交y轴于点E，连接AE，求证：AE=CE;(3)设抛物线与y轴交于点D，连接AD交BC于点F，试问以A、B、F，为顶点的三角形与△ABC相似吗？请说明理由．（2011 深圳）如图13，抛物线y=ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点为（1,4），交x轴于A、B，交y轴于D，其中B点的坐标为（3,0）（1）求抛物线的解析式（2）如图14，过点A的直线与抛物线交于点E，交y轴于点F，其中E点的横坐标为2，若直线PQ为抛物线的对称轴，点G为PQ上一动点，则x轴上是否存在一点H，使D、G、F、H四点围成的四边形周长最小.若存在，求出这个最小值及G、H的坐标；若不存在，请说明理由.（3）如图15，抛物线上是否存在一点T，过点T作x的垂线，垂足为M，过点M作直线M N∥BD，交线段AD于点N，连接MD，使△DNM∽△BMD，若存在，求出点T的坐标；若不存在，说明理由.（2010 深圳）如图9，抛物线y＝ax2＋c（a＞0）经过梯形ABCD的四个顶点，梯形的底AD在x轴上，其中A（－2,0），B（－1, －3）．（1）求抛物线的解析式；（3分）（2）点M为y轴上任意一点，当点M到A、B两点的距离之和为最小时，求此时点M的坐标；（2分）（3）在第（2）问的结论下，抛物线上的点P使S△PAD＝4S△ABM成立，求点P的坐标．（4分）（2009 深圳）如图，在直角坐标系中，点A 的坐标为（－2，0），连结OA ，将线段OA 绕原点O 顺时针旋转120°，得到线段OB .（1）求点B 的坐标；（2）求经过A 、O 、B 三点的抛物线的解析式；（3）在（2）中抛物线的对称轴上是否存在点C ，使△BOC 的周长最小？若存在，求出点C 的坐标；若不存在，请说明理由.（4）如果点P 是（2）中的抛物线上的动点，且在x 轴的下方，那么△P AB 是否有最大面积？若有，求出此时P 点的坐标及△P AB（2008 深圳）在平面直角坐标系中，二次函数)0(2>++=a c bx ax y 的图象的顶点为D 点，与y 轴交于C 点，与x 轴交于A 、B 两点， A 点在原点的左侧，B 点的坐标为（3，0），OB ＝OC ，tan ∠ACO ＝31．（1）求这个二次函数的表达式．（2）经过C 、D 两点的直线，与x 轴交于点E ，在该抛物线上是否存在这样的点F ，使以点A 、C 、E 、F 为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）若平行于x 轴的直线与该抛物线交于M 、N 两点，且以MN 为直径的圆与x 轴相切，求该圆半径的长度．（4）如图10，若点G （2，y ）是该抛物线上一点，点P 是直线AG 下方的抛物线上一图9动点，当点P 运动到什么位置时，△APG 的面积最大？求出此时P 点的坐标和△APG 的最大面积.（2007 深圳）如图1，在平面直角坐标系中，抛物线2164y x =-与直线12y x =相交于A B ，两点．（1）求线段AB 的长．（2）若一个扇形的周长等于（1）中线段AB 的长，当扇形的半径取何值时，扇形的面积最大，最大面积是多少？（3）如图2，线段AB 的垂直平分线分别交x 轴、y 轴于C D ，两点，垂足为点M ，分别求出OM OC OD ，，的长，并验证等式222111OC OD OM +=是否成立．（4）如图3，在Rt ABC △中，90ACB =o∠，CD AB ⊥，垂足为D ，设BC a =，AC b=，AB c =．CD b =，试说明：222111a b h +=．图1图2图3（2006 深圳）如图9，抛物线2812(0)y ax ax a a =-+<与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），抛物线上另有一点C 在第一象限，满足∠ACB 为直角,且恰使△OCA ∽△OBC .(1)(3分)求线段OC 的长.解：(2)(3分)求该抛物线的函数关系式．解：(3)(4分)在x 轴上是否存在点P ，使△BCP 为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P 点的坐标；若不存在，请说明理由.解：（2005 深圳）已知△ABC 是边长为4的等边三角形，BC 在x 轴上，点D 为BC 的中点，点A 在第一象限内，AB 与y 轴的正半轴相交于点E ，点B （-1，0），P 是AC 上的一个动点（P 与点A 、C 不重合）（1）（2分）求点A 、E 的坐标；（2）（2分）若y=c bx x 7362++-过点A 、E ，求抛物线的解析式。

(完整word)二次函数压轴题(含答案),推荐文档

4．如图，已知抛物线 y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线 x=﹣1，且抛物线经过 A（1，0）， C（0，3）两点，与 x 轴交于点 B．（1）若直线 y=mx+n 经过 B、C 两点，求直线 BC 和抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴 x=﹣1 上找一点 M，使点 M 到点 A 的距离与到点 C 的距离之和最小，求出点 M 的坐标；（3）设点 P 为抛物线的对称轴 x=﹣1 上的一个动点，求使△BPC 为直角三角形的点 P 的坐标．
12．如图，在平面直角坐标系 xOy 中，A、B 为 x 轴上两点，C、D 为 y 轴上的两点，经过点 A、C、B 的抛物线的一部分 C1 与经过点 A、D、B 的抛物线的一部分 C2 组合成一条封闭曲线，我们把这条封闭曲线成为“蛋线”．已知点 C 的坐标为（0，﹣ ），点 M 是抛物线
C2：y=mx2﹣2mx﹣3m（m＜0）的顶点．（1）求 A、B 两点的坐标；（2）“蛋线”在第四象限上是否存在一点 P，使得
6．如图，抛物线经过 A（﹣1，0），B（5，0）， C（0，﹣ ）三点．（Ⅰ）求抛物线的解析式；（Ⅱ）在抛物线的对称轴上有一点 P，使 PA+PC
的值最小，求点 P 的坐标．（Ⅲ）点 M 为 x 轴上一动点，在抛物线上是否
存在一点 N，使以 A，C，M，N 四点构成的四边形为平行四边形？若存在，求点 N 的坐标；若不存在，请说明理由．
B（3，0）两点，与 y 轴交于点 C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为 D，在其对称轴的右侧
的抛物线上是否存在点 P，使得△PDC 是等腰三角形？若存在，求出符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由；（3）点 M 是抛物线上一点，以 B，C，D，M 为顶点的四边形是直角梯形，试求出点 M 的坐标．

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习(附答案)

