第13章《整式的乘除》常考题集(04)：131+幂的运算
专题04 整式的乘除(原卷版)
专题04整式的乘除【热考题型】【知识要点】知识点一幂的运算同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
nm n m a a a +=·（其中m、n 为正整数）【注意事项】1）当底数为负数时,先用同底数幂乘法法则计算，再根据指数的奇偶来确定结果的正负，并且化简到底。
2）不能疏忽指数为1的情况。
例：a·a 2＝a 1＋2＝a 33）乘数a 可能是有理数、单项式或多项式。
4）如果底数互为相反数时可先变成同底后再运算。
5）逆用公式：n m n m a a a ·=+（m,n 都是正整数）【扩展】三个或三个以上同底数幂相乘时，也具有这一性质，即pn m p n m a a a a ++=··（m，n，p 都是正整数）考查题型一同底数幂的乘法典例1．（2022·浙江嘉兴·中考真题）计算a 2·a （）A．aB．3aC．2a2D．a3变式1-1．（2022·河南·中考真题）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，则1兆等于（）A．810B．1210C．1610D．2410变式1-2．（2022·内蒙古包头·中考真题）若42222m ⨯=，则m 的值为（）A．8B．6C．5D．2变式1-3．（2022·湖南邵阳·中考真题）5月29日腾讯新闻报道，2022年第一季度，湖南全省地区生产总值约为11000亿元，11000亿用科学记数法可表示为1210a ⨯，则a 的值是（）A．0.11B．1.1C．11D．11000易错点总结：幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘.mnnm a a =)((其中m，n 都是正整数).【注意事项】1）负号在括号内时,偶次方结果为正,奇次方为负,负号在括号外结果都为负。
整式的乘除运算章节总结及练习题
整式的乘除运算章节总结及练习题
一、章节概述
整式的乘除运算章节是建立在七年级上册学习了整式及整式加减运算的基础之上，包含了幂的运算，整式的乘除运算、乘法公式以及简单应用等模块的内容，本章节以基础运算为主，在整式的综合运算中还会涉及到同类项及合并同类项等相关知识点。
二、知识点梳理
经过总结和整理，将本章节的额知识点进行分类，得到十五个考点：
1、同底数幂的乘法，
2、幂的乘方
3、积的幂
4，同底数幂的除法
5、零指数幂
6、负指数幂
7、科学计数法
8、单项式乘以单项式
9、单项式乘以多项式
10、多项式乘以多项式
11、单项式除以单项式
12、多项式除以单项式
13、平方差公式
14、完全平方公式
15、整式综合运算及化简求值
具体知识点如下：
掌握基础知识点、基本概念和公式及基础运算方法是学习的第一步，
对于公式的学习不能仅仅局限于记住，需要理解其运算要点和细节，能灵
活应用才是关键。
三、过关检测
学的好不好，做题便知道，数学的学习需要做题，一是通过做题可以
加深对知识点的理解和运用能力，二是通过做题可以发现我们存在的问题，及时查漏补缺。
话不多说，奉上一套经典练习题：。
整式的乘除考点(题型)归纳
整式的乘除学习目标：1、熟练运用幂的运算法则，发展抽象概括能力和符号感。
2、能熟练的用科学记数法表示绝对值小于1的非零数。
3、理解整式乘法的算法，会进行简单的整式乘法的运算。
进一步发展观察、归纳、类比、概括的能力，发展有条理的思维和语言表达能力。
4、熟练掌握完全平方公式、平方差公式，为初中后续的学习打好基础。
重点：整式的运算法则 难点：整式的运算法则的应用知识网络：同底数幂的乘法 同底数幂的除法 零指数幂的意义负整数指数幂意义积的乘方幂的乘方单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 多项式与多项式相乘 完全平方公式平方差公式形式考点一：同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方 【知识归纳】同底数幂相乘：同底数的幂相乘，底数不变，指数相加． 用式子表示为：m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）．【考情分析】【典型例题】例1.1（☆） 计算：m 2•m 3= ．例1.2（☆） 若3m a =，2n a =，则23m n a +=______________．【过关训练】1.1（☆） 已知35m =，910n =，则23n m -=______．1.2（☆）若2530x y +-=，求432x y .1.3（☆） 计算242a a ⋅=（ ） A ． 82a B ． 62a C ． 23a D ． 33a考点二：幂的乘方 【知识归纳】幂的乘方：幂的乘方，底数不变，指数相乘． 用式子表示为：()nm mn a a =（,m n 都是正整数）【考情分析】一般和同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方结合起来考，一般为一道选择题（3分）。
【典型例题】例1（☆） 计算（﹣a 3）2结果正确的是（ ） A ． a 5B ． ﹣a 5C ． ﹣a 6D ． a 6例2 （☆） 已知,,m nx a x b ==则32m n x +可以表示为（ ） A ． 32a b + B ． 32a b - C ． 32a b + D ． 32a b例3 （☆☆） 已知128x y +=，993y x -=，则1132x y +的值为______________．例4 （☆☆） 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小关系．【过关训练】1 （☆☆） 比较503，404，305的大小.2 （☆☆）计算22x y ⎛⎫- ⎪⎝⎭的结果为（ ）A ． 42x yB ． 42x y -C ． 4x y -D ． 4x y3 （☆☆）已知22n a =，求3222(2)3()n n a a -的值.4 （☆☆）已知232122192x x ++-=，求x .考点三：积的乘方 【知识归纳】积的乘方：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 用式子表示为：()nn n ab a b =（n 是正整数）． 【考情分析】一般和同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方结合起来考，一般为一道选择题（3分）。
整式的乘除复习试题(3套)
整式的乘除过关测试A一、（时间: 40分钟, 总分: 80分） 选择题（共12小题, 每小题3分, 共36分） ）可写成（13.1+m a()()a a D aa C aa a B aa A m m m m ⋅++⋅+3333....()6223124355126663)5(;1243)4(;)3(;)2(;2)1(.2y x xy b b b c c c a a a a a a n n n ==⋅=⋅=+=⋅下列计算：中正确的个数为（ ）A.0B.1C.2D.3 )(324,0352.3=⋅=-+y x y x 则若A.32B.16C.8D.4()）的结果为（计算200920088125.0.4⨯-A.8B.-8C.-1D.无法计算）的是（下列等式中运算不正确.5()()2223243322232442.51025.842.63)2(3.y xy x y x D xy x y x x C b a ab b a B y x y x xy x xy A ++=--=-=⋅-=-()()()()的值为、，则若a a M 10M 102105108.626⨯=⨯⨯⨯ 105M 108M 92M 88M ========a D a C a B a A ，、，、，、，、()()()等于则若m n n x x mx x -++=-+,315.72 251.251.25.25.--D C B A()()()的关系是与的一次项，则展开后不含要使多项式q p x q x px x -++2.822.1.0..===+=pq D pq C q p B q p A()的值是，那么已知ab b a b a 2,3.922=-=+A.-0.5B.0.5C.-2D.2 10.计算: 得（ ）A.0B.1C.8.8804D.3.960111.现有纸片: 4张边长为a 的正方形, 3张边长为b 的正方形, 8张宽为a 、长为b 的长方形, 用这15张纸片重新拼出一个长方形, 那么该长方形的长为（ ）A.2a+3bB.2a+bC.a+3bD.无法确定()的最小值是则如果多项式p b a b a p ,2008422.1222++++= A.2005 B.2006 C.2007 D.2008 填空题（共6小题, 每小题3分, 共18分）()()=-⋅-322323.13a a 计算 。
整式乘除复习-幂的运算
=⎪⎭⎫ ⎝⎛p a 1初一数学《整式的乘除》复习-------幂的运算（1）同底数幂的乘法：a m ﹒a n = =⋅⋅p n m a a a a m+n =（2）幂的乘方（a m ）n = ()mn a = （3）积的乘方：（ab ）n = ()n abc = =⋅nn b a （4）同底数幂的除法：a m ÷a n = =÷÷p n m a a a a m-n =（5）零指数幂：a 0= （注意考底数范围a ≠0）. 0的0次幂无意义.（6）负指数幂：=-p a （根据定义）= （根据底倒指反）（a ≠0，p 为正整数）0的负指数幂无意义.： （a ≠0，p 为正整数）二、典型考点类型一 幂的运算例题1跟踪练习：（1）322223))21()2n n n x x x -÷-⋅（（ 23422225)()()()2a a a a ⋅-⋅（（2）已知.4,3==n m a a（1）求n m a -的值；（2）求n m a 42-的值.类型二 幂的运算法则的逆运用例题2：用简便的方法计算：;)31()32()9)(1(333⨯-⨯-()[]=p n m a .)14.3(3)21()52(2)4(];)([).(]))[(3(;)().())(2(;).()())(1(01322222221524232234-+--++---÷÷--÷-------πm m m x x x a a a q p p q q p .)1132()3235.0)(3(;2)25.0()125.0()8)(2(11106320052006⨯-⨯⨯⨯-+-⨯- 跟踪练习：用简便方法计算：（1） ;)532.()135(20001999 .)2()21(3332⨯⎥⎦⎤⎢⎣⎡ .)25.0(48200119972-⨯⨯类型三 用科学记数法表示较小的数例题3：用科学记数法表示下列各数．(1)0．000 000 1； (2)0．000 000 003 5；变式练习：（1）用科学记数法表示下列各数 一0．000 000 047．（2）肥皂泡表面厚度大约是0.0007546mm ，用科学计数法表示（单位：米，保留两位有效数字）当堂检测：1 填空：(1).____)()(____;)()(3522=-÷-=÷y x y x xy xy (2)_____;)()()(69=-÷-÷-a a a(3).________;2131=÷=÷+-+m m n m a a a a (4).____)31(____;)1(_____;10000=-=-= (5)用科学记数法表示：._______0000000405.0_______;0000072.0==-(6)).,0,0.(___)(____;)(22222为正整数n y x b a y x b a n ≠-≠+=-=+--(7)若,1030000003.0x ⨯=则x =__________.二 选择（1）计算432)3(b a --的结果是( )．A.12881b a B ．7612b a C ．7612b a - D ．12881b a -（2）当n 为正整数时，3281.3++n n 的计算结果为( )． A ．523+n B ．533+n C ．1453+n D ．1253+n二：计算;)()()(5410m m m b a a b b a -÷-÷- .)().()()(32239a a a a -÷--÷-2082)2(48-÷⨯ .])5[()04.0(220082008-⨯初一数学下册《幂的运算》一、选择1．下列各式中，正确的是（ ）A ．844m m m =⋅ B.25552m m m =⋅ C.933m m m =⋅ D.66y y ⋅122y = 2．实验表明，人体内某种细胞的形状可近似地看作球，它的直径约为0.00000156m ，则这个数用科学记数法表示是（ ）A ．5106.15-⨯mB ．710156.0-⨯mC ．61056.1-⨯mD ．71056.1-⨯m3．在等式⋅⋅23a a ( )11a =中，括号里面的代数式是（ ）A ．7aB ．8aC ．6aD ．3a 4．在下列括号中应填入4a 的是（ ）A.212)(=a B.312)(=a C.412)(=a D.612)(=a 5．n n a 2)(-的结果是（ ）A ．n a 3-B ．n a 3C ．2n 2a -D ．2n 2a 6．若2=m a ，3=n a 则n m a +等于（ ）A ．5B ．6C ．8D ．97．若1593)(y x y x n m =则m 、n 的值分别为（ ）A ．9，5B ．3，5C ．5，3D ．6，128．n x -与n x )(-的正确关系是（ ）A.相等B.互为相反数C.当n 为奇数时它们互为相反数，当n 为偶数时相等D.当n 为奇数时相等，当n 为偶数时互为相反数9．如果()02008-=a ，()11.0--=b ，235-⎪⎭⎫ ⎝⎛-=c ，那么c b a ,,三数的大小为（ ） A.b a c >> B.a b c >> C.b c a >> D.c b a >>10．b a 28•等于（ ）A.ab 16B.b a +16C.b a +10D.b a +32 二、填空1．计算：（1）()=32y x （2）()()=-•342a a （3）()()=-÷-a a 4 2．填上适当的指数：（1）()54a aa =• （2）()45a a a =÷ （3）()()84a a = 3．填上适当的代数式：（1）()843x x x =•• （2）()612a a =÷ (3) ()()()345-=-•-y x y x4. 计算:(1) =÷+22x x n . (2) ()=÷-44ab ab . 5．用小数表示=⨯-41014.3 .6．计算：()022π--+的结果是 .7．若83a a a a m =••，则=m .8．若3=-b a ，则=-⋅-2332])[(])[(a b b a ________.(用幂的形式表示）9．计算：=-⨯-20082007)125.0(8. 10．已知3=m a ，9=n a ，则=-n m a 3. 三、解答1．（本题16分）计算：（1）()()524232)(a a a -÷⋅ （2）()()()34843222b a b a ⋅-+- （3）()123041323--⎪⎭⎫ ⎝⎛--+- （4）()a b - ()3a b -()5b a -2．用简便方法计算：（1）333)31()32()9(⨯-⨯- （2）3014225.0⨯-3．已知空气的密度是1.239㎏/m 3，现有一塑料袋装满了空气，其体积为3500cm 3，试问：这一袋空气的质量约为多少千克？（结果用科学计数法表示）4．若922)2(162=⋅n ，解关于x 的方程24=+nx .5．已知b a 92762==，求ab a 222+的值.6．已知q x -=3，p y--=112，q p z -⋅=274，用y x ,表示z 的代数式.。
整式的乘除基础 练习题(带答案
． ．
．
．
【标注】【知识点】单项式乘单项式 【知识点】单项式乘多项式
24. 计算：
．
【答案】
．
【解析】
．
【标注】【知识点】积的乘方
9
【知识点】单项式乘多项式 【能力】运算能力
25. 计算． （1） （2） （3）
． ．
．
【答案】（ 1 ） （2） （3）
【解析】（ 1 ） 原式
．
（ 2 ） 原式
．
．
【解析】（ 1 ） 原式 故答案为：
（ 2 ） 原式
故答案为：
． ．
． ．
【标注】【知识点】单项式乘单项式 【知识点】单项式乘多项式 【能力】运算能力
20. 化简下列整式：
（1）
．
（2）
．
【答案】（ 1 ）
．
（2）
．
【解析】（ 1 ） 原式
．
（ 2 ） 原式
．
【标注】【知识点】整式乘除的综合
21. 计算：
C. 个
【答案】 A
【解析】 ①不是同类项，不能合并，故①错误；
②不是同类项，不能合并，故②错误；
③
，故③错误；
④
，正确；
⑤
，故⑤错误；
⑥
，故⑥错误．
【标注】【知识点】单项式除以单项式
4. 已知
，
，则 的值为（ ）．
A.
B.
C.
【答案】 B
【解析】
．
【标注】【能力】运算能力 【知识点】同底数幂的乘法 【知识点】幂的乘方
5. 已知 ，
，则
．
D. 个 D.
2
【答案】
【解析】
整式的乘除复习(1)—幂的运算
方法归纳：一般地，幂的运算可以直接应用运算法 则，底数可以是单项式、也可以是多项式.
2、简接运用幂的运算法则：
例2.计算： （1）-t3· 4· 5 ； (-t) (-t) (2) (a-b)3· (a-b) · (b-a)2÷(b-a)5； （3）（y3）3÷y3÷（－y2）2 ； （4）（－x）6÷（－x）2· （－x）3；
方法归纳：对于不能直接运用幂的运算法则计算的 问题，通常先将题目中的各项进行转化，化为同底 数幂再进行计算.
整式的乘除复习——第一单元 幂的运算
一、知识点： 1、同底数幂相乘，底数不变，指数相加 ． 即am· n＝am+n （m、n为正整数） a 2、幂的乘方， 底数不变，指数相乘 ． 即（am）n＝amn（m、n为正整数）． 3、积的乘方， 等于把积的每一个因式分别乘方，再把所 得的幂相乘 ． n＝an bn （n为正整数）． 即（ab） 4、同底数幂相除，. 底数不变，指数相减 即am÷an＝am-n．（m、n为正整数，m＞n， a≠0）
方法归纳：运用幂的运算法则求代数式的值
时，通常将所求的代数式转化成已知幂的积 或商的形式.
例8.
试比较3555、4444、5333的大小.
例9.比较218×310与210×315的大小.
例10.
比较8131、2741、961的大小
方法归纳：比较两个数的大小时，通常将原
数转化为指数相同或一部分相同的形式，再 进行比较.
