中南大学随机过程第九章
随机过程
n 其中 g t1 , , t n ( 1 , 2 , , n ) E exp i i X ( t i ) k 1
B X ( s, t ) D X (s) D X (t ) 1 st (1 s )( 1 t )
2 2
{X(t),t>0}的一维概率密度
ft ( x)
2 1 x exp ,t 0 2 2 2 (1 t ) 2 (1 t )
15
2.2 随机过程的分布律和数字特征
t
0
g 1 ( v L ) g 2 ( v L ) dv
18
L
1
L
0
g 1 ( v ) g 2 ( v ) dv
2.2 随机过程的分布律和数字特征
例 X(t)为信号过程，Y(t)为噪声过程，设 W(t)=X(t)+Y(t)，求W(t)的均值函数和相 关函数。 解 m ( t ) EW ( t ) E [ X ( t ) Y ( t )]
2 2
i . i .d
identical
Байду номын сангаас
on
B X ( s , t ) E [ X ( s ) X ( t )] m X ( s ) m X ( t ) E [( Y Zs ) (Y Zt ) ] 1 st
14
2.2 随机过程的分布律和数字特征
X ( s, t )
{X(t),t>0}的二维概率密度
f s ,t ( x1 , x 2 ) 1 2 (1 s )( 1 t )( 1 )
随机过程课件
1
m X (t1 )][ x2 m X (t 2 )] f ( x1 x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2 f ( x1, x2 ; t1 , t 2 )dx1dx 2
x x
1 2
X(t) 协方差与相关函数的关系为 当 mx (t ) 0 时 C X (t 1 , t 2 ) R X (t 1 , t 2 ) 在协方差定义中取t1=t2=t,就有
为XT 的均值函数或数学期望。其中F(x,t)是过程 的一维分布函数。 若是连续型随机变量，有 mX (t) xf(x,t)dx 其中f(x,t)是一维分布密度。 12
2．随机过程的方差 若 DX (t) 2 (t) E[X(t) mX (t)]2 存在，t∈T， X 称为X（t）的方差。 x (t) Dx (t) 称为X（t）的标准差。 它们描绘过程的样本曲线在各个t时刻对均 值 m X ( t ) 的离散程度， 对每个t1∈T， EX (t1 ) 反映t1状态取值的概率平均。 DX (t1 ) 反映t1状态取值与 EX (t1 ) 离散程度。 在工程中随机过程的均方值具有物理意义，比 较有用。均方值定义为： E[ X 2 (t )] X (t ) DX (t ) E( X 2 (t )) E 2 ( X (t )) 有关系式： 13 Dx (t ) x (t ) [mx (t )]2 即
第一章. 随机过程的基本概念
§1.1 随机过程及其概率分布
在实际问题中，有时需要对随机现象的变化进 行研究，这时就必须考虑无穷个随机变量或一族 随机变量, 我们就称这种随机变量族为随机过程。 例1: 生物群体的增长问题。在描述群体的发展 或演变过程中, 以 Xt 表示在时刻 t 群体的个数, 则 对每一个 t ，Xt 是随机变量。假设我们从 t ＝0 开 始每隔24小时对群体的个数观测一次, 则{Xt , t ＝0, 1, 2, ...}是一个随机过程。 例2: 电话呼唤问题。某电话总机在[0，t]时间 内收到的呼唤次数用 Xt 来表示, 则对于固定的 t ， 1 Xt 是随机变量。于是{Xt , t ∈[0, ∞)}是随机过程。
随机过程讲义
随机过程讲义
随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。
它主要用于表示不确定性和不确定性，在工程领域中有着广泛的应用。
本文将从定义和性质出发，论述随机过程的基本概念。
随机过程可以分为离散和连续两类。
离散随机过程是指在一定时间间隔内，其值只能在有限的取值集合中取值的变量。
例如，随机游戏的获胜概率可以用离散随机过程来表示。