2025届高考数学复习：压轴好题专项(构造函数证明不等式)练习1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立； (2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e 2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x ，证明：12|()()|2f x f x a-<．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.参考答案1. （2024届云南省昆明市第一中学高三上学期第一次月考）已知函数()()2ln f x x a x =-，R a ∈． (1)若()10f '=，求a ；(2)若()1,e a ∈，()f x 的极大值大于b 2e <．【过程详解】（1）()212()ln ()f x x a x x a x'=-+-⋅，由()10f '=，即202(1)ln1(1)a a --=+，解得1a =．（2）()()(2ln 1)af x x a x x'=--+，令()2ln 1ag x x x=-+， ()1,e a ∈ ，111(,1e ),a a a∴∈∴<，()21()2ln 11)2ln (10g a a a a a a=--+=-++-<， ()2ln 112ln 0g a a a =-+=>， 22()0ag x x x+'=>在(0,)+∞恒成立，故()g x 在(0,)+∞递增，而1lg()0,()0g a a <>，01(,)x a a∴∃∈，使得g 0()0,x =令()0f x '=，有1201,,x a x x x =<=故0(0,)x x ∈时()0f x ¢>，0(,)x x a ∈时()0f x '<，(,)x a ∈+∞时()0f x ¢>，故()f x 在0(0,)x 上递增，在0(,)x a 上递减，在(,)a +∞上递增，∴()f x 极大值2000()()ln ,f x x a x b =->由000()2ln 10,ag x x x =-+=得0002ln ,a x x x =+ 故23004(ln ),b x x <则230028(ln ),ab ax x <01,e 1e x a a<<<< 0e,e a x ∴<<，23233008(ln )8e e 18e ax x ∴<⋅⋅⋅=，328e ,ab ∴<2e <．2．（2024届全国名校大联考高三上学期第一联考）已知函数()2ln f x x ax =+（a ∈R ）． (1)若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，求a 的取值范围：(2)设()()3g x x f x =-，1x ，2x 为函数()g x 的两个零点，证明：121x x <．【过程详解】（1）若()0f x ≤在()0,∞+上恒成立，即2ln xa x≤-，令()2ln x u x x =-，所以()()222ln 122ln x x u x x x --'=-=，所以当0e x <<时，()0u x '<，当e x >时，()0u x '>，所以()u x 在()0,e 上单调递减，在()e,+∞上单调递增，所以()()min 2e eu x u ==-，所以2a e ≤-，即a 的取值范围是2,e ⎛⎤-∞- ⎝⎦．（2）令()0g x =，即22ln 0xx a x--=，令()22ln x h x x a x =--，则()()()3222ln 121ln 2x x x h x x x x +--'=-=，令()3ln 1r x x x =+-，所以()2130r x x x'=+>，所以()r x 在()0,∞+上单调递增，又()10r =，所以当01x <<时，()0r x <，所以()0h x '<，当1x >时，()0r x >，所以()0h x '>，所以()h x 在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增．不妨设12x x <，则1201x x <<<，2101x <<，因为()()120h x h x ==，所以()()22212222222212ln 2ln 1111x x h x h h x h x a a x x x x x ⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪-=-=----- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭22222112ln x x x x x ⎛⎫⎛⎫=+--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．设函数()12ln x x x x ϕ=--（1x >），则()()22211210x x x x xϕ-'=+-=>在()1,+∞上恒成立，所以()x ϕ在()1,+∞上单调递增，所以()()222212ln 10x x x x ϕϕ=-->=，所以()1210h x h x ⎛⎫-> ⎪⎝⎭，即()121h x h x ⎛⎫> ⎪⎝⎭．又函数()22ln xh x x a x=--在()0,1上单调递减，所以12101x x <<<，所以121x x <． 3．（2024届山东省青岛市高三上学期期初调研检测）已知1ea ≥，函数()e ln ln xf x a x a =-+.(1)若1a =，求()f x 在点()()1,1f 处的切线方程； (2)求证：()44f x x ≥-+；(3)若β为()f x 的极值点，点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上.求a .【过程详解】（1）1a =，()e ln xf x x =-，0x >由()11e ln1e f =-=，得切点为()1,e由()1e xf x x'=-，有()1e 1f '=-，即()f x 在点()1,e 处的切线斜率为e 1-，所以()f x 在点()1,e 处的切线方程为：()e 11y x =-+. （2）证明：因为()1e xf x a x '=-(1ea ≥，0x >)，设函数()()g x f x '=，则()21e 0xg x a x '=+>(1e a ≥，0x >)，所以()f x '在()0,∞+上单调递增又因为()212e 02f a '=->，112e2e 1e 2e e 2e 02e a a f a a a a ⎛⎫⎛⎫'=-=-< ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以存在1,22e a β⎛⎫∈⎪⎝⎭，使得()0f β'=，即1e a ββ=，1e a ββ=，所以，当()0,x ∈β时，()0f x '<，()f x 在()0,β上单调递减；当(),x β∈+∞时，()0f x ¢>，()f x 在(),β+∞上单调递增；所以()()1e ln ln 2lnf x f a a ββββββ≥=-+=--令()12ln =--h x x x x ，()()()()14432ln 40x h x x x x x xϕ=--+=+-->，则()()()2131x x x x ϕ-+'=，()0x ϕ'<解得01x <<，()0x ϕ'>解得1x >，所以，()x ϕ在()0,1上单调递减，在()1,+∞上单调递增；所以，()()10x ϕϕ≥=，所以，()h x 的图像在44y x =-+的上方，且()h x 与44y x =-+唯一交点为()1,0，所以，()44f x x ≥-+.（3）圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的圆心坐标为10,4⎛⎫- ⎪⎝⎭，半径r =圆心到直线44y x =-+的距离174d ===，所以直线44y x =-+为圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭的切线，由2211741644x y y x ⎧⎛⎫++=⎪ ⎪⎨⎝⎭⎪=-+⎩解得切点坐标为()1,0，显然，圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭在直线44y x =-+的下方又因为()44f x x ≥-+，且点()(),f ββ在圆22117416x y ⎛⎫++= ⎪⎝⎭上，则点()(),f ββ即为切点为()1,0，所以1β=，1ea =.4．（2024届湖南省株洲市第二中学教育集团2高三上学期开学联考）已知函数()21e 12xf x x x =---， (1)证明：当0x >时，()0f x >恒成立；(2)若关于x 的方程()sin 2f x xa x x +=在()0,π内有解，求实数a 的取值范围. 【过程详解】（1）函数21()e 12xf x x x =---，0x >，求导得()e 1x f x x '=--，令e 1x y x =--，0x >，求导得e 10x y '=->，则函数()f x '在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f ''>=，因此函数()f x 在(0,)+∞上单调递增，()(0)0f x f >=，所以当0x >时，()0f x >恒成立.（2）设sin y x x =-，()0,πx ∈，则1cos 0y x '=->，则sin y x x =-在()0,π上递增，0y >，即sin 0x x >>，方程()sin 2f x xa x x +=等价于e sin 10x ax x x ---=，()0,πx ∈，令()e sin 1xg x ax x x =---，原问题等价于()g x 在()0,π内有零点，由()0,πx ∈，得2sin x x x <，由（1）知，当12a ≤时，()21e sin 1e 102x xg x ax x x x x =--->--->，当()0,πx ∈时，函数()y g x =没有零点，不合题意；当12a >时，由()e sin 1x g x ax x x =---，求导得()()e cos sin 1xg x a x x x '=-+-，令()()()e cos sin 1x t x g x a x x x '==-+-，则()()e sin 2cos xt x a x x x '=+-，当π[,π)2x ∈时，()0t x '>恒成立，当π(0,)2x ∈时，令()()()e sin 2cos x s x t x a x x x '==+-，则()()e 3sin cos xs x a x x x '=++，因为e 0x >，()3sin cos 0a x x x +>，则()0s x '>，即()t x '在π(0,2上单调递增，又()0120t a '=-<，π2ππ(e 022t a '=+>，因此()t x '在π(0,)2上存在唯一的零点0x ，当()00,x x ∈时，()0t x '<，函数()g x '单调递减，当()0,πx x ∈时，()0t x '>，函数()g x '单调递增，显然()()000g x g ''<=，()ππe π10g a '=+->，因此()g x '在()0,π上存在唯一的零点1x ，且()10,πx x ∈，当()10,x x ∈时，()0g x '<，函数()g x 单调递减，当()1,πx x ∈时，()0g x '>，()g x 单调递增，又()00g =，()()100g x g <=，由（1）知，21e 112x x x x >++>+，则()ππe π10g =-->，所以()g x 在()10,x 上没有零点，在()1,πx 上存在唯一零点，因此()g x 在()0,π上有唯一零点，所以a 的取值范围是1(,)2+∞.5．（2024届辽宁省十校联合体高三上学期八月调研考试）设方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<.(1)求a 的取值范围；(2)请在以下两个问题中任选一个进行作答，注意选的序号不同，该题得分不同.若选①则该小问满分4分，若选②则该小问满分9分.①证明：12(2)(2)4x x --<；②证明：1231231113e2x x x x x x +++++<. 【过程详解】（1）由题意设()()22e x f x x =-（x ∈R ），则()f x '=()2e xx x -，x ∈R ，令()0f x '=，得0x =或2x =，当0x <或2x >时，()0f x ¢>，所以()f x 在(),0∞-，()2,+∞上单调递增；当02x <<时，()0f x '<，所以()f x 在()0,2上单调递减；又()20f =，()04f =，()33e 4f =>，且()()22e 0x f x x =-≥，当x 趋向于+∞时，()f x 也趋向于+∞，又方程()22e x x a -=有三个实数根123123,,()x x x x x x <<，等价于直线y a =与()y f x =的函数图像有三个交点，即04a <<，所以a 的取值范围为()0,4.（2）选①，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<，设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<，不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >），又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-，1k >，则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭，设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >，则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 选②，证明如下：由（1）得：1202x x <<<，则122220x x -<-<-<，设112t x =-，222t x =-，则1220t t <-<<，不妨设121t k t =>，则12t kt =（1k >），又()()1222122e 2e x x x x a -=-=，即12222212e e t t t t a ++==，故22222222e e 0e kt ta k t t ==>，即222e e kt t k =，所以22ln 1k t k=-，212ln 1k k t kt k ==-（1k >），则()()()2222121222ln 2ln 22111k x x t t k k ⎛⎫⎫ ⎪⎛⎫⎪--==⋅==⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎪⎪-⎪⎝⎭⎭1>），设()l 1n 2x g x x x=-+，1x >，则()()222121=10x g x x x x -'--=-≤，所以()g x 在()1,+∞上单调递减，即()()10g x g <=，1>，则0<，即，0>2<，故()()212122241x x t t ⎛⎫ ⎪--==<⎪ ⎪⎪⎝⎭. 