最新-八年级数学上册 第13章 整式的乘除 131 幂的运算
13.1幂的运算逆用幂的运算性质巧解题幂的运算性质有：a m ·a n ＝a m+n ； (a m )n ＝a mn ；(ab)n ＝a n b n ； a m ÷a n ＝a m-n (a ≠0，m ＞n)．这些运算一般具有双向性,但同学们在运用时往往只习惯从左到右进行,而不习惯逆向运用,如果逆用这些性质，常能化繁为简，化难为易，收到事半功倍的效果．现举例说明，供大家参考：一、逆用同底数幂的乘法法则 ，巧拆乘运用同底数幂的乘法法则，可以把一个幂分解成两个（或两个以上）同底数幂的积．用式子表示为：),(都是正整数n m a a a n m n m ⋅=+．其中，拆分所得的(两个或两个以上)同底数幂的底数与原来幂的底数相同，指数之和等于原来幂的指数。
例1、若5m =x ，5n =y ，则5m+n+3=_________． 解析：5m+n+3=5m ·5n ·53=125xy ．评注：注意到已知式与未知式之间的底数是相同的，而指数存在着和的关系，于是，逆用法则进行计算。
例2、已知22x+3-22x+1=192，求x 值． 解析：∵22x+3-22x+1=22x ·23-22x ·2=22x （23-2）=22x ·6． ∴22x ·6=192，22x=32，∴2x=5，∴x=52． 评注：这里是把指数中的2x 当作一个整体，逆向使用同底数幂的乘法法则进行计算。
其实，也可以把指数中的2x+1作为一个整体来看待。
逆用法则可加深对同底数幂的乘法法则的理解，同时有助于突破思维定势，培养创新意识。
二、逆用积的乘方运算性质，巧整合积的乘方性质反过来也是成立的，用式子表示为：()是正整数n ab b a n n n )(=⋅．要准确把握式子的特点，具备能转化为相同指数的幂的积的式子能应用这一法则，如1121221212121212=-=⨯-=-⨯)()()(．灵活地正、反使用本法则可以简化计算． 例3、计算(-0.125)2018·82018． 解析：原式＝(-0.125)2018·82018·82 ＝(-0.125×8)2018·82 ＝(-1)2018·82＝-64．评注：当底数间互为倒数时，通常逆用“积的乘方的运算性质”，巧作整合，使得它们的指数相同。
整式的乘除整章练习题(完整)
5．已知 ，则 ____________．
6．计算：(1) ______________．(2) ____________．
7．下列计算正确的是( )
A． B．
C． D．
8．下列计算正确的个数为( )
(1) (2) (3) (4)
A．0个B．1个C．2个D．3个
10．计算．
(1)(2x 一3 +4x－1)(一3x)；
(2) ．
11．计算．
(1)2 － (2 －5b)－b(5 －b)；
(2) ．
12．先化简，再求值．
(1)m (m+3)+2m(m —3)一3m(m +m－1)，其中m ；
(2)4 b( b－ b + 6)一2 b (2 —3 b+2 )，其中 =3，b=2．
第1章整式的乘除
第1课时幂的运算(一)
1．计算：（1） _________；(2) _____________．
2．计算：(1) ___________；(2) ______________．
3．计算：(1) ________；(2) ____________．
4．计算： ____________．5．计算：(1) __________；(2) __________．
7．下列运算中，正确的是( )
A．( 一2b)( －2b)= －4b B．(－ +2b)( 一2b)=－ 一2b
C．( +2b)( 一2b)=－ －2b D．(一 一2b)(一 +2b)= －4b
8．在下列各式中，运算结果为36y +49x 的是( )
华东师大版初中数学电子教材-第13章-整式的乘除
第13章整式的乘除§13.1幂的运算1. 同底数幂的乘法2. 幂的乘方3. 积的乘方4. 同底数幂的除法§13.2整式的乘法1. 单项式与单项式相乘2. 单项式与多项式相乘3. 多项式与多项式相乘§13.3乘法公式1. 两数和乘以这两数的差2. 两数和的平方阅读材料贾宪三角§13.4整式的除法1. 单项式除以单项式2. 多项式除以单项式§13.5因式分解阅读材料你会读吗小结复习题课题学习面积与代数恒等式第13章整式的乘除某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积，可得到：（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb你知道上面的等式蕴含着什么样的运算法则吗?·§13.1 幂的运算1. 同底数幂的乘法试一试（1）23×２4＝（２×２×２）×（２×２×２×２）＝２()；（2） 53×５4＝5()；（3） a3·a4＝a()．a m·a n＝（a·a·…·a）（a·a·…·a）＝a·a·…·a＝a n m+．可得a m·a n＝a n m+（m、n为正整数）．这就是说，同底数幂相乘，底数不变，指数相加．例1计算：（1） 103×１０4；（2） a·a3；（3） a·a3·a5．解（1） 103×１０4＝１０43+＝１０7．（2）a·a3＝a31+＝a4．（3）a·a3·a5＝a4·a5＝a9．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1） a·a2＝a2；（2） a＋a2＝a3；（3）a3·a3＝a9；（4）a3＋a3＝a6．2. 计算：（1） 102×105；（2） a3·a7；（3） x·x5·x7．2. 幂的乘方试一试根据乘方的意义及同底数幂的乘法填空：（1）（23）2＝23×２3＝２()；（2）（32）3＝32×３2×３2＝３()；（3）（a3）4＝a3·a3·a3·a3＝a()．（a m）n＝a m·a m·…·a m（n个）＝a m++...（n个）m+m=a mn可得（a m）n＝a mn（m、n为正整数）．这就是说，幂的乘方，底数不变，指数相乘．例2计算：（1）（103）5；（2）（b3）4．解（1）（103）5＝105*3＝１０15．（2）（b3）4＝b4*3＝b12．练习1. 判断下列计算是否正确，并简要说明理由．（1）（a3）5＝a8；（2） a5·a5＝a15；（3）（a2）3·a4＝a9．2. 计算：（1）（22）2；（2）（y2）5；（3）（x4）3；（4）（y3）2·（y2）3．3. 积的乘方试一试（1）（ab）2＝（ab）·（ab）＝（aa）·（bb）＝a()b()；（2）（ab）3＝＝＝a()b()；（3）（ab）4＝＝＝a()b()．概括（ab）n＝（ab）·（ab）·…·（ab）（n个）＝（a·a·…·a）·（b·b·…·b）＝a n b n．可得（ab）n＝a n b n（n为正整数）．这就是说，积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．例3计算：（1）（2b）3；（2）（2×a3）2；（3）（－a）3；（4）（－3x）4．解（1）（2b）3＝23b3＝8b3．（2）（2×a3）2＝22×（a3）2＝4×a6．（3）（－a）3＝（－1）3·a3＝－a3．（4）（－3x）4＝（－3）4·x4＝81x4．练习1. 判断下列计算是否正确，并说明理由．（1）（xy3）2＝xy6；（2）（－2x）3＝－2x3．2. 计算：（1）（3a）2；（2）（－3a）3；（3）（ab2）2；（4）（－2×１０3）3．4. 同底数幂的除法我们已经知道同底数幂的乘法法则： a m·a n＝a n m ，那么同底数幂怎么相除呢?试一试用你熟悉的方法计算：（1） 25÷２2＝；（2） 107÷103＝；（3） a7÷a3＝（a≠0）．概括由上面的计算，我们发现：25÷２2＝23＝225-；107÷103＝ 104＝1037-；a7÷a3＝ a4＝a37-．一般地，设m、n为正整数，m＞n， a≠0，有a m÷a n＝a n m-．这就是说，同底数幂相除，底数不变，指数相减．我们可以利用除法的意义来说明这个法则的道理：因为除法是乘法的逆运算，a m÷a n实际上是要求一个式子（），使 a n·（）＝a m．而由同底数幂的乘法法则，可知a n· a n m-＝a)n-+＝a m，m(n所以要求的式子（），就是a n m-，从而有a m÷a n＝a n m-．例4计算：（1） a8÷a3；（2）（－a）10÷（－a）3；（3）（2a）7÷（2a）4．解（1） a8÷a3＝a38-＝a5．（2）（－a）10÷（－a）3＝（－a）310-＝（－a）7＝－a7．（3）（2a）7÷（2a）4＝（2a）47-＝（2a）3＝8a3．思考你会计算（a＋b）4÷（a＋b）2吗?练习1. 填空：（1） a5·（）＝a9；（2）（）·（－b）2＝（－b）7；（3） x6÷（）＝x；（4）（）÷（－y）3＝（－y）7．2. 计算：（1） a10÷a2；（2）（－x）9÷（－x）3；（3） m8÷m2·m3；（4）（a3）2÷a6．习题13.11. 计算（以幂的形式表示）：（1） 93×95；（2） a7·a8；（3） 35×２7；（4） x2·x3·x4．2. 计算（以幂的形式表示）：（1）（103）3；（2）（a3）7；（3）（x2）4；（4）（a2）3·a5．3. 判断下列等式是否正确，并说明理由．（1） a2·a2＝（2a）2；（2） a2·b2＝（ab）4；（3） a12＝（a2）6＝（a3）4＝（a5）7．4. 计算（以幂的形式表示）：（1）（3×１０5）2；（2）（2x）2；（3）（－2x）3；（4） a2·（ab）3；（5）（ab）3·（ac）4．5. 计算：（1） x12÷x4；（2）（－a）6÷（－a）4；（3）（p3）2÷p5；（4） a10÷（－a2）3．6. 判断下列计算是否正确，错误的给予纠正．（1）（a2b）2＝a2b2；（2） a5÷b2＝a3b；（3）（3xy2）2＝6x2y4；（4）（－m）7÷（－m）2＝m5．7. 计算：（1）（a3）3÷（a4）2；（2）（x2y）5÷（x2y）3；（3） x2·（x2）3÷x5；（4）（y3）3÷y3÷（－y2）2．8. 用多少张边长为a的正方形硬纸卡片，能拼出一个新的正方形?试写出三个答案，并用不同的方法表示新正方形的面积．从不同的表示方法中，你能发现什么?§13.2 整式的乘法1. 单项式与单项式相乘计算： 2x3·5x2．（1） 3x2y·（－2xy3）；（2）（－5a2b3）·（－４b2c）．解（1） 3x2y·（－2xy3）＝［３·（－２）］·（x2·x）·（y·y3）（2）（－5a2b3）·（－４b2c）＝［（－５）·（－４）］·a2·（b3·b2）·c ＝ 20a2b5c．概括单项式与单项式相乘，只要将它们的系数、相同字母的幂分别相乘，对于只在一个单项式中出现的字母，则连同它的指数一起作为积的一个因式．例2卫星绕地球表面做圆周运动的速度（即第一宇宙速度）约为7.9×１０3米/秒，则卫星运行3×１０2秒所走的路程约是多少?解 7.9×１０3×３×１０2＝ 23.7×１０5＝２.３７×１０6（米）．答：卫星运行3×１０2秒所走的路程约是2.37×１０6米．讨论你能说出a·b,3a·2a,以及3a·5ab的几何意义吗?练习（1） 3a2·2a3；（2）（－9a2b3）·8ab2；（3）（－3a2）3·（－2a3）2；（4）－3xy2z·（x2y）2．2. 光速约为３×１０8米/秒，太阳光射到地球上的时间约为５×１０2秒，则地球与太阳的距离约是多少米?3. 小明的步长为a厘米，他量得一间屋子长15步，宽14步，这间屋子的面积有多少平方厘米?2. 单项式与多项式相乘试一试计算： 2a2·（3a2－5b）．例3计算：（－2a2）·（３ab2－5ab3）．解（－2a2）·（３ab2－5ab3）＝（－2a2）·3ab2＋（－2a2）·（－５ab3）＝－6a3b2＋10a3b3．概括单项式与多项式相乘，只要将单项式分别乘以多项式的每一项，再将所得的积相加．练习1. 计算：（1） 3x3y·（2xy2－3xy）；（2） 2x·（3x2－xy＋y2）．2. 化简： x（x2－1）＋2x2（x＋1）－3x（2x－5）．3. 多项式与多项式相乘回忆我们再来看一看本章导图中的问题：图13.2.1某地区在退耕还林期间，将一块长m米、宽a米的长方形林区的长、宽分别增加n米和b米．用两种方法表示这块林区现在的面积．这块林区现在长为（m＋n）米，宽为（a＋b）米，因而面积为（m ＋n）（a＋b）米2．也可以这样理解：如图13.2.1所示，这块地由四小块组成，它们的面积分别为ma米2、mb米2、na米2、nb米2，故这块地的面积为（ma＋mb＋na＋nb）米2．由于（m＋n）（a＋b）和（ma＋mb＋na＋nb）表示同一块地的面积，故有（m＋n）（a＋b）＝ma＋mb＋na＋nb．实际上，把（m＋n）看成一个整体，有（m＋n）（a＋b）＝（m＋n）a＋（m＋n）b＝ ma＋mb＋na＋nb．如下式所示，等式的右边可以看作左边用线相连各项乘积的和：（m+n）（a+b）=ma+mb+na+nb概括这个等式实际上给出了多项式乘以多项式的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项分别乘以另一个多项式的每一项，再把所得的积相加．例4计算：（1）（x＋2）（x－3）；（2）（3x－1）（2x＋1）．解（1）（x＋2）（x－3）＝ x2－3x＋2x－6＝ x2－x－6．（2）（3x－1）（2x＋1）＝ 6x2＋3x－2x－1＝ 6x2＋x－1．例5计算：（1）（x－3y）（x＋7y）；（2）（2x＋5y）（3x－2y）．解（1）（x－3y）（x＋7y）＝ x2＋7xy－3yx－21y2＝ x2＋4xy－21y2．（3）（2x＋5y）（3x－2y）＝ 6x2－4xy＋15yx－10y2＝ 6x2＋11xy－10y2．练习1. 计算：（1）（x＋5）（x－7）；（2）（x＋5y）（x－7y）；（3）（2m＋3n）（2m－3n）；（4）（2a＋3b）（2a＋3b）．2. 小东找来一张挂历纸包数学课本．已知课本长a厘米，宽b厘米，厚c厘米，小东想将课本封面与封底的每一边都包进去m厘米．问小东应在挂历纸上裁下一块多大面积的长方形?习题13.21. 计算：（1） 5x3·8x2；（2） 11x12·（－12x11）；（3） 2x2·（－3x）4；（4）（－8xy2）·－(1/2x)3．2. 世界上最大的金字塔——胡夫金字塔高达146.6米，底边长230.4米，用了约2.3×１０6块大石块，每块重约2.5×１０3千克．请问：胡夫金字塔总重约多少千克?3. 计算：（1）－3x·（2x2－x＋4）；（2） 5/2xy·(－x3y2＋4/5x2y3)．4. 化简：（1） x(1/2x＋1)－3x(3/2x－2)；（2） x2（x－1）＋2x（x2－2x＋3）．5. 一块边长为xcm的正方形地砖，被裁掉一块2cm宽的长条．问剩下部分的面积是多少?6. 计算：（1）（x＋5）（x＋6）；（2）（3x＋4）（3x－4）；（3）（2x＋1）（2x＋3）；（4）（9x＋4y）（9x－4y）．7. 一块长a厘米、宽b厘米的玻璃，长、宽各减少c厘米后恰好能铺盖一张办公桌台面（玻璃与台面一样大小）．问台面面积是多少?§13.3 乘法公式1.两数和乘以这两数的差做一做计算：（a＋b）（a－b）．这两个特殊的多项式相乘，得到的结果特别简洁：（a＋b）（a－b）＝a2－b2．这就是说，两数和与这两数差的积，等于这两数的平方差．试一试图13.3.1先观察图13.3.1，再用等式表示下图中图形面积的运算：＝－．例1计算：（1）（a＋3）（a－3）；（2）（2a＋3b）（2a－3b）；（3）（1＋2c）（1－2c）；（4）（－2x－y）（2x－y）．解（1）（a＋3）（a－3）＝ a2－32＝ a2－9．（2）（2a＋3b）（2a－3b）＝（2a）2－（3b）2＝ 4a2－9b2．（3）（1＋2c）（1－2c）＝ 12－（2c）2＝ 1－4c2．（4）（－2x－y）（2x－y）＝（－y－2x）（－y＋2x）＝（－y）2－（2x）2＝ y2－4x2．例2计算： 1998×２００２．解 1998×２００２＝（2000－2）×（2000＋2）＝ 200０2－22＝ 4000000－4＝ 3999996．例3街心花园有一块边长为a米的正方形草坪，经统一规划后，南北向要加长2米，而东西向要缩短2米．问改造后的长方形草坪的面积是多少?解（a＋2）（a－2）＝a2－4（平方米）．答：改造后的长方形草坪的面积是（a2－4）平方米．练习1. 计算：（1）（2x＋1/2）（2x－1/2）；（2）（－x＋2）（－x－2）；（3）（－2x＋y）（2x＋y）；（4）（y－x）（－x－y）．2. 计算：（1） 498×502；（2） 999×1001．3. 用一定长度的篱笆围成一个矩形区域，小明认为围成一个正方形区域时面积最大，而小亮认为不一定．你认为如何?2.两数和的平方做一做计算：（a＋b）2．经计算，我们又得到一个漂亮的结果：（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．这就是说，两数和的平方，等于它们的平方和加上这两数积的2倍．试一试先观察图13.3.2，再用等式表示下图中图形面积的运算：图13.3.2 ＝＋＋．例4计算：（1）（2a＋3b）2；（2）（ 2a＋b/2）2．解（1）（2a＋3b）2＝（2a）2＋2·２a·3b＋（3b）2＝ 4a2＋12ab＋9b2．（2）（2a＋b/2）2＝（2a）2＋2·2a·b/2＋b/22＝ 4a2＋2ab＋b2/4．例5计算：（1）（a－b）2；（2）（2x－3y）2．解（1）（a－b）2＝［a＋（－b）］2＝ a2＋2·a·（－b）＋（－b）2＝ a2－2ab＋b2．（2）（2x－3y）2＝［２x＋（－3y）］2＝（2x）2＋2·（2x）·（－3y）＋（－3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．本题也可直接运用小题（1）的结果（两数差的平方公式）来计算：（2x－3y）2＝（2x）2－2·（2x）·（3y）＋（3y）2＝ 4x2－12xy＋9y2．图13.3.3讨论你能从图13.3.3中的面积关系来解释小题（1）的结果吗?练习1. 计算：（1）（x＋3）2；（2）（2x＋y）2．2. 计算：（1）（x－3）2；（2）（2m－n）2．3. 计算：（1）（－2m＋n）2；（2）（－2m－n）2．4. 要给一边长为a米的正方形桌子铺上正方形的桌布，桌布的四周均超出桌面0.1米，问需要多大面积的桌布?习题13.31. 计算：（1）（a＋2b）（a－2b）；（2）（2a＋5b）（2a－5b）；（3）（－2a－3b）（－2a＋3b）；（4）（－1/3a＋1/2b）（1/3a＋1/2b）．2. 计算：（1）（3a＋b）2；（2）（2a＋1/3b）2；（3）（2a＋1）（－2a－1）．3. 计算：（1）（2a－4b）2；（2）（ 1/2a－1/3b）2．4. 填空：（1） a2＋6a＋＝（a＋）2；（2） 4x2－20x＋＝（2x－）2；（3） a2＋b2＝（a－b）2＋；（4）（x－y）2＋＝（x＋y）2．5. 有一块边长为a米的正方形空地，现准备将这块空地四周均留出b米宽修筑围坝，中间修建喷泉水池．你能计算出喷泉水池的面积吗?阅读材料贾宪三角贾宪三角（如图1）最初于11世纪被发现，原图载于我国北宋时期数学家贾宪图1的《黄帝九章算法细草》一书中，原名“开方作法本源图”，用来作开方运算，在数学史上占有领先地位．我国南宋时期数学家杨辉对此有着记载之功，他于1261年写下的《详解九章算法》一书中记载着这一图表．因此，后人把这个图表称作贾宪三角或杨辉三角．在欧洲，贾宪三角则被人们称为“帕斯卡三角”，这是因为法国数学家帕斯卡于1654年发表了此“三角”，并且影响较大．但这比我国已经迟了近600年．其实，数学史上有不少人各自独立地绘制过类似图表，如1427年阿拉伯的数学家阿尔·卡西，1527年德国的阿皮亚纳斯，1544年德国的施蒂费尔，1545年法国的薛贝尔等．贾宪三角在历史上被不同时代的人绘制出来，是有着不同的应用趋向的．