矩阵秩的性质
线性代数：矩阵秩的求法
6/44
定理 Ax=0 的解的情况：
1.Ax=0 有非零解 r(A)<n 只有零解 r(A)=n
2.若A是方阵，Ax 0有非零解 A 0 只有零解 A 0
3.Ax 0,若m n,则一定有非零解。 m :方程个数 n :未知量个数
k
2
1 2
0
3 2
1
.
其中k1
,
k
为任意常数。
2
12/44
定理 3 线性方程组 Ax=b 有解 r(A)=r(Ab)
定理 4 设线性方程组 Ax=b 有解。 若A为方阵，
如果 r(A)=n，则它有唯一解; A 0,唯一解
如果
r(A)<n，则它有无穷多解。
A
0，无穷解
13/44
x1 x2 a1
a4
x5 x1 a5
RA RB
5
ai 0
i 1
15/44
5
方程组有解的充要条件是 ai 0.
i 1
x1 x2 a1
由于原方程组等价于方程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
例４
证明方
程组
x2 x3
x3 x4
a2 a3
x4
x5
a4
x5 x1 a5
有解的充要条件
是a1 a2 a3 a4 a5 0.在有解的情况下，
求出它的一切解．
解证 对增广矩阵B进行初等变换， 方程组的增广矩阵为
14/44
1 1 0 0 0 a1
0 1 1 0 0 a2
第十-十一次
高等代数§3.5矩阵的秩与初等变换
4 3 9 12
1 1 7 8
41
1121
1 6 4 1 4 r33r2 0 4 3 1 1
r44r2
0 0
0 0
0 0
4 4
8 8
r4r0
4 3 0 0
1 1 4 0
0841.
由阶梯形矩阵有三个非零行可知: R(A)=3.
以下求A的一个最高阶非零子式. 由于R(A)=3.
1 0
0 0
2 0 0 0
2 2 0 0
1 1 0 0
01 01
=B1
1 1 1 2
例6:设
A
3 5
3
1
62,已知R(A)=2, 求与的值.
解:
A
r2-3r1 r3–5r1
1 0 0
1
3
8
1 4
5
244
1 1 1 2
r3-r2
0 0
3 5
4
1
04,
由R(A)=2,
得
5 1
00,
即
B
1 2 2 3
2 4
4 6
2 8 2 0
1 0 3
6
21 43
r2–2r1 r3+2r1
r4–3r1
1 0
0 0
2 0 0 0
2 4 2 6
1 2 1
3
01 51
r22 1 2 2 1 1
r3–r2 r4+3r2
0
0 0
02 00 00
1 0 r35
0 0
51
r4–r3
所以, R(A)=2, R(B)=3.
即 A B, 则 R(A) = R(B).
线性代数§3.3矩阵的秩
设A为n阶可逆方阵. 因为| A | 0, 所以, A的最高阶非零子式为| A |, 则R(A)=n.
故, 可逆方阵A的标准形为单位阵E, 即A E. 即可逆矩阵的秩等于阶数. 故又称可逆(非奇异)矩 阵为满秩矩阵, 奇异矩阵又称为降秩矩阵. 1 2 2 1 1 2 4 8 0 2 , b , 例5:设 A 2 4 2 3 3 3 6 0 6 4 求矩阵A和矩阵B=(A | b)的秩. 分析: 设矩阵B的行阶梯形矩阵为B=(A| b), 则A就是A的行阶梯形矩阵. 因此可以从B=(A| b)中同时考察出R(A)及R(B).
性质6: R(A + B) R(A) + R(B). 证明: 设A, B为mn矩阵, 对矩阵(A+B ¦ B)作列变 换: ci – cn+i (i =1,2, · · · , n)得, (A+B ¦ B) (A+O ¦ B) B) R(A) + R(B). 于是, R(A+B) R(A+B ¦ B) =R(A+O ¦ 性质7: R(AB) min{R(A), R(B)}. 性质8: 若AmnBnl =O, 则R(A)+R(B) n . 这两条性质将在后面给出证明. 例7: 设A为n阶方阵, 证明R(A+E)+R(A–E) n . 证明: 因为(A+E)+(E–A)=2E, 由性质6知, R(A+E)+R(E–A)R(2E)=n, 而R(E–A)=R(A–E), 所以 R(A+E)+R(A–E) n .