连续随机过程是指在一定时间间隔内，其值可以取任何实数值的变量。
例如，温度变化可以用连续随机过程来表示。
随机过程有几个基本性质，如期望值、方差、协方差、自相关系数、相关系数和谱密度等。
期望值是指在一定时间间隔内，一个随机变量的预期值；方差表示变量的变化范围；协方差表示两个变量的关联性；自相关系数表示一个变量的变化，对另一个变量的影响；相关系数表示两个变量之间的相关性；谱密度表示变量的频率分布。
随机过程的应用非常广泛，它可以用于统计学、信号处理、系统建模和控制等领域。
它可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，并分析系统的性质，以及系统响应的变化。
它还可以用于分析信号传输系统中的信号噪声，以及与环境变量相关的随机变量。
总之，随机过程是一种抽象概念，它表示一个连续的或离散的时间点上发生的一系列事件或值的集合。
它有几个基本性质，可以用于模拟不确定性或不确定性的系统，它在工程领域有着广泛的应用，可以用于控制、分析、模拟等众多方面。
《随机过程》课件
f1(x1, t1)
F1(x1, t1) x1
4
● 随机过程 (t) 的二维分布函数：
F2 (x1, x2 ;t1,t2 , ) P (t1) x1, (t2 ) x2
● 随机过程 (t)的二维概率密度函数：
f2
(x1,
x2 ; t1, t2
)
2F2 (x1, x2;t1,t2 ) x1 x2
Dξ t Eξ 2 t 2atξ t a2 t
E[ξ 2 (t)] 2at Eξ t a2 (t)
E[ξ 2 (t)] a2 (t)
于
均
值
所以 a(t
，) 的方偏差离等程于x度2均f。1方(
x值,
t与)d均x值平[a方(t之)]差2
，
它
表
示
随
机
过
程
在
时
刻
t
对
均方值
均值平方
8
● 相关函数
在通信系统中所遇到的信号及噪声，大多数可视为平稳的随机过程。 因此，研究平稳随机过程有着很大的实际意义。
13
● 2.2 各态历经性 ● 问题的提出：我们知道，随机过程的数字特征（均值、相关函数）是对随 机过程的所有样本函数的统计平均，但在实际中常常很难测得大量的样本， 这样，我们自然会提出这样一个问题：能否从一次试验而得到的一个样本 函数x(t)来决定平稳过程的数字特征呢? ● 回答是肯定的。平稳过程在满足一定的条件下具有一个有趣而又非常有用 的特性，称为“各态历经性”（又称“遍历性”）。具有各态历经性的过 程，其数字特征（均为统计平均）完全可由随机过程中的任一实现的时间 平均值来代替。 ● 下面，我们来讨论各态历经性的条件。
R(t1,t2 ) E[ (t1) (t2 )]
随机过程知识点汇总
第一章 随机过程的基本概念与基本类型 一．随机变量及其分布1．随机变量X ， 分布函数)()(x X P x F ≤=离散型随机变量X 的概率分布用分布列 )(k k x X P p == 分布函数∑=kpx F )(连续型随机变量X 的概率分布用概率密度)(x f 分布函数⎰∞-=xdt t f x F )()(2．n 维随机变量),,,(21n X X X X =其联合分布函数),,,,(),,,()(221121n n n x X x X x X P x x x F x F ≤≤≤== 离散型 联合分布列 连续型 联合概率密度 ３．随机变量的数字特征数学期望：离散型随机变量X ∑=k k p x EX 连续型随机变量X ⎰∞∞-=dx x xf EX )(方差：222)()(EX EX EX X E DX -=-= 反映随机变量取值的离散程度 协方差（两个随机变量Y X ,）：EY EX XY E EY Y EX X E B XY ⋅-=--=)()])([( 相关系数（两个随机变量Y X ,）：DYDX B XY XY ⋅=ρ 若0=ρ，则称Y X ,不相关。