贾宪将它应用于开方运算，注重增乘方法并把这种方法推向求高次方根；帕斯卡关心数字三角阵的性质探讨以及把这种性质推广到组合数的性质上；而施蒂费尔则注重二项展开式系数间的关系；还有我国元代数学家朱世杰于13世纪巧妙地利用贾宪三角得出了一系列级数求和的重要公式，并且利用这些公式求出许多更为复杂的级数之和，这在当时世界上也处于领先水平．与我们现在的学习联系最紧密的是二项式乘方展开式的系数规律．如图2，在贾宪三角中，第三行的三个数（1， 2， 1）恰好对应着两数和的平方公式（a＋b）2的展开式a2＋2ab＋b2的系数．类似地，通过计算可以发现：第四行的四个数（1， 3， 3， 1）恰好对应着两数和的立方（a＋b）3的展开式a3＋３a2b＋3ab2＋b3的系数，第五行的五个数（1， 4， 6， 4， 1）恰好对应着两数和的四次方（a＋b）4的展开式a4＋4a3b＋6a2b2＋4ab3＋b4的系数，等等．由此可见，贾宪三角可以看作是对我们现在学习的两数和的平方公式的推广而得到的．（a＋b）0…………（a＋b）1…………（a＋b）2…………（a＋b）3…………（a＋b）4…………（a＋b）5…………（a＋b）6…………11121133114641151010511615201561图2同学们，贾宪三角告诉了我们二项式乘方展开式的系数规律，你发现其中的字母及字母指数的排列规律了吗?如果发现了，请你试着写出（a＋b）5、（a＋b）6与（a＋b）77的展开式．§13.4 整式的除法1. 单项式除以单项式计算： 12a5c2÷３a2．根据除法的意义，上式就是要求一个单项式，使它与３a2相乘的积等于12a5c2．∵（4a3c2）·３a2＝12a5c2，∴ 12a5c2÷３a2＝4a3c2．概括单项式相除，把系数、同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式．例1计算：（1） 24a3b2÷３ab2；（2）－21a2b3c÷３ab；（3）（６xy2）2÷３xy．解（1） 24a3b2÷3ab2＝（24÷３）（a3÷a）（b2÷b2）＝ 8a13-·１＝ 8a2．（2）－21a2b3c÷３ab＝（－21÷３）a12-b13-c＝－7ab2c．（3）（6xy2）2÷３xy＝ 36x2y4÷３xy＝ 12xy3．思考你能用a－b的幂表示下式的结果吗?12（a－b）5÷３（a－b）2．例2地球的质量约为5.98×１０24千克，木星的质量约为1.9×１０27千克．问木星的质量约是地球的多少倍?（结果保留三个有效数字）分析本题只需做一个除法运算：（1.9×１０27）÷（５.９８×１０24），我们可以先将1.9除以5.98，再将１０27除以１０24，最后将商相乘．解（1.9×１０27）÷（5.98×１０24）＝（1.9÷５.９８）×１０27 ≈ 0.318×１０3＝３１８．24答：木星的质量约是地球的318倍．练习1. 填表：的缘故．已知光在空气中的传播速度约为3×１０8米/秒，而声音在空气中的传播速度约为3.4×１０2米/秒．请计算一下，光速是声速的多少倍?（结果保留两个有效数字）2. 多项式除以单项式试一试计算：（1）（ax＋bx）÷x；（2）（ma＋mb＋mc）÷m．根据除法的意义，容易探索、计算出结果．以小题（2）为例，（ma＋mb＋mc）÷m就是要求一个多项式，使它与m的积是ma＋mb＋mc．∵m（a＋b＋c）＝ma＋mb＋mc，∴（ma＋mb＋mc）÷m＝a＋b＋c．概括多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．例3计算：（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x；（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）．解（1）（9x4－15x2＋6x）÷３x＝ 9x4÷３x－15x2÷３x＋6x÷３x＝ 3x3－5x＋2．（2）（28a3b2c＋a2b3－14a2b2）÷（－7a2b）＝ 28a3b2c÷（－7a2b）＋a2b3÷（－7a2b）－14a2b2÷（－7a2b）＝－4abc－1/7b2＋2b．练习1. 计算：（1）（3ab－2a）÷a；（2）（5ax2＋15x）÷5x；（3）（12m2n＋15mn2）÷6mn；（4）（x3－2x2y）÷（－x2）．2. 计算：（1）（4a3b3－6a2b3c－2ab5）÷（－２ab2）；（2） x2y3－1/2x3y2＋2x2y2÷1/2xy2．习题13.41.计算：（1）－21a2b3÷7a2b；（2） 7a5b2c3÷（－3a3b）；（3）－1/2a4x4÷－1/6a3x2；（4）（16x3－8x2＋4x）÷（－2x）．2.计算：（1）（6a3b－9a2c）÷３a2；（2）（4a3－6a2＋9a）÷（－2a）（3）（－4m4＋20m3n－m2n2）÷（－4m2）；（4） x2y－1/2xy2－2xy÷1/2xy．3.计算：（1）（12p3q4＋20p3q2r－6p4q3）÷（－2pq）2；（2）［４y（2x－y）－2x（2x－y）］÷（2x－y）．4. 一颗人造地球卫星的速度是８×１０3米/秒，一架喷气式飞机的速度是5×１０2米/秒，试问：这颗人造地球卫星的速度是这架喷气式飞机的速度的多少倍?5. 聪聪在一次数学课外活动中发现了一个奇特的现象：他随便想一个非零的有理数，把这个数平方，再加上这个数，然后把结果除以这个数，最后减去这个数，所得结果总是1．你能说明其中的道理吗?§13.5 因式分解回忆运用前面所学的知识填空：〖〗你能发现这两组等式之间的联系和区别吗?（1） m（a＋b＋c）＝；（2）（a＋b）（a－b）＝；（3）（a＋b）2＝．试一试填空：（1） ma＋mb＋mc＝（）（）；（2） a2－b2＝（）（）；（3） a2＋2ab＋b2＝（）2．概括我们“回忆”的是已熟悉的整式乘法运算，而“试一试”中的问题，其过程正好与整式的乘法相反，它是把一个多项式化为几个整式的积的形式．把一个多项式化为几个整式的积的形式，叫做多项式的因式分解（factorization）．多项式ma＋mb＋mc中的每一项都含有一个相同的因式m，我们称之为公因式（common factor）．把公因式提出来，多项式ma＋mb ＋mc就可以分解成两个因式m和（a＋b＋c）的乘积了．像这种因式分解的方法，叫做提公因式法．“试一试”中的（2）、（3）小题，实际上是将乘法公式反过来用，对多项式进行因式分解的，这种因式分解的方法称为公式法．做一做把下列多项式分解因式：（1） 3a＋3b＝；（2） 5x－5y＋5z＝；（3） x2－4y2＝；（4） m2＋6mn＋9n2＝．例1把下列多项式分解因式：（1）－5a2＋25a；（2） 3a2－9ab；（3） 25x2－16y2；（4） x2＋4xy＋4y2．解（1）－5a2＋25a＝－5a（a－5）．（2） 3a2－9ab＝ 3a（a－3b）．（3） 25x2－16y2＝（5x）2－（4y）2＝（5x＋4y）（5x－4y）．（4） x2＋4xy＋4y2＝ x2＋2·x·2y＋（2y）2＝（x＋2y）2．例2把下列多项式分解因式：（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3；（2） 3x3－12xy2．解（1） 4x3y＋4x2y2＋xy3＝ xy（4x2＋4xy＋y2）＝ xy（2x＋y）2．（2）3x3－12xy2＝ 3x（x2－4y2）＝ 3x［x2－（2y）2］＝ 3x（x＋2y）（x－2y）．练习1. 判断下列因式分解是否正确，并简要说明理由．如果不正确，请写出正确答案．（1） 4a2－4a＋1＝4a（a－1）＋1；（2） x2－4y2＝（x＋4y）（x－4y）．2. 把下列各式分解因式：（1） a2＋a；（2） 4ab－2a2b；（3） 9m2－n2；（4） 2am2－8a；（5） 2a2＋4ab＋2b2．3. 丁丁和冬冬分别用橡皮泥做了一个长方体和圆柱体，放在一起，恰好一样高．丁丁和冬冬想知道哪一个体积较大，但身边又没有尺子，只找到了一根短绳，他们量得长方体底面的长正好是3倍绳长，宽是2倍绳长，圆柱体的底面周长是10倍绳长．你知道哪一个体积较大吗?大多少?（提示：可设绳长为a厘米，长方体和圆柱体的高均为h厘米）习题13.51. 把下列多项式分解因式：（1） 3x＋3y；（2）－24m2x－16n2x；（3） x2－1；（4）（xy）2－1；（5） a4x2－a4y2；（6） 3x2＋6xy＋3y2；（7）（x－y）2＋4xy；（8） 4a2－3b（4a－3b）．2. 先将下列代数式分解因式，再求值：2x（a－2）－y（2－a），其中a＝0.5， x＝1.5， y＝－2．3. 在一块边长为a＝6.6米的正方形空地的四角均留出一块边长为b ＝1.7米的正方形修建花坛，其余的地方种草坪．问草坪的面积有多大?4. 一块边长为a米的正方形广场，扩建后的正方形边长比原来长2米，问扩建后的广场面积增大了多少?你会读吗阅读材料你会读吗数学中有不少运算符号与记号，如何用英语准确地表达这些符号与记号呢?读一读，看看你能读懂多少?A＋B＝C……A plus B equals CA－B＝C……A minus B equals CA×B＝C……A multiplied by B equals C ……A times B equals CA÷B＝C……A divided by B equals C1/2……one half 2/3……two thirdsA2……A squared A3……A cubedA＞B……A is greater than BA∶B……the ratio of A to Bl∥m……l is parallel to m小结一、知识结构二、概括1. 本章主要研究整式的乘法与除法运算，其运算法则从根本上说是运用了数的运算律，最终都可以归结为单项式乘以单项式与单项式除以单项式，其中幂的运算是它们的基础．2. 在多项式乘以多项式中，有一些特殊形式的乘法运算结果较为简洁，在计算中可以作为乘法公式直接运用．学习中要注意掌握这些公式的结构特点，以便能准确地运用公式来简化计算．3. 因式分解与因数分解类似，它与整式乘法的过程恰好相反，我们可以运用整式的乘法得到因式分解的方法，也可以运用整式乘法来检验因式分解的正确性．复习题A组1. 计算：（1） a10·a8；（2）（xy）2·（xy）3；（3）［（－x）3］2；（4）［（－x）2］3；（5）（－2mn2）3；（6）（y3）2·（y2）4．2. 计算：（1）（4×１０4）×（２×１０3）；（2） 2a·３a2；（3）（－3xy）·（－４yz）；（4）（－2a2）2·（－５a3）；（5）（－3x）·（2x2－x－1）；（6）（x＋2）（x＋6）；（7）（x－2）（x－6）；（8）（2x－1）（3x＋2）．3. 计算：（1）（x＋2）（x－2）；（2）（m＋n）（m－n）；（3）（－m－n）（－m＋n）；（4）（－m－n）（m＋n）；（5）（－m＋n）（m－n）；（6） 2/3x＋3/4y2．4. 计算：（1） 20012－2002×2000；（2）（2x＋5）2－（2x－5）2；（3）－12xy·３x2y－x2y·（－3xy）；（4） 2x·1/2x－1－3x1/3x＋2/3；（5）（－2x2）·（－y）＋3xy·1－1/3x；（6）（－6x2）2＋（－3x）3·x．5. 计算：（1） a·a4÷a3；（2）（－x）6÷（－x）2·（－x）3；（3） 27x8÷3x4；（4）－12m3n3÷4m2n3；（5）（6x2y3z2）2÷4x3y4；（6）（－6a2b5c）÷（－2ab2）2．6. 计算：（1）（6a4－4a3－2a2）÷（－2a2）；（2）（4x3y＋6x2y2－xy3）÷２xy；（3）（x4＋2x3－1/2x2）÷（－1/2x）2；（4）（2ab2－b3）2÷２b3．7. 计算：［（x－2y）2＋（x－2y）（x＋2y）－2x（2x－y）］÷2x．8. 把下列多项式分解因式：（1） x2－25x；（2） 2x2y2－4y3z；（3） am－an＋ap；（4） x3－25x；（5） 1－4x2；（6） 25x2＋20xy＋4y2；（7） x3＋4x2＋4x．9. 先化简，再求值：（1） 3a（2a2－4a＋3）－2a2（3a＋4），其中a＝－2；（2）（a－3b）2＋（3a＋b）2－（a＋5b）2＋（a－5b）2，其中a ＝－8， b＝－6．10. 一个正方形的边长增加3cm，它的面积增加了45cm2．求这个正方形原来的边长．若边长减少3cm，它的面积减少了45cm2，这时原来边长是多少呢?11. 1千克镭完全蜕变后，放出的热量相当于3.75×１０5千克煤放出的热量，据估计地壳里含1×１０10千克镭．试问这些镭完全蜕变后放出的热量相当于多少千克煤放出的热量．B组12. 求下列各式的值：（1）（3x4－2x3）÷（－x）－（x－x2）·３x，其中x＝－1/2；（2）［（ab＋1）（ab－2）－2a2b2＋2］÷（－ab），其中a＝3/2，b＝－4/3．13. 已知（x＋y）2＝1，（x－y）2＝49，求x2＋y2与xy的值．14. 已知a＋b＝3， ab＝2，求a2＋b2的值．15. 已知a－b＝1， a2＋b2＝25，求ab的值．16. 把下列各式分解因式：（1） x（x＋y）－y（x＋y）；（2）（a＋b）2＋2（a＋b）＋1；（3） 4x4－4x3＋x2；（4） x2－16ax＋64a2；（5）（x－1）（x－3）＋1；（6）（ab＋a）＋（b＋1）．C组17. 一个长方形的长增加4cm，宽减少1cm，面积保持不变；长减少2cm，宽增加1cm，面积仍保持不变．求这个长方形的面积．18. 当整数k取何值时，多项式x2＋4kx＋4恰好是另一个多项式的平方?19. 试判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）两个连续整数的平方差必是奇数；（2）若a为整数，则a3－a能被6整除．课题学习面积与代数恒等式在前面的学习中，我们已经接触了很多代数恒等式，知道可以用一些硬纸片拼成的图形面积来解释这些代数恒等式．例如，图1可以用来解释（2a）2＝4a2，图2可以用来解释（a＋b）2＝a2＋2ab＋b2．〖〗图1〖〗图2〖〗图３还有很多代数恒等式可以用硬纸片拼成的图形面积来说明其正确性．现在让我们一起参加下面的实践与探索活动．（1）尽可能多地做一些如图3所示的正方形与长方形的硬纸片．（2）利用制作的硬纸片拼成一些长方形或正方形，并用所拼成的图形面积来说明所学的乘法公式及某些幂的运算公式的正确性．图４（3）根据图4，利用面积的不同表示方法写出一个代数恒等式来．（4）试写出一个代数恒等式，比如（a＋2b）（2a－b）＝2a2＋3ab －2b2，然后用上述方法来说明它的正确性．。
北师大版七年级下册数学[《整式的乘除》全章复习与巩固(提高)知识点整理及重点题型梳理]
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北师大版七年级下册数学重难点突破知识点梳理及重点题型巩固练习《整式的乘除》全章复习与巩固（提高）【学习目标】1. 掌握幂的运算性质，并能运用它们熟练地进行运算；掌握单项式乘（或除以）单项式、多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算；2. 会推导乘法公式（平方差公式和完全平方公式），了解公式的几何意义，能利用公式进行乘法运算；3. 掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活地运用运算律与乘法公式简化运算；【知识网络】【要点梳理】要点一、幂的运算1.同底数幂的乘法：(m n ，为正整数)；同底数幂相乘，底数不变，指数相加. 2.幂的乘方：(m n ，为正整数)；幂的乘方，底数不变，指数相乘. 3.积的乘方：(n 为正整数)；积的乘方，等于各因数乘方的积. 4.同底数幂的除法：(a ≠0, m n ，为正整数，并且m n >).同底数幂相除，底数不变，指数相减.5.零指数幂：()010.a a =≠即任何不等于零的数的零次方等于1.6.负指数幂：1n na a -=（a ≠0，n 是正整数）. 要点诠释：公式中的字母可以表示数，也可以表示单项式，还可以表示多项式；灵活地双向应用运算性质，使运算更加方便、简洁.要点二、整式的乘法和除法1.单项式乘以单项式单项式与单项式相乘，把他们的系数，相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.2.单项式乘以多项式单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加.即mc mb ma c b a m ++=++)((c b a m ,,,都是单项式).3.多项式乘以多项式多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加.即()()a b m n am an bm bn ++=+++.要点诠释：运算时，要注意积的符号，多项式中的每一项前面的“＋”“－”号是性质符号，单项式乘以多项式各项的结果，要用“＋”连结，最后写成省略加号的代数和的形式．根据多项式的乘法，能得出一个应用比较广泛的公式：()()()2x a x b x a b x ab ++=+++. 4.单项式相除把系数、相同字母的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里出现的字母，则连同它的指数一起作为商的一个因式.5.多项式除以单项式先把这个多项式的每一项分别除以单项式，再把所得的商相加.即：()am bm cm m am m bm m cm m a b c ++÷=÷+÷+÷=++要点三、乘法公式1.平方差公式：22()()a b a b a b +-=-两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.要点诠释：在这里，a b ，既可以是具体数字，也可以是单项式或多项式.平方差公式的典型特征：既有相同项，又有“相反项”，而结果是“相同项”的平方减去“相反项”的平方.2. 完全平方公式：()2222a b a ab b +=++；2222)(b ab a b a +-=-两数和 (差)的平方等于这两数的平方和加上（减去）这两数乘积的两倍.要点诠释：公式特点：左边是两数的和（或差）的平方，右边是二次三项式，是这两数的平方和加（或减）这两数之积的2倍.【典型例题】类型一、幂的运算1、（2015春•南长）已知228x y +=，993y x -=，求x+2y 的值．【思路点拨】根据原题所给的条件，列方程组求出x 、y 的值，然后代入求解．【答案与解析】解：根据3(2)22x y +=，2933y x -=， 列方程得：， 解得：， 则x+2y=11．【总结升华】本题考查了幂的乘方和积的乘方，解答本题的关键是掌握幂的乘方和积的乘方的运算法则．2、（1）已知246122,9,5===a b c ，比较,,a b c 的大小.（2）比较3020103,9,27大小。
初一数学整式的乘除含答案
【答案】可直接计算求出结果，也可通过观察式子的特点，注意到
210 前面为“＋”号，提取公因式，再
进行计算．
原式 210 29 28 27 26 25 24 23 22 2
29(2 1) 28 27 26 25 24 23 22 2 ……
22(2 1) 2 6
教师不防在此回忆巩固下面两个典型题目的计算：
⑹已知 P
999 99 ， Q
119 90 ，比较 P 、 Q 的大小关系．
9
9
⑺已知 A
32006
2007
1， B
32007
2008
1 ，试比较 A 与 B 的大小．
31
31
⑻对于 a b c 0 ， m n 0 ( m ， n 是正整数 ) ，比较 cnam ， ambn ， bnc m 的大小关系．
a 的幂分别是
a 和 a 2 ，乘积中
a 的幂是
3
a ，同理，乘积中
b 的幂
是 b4 ，另外，单项式 ab中不含 c 的幂，而 3a 2b3c2 中含 c2 ，故乘积中含 c2 .