§3.3 矩阵的秩
一、矩阵秩的概念
由上节讨论知: 任何矩阵Amn, 总可以经过有限次 初等行变换把它们变为行阶梯形矩阵和标准形矩阵. 行阶梯形矩阵中非零行的行数, 也就是标准形矩阵中 的数字r 是唯一确定的. 它是矩阵理论中非常重要的数 量关系之一——矩阵的秩. 定义: 在mn矩阵A中任取 k 行 k 列( km, kn ), 位于这 k 行 k 列交叉处的 k2个元素, 不改变它们在A 中所处的位置次序而得到的 k 阶行列式, 被称为矩阵A 的k阶子式. k C k 个. mn矩阵A的k阶子式共有 C m n
秩知识点总结
秩知识点总结本文将就秩知识点进行总结，从不同角度来解释秩的概念、性质、应用及其相关定理。
秩是线性代数中的一个重要概念，它在矩阵的研究中有着重要的作用。
秩的概念和性质是线性代数的基础知识，对于理解线性代数的其他内容具有重要意义。
一、秩的定义1.1 矩阵的行秩和列秩在矩阵的行空间中，秩的定义是行空间的维数。
同样，在矩阵的列空间中，秩的定义是列空间的维数。
行秩和列秩都是矩阵的秩。
矩阵的秩是行秩和列秩中的较小者。
1.2 符号表示矩阵A的秩记作r(A)。
在文中，通常会简单地称呼为矩阵A的秩。
1.3 矩阵A的秩等于行秩和列秩行空间和列空间是等价的。
因此，矩阵A的行秩和列秩是相等的，即秩。
这个定理是线性代数中的重要定理。
二、秩的性质2.1 零矩阵的秩为0对于任意大小的零矩阵，其秩都是0。
这是秩的一个重要性质。
2.2 矩阵的秩不会超过其行数和列数中的较小者对于一个m×n的矩阵A，其秩r(A)不会大于m和n中的较小者。
2.3 等价矩阵的秩相等对于等价矩阵A和B，它们的秩是相等的。
2.4 矩阵的秩与矩阵的变换无关对于一个矩阵A，将其进行线性变换后得到的新矩阵B，矩阵A和B的秩是相等的。
秩只与原矩阵A有关，与其变换无关。
2.5 矩阵的秩与初等行变换有关通过初等行变换，矩阵的行秩是它所对应的行阶梯形矩阵的行秩。
这个性质对于计算矩阵的秩非常重要。
三、秩的应用3.1 矩阵的秩与方程组的解的个数有关当矩阵A的秩与矩阵的增广形式的秩相等时，方程组有唯一解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组有无穷解；当矩阵A的秩小于矩阵的增广形式的秩时，方程组无解。
3.2 矩阵的秩与矩阵的逆的存在性有关当矩阵A是一个n×n的方阵，并且其秩等于n时，矩阵A存在逆矩阵。
3.3 矩阵的秩与矩阵的特征值有关关于特征值和特征向量的理论可以用秩来进一步分析特征值和特征向量的性质。
3.4 矩阵的秩与矩阵的奇异性有关当矩阵A的秩小于n时，矩阵A被称为奇异矩阵。
矩阵秩的不等式及其应用
矩阵秩的不等式及其应用矩阵秩的不等式及其应用矩阵是数学中的重要概念，广泛应用于物理、经济等领域。
矩阵秩是矩阵理论中很重要的一个概念。
矩阵秩不仅仅是一个数值，还具有深刻的物理意义。
下面我们将探讨矩阵秩的不等式及其应用。
一、矩阵秩的定义矩阵是一个M行N列的矩形数组，其中包含M×N个实数元素。
矩阵秩是由它的行和列所组成的线性空间的维数。
一个矩阵的秩指矩阵的行、列向量组的维数中的最小值。
二、矩阵秩的不等式对于任何一个矩阵A，其行秩等于其列秩。
即rank(A)=rank(AT)。
我们可以利用这个性质得到以下的矩阵秩不等式：对于任何两个矩阵A和B，有rank(A+B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(A-B) ≤ rank(A) + rank(B)rank(AB) ≤ min(rank(A), rank(B))rank(AB) ≤ rank(A)这些不等式给我们提供了方便快捷的工具来计算矩阵秩。