独立⇒不相关⇔0=ρ４．特征函数)()(itXeE t g = 离散 ∑=k itx p et g k)( 连续 ⎰∞∞-=dx x f e t g itx )()(重要性质：1)0(=g ，1)(≤t g ，)()(t g t g =-，kk k EX i g =)0( ５．常见随机变量的分布列或概率密度、期望、方差０－１分布 q X P p X P ====)0(,)1( p EX = pq DX = 二项分布 kn k k n q p C k X P -==)( np EX = n p qDX = 泊松分布 !)(k ek X P kλλ-== λ=EX λ=DX 均匀分布略正态分布),(2σa N 22)(21)(σσπa x ex f --=a EX = 2σ=DX指数分布 ⎩⎨⎧<≥=-0,00,)(x x e x f x λλ λ1=EX 21λ=DX６．Ｎ维正态随机变量),,,(21n X X X X =的联合概率密度),(~B a N X)}()(21exp{||)2(1),,,(121221a x B a x B x x x f T nn ---=-π),,,(21n a a a a =，),,,(21n x x x x =，n n ij b B ⨯=)(正定协方差阵二．随机过程的基本概念 １．随机过程的一般定义设),(P Ω是概率空间，T 是给定的参数集，若对每个T t ∈，都有一个随机变量X 与之对应，则称随机变量族{}T t e t X ∈),,(是),(P Ω上的随机过程。
随机过程新版
2 0
sin(0t
)
1
2
d
0
自有关函数为
R t1, t2 E[ (t1) (t2 )] E[sin0t1 sin0t2 ]
令t1＝t，t2＝t＋τ则
Rt,t E[sin0t sin0t 0 ]
2 0
sin0t
sin0t
0
1
2
d
1 2
cos 0
第3章 随机过程
可见，自有关函数与时间t无关，仅与τ有关。
第3章 随机过程
第3章 随机过程
随机过程 平稳随机过程 高斯随机过程 平稳随机过程经过线性系统 窄带随机过程 高斯白噪声和带限白噪声
第3章 随机过程
§3.1 随机过程旳基本概念
• 随机信号
信号旳某个或某几种参数不能预知或不能完全被预知， 这种具有随机性旳信号称为随机信号。
• 随机噪声
不能预测旳噪声统称为随机噪声。 从统计学旳观点看，随机信号和噪声统称为随机过程。
第3章 随机过程
原则正态分布 a＝0，σ＝1 其分布函数为φ(x)
f (x)
1
2
exp
x2 2
正态分布函数：
x
F(x)
1
2
exp[
(x a)2
2 2
]dx
(
x
Байду номын сангаас
a)
误差函数：
erf (x) 2 x ez2 dz
0
互补误差函数：erfc(x)=1-erf(x)=
2 ez2 dz
x
当x≤a时，erfc(x)＝2－2φ( 2 x)
1
(2 )n / 21 2 n
B 1/2
随机过程课件
随机过程课件随机过程课件随机过程是概率论与数理统计中的重要概念，它描述了随机变量随时间的演化规律。
在现代科学和工程领域，随机过程被广泛应用于信号处理、通信系统、金融市场等众多领域。
本文将介绍随机过程的基本概念、分类以及一些常见的应用。
一、随机过程的基本概念随机过程是一族随机变量的集合，它描述了随机变量随时间的变化。
在数学上，随机过程可以用函数的形式表示，即X(t)，其中t表示时间，X(t)表示在时间t时刻的随机变量。
随机过程可以分为离散时间和连续时间两种类型。
离散时间随机过程是指随机变量在离散时间点上的演化，例如抛硬币的结果、骰子的点数等。
连续时间随机过程是指随机变量在连续时间上的演化，例如股票价格的变动、电信号的传输等。
二、随机过程的分类根据随机过程的性质和演化规律，可以将其分为多种类型。
常见的分类包括马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。
1. 马尔可夫过程马尔可夫过程是指在给定当前状态下，未来的演化只与当前状态有关，与过去的状态无关。
马尔可夫过程具有“无记忆”的特性，常用于描述具有时序性质的问题，如排队系统、信道传输等。
2. 泊松过程泊松过程是一种用于描述随机事件的发生次数的随机过程。
它具有独立增量和无记忆性的特点，常用于描述到达率恒定的随机事件，如电话呼叫、交通流量等。
