温州中学自主招生考试数学试卷.pdf

； 14 ． 30096
；
15．
4
三、解答题： （本大题共 5 小题， 16 题 8 分， 17、 18、19、20 题各 15 分，共 68 分．解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在函数 y 4 x2 6x 中，求自变量 x 的取值范围
解： 2,0 U 6,8
17． 如图， M , A, B, C 为抛物线 y ax2 上不同的四点， M 2,1 ，线段 MA , MB, MC 与 y
n的
最大值为（ ▲ ）
A． 3 B ． 4 C ． 5 D ． 6
4．如图 1， AC 、 BC 为半径为 1的⊙ O 的弦， D 为 BC 上动点，
M 、 N 分别为 AD 、 BD 的中点，则 sin ACB 的值可表示为
（▲）
A． DN B ． DM C ． MN D ． CD
图1
5．已知甲盒中有若干个白球， 乙盒中有若干个白球和黑球， 白球和
2015 年温州中学自主招生素质测试数学试题
（本试卷满分 150 分，考试时间 120 分钟）
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．请将你认为正确的答案填在答题卷的相应位置．
1．关于反比例函数 y
A．必经过点（ 1， 1）
； 14 ．
；
15．
；
三、解答题： （本大题共 5 小题， 16 题 8 分， 17、 18、19、20 题各 15 分，共 68 分．解答应 写出文字说明，证明过程或演算步骤）
16．在函数 y 4 x2 6x 中，求自变量 x 的取值范围．
17． 如图 5， M , A, B, C 为抛物线 y ax2 上不同的四点， M 2,1 ，线段 MA , MB , MC 与 y 轴的交点分别为 E , F , G ，且 EF FG 1 ，
ax2 上得 a
1
，∴
y
1 x2
4
4
2,1 在直线 MB 上得 1 2k t
将 y kx t 代入 y 1 x2 整理得： x2 4kx 4t 0 4
∴ xM xB 4t 即 2 xB 4t ，∴ xB 2t ，从而得 yB t 2
故所求点 B 的坐标为 2t ,t 2
（ 2）（解法一）∵ F 0, t ，∴ E 0,t 1 ， G 0,t 1
所以
AEF ADF
故 E ,G , H , B 四点共圆
ACD
AHB
同理， F ,G, H ,C 四点共圆
所以 GH 为圆 O1,O2 的公共弦
故 O1O2 GH 又 GH BC 所以 O1O2 // BC .
连接 I 1P ， I 2Q ， I1M ， I 2 M ， I 1F ， I 2 F ．
由内心性质知
PF BF BP BC BA AC BM BA AM CM AM AC MQ
2
2
2
所以 PM QF
易知 I 1M I 2M ，从而 I1PM ∽ MQI 2
所以 I1P I 1P
PM
FQ
，从而
I 1PF ∽ FQI 2
20．如图， 在 ABC 中， AD 为边 BC 上的高， DE AB 于点 E ， DF AC 于点 F ，EF 与 AD 交于 G 点， BEG 与 CFG 的外心分别为 O1和 O2 ，求证： O1O2 // BC ．
证明：延长 AD 交 ABC 的外接圆于 H ，连接 BH ,CH
易知 A, E, D , F 四点共圆
13．若正实数 a,b, c 满足 1 1 1
2015
( a b)(b c)(c a)
，则
的值为 ▲ ．
a b c abc
abc
14．如图 4 是一个残缺的乘法竖式， 在每个方框中填入一个不是 2 的数字， 可使其成为正确
的算式，那么所得的乘积是
▲．
图3
图4
15． 对于任意的 0
x
1 ，有 ax b
PF MQ I 2Q I 2Q
从而易得 I 1F I 2 F ，又 I 1F I 1D ， I 2F I 2E
所以 I 1 I 2 2
DI
2 1
EI 2 2 ．
19．试求出所有的正整数 k ，使得对一切奇数 n 10 ，数 16n 5n 均可被 k 整除 解： 16n 5n 16 5 16n 1 16n 1 5 L 5n 1 21 16n 1 16n 1 5 L 5n 1 故有 2116n 5n ，故 k 1,3,7,21 均满足条件； 下证，对于其他的正整数 k 均不满足条件。若 k 1,3,7,21 ，但是有 k 16n 5n ， 则 k 1611 511 ， k 1613 513 ，故有 k 16 2 1611 511 1613 513 ，即 k 231 511 。 显然， k 不能整除 5，故只有 k 231。 231 11 7 3 考虑 k 11， 16n 5n 2 5n 0 mod11 。 故只有 k 1,3,7,21 。
表示 a, b 中的较大者）
11． 6 名儿童分坐两排，每排 3 人要求面对面而坐，但其中两个儿童不可相邻
对面，有 ▲ 种排法．
，也不可面
12．如图 3，已知正方体 ABCD A1B1C1D1 的棱长为 1， M 为棱 C1D1的中点，点 P 为平面
A1BCD1 上的动点，则 MP B1P 的最小值为 ▲ ．
2
（解法二）过点 A 作 y 轴的平行线分别交 MB , MC 于 L, H ，
由 EF FG 得 HL AL ，∴ S AMB S HMB ，
又∵ S CMB 2 S AMB ∴ S HBC S HMB
∴点 H 为 MC 的中点， 2xA 2 xH xM xC
即 4(t 1)
1 2 2(t 1) 解得 t 2 从而 k
（1）若 F 的坐标为 0,t ，求点 B 的坐标（用 t 表示）；
（ 2）若 AMB 的面积是
解析式． .