所以()()()12121222244x x x x x x --=-++<，则()12122x x x x <+，又因为1202x x <<<，所以120x x <，从而()12121221121x x x x x x +⎛⎫=+< ⎪⎝⎭，故121112x x +<①，下证120x x +<，有12122ln 2ln 44011k k kx x t t k k+=++=++<--（1k >），即证1k >时，()()1ln 21k k k +>-，即()214ln 211k k k k ->=-++，即证4ln 21k k +>+（1k >），设()4ln 1h x x x =++（1x >），则()()()()22211411x h x x x x x -'=-=++，当1x >时，()0h x '>，所以()h x 在()1,+∞上单调递增，则()()12h x h >=，所以120x x +<②，又()()33e 0f f =>，所以得323x <<，设()1x x xϕ=+，（23x <<），则()211x x ϕ'=-，当23x <<时，()0x ϕ'>，所以()x ϕ在()2,3上单调递增，则331103x x +<③，联立①②③得：123123*********e 042362x x x x x x +++++<++=<<，故1231231113e2x x x x x x +++++<. 6．（2024届安徽省江淮十校高三第一次联考）已知函数()2k f x x x=+，0k ≠.(1)讨论()f x 的单调性；(2)设函数()3ln g x x x =-n m ≤<，当13k =-时，证明：()()()()332g m g n f m f n m n -+<-. 【过程详解】（1）解：函数()f x 的定义域为{}|0x x ≠，()32222k x kf x x x x -='-=，令()0f x '=，则x =①当0k<时，当x <()0f x '<，()f x0x <<时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；当0x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增；②当0k>时，当0x <时，()0f x '<，()f x 单调递减；当0x <<()0f x '<，()f x 单调递减；当x >时，()0f x ¢>，()f x 单调递增.综上：当0k <时，单调增区间为⎫⎪⎪⎭，()0,∞+，单调递减区间为⎛-∞ ⎝；当0k >时，单调递增区间为⎫+∞⎪⎪⎭，单调递减区间为(),0∞-，⎛ ⎝. （2）对任意的m，n ⎫∈+∞⎪⎭，且m n >，令mt n =（1t >），因为()()()()()()()32m n f m f n g m g n -+--()22333311ln 2222m m n m n m n m n n ⎛⎫⎛⎫=-+----- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭33221133ln 222222n m m m n mn m n m n n=-+-+-+ 323111332ln 22m m m m n m n n n n n mn ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅----⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦()332331*********ln (1)2ln 2222n t t t t t n t t t t t ⎛⎫⎛⎫=-+----=---- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ()33211111(1)2ln 33132ln 626t t t t t t t t t t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫≥----=-+---- ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎣⎦ 321336ln 16t t t t ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，记()32336ln 1h t t t t t =-++-，则()22226311113636320h t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-=---'=-+-> ⎪ ⎪ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，所以()h t 在()1,+∞单调递增，所以()()10h t h >=，故32336ln 10t t t t-++->，所以()()()()()()()302m n f m f n g m g n -+-->，故()()()()332g m g n f m f n m n-+<-.7．（2024届内蒙古包头市高三上学期调研考试）设函数()()ln 1f x a x =+-，已知2x =是函数()()2y x f x =-的极值点.(1)求a ； (2)设函数()()()()22x f x g x x f x -=-+，证明：()1g x >.【过程详解】（1）由题意可知，()()()()22ln 1y x f x x a x =-=-+-，则()2ln 11xy a x a x-'=+-++-，因为2x =是函数()()2ln 1y x a x =-+-的极值点，所以()ln 120a +-=，解得2a =，经检验满足题意，故2a =；（2）由（1）得()()ln 3f x x =-，(),3x ∞∈-，设()()()22ln 3h x x f x x x =-+=-+-，则()12133x h x x x -'=-=--，当2x <时，203x x ->-，即()0h x '>，所以()h x 在区间(),2-∞单调递增；当23x <<时，203x x -<-，即()0h x '<，所以()h x 在区间()2,3单调递减，因此当(),3x ∞∈-时，()()20h x h ≤=，因为()g x 的定义域要求()f x 有意义，即(),3x ∞∈-，同时还要求()2ln 30x x -+-≠，即要求2x ≠，所以()g x的定义域为{|3x x < 且}2x ≠，要证()()()()212x f x g x x f x -=>-+，因为()20x f x -+<，所以需证()()()22x f x x f x -<-+，即需证()()23ln 30x x x -+-->，令3x t -=，则0t >且1t ≠，则只需证1ln 0t t t -+>，令()1ln m t t t t =-+，则()ln m t t '=，令()ln 0m t t '==，可得1t =，所以()0,1t ∈，()0m t '<；()1,t ∈+∞，()0m t '>；所以()m t 在区间()0,1上单调递减，在区间()1,+∞上单调递增，所以()()10m t m >=，即()1g x >成立.8．（2024届北京市景山学校高三上学期开学考试）已知函数())(0)f x x b a =+≠，曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线方程是1y x =-.(1)求a 、b 的值； (2)求证：()f x x <；(3)若函数()2()()g x f x t x x =+-在区间(1,)+∞上无零点，求t 的取值范围.【过程详解】（1）()()f x x b '=+由切线方程知()()1110f f ⎧=⎪⎨='⎪⎩，即()()1110b b +=+=，注意到0a ≠，解得1a =,0b =.（2）由（1）可知()f x x，若要()f x x x =<且注意到0x >，所以只需ln x < 构造函数()ln h x x =()122h x x x '==，令()0h x '=得4x =，所以()h x 、()h x '随x 的变化情况如下表：()0,4 ()4,+∞()h x '+-()h x所以()h x 有极大值()244ln 42ln 0eh =-=<，综上()0h x <，结合分析可知命题得证. （3）由题意分以下三种情形讨论：情形一：注意到当0t ≥且1x >0x >，()10txx -≥，此时有()0g x >，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形二：对()2()g x x t x x =+-求导得()()21g xt x x '=+-，所以有()11g t '=+；进一步对()()21g x t x x '=++- 求导得()32ln 24x g x t x-''=+，注意到当1t ≤-且1x >时，有20t <，32ln 04x x-< ，进而有()0g x ''<，所以()g x '单调递减，所以()()110g x g t ''<=+≤，因此()g x 单调递减，故()()10g x g <=，即()g x 在区间(1,)+∞上无零点，符合题意.情形三：由（2）可知1x >lnx <，且注意到当10t -<<时有()()()1()21211212g x t x t x t x '=-<+-<++-成立，所以11(02a g a a -'<-<，此时()110g t '=+>，所以存在011,a x a -⎛⎫∈ ⎪⎝⎭使得()00g x '=，且注意到此时有()32ln 204x g x t x -''=+<成立，所以()g x 、()g x '随x 的变化情况如下表：()01,x ()0,x +∞()g x ' +-()g x故一方面当0x x =时，()g x 取极大值（或最大值）()0g x ，显然有()()010g x g >=；ln x <可得()()()22()1g x x t x x x t x x x tx t +-<+-=+-，所以有10a g a -⎛⎫< ⎪⎝⎭，由零点存在定理并结合这两方面可知函数()g x 在区间(1,)+∞上存在零点.综上所述，符合题意的t 的取值范围为(][),10,-∞-⋃+∞.9．（2024届山西省大同市高三上学期质量检测）已知函数2()ln (R)af x ax x a x=--∈． (1)讨论()f x 的单调性；(2)若()f x 的两个极值点分别为1x ，2x，证明：12|()()|f x f x -<．【过程详解】（1）依题意，222122()(0)a ax x af x a x x x x -+'=-+=>，当0a ≤时，()0f x '<，所以()f x 在(0,)+∞上单调递减；当0a <<()0f x '>，解得102x a <<或12x a>，令()0f x '<，解得112x a <<，所以()f x在1(0,2a 上单调递增，在11(22a a上单调递减，在)+∞上单调递增；当a ≥时，()0f x '≥，所以()f x 在(0,)+∞上单调递增．（2）不妨设120x x <<，由（1）知，当04a <<时，()f x 在1(0,)x 上单调递增，在12(,)x x 上单调递减，在2(,)x +∞上单调递增，所以1x 是()f x 的极大值点，2x 是()fx的极小值点，所以12()()f x f x >，所以1212|()()|()()f x f x f xf x -=-．由（1）知，122x x =，121x x a+=，则21x xa-==．要证12|()()|f x f x -<1221()())2f x f x x x -<-．因为22121122121112()()()()()ln 222x x xx x f x f x x x a x x a x x x ---+=-+--+⋅2212212111212()2()()ln ln 2x x x x a x x x x x x x x -=-+--=+ 2122112(1)ln 1x x xx x x -=+，设211x t x =>，2(1)()ln 1t g t t t -=++．所以222414()0(1)(1)g t t t t '==>++，所以()g t 在(1,)+∞上单调递增，所以()(1)0g t g >=．所以2112)()()02x x f x f x --+>，即得1221()()()2f x f x x x -<-成立．所以原不等式成立．10．（2024届黑龙江省哈尔滨市第三中学校高三上学期开学测试）已知函数()()111ln f x ax a x x=+--+.(1)讨论函数()f x 的单调性；(2)求证：n *∀∈N ，)21+⋅⋅⋅++>.【过程详解】（1）()f x 的定义域为()0,∞+，()()()221111ax x a f x a x x x --+'=+-=，当0a ≤时，10ax -<，令()0f x ¢>，解得01x <<，令()0f x '<，解得1x >，所以()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，令()0f x ¢>，解得01x <<或1x a >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()0f x '≥恒成立，所以()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，令()0f x ¢>，解得10x a <<或1x >，令()0f x '<，解得11x a <<，所以()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；综上所述，当0a ≤时，()f x 在()0,1上单调递增，()1,+∞上单调递减；当01a <<时，()f x 在()0,1，1,a ⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，11,a ⎛⎫⎪⎝⎭上单调递减；当1a =时，()f x 在()0,∞+上单调递增；当1a >时，()f x 在10,a ⎛⎫⎪⎝⎭，()1,+∞上单调递增，1,1a ⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减.（2）当0a =时，由（1）可得()()11ln 10f x x f x=--<=，()1x >，因为N n *∈1>，则10<，即11>>所以n ++>-+L L2n =-L2n =-)21=-，即)2ln 1+>L .。

