2019～2020学年第二学期高三期初考试数学试题与答案

2019～2020学年第二学期高三期初考试数学Ⅰ正棱锥的侧面积公式：S 正棱锥侧＝12ch ′，其中c 是正棱锥底面的周长，h ′为斜高．锥体的体积公式：V 锥体＝13Sh ，其中S 是底面面积，h 为高．一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．1．已知全集{}1,0,1,2,3U =-，集合{}1,0,1A =-，则U A ð＝ ▲ ． 【答案】{}2,32． 复数3i i +（i 是虚数单位）的虚部为 ▲ ．【答案】－33． 某高级中学高一、高二、高三年级的学生人数分别为1100人、1000人、900人，为了解不同年级学生的视力情况，现用分层抽样的方法抽取了容量为30的样本，则高三年级应抽取的学生人数为 ▲ ．【答案】94． 右图是一个算法的伪代码，其输出的结果为 ▲ ．【答案】25 5． 函数()22log 43y x x =+-的定义域为 ▲ ．【答案】()1,4-6． 劳动最光荣．某班在一次劳动教育实践活动中，准备从3名男生和2名女生中任选2名学生去擦教室玻璃，则恰好选中2名男生的概率为 ▲ ． 【答案】3107． 已知抛物线y 2=8x 的焦点恰好是双曲线()22102y x a a -=>的右焦点，则该双曲线的离心率为 ▲ ． 【答案】 28． 已知等差数列{}n a 的前n 项和为S n ，若366,8S S ==-，则9S = ▲ ． 【答案】－429． 已知α是第二象限角，且sin α=，()tan 2αβ+=-，则tan β= ▲ ． 【答案】34-10．在平面直角坐标系xOy 中，已知A ，B 两点在圆x 2＋y 2＝1上，若直线0x y +=上存在点C ，使△ABC 是边长为1的等边三角形，则点C 的横坐标是 ▲ ． 【答案11．设m 为实数，若函数f (x )＝x 2－mx －2在区间()2-∞，上是减函数，对任意的x 1，x 2∈112m ⎡⎤+⎢⎥⎣⎦，，总有12()()4f x f x -≤，则m 的取值范围为 ▲ ． 【答案】[]46，12．如图所示，在△ABC 中，AB ＝AC ＝2，AD DC =u u u r u u u r ，2DE EB =u u u r u u u r，AE 的延长线交BC 边于点F ，若45AF BC ⋅=-u u u r u u u r ，则AE AC ⋅=u u u r u u u r ▲ ．【答案】229（第12题）AD13．若实数y x ,满足：y x <<0，则yx xx y y +--22的最小值为 ▲ ．【答案14．若函数2|ln |,0,()1,0x a x x f x x ax x -->⎧⎪=⎨++⎪⎩≤恰有3个不同的零点，则a 的取值范围是 ▲ ．【答案】(,1)(2,)-∞-+∞U【解】（1）当0e a x <≤时，()ln f x x x a =--+，因为)(x f 递减，()0a a f e e =-<，0→x 时，+∞→)(x f ，所以)(x f 在],0(ae-有1个零点；当a x e >时，()ln f x x x a =-+-，因为xxx f -='1)(， ①1a e ≥，即0a ≥时，)(x f 在(,)a e +∞上递减，所以()()0a a f x f e e <=-<，即)(x f 在(,)a e +∞没有零点；②1a e <，即0a <时，)(x f 在(,1)a e 上递增，在),1(+∞上递减，因为()0a a f e e =-<，(1)1f a =--，所以10a -<<时，)(x f 在(,)a e +∞没有零点；1a =-时，)(x f 在(,)a e +∞有1个零点；1a <-时，)(x f 在(,)a e +∞有2个不同的零点．（2）当0≤x 时，2()1f x x ax =++，当2a <时，)(x f 在]0,(-∞上没有零点；当2a =时，)(x f 在]0,(-∞有1个零点；2a >时，)(x f 在]0,(-∞有2个不同的零点．综上，当1a <-或2a >时)(x f 恰有三个不同的零点．二、解答题：本大题共6小题，共90分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．(本小题满分14分)如图，在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中，AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊥DB ．求证： （1）BC ∥平面ADD 1A 1；（2）平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．【证】（1）因为AD ∥平面BCC 1B 1，AD ⊂平面ABCD ，平面BCC 1B 1∩平面ABCD ＝BC ，所以AD ∥BC ． ……………4分又因为BC ⊄平面ADD 1A 1，AD ⊂平面ADD 1A 1， 所以BC ∥平面ADD 1A 1．……………6分（2）由（1）知AD ∥BC ，因为AD ⊥DB ，所以BC ⊥DB ，……………8分在直四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1中DD 1⊥平面ABCD ，BC ⊂底面ABCD ， 所以DD 1⊥BC ，……………10分又因为DD 1⊂平面BDD 1B 1，DB ⊂平面BDD 1B 1，DD 1∩DB ＝D ， 所以BC ⊥平面BDD 1B 1，……………12分 因为BC ⊂平面BCC 1B 1，所以平面BCC 1B 1⊥平面BDD 1B 1．