3. 布朗运动布朗运动是一种连续时间的随机过程，其演化规律由随机变量驱动。
布朗运动具有连续性、无界性和马尔可夫性等特点，广泛应用于金融市场、物理学等领域。
三、随机过程的应用随机过程在现代科学和工程领域有着广泛的应用。
以下列举几个常见的应用领域。
1. 信号处理随机过程在信号处理中起到了重要的作用。
通过对信号进行建模，可以利用随机过程的理论和方法对信号进行分析和处理，如图像压缩、语音识别等。
2. 通信系统随机过程在通信系统中也有着重要的应用。
通过对信道的建模，可以利用随机过程的理论来分析和优化通信系统的性能，如误码率分析、信道编码等。
运筹学_中南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年
运筹学_中南大学中国大学mooc课后章节答案期末考试题库2023年1.当原问题可行，对偶问题不可行时，常用的求解线性规划问题的方法是（）。
参考答案:单纯形法2.一旦一个人工变量在迭代中变为非基变量后，该变量及相应列的数字可以从单纯形表中删除，而不影响计算结果。
（）参考答案:正确3.在单纯形表中基变量对应的系数矩阵往往为单位矩阵。
（）参考答案:正确4.任一树中的边数和它的顶点数之间的关系式（）。
参考答案:顶点数是边数的两倍5.最小生成树的求解方法有（）。
参考答案:破圈法6.以同一节点为结束事项的各项作业最早结束时间相同。
参考答案:错误7.用对偶单纯形法求解线性规划时的最优性条件是参考答案:b列的数字非08.下列哪个决策原则被称为乐观主义原则（）。
参考答案:最大最大原则9.进行成本最小化决策时，悲观主义者的决策原则是（）。
参考答案:最大最小原则10.若原问题是一标准型，则对偶问题的最优解值就等于原问题最优表中松弛变量的（）参考答案:机会费用11.线性规划的图解法中，目标函数值的递增方向与（）有关参考答案:价值系数的正负12.对偶问题的目标函数总是与原问题目标函数相等。
参考答案:错误13.原问题约束条件右端值对应对偶问题目标函数中变量的系数。
参考答案:正确14.属于解决风险型决策问题的基本准则有最大可能准则、机会均等准则和期望收益最大准则。
参考答案:错误15.一个好的存贮策略，即可以使总费用最小，又可避免因缺货影响生产或者对顾客失去信用。
参考答案:正确16.某企业有10台运货车，已知每台车每运行100小时平均需维修两次，一个维修工，每次维修平均20分钟，到达时间和服务时间均服从负指数分布，该问题的排队模型为（）。
参考答案:（M/M/1）:（∞/∞/FCFS）17.运输问题中，当总供应量大于总需求量时，求解时需虚设一个（）地，此地的生产量或需求量为总供应量与总需求量之差。
参考答案:销地18.在动态规划建模中，设置状态和状态变量时，不仅要描述过程的具体特征，而且一个根本的要求是必须满足（）。
随机过程例题和知识点总结
随机过程例题和知识点总结随机过程是研究随机现象随时间演变的数学理论，在通信、金融、物理等众多领域都有广泛的应用。
接下来，我们通过一些例题来深入理解随机过程的相关知识点。
一、随机过程的基本概念随机过程可以看作是一族随机变量的集合，其中每个随机变量对应于一个特定的时间点。
例如，考虑一个在时间段0, T内的股票价格变化过程，对于每个时刻 t∈0, T，股票价格就是一个随机变量。
知识点 1：随机过程的分类随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
离散时间随机过程的时间参数是离散的，比如每天的股票收盘价；连续时间随机过程的时间参数是连续的，比如股票价格在任意时刻的取值。
知识点 2：随机过程的概率分布描述随机过程在不同时刻的概率分布是研究随机过程的重要内容。
对于离散随机过程，常用概率质量函数；对于连续随机过程，常用概率密度函数。
例题 1假设一个离散时间随机过程{Xn}，n ＝ 0, 1, 2, ，其中 Xn 取值为 0 或 1，且 P(Xn ＝ 0) ＝ 06，P(Xn ＝ 1) ＝ 04，求 X0 和 X1 的联合概率分布。
解：X0 和 X1 的可能取值组合有(0, 0)、（0, 1)、（1, 0)、（1, 1)。