高考函数压轴精典题型以及答案

函数专题训练复习目标：通过对函数综合题的分类，使学生在解函数题中牢固掌握：反函数的求法及其与原函数的关系的应用、函数的单调性、函数的奇偶性、求函数的定义域与值域常用方法、函数的解析式求法、二次函数的根的分布情况的充要条件运用、函数中的新题型的新解法、函数与方程的思想方法等。

重点与难点：反函数、值域、单调性、奇偶性、求解析式、分段函数、根的分布、函数与方程思想方法、函数图象等过程：一、反函数 ●有奖征解① 若函数f(x)的图像过点（0，1），则函数f(x+2)的反函数过定点（1，-2）② 若函数f(x)的图像过（0，1），则)4(1x f --过点（-1，0）； ③若函数f(x)的图像过点（0，1），则f(4-x)的反函数过点（1，4），y=f(4-x)的反函数为)(41x fy --=。

●例子分析例1①已知函数()x x x f +-=121,函数y=g(x)的图像与)1(1--x f 的图像关于直线y=x 对称，则g(x)的解析式为12+-=x xy 。

②给定实数a,a ≠0，且a ≠1，设函数⎪⎭⎫⎝⎛≠∈--=a x R x ax x y 1,11,证明这个函数图关于y=x对称。

① 已知函数()ax x x f ++=12存在反函数，求α的取值。

（α≠1/2）说明：④小题可以据③小题去求，但也可以据通常方法去求。

二、周期性、循环 ● 有奖征解设x 为整数，给出一个流程图如右图：按此流程图计算，刚好处理3次，则输入的x 值是例1（2004年福建省高考）定义在R 上的偶函数f(x)满足f(x)=f(x+2)，当x ∈[3，5]时，f(x)=2-|x-4|，则（D ）（A ）f(sin6π)<f(cos 6π) （B ）f(sin1)>f(cos1) 输入x 与y 值用2与x+3的几何平均值代替y开始用x+1代x 表示出x 终了不是是 y 是否大于是x（C ）f(cos32π)<f(sin 32π) （D ）f(cos2)>f(sin2)例2 f(x)定义域为（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对k ∈Z,用I k 表示区间(]12,12+-k k ，已知当x ∈I 0时，f(x)=x 2, ① 求f(x)在I k 上的解析式；② 对自然数k ，求集合M k ={a|使方程f(x)=ax 在I k 上有两个不同的实根}。

(压轴题)高中数学必修一第二单元《函数》测试题(有答案解析)