……………14分16．(本小题满分14分)已知△ABC 的内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin B ＝b sin2A ． （1）求角A ；（2）若a ＝5，△ABC的面积为ABC 的周长．【解】（1）由a sin B ＝b sin2A 及正弦定理，得sin A sin B ＝2sin B sin A cos A ，…………2分因为sin A ＞0，sin B ＞0，所以1cos 2A =， …………4分又()0,πA ∈，所以π3A =． …………7分（2）由△ABC的面积为1sin 2bc A =又π3A =，所以8bc =． …………9分(第15题)BACDD 1B 1A 1C 1在△ABC 中，由余弦定理，得2222cos b c bc A a +-=， 因为a ＝5，所以2233b c +=，所以()249b c +=， …………12分 所以12a b c ++=，即△ABC 的周长为12． …………14分17．(本小题满分14分)如图1，已知正方形铁片A B C D ''''边长为2a 米，四边中点分别为E ，F ，G ，H ，沿着虚线剪去大正方形的四个角，剩余为四个全等的等腰三角形和一个正方形ABCD （两个正方形中心重合且四边相互平行），沿正方形ABCD 的四边折起，使E ，F ，G ，H 四点重合，记为P 点，如图2，恰好能做成一个正四棱锥（粘贴损耗不计），PO ⊥底面ABCD ，O 为正四棱锥底面中心，设正方形ABCD 的边长为2x 米． （1）若正四棱锥的棱长都相等，求所围成的正四棱锥的全面积S ； （2）请写出正四棱锥的体积V 关于x 的函数，并求V 的最大值．【解】在图1中连接OH 交BC 于点H ′，因为正方形ABCD 边长为2x ，所以HH ′＝a －x . 在图2中，OH ′＝x ，PH ′＝a －x ， 由勾股定理得，正四棱锥的高2分（1F A'（第17题图1）（第17题图2）6分 所以，正四棱锥的全面积4SBC ABCD S S S ∆=+正方形8分10分 则234()410f x a x ax '=-32(25)ax a x =-，…………12分()20,5a x ∈时，()0f x '>，()f x 在区间()20,5a 上递增；当()2,52a a x ∈时，()0f x '<，()fx 在区间()2,52a a 上递减．()f x取得最大值，此时3max 2()5a V V =立方米． (14)分答：（1时，V 取最大值为33m ． 18．(本小题满分16分)已知椭圆221193y x C +=：，椭圆()2222210y x C a b a b+=>>：经过椭圆C 1的左焦点F 和上FD下顶点A ，B ．设斜率为k 的直线l 与椭圆C 2相切，且与椭圆C 1交于P ，Q 两点． （1）求椭圆C 2的方程；（2）①若4OP OQ ⋅=u u u r u u u r，求k 的值；②求PQ 弦长最大时k 的值．【解】（1）由题意可知，椭圆C 1的左焦点(0)F ，上下顶点(0,A，(0,B ，…………2分所以椭圆C 2的左顶点为(0)F，上下顶点(0,A，(0,B ，所以a =b =所以椭圆C 2的方程为22163y x +=．…………4分（2）设直线l 的方程为y kx m =+与椭圆C 2：22163y x +=方程联立，消去y 得，()222124260k xkmx m +++-=，因为直线l 与椭圆2C 相切，所以()()2222216412260k m k m ∆=-+-=， 整理得，22630k m +-=， （★）…………6分直线l 与椭圆C 1的方程联立得，()222136390k x kmx m +++-=， 其中()()2222213641339360k m k m k ∆=-+-=>． 设11(,)P x y ，22(,)Q x y ，则22121222263918,131313km m k x x x x k k k -+=-==+++．…………8分 ①因为4OP OQ ⋅=u u u r u u u r，所以12124x x y y +=，即12121212()()x x y y x x kx m kx m +=+++221212(1)()k x x km x x m =++++222222218(1)61313k k k m m k k+=-+++ 22153413k k+==+，所以k = …………12分②由①知12PQ x -==， …………14分 设2131k t +=>，则PQ ==． 所以当1k =±时，PQ 16分 19．(本小题满分16分)已知函数22e ()2x f x x mx=++，其中0m <≤e 为自然对数的底数． （1）当0m =时，求()f x 在0x =处的切线方程； （2）求函数()f x 的单调区间；（3）若存在12,x x (12x x ≠)，使得12()()0f x f x ''==，证明：12()()1f x f x ⋅>． 【解】因为0m <≤220x mx ++>对x ∈R 恒成立，所以()f x 定义域为R ，且()2222e (2)(2)()2x x m x m f x xmx ⎡⎤+-+-⎣⎦'=++，…………2分（1）当0m =时，(0)1f =，()()2222e 22()2x x x f x x-+'=+，所以(0)1f '=，所以()f x 在0x =处的切线方程为：10x y -+=．