P(X0 ＝ 0, X1 ＝ 0) ＝ P(X0 ＝ 0) × P(X1 ＝ 0) ＝ 06 × 06 ＝ 036P(X0 ＝ 0, X1 ＝ 1) ＝ P(X0 ＝ 0) × P(X1 ＝ 1) ＝ 06 × 04 ＝ 024P(X0 ＝ 1, X1 ＝ 0) ＝ P(X0 ＝ 1) × P(X1 ＝ 0) ＝ 04 × 06 ＝ 024P(X0 ＝ 1, X1 ＝ 1) ＝ P(X0 ＝ 1) × P(X1 ＝ 1) ＝ 04 × 04 ＝ 016二、随机过程的数字特征数字特征可以帮助我们更简洁地描述随机过程的某些重要性质。
《随机过程》课件
马尔可夫过程的定义与性质
马尔可夫过程是一种重要的随机过程，具有马尔可夫性质，即未来状态只与当前状态有关。本部分将详 细介绍马尔可夫过程的定义和特性。
马尔可夫过程的应用
马尔可夫过程在很多领域都有广泛的应用，如金融风险评估、自然语言处理和社交网络分析等。我们将 义与性质
《随机过程》PPT课件
随机过程是一个重要的数学概念，本课件将深入介绍随机过程的定义、分类 以及常见例子，帮助您全面理解随机过程的本质。
随机过程的定义与随机变量的区别
了解随机过程和随机变量的不同之处对于理解随机过程的基本概念至关重要，本部分将详细讨论它们的 区别及其意义。
随机过程的分类及常见例子
随机过程可以根据其性质和特征进行分类，例如马尔可夫过程、泊松过程、布朗运动等。我们将介绍每 种类型的定义和常见应用。
布朗运动在金融和物理领域的 应用
布朗运动在金融领域和物理领域有着广泛的应用，如金融市场模型和粒子扩 散模型。我们将介绍一些相关的应用场景。
随机过程在数据分析中的应用
频率分析
利用随机过程的特性进行频率域信号分析， 如功率谱估计和频谱分析。
信号处理
利用随机过程的随机性和噪声模型进行信号 处理和滤波。
泊松过程是一种重要的随机过程，具有独立增量和平稳增量的特性。本部分 将详细介绍泊松过程的定义以及其它一些重要的性质。
泊松过程的应用
泊松过程在很多实际问题中具有重要的应用，如事件发生的模拟、人流和交通流量的预测等。我们将分 享一些实际案例。
布朗运动的定义与性质
布朗运动是一种连续时间的随机过程，具有随机漂移和随机扩散的特性。本部分将详细探讨布朗运动的 定义和一些重要的性质。
时域分析
通过对随机过程的统计特性进行分析，如均 值、方差和自相关函数。
随机过程(超容易理解+配套例题).
t
K(t) H (t) 0 K(t s)dF(s)
其中H(t)，F(t)为已知，且当t<0时， H(t)， F(t)均为0，当H(t)在任何区间上有界时称 此方程为适定更新方程，简称更新方程。
设m(t)为更新函数，其导数称为更新密度，记为M(t)
m(t
)
F
t
t
0
m
t
s
dF
s
,
M (t)
f
t
t
0
Nt
X t Yi i1
称{X(t),t≥0}为复合泊松过程。
条件Poisson过程
1、定义：设 是一个正的随机变量，分布函数为G(x)，设N(t) 是一个计数过程，
在 的条件下， {N(t),t≥0}是参数为 的泊松过程，即对任意的 s, t≥0，有
PN t s N s n tn et
一个典型的更新过程的例子就是机器零件的更换。在0时刻，安装上一 个新零件并开始运行，当零件在X1时刻发生损坏，马上用一个新的来 替换（假设替换零件不需要时间），当第二个零件从X1时间开始运行， 到X2时间发生损坏时，我们马上换第三个零件….这些零件的使用寿命 是独立同分布的，那么到t时刻为止已经更换的零件数目就构成一个更 新过程。
解：
设 N (t)表示在时间t时到达的顾客数
P(N(0.5) 1, N(2.5) 5)
P(N(0.5) 1, N(2.5) N(0.5) 4)
P(N(0.5) 1)P(N(2) 4)
(4 0.5)1 e40.5 (4 2)4 e42
1!4!0.0来自55Poisson过程的推广
随机过程简介
1、实际背景： 在许多实际问题中,不仅需要对随机现象做 特定时间点上的一次观察,且需要做多次的 连续不断的观察,以观察研究对象随时间推 移的演变过程.
