排列组合典型例题
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3 C3 － C 35 15＝6 545－455＝6 090 种．
∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．
【讲评】 组合问题常有以下两类题型：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这 些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再 从剩下的元素中去选取．
5 2 别插入这六个位置(空)有 A2 种方法， 所以一共有 A 6 5A6＝3 600
种方法．
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A4 4种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个 “空”有
4 3 A3 种方法，所以一共有 A 5 4A5＝1 440 种．
甲排头，共有 A6 6种不同的排法； 乙排尾，共有 A6 6种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A5 5种不同的排法；
6 5 故共有 A7 － 2A ＋ A 7 6 5＝3 720 种不同的排法．
(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A6 再将甲、 6种方法； 乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 2种方法，所以这样的排法
1 7 (10)960 (11)2A7
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
题型三
组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
B．1 007
1 006 1 利用组合数的性质得 2C1 007＝2C1 007＝2 014.
【答案】 D
5x－5 4．满足方程 Cx －x16＝C16 的 x 值为(
2
)
A．1,3,5，－7 C．1,3,5
2
B．1,3 D．3,5
2
【解析】 依题意，有 x －x＝5x－5 或 x －x＋5x－5＝16.解得 x＝1 或 x＝5；x ＝－7 或 x＝3，经检验知，只有 x＝1 或 x＝3 符合题意．
2 【解析】 可分两类：第一类甲型 1 台、 乙型 2 台， 有 C1 · C 4 5＝4×10＝40(种) 2 1 取法，第二类甲型 2 台、乙型 1 台，有 C4· C5＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不
同的取法． 【答案】 C
3． (2015· 青岛高二检测)将标号为 1,2， „， 10 的 10 个球放入标号为 1,2， „， 10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不 一致的放入方法种数为( A．120 ) C．360 D．720
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十 分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用 直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维， 用间接法处理．
1 006 2．2C1 007的值为(
) C．2 012 D．2 014
A．1 006 【解析】
1 4 【解】 (1)1 名女生，4 名男生，故共有 C5 · C8＝ห้องสมุดไป่ตู้50(种)．
(2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C2 C3 2· 11＝165(种)． (3)方法一：至少有 1 名队长含有两类：只有 1 名队长；2 名队长，故共有选
2 3 法 C1 C4 C11＝825(种)． 2· 11＋C2· 5 方法二：采用间接法共有 C5 13－C11＝825(种)．
2 3 (4)选取 2 件假货有 C1 C 种，选取 3 件假货有 C 20 15 15种，共 2 3 有选取方式 C1 C ＋ C 20 15 15＝2 100＋455＝2 555 种．
∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种．
(5)选取 3 件的总数有 C3 35种，因此共有选取方式
【解析】 法；
(1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A7 7种不同的排
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A6 6种不同的排法；
5 (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A2 A 2 5种；
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A6 6种不同的排法；
1 5 甲不站排尾，共有 A1 5A5A5种不同的排法； 1 1 5 故共有 A6 ＋ A 6 5A5A5＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A7 7种不同的排法；
4 2 排法一共有 A2 A 5 4A2＝960 种方法．
方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素． 若丙站在排头或排尾有 2A5 所以丙不能站在排头 5种方法，
5 和排尾的排法有(A6 A2 6－2A5)· 2＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A1 4种方法． 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5 5种方法，最后将
B．240
【解析】 先选出 3 个球有 C3 10＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法． 【答案】 B
4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合 方法有( )种．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．
(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A7 7种不同的排法；
3 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A5 A 5 3＝720 种． 5 3 故共有 A7 － A 7 5A3＝4 320 种不同的排法．
(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人， 共有 A4 产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 4种排法，
2 2 B．C5A6 2 2 D．A5A6
2 2 A．C5C6 2 2 2 2 C．C5A2C6A2
【解析】
2 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C5种方法；第 2 步，
2 2 2 从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有 A6种．故有 C5A6种．
【答案】 B
8．课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定 一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有 1 名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有 1 名队长当选； (4)至多有 2 名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
(4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生；只有 1 名女生；没有女生．
1 4 5 故选法共有 C2 C3 C8＋C8 ＝966(种)． 5· 8＋C5· 4 2 2 (5)分类： 第 1 类， 女队长当选： C12 种； 第 2 类， 女队长不当选： C1 C3 C7 4· 7＋C4· 4 4 1 3 3 1 ＋C3 C1 C7＋C2 C2 C7＋C4 4· 7＋C4种．故选法共有 C12＋C4· 4· 7＋C4· 4＝790(种)．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
【解析】 (1)从余下的 34 件商品中，选取 2 件有 C2 34＝ 561 种， ∴某一件假货必须在内的不同取法有 561 种．
【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形，所有四边形的对
4 角线交点个数即为所求，所以交点为 C9＝126 个．
【答案】 D
2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型 电视机各 1 台，则不同的取法共有( A．140 种 B．84 种 ) C．70 种 D．35 种
1 3 2 2 2 放入盒中，共有 C3 · C · A ＋ C C4· A4＝1 500(种)不同放法． 6 4 3 6· 1 2 (3)法一 按 3,1,1,1 放入有 C4 种方法，按 2,2,1,1，放入有 C4 种方法，共有 2 C1 4＋C4＝10(种)不同放法．
法二 (挡板法)在 6 个球之间的 5 个空中插入三个挡板， 将 6 个球分成四位， 共有 C3 5＝10(种)不同放法．
2 个元素)与丙排入有 A2 5种，再将甲、乙全排，有 A2，∴共有 4 2 A2 A 2 4A5＝960 种．
A7 7 (11)(消序法)共有 2 种．
5 【答案】 (1)A7 (2)A6 (3)A2 7 6 5A5
(4)3 720
(5)1 440
(6)960
(7)3 600 (8)1 440 (9)4 320
2 一共有 A6 6A2＝1 440 种．
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有： 方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A2 5 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 4种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 2种方法，所以这样的
0 1 2 18 5．C3＋C4＋C5＋„＋C21的值等于________．
【解析】
4 ＝C22＝7 315.