…………4分 （2）令()0f x '=得，2(2)(2)0x m x m +-+-=， （※）①当2(2)4(2)(2)(2)0m m m m ∆=---=+-≤，即22m -≤≤时，又0m <≤ 所以02m ≤≤时，()0f x '≥，()f x 在(,)-∞+∞上单调递增；…………6分 ②当0∆>，解得2m <-或2m >，又0m <≤2m <<由方程（※）解得，1x =，2x =， 当12(,)(,)x x x ∈-∞+∞U 时，()0f x '>，()f x 的递增区间是12(,),(,)x x -∞+∞； 当12(,)x x x ∈时，()0f x '<，()f x 的递减区间是12(,)x x ．综上，当02m ≤≤时，()f x 的递增区间是(,)-∞+∞，无递减区间；当2m <<()f x的递增区间是(-∞和)+∞，递减区间是．…………9分（3）由（2）知，2m <<12122x x x x m +==-，所以12122211222e 2e ()()22x x f x f x x mx x mx ⋅=⋅++++， 因为2(2)2i i x m x m =-+-，1,2i =，代入上式得1212122e 2e()()22x x f x f x x m x m ⋅=⋅++12124e (2)(2)x x x m x m +=++ 12212124e 42()x x x x m x x m +=+++22224e 4e 8e (8)m mm m -==--，…………12分 令224()(8)x e g x e x =-，2x << 则()()22222224e (28)4e (4)(2)()0e 8e 8xxx x x x g x xx+-+-'==>--，所以()g x 在(2,上单调递增，所以()(2)1g x g >=，即证得12()()1f x f x ⋅>．…………16分20．(本小题满分16分)已知数列{}n a 和2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭都是等差数列，11a =．数列{}n b 满足11122n n i n i i a b n ++-==--∑．（1）求{}n a 的通项公式； （2）证明：{}n b 是等比数列；（3）是否存在首项为1，公比为q 的等比数列{}n c ，使得对任意,2n n ∈*N ≥，都有1n n n a c b -≤≤成立？若存在，求出q 的取值范围；若不存在，请说明理由．【解】（1）因为数列{}n a 是等差数列，设{}n a 的公差为d ，则1(1)(1)n a n d dn d =+-=+-，n *∈N ，…………………………………2分因为2n a n ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列，所以222321,,23a a a 成等差数列，即222321223a a a ⨯=+，221(1)1(12)3d d +=++，解得1d =，当1d =时，n a n =，此时22na n n n n==是等差数列.故n a n =．……………………………………………………………4分（2）由11122nn i n i i a b n ++-==--∑，即11212(1)22n n n b b n b nb n +-+++-+=--L ， ①所以21212(1)23n n n b b nb n b n +++++++=--L ， ②②-①得，112121n n n b b b b ++++++=-L ， ③………………6分 所以，2212121n n n b b b b +++++++=-L ， ④④-③得，122n n b ++=，即3n ≥时，12n n b -=， ………………8分在①中分别令12n =，得，121,2b b ==，也适合上式， 所以12n n b -=，n *∈N ， 因为21=+nn b b 是常数，所以}{n b 是等比数列． ………………10分 （3）设存在1-=n n q c 对任意,2n n *∈N ≥，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，即1112n n n q ---≤≤，,2n n *∈N ≥，显然1q >，由112n n q --≤可知，12q <≤， ………………12分 由11n n q --≤得，ln(1)ln 1n q n --≥，,2n n *∈N ≥. 设ln (),1x f x x x =≥，因为21ln ()x f x x-'=， 所以当(1,e)x ∈时，()0f x '>，()f x 递增；当(e,)x ∈+∞时，()0f x '<，()f x 递减. ………………14分 因为ln 2ln 3(2)(3)23f f =<=，所以ln 3ln 3q ≥，解得q ，综上可得，存在等比数列{}n c ，使得对任意N ,2n n *∈≥，都有1n n n a c b -≤≤恒成立，其中公比q 的取值范围是. ………………16分2019～2020学年第二学期高三期初考试数学Ⅱ（附加题）21．【选做题】本题包括A 、B 、C 三小题，请选定其中两题，并在相应的答题区域内作答．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．若多做，则按作答的前两题评分．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤． A ．选修4—2：矩阵与变换 （本小题满分10分）已知矩阵00a b ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦M 的一个特征值λ＝2，其对应的一个特征向量是11⎡⎤=⎢⎥⎣⎦α．求矩阵M 的另一个特征值以及它的逆矩阵．