一、选择题1．对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零，则x 的取值范围是（） A ．13x <<B ．1x <或3x >C ．12x <<D ．1x <或2x >2．如果函数()()()2121f x a x b x =-+++（其中2b a -≥）在[]1,2上单调递减，则32a b +的最大值为（）A ．4B ．1-C ．23D ．63．对于每个实数x ，设()f x 取24y x =-+，41y x =+，2y x =+三个函数值中的最小值，则()f x （） A ．无最大值，无最小值 B ．有最大值83，最小值1 C ．有最大值3，无最小值D ．有最大值83，无最小值 4．已知函数2()(3)1f x mx m x =--+，()g x mx =，若对于任意实数x ，()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，则实数m 的取值范围是（） A ．(1,9)B ．(3,+)∞C ．(,9)-∞D ．(0,9)5．已知函数f (x )的定义域为R ，满足f (x )=2f (x +2)，且当x ∈[2-，0) 时，19()4f x x x =++，若对任意的m ∈[m ，+∞)，都有1()3f x ≤，则m 的取值范围为（） A ．11,5⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭ B ．10,3⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭C ．)5,2⎡-+∞⎢⎣ D ．11,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭6．高斯函数属于初等函数，以大数学家约翰·卡尔·弗里德里希·高斯的名字命名，其图形在形状上像一个倒悬着的钟，高斯函数应用范围很广，在自然科学、社会科学、数学以及工程学等领域都能看到它的身影，设x ∈R ，用[]x 表示不超过x 的最大整数，则[]y x =称为高斯函数，例如：[]3.14-=-，[]4.84=.则函数21()122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为（） A ．{}0,1 B ．{}1,1-C ．{}1,0-D ．{}1,0,1-7．函数()21xf x x =-的图象大致是（）A ．B ．C ．D ．8．设二次函数2()()f x x bx b =+∈R ，若函数()f x 与函数(())f f x 有相同的最小值，则实数b 的取值范围是（） A ．(,2]-∞B ．(,0]-∞C ．(,0][2,)-∞+∞D ．[2,)+∞9．已知函数()f x 是R 上的单调函数，且对任意实数x ，都有()21213xf f x ⎡⎤+=⎢⎥+⎣⎦成立，则()2020f 的值是（） A ．202021- B ．202021+C ．202020202121+-D ．202020202121-+10．已知函数22|1|,7,()ln ,.x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3]11．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（）A ．34a >-B ．53a <-C ．5334a -<<- D ．5334a -≤≤- 12．若函数()()12311ax f x x a x x ⎧>⎪=⎨⎪-+≤⎩是R 上的减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．2,13⎛⎫⎪⎝⎭B ．3,14⎡⎫⎪⎢⎣⎭C ．23,34⎛⎤⎥⎝⎦D ．2,3⎛⎫+∞⎪⎝⎭二、填空题13．已知函数211,0,22()13,,12x x f x x x ⎧⎡⎫+∈⎪⎪⎢⎪⎣⎭=⎨⎡⎤⎪∈⎢⎥⎪⎣⎦⎩，若存在12x x <，使得()()12f x f x =，则()12x f x ⋅的取值范围为_____________.14．若函数()y f x =的定义域是[0,2]，则函数()g x =______． 15．设集合A 是集合*N 的子集，对于*i N ∈，定义()1,,0,i i A A i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩给出下列三个结论：①存在*N 的两个不同子集A ，B ，使得任意*i N ∈都满足()0i AB ϕ=且()1A B ⋃=；②任取*N 的两个不同子集A ，B ，对任意*i N ∈都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋃=+； ③设{}*2,A x x n n N==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，对任意*i N∈，都有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=其中正确结论的序号为______.16．已知集合{1,A B ==2，3}，f ：A B →为从集合A 到集合B 的一个函数，那么该函数的值域的不同情况有______种.17．若()f x 是定义在R 上的以3为周期的奇函数，且()20f =，则方程()0f x = 在区间()0,6内的解的个数的最小值是__________ .18．定义在R 上的奇函数()f x 在(0,)+∞上是增函数，又(3)0f -=，则不等式()0xf x <的解集为______．19．若函数2()f x x k =+，若存在区间[,](,0]a b ⊆-∞，使得当[,]x a b ∈时，()f x 的取值范围恰为[,]a b ，则实数k 的取值范围是________.20．若233()1x x f x x -+=-，()2g x x =+，求函数()()y f g x =的值域________.三、解答题21．已知二次函数()2f x ax bx c =++.（1）若集合(){}{}|12A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数；（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[]22-，上的最小值. 22．定义在()0,∞+的函数()f x ，满足()()()f mn f m f n =+，且当1x >时，()0f x >.（1）求证：()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭（2）讨论函数()f x 的单调性，并说明理由；（3）若()21f =，解不等式()()333f x f x +->.23．（1）已知函数()f x =，求()f x 的定义域；（2）已知函数1()2f x x x=-+，依据函数单调性的定义证明()f x 在(0,)+∞上单调递减，并求该函数在[1,3]上的值域.24．已知二次函数()2()f x ax bx a b R =+∈、满足：①()()11f x f x +=-；②对一切x ∈R ，都有()f x x ≤.（1）求()f x ；（2）是否存在实数(),m n m n <使得()f x 的定义域为[],m n 、值域为[]3,3m n ，如果存在，求出m ，n 的值；如果不存在，说明理由. 25．已知函数()21ax bf x x +=+（其中a >0）为奇函数．（1）求实数b 的值；（2）证明：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数；（3）若存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为[]m n ，，求a 的取值范围．26．已知函数()()20f x ax x c a =++>满足：①函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数；②关于x 的不等式()0f x <的解集是()(),11m m <. （1）求函数()f x 的解析式；（2）求函数()()()()43g x f x k x k R =++∈在[]1,3上的最小值()h k .【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题 1．B 解析：B 【分析】将函数()f x 的解析式变形为()2()244f x x a x x =-+-+，并构造函数()2()244g a x a x x =-+-+，由题意得出()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，解此不等式组可得出实数x 的取值范围【详解】对任意[]1,1a ∈-，函数()()2442f x x a x a =+-+-的值恒大于零设()()2244g a x a x x =-+-+，即()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立.()g a 在[]1,1a ∈-上是关于a 的一次函数或常数函数，其图象为一条线段.则只需线段的两个端点在x 轴上方，即()()2215601320g x x g x x ⎧-=-+>⎪⎨=-+>⎪⎩，解得3x >或1x < 故选：B 【点睛】关键点睛：本题考查不等式在区间上恒成立问题，解答本题的关键是构造函数()()2244g a x a x x =-+-+，将问题转化为()0g a >在[]1,1a ∈-上恒成立，从而得到()()1010g g ⎧->⎪⎨>⎪⎩，属于中档题.2．C解析：C 【分析】分10a -=、10a -<、10a ->，根据题意可得出关于a 、b 的不等式组，由此可解得32a b +的最大值. 【详解】分以下几种情况讨论：（1）当10a -=时，即当1a =时，()()21f x b x =++在[]1,2上单调递减，可得20b +<，解得2b <-，12b a b -=-≥，可得3b ≥，不合乎题意；（2）当10a -<时，即当1a <时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2121b a +-≤-，可得222b a +≤-，即20a b +≤，可得2b a ≤-，由2b a -≥，可得2a b ≤-，所以，()()323222436a b b a a b +≤-+⨯-=-+-，当且仅当22b a a b =-⎧⎨=-⎩时，即当2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，则2423232333a b ⎛⎫+≤⨯-+⨯= ⎪⎝⎭；（3）当10a ->时，即当1a >时，由于函数()()()2121f x a x b x =-+++在[]1,2上单调递减，则()2221b a +-≥-，可得42a b +≤，即24b a ≤-，2b a -≥，即2b a ≥+，224a b a ∴+≤≤-，解得0a ≤，不合乎题意.综上所述，32a b +的最大值为23. 故选：C. 【点睛】关键点点睛：根据首项系数为变数的二次函数在区间上的单调性求参数，要对首项系数的符号进行分类讨论，在首项系数不为零的前提下，要根据函数的单调性确定对称轴与区间的位置关系，构建不等式（组）求解.3．D解析：D 【分析】作出函数()f x 的图象，结合图象可得出结论. 【详解】由已知可得(){}min 24,41,2f x x x x =-+++，作出函数()f x 的图象如下图所示：函数()f x 的图象如上图中的实线部分，联立224y x y x =+⎧⎨=-+⎩，解得2383x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，由图象可知，函数()f x 有最大值83，无最小值. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：本题考查函数最值的求解，解题的关键就是结合函数()f x 的定义，进而作出函数()f x 的图象，利用图象得出结论.4．D解析：D 【分析】根据所给条件，结合二次函数的图像与性质，分类讨论，即可得解. 【详解】当0m <时，二次函数2()(3)1f x mx m x =--+的图像开口向下，()g x mx =单调递减，故存在x 使得()f x 与()g x 同时为负，不符题意；当0m =时，()31f x x =-+，()0g x =显然不成立；当0m >时，2109m m ∆=-+，若∆<0，即19m <<时，显然成立，0∆=，1m =或9m =，则1m =时成立，9m =时，13x =-时不成立，若0∆>，即01m <<或9m >，由(0)1f =可得：若要()f x 与()g x 的值至少有一个为正数，如图，则必须有302mm->，解得01m <<，综上可得：09m <<，故答案为：D. 【点睛】本题考查了二次函数和一次函数的图像与性质，考查了分类讨论思想和计算能力，属于中档题.解决此类问题的关键主要是讨论，涉及二次函数的讨论有：（1）如果平方项有参数，则先讨论；（2）再讨论根的判别式；（3）最后讨论根的分布.5．D解析：D 【分析】求出[2,0)x ∈-时，()f x 的值域，满足1()3f x ≤，根据函数的定义，[0,2)x ∈时，满足1()3f x ≤，同时可得0x ≥时均满足1()3f x ≤，然后求得[4,2)x ∈--时的解析式，解不等式1()3f x ≤得解集，分析后可得m 的范围．【详解】[2,0)x ∈-时，19()4f x x x =++在[]2,1--上递增，在[1,)-+∞上递减，1(),4f x ⎛⎤∈-∞ ⎥⎝⎦，满足1()3f x ≤，当[0,2)x ∈时，2[2,0)x -∈-，11()(2)[,)28f x f x =-∈-∞，满足满足1()3f x ≤，按此规律，2x ≥时，()f x 均满足1()3f x ≤，当[4,2)x ∈--时，29()2(2)2(2)22f x f x x x =+=++++，由2912(2)223x x +++≤+，解得1043x -≤≤-或1124x -≤<-，当101134x -<<-时，1()3f x >．因此当114x ≥-时，都有1()3f x ≤，所以114m ≥-．故选：D ．【点睛】关键点点睛：本题考查函数不等式恒成立问题，解题关键是依照周期函数的性质，根据函数的定义求出()f x 在[2,22)k k +（k ∈N ）满足1()3f x ≤，在[2,0)-上直接判断，求出[4,2)--上的解析式，确定1()3f x ≤的范围，此时有不满足1()3f x ≤的x 出现，于是可得结论m 的范围．6．