0 1 2 18 1 2 18 17 18 18 原式＝C4＋C4＋C5＋„＋C21＝C5＋C5＋„＋C21＝C21＋C21＝C22
【答案】 7 315
1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所 有线段在圆内的交点有( A．36 个 C．63 个 ) B．72 个 D．126 个
3 (2)从 34 件可选商品中，选取 3 件，有 C3 种或者 C 34 35－ 3 C2 34＝C34＝5 984 种．
∴某一件假货不能在内的不同取法有 5 984 种．
(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有
2 C1 C 20 15＝2 100 种．
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种．
排列应用题
7位同学站成一排： (1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多 少种？
3．(2015· 孝感高级中学期中)正五边形 ABCDE 中，若把顶点 A、B、C、D、 E 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不 同的染色方法共有________种．
5 2 甲、 乙两同学“松绑”， 所以这样的排法一共有 A1 A 4 5A2＝960
种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：
6 2 方法一：(排除法)A7 － A · A 7 6 2＝3 600 种．
方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A5 5种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)， 再将甲、 乙同学分
9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
【解】 (1)每个小球都有 4 种方法，根据分步计数原理共有 46＝4 096 种不 同放法． (2)分两类： 第 1 类， 6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中； 第 2 类， 6 个小球分 2,2,1,1
∴至多有 2 种假货在内的不同的取法有 6 090 种．
【讲评】 组合问题常有以下两类题型：
(1)“含有”或“不含有”某些元素的组合题型：“含”，则先将这 些元素取出，再由另外元素补足；“不含”，则先将这些元素剔除，再 从剩下的元素中去选取．
5 2 别插入这六个位置(空)有 A2 种方法， 所以一共有 A 6 5A6＝3 600
种方法．
(8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有： 先将其余四个同学排好有 A4 4种方法，此时他们留下五个 “空”，再将甲、乙和丙三个同学分别插入这五个 “空”有
4 3 A3 种方法，所以一共有 A 5 4A5＝1 440 种．
甲排头，共有 A6 6种不同的排法； 乙排尾，共有 A6 6种不同的排法； 甲排头且乙排尾，共有 A5 5种不同的排法；
6 5 故共有 A7 － 2A ＋ A 7 6 5＝3 720 种不同的排法．
(5)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与 其余的 5 个元素(同学)一起进行全排列有 A6 再将甲、 6种方法； 乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 2种方法，所以这样的排法
1 7 (10)960 (11)2A7
【讲评】 涉及有限制条件的排列问题时，首先考虑特殊元素的排 法或特殊位置上元素的选法，再考虑其他元素或其他位置(这种方法称为 元素分析法或位置分析法)．
题型三
组合应用题
例3 某市工商局对35件商品进行抽样调查，已知其中有15件假 货．现从35件商品中选取3件．
B．1 007
1 006 1 利用组合数的性质得 2C1 007＝2C1 007＝2 014.