随机过程实验讲义
随机过程实验讲义刘继成华中科技大学数学与统计学院2011-2012年上半年为华中科技大学数学系本科生讲授随机过程课程参考资料前言 (1)第一章Matlab 简介 (2)第二章简单分布的模拟 (6)第三章基本随机过程 (9)第四章Markov过程 (12)第五章模拟的应用和例子 (16)附录各章的原程序 (51)参考文献 (75)若想检验数学模型是否反映客观现实，最自然的方法是比较由模型计算的理论概率和由客观试验得到的经验频率。
不幸的是，这两件事都往往是费时的、昂贵的、困难的，甚至是不可能的。
此时，计算机模拟在这两方面都可以派上用场：提供理论概率的数值估计与接近现实试验的模拟。
模拟的第一步自然是在计算机程序的算法中如何产生随机性。
程序语言，甚至计算器，都提供了“随机”生成[0，1]区间内连续数的方法。
因为每次运行程序常常生成相同的“随机数”，因此这些数被称为伪随机数。
尽管如此，对于多数的具体问题这样的随机数已经够用。
我们将假定计算机已经能够生成[0，1]上的均匀随机数。
也假定这些数是独立同分布的，尽管它们常常是周期的、相关的、……。
……本讲义的安排如下，第一章是Matlab简介，从实践动手角度了解并熟悉Matlab环境、命令、帮助等，这将方便于Matlab的初学者。
第二章是简单随机变量的模拟，只给出了常用的Matlab 模拟语句，没有堆砌同一种变量的多种模拟方法。
对于没有列举的随机变量的模拟，以及有特殊需求的读者应该由这些方法得到启发，或者参考更详细的其他文献资料。
第三章是基本随机过程的模拟。
主要是简单独立增量过程的模拟，多维的推广是直接的。
第四章是Markov过程的模拟。
包括服务系统，生灭过程、简单分支过程等。
第五章是这些模拟的应用。
例如，计算概率、估计积分、模拟现实、误差估计，以及减小方差技术，特别给读者提供了一些经典问题的模拟，通过这些问题的模拟将会更加牢固地掌握实际模拟的步骤。
平稳过程的模拟、以及利用平稳过程来预测的内容并没有包含在本讲义之内，但这丝毫不影响该内容的重要性，这也是将会增补进来的主要内容之一。
中南大学随机过程PPT学习教案
解 1)
F(x)
x
f (u)du
＝注P{PX0x{X112>ee11uu}}dd也uu1可－直12Fxe接1(1x，e)由u分d1u布(函11数121得ee出1x)，＝：
x 1
2x
0 e10
2
02
2
2) P{X 1} 1 e－xdx 1 e－1
12
2
第14页/共51页
53－15
2021/8/3
称 pij＝P{X＝xi,Y＝yj}，
53－27
边缘分布律、条件分布律
称 pi P{X xi } pij，i 1,2, j1
为R.V.X的边缘分 布律。称 pj P{Y yj} pij，j 1,2,
五、常见的随机变量及其分布
<0－1>分布(两点分布)
如果R.V.X的分布律为：
X 0 1 0<p<1， P P q p+q=1
则称R.V.X服从<0－1>分布，记为X～<0－1>分
布或X～B(0,1)。
一个随机试验仅有两种结果，A和A，定义随机
变量
{ 1，A出现
X
＝ 0，A出现
P(A)＝p，P(A)＝q＝1-p，即X～<0－1>分布。
f(x)
(x) 0, 其它
p2 p1
(x)dx 1
0 F(x)
x1
x2
xk pk
1, x 0 (x) 0, 其它
p2 p1
'(x) (x)
x1
x2
xk
第10页/共51页
53－11