⑵单项式与多项式相乘： 单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，
公式为： m(a b c) ma mb mc ，其中 m 为单项式， a b c 为多项式 .
积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示
为：
n
ab
anb n （ n 是正整数） ．
⑷ 同底数幂相除．
同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为：
m
a
n
a
mn
a
（ a≠ 0 ， m ， n 都是正整数）
《整式的乘法--幂的运算》习题集-有详细答案哦
word格式-可编辑-感谢下载支持平面图形的认识试卷副标题1．（﹣2）0的相反数等于（）A． 1 B．﹣1 C． 2 D．﹣22．计算（﹣x2）•x3的结果是（）A． x3B．﹣x5C． x6D．﹣x63．下列各数（﹣2）0，﹣（﹣2），（﹣2）2，（﹣2）3中，负数的个数为（）A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个4．若（2x+1）0=1则（）A．x≥﹣B．x≠﹣C．x≤﹣D．x≠5．计算：﹣1﹣（﹣1）0的结果正确是（）A． 0 B． 1 C． 2 D．﹣26．计算：（﹣1）2010﹣（）﹣1的结果是（）A． 1 B．﹣1 C． 0 D． 27．下列算式，计算正确的有①10﹣3=0.0001；②（0.0001）0=1；③3a﹣2=；④（﹣x）3÷（﹣x）5=﹣x﹣2．A． 1个B． 2个C． 3个D． 4个8．下列四个算式中正确的算式有（）①（a4）4=a4+4=a8；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8；③[（﹣x）3]2=（﹣x）6=x6；④（﹣y2）3=y6．A． 0个B． 1个C． 2个D． 3个9．把2﹣333、3﹣222、5﹣111这三个数按从大到小的顺序排列，正确的是（）A． 2﹣333＞3﹣222＞5﹣111 B． 5﹣111＞3﹣222＞2﹣333C． 3﹣222＞2﹣333＞5﹣111 D． 5﹣111＞2﹣333＞3﹣22210．若有意义，则x的取值范围是（）A．x≠2011 B．x≠2011且x≠2012C．x≠2011且x≠2012且x≠0D．x≠2011且x≠011．纳米是非常小的长度单位，已知1纳米=10﹣6毫米，某种病毒的直径为100纳米，若将这种病毒排成1毫米长，则病毒的个数是（）A． 102个B． 104个C． 106个D． 108个12．若3x+2=36，则= ．13．计算：（a3）2+a5的结果是．14．若a m=2，a n=3，则a2m+n= ．15．多项式﹣5（ab）2+ab+1是次项式．16．已知（a﹣3）a+2=1，则整数a= ．17．= ；4101×0.2599= ．18．若x+x﹣1=3，则x2+x﹣2的值是．19．如果a m=p，a n=q（m，n是正整数）那么a3m= ． a2n= ，a3m+2n= ．20．若a x=2，a y=3，则a2x+y= ．21．已知a m=9，a n=8，a k=4，则a m﹣2k+n= ．22．计算2﹣2的结果是．23．人们以分贝为单位来表示声音的强弱．通常说话的声音是50分贝，它表示声音的强度是105；摩托车发出的声音是110分贝，它表示声音的强度是1011．摩托车的声音强度是说话声音强度的倍．24．计算：a3•a6= ．25．有一道计算题：（﹣a4）2，李老师发现全班有以下四种解法，①（﹣a4）2=（﹣a4）（﹣a4）=a4•a4=a8；②（﹣a4）2=﹣a4×2=﹣a8；③（﹣a4）2=（﹣a）4×2=（﹣a）8=a8；④（﹣a4）2=（﹣1×a4）2=（﹣1）2•（a4）2=a8；你认为其中完全正确的是（填序号）．26．n为正整数，且x2n=3，则（3x3n）2的值为：．27．计算：（﹣）0= ．28．计算：a n﹣5（a n+1b3m﹣2）2+（a n﹣1b m﹣2）3（﹣b3m+2）29．已知a m=3，a n=21，求a m+n的值．30．阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24= ，log216= ，log264= ．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N= ；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．word格式-可编辑-感谢下载支持参考答案1．B【解析】试题分析：先根据0指数幂的运算法则求出（﹣2）0的值，再由相反数的定义进行解答即可．解：∵（﹣2）0=1，1的相反数是﹣1，∴（﹣2）0的相反数是﹣1．故选B．考点：零指数幂；相反数．点评：本题考查的是0指数幂及相反数的定义，解答此题的关键熟知任何非0数的0次幂等于1．2．B【解析】试题分析：根据同底数幂相乘，底数不变，指数相加，计算后直接选取答案．解：（﹣x2）•x3=﹣x2+3=﹣x5．故选B．考点：同底数幂的乘法．点评：本题主要考查同底数幂的乘法运算法则：底数不变，指数相加．熟练掌握运算法则是解题的关键．3．A【解析】试题分析：分别计算后，再找出负数的个数．解：∵（﹣2）0=1，﹣（﹣2）=2，（﹣2）2=4，（﹣2）3=﹣8，∴负数的个数有1个．故选A．考点：零指数幂；有理数的乘方．点评：本题主要考查有理数的运算，涉及到0指数幂，有理数的乘方等知识点．4．B【解析】试题分析：根据任何非0实数的0次幂的意义分析．解：若（2x+1）0=1，则2x+1≠0，∴x≠﹣．故选B．考点：零指数幂．点评：本题较简单，只要熟知任何非0实数的0次幂等于1即可．5．D【解析】试题分析：先计算出（﹣1）0的值，再根据有理数的减法进行运算即可．解：原式=﹣1﹣1=﹣2．故选D．考点：零指数幂．点评：本题考查的是0指数幂，即任何非0数的0次幂等于1．6．B【解析】试题分析：根据负整数指数为正整数指数的倒数计算．解：（﹣1）2010﹣（）﹣1=1﹣2=﹣1．故选B．考点：负整数指数幂．点评：本题主要考查了负整数指数幂的运算．注意：﹣1的偶次幂是1，奇次幂还是﹣1．7．A【解析】试题分析：本题根据零指数幂、负整数指数幂、同底数指数幂的除法等知识点进行判断．解：10﹣3=0.001，故①错误；任何不等于0的0次幂等于1，所以②（0.0001）0=1，正确；3a﹣2=3×，所以③错误；（﹣x）3÷（﹣x）5=x﹣2，④错误．故选A．考点：负整数指数幂；同底数幂的除法；零指数幂．点评：熟练掌握负整数指数幂、零指数幂的计算以及同底数指数幂的除法法则．8．C【解析】试题分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘的性质计算即可．（a m）n=a mn．解：①应为（a4）4=a4×4=a16，故不对；②[（b2）2]2=b2×2×2=b8，正确；③[（﹣x）3]2=（﹣x）6=x6，正确；④应为（﹣y2）3=﹣y6，故不对．所以②③两项正确．故选C．考点：幂的乘方与积的乘方．点评：本题考查了幂的乘方的运算法则．应注意运算过程中的符号．9．D【解析】试题分析：先根据幂的乘方化成指数都是111的幂，再根据底数的大小判断即可．解：∵2﹣333=（2﹣3）111=（）111，3﹣222=（3﹣2）111=（）111，5﹣111=（5﹣1）111=（）111，又∵＞＞，∴5﹣111＞2﹣333＞3﹣222．故选D．考点：幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂．点评：本题考查了负整数指数幂，幂的乘方等知识点，注意：a mn=（a n）m，当p≠0时，p﹣n=．10．C【解析】试题分析：将原式化为不含负整数指数幂的形式，再根据分式有意义的条件和0指数幂的意义解答．word格式-可编辑-感谢下载支持解：原式可化为：（x﹣2011）0+（）2，根据分式有意义的条件和0指数幂的意义可知：x≠2011，x≠0，根据原式可知，x﹣2012≠0，x≠2012．故选C．考点：负整数指数幂；零指数幂．点评：本题考查了负整数指数幂、零指数幂的意义，要知道，任何非0数的0次幂等于1．11．B【解析】试题分析：根据1毫米=直径×病毒个数，列式求解即可．解：100×10﹣6=10﹣4；=104个．故选B．考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法．点评：此题考查同底数幂的乘除运算法则，易出现审理不清或法则用错的问题而误选．解答此题的关键是注意单位的换算．12．2【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法的性质等式左边可以转化为3x×32=36，即可求得3x的值，然后把3x的值代入所求代数式求解即可．解：原等式可转化为：3x×32=36，解得3x=4，把3x=4代入得，原式=2．故答案为：2．考点：同底数幂的乘法．点评：本题考查了同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键，注意运用整体思想解题可以简化运算．13．a6+a5【解析】试题分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘计算即可．解：（a3）2+a5=a3×2+a5=a6+a5．考点：幂的乘方与积的乘方．点评：本题考查了幂的乘方的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键，要注意不是同类项的不能合并．14．12【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法与幂的乘方的性质，即可得a2m+n=a2m•a n=（a m）2•a n，又由a m=2，a n=3，即可求得答案．解：∵a m=2，a n=3，∴a2m+n=a2m•a n=（a m）2•a n=22×3=12．故答案为：12．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．点评：此题考查了同底数幂的乘法与幂的乘方的性质．此题难度适中，注意掌握积的乘方法则：（ab）n=a n b n（n是正整数）与同底数幂的乘法法则：a m•a n=a m+n（m，n是正整数），注意公式的逆用．15．四三【解析】试题分析：根据多项式的次数与项数的定义作答．解：∵（ab）2=a2b2，∴多项式﹣5（ab）2+ab+1是四次三项式．考点：幂的乘方与积的乘方；多项式．点评：本题主要考查了多项式的次数与项数的定义．几个单项式的和叫做多项式，其中每个单项式叫做多项式的项，一个多项式含有几项就叫几项式；多项式中次数最高的项的次数叫做多项式的次数．本题运用积的乘方的运算性质将（ab）2写成a2b2，是解题的关键．16．﹣2、2、4【解析】试题分析：由于（a﹣3）a+2=1，底数和指数都不确定，所以本题应分三种情况进行讨论．①若a﹣3≠±1时，根据零指数幂的定义，a+2=0，进而可以求出a的值；②若a﹣3=1时，1的任何次幂都等于1；③若a﹣3=﹣1时，﹣1的偶次幂等于1．解：①∵若a﹣3≠±1时，（a﹣3）a+2=1，∴a+2=0，∴a=﹣2．②若a﹣3=1时，1的任何次幂都等于1，∴a=4；③若a﹣3=﹣1时，﹣1的偶次幂等于1，∴a=2；故应填﹣2、2、4．考点：零指数幂．点评：本题主要考查了一些特殊数据的幂的性质，解题的关键是根据所给代数式的特点，分析a的值．17．16【解析】试题分析：根据数的乘方，零指数幂、积的乘方运算法则计算．解：=+1=；4101×0.2599=42×499×0.2599=16×（4×0.25）99=16×1=16．考点：零指数幂；有理数的乘方．点评：本题主要考查非0数的零指数幂是1，积的乘方运算的逆运算，熟练掌握运算性质是解决本题的关键．18．7【解析】试题分析：此题可对x+x﹣1=3两边同时平方求得x2+x﹣2的值．解：由于x+x﹣1=3，则（x+x﹣1）2=32，x2+x﹣2+2=9，即x2+x﹣2=7．word格式-可编辑-感谢下载支持故答案为7．考点：负整数指数幂．点评：本题主要考查整体法求值，涉及到负整数指数幂的知识点．19．p3；q2；p3q2．【解析】试题分析：利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．解：a3m=（a m）3=p3，a2n=（a n）2=q2，a3m+2n=a3m•a2n=p3q2．故填p3；q2；p3q2．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．点评：本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；熟练掌握性质是解题的关键．20．12【解析】试题分析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．解：∵a x=2，a y=3，∴a2x+y=a2x•a y，=（a x）2•a y，=4×3，=12．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．点评：本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．21．4.5【解析】试题分析：根据幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法的逆运算整理成已知条件的形式，然后代入数据求解即可．解：∵a m=9，a n=8，a k=4，∴a m﹣2k+n=a m÷a2k•a n，=a m÷（a k）2•a n，=9÷16×8，=4.5．考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．点评：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法性质的逆运用，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．22．【解析】试题分析：根据负整数指数幂的运算法则进行计算即可．解：原式==．故答案为．考点：负整数指数幂．点评：幂的负整数指数运算，先把底数化成其倒数，然后将负整数指数幂当成正的进行计算．23．106【解析】试题分析：用摩托车的声音强度除以说话声音强度，再利用同底数幂相除，底数不变指数相减计算．解：1011÷105=1011﹣5=106．答：摩托车的声音强度是说话声音强度的106倍．考点：同底数幂的除法．点评：本题主要考查同底数幂的除法的运算性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．24．a9【解析】试题分析：根据同底数幂的乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，即a m•a n=a m+n 计算即可．解：a3•a6=a3+6=a9．考点：同底数幂的乘法．点评：主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．25．①④【解析】试题分析：根据乘方的意义和幂的乘方的性质，利用排除法求解．解：①、乘方意义（﹣a4）2=（﹣a4）（﹣a4）=a4•a4=a8，正确；②、幂的乘方（﹣a4）2=a4×2=a8，错误；③、（﹣a4）2=（﹣a）4×2=（﹣a）8=a8，计算过程中（﹣a4）2应该等于a4×2，这里的负号不是底数a的，所以本答案错误．④、积的乘方（﹣a4）2=（﹣1×a4）2=（﹣1）2•（a4）2=a8，正确．故应填①④．考点：同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．点评：本题考查了同底数幂的乘法，幂的乘方的性质，熟练掌握各运算性质是解题的关键．26．243【解析】试题分析：根据积的乘方先求出结果，再根据幂的乘方得出9（x2n）3，代入求出即可．解：∵x2n=3，∴（3x3n）2=9x6n=9（x2n）3=9×33=9×27=243，故答案为：243．考点：幂的乘方与积的乘方．点评：本题考查了幂的乘方和积的乘方，有理数的混合运算的应用，注意：x mn=（x m）n，用了整体代入思想．27．1【解析】试题分析：根据非0数的0指数幂为1来解答．word格式-可编辑-感谢下载支持解：（﹣）0=1．考点：零指数幂．点评：解答此题要熟知，任何非0数的0次幂等于1．28．0【解析】试题分析：先利用积的乘方，去掉括号，再利用同底数幂的乘法计算，最后合并同类项即可．解：原式=a n﹣5（a2n+2b6m﹣4）+a3n﹣3b3m﹣6（﹣b3m+2），=a3n﹣3b6m﹣4+a3n﹣3（﹣b6m﹣4），=a3n﹣3b6m﹣4﹣a3n﹣3b6m﹣4，=0．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．点评：本题考查了合并同类项，同底数幂的乘法，幂的乘方，积的乘方，理清指数的变化是解题的关键．29．63【解析】试题分析：根据同底数的幂的乘法，把a m+n变成a m×a n，代入求出即可．解：∵a m=3，a n=21，∴a m+n=a m×a n=3×21=63．考点：同底数幂的乘法．点评：本题考查了同底数的幂的乘法的应用，关键是把a m+n变成a m×a n，题目比较好，但是一道比较容易出错的题目．30．（1）2 4 6（2）log24+log216=log264（3）log a（MN）（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．【解析】试题分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．考点：幂的乘方与积的乘方．点评：本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．。
整式的乘除专题复习
整式的乘除专题复习一、幂的运算：〔一〕幂的四种运算法那么：同底数幂的乘法：m n m n a a a +⋅=〔m 、n 为正整数〕 幂的乘方：()m n mn a a =〔m 、n 为正整数〕 积的乘方：()n n n ab a b =〔n 为正整数〕 同底数幂的除法：〔1〕a a a m n m n ÷=-〔a m n ≠0，、为正整数，m n >)〔2〕零指数幂：)0(10≠=a a ，〔3〕负整数指数幂：p p aa 1=-〔0≠a ，p 是正整数〕。
〔二〕科学记数法:把一个绝对值大于10(或者小于1)的数记为a ×10n 或a ×10-n 的形式的记法。
(其中1≤|a|＜10) 〔三〕幂的大小比拟：重点掌握1. 底数比拟法：在指数一样的情况下，通过比拟底数的大小，来确定两个幂的大小。
2. 指数比拟法：在底数一样的情况下，通过比拟指数的大小，来确定两个幂的大小。
〔三〕应注意的问题：1.注意法那么的①拓展性②广泛性③可逆性④灵活性2. 注意科学记数法中n 确实定方法。
二、整式的乘法运算：整式的乘法运算包括①单项式与单项式相乘②单项式与多项式相乘③多项式与多项式相乘。
要理解掌握法那么，进展整式的乘法运算应注意把握以下几点： 1．积的符号 2.积的项数〔不要漏乘〕 3.积的形式 4. 运算顺序 5.数学学习方法：①类比方法②转化思想 三、乘法公式： 1. 平方差公式：〔a+b 〕(a-b)= ， 常见的几种变化有：① 位置变化：(x+y)(-y+x)=②符号变化：(-x+y)(-x-y)= ③ 指数变化：(x 3+y 2)(x 3-y 2)=④系数变化：(2a+b)(2a-b)=⑤ 换式变化：[xy+(z+m)][xy-(z+m)]=⑥项数变化：(x-y+z)(x-y-z)= ⑦ 连用变化：(x+y)(x-y)(x 2+y 2)= ⑧逆用变化：(x-y+z)2-(x+y-z)2=2．完全平方公式：2)(b a += ；2)(b a -= 。
整式的乘除法(知识解读+真题演练+课后巩固)(解析版)
第02讲整式的乘除法1.掌握单项式乘（或除以）单项式，多项式乘（或除以）单项式以及多项式乘多项式的法则，并运用它们进行运算．2.掌握整式的加、减、乘、除、乘方的较简单的混合运算，并能灵活的运用运算律进行混合运算。
知识点1：单项式乘单项式单项式的乘法法则：单项式相乘，把系数、同底数幂分别相乘，作为积的因式；对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．知识点2：单项式乘多项式单项式与多项式的乘法法则：单项式与多项式相乘，用单项式和多项式的每一项分别相乘，再把所得的积相加．知识点3：多项式乘多项式多项式与多项式的乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项与另一个多项式的每一项相乘，再把所得的积相加．知识点4：单项式的除法法则：单项式相除，把系数、同底数幂分别相除，作为商的因式：对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．知识点5：多项式除以单项式的法则：多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加．【题型1单项式乘单项式】【典例1】（2023春•青龙县期末）计算2x2y•xy2的结果是2x3y3．【答案】2x3y3．【解答】解：2x2y•xy2＝2x3y3．故答案为：2x3y3．【变式1-1】（2023•长岭县模拟）计算（2x）2（﹣3xy2）＝﹣12x3y2．【答案】﹣12x3y2．【解答】解：（2x）2（﹣3xy2）＝4x2•（﹣3xy2）＝4×（﹣3）•（x2•x）•y2＝﹣12x3y2．故答案为：﹣12x3y2．【变式1-2】（2023春•永定区期末）计算：2（a2）3•（﹣3a2b）＝﹣6a8b．【答案】﹣6a8b．【解答】解：2（a2）3•（﹣3a2b）＝2a6•（﹣3a2b）＝﹣6a8b．故答案为：﹣6a8b．【变式1-3】（2023春•新城区校级期末）＝﹣3x4y5．【答案】﹣3x4y5．【解答】解：原式＝6×（﹣）•（x•x3）•（y3•y2）＝﹣3x4y5，故答案为：﹣3x4y5．【题型2单项式乘多项式】【典例2】（2023春•秦都区期中）计算：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）．【答案】﹣20a2．【解答】解：3a（2a2﹣4a）﹣2a2（3a+4）＝6a3﹣12a2﹣6a3﹣8a2＝﹣20a2．【变式2-1】（2023春•青秀区期中）化简：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）．【答案】﹣4x2+18x．【解答】解：x+2x（x+1）﹣3x（2x﹣5）＝x+2x2+2x﹣6x2+15x＝﹣4x2+18x．【变式2-2】（2022春•槐荫区期末）计算：﹣3a（2a﹣4b+2）+6a．【答案】﹣6a2+12ab．【解答】解：原式＝﹣6a2+12ab﹣6a+6a＝﹣6a2+12ab．【变式2-3】（2022春•平桂区期中）计算：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）．【答案】4m3．【解答】解：m（m3+m2）﹣m3（m﹣3）＝m4+m3﹣m4+3m3＝4m3．【题型3多项式乘多项式】【典例3】（2022秋•惠阳区校级月考）计算：（1）（x﹣3）（x2+4）；（2）（3x2﹣y）（x+2y）．【答案】（1）x3﹣3x2+4x﹣12；（2）3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【解答】解：（1）（x﹣3）（x2+4）＝x3﹣3x2+4x﹣12；（2）（3x2﹣y）（x+2y）＝3x3﹣xy﹣2y2+6yx2．【变式3-1】（2022秋•兴城市期末）计算：（2a﹣3b）（2a2+6ab+5b2）．【答案】4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【解答】解：原式＝4a3+12a2b+10ab2﹣6a2b﹣18ab2﹣15b3＝4a3+6a2b﹣8ab2﹣15b3．【变式3-2】（2022秋•南宫市期末）计算：（x﹣2）（x﹣5）﹣x2．【答案】10﹣7x．【解答】解：原式＝x2﹣7x+10﹣x2＝10﹣7x．【变式3-3】（2023春•沙坪坝区校级期末）计算：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）．（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）．【答案】（1）2x6﹣12x5﹣6x4；（2）4x2﹣19．