【答案】 D
5x－5 4．满足方程 Cx －x16＝C16 的 x 值为(
2
)
A．1,3,5，－7 C．1,3,5
2
B．1,3 D．3,5
2
【解析】 依题意，有 x －x＝5x－5 或 x －x＋5x－5＝16.解得 x＝1 或 x＝5；x ＝－7 或 x＝3，经检验知，只有 x＝1 或 x＝3 符合题意．
2 【解析】 可分两类：第一类甲型 1 台、 乙型 2 台， 有 C1 · C 4 5＝4×10＝40(种) 2 1 取法，第二类甲型 2 台、乙型 1 台，有 C4· C5＝6×5＝30(种)取法，共有 70 种不
同的取法． 【答案】 C
3． (2015· 青岛高二检测)将标号为 1,2， „， 10 的 10 个球放入标号为 1,2， „， 10 的 10 个盒子里，每个盒内放一个球，恰好 3 个球的标号与其在盒子的标号不 一致的放入方法种数为( A．120 ) C．360 D．720
(2)“至少”或“最多”含有几个元素的组合题型：解这类题必须十 分重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解，用 直接法和间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，考虑逆向思维， 用间接法处理．
1 006 2．2C1 007的值为(
) C．2 012 D．2 014
A．1 006 【解析】
1 4 【解】 (1)1 名女生，4 名男生，故共有 C5 · C8＝ห้องสมุดไป่ตู้50(种)．
(2)将两名队长作为一类，其他 11 人作为一类，故共有 C2 C3 2· 11＝165(种)． (3)方法一：至少有 1 名队长含有两类：只有 1 名队长；2 名队长，故共有选
2 3 法 C1 C4 C11＝825(种)． 2· 11＋C2· 5 方法二：采用间接法共有 C5 13－C11＝825(种)．
2 3 (4)选取 2 件假货有 C1 C 种，选取 3 件假货有 C 20 15 15种，共 2 3 有选取方式 C1 C ＋ C 20 15 15＝2 100＋455＝2 555 种．
∴至少有 2 种假货在内的不同的取法有 2 555 种．
(5)选取 3 件的总数有 C3 35种，因此共有选取方式
【解析】 法；
(1)站成两排(前 3 后 4)，共有 A7 7种不同的排
(2)其中甲站在中间的位置，共有 A6 6种不同的排法；
5 (3)甲、乙只能站在两端的排法共有 A2 A 2 5种；
(4)甲不排头、乙不排尾的排法共有： 方法一：甲站排尾；共有 A6 6种不同的排法；
1 5 甲不站排尾，共有 A1 5A5A5种不同的排法； 1 1 5 故共有 A6 ＋ A 6 5A5A5＝3 720 种不同的排法； 方法二：7 位同学站成一排，共有 A7 7种不同的排法；
4 2 排法一共有 A2 A 5 4A2＝960 种方法．
方法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素． 若丙站在排头或排尾有 2A5 所以丙不能站在排头 5种方法，
5 和排尾的排法有(A6 A2 6－2A5)· 2＝960 种方法．
方法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的四个位置选择共有 A1 4种方法． 再将其余的 5 个元素进行全排列共有 A5 5种方法，最后将
B．240
【解析】 先选出 3 个球有 C3 10＝120 种方法，不妨设为 1,2,3 号球，则 1,2,3 号盒中能放的球为 2,3,1 或 3,1,2 两种．这 3 个号码放入标号不一致的盒子中有 2 种不同的方法，故共有 120×2＝240 种方法． 【答案】 B
4．从乒乓球运动员男 5 名、女 6 名中组织一场混合双打比赛，不同的组合 方法有( )种．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？ (8)甲、乙、丙三个同学都不能相邻的排法共有多少种？ (9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有多少种？ (10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法共有多少种？ (11)甲必须站在乙的左边的不同排法共有多少种？ 【思路】 本题是有关排列的一道综合题目，小题比较多，包括排 列中的各种方法和技巧，请同学们认真思考．
(9)甲、乙、丙三个同学不都相邻的排法共有： 7 位同学站成一排，共有 A7 7种不同的排法；
3 甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有 A5 A 5 3＝720 种． 5 3 故共有 A7 － A 7 5A3＝4 320 种不同的排法．
(10)甲、乙相邻且与丙不相邻的排法：先排甲、乙、丙之 外的 4 人， 共有 A4 产生 5 个“空”再将甲乙(视为一 4种排法，
2 2 B．C5A6 2 2 D．A5A6
2 2 A．C5C6 2 2 2 2 C．C5A2C6A2
【解析】
2 分两步进行：第一步：选出两名男选手，有 C5种方法；第 2 步，
2 2 2 从 6 名女生中选出 2 名且与已选好的男生配对，有 A6种．故有 C5A6种．
【答案】 B
8．课外活动小组共 13 人，其中男生 8 人，女生 5 人，并且男、女生各指定 一名队长，现从中选 5 人主持某种活动，依下列条件各有多少种选法？ (1)只有 1 名女生当选； (2)两名队长当选； (3)至少有 1 名队长当选； (4)至多有 2 名女生当选； (5)既要有队长，又要有女生当选．
(4)至多有 2 名女生含有三类：有 2 名女生；只有 1 名女生；没有女生．