C解析：C 【分析】先求出函数()21122x x f x =-+的值域，再根据题干中要求即可得出()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域. 【详解】()21121111=122122212x x x x xf x +-=--=-+++， ()121,x +∈+∞，()10,112x∴∈+， ()11,012x∴-∈-+， 1111,21222x⎛⎫∴-∈- ⎪+⎝⎭，即函数()21122x xf x =-+的值域为11,22⎛⎫- ⎪⎝⎭，由高斯函数定义可知：函数()21122x xf x ⎡⎤=-⎢⎥+⎣⎦的值域为{}1,0- 故选：C. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝.7．C解析：C 【分析】由1x >时，()0f x <，排除B 、D ；由函数()f x 在区间(0,1)上的单调性，排除A ，即可求解. 【详解】由题意，函数()21xf x x =-有意义，满足210x -≠，解得1x ≠±，又由当1x >时，()0f x <，排除B ，D ；当01x <<时，()21xf x x =-，设1201x x ，则2112212122222121(1)()()()11(1)(1)x x x x x x f x f x x x x x +--=-=----，因为2221122110,10,10,0x x x x x x ->->+>->，所以21()()0f x f x ->，即12()()f x f x <，所以函数()f x 在(0,1)上单调递增，所以A 不符合，C 符合. 故选：C. 【点睛】知式选图问题的解答方法：从函数的定义域，判定函数图象的左右位置，从函数的值域判断图象的上下位置；从函数的单调性（有时借助导数），判断函数的图象的变换趋势；从函数的奇偶性，判断图象的对称性；从函数的周期性，判断函数的循环往复；从函数的特殊点（与坐标轴的交点，经过的定点，极值点等），排除不和要求的图象.8．C解析：C 【分析】由于参数b 的不确定性，可进行分类讨论，再结合二次函数对称轴和最值特点求解即可. 【详解】当0b =时，()2f x x =，()[)0,f x ∈+∞，()()[)0,ff x ∈+∞，符合题意；当0b <时，22()24b f b x x ⎛⎫=+ ⎪⎝-⎭，对称轴为02b x =->，画出大致图像，令()t f x =，min 0t <，则()()()f f x f t =，[)min,t t∈+∞，显然能取到相同的最小值，符合；当0b >时，对称轴为b x 02=-<，()2min 24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭，令()t f x =，2,4b t ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，要使()f x 与函数()f t 有相同的最小值，则需满足：242b b-≤-，解得[2,)b ∈+∞综上所述，则b ∈（－∞，0］∪［2，＋∞）故选：C. 【点睛】本题解题关键是对二次函数对称轴进行分类讨论，同时结合最值与对称轴的关系解决问题.9．D解析：D 【分析】采用换元法可构造方程()21213t f t t =-=+，进而求得()f x 解析式，代入2020x =即可得到结果. 【详解】由()f x 是R 上的单调函数，可设()221xf x t +=+，则()13f t =恒成立，由()221x f x t +=+得：()221x f x t =-+，()21213t f t t ∴=-=+，解得：1t =， ()22112121x x xf x -∴=-=++，()2020202021202021f -∴=+. 故选：D . 【点睛】本题考查函数值的求解问题，解题关键是能够采用换元的方式，利用抽象函数关系式求解得到函数的解析式.10．C解析：C 【分析】根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2()24f m a a =-成立，可得22246a a --，求解得答案．【详解】作出函数22|1|,7()ln ,x x e f x x e x e --⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，若存在实数m ，使得2()24f m a a =-成立，22246a a ∴--，解得13a -，∴实数a 的取值范围是[1-，3]．故选：C【点睛】本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．11．C【详解】分析：函数()3221f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ．由△≤0，解得43a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．由△＞0，解得a 43＜（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x1=，x2=．当403a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值， ∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．解得：53-＜a 34-＜．综上可得：53-＜a 34-＜．故选：C ．点睛：极值转化为最值的性质：若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；12．C解析：C 【分析】由函数是R 上的减函数，列出不等式，解出实数a 的取值范围．【详解】因为()f x 是R 上的减函数，故023033a a a a>⎧⎪-<⎨⎪-≥⎩，故2334a <≤，故选：C本题考查函数的单调性的应用，考查分段函数，属于中档题．二、填空题13．【分析】根据条件作出函数图象求解出的范围利用和换元法将变形为二次函数的形式从而求解出其取值范围【详解】由解析式得大致图象如下图所示：由图可知：当时且则令解得：又令则即故答案为：【点睛】思路点睛：根据解析：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭【分析】根据条件作出函数图象求解出1x 的范围，利用()()12f x f x =和换元法将()12x f x ⋅变形为二次函数的形式，从而求解出其取值范围. 【详解】由解析式得()f x 大致图象如下图所示：由图可知：当12x x <时且()()12f x f x =，则令211322x ⎛⎫+=⋅ ⎪⎝⎭，解得：14x =， 111,42x ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，又()()12f x f x =，221221333,124x x x ⎛⎫⎡⎫∴+=∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，()2222121332x f x x x ⎛⎫∴⋅=⋅- ⎪⎝⎭，令2233,14x t ⎡⎫=∈⎪⎢⎣⎭，则()()2211113,124164x f x g t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎡⎫⋅==-=--∈ ⎪ ⎪⎪ ⎪⎢⎝⎭⎝⎭⎣⎭⎝⎭，()31,162g t ⎡⎫∴∈⎪⎢⎣⎭，即()2131,162x f x ⎡⋅⎫∈⎪⎢⎣⎭.故答案为：31,162⎡⎫⎪⎢⎣⎭ 【点睛】思路点睛：根据分段函数的函数值相等关系可将所求式子统一为一个变量表示的函数的形式，进而根据函数值域的求解方法求得结果；易错点是忽略变量的取值范围，造成值域求解错误.14．【分析】根据抽象函数的定义域的求法结合函数列出不等式组即可求解【详解】由题意函数的定义域是即则函数满足解得即函数的定义域是故答案为：【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数的定义域为求复合函数的定义解析：31,2⎛⎤⎥⎝⎦【分析】根据抽象函数的定义域的求法，结合函数()g x =. 【详解】由题意，函数()y f x =的定义域是[0,2]，即02x ≤≤，则函数()g x =021210x x ≤-≤⎧⎨->⎩，解得312x <≤，即函数()g x =31,2⎛⎤⎥⎝⎦. 故答案为：31,2⎛⎤ ⎥⎝⎦. 【点睛】求抽象函数定义域的方法：已知函数()f x 的定义域为[],a b ，求复合函数()[]f g x 的定义域时：可根据不等式()a g x b ≤≤解得x ，则x 的取值范围即为所求定义域；已知复合函数()[]f g x 的定义域为[],a b ，求函数()f x 的定义域，求出函数()y g x =([,])x a b ∈的值域，即为()y f x =的定义域.15．①③【分析】根据题目中给的新定义对于或可逐一对命题进行判断举实例证明存在性命题是真命题举反例可证明全称命题是假命题【详解】∵对于定义∴对于①例如集合是正奇数集合是正偶数集合①正确；对于②例如：当时；解析：①③ 【分析】根据题目中给的新定义，对于()*,0i i N A ϕ∈=或1，可逐一对命题进行判断，举实例证明存在性命题是真命题，举反例可证明全称命题是假命题．【详解】∵对于*i ∈N ，定义1,()0,i i AA i A ϕ∈⎧=⎨∉⎩， ∴对于①，例如集合A 是正奇数集合，B 是正偶数集合，,*AB A B N ∴=∅=，()()01i i A B A B ϕϕ∴==;，①正确；对于②，例如：{}{}{}1232341234A B AB ===,,,,,,,,,，当2i =时，()1i A B ϕ⋃=；()()1,1i i A B ϕϕ==；()()()i i i A B A B ϕϕϕ∴≠+； ②错误；对于③， {}*2,A x x n n N ==∈，{}*42,B x x n n N ==-=，明显地，,A B 均为偶数集，A B ∴≠∅，()1i AB ϕ=，若i 为偶数，则()i A B ∈，则i A ∈且i B ∈；()()1i i A B ϕϕ∴⋅=，则有()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=；若i 为奇数，此时，()0i A B ϕ=，则i A ∉且i B ∉，()()0,0i i A B ϕϕ==，()()()i i i A B A B ϕϕϕ⋂=∴也成立；③正确∴所有正确结论的序号是：①③；故答案为：①③ 【点睛】关键点睛：解题关键在于对题目中新定义的理解和应用，结合特殊值法和反证法进行证明，难度属于中档题.16．7【分析】根据函数的定义来研究由于函数是一对一或者多对一的对应且在B 中的元素可能没有原像故可以按函数对应的方式分类讨论可分为一对一二对一三对一三类进行讨论得答案【详解】由函数的定义知此函数可以分为三解析：7 【分析】根据函数的定义来研究，由于函数是一对一或者多对一的对应，且在B 中的元素可能没有原像，故可以按函数对应的方式分类讨论.可分为一对一，二对一，三对一三类进行讨论得答案．【详解】由函数的定义知，此函数可以分为三类来进行研究：若函数的是三对一的对应，则值域为{}1、{}2、{}3三种情况；若函数是二对一的对应，{}1,2、{}2,3、{}1,3三种情况；若函数是一对一的对应，则值域为{1,2，3}共一种情况．综上知，函数的值域的不同情况有7种．故答案为7．【点睛】本题考查函数的概念，函数的定义，考查数学的基本思想方法，是中档题．17．7【解析】由函数的周期为3可得因为若则可得出又根据为奇函数则又可得出又函数是定义在R 上的奇函数可得出从而在中令得出又根据是定义在R 上的奇函数得出从而得到即故从而共7个解解析：7 【解析】由函数的周期为3可得(3)()f x f x +=,因为(2)0f =, 若(0,6)x ∈,则可得出(5)=(2)0f f =, 又根据()f x 为奇函数,则(-2)=-(2)0f f =, 又可得出(4)=(1)(-2)=0f f f =,又函数()f x 是定义在R 上的奇函数,可得出(0)0f =, 从而(3)=(0)0f f =,在(3)()f x f x +=中, 令32x =-,得出33()()22f f -=,又根据()f x 是定义在R 上的奇函数,得出33()-()22f f -=, 从而得到33()-()22f f =,即3()02f =, 故933()(+3)()=0222f f f ==,从而93()()=(4)(1)(3)(5)(2)022f f f f f f f ======,共7个解.18．【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点由函数的草图确定不等式的解集【详解】在R 上是奇函数且在上是增函数∴在上也是增函数由得由得作出的草图如图所示：则或由图象得所以或所以的解集为故答案为：【点睛解析：(3,0)(0,3)-⋃【分析】由条件确定原点两侧函数的单调性和零点，由函数()f x 的草图确定不等式的解集. 【详解】()f x 在R 上是奇函数，且()f x 在(0,)+∞上是增函数，∴()f x 在(,0)-∞上也是增函数，由(3)0f -=，得(3)0f =，由(0)(0)f f =--，得(0)0f =，作出()f x 的草图，如图所示：()0xf x <，则0()0x f x >⎧⎨<⎩ 或0()0x f x <⎧⎨>⎩，由图象得，所以03x <<或30x -<<，所以()0xf x <的解集为(3,0)(0,3)-⋃．故答案为：(3,0)(0,3)-⋃．【点睛】本题考查函数奇偶性、单调性的综合应用，考查数形结合思想，灵活作出函数的草图是解题关键．属于中档题．19．【分析】根据二次函数的单调性得出是上的减函数从而有整理得即关于的方程在区间内有实数解记由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组可求得范围【详解】∵函数是上的减函数∴当时即两式相减得即代入得由且得解析：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭【分析】根据二次函数的单调性得出2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，从而有()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，整理得22a k b b k a⎧+=⎨+=⎩，即关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，由二次函数的单调性和零点存在定理建立不等式组，可求得范围.