例
2021/8/3
设R.V.X的分布律为：
X
中南大学随机过程第十章
当 0 1 p2j＝ (1-)j，, j0=0,1,12,…2 时 k
k 构 成 1一个 几何 概 率, k分布0,。1,2,
2020/4/18
胡朝明
46－19
结论
在统计平衡的条件下(<1)，
平均队长
N
E(N)
j0
jp j
j0
j(1 )j
,
1
1
等待队长的分布
P{Nq
j}
p0 p1 , pj1 ,
❖ Mr/M/1/：顾客以每批为固定的r个成批到达，批与批的到达间 隔时间独立、服从负指数分布，服务时间独立、服从负指数分布， 有1个服务台，容量为无穷的等待制系统
❖ MX/Mr/1/：顾客成批到达，每批到达的数量X是具有某个离散 型概率分布律的随机变量，批与批的到达间隔时间独立、服从负 指数分布；顾客成批服务、每批为r个顾客，且服务时间独立、 服从负指数分布；有1个服务台；容量为无穷的等待制系统
2020/4/18
胡朝明
46－9
服务机构
A. 服务台的数目
在多个服务台的情况下，是串联或是并联
B. 顾客所需的服务时间服从什么概率分布， 每个顾客所需的服务时间是否相互独立， 是成批服务或是单个服务
2020/4/18
胡朝明
46－10
经典排队系统的符号表示方法
一个排队系统是由许多条件决定的， 为简明起见，在经典的排队系统中，常 采用3～5个英文字母表示一个排队系统， 字母之间用斜线隔开：
❖ 顾客所需的服务时间序列{n,n1}独立、服从参 数为(>0)的负指数分布G(t)＝1-e-t，t0；
❖ 系统中只有一个服务台；
❖ 容量为无穷大，而且到达过程与服务过程彼此
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即
tl im p i(jt)j, j E
存在且与i无关，并且极限分布{j,jE}是唯一的平稳
分布： j 0 ,
j 1 , j ip i( jt) 。
5. 对固定的i,j，函数j E pij(t)是t>0的一i E 致连续函数。
6. 满足连续性条件的连续参数齐次马氏链{X(t),t0}存
在下列极限
2020/5/30
计算机科学与工程学院 顾小丰
37－6
绝对分布、遍历性、平稳分布
设{X(t),t0}为连续参数齐次马氏链 1) pj＝P{X(0)=j}，jE，称{pj,jE}为该马氏链的初始分
布； 2) Pj(t)＝P{X(t)=j}，jE，称{pj(t),jE}为该马氏链的绝
对分布； 3) i如无果关转则移称概此率连极续限参存数在齐，次tl i 马m p 氏i(jt链) 为 遍j 历0,的i,马j 氏E链，，且此与
P(s,t)＝(pij(s,t))i,jE 为此马氏链的转移矩阵。
这里，pij(s,t)的直观意义是：系统(或质点)在 时刻s时处于状态i，再经过t时间转到状态j的条
件概率。
2020/5/30
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37－5
连续参数齐次马氏链
若{X(t),t0}为连续参数马氏链的转移概率pij(s,t)与 时间起点s无关，即
j E,ji
8. 设{X(t),t0}为连续参数齐次马氏链，当qi<+， qij
＝qi 时，满足柯尔莫哥洛夫后退微分方程
jE , j i
ddip j(tt)qipij(t)kE,k q iikpk(jt)
即
P’(t)＝QP(t)
9.