1 4 5 故选法共有 C2 C3 C8＋C8 ＝966(种)． 5· 8＋C5· 4 2 2 (5)分类： 第 1 类， 女队长当选： C12 种； 第 2 类， 女队长不当选： C1 C3 C7 4· 7＋C4· 4 4 1 3 3 1 ＋C3 C1 C7＋C2 C2 C7＋C4 4· 7＋C4种．故选法共有 C12＋C4· 4· 7＋C4· 4＝790(种)．
(1)其中某一件假货必须在内，不同的取法有多少种？
(2)其中某一件假货不能在内，不同的取法有多少种？ (3)恰有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(4)至少有2件假货在内，不同的取法有多少种？
(5)至多有2件假货在内，不同的取法有多少种？
【解析】 (1)从余下的 34 件商品中，选取 2 件有 C2 34＝ 561 种， ∴某一件假货必须在内的不同取法有 561 种．
【解析】 此题可化归为圆上 9 个点可组成多少个四边形，所有四边形的对
4 角线交点个数即为所求，所以交点为 C9＝126 个．
【答案】 D
2．从 4 台甲型和 5 台乙型电视机中任意取出 3 台，其中至少有甲型和乙型 电视机各 1 台，则不同的取法共有( A．140 种 B．84 种 ) C．70 种 D．35 种
1 3 2 2 2 放入盒中，共有 C3 · C · A ＋ C C4· A4＝1 500(种)不同放法． 6 4 3 6· 1 2 (3)法一 按 3,1,1,1 放入有 C4 种方法，按 2,2,1,1，放入有 C4 种方法，共有 2 C1 4＋C4＝10(种)不同放法．
法二 (挡板法)在 6 个球之间的 5 个空中插入三个挡板， 将 6 个球分成四位， 共有 C3 5＝10(种)不同放法．
2 个元素)与丙排入有 A2 5种，再将甲、乙全排，有 A2，∴共有 4 2 A2 A 2 4A5＝960 种．
A7 7 (11)(消序法)共有 2 种．
5 【答案】 (1)A7 (2)A6 (3)A2 7 6 5A5
(4)3 720
(5)1 440
(6)960
(7)3 600 (8)1 440 (9)4 320
2 一共有 A6 6A2＝1 440 种．
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾 的排法有： 方法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素， 此时一共有 6 个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可 以从其余的 5 个元素中选取 2 个元素放在排头和排尾，有 A2 5 种方法；将剩下的 4 个元素进行全排列有 A4 4种方法；最后将 甲、乙两个同学“松绑”进行排列有 A2 2种方法，所以这样的
0 1 2 18 5．C3＋C4＋C5＋„＋C21的值等于________．
【解析】
4 ＝C22＝7 315.
0 1 2 18 1 2 18 17 18 18 原式＝C4＋C4＋C5＋„＋C21＝C5＋C5＋„＋C21＝C21＋C21＝C22
【答案】 7 315
1．已知圆上有 9 个点，每两点连一线段，若任意两条线的交点不同，则所 有线段在圆内的交点有( A．36 个 C．63 个 ) B．72 个 D．126 个
3 (2)从 34 件可选商品中，选取 3 件，有 C3 种或者 C 34 35－ 3 C2 34＝C34＝5 984 种．
∴某一件假货不能在内的不同取法有 5 984 种．
(3)从 20 件真货中选取 1 件，从 15 件假货中选取 2 件有
2 C1 C 20 15＝2 100 种．
∴恰有 2 件假货在内的不同的取法有 2 100 种．
排列应用题
7位同学站成一排： (1)站成两排(前3后4)，共有多少种不同的排法？
(2)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？
(3)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？ (4)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？
(5)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？
(6)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多 少种？
3．(2015· 孝感高级中学期中)正五边形 ABCDE 中，若把顶点 A、B、C、D、 E 染上红、黄、绿、黑四种颜色中的一种，使得相邻顶点所染颜色不相同，则不 同的染色方法共有________种．
5 2 甲、 乙两同学“松绑”， 所以这样的排法一共有 A1 A 4 5A2＝960
种方法．
(7)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：
6 2 方法一：(排除法)A7 － A · A 7 6 2＝3 600 种．
方法二：(插空法)先将其余五个同学排好有 A5 5种方法， 此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)， 再将甲、 乙同学分
9．按照下列要求，分别求有多少种不同的方法？ (1)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子； (2)6 个不同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球； (3)6 个相同的小球放入 4 个不同的盒子，每个盒子至少一个小球．
【解】 (1)每个小球都有 4 种方法，根据分步计数原理共有 46＝4 096 种不 同放法． (2)分两类： 第 1 类， 6 个小球分 3,1,1,1 放入盒中； 第 2 类， 6 个小球分 2,2,1,1