【解答】解：（1）（2x2）3﹣6x3（x3+2x2+x）＝8x6﹣6x6﹣12x5﹣6x4＝2x6﹣12x5﹣6x4（2）（2x﹣1）（x+4）+（2x+3）（x﹣5）＝2x2﹣x+8x﹣4+2x2+3x﹣10x﹣15＝4x2﹣19【题型3多项式乘多项式-不存在某项问题】【典例4】（2023春•昭平县期末）已知（x2+mx﹣3）（2x+n）的展开式中不含x2项，常数项是﹣6．（1）求m，n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝﹣1，n＝2；（2）7．【解答】解：（1）原式＝2x3+2mx2﹣6x+nx2+mnx﹣3n＝2x3+2mx2+nx2+mnx﹣6x﹣3n＝2x3+（2m+n）x2+（mn﹣6）x﹣3n，由于展开式中不含x2项，常数项是﹣6，则2m+n＝0且﹣3n＝﹣6，解得：m＝﹣1，n＝2；（2）由（1）可知：m＝﹣1，n＝2，∴原式＝m3+n3＝（﹣1）3+23，＝﹣1+8＝7．【变式4-1】（2023春•巨野县期末）（1）若（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）的展开式中不含x2和x3项，求m、n的值．（2）求（m+n）（m2﹣mn+n2）的值．【答案】（1）m＝3，n＝8；（2）m3+n3．【解答】解：（1）（x2+mx+n）（x2﹣3x+1）＝x4﹣3x3+x2+mx3﹣3mx2+mx+nx2﹣3nx+n＝x4+（﹣3+m）x3+（1﹣3m+n）x2+（m﹣3n）x+n，∵展开式中不含x2和x3项，∴﹣3+m＝0，1﹣3m+n＝0，解得：m＝3，n＝8；（2）（m+n）（m2﹣mn+n2）＝m3﹣m2n+mn2+m2n﹣mn2+n3＝m3+n3．【变式4-2】（2023春•温江区校级期中）若（x+m）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，求n m的值．【答案】36．【解答】解：（x+m）（x2﹣3x+n）＝x3﹣3x2+nx+mx2﹣3mx+mn＝x3+（﹣3+m）x2+（n﹣3m）x+mn，∵展开式中不含x项，x2项的系数为﹣1，∴n﹣3m＝0，﹣3+m＝﹣1，解得：m＝2，n＝6，∴n m＝62＝36．【变式4-3】（2023春•茶陵县期中）若的积中不含x项与x2项．（1）求p、q的值；（2）求代数式p2022q2023的值．【答案】（1）；（2）3．【解答】解：（1）原式＝＝，∵不含x2项与x项，∴3p﹣1＝0，，∴，q＝3；（2）当，q＝3时，原式＝＝＝12022×3＝1×3＝3．【题型3多项式乘多项式的实际应用】【典例5】（2022秋•松原期末）如图，某小区有一块长为（2a+3b）米，宽为（3a+2b）米的长方形地块，物业公司计划在小区内修一条平行四边形小路，小路的底边宽为a米，将阴影部分进行绿化．（1）用含有a、b的式子表示绿化的总面积S；（2）若a＝2，b＝4，求出此时绿化的总面积S．【答案】（1）（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）196平方米．【解答】解：（1）由题意得：S＝（3a+2b）（2a+3b）﹣a（3a+2b）＝6a2+9ab+4ab+6b2﹣3a2﹣2ab＝（3a2+11ab+6b2）平方米；（2）当a＝2，b＝4，S＝3×22+11×2×4+6×42＝196（平方米）．【变式5-1】（2023春•绥德县期末）如图，在某高铁站广场前有一块长为2a+b，宽为a+b的长方形空地，计划在中间留两个长方形喷泉池（图中阴影部分），两个长方形喷泉池及周边留有宽度为b的人行通道．（1）求该长方形空地的面积；（用代数式表示）（2）求这两个长方形喷泉池的总面积；（用代数式表示）（3）当a＝200，b＝100时，求这两个长方形喷泉池的总面积．【答案】（1）2a2+3ab+b2；（2）2a2﹣4ab+2b2；（3）20000．【解答】解：（1）（a+b）（2a+b）＝2a2+3ab+b2，答：该长方形空地的面积为2a2+3ab+b2．（2）（a+b﹣2b）（2a+b﹣3b）＝（a﹣b）（2a﹣2b）＝2a2﹣4ab+2b2．答：这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2．（3）当a＝200，b＝100时，这两个长方形喷泉池的总面积为2a2﹣4ab+2b2＝2×2002﹣4×200×100+2×1002＝20000．即这两个长方形喷泉池的总面积为20000．【变式5-2】（2022秋•晋江市期末）甲、乙两个长方形的边长如图所示，其面积分别记为S1，S2．（1）请通过计算比较S1与S2的大小；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长的和，设该正方形的面积为S3，试说明代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数．【答案】（1）S1＞S2；（2）代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数20．【解答】解：（1），，∵，∴S1＞S2；（2）由题意得：正方形的边长是：，∴，∵＝4m2+24m+36﹣2m2﹣12m﹣16﹣2m2﹣12m＝20，∴代数式S3﹣2（S1+S2）的值是一个常数20．【变式5-3】（2023春•张店区期中）某学校准备在一块长为（3a+2b）米，宽为（2a+b）米的长方形空地上修建一块长为（a+2b）米，宽为（3a﹣b）米的长方形草坪，四周铺设地砖（阴影部分），（1）求铺设地砖的面积；（用含a、b的式子表示，结果化为最简）（2）若a＝3，b＝4，铺设地砖的成本为50元/平方米，则完成铺设地砖需要多少元？【答案】（1）（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）5750元．【解答】解：（1）（3a+2b）（2a+b）﹣（a+2b）（3a﹣b）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣（3a2﹣ab+6ab﹣2b2）＝6a2+3ab+4ab+2b2﹣3a2+ab﹣6ab+2b2＝（3a2+2ab+4b2）平方米．故铺设地砖的面积为（3a2+2ab+4b2）平方米；（2）当a＝3，b＝4时，原式＝3×32+2×3×4+4×42＝3×9+24+4×16＝27+24+64＝115，则115×50＝5750（元）．答：完成铺设地砖需要5750元．【典例6】（2022秋•西湖区校级期末）当我们利用两种不同的方法计算同一图形的面积时，可以得到一个等式，由图1，可得等式：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．（1）由图2可得等式：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．（2）利用（1）中所得到的结论，解决下面的问题：已知a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，求a2+b2+c2的值；（3）利用图3中的纸片（足够多），画出一种拼图，使该拼图可用来验证等式：2a2+5ab+2b2＝（2a+b）（a+2b）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc；（2）∵a+b+c＝11，ab+bc+ac＝38，∴a2+b2+c2＝（a+b+c）2﹣2（ab+ac+bc）＝121﹣76＝45；（3）如图所示：故答案为：（a+b+c）2＝a2+b2+c2+2ab+2ac+2bc．【变式6-1】（2023春•龙泉驿区期末）“以形释数”是利用数形结合思想证明代数问题的一种体现，若干张边长为a的正方形A纸片，边长为b的正方形B纸片，长和宽分别为a与b的长方形C纸片（如图1）．（1）小李同学拼成一个宽为（a+b），长为（a+2b）的长方形（如图2），并用不同的方法计算面积，从而得出相应的等式：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2（答案直接填写到横线上）；（2）如果用这三种纸片拼出一个面积为（2a+b）（a+3b）的大长方形，求需要A，B，C三种纸片各多少张；（3）利用上述方法，画出面积为2a2+5ab+2b2的长方形，并求出此长方形的周长（用含a，b的代数式表示）．【答案】（1）（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；（3）6a+6b．【解答】解：（1）图2是长为（a+2b），宽为（a+b）的长方形，因此面积为（a+2b）（a+b），图2是6个部分的面积和，即a2+3ab+2b2，因此（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2，故答案为：（a+b）（a+2b）＝a2+3ab+2b2；（2）∵（2a+b）（a+3b）＝2a2+7ab+3b2，∵A纸片的面积为a2，B纸片的面积为b2，C纸片的面积为ab，∴A纸片需要2张，B纸片需要3张，C纸片需要7张；（3）由于2a2+5ab+2b2＝（a+2b）（2a+b），因此可以拼成长为（2a+b），宽为（a+2b）的长方形，如图所示：这个长方形的周长为：2×[（2b+a）+（2a+b）]＝6a+6b，答：此长方形的周长为6a+6b．【变式6-2】（2021秋•罗庄区期末）我们知道多项式的乘法可以利用图形的面积进行解释，如（2a+b）（a+b）＝2a2+3ab+b2就能用图1或图2等图形的面积表示：（1）请你写出图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2．（2）试画出一个图形，使它的面积能表示：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）∵长方形的面积＝长×宽，∴图3的面积＝（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故图3所表示的一个等式：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2，故答案为：（a+2b）（2a+b）＝2a2+5ab+2b2；（2）∵图形面积为：（a+b）（a+3b）＝a2+4ab+3b2，∴长方形的面积＝长×宽＝（a+b）（a+3b），由此可画出的图形为：【题型4单项式除法运算】【典例7】（2023•青岛）计算：8x3y÷（2x）2＝2xy．【答案】2xy．【解答】解：原式＝8x3y÷4x2＝2xy，故答案为：2xy．【变式7-1】（2022秋•柳州期末）计算4x2y÷2xy＝2x．【答案】2x．【解答】解：原式＝2x，故答案为：2x．【变式7-2】（2023春•威宁县期末）计算：﹣28a3÷7a＝﹣4a2．【答案】﹣4a2．【解答】解：﹣28a3÷7a＝﹣4a2，故答案为：﹣4a2．【变式7-3】（2023秋•鲤城区校级月考）计算：6a2b÷2ab＝3a．【答案】3a．【解答】解：6a2b÷2ab＝3a，故答案为：3a．【变式7-4】（2023•城阳区三模）＝﹣a4b5．【答案】﹣a4b5【解答】解：﹣a6b7÷（a2b2）＝[﹣÷（）]•a6﹣2b7﹣2＝﹣a4b5，答案为：﹣a4b5【题型5多项式除法运算】【典例8】（2023•丰城市校级开学）先化简，再求值：（12a3﹣6a2+3a）÷3a，其中a＝﹣1．【答案】4a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（12a3﹣6a2+3a）÷3a＝12a3÷3a﹣6a2÷3a+3a÷3a＝4a2﹣2a+1，当a＝﹣1时，原式＝4×（﹣1）2﹣2×（﹣1）+1＝4×1+2+1＝4+2+1＝7．【变式8-1】（2023春•济南期中）计算：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab．【答案】b2﹣2ab+1．【解答】解：（ab3﹣2a2b2+ab）÷ab＝ab3÷ab﹣2a2b2÷ab+ab÷ab＝b2﹣2ab+1．【变式8-2】（2023春•莲湖区期中）计算：（15x4y2﹣12x2y3﹣3x2）÷（﹣3x2）．【答案】﹣5x2y2+4y3+1．【解答】解：原式＝15x4y2÷（﹣3x2）﹣12x2y3÷（﹣3x2）﹣3x2÷（﹣3x2）＝﹣5x2y2+4y3+1；【变式8-3】（2023春•西安月考）计算：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）．【答案】﹣a3b+3ab2c．【解答】解：ab（2a3b2c﹣6ab3c2）÷（﹣2ab2c）＝（2a4b3c﹣6a2b4c2）÷（﹣2ab2c）＝﹣a3b+3ab2c．1．（2023•随州）设有边长分别为a和b（a＞b）的A类和B类正方形纸片、长为a宽为b的C类矩形纸片若干张．如图所示要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片．若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为（）A．6B．7C．8D．9【答案】C【解答】解：∵（3a+b）（2a+2b）＝6a2+6ab+2ab+2b2＝6a2+8ab+2b2，∴若要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则需要C类纸片的张数为8张．故选：C．2．（2023•金昌）计算：a（a+2）﹣2a＝（）A．2B．a2C．a2+2a D．a2﹣2a【答案】B【解答】解：原式＝a2+2a﹣2a＝a2．故选：B．3．（2021•兰州）计算：2a（a2+2b）＝（）A．a3+4ab B．2a3+2ab C．2a+4ab D．2a3+4ab【答案】D【解答】解：2a（a2+2b）＝2a•a2+2a•2b＝2a3+4ab．故选：D．4．（2020•兰州）化简：a（a﹣2）+4a＝（）A．a2+2a B．a2+6a C．a2﹣6a D．a2+4a﹣2【答案】A【解答】解：a（a﹣2）+4a＝a2﹣2a+4a＝a2+2a，故选：A．5．（2021•凉山州）阅读以下材料：苏格兰数学家纳皮尔（J．Npler，1550﹣1617年）是对数的创始人．他发明对数是在指数书写方式之前，直到18世纪瑞士数学家欧拉（Evler，1707﹣1783年）才发现指数与对数之间的联系．对数的定义：一般地，若a x＝N（a＞0且a≠1），那么x叫做以a为底N的对数，记作x＝log a N，比如指数式24＝16可以转化为对数式4＝log216，对数式2＝log39可以转化为指数式32＝9．我们根据对数的定义可得到对数的一个性质：log a（M•N）＝log a M+log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0），理由如下：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴M•N＝a m•a n＝a m+n，由对数的定义得m+n＝log a（M•N）．又∵m+n＝log a M+log a N，∴log a（M•N）＝log a M+log a N．根据上述材料，结合你所学的知识，解答下列问题：（1）填空：①log232＝5，②log327＝3，③log71＝0；（2）求证：log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）拓展运用：计算log5125+log56﹣log530．【答案】（1）5，3，0；（2）见解答；（3）2．【解答】解：（1）log232＝log225＝5，log327＝log333＝3，log71＝log770＝0；故答案为：5，3，0；（2）证明：设log a M＝m，log a N＝n，则M＝a m，N＝a n，∴＝＝a m﹣n，由对数的定义得m﹣n＝log a，又∵m﹣n＝log a M﹣log a N，∴log a＝log a M﹣log a N（a＞0，a≠1，M＞0，N＞0）；（3）原式＝log5（125×6÷30）＝log525＝2．1．（2023春•市南区校级期中）小明有足够多的如图所示的正方形卡片A，B和长方形卡片C，如果他要拼一个长为（a+2b），宽为（a+b）的大长方形，共需要C类卡片（）A．3张B．4张C．5张D．6张【答案】A【解答】解：（a+2b）（a+b）＝a2+3ab+2b2．则需要C类卡片张数为3张，故选：A．2．（2022秋•新抚区期末）如图1，将一张长方形纸板四角各切去一个同样的正方形，制成如图2的无盖纸盒，若该纸盒的容积为4a2b，则图2中纸盒底部长方形的周长为（）A．4ab B．8ab C．4a+b D．8a+2b【答案】D【解答】解：根据题意，得纸盒底部长方形的宽为＝4a，∴纸盒底部长方形的周长为：2（4a+b）＝8a+2b．故选：D．3．（2023春•裕华区期中）化简x（x﹣2）+4x的结果是（）A．x2+6x B．x2﹣2x C．x2﹣6x D．x2+2x【答案】D【解答】解：x（x﹣2）+4x＝x2﹣2x+4x＝x2+2x．故选：D．4．（2023春•平湖市期中）计算（a+3b）（a+2b）的结果是（）A．a2+5ab+5b2B．a2+5ab+6b2C．a2+5b2D．a2+6b2【答案】B【解答】解：原式＝a2+2ab+3ab+6b2＝a2+5ab+6b2，故选：B．5．（2023春•临清市期末）若（x2﹣px+q）（x﹣3）展开后不含x的一次项，则p与q的关系是（）A．p＝3q B．p+3q＝0C．q+3p＝0D．q＝3p【答案】C【解答】解：（x2﹣px+q）（x﹣3）＝x3﹣3x2﹣px2+3px+qx﹣3q＝x3+（﹣p﹣3）x2+（3p+q）x﹣3q，∵结果不含x的一次项，∴q+3p＝0．故选：C．6．（2023春•承德县期末）若（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，则m，n的值分别是（）A．4，﹣3B．﹣7，4C．﹣5，18D．4，7【答案】D【解答】解：∵（x﹣3）（x+n）＝x2+mx﹣21，∴x2+nx﹣3x﹣3n＝x2+mx﹣21，即x2+（n﹣3）x﹣3n＝x2+mx﹣21，∴n﹣3＝m，﹣3n＝﹣21，∴m＝4，n＝7，故选：D．7．（2023春•包河区期中）若关于x的多项式（x2+ax）（x﹣2）展开合并后不含x2项，则a的值是（）A．2B．C．0D．﹣2【答案】A【解答】解：（x2+ax）（x﹣2）＝x3﹣2x2+ax2﹣2ax＝x3+（a﹣2）x2+ax2﹣2ax由题意得，a﹣2＝0，解得a＝2，故选：A．8．（2023春•漳浦县期中）已知（x﹣1）（x﹣2）＝x2+mx+n，则m+n的值为（）A．﹣1B．﹣5C．5D．1【答案】A【解答】解：∵（x﹣1）（x﹣2）＝x2﹣3x+2，∴m＝﹣3，n＝2，∴m+n＝﹣1，故选：A．9．（2023春•潍坊期中）计算下列各题：（1）x2•（﹣2xy2）3；（2）（2m+1）•．【答案】（1）﹣8x5y6；（2）﹣2m3﹣m﹣1．【解答】解：（1）x2•（﹣2xy2）3＝x2•（﹣8x3y6）＝﹣8x5y6；（2）（2m+1）•＝﹣2m3+m2﹣2m﹣m2+m﹣1＝﹣2m3﹣m﹣1．10．（2022秋•河北区期末）计算：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3；（2）（2x+1）（x﹣2）．【答案】（1）﹣6a6；（2）2x2﹣3x﹣2．【解答】解：（1）a•a5+（a3）2﹣（2a2）3＝a6+a6﹣8a6＝﹣6a6；（2）（2x+1）（x﹣2）＝2x2﹣4x+x﹣2＝2x2﹣3x﹣2．11．（2022秋•天河区期末）计算：（2x+1）（x﹣3）【答案】见试题解答内容【解答】解：（2x+1）（x﹣3）＝2x2﹣6x+x﹣3＝2x2﹣5x﹣3．12．（2022春•临湘市校级月考）计算：（1）（﹣2a2b）3+8（a2）2•（﹣a2）•（﹣b）3；（2）（x﹣1）（x2+x+1）．【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）原式＝﹣8a6b3+8a6b3＝0；（2）原式＝x3+x2+x﹣x2﹣x﹣1＝x3﹣1．13．（2022秋•昌吉市校级期末）如图，某市有一块长为（3a+b）米，宽为（2a+b）米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像．（1）试用含a、b的代数式表示绿化的面积是多少平方米？（2）若a＝10，b＝8，且每平方米造价为100元，求出绿化需要多少费用？【答案】见试题解答内容【解答】解：（1）根据题意得：（3a+b）（2a+b）﹣（a+b）2＝6a2+3ab+2ab+b2﹣a2﹣2ab﹣b2＝（5a2+3ab）平方米．则绿化的面积是（5a2+3ab）平方米；（2）当a＝10，b＝8时，原式＝500+240＝740（平方米），740×100＝74000（元）．故绿化需要74000元费用．14．（2022秋•衡南县期中）若（x2+mx）（x2﹣3x+n）的展开式中不含x2和x3项，求m和n的值．【答案】见试题解答内容【解答】解：原式＝x4+（m﹣3）x3+（n﹣3m）x2+mnx，根据展开式中不含x2和x3项得：，解得：．故m的值是3，n的值是9．15．（2022春•揭东区期末）如图1，在某住房小区的建设中，为了提高业主的宜居环境，小区准备在一个长为（4a+3b）米，宽为（2a+3b）米的长方形草坪上修建一横一竖，宽度均为b米的通道．（1）通道的面积共有多少平方米？（2）剩余草坪的面积是多少平方米？（3）若修两横一竖，宽度均为b米的通道（如图2），已知a＝2b，剩余草坪的面积是216平方米，求通道的宽度是多少米？【答案】见试题解答内容＝b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣b2【解答】解：（1）S通道＝2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2＝（6ab+5b2）（平方米）．答：通道的面积共有（6ab+5b2）平方米；＝（4a+3b）（2a+3b）﹣（6ab+5b2）（2）S草坪＝8a2+6ab+12ab+9b2﹣（2ab+3b2+4ab+3b2﹣b2）＝8a2+18ab+9b2﹣6ab﹣5b2＝（8a2+12ab+4b2）（平方米）．答：剩余草坪的面积是（8a2+12ab+4b2）平方米；＝（4a+3b）（2a+3b）﹣[2b（2a+3b）+b（4a+3b）﹣2b2]（3）S草坪＝8a2+18ab+9b2﹣（4ab+6b2+4ab+3b2﹣2b2）＝8a2+18ab+9b2﹣8ab﹣7b2＝8a2+10ab+2b2，∵a＝2b，∴32b2+20b2+2b2＝54b2＝216，∴b2＝4，∴b＝2（米）．答：通道的宽度是2米．16．（2023•桃城区校级模拟）甲、乙两个长方形的边长如图所示（m为正整数），其面积分别为S1，S2．（1）填空：S1﹣S2＝2m﹣1（用含m的代数式表示）；（2）若一个正方形的周长等于甲、乙两个长方形的周长之和．①设该正方形的边长为x，求x的值（用含m的代数式表示）；②设该正方形的面积为S3，试探究：S3与2（S1+S2）的差是否是常数？若是常数，求出这个常数，若不是常数，请说明理由．【答案】（1）2m﹣1；（2）①2m+7；②S3与2（S1+S2）的差是常数19．【解答】解：（1）S1﹣S2＝（m+7）（m+1）﹣（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）﹣（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7﹣m2﹣2m﹣4m﹣8＝2m﹣1，故答案为：2m﹣1；（2）①根据题意得：4x＝2（m+7+m+1）+2（m+4+m+2），解得：x＝2m+7，答：x的值为2m+7；②∵S1+S2＝（m+7）（m+1）+（m+4）（m+2）＝（m2+m+7m+7）+（m2+2m+4m+8）＝m2+m+7m+7+m2+2m+4m+8＝2m2+14m+15，∴S3﹣2（S1+S2）＝（2m+7）2﹣2（2m2+14m+15）＝4m2+28m+49﹣4m2﹣28m﹣30＝19，答：S3与2（S1+S2）的差是常数19．。
七年级 整式乘除运算.题库教师版