【详解】∵函数2()f x x k =+是(,0]-∞上的减函数，∴当[,]x a b ∈时，()()f a bf b a =⎧⎨=⎩，即22a k bb k a ⎧+=⎨+=⎩，两式相减得22a b b a -=-，即(1)b a =-+，代入2a k b +=得210a a k +++=，由0a b <≤，且(1)b a =-+得112a -≤<-，故关于a 的方程210a a k +++=，在区间11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭内有实数解，记2()1h a a a k =+++，所以函数()h a 在11,2⎡⎫--⎪⎢⎣⎭上单调递减，则()10102h h ⎧-≥⎪⎨⎛⎫-< ⎪⎪⎝⎭⎩，即()()221110111022k k ⎧-+-++≥⎪⎨⎛⎫⎛⎫-+-++<⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎩，解得31,4k ⎡⎫∈--⎪⎢⎣⎭，故答案为：31,4⎡⎫--⎪⎢⎣⎭. 【点睛】关键点点睛：在解决二次函数的值域问题，关键在于得出二次函数的对称轴与区间的关系，也即是判断出二次函数在区间上的单调性.20．【分析】将代入得到的解析式然后利用换元法求出值域【详解】要使函数成立则即将函数代入得：令则所以又或故函数的值域为故答案为：【点睛】求解复合函数的值域的一般方法如下：（1）若函数的形式比较简单可先将的解析：(][),31,-∞-+∞【分析】将()2g x x =+代入，得到()()y f g x =的解析式，然后利用换元法求出值域．【详解】要使函数()()y f g x =成立，则21x +≠，即1x ≠-，将函数()2g x x =+代入233()1x x f x x -+=-得： ()()()()222323111x x x x y f g x x x +-++++===++，令1x t ，则1x t =-，所以22(1)111t t t t y t t t t-+-+===-+，又111t t -+≥或113t t -+≤-，故函数()()f g x 的值域为(][),31,-∞-+∞.故答案为：(][),31,-∞-+∞.【点睛】求解复合函数()()f g x 的值域的一般方法如下：（1）若函数()g x 的形式比较简单，可先将()()f g x 的解析式表示出来，然后设法求出其值域，解答时注意定义域；（2）采用换元法，令()g x t =，计算()g x 的值域即t 的取值范围，然后计算()f t 的值域．三、解答题21．（1）①2()22f x x x =-+，②见解析；（2）2min42,4(),44442,4b b bf x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩. 【分析】（1）①先求得2c =；{1A =，2}说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，b ，从而可得解析式；②写成分段函数形式，再利用二次函数图象与性质求解．（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解即可．【详解】（1）①(0)2f =，2c ∴={1A =，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．由韦达定理得，212112ab a ⎧=⨯⎪⎪⎨-⎪=+⎪⎩，∴12a b =⎧⎨=-⎩2()22f x x x ∴=-+②函数()2222,022,0x x x y f x x x x ⎧-+≥==⎨-+<⎩，函数()y fx =的图象如图，同一坐标系内画出函数y a =的图象，由图可知，当1a <时，函数y a =和函数()y fx =的图象的公共点个数为0；当1a =或2a >时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为2；当12a <<时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为4；当2a =时，函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个数为3；（2）a =1，c =0，函数2()f x x bx =+，当2,42bb -≤-≥时，()min ()242f x f b =-=-；当22,442b b -<-<-<<时，2min ()24b b f x f ⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭；当2,42bb -≥≤-时，()min ()242f x f b ==+；综上，2min42,4(),44442,4b b bf x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩ 【点睛】方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.22．（1）见解析；（2）见解析；（3）3023x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭【分析】（1）由()m f m f n n ⎛⎫=⋅⎪⎝⎭，结合题意即可得结果；（2）利用函数单调性的定义证明即可；（3）将原不等式等价转化为()()324f x f x +>，结合定义域和单调性即可得结果. 【详解】解：（1）由题可得()()m m f m f n f f n n n ⎛⎫⎛⎫=⋅=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，即()()m f f m f n n ⎛⎫=- ⎪⎝⎭；（2）任取1x ，()20,x ∈+∞，且12x x <，则211x x >，由（1）得：()()22110x f x f x f x ⎛⎫-=>⎪⎝⎭，即()()21f x f x >， ()f x ∴在()0,∞+上是增函数；（3）()21f =，()()()2224f f f ∴=+=，()()()3428f f f =+=，()()333f x f x +->，()()()338f x f x f +>+， ()()324f x f x +>，又()f x 在()0,∞+上为增函数，30,240,324,x x x x +>⎧⎪∴>⎨⎪+>⎩，解得：0323x <<，故不等式()()333f x f x +->的解集为3023x x ⎧⎫<<⎨⎬⎩⎭. 【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是利用()m f m f n n ⎛⎫=⋅ ⎪⎝⎭，再结合题意，即可判断函数单调性和解不等式. 23．（1）(,1)(1,5]-∞；（2）单调性证明见解析，值域为17[,1]3--. 【分析】（1）利用偶次根式和分式有意义的条件，列出不等式组，求得函数的定义域；（2）依据减函数的定义，利用取值、作差、判断符号的过程，证得函数的单调减，在区间端点取得最大最小值，得到函数在[1,3]上的值域. 【详解】（1）由5010x x -≥⎧⎨-≠⎩.得5x ≤且1x ≠，故()f x 的定义域为()(]115∞－，，∪；（2）设120x x <<，则()2112121221121212111()2()2()()(2)x x f x f x x x x x x x x x x x x x --=--+-=--+=-+，因为120x x <<，所以和211210,0x x x x ->>. 所以21121()(2)0x x x x -+>，从而()12()0f x f x ->，故()f x 在()0,∞+上单调递减，因为()f x 在[1,3]上单调递减，且()11f -＝，()1733f -＝，所以该函数在[1,3]上的值域为17[,1]3-- . 【点睛】思路点睛：该题考查的是有关函数的问题，解题思路如下：（1）利用分式和偶次根式有意义的条件，列出不等式组，求得结果，得到函数的定义域；（2）利用函数在某个区间上单调减的定义，证得函数在给定区间上是减函数，求得函数在区间端点处取得最值，得到函数的值域.24．（1）21()2f x x x =-+；（2）存在，40m n =-⎧⎨=⎩.【分析】（1）由(1)(1)f x f x +=-，得到20b a +=，再由()f x x ≤恒成立，列出方程组，求得,a b 的值，得到函数的解析式；（2）假设存在()m n m n <、，根据题意得到[],m n 必在对称轴的左侧，且()f x 在[],m n 单调递增，列出方程组，即可求解. 【详解】（1）因为22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b +=+++=++++，22(1)(1)(1)(2)f x a x b x ax a b x a b -=-+-=-+++，由()()11f x f x +=-可知，20a b +=，由于对一切x ∈R ，都有()f x x ≤即2()(1)0f x x ax b x -=+-≤，于是由二次函数的性质可得()()21400*a b a <⎧⎪⎨∆=--⨯≤⎪⎩ 由()*知()210b -≤，而()210b -≥，所以()210b -=即1b =，将1b =代入20a b +=得12a =-，所以21()2f x x x =-+；（2）因为221111()(1)2222f x x x x =-+=--+≤，若存在满足条件的实数(),m n m n <则必有132n ≤，解得16n ≤，又因为()f x 在(],1-∞上单调递增，所以()f x 在[],m n 上单调递增.所以()()33fm m fn n ⎧=⎪⎨=⎪⎩，22132132m m mn n n ⎧-+=⎪⎪⎨⎪-+=⎪⎩,解得40m n =-⎧⎨=⎩或04m n =⎧⎨=-⎩，因为m n <，所以40m n =-⎧⎨=⎩，故存在4m n =-⎧⎨=⎩满足条件.【点睛】关键点点睛：本题主要考查了二次函数的图象与性质的应用，其中解答中熟记二次函数的图象与性质，以及根据函数的值域判断出函数在[,]m n 上的单调性是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题. 25．（1）0；（2）证明见解析；（3）（1，2）．【分析】（1）依题意可得()00f =，即可求出参数b 的值，（2）利用定义法证明函数的单调性，按照设元、作差、变形、判断符号、下结论的步骤完成即可；（3）依题意结合（2）中函数的单调性，即可得到方程组，即可求出参数的取值范围；【详解】解：（1）由题意可知函数()21ax bf x x +=+的定义域为R ，且为奇函数，所以()00f b ==，经检验满足题意，所以b =0；（2）证明：由（1）知b =0，所以()211ax af x x x x==++，则任取12x x <，则12110x x ->，因为12x x <，所以当()01x ∈，时，210x x ->，12110x x -<，所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x <，则()f x 在()01，上是增函数；当()1x ∈+∞，时，210x x ->，()()1f x +∞，，所以()()120f x f x ->，即()()12f x f x >，[]m n ，上是减函数，综上：()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数；（3）由（2）知()f x 在()01，上是增函数，在()1+∞，上是减函数，又存在实数m ，n （0<m <n ），使得m ≤()f x ≤n 的解集为()221112amm m an m n a f n ⎧=⎪+⎪⎪=⎨+⎪⎪=≤⎪⎩，则221112a m a n a n ⎧=+⎪⎪=+⎨⎪≤⎪⎩，化简得221112a m a n a n⎧=+⎪⎪=+⎨⎪≤⎪⎩，因为0<m <n ，所以1<a <2，所以a 的取值范围为（1，2）．【点睛】函数的单调性是函数的重要性质之一，它的应用贯穿于整个高中数学的教学之中.某些数学问题从表面上看似乎与函数的单调性无关，但如果我们能挖掘其内在联系，抓住其本质，那么运用函数的单调性解题，能起到化难为易、化繁为简的作用.因此对函数的单调性进行全面、准确的认识，并掌握好使用的技巧和方法，这是非常必要的.根据题目的特点，构造一个适当的函数，利用它的单调性进行解题，是一种常用技巧.许多问题，如果运用这种思想去解决，往往能获得简洁明快的思路，有着非凡的功效.26．（1）()223f x x x =+-；（2）()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【分析】（1）由①可知函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，由②可知()10f =，可得出关于a 、c 的方程组，进而可得出函数()f x 的解析式；（2）求得()()22413g x x k x =++-，求得该函数的对称轴为直线()1x k =-+，对实数k 的取值进行分类讨论，分析函数()g x 在区间[]1,3上的单调性，进而可求得()h k 关于k的表达式. 【详解】（1）由①可得，函数14f x ⎛⎫-⎪⎝⎭是偶函数，将函数14f x ⎛⎫- ⎪⎝⎭的图象向左平移14个单位长度可得到函数()f x 的图象，所以，函数()f x 的图象关于直线14x =-对称，则有1124a -=-，可得2a =. 由②可得：1x =是方程20ax x c ++=的一个解，则有10a c ++=，得3c =-. 于是：()223f x x x =+-；（2）依题意有：()()22413g x x k x =++-，对称轴为()1x k =-+.当()13k -+≥时，即4k ≤-时，()g x 在[]1,3单调递减，于是()()min 31227g x g k ==+；当()113k <-+<时，即4-<<-2k 时，()g x 在()1,1k -+⎡⎤⎣⎦单调递减，在()1,3k -+⎡⎤⎣⎦单调递增，于是()()2min 1245g x g k k k =--=---；当()11k -+≤时，即2k ≥-时，()g x 在[]1,3单调递增，于是()()min 143g x g k ==+.综上：()21227,4245,4243,2k k h k k k k k k +≤-⎧⎪=----<<-⎨⎪+≥-⎩.【点睛】方法点睛：“动轴定区间”型二次函数最值的方法：（1）根据对称轴与区间的位置关系进行分类讨论；（2）根据二次函数的单调性，分别讨论参数在不同取值下的最值，必要时需要结合区间端点对应的函数值进行分析；（3）将分类讨论的结果整合得到最终结果.。