三、矩阵秩的应用矩阵秩在各个领域都有广泛的应用。
在工程中，它可以用于建立模型和解法，广泛应用于控制工程、数字信号处理、材料科学等。
例如，在控制工程中，我们可以利用矩阵秩的不等式来确定控制系统的稳定性。
一个控制系统是稳定的，当且仅当系统矩阵的秩等于系统状态的维数。
如果系统的任何一个状态可以被表示为系统矩阵中的一个线性组合，那么系统就是不稳定的。
此外，在统计学中，我们也可以利用矩阵秩来确定数据的维度。
数据的维数等于其协方差矩阵的秩。
一个协方差矩阵有多少个非零特征值就代表数据有多少维。
总之，矩阵秩是一个非常重要的概念，可以帮助我们解决很多实际问题。
矩阵秩的不等式为我们提供了更便捷的计算方式。
我们应该在学习中深入理解矩阵秩，并灵活运用其相关知识。
矩阵的秩与其行(列)空间维度
矩阵的秩与其行（列）空间维度引言矩阵是线性代数中重要的概念之一，广泛应用于各个领域。
在矩阵理论中，矩阵的秩和其行（列）空间维度是关键概念。
本文将介绍矩阵的秩和行（列）空间维度的概念、计算方法以及它们之间的关系。
矩阵的秩矩阵的秩是指矩阵中非零行（列）向量的极大无关组的向量个数，用r(A)表示。
秩的概念与矩阵的线性无关性密切相关，它衡量了矩阵中线性无关向量的个数，从而反映了矩阵的重要特性。
计算方法计算矩阵的秩有多种方法，其中一种常用的方法是使用高斯消元法。
1.将矩阵转换为行简化阶梯形矩阵。
2.计算行简化阶梯形矩阵中非零行的个数，即为矩阵的秩。
秩的性质矩阵的秩具有以下性质：1.r(A) ≤ min(m, n)：矩阵的秩不超过矩阵的行数和列数的较小值。
2.r(A) = r(A^T)：矩阵的秩与其转置矩阵的秩相等。
行空间与列空间行空间给定一个m×n的矩阵A，它的行空间是由矩阵A的各行向量线性组合而成的向量空间。
行空间的维度等于矩阵A的秩，记作dim(row(A)) = r(A)。
列空间给定一个m×n的矩阵A，它的列空间是由矩阵A的各列向量线性组合而成的向量空间。
列空间的维度等于矩阵A的秩，记作dim(col(A)) = r(A)。
行空间与列空间的关系矩阵的行空间和列空间在性质上是等价的，它们都是描述矩阵中向量的线性组合的空间。
矩阵的秩既是行空间的维度，也是列空间的维度。
矩阵的行阶梯形与列阶梯形行阶梯形对于一个矩阵A，经过一系列行初等变换可以将矩阵A转化为行阶梯形矩阵。
行阶梯形矩阵的特点是，从左上到右下的对角线元素依次为1，其上（下）方的元素都为0。
行阶梯形矩阵的非零行的个数即为矩阵的秩。
列阶梯形对于一个矩阵A，经过一系列列初等变换可以将矩阵A转化为列阶梯形矩阵。
列阶梯形矩阵的特点是，从左上到右下的对角线元素依次为1，其左（右）边的元素都为0。
列阶梯形矩阵的非零列的个数即为矩阵的秩。
行阶梯形与列阶梯形之间的关系矩阵的行阶梯形和列阶梯形之间存在一个重要的关系：一个m×n的矩阵A的秩等于其行阶梯形矩阵和列阶梯形矩阵的非零行（列）的个数。
第一章7矩阵的秩
x2
b x 2,r 1 r 1
b2n xn
d2
(#)
xr
b x r ,r 1 r 1
brn xn
dr
0 dr1
(1) 若 dr1 0 ，则 (#)无解。 (2) 若 dr1 0, 则 (#)有解，并且
当
r
r
n n
时，有唯一解。 时，有无穷多解。
13
非齐次性线性方程组有解的条件
定理：非齐次线性方程组 Amn x b 有解的充要
1 D2 0
9 5
0 1
6 2 108
0 4 7 6
1 0 7 6
21 8 1
2 1 5 8
1 D3 0
3 2
9 5
6
1
2 27 D4 0
3 2
0 1
9 27
5
14 0 6
1 4 7 0
所以
x1
D1 D
81 27
3,
x2 4,
x3 1,
x4 1.