整式乘除运算板块一 幂的运算幂的运算概念：求n 个相同因数的积的运算，叫做乘方，乘方的结果叫做幂，在n a 中，a 叫做底数，n 叫做指数. 含义：n a 中，a 为底数，n 为指数，即表示a 的个数，n a 表示有n 个a 连续相乘.例如：53表示33333⨯⨯⨯⨯，5(3)-表示(3)(3)(3)(3)(3)-⨯-⨯-⨯-⨯-，53-表示(33333)-⨯⨯⨯⨯52()7表示2222277777⨯⨯⨯⨯，527表示222227⨯⨯⨯⨯ 特别注意负数及分数的乘方，应把底数加上括号.“奇负偶正”口诀的应用：口诀“奇负偶正”在多处知识点中均提到过，它具体的应用有如下几点：⑴多重负号的化简，这里奇偶指的是“－”号的个数，例如：[](3)3---=-；[](3)3-+-=. ⑵有理数乘法，当多个非零因数相乘时，这里奇偶指的是负因数的个数，正负指结果中积的符号， 例如：(3)(2)(6)36-⨯-⨯-=-，而(3)(2)(6)36-⨯-⨯+=.⑶有理数乘方，这里奇、偶指的是指数，当底数为负数时，指数为奇数，则幂为负；指数为偶数，则幂为正， 例如：2(3)9-=，3(3)27-=-.特别地：当n 为奇数时，()n n a a -=-；而当n 为偶数时，()n n a a -=.负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数正数的任何次幂都是正数，1的任何次幂都是1，任何不为0的数的0次幂都是“1”.⑴ 同底数幂相乘．同底数的幂相乘，底数不变，指数相加．用式子表示为： m n m n a a a +⋅=（,m n 都是正整数）． ⑵ 幂的乘方．幂的乘方的运算性质：幂的乘方，底数不变，指数相乘．用式子表示为： ()nm mn a a =（,m n 都是正整数）．⑶ 积的乘方．积的乘方的运算性质：积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘．用式子表示为： ()nn n ab a b =（n 是正整数）．⑷ 同底数幂相除．同底数的幂相除，底数不变，指数相减．用式子表示为： m n m n a a a -÷= （0a ≠，m ，n 都是正整数）⑸ 规定()010a a =≠；1p p a a-=（0a ≠，p 是正整数）．【例1】 下列计算正确的是（ ）A ．3515a a a ⋅=B ．623a a a ÷=C ．358a a a +=D ．()43a a a -÷=【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】幂的运算【解析】根据同底数幂相乘除的法则，应选D【答案】D【巩固】 下列计算错误的是（ ） A ．()333327ab a b -=- B ．2326411416a b a b ⎛⎫-= ⎪⎝⎭C ．()326xy xy -=- D ．()24386a b a b -=【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】幂的运算【解析】根据积的乘方运算法则，应选C 【答案】C【巩固】 计算：()43- 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】幂的运算【解析】()()()()433(3)3381-=-⨯-⨯-⨯-=【答案】81【巩固】 计算：43- 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】幂的运算【解析】43(3333)81-=-⨯⨯⨯=- 【答案】81-【巩固】 计算：332⎛⎫- ⎪⎝⎭【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】幂的运算【解析】333332722228⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-⨯-⨯-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭【答案】278-【巩固】 计算：332-【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】幂的运算【解析】3333327222⨯⨯-=-=-【答案】272-【例2】 已知0a b +=，n 为正数，则下列等式中一定成立的是（ ） A ．0n n a b += B ．220n n a b += C ．21210n n a b +++= D ．110n n a b +++= 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】选择 【关键词】幂的运算【解析】因为a b ，互为相反数，它们的偶次幂相等，而奇次幂互为相反数，指数中只有21n +一定是奇数，故选C【答案】C【例3】 填空：54x x x ÷⨯= ； 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式448x x x =⋅= 【答案】8x【例4】 填空：()()()324a a a -⋅-⋅-= ； 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式()99a a =-=-【答案】9a -【例5】 填空：()()2322a b b ⋅-= ；【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式()4234588a b b a b =⋅-=- 【答案】458a b -【例6】 填空：()()3223x x x --⋅=【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式65x x =- 【答案】65x x -【巩固】 填空：()4m m x x ÷=；()224m a a +⋅=；()234nn n n a b =；()()()284n a a a ⎡⎤==⎣⎦【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】填空【关键词】同底数幂的乘除运算【解析】⑴3m x ；⑵22m a +；⑶234a b ；⑷()24824n n n a a a ⋅⎡⎤==⎣⎦【答案】见解析【例7】 计算：()623x x x ÷⋅； 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式x = 【答案】x【例8】 计算：()1243x x x ⋅÷ 【考点】幂的运算 【难度】1星【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式1213x x x =⋅= 【答案】13x【巩固】 计算（n 是大于3的整数）：12n n n x x x --⋅÷ 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式1n x += 【答案】1n x +【例9】 计算：()323n n n x x x -÷⋅ 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算【关键词】同底数幂的乘除运算 【解析】原式()3233n n n x x -+-==【答案】3x【例10】 把下列各式写成乘方运算的形式：111111444444⨯⨯⨯⨯⨯ ；【考点】整式的乘除 【难度】1星 【题型】计算【关键词】单项式乘单项式 【解析】略 【答案】614⎛⎫⎪⎝⎭【例11】 计算：()()()()()1333335⨯-⨯-⨯-⨯-⨯-【考点】整式的乘除 【难度】1星 【题型】计算【关键词】单项式乘单项式【答案】()5135⨯-【例12】 计算：()()()()n a ba b a b a b a b +++++L L 1444442444443个 ；【考点】整式的乘除 【难度】1星 【题型】计算【关键词】单项式乘单项式 【解析】略 【答案】()na b +【例13】 计算：()()66666-⨯⨯-⨯⨯- 【考点】整式的乘除 【难度】1星 【题型】计算【关键词】单项式乘单项式 【解析】原式5666666=-⨯⨯⨯⨯=- 【答案】56-【例14】 计算：()()()5246a a a a -⋅-⋅-⋅- 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】 【解析】原式()()246517a a a a a =-⋅-⋅⋅-=-【答案】17a -【例15】 计算：54189t t t t ⋅-÷ 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式990t t =-= 【答案】0【例16】 计算：()()()3232a a a -⋅---【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式56a a =-+ 【答案】56a a -+【例17】 计算：()()()2263338x x x ⎡⎤---+-⎣⎦【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式666980x x x =-+= 【答案】0【例18】 计算：()3232942x x x x x ⋅-+÷【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式5628x x =- 【答案】5628x x -【例19】 计算：()()()410110742211---+---；【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式()442211=-----16161132=---+=- 【答案】32-【例20】 计算：()()32315322154⎛⎫⎛⎫-⨯--÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算【解析】原式()231125322154⎛⎫⎛⎫=-⨯--÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152********⎛⎫=⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭【答案】85【例21】 速算比赛：A 组：⑴1020a a ⋅；⑵1002()a ；⑶10202()a b ；⑷1002a a ÷，其中0a ≠，0b ≠.B 组：⑴32()()x x -⋅-；⑵3223()()a a -⋅-；⑶224(2)(4)a a -⋅-；⑷2232(2)()(3)m n n x y x y xy -⋅-⋅-【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】A 组：⑴102030a a a ⋅=；⑵1002200()a a =；⑶102022040()a b a b =；⑷100298a a a ÷=；B 组：⑴解法一：32325()()x x x x x -⋅-=-⋅=-；解法二：3255()()()x x x x -⋅-=-=-； ⑵32236612()()()a a a a a -⋅-=⋅-=-；⑶224448(2)(4)4(4)16a a a a a -⋅-=⋅-=-； ⑷2232226322752(2)()(3)4()(3)12m n n m n n m n x y x y xy x y x y xy x y ++-⋅-⋅-=⋅-⋅-=；【答案】见解析【例22】 计算（n 是正整数）：()()()2323nn n a b a b ---【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式()231125322154⎛⎫⎛⎫=-⨯--÷-⨯- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭152********⎛⎫=⨯-⨯⨯-= ⎪⎝⎭【答案】85【例23】 计算：()322232n n n a a a a +-⋅÷【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式33327225n n n a a a =-= 【答案】325n a【例24】 计算：()()()24143 6.526313⎛⎫--⨯+-÷-= ⎪⎝⎭__________【考点】整式的综合运算【题型】计算【关键词】第14届，华杯赛决赛 【解析】略【答案】949【例25】 计算：43()()x y x y ++ 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】437()()()x y x y x y ++=+ 【答案】()7x y +【例26】 计算：53(3)(3)a b b a -- 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】[]3535538(3)(3)(3)(3)(3)(3)a b b a a b a b a b a b +--=---=--=--【答案】()83a b --【例27】 计算：43()()()m n n m n m --- 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】43438()()()()()()()m n n m n m n m n m n m n m ---=---=- 【答案】()8n m -【例28】 若n 是自然数，并且有理数,a b 满足10a b +=，则必有( ) A ．21()0n n a b +=B ．2211()0n n a b ++=C ．221()0n n a b+=D ．21211()0n n a b+++=【考点】幂的运算 【难度】3星【关键词】第4届，希望杯【解析】由10a b +=知1,a b两数为相反数，且不为0，易得答案【答案】D【例29】n 为自然数，那么(1)n -= ；2(1)n -= ；21(1)n +-= ； 当n 为 数时，()()n 2n 110-+-=；当n 为 数时，()()n 2n112-+-=【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】【答案】1±；1；1-；奇数；偶数.【例30】 计算：12468...(1)2n n +-+-++-⨯ 【考点】整式的综合运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】注意运用分组思想.在此注意给学生讲解通项的得来及通项中体现的项数！原式=1(24)(68)...(1)2n n +-+-++-⨯当n 为偶数时，原式(2)2n n =-⨯=-；当n 为奇数时，原式1(2)212n n n -=-⨯+=+.【答案】当n 为偶数时，原式(2)2n n =-⨯=-；当n 为奇数时，原式1(2)212n n n -=-⨯+=+.【例31】 三个互不相等的有理数，既可表示为1，a b +，a 的形式，又可表示为0，ba，b 的形式，则19921993a b += ． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第3届，希望杯2试试题【解析】由条件知三个互不相等的有理数中有两个分别是0和1，由于这三个数不等且能表示成1，a b +，a的形成，所以1a ≠，但这三个数又能表示成0，ba，b 的形式，且三数不等，所以0a ≠，0b ≠，那么对于形式1，a b +，a ，我们就知道0a b +=，所以a b =-，1ba=-，对比第一种情况我们就可以得到1a =-，进而1b =．故1992199319921993(1)12a b +=-+=． 【答案】2【巩固】 现有代数式x y +，x y -，xy 和xy，当x 和y 取哪些值时，能使其中的三个代数式的值相等? 【考点】整式的综合运算 【难度】4星 【题型】解答【关键词】2008年，第13届，华杯赛决赛【解析】12x =， 1y =-， 或12x =-， 1y =-．首先必须0y ≠，否则xy没有意义．若x y x y +=-，则0y =，矛盾．所以x y x y +≠-．若0x =，则由x y xy +=，或x y xy -=都得到0y =，所以0x ≠，即0xy ≠．因此，三个相等的式子只有两种可能：⑴ xx y xy y+==．由后一等式得到，1y =或1y =-，而1y =是不可能的，因为此时由第一个等式得到1x x +=，矛盾．当1y =-时，由第一个等式得到1x x -=-，即21x =，所以12x =．⑵ xx y xy y-==．由后一等式同样得到，1y =或1y =-， 同样，1y =是不可能的，而当1y =-时，由第一个等式得到21x =-，所以12x =-．【答案】12或者12-【例32】 已知a 、b 、c 是三个任意有理数，那么3a 、3b 、3c 、2a b 、2a c 、2b a 、2b c 、2c a 、2c b 、abc 这10个数中，正数的个数可能是______． A ．0、1、2、4、6、10 B ．0、1、4、10C ．0、2、4、6、8、10D ．0、4、6、10【考点】幂的运算 【难度】4星 【题型】选择【关键词】2009年，学而思杯【解析】当a b c ，，都大于0时，那么有10个正数，当a b c ，，中两个大于0，一个等于0时，有4个正数， 当a b c ，，中有两个大于0，一个小于0时，有6个正数， 当a b c ，，中有一个大于0，两个等于0时，有1个正数，当a b c ，，中有一个大于0，一个等于0，另一个小于0时，有2个正数， 当a b c ，，中有一个大于0，两个小于0时，有4个正数， 当a b c ，，都等于0的情况时，没有正数，当a b c ，，中有两个等于0，一个小于0时，没有正数， 当a b c ，，都小于0时，没有正数． 故选Ａ．【答案】A【巩固】 已知正整数a ，b ，c (其中a ≠1)满足50b b a c a =+，则a b c ++的最小值是 ，最大值是 ． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第19届，希望杯【解析】(1)50b b b a a c a +-=+，故(1)50b a c -=，50150225510=⨯=⨯=⨯根据题意可得：11c -=，50b a =，故2c =，50a =，1b =，53a b c ++=；12c -=，25b a =，故3c =，5a =，2b =，10a b c ++=； 125c -=，2b a =，故26c =，2a =，1b =，29a b c ++=； 15c -=，10b a =，故6c =，10a =，1b =，17a b c ++=； 110c -=，5b a =，故11c =，5a =，1b =，17a b c ++=．【答案】见解析【例33】 已知：a 、b 、c 是有理数，满足215(51)0a b c -+++-=，求()()1271132a b c a b c ⨯⨯÷⨯⨯值.【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】依题意：10a -=，50b +=，510c -=，进而可得1a =，5b =-，15c =则所求式子()()()()()()127231271111115151515555⎡⎤⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯÷⨯-⨯=-÷-=-÷-=⎢⎥ ⎪⎢⎥⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎣⎦多个非负数相加等于0，则每一个绝对值必须等于0，从而得出a 、b 、c 的值.【答案】15【巩固】 已知有理数x ，y ，z 满足2|2|(367)|334|0x z x y y z --+--++-=，求3314n n n x y z x --的值． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】由题意得2036703340x z x y y z --=⎧⎪--=⎨⎪+-=⎩，解方程组得3131x y z =⎧⎪⎪=⎨⎪⎪=⎩，代入所求代数式得313133143411313331333033n n nn nnnx yz x ---⎛⎫⎛⎫-=⋅⋅-=⋅⨯⋅-=-= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭．【答案】0【例34】 已知a 、b 互为相反数,c 、d 互为倒数，x 的绝对值等于2,试求:220032003()()()x a b cd x a b cd -+++++-的值.【考点】整式的综合运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】2004年，北京市中考【解析】由题意可知0a b +=，1cd =，2x =±()222003200320032003()()()2(01)(2)0(1)x a b cd x a b cd -+++++-=±-+⨯±++-当2x =时, 220032003()()()1x a b cd x a b cd -+++++-= 当2x =-时, 220032003()()()5x a b cd x a b cd -+++++-=【答案】1或5【巩固】 已知a 、b 互为倒数，a 、c 互为相反数，d 的绝对值为1，则31()2ab a c d ++-=__________.【考点】整式的综合运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】根据题意得1ab =，0a c +=，1d =±，故3311()10(1)22ab a c d ++-=⨯+-±当1d =时，原式12=-；当1d =-时，原式32=.【答案】12-或32【例35】 计算：23456789102222222222--------+=_____________． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】填空【关键词】第10届，希望杯【解析】可直接计算求出结果，也可通过观察式子的特点，注意到102前面为“＋”号，提取公因式，再进行计算．原式10987654322222222222=--------+987654322(21)22222222=--------+…… 22(21)26=-+=教师不防在此回忆巩固下面两个典型题目的计算：① 231231111111111111112222222222222n n n n n n n--+++++=++++++-=-L L ② 01234001234012222222222222221n n n +++++++=+++++++-=-L L【答案】6【例36】 化简234992222...2+++++【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为1222n n n ++=，所以原式2399223992222...22222...22=+++++-=++++-10022=- 【答案】10022-【巩固】 计算：20032004(2)(2)______-+-= 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】200320042003200320032003(2)(2)(2)(2)(2)(2)2-+-=-+-⨯-=--=． 【答案】20032【巩固】 当n 是正整数时，求212(2)2(2)n n +-+⋅-的值 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】解法一 ：∵n 为正整数，∴212(2)2(2)n n +-+⋅-212(2)22n n +=-+⋅2121220n n ++=-+=解法二 ：212(2)2(2)n n +-+⋅-22(2)(2)2(2)n n =-⋅-+⋅-222(2)22n n =⋅-+⋅22(22)0n =⋅-+=【答案】0【巩固】 有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，则20072007a b +=？ 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】由有理数a 等于它的倒数，有理数b 等于它的相反数，可以得到：1a =±，0b =，（1）若1a =，20072007a b +=1；（2）若1a =-，20072007a b +=－1.