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高中数学：函数压轴题专项练习，学霸都在练，做完高考多考20分
进入高中阶段的学习，数学学科对于很多同学来说都是一门难点学科。

很多高中生都表示，对于高中数学的学习，自己真的是无计可施，不管课上如何认真听讲，课下练多少的题，考试的时候依旧还是不会做，数学学科成绩自己高考路上最大的拦路虎，这可怎么办呢？
其实在高中数学的学习掌握过程中，同学们一定要掌握方法和技巧，一定要明白哪些是重点哪些是难点，考试经常扣分的题是哪些，有针对性的根据自身的学习情况去提升改变，这样才能在高中数学的学习过程中取得一个不错的成绩。

而今天针对于很多同学在高中数学学习过程中存在的问题，老师这次就将高中数学的一个重难点知识函数知识考点给大家做了一个整理分享。

我们知道高中数学学习过程中，函数知识点占了将近80%的内容。

高考几乎所有的知识点都会围绕函数展开，可见学好函数显得尤为关键，而函数(包含一次函数，二次函数，指数函数，对数函数，三角函数）涉及的知识内容比较广，所以很多同学这部分知识内容都掌握不好。

所以这次老师就专门将高中函数的重要考点题型分享给大家，这些题型都是常常以压轴题的形式出现在数学试卷中，学霸都在练，建议同学们认真的看一看，做一做，把这一套题练完，高考数学至少多考20分！。