BMC 面积的 1 ，求直线 MB 的 2
图5
Leabharlann Baidu
18．如图 6，在 ABC 中， BAC 的平分线交 BC 于点 M ，点 D 、 E 分别为 ABC 的内 切圆在边 AB 、 AC 上的切点，点 I1 、 I 2 分别为 ABM 与 ACM 的内心．
16
二、填空题：本大题共
3
C．
7
7 小题，每小题
16
D
．
31
6 分，共 42 分．请将答案填在答题卷的相应位置．
9．设 2015 3 的小数部分为 a ， 2015 3 的小数部分为 b ，则 a 1 b 2 的值
为▲．
10．若实数
a,b 满足
2
a
2
b
1 ，则 a
b
max{ a,b} 的最大值为
▲ ．（其中 max{ a,b}
轴的交点分别为 E, F ,G ，且 EF FG 1 ，
（1）若 F 的坐标为 0,t ，求点 B 的坐标（用 t 表示）；
（2）若 AMB 的面积是 BMC 面积的 1 ，求直线 MB 的解析式 . 2
解：（ 1）∵ F 0,t ，∴可设直线 MB 的解析式为 y kx t ，
由点 M 由点 M
2,1 在抛物线 y
i , j 1 i j 5 ，均存在 k k 1,2,3,4,5 ，使得 ak a j ai ．
① a1 0 ； ② a5 4a2 ；③ a32 a2a 4 ；④ 当 1 i j 5 时， ai a j 的可能值共有 9 个．
则上述论断正确的有（
A． 1
B ．2
▲ ）个． C ．3 D ．4
7．二元方程 x 3 y 3 x 2 y 2 的正整数解的组数为（ ▲ ）
1，则对于任意的 0
x
1 ， bx
a 的最大值
2
2
为▲．
2015 年温州中学自主招生素质测试数学试题
答题卷
一、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案 二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分．
9．
； 10 ．
； 11 ．
；
12．
； 13 ．
黑球的数量均多于 3个． 从乙盒中随机抽取 i i 1,2 个球放入甲盒中． 放入 i 个球后， 从甲
盒中取 1个球是白球的概率记为 pi i 1,2 ，则（ ▲ ） A． p1 p2 ， B． p1 p2 ， C． p1 p2 ， D ．以上均有可能
6 ． 已 知 5 个 实 数 a1, a2 ,a3 ,a4, a5 满 足 0 a1 a2 a3 a4 a5 ， 且 对 任 意 的 正 整 数
A． 1
B
．2
C ．3
D
．4
8．如图 2 ，点 D , E , F 分别是 ABC 三边上点，且满足
CD 4DB ， AE 4EC ， BF 4FA ， AD 、 BE 、 CF
两两分别交于 A1 、 B1 、 C1 ，若 ABC 的面积为 1 ，则
图2
A1B1C1 的面积为（ ▲ ）
1
A．
7
3
B．
由（ 1）同理可得点 A 2(t 1),(t 1)2 ， C 2(t 1),(t 1)2
2
2
S AMB t t ， S CMB t 3t 2
∵ AMB 的面积是 BMC 面积的 1 ， 2
∴ t 2 3t 2 2(t 2 t ) ，解得 t 2 或 t
∴所求直线 MB 的解析式为 y
1 x 2，
2
1 1 （舍去）∴ k
4
的图象，下列说法正确的是（
x
▲）
B．两个分支分布在第二、四象限
C．两个分支关于 x 轴成轴对称
D．两个分支关于原点成中心对称
x2
2． 已知
是二元一次方程组
y1
ax by 7 的解，则 a b 的值为（ ▲ ）
ax by 1
A． 1 B ． 1 C ． 2 D ． 3
3． 已知平面上的 n 个点，任三个点都能构成直角三角形，则
求证：
2
DI 1
2
EI 2
2
I1I 2 ．
图6
19．试求出所有的正整数 k ，使得对一切奇数 n 10 ，数 16n 5n 均可被 k 整除．
20．如图 7，在 ABC 中， AD 为边 BC 上的高， DE AB 于点 E ， DF AC 于点 F ， EF 与 AD 交于 G 点， BEG 与 CFG 的外心分别为 O1和 O2 ，求证： O1O2 // BC ．
2
∴所求直线 MB 的解析式为 y
1 x2
2
18．如图，在 ABC 中， BAC 的平分线交 BC 于点 M ，点 D 、 E 分别为
ABC 的内切
圆在边 AB 、 AC 上的切点，点 I1 、 I 2 分别为与 ABM 与 ACM 的内心．求证：
DI
2 1
EI 2 2
I1I 22 ．
解：设 ABC 的内切圆在边 BC 上的切点为 F ， I 1, I 2 在边 BC 上的射影分别为 P, Q ．
图7
温州中学 2014 年自主招生综合素质测试笔试
数学试题答题卷
二、选择题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．
题号
1
2
3
4
5
6
7
8
答案
D
A
B
C
A
C
A
C
二、填空题：本大题共 7 小题，每小题 6 分，共 42 分．
9．
2
； 10 ．
5
； 11 ． 384
；
12．
3
2
； 13 ． 2014