27
Cramer 法则也可以叙述为
r4 r2
0 7 5 13 1 3 0 6 0 2 1 2 0 7 7 12
7 5 13 2 1 2
7 7 12
c1 2c2 3 5 3 3 3
0 1 0
27
c3 2c2 7 7 2 7 2
26
8 1 5 1
2 8 5 1
9 D1 5
3 2
0 1
6
81
2
ann xn 0
易知，x1 x 2 x n 0 是上述方程组的解，称为 齐次线性方程组的零解；若其有一组不全为零的解， 则称为齐次线性方程组的非零解。
29
矩阵的秩的性质以及矩阵运算和矩阵的秩的关系
高等代数第二次大作业1120133839 周碧莹30011303班矩阵的秩的性质1.阶梯型矩阵J的行秩和列秩相等，它们都等于J的非零行的数目；并且J的主元所在的列构成列向量的一个极大线性无关组。
2.矩阵的初等行变换不改变矩阵的行秩。
证明：设矩阵A的行向量组是a1，…,as.设A经过1型初等行变换变成矩阵B，则B的行向量组是a1，…,ai,kai+aj,…,as.显然a1，…,ai,kai+aj,…,as可以由a1，…,as线性表处。
由于aj=1*(kai+aj)-kai,因此a1，…,as可以由a 1，…,ai,kai+aj,…,as线性表处。
于是它们等价。
而等价的向量组由相同的秩，因此A的行秩等于B的行秩。
同理可证2和3型初等行变换使所得矩阵的行向量组与原矩阵的行向量组等价，从而不改变矩阵的行秩。
3.矩阵的初等行变换不改变矩阵的列向量组的线性相关性。
证明：一是为什么初等行变换不改变列向量的线性相关性?二是列向量进行初等行变换后，为什么可以根据行最简形矩阵写出不属于极大无关组的向量用极大无关组表示的表示式?第一个问题：设α1，α2，…，αn是n个m维列向量，则它们的线性相关性等价于线性方程组AX=0(其中A=(α1，α2，…，αn)，X=(x1，x2，…，xn)T)是否有非零解，即α1，α2，…，αn线性相关等价于AX=0有非零解，α1，α2，…，αn 线性无关等价于AX=0只有零解。
而对A进行三种行初等变换分别相当于对线性方程组中的方程进行：两个方程交换位置，对一个方程乘一个非零常数，将一个方程的常数倍对应加到另一个方程上。
显然进行三种变换后所得方程组与原方程组同解，若设所得方程组为BX=0，则B即为对A进行行初等变换后所得矩阵。
B 的列向量的线性相关性与BX=0是否有解等价，也就是与AX=0是否有解等价，即与A的列向量的线性相关性等价!第二个问题以一个具体例子来说明。
例：设矩阵，求A的列向量组的一个极大无关组，并把不属于极大无关组的列向量用极大无关组线性表示。
基础解系的秩和矩阵的秩的关系
基础解系的秩和矩阵的秩的关系基础解系的秩和矩阵的秩的关系导言在线性代数中，基础解系和矩阵秩是两个重要概念。
基础解系是由线性方程组的解向量组成的向量集合，它是线性方程组解空间的一个基。
矩阵的秩则是矩阵列向量组的极大无关组的向量个数。
本文将对基础解系的秩和矩阵的秩进行全面评估，并探讨两者之间的关系。
一、基础解系的秩1.1 基础解系的定义基础解系，也称为零空间的基，是线性方程组Ax=0的解空间中的一组基。
其中，A是一个m×n的矩阵，x是n维列向量，即方程组右端项为零。
基础解系是由自由未知量赋予确定值而得到的解向量。
1.2 基础解系的性质（1）基础解系的个数等于方程组的未知数个数减去其秩，即n-r，其中n是变量个数，r是矩阵的秩。
（2）基础解系中的向量线性无关。
（3）基础解系中的向量生成解空间，即任意解向量都可以由基础解系中的向量线性组合而成。
（4）基础解系中的向量的个数等于零空间的维数。
二、矩阵的秩2.1 矩阵的定义与性质矩阵是由数值按矩形排列而成的矩形阵列。
矩阵秩是矩阵列向量组的一个重要性质。
矩阵A的秩记作r(A)，它等于矩阵A的列向量组的极大无关组的向量个数。
2.2 矩阵秩的性质（1）矩阵的秩不会超过它的行数和列数中的较小值，即r(A) ≤min(m, n)。
（2）若r(A) = m，矩阵A为满秩矩阵；若r(A) < m，矩阵A为降秩矩阵。
（3）满秩矩阵的秩等于其行数和列数中的较小值，即r(A) = min(m, n)。
三、基础解系的秩与矩阵的秩的关系3.1 基础解系的个数与矩阵秩的关系设线性方程组Ax=0的基础解系中的向量个数为k，矩阵A的秩为r，则有k = n - r。
其中，k是基础解系的个数，n是变量个数。
3.2 矩阵的秩与基础解系的关系矩阵A的列向量组的极大无关组中的向量，对应于线性方程组Ax=0的基础解系中的向量。
基础解系的个数等于矩阵的秩。
结论与个人观点基础解系的秩和矩阵的秩有着密切的关系。
矩阵的秩的运算
矩阵的秩的运算一、矩阵秩的定义1. 基本概念- 对于一个m× n矩阵A，它的秩r(A)是矩阵A中线性无关的行向量（或列向量）的最大个数。
- 例如，对于矩阵A=begin{pmatrix}1&2&32&4&6end{pmatrix}，通过观察可以发现第二行是第一行的2倍，所以矩阵A的行向量中最多只有一个线性无关的向量，r(A) = 1。
2. 等价定义- 矩阵A的秩等于矩阵A的行最简形矩阵中非零行的行数。