【答案】1或1-【例37】 计算：6660.12524⨯⨯ 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算【关键词】【解析】66660.12524(0.1258)1⨯⨯=⨯=；【答案】1【例38】 计算：10200.252⨯ 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】10202100.252(0.252)1⨯=⨯=； 【答案】1【例39】 计算：1996199519952(1.5)(1)3⎛⎫⨯⨯- ⎪⎝⎭【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】 【解析】19961995199522(1.5)(1)33⎛⎫⨯⨯-=- ⎪⎝⎭；【答案】23-【例40】 计算：599329961255⎛⎫⨯ ⎪⎝⎭【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】计算 【关键词】【解析】59932996112555⎛⎫⨯= ⎪⎝⎭【答案】15【巩固】 计算：23220072006(2)100(2)(5)(0.25)4-+÷-÷-+⨯【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】2322007200615(2)100(2)(5)(0.25)44-+÷-÷-+⨯=【答案】154【巩固】 计算()()2007200822-+-的结果为：【考点】幂的运算【难度】2星 【题型】计算 【关键词】 【解析】()()200720082007200820072007200722222222-+-=-+=⨯-=【答案】20072【例41】 在十进制记数法中写出1003200945⨯的得数要用 个阿拉伯数码． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】第20届，希望杯培训试题【解析】1003200945⨯200620063255=⨯⨯200612510=⨯，这个得数中，有2009个数码．【答案】2009【巩固】 如果2339.48 1.5610=⨯，则20.3948=（ ）A ．1.56B ．0.156C ．0.0156D ．0.00156 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2005-2006年，三帆中学测试题 【解析】B ．【答案】B【巩固】 Digits of the product of 1638252⨯ isA ．32B ．34C ．36D ．38(英汉小词典：digits 位数；product 乘积) 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】选择【关键词】第19届，希望杯【解析】16381632616166162522522254264100⨯=⨯⨯=⨯⨯=⨯，故有数位34位． 【答案】B【例42】 已知2m a =，3n a =，求32m n a +的值．【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】32323232()()238972m n m n m n a a a a a +=⋅=⋅=⋅=⨯=． 【答案】72【例43】 若2530x y +-=，求432x y ⋅. 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】252525432(2)(2)222x y x y x y x y +⋅=⋅=⋅=，2530x y +-=，253x y +=，253432228x y x y +⋅===. 【答案】8【巩固】 已知23m =，25n =，求322m n -的值． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】2725【答案】2725【巩固】 已知3m a =，2n a =，m 、n 是正整数且m n >．求下列各式的值：①1m a +； ②32m n a -． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】①3a ；②274 【答案】①3a ；②274【例44】 已知22n a =，求3222(2)3()n n a a -的值 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】3222(2)3()n n a a -6443n n a a =-23224()3()n n a a =-当22n a =时，原式3242324834=⨯-⨯=⨯-⨯321220=-=【答案】20【例45】 已知：5n a =，3n b =，求2()n ab ． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】法1：2222222()()()53225n n n n n ab a b a b =⋅=⋅=⨯=；法2：2222()[()][](53)225n n n n ab ab a b ==⋅=⨯=. 【答案】225【例46】 已知232122192x x ++-=，求x ． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】2121422192x x ++⨯-=，即2132192x +⨯=，21622x +=，52x =． 【答案】52板块二 幂的大小比较【例47】 比较503，404，305的大小． 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】305040534<<；【答案】305040534<<【巩固】 比较大小：42(2)_____(4)--； 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】= 【答案】=【例48】 比较大小：355_____(3)-- 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】 【解析】＞【答案】>【例49】 比较2342和1005的大小，并说明理由 【考点】幂的运算 【难度】1星 【题型】解答 【关键词】【解析】逐次计算可得23456724282162322642128======，，，，，，235255125==，，可见 7312825125=>=，由此可得()()33337325>，最终可得23410025>【答案】23410025>【例50】 比较552、443、335、226四个数的大小. 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】广西省竞赛【解析】根据幂的性质可知，555112(2)=、444113(3)=、333115(5)=、222116(6)=根据幂的定义可知，11a 表示11个a 相乘，故只要比较出52、43、35、26的大小即可. 5232224832=⋅=⨯=，43333381=⨯⨯⨯=，35555125=⨯⨯=，2636= 故52432635<<<，552244332635<<<.建议本题留给特别突出的学生，根据全体学生情况选讲. 【答案】552244332635<<<【巩固】 比较555444333345，，的大小关系 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为()()()111111111333511144441113333111332434425655125======，，，因为125243256<<，所以333555444534<<【答案】333555444534<<【例51】 已知221410103498a b c d ====，，，，则a b c d ，，，的大小关系为 【考点】幂的运算【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为222030283322a c d b =>=>=>=，所以a c d b >>> 【答案】a c d b >>>【巩固】 设503a =，404b =，305c =，比较a ，b ，c 的大小． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】第17届，希望杯【解析】∵50510103(3)243a ===，40410104(4)256b ===，30310105(5)125c ===，∴c a b <<．【答案】c a b <<【巩固】 已知34(2)a =，43(2)b =，24(3)c =，32(4)d =，23(4)e =，则a 、b 、c 、d 、e 的大小关系是. 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】a b d e c ===<.【答案】a b d e c ===<【巩固】 若n 为不等式2003006n >的解，求n 的最小正整数值. 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】第2届，华罗庚金杯香港赛【解析】20030021003100236()(6)6216n n n >⇒>⇒>=，所以15n ≥ 【答案】15n ≥【例52】 比较大小：20.4a =-，24b -=-，214c -=（-），014d =（-）． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】0.16a =-，10.062516b =-=-，16c =，1d =．a b d c <<<．直接计算． 【答案】a b d c <<<【例53】 已知3181a =，4127b =，619c =，比较a ，b ，c 的大小关系． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】431124(3)3a ==，341123(3)3b ==，261122(3)3c ==，所以a b c >>．比较指数． 【答案】a b c >>【例54】 比较552，443，335，226这4个数的大小关系． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】55511112(2)32==,44411113(3)81==,33311115(5)125==,22211116(6)36==，11111111323681125<<<，552244332635<<<．比较底数．【答案】552244332635<<<【例55】 1615与1333的大小关系是1615 1333(填“>”、“<”或“=”)． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】16166415162<=．13136564333222>=>,所以16131533<．放缩． 【答案】16131533<【例56】 已知2001200367M =+，2003200167N =+，比较M 、N 的大小关系． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为M N -200120032003200167(67)=+-+20012003200320016767=+--20012200126(16)7(71)=-+-200120014873560=⨯-⨯>，所以M N >．作差．【答案】M N >【例57】 已知999999P =，990119Q =，比较P 、Q 的大小关系．【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答【关键词】【解析】因为999990991199P Q =÷990999099999999991191911911⨯=⋅=⋅=，所以P Q =．作商．【答案】P Q =【例58】 已知200620073131A +=+，200720083131B +=+，试比较A 与B 的大小．【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】设20063a =，则1031a A a +=>+，31091a B a +=>+．而 1313191A a a B a a ++=÷++2(1)(91)(31)a a a ++=+229101961a a a a ++=++2411961aa a =+>++．换元． 【答案】A B >【例59】 对于0a b c >>>，0m n >>(m ，n 是正整数)，比较n m c a ，m n a b ，n m b c 的大小关系． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】因为0a b c >>>，0m n >>(m ，0m n p +-=为正整数)，故可取3a =，2b =，1c =，3m =，2n =，则3232108m n a b =⨯=，23214n m b c =⨯=，231327n m c a =⨯=．所以m n n m n m a b c a b c >>．【答案】m n n m n m a b c a b c >>【例60】 比较下列式子的大小：n a 与2n a +（a 为正数，n 为正整数） 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】方法一：因为0a >，n 为正整数，所以0n a >，又因为22n n a a a +=⋅，所以分一下三种情形：①当1a >时，则21a >，因此2n n a a +>；②当1a =时，则21a =，因此2n n a a +=；③当01a <<时，则21a <，因此2n n a a +<方法二：两个正数比较大小，可求出它们的商与1相比较：若商大于1，则被除数较大；若商等于1，则两数相等；若商小于1，则被除数较小，因为0a >，n 是正整数，所以200n na a +>>，，又22n n a a a+=，所以①当1a >时，则221n n a a a +>>，；②当1a =时，则221n n a a a +==，；当01a <<时，则 221n n a a a +<<，【答案】①当1a >时，则221n n a a a +>>，；②当1a =时，则221n n a a a +==，；当01a <<时，则 221n n a a a +<<，【例61】 你能比较两个数20092008和20082009的大小吗？为了解决这个问题，我们先写出它的一般形式，即比较1n n +与(1)n n +的大小(n 是自然数)，然后，我们分析2n =，2n =，3n =，…中发现规律，经归纳，猜想得出结论． ⑴通过计算，比较下列各组中两个数的大小(在空格中填写“>”、“=”、“<”号) ①21 12；②32 23；③43 34；④54 45；⑤65 56…⑵从第⑴题的结果经过归纳，可以猜想出1n n +和1nn +（）的大小关系是 ． ⑶根据上面归纳猜想得到的一般结论，试比较下列两个数的大小20092008 20082009． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】从简单情况找规律.⑴①2112<；②3223<；③4334>；④5445>；⑤6556>…⑵11n n n n +<+（）(1n =，2)，11n nn n +>+（）(3n ≥)；⑶2009200820082009>. 【答案】从简单情况找规律.⑴①2112<；②3223<；③4334>；④5445>；⑤6556>…⑵11n n n n +<+（）(1n =，2)，11n n n n +>+（）(3n ≥)；⑶2009200820082009>.【巩固】 符号!n 表示正整数从1到n 的连乘积，读作n 的阶乘．例如5!12345=⨯⨯⨯⨯.试比较3n 与(1)!n + 的大小（n 是正整数） 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答 【关键词】【解析】当1n =时，33n =，()1!122n +=⨯=当2n =时，39n =，()1!1236n +=⨯⨯= 当3n =时，327n =，()1!123424n +=⨯⨯⨯= 当4n =时，381n =，()1!12345120n +=⨯⨯⨯⨯= 当5n =时，3243n =，()1!6!720n +==当1n =，2，3时，3(1)!n n >+，当3n >时3(1)!n n <+．【答案】当1n =，2，3时，3(1)!n n >+，当3n >时3(1)!n n <+．【例62】 已知：220002001200220012002200120002001200220012002a =+⨯+⨯++⨯+⨯L ，20022002b =试比较a 与b 的大小． 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】解答【关键词】三帆单元测试【解析】a b =，变形a 时，注意从简单情况入手找规律. 【答案】a b =【例63】 已知21994199519961995199619951996...1995199619951996m =+⨯+⨯++⨯+⨯，19961996n =，则m 与n满足的关系为 【考点】幂的运算 【难度】3星 【题型】填空 【关键词】【解析】因为()()1221...11n n n a a a a a a ---+++++=-所以19951199519951996...19951996m =++⨯++⨯()2199511995119961996...1996=+⨯++++ ()()21995119961119961996...1996=+-++++1996119961=+- 19961996=所以m n =【答案】m n =板块二 整式的乘除⑴单项式与单项式相乘：系数、同底数幂分别相乘作为积的因式，只有一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式.以下举例说明单项式与单项式相乘的规则如下：23234233ab a b c a b c ⋅=，两个单项式的系数分别为1和3，乘积的系数是3，两个单项式中关于字母a 的幂分别是a 和2a ，乘积中a 的幂是3a ，同理，乘积中b 的幂是4b ，另外，单项式ab 中不含c 的幂，而2323a b c 中含2c ，故乘积中含2c .⑵单项式与多项式相乘：单项式分别与多项式中的每一项相乘，然后把所得的积相加，公式为：()m a b c ma mb mc ++=++，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶多项式与多项式相乘：将一个多项式中的每一个单项式分别与另一个多项式中的每一个单项式相乘，然 后把积相加，公式为：()()m n a b ma mb na nb ++=+++【例64】 若M N ，分别是关于x 的2次多项式与3次多项式，则MN ( )A ．一定是5次多项式B ．一定是6次多项式C ．一定是2次或3次多项式D ．无法确定次数 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】根据多项式与多项式相乘的法则，积的最高次项由两因式的最高次项相乘所得，所以MN 一定是关于x 的5次多项式，故选A【答案】A【例65】 化简()y d b c --- 【考点】整式的乘除【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式yd by cy =-++ 【答案】yd by cy -++【例66】 计算：1212()n n n x x x x ++⋅-+ 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式31223n n n x x x +++=-+ 【答案】31223n n n x x x +++-+【例67】 计算：()(2)x y x y +- 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式2222222x xy xy y x xy y =-+-=-- 【答案】222x xy y --【例68】 计算：233222()()x y x y x y -⋅- 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式43255234x y x y x y x y =--+ 【答案】43255234x y x y x y x y --+【例69】 计算：(2)(2)(21)a a a -++ 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式2232(224)(21)(4)(21)284a a a a a a a a a =+--+=-+=+--. 【答案】32284a a a +--【例70】 先化简，在求值：()()()()22215423125a a a a a a a -⋅------，其中1a =-【考点】整式的综合运算【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式()232321254812225a a a a a a a a =⋅-++---+29142a a =+-当1a =-时，原式7=-【答案】7-【巩固】 若()18333m n m n a a b a b ++⋅=，则m = ，n = 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】【解析】3m =，2n =． 【答案】3m =，2n =【巩固】 化简：()()2121x x ++- 【考点】完全平方公式 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2009年，山东济南 【解析】略 【答案】23x +【例71】 化简：()()()12282a b a b b a b +---【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】计算【关键词】2009年，浙江嘉兴 【解析】略【答案】212a ab -【例72】 观察并解答下列问题：()()11x x -+=【考点】平方差公式 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略【答案】21x -【例73】 计算：()()211x x x -++=【考点】立方差公式 【难度】2星 【题型】填空 【关键词】 【解析】略 【答案】31x -【巩固】 计算2332536()()()()1245x y x y x y y x ⎡⎤+⋅--⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦． 【考点】幂的运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】 【解析】原式2332536()[()]()()1245x y x y x y x y ⎡⎤=+⋅-+⋅--⋅-⎢⎥⎣⎦ 2332536(1)[()()][()()]1245x y x y x y x y ⎡⎤⎛⎫=⨯-⨯-⨯⋅+⋅+⋅-⋅- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦553()()8x y x y =+⋅-【答案】553()()8x y x y +⋅-【例74】 计算322(25)(231)x x x x -+--+ 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】【解析】原式54343222346210155x x x x x x x x =-+-+-+-+-54322778155x x x x x =-+--+- 【答案】54322778155x x x x x -+--+-【巩固】 计算：242422(32)(523)(53)(33)x x x x x x +++-+++ 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算【关键词】【解析】原式242422(32)(523)(53)(321)x x x x x x =+++-++⋅++24224242(32)(523)(32)(53)(53)x x x x x x x x =+++-+++-++ 2424242(32)[(523)(53)](53)x x x x x x x =+++-++-++2242(32)(53)x x x x =⋅+-++42423253x x x x =+---4223x x =-+-．【答案】4223x x -+-【例75】 已知()()()4322124x ax bx cx d x x x ++++=-++，则a b c d +++=【考点】整式的综合运算 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】1-；在等式()()()4322124x ax bx cx d x x x ++++=-++中取1x =，得到1a b c d +++=-【答案】1-【巩固】 设2475f mx x g x n =+-=-+，，若f g ⋅中不含有2x 的项，并且x 项的系数为13-，则当5x =-时，f g ⋅的值为 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】依题意：()()()()2324755420735fg mx x x n mx mn x n x n =+--+=-+-++-，所以有540mn -=20713n +=-，解得415m n =-=-，，从而3413355fg x x =-+【答案】3413355x x -+【例76】 已知22()()26x my x ny x xy y ++=+-，求()m n mn +的值． 