微分方程例题选解
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微分方程例题选解
1. 求解微分方程3ln (ln )0,|2
x e x xdy y x dx y =+-==。 解：原方程化为
x y x x dx dy 1ln 1=+， 通解为 ⎰+⎰
⎰=-]1[ln 1ln 1C dx e x
e y dx x x dx x x
⎰+=]ln [ln 1C dx x x x ]ln 21[ln 12C x x += 由e x =，23=y ，得1=C ，所求特解为 11
ln ln 2
y x x =
+。
2. 求解微分方程22'0x y xy y -+=。
解：令ux y =，u x u y '+='，原方程化为 2
u u u x u -='+，
分离变量得 dx x u
du 1
2
=-， 积分得
C x u
+=ln 1
， 原方程的通解为 ln x
y x C
=
+。
3. 求解微分方程dy y y x dx xy x )()(3223+=-。
解：此题为全微分方程。下面利用“凑微分”的方法求解。 原方程化为 03
2
2
3
=---dy y ydy x dx xy dx x ， 由 dy y ydy x dx xy dx x 3
2
2
3
---
42222441
)(2141dy dy x dx y dx -+-=
)2(41
4224y y x x d --=， 得 0)2(4
224=--y y x x d ，
原方程的通解为 C y y x x =--4
2
2
4
2。 注：此题也为齐次方程。
4. 求解微分方程2''1(')y y =+。 解：设y p '=，则dx dp y =''，原方程化为
21p dx
dp
+=， 分离变量得
dx p dp
=+2
1，积分得 1arctan C x p +=，
于是 )tan(1C x p y +=='， 积分得通解为 12ln cos()y x C C =-++。
5. 求解微分方程''2'20y y y -+=。
解：特征方程为 0222
=--r r ，特征根为 i r ±=1，
通解为12(cos sin )x
y e C x C x =+。
6. 求解微分方程2'''(21)x y y x e -=+。
解：对应齐次方程的特征方程为02
=-r r ，特征根为01=r ，12=r ， 齐次通解为 x e C C Y 21+=。
可设待定特解 x e b ax y 2)(*+=，代入原方程得 12)(23+=++x b ax a ，
比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x y 2)1(*-=， 原方程的通解为 212(1)x x y C C e x e =++-。
7. 求解微分方程''4x y y xe -=。
解：对应齐次方程的特征方程为012
=-r ，特征根为11=r ，12-=r ， 齐次通解为 x x e C e C Y -+=21。
可设待定特解 x e b ax x y )(*+=，代入原方程得 x b ax a 4)2(22=++，
比较系数得 1=a ，1-=b ，从而x e x x y )(*2-=， 原方程的通解为 212()x x x y C e C e x x e -=++-。
8. 求解微分方程3''6'9(62)x y y y e x -+=+。
解：对应齐次方程的特征方程为0962=+-r r ，特征根为321==r r ， 齐次通解为 x e x C C Y 321)(+=。
可设待定特解 x e b ax x y 32)(*+=，代入原方程得 2626+=+x b ax ，
比较系数得 1=a ，1=b ，从而x
e x x y 323)(*+=，
原方程的通解为 332312()()x x
y C C x e x x e =+++。
9. 利用“凑微分”的方法求解微分方程0)cos ()sin (=++++dy y x dx y y xy 。 解： 由 dy y x dx y y xy )cos ()sin (++++
ydy xdy ydx ydx xydx cos sin ++++=
y d xdy ydx ydx xydx sin )(sin ++++=
)sin ()sin (y xy d dx y xy +++=，
原方程化为
dx y
xy y xy d -=++sin )
sin (， 积分得 C x y xy ln )sin ln(+-=+，
从而通解为 x
Ce y xy -=+sin 。
10. 选择适当的变量代换求解微分方程x y x y y x tan )1(2
2-+='+。
解：设22y x u +=
，则u
y y x u '
+=
'，原方程化为 x u u u tan )1(-='， 分离变量得 xdx du u tan )1
1
1(=-+
， 积分得 C x u u +-=-+c o s
ln )1ln(，