【解】由题意，λ＝2是矩阵M 的一个特征值，所以2=M αα，所以0112011a b ⎡⎤⎡⎤⎡⎤=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦，………………2分 所以2a b ==，………………4分 由方程22()402f λλλλ-==-=-．所以2λ=或2λ=-，所以M 的另一个特征值－2．………………6分 又因为02240-⨯=-≠，所以矩阵M 的逆矩阵为1102102M -⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦．………………………10分B ．选修4—4：极坐标与参数方程（本小题满分10分）在平面直角坐标系xOy 中，直线lt 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C 的极坐标方程为4cos 0ρθ-=．若直线l 与曲线C 交于A ，B 两点，求线段AB 的长．【解】解法一：直线l的普通方程为1x =+，………………3分由4cos 0ρθ-=，即24cos 0ρρθ-=，化为直角坐标方程即22(2)4x y -+=，………………6分由圆心到直线的距离得到12d ==，………………8分所以AB ===10分解法二：把直线l 的参数方程代入曲线C 的直角坐标方程得到221(12)()42t +-+=，即230t -=，………………3分所以1212t t t t +=⋅=6分所以12||||AB t t =-==10分 C ．选修4—5：不等式选讲（本小题满分10分）已知()123,,0,x x x ∈+∞，且满足1231233x x x x x x ++=，证明：1223313x x x x x x ++≥． 【证】因为()123,,0,x x x ∈+∞，1231233x x x x x x ++=，所以2331121113x x x x x x ++=，…………………3分又⋅++)(133221x x x x x x 2233112111(111)9x x x x x x ⎛⎫++++= ⎪⎝⎭≥，…………………8分所以1223313x x x x x x ++≥，当且仅当1231x x x ===时取等号．………………10分【必做题】第22、23题，每小题10分，共计20分．请在答题卡指定区域．．．．．．．内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．22．（本小题满分10分）在开展学习强国的活动中，某校高三数学教师成立了党员和非党员两个学习组，其中党员学习组有4名男教师、1名女教师，非党员学习组有2名男教师、2名女教师，高三数学组计划从两个学习组中随机各选2名教师参加学校的挑战答题比赛． （1）求选出的4名选手中恰好有一名女教师的选派方法数；（2）记X 为选出的4名选手中女教师的人数，求X 的概率分布和数学期望．【解】（1）选出的4名选手中恰好有一名女生的选派方法数为11221141242228C C C C C C +=种. ……………………………4分（2）X 的可能取值为0，1，2，3．224222541(0)10C CP X C C ===， 11221141242222547(1)15C C C C C C P X C C +===， 111122412242225411(2)30C C C C C C P X C C +===， 124222541(3)15C CP X C C ===．故X 的概率分布为：X 0 1 2 3 P1107151130115……………………………8分所以7()5E x =． ……………………………10分23．（本小题满分10分）对于给定正整数n ，设nnnx a x a x a a x ++++=-Λ2210)1(，记01nn kk S a ==∑．（1）计算1234S S S S ，，，的值； （2）求n S ．【解】（1）0111111101=-=+=a a S ；231121*********=+-=++=a a a S ；011313111111132103=-+-=+++=a a a a S ；35114161411111111432104=+-+-=++++=a a a a a S ． …………………4分（2）由二项式定理得，(1),,k kk na k n k =-∈C N ≤， 因为!()!1!C k nk n k n -=)!1(])!(!)][1()1[(21+-+++-⋅++=n k n k k k n n n )!1()!()!1()!1(!21+-+++-⋅++=n k n k k n k n n⎥⎦⎤⎢⎣⎡+-++++-⋅++=)!1()!()!1()!1()!1(!21n k n k n k n k n n ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⋅++=+++111C 1C 121k n k n n n ，…………………8分 所以∑==nk kn a S 01011211111111111111(1)2C C C C C C n n n n n n n n n n n +++++++⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅+-+++-+⎢⎥ ⎪ ⎪ ⎪+⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦L 0111111(1)2C C n n n n n n +++⎛⎫+=⋅+- ⎪+⎝⎭()n n n )1(121-+⋅++=． …………………10分 （或写成是偶数是奇数n n n n S n ⎪⎩⎪⎨⎧++=,222,0）。