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】22()()26x my x ny x xy y ++=+-，22()()()x my x ny x m n xy mny ++=+++，2222()26x m n yx mny x xy y +++=+-，比较等式两边得2m n +=，6mn =-，所以()2(6)12m n mn +=⨯-=-． 定理：如果11110110n n n n n n n n a x a x a x a b x b x b x b ----++++≡++++……， 那么n n a b =，11n n a b --=，…，11a b =，00a b =．【答案】12-【例77】 已知()()223x px q x x q ++-+的结果中不含23x x ，项，求p q ，的值【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】多项式相乘，合并同类项后，2x 项为()2323q p x x -，项为()33p x -+，由题意得23030q p p -=-+=，所以932p q ==， 【答案】932p q ==，【巩固】 若()()22345x x ax bx c +-=-+，则a = ，b = ，c = ． 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】10a =-，7b =，12c =．【答案】10a =-，7b =，12c =【巩固】 已知多项式432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，求m 与n 的值． 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法 【解析】解法一：(系数比较法)4322x x x +++22(1)(2)x mx x nx ≡++++432()(3)(2)2x m n x mn x m n x ≡+++++++． 比较对应项的系数，得13120m n mn m n +=⎧⎪+=⎨⎪+=⎩(1)(2)(3)，由⑶-⑴得1m =-，将1m =-代入⑴，得2n =．当1m =-，2n =时，⑵显然成立．所以1m =-，2n =．解法二:(数值代入法)由432222(1)(2)x x x x mx x nx +++≡++++，分别用1和1-代入上式， 可得32103230mn m n mn m n +++=⎧⎨--+=⎩,解得1m =-，2n =．【答案】1m =-，2n =【例78】 已知21ax bx ++与2231x x -+的积不含3x 的项，也不含x 的项，试求a 与b 的值． 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】有23030b a b -=⎧⎨-=⎩，解得23a b =⎧⎨=⎩.【答案】23a b =⎧⎨=⎩【巩固】 使22(8)(3)x px x x q ++-+的积中不含2x 和3x ，求p ，q 的值.【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】计算 【关键词】待定系数法【解析】将原式展开得2243(8)(3)(3)(38)x px x x q x p x q p ++-+=+-+-+2(24)8x pq x q +-+，因为积中不含2x 和3x ，所以30380p q p -=⎧⎨-+=⎩，解得31p q =⎧⎨=⎩.【答案】31p q =⎧⎨=⎩【例79】 已知1231997...a a a a ，，，，均为正数，又 ()()1231996231997......M a a a a a a a =+++++++ ()()1231997231996......N a a a a a a a =+++++++则M 与N 的大小关系为（ ）A ．M N =B ．M N <C ．M N >D ．不确定 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】选择 【关键词】【解析】设231996...a a a x +++=则()()2119971119971997M a x x a a x x a a a x =++=+++ ()21199711997N a x a x a x x a x =++=++故119970M N a a M N -=>>，【答案】C【例80】 小明找来一张挂历画包数学课本，已知课本长为21cm ，宽15cm ，厚cm a ，小明想将课本封面与底面的每一边都包进去cm b ，问小明应在挂历画上截下一块多大面积的长方形 【考点】整式的乘除 【难度】2星 【题型】解答 【关键词】【解析】所截的长方形长为()302cm a b ++，宽为()212cm b +，所以面积为()()302212a b b +++ ()224210221630cm b ab b a =++++ 【答案】()224210221630cm b ab b a ++++板块三 整式的乘除⑴ 单项式除以单项式：系数、同底数的幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式中含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式.如：2322233a b c ab ab c ÷=，被除式为2323a b c ，除式为ab ，系数分别为3和1，故商中的系数为3，a 的幂分别为2a 和a ，故商中a 的幂为21a a -=，同理，b 的幂为2b ，另外，被除式中含2c ，而除式中不含关于c 的幂，故商中c 的幂为2c .⑵ 多项式除以单项式：多项式中的每一项分别除以单项式，然后把所得的商相加，公式为：()a b c m a m b m c m ++÷=÷+÷+÷，其中m 为单项式，a b c ++为多项式.⑶ 多项式除以多项式后有专题介绍.【例81】 计算：472632211()()393a b a b ab -÷-；【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算 【关键词】 【解析】原式4726262211()61399a b a b a b a b =-÷=-；⑵原式72223a a b ab =--. 【答案】261a b -【例82】 计算：823423236( 1.8)0.655a b a b a b ab --÷ 【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算【关键词】【解析】原式72223a a b ab =--.【答案】72223a a b ab --【巩固】 计算：222(4)8x y y ÷【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算【关键词】【解析】原式42241682x y y x =÷=；【答案】42x【例83】 计算：2322393m n m n n m a b c a b ---÷【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算【关键词】【解析】原式223323m n m n n m a b c -----=；【答案】223323m n m n n m a b c -----【例84】 计算：3232213()()34a b ab ÷ 【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算 【关键词】【解析】原式96247219162716243a b a b a b =÷=； 【答案】7216243a b【巩固】 计算：()()32121866x x x x -+÷-= ； 【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算【关键词】【解析】略【答案】2231x x -+-【例85】 计算：()()26273x x x --÷+= ．【考点】整式的乘除【难度】1星【题型】计算【关键词】【解析】9x -.【答案】9x -【例86】 计算(21)(32)(64)(42)x x x x +÷-⨯-÷+．【考点】整式的综合运算【难度】2星【题型】计算【关键词】【解析】原式[(21)(42)][(64)(32)]x x x x =+÷+⋅-÷-(21)[2(21)][2(32)(32)]x x x x =+÷+⋅-÷-1=． 在乘除混合运算中，巧用结合律，有时可简化运算．实际上，我们利用除法是乘法的逆运算，除以一个整式，相当于乘以该整式的倒数，通过约分，可更容易地解决问题．其解如下：原式11(21)(64)3242x x x x =+⨯⨯-⨯-+(21)(64)(32)(42)x x x x +⋅-=-⋅+1=． 【答案】1【巩固】 计算：222222224(3)()(4)89xy x y x y y x y --÷+.【考点】整式的综合运算【难度】2星【题型】计算【关键词】【解析】原式2222442249()1689x y x y x y y x y =--÷+422442244299297x y x y x y x y x y =--+=【答案】427x y【例87】 将一多项式()()221734x x ax bx c ⎡⎤-+-++⎣⎦，除以()56x +后，得商式为()21x +余式为0．求a b c --= ．【考点】整式的乘除【难度】2星【题型】填空【关键词】2009年，台湾【解析】略【答案】29【例88】 已知多项式32x ax bx c +++含有因式1x +和1x -，且被2x -除余数为3，那么a = ；b = c =【考点】整式的乘除【难度】2星【题型】填空【关键词】【解析】依题意得()()()323232111011102223a b c a b c a b c ⎧+⨯+⨯+=⎪⎪-+⨯-+⨯-+=⎨⎪+⨯+⨯+=⎪⎩，解得111a b c =-=-=，， 【答案】111a b c =-=-=，，【例89】 已知关于x 的三次四项式321003x ax x b --+能被29991994x x -+整除，则6b a -=【考点】综合大除法【难度】3星【题型】填空【关键词】【解析】由于()()299919942997x x x x -+=--，因此当2x =和997x =时，由题设，若321003x ax x b --+能被221003x ax x b --+整除，则有32322210032099799710039970a b a b ⎧-⨯-⨯+=⎪⎨-⨯-⨯+=⎪⎩，解得9965982a b ==，，于是66b a -=【答案】6【巩固】 已知多项式3221x x ax -+-的除式为1bx -，商式为22x x -+，余式为1，求a b 、的值．【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答【关键词】【解析】由已知可列()()32221121x x ax bx x x -+-=--++；则可得31a b =⎧⎨=⎩． 【答案】31a b =⎧⎨=⎩【例90】 计算：3(1)(1)x x -÷-;【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答【关键词】 【解析】用竖式除法232322211001011x x x x x x x x x xx xx x ++-++--+---所以，商式为21x x ++，余式为0．【答案】21x x ++【例91】 计算：4322(352)(3)x x x x -++÷+【考点】综合大除法【难度】3星【题型】解答 【关键词】 【解析】224324232322358335023958051581528241526x x x x x x x x x x x x x x x x x x --+-++++--+---++--+。
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第13章《整式的乘除》常考题集（04）：13.1 幂的运算选择题91．已知x a=3，x b=5，则x3a﹣2b=（）A．B．C．D．52填空题92．（2009•吉林）计算：（3a）2•a5=_________．93．（2006•海南）计算：a•a2+a3=_________．94．（2014•西宁）计算：a2•a3=_________．95．若a m=2，a n=5，则a m+n等于_________．96．如果a x=2，a y=3，则a x+y=_________．97．（2008•陕西）计算：（2a2）3•a4=_________．98．（2002•泉州）计算：（a2）3=_________．99．若a x=2，a y=3，则a2x+y=_________．100．如果a m=p，a n=q（m，n是正整数）那么a3m=_________．a2n=_________，a3m+2n=_________．101．已知2m=a，32n=b，则23m+10n=_________．102．计算：（﹣0.125）2009×82010=_________．103．计算：（a2）3÷a4•a2=_________．104．若a x=2，a y=3，则a3x﹣y=_________．105．已知a m=9，a n=8，a k=4，则a m﹣2k+n=_________．106．若3x=12，3y=4，则3x﹣y=_________．解答题107．（2007•双柏县）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=_________，log216=_________，log264=_________．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=_________；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．第13章《整式的乘除》常考题集（04）：13.1 幂的运算参考答案与试题解析选择题91．已知x a=3，x b=5，则x3a﹣2b=（）A．B．C．D．52考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．分析：利用同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆用计算即可．解答：解：∵x a=3，x b=5，∴x3a﹣2b=（x a）3÷（x b）2，=27÷25，=．故选：A．点评：本题本题考查同底数的幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质，把原式转化为（x a）3÷（x b）2是解决本题的关键．填空题92．（2009•吉林）计算：（3a）2•a5=9a7．考点：同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据积的乘方和同底数幂乘法的运算性质计算即可．解答：解：（3a）2•a5=9a2•a5=9a7；故应填9a7．点评：本题主要考查积的乘方和同底数幂乘法，熟练掌握并正确运用运算性质是解题的关键．93．（2006•海南）计算：a•a2+a3=2a3．考点：同底数幂的乘法；合并同类项．分析：先根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加；再合并同类项即可．解答：解：由同底数幂的乘法与合并同类项的法则可知，a•a2+a3=a3+a3=2a3．点评：本题考查合并同类项法则、同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质和法则是解题的关键．94．（2014•西宁）计算：a2•a3=a5．考点：同底数幂的乘法．专题：计算题．分析：根据同底数的幂的乘法，底数不变，指数相加，计算即可．解答：解：a2•a3=a2+3=a5．故答案为：a5．点评：熟练掌握同底数的幂的乘法的运算法则是解题的关键．95．若a m=2，a n=5，则a m+n等于10．考点：同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法法则把所求代数式化为已知的形式，再把已知代入求解即可．解答：解：∵a m=2，a n=5，∴a m+n=a m a n=2×5=10．点评：本题考查同底数幂的乘法法则，底数不变，指数相加．96．如果a x=2，a y=3，则a x+y=6．考点：同底数幂的乘法．分析：根据同底数幂的乘法法则计算即可．解答：解：∵a x=2，a y=3，∴a x+y=a x•a y=2×3=6．故答案为：6．点评：本题主要考查同底数幂的乘法的性质，熟练掌握性质是解题的关键．97．（2008•陕西）计算：（2a2）3•a4=8a10．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．专题：压轴题．分析：根据积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘；同底数幂相乘，底数不变指数相加，计算即可．解答：解：（2a2）3•a4，=8a6•a4，=8a10．故答案为：8a10．点评：本题考查积的乘方的性质，同底数幂的乘法的性质，熟练掌握运算性质是解题的关键．98．（2002•泉州）计算：（a2）3=a6．考点：幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘，计算即可．解答：解：（a2）3=a2×3=a6．点评：本题考查幂的乘方，底数不变指数相乘，熟练掌握运算性质是解题的关键．99．若a x=2，a y=3，则a2x+y=12．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．分析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．解答：解：∵a x=2，a y=3，∴a2x+y=a2x•a y，=（a x）2•a y，=4×3，=12．点评：本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方法则：底数不变指数相乘．同底数幂的乘法法则：底数不变指数相加．100．如果a m=p，a n=q（m，n是正整数）那么a3m=p3．a2n=q2，a3m+2n=p3q2．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．分析：利用幂的乘方和同底数幂的乘法法则计算即可．解答：解：a3m=（a m）3=p3，a2n=（a n）2=q2，a3m+2n=a3m•a2n=p3q2．故填p3；q2；p3q2．点评：本题主要考查了幂的有关运算．幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂的乘法，底数不变指数相加；熟练掌握性质是解题的关键．101．已知2m=a，32n=b，则23m+10n=a3b2．考点：幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法．分析：根据幂的乘方和同底数幂的乘法运算规则进行计算．解答：解：∵32n=b，∴25n=b，∴23m+10n，=23m•210n，=（2m）3•（25n）2，=a3b2．点评：此题考查幂的乘方和同底数幂的乘法运算；幂的乘方：底数不变，指数相乘；同底数幂的乘法：底数不变，指数相加．102．计算：（﹣0.125）2009×82010=﹣8．考点：幂的乘方与积的乘方．分析：把问题转化为两个指数相同的幂相乘，逆用积的乘方的运算法则即可求解．解答：解：∵82010=8×82009，∴（﹣0.125）2009×82010，=（﹣0.125）2009×8×82009，=8×（﹣0.125）2009×82009，=8×（﹣0.125×8）2009，=8×（﹣1）2009，=﹣8．故答案为：﹣8．点评：正确理解积的乘方的运算法则，熟练掌握并灵活运用是解题的关键．103．计算：（a2）3÷a4•a2=a4．考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方，底数不变指数相乘；同底数幂相除，底数不变指数相减；同底数幂相乘，底数不变指数相加计算．解答：解：（a2）3÷a4•a2，=a6÷a4•a2，=a2•a2，=a4．点评：本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，正确运用幂的运算性质，分清运算顺序是解题的关键．104．若a x=2，a y=3，则a3x﹣y=．考点：同底数幂的除法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方的性质和同底数幂的除法的性质的逆用解答即可．解答：解：a3x﹣y=（a x）3÷a y=23÷3=．点评：本题主要考查幂的乘方的性质和同底数幂的除法的性质的逆用，熟练掌握性质并灵活运用是解题的关键．105．已知a m=9，a n=8，a k=4，则a m﹣2k+n= 4.5．考点：同底数幂的除法；同底数幂的乘法；幂的乘方与积的乘方．分析：根据幂的乘方，同底数幂的除法，同底数幂的乘法的逆运算整理成已知条件的形式，然后代入数据求解即可．解答：解：∵a m=9，a n=8，a k=4，∴a m﹣2k+n=a m÷a2k•a n，=a m÷（a k）2•a n，=9÷16×8，=4.5．点评：本题主要考查幂的乘方，同底数幂的乘法，同底数幂的除法性质的逆运用，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．106．若3x=12，3y=4，则3x﹣y=3．考点：同底数幂的除法．分析：首先应用含3x，3y的代数式表示3x﹣y，然后将3x，3y的值代入即可求解．解答：解：∵3x=12，3y=4，∴3x﹣y=3x÷3y，=12÷4，=3．点评：本题主要考查同底数幂的除法性质的逆用，熟练掌握运算性质并灵活运用是解题的关键．解答题107．（2007•双柏县）阅读下列材料：一般地，n个相同的因数a相乘记为a n，记为a n．如2×2×2=23=8，此时，3叫做以2为底8的对数，记为log28（即log28=3）．一般地，若a n=b（a＞0且a≠1，b＞0），则n叫做以a为底b的对数，记为log a b（即log a b=n）．如34=81，则4叫做以3为底81的对数，记为log381（即log381=4）．（1）计算以下各对数的值：log24=2，log216=4，log264=6．（2）观察（1）中三数4、16、64之间满足怎样的关系式，log24、log216、log264之间又满足怎样的关系式；（3）由（2）的结果，你能归纳出一个一般性的结论吗？log a M+log a N=log a（MN）；（a＞0且a≠1，M＞0，N＞0）（4）根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明上述结论．考点：幂的乘方与积的乘方．专题：压轴题；阅读型．分析：首先认真阅读题目，准确理解对数的定义，把握好对数与指数的关系．（1）根据对数的定义求解；（2）认真观察，不难找到规律：4×16=64，log24+log216=log264；（3）有特殊到一般，得出结论：log a M+log a N=log a（MN）；（4）首先可设log a M=b1，log a N=b2，再根据幂的运算法则：a n•a m=a n+m以及对数的含义证明结论．解答：解：（1）log24=2，log216=4，log264=6；（2）4×16=64，log24+log216=log264；（3）log a M+log a N=log a（MN）；（4）证明：设log a M=b1，log a N=b2，则=M，=N，∴MN=，∴b1+b2=log a（MN）即log a M+log a N=log a（MN）．点评：本题是开放性的题目，难度较大．借考查对数，实际考查学生对指数的理解、掌握的程度；要求学生不但能灵活、准确的应用其运算法则，还要会类比、归纳，推测出对数应有的性质．。