设{X(t),t0}为连续参数齐次马氏链,当qi<+, ＝qri 时，则有柯尔莫哥洛夫前进微分方程
时，我们说该链具有遍历性。
4) 若j>0，j 1 ，则称{j,jE}为齐次马氏链{X(t),t0}
的极限分j布E 。
5)
如果{vj,jE}满足
vj vj
0,
jE
v
iE
vj ip ij
(t
1 )
则称{vj，jE}为齐次马氏链{X(t),t0}的平稳分布。
2020/5/30
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设随机过程{X(t),t0}，状态空间E={0,1,2, …}。若对于0<t1<t2<…<tn<tn+1及非负整数i1,i2, …in,in+1，有 P{X(tn+1)＝in+1|X(t1)=i1,X(t2)=i2,…,X(tn)=in} ＝P{X(tn+1)＝in+1|X(tn)=in} 即马尔可夫性成立，则称{X(t),t0}为连续参数马
Q-矩阵。
由连续性条件和导数的定义，显然有
p'i j(0)qqi ji,i,
i j i j
பைடு நூலகம்
即
P’(+0)＝Q。
2020/5/30
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37－10
转移概率函数的性质(续2)
7. 设齐次马氏链{X(t),t0}，状态空间E={0,1,2,…,s}，其
转移速度
qij0, qii qij
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37－9
状态转移速度矩阵
设连续参数齐次马氏链{X(t),t0}，状态空间
E={0,1,2,…,s}，下面s+1阶方阵：
q00 q01 q02
q10 q11 q12
Q
q2 0
q21 q22
qs0
qs1
qs2
q0s
q1s
q2s
qss
称为齐次马氏链{X(t),t0}的状态转移速度矩阵，简称
如果齐次马氏链{X(t),t0}是遍历马氏链，则
t l ip m j(t) t l ip m i( jt) j, j E
2020/5/30
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37－8
转移概率函数的性质(续1)
4. 设齐次马氏链{X(t),t0}的状态有限，E={0,1,2,…,
s}，如果存在t0>0，使得对任意i,jE，都有pij(t0)> 0，则此齐次马氏链{X(t),t0}为遍历的齐次马氏链。
随机过程与排队论
数学科学与计算技术学院 胡朝明
Email：math_ 2020/5/30
上一讲内容回顾
➢ 齐次马氏链状态的分类
• 互通 首达 • 常返与非常返 • 正常返与零常返 • 状态空间分解 • 不可约马氏链 • 状态的周期性
2020/5/30
计算机科学与工程学院 顾小丰
37－2
本讲主要内容
➢ 连续参数马尔可夫链
• 转移概率函数、转移矩阵 • 连续参数齐次马氏链 • 初始分布、绝对分布、遍历
性、平稳分布
• 转移概率函数的性质 • 状态转移速度矩阵
➢ 生灭过程
2020/5/30
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37－3
§3.4 连续参数马尔可夫链
类似离散参数马氏链，只是把离散的时间参数 改为连续的时间参数，便可得到类似的结果。
尔可夫链。
2020/5/30
计算机科学与工程学院 顾小丰
37－4
转移概率函数
设{X(t),t0}为连续参数马氏链，对任意i,jE
＝{0,1,2,…}，任意非负实数s,t，条件概率
pij(s,t)＝P{X(t+s)=j|X(s)=i} 称为此马氏链{X(t),t0}的转移概率函数，显然
我们称
0pi(js,t)1, pi(js,t)1 j E
pij(s,t)＝P{X(s+t)=j|X(s)=i}＝pij(t) 则称{X(t),t0}为连续参数齐次马氏链。
类似地，
P(t)＝(pij(t))i,jE 称为此齐次马氏链的转移矩阵。
0pij(t)1， pij(t) 1。 jE
一般地，我们要求齐次马氏链的转移概率函数满足如 下的连续性条件：
1, ij tl i0m pij(t)ij0, ij
( 1 )t l 0 i1 m p t i( t i) q i iq i, ( 2 )t l 0 ip im t ( t j) q i,ji j
其中qi表示在时刻t时通过状态i的通过速度(或通过强 度)；qij表示时刻t时从状态i转移到状态j的速度(或强 度)，qij统称转移速度。
2020/5/30
37－7
转移概率函数的性质
1. 0pij(t)1，i,jE；pij(t) 1。 jE
1, ij 连续性条件：pij(0)ij0, ij 2. pij(t)满足C-K方程
pij(ts) pir(t)pr(js) r E
矩阵形式: P(t+s)＝P(t)P(s)
3. 绝对概率满足
pj(t) pipij(t) iE