例如，将矩阵A=begin{pmatrix}1&1&11&2&31&3&5end{pmatrix}化为行最简形begin{pmatrix}1&0& - 10&1&20&0&0end{pmatrix}，非零行有2行，所以r(A)=2。
二、矩阵秩的基本运算性质1. r(A)=r(A^T)- 矩阵A与其转置矩阵A^T具有相同的秩。
这是因为矩阵A中行向量的线性相关性与A^T中列向量的线性相关性是对应的。
例如，若A=begin{pmatrix}1&2&34&5&6end{pmatrix}，A^T=begin{pmatrix}1&42&53&6end{pmatrix}，通过计算可知r(A)=2，r(A^T) = 2。
2. r(kA)- 若k≠0为常数，r(kA)=r(A)。
这是因为数乘矩阵只是对矩阵的每个元素进行数乘，不会改变向量之间的线性相关性。
例如，设A=begin{pmatrix}1&23&4end{pmatrix}，2A=begin{pmatrix}2&46&8end{pmatrix}，r(A)=2，r(2A)=2。
- 当k = 0时，r(0A)=0（零矩阵的秩为0）。
3. r(A + B)≤ r(A)+r(B)- 设A=begin{pmatrix}1&00&0end{pmatrix}，B=begin{pmatrix}0&00&1end{pmatrix}，r(A)=1，r(B)=1，A +B=begin{pmatrix}1&00&1end{pmatrix}，r(A + B)=2，此时r(A + B)=r(A)+r(B)；再设A=begin{pmatrix}1&00&0end{pmatrix}，B=begin{pmatrix}-1&00&0end{pmatrix}，r(A)=1，r(B)=1，A +B=begin{pmatrix}0&00&0end{pmatrix}，r(A + B)=0，r(A + B)<r(A)+r(B)。
第二章 第一讲 矩阵的秩
互换变换：A的i行与j行交换变为B，则B 的子式或为A的子式，或与A的子式差一个符号， 秩不变。 倍乘变换：A的i 行元素乘以 k (k≠0) 得到B， 则B 的子式成为A的子式，或与A的子式差一个 因子 k≠0。则秩不变。
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倍加变换：A由i行的k倍加到 j行，得到
矩阵B。 ：B的一个子式若不包含第j行元素，则 也为A的一个子式；
1 2 1 1 0 3 4 4 , 0 5 1 0
5 0 , 由r(A)=2, 得 1 0
5. 即 1
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铃
四、小结
1. 矩阵秩的概念 2. 求矩阵秩的方法 (1) 利用定义 寻找矩阵中非零子式的最高阶数; (2) 初等变换法
解： 对Ａ作初等行变换，变成行阶梯形矩阵。
1 1 2 1 A 1 2 4 1
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2 2 0 4
1 4 3 2
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r2 2 r1 r3 r1 r4 4 r1
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1 1 2 1 0 3 2 2 0 3 2 2 0 3 4 2
对A作初等行变换，变成行 阶梯形矩阵：
1 r r 1 3 2 5 1 1 8 1 1 3 4 7 3 5 0 1 2 4 11
解
A
7 11
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结束
铃
5 1 2 1 7 1 11 8 r2 2r1
无解。
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因此，r(A) = 2 , r(B) = 3.
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结束
矩阵的秩
可逆矩阵又称满秩矩阵，不可逆矩阵 (奇异矩阵)
又称降秩矩阵.
例 4 求矩阵 A 和 B 的秩，其中
1 A 2 4 2 3 7 2 3 0 5 , B 0 1 0 1 3 0 0 0 1 0 0 3 2 4 0 2 5 . 3 0
C C
k m
k 个． n
定义 4 设在矩阵 Ａ 中有一个不等于 0 的 r
阶子式 D ， 且所有 r+1 阶子式（如果存在的话）
那么 D 称为矩阵 A 的最高阶非零子 全等于 0 ，
并规定零 式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R(A)．
矩阵的秩等于 0 ．
由行列式的性质可知，在 A 中当所有 r + 1 阶 子式全等于 0 时，所有高于 r + 1 阶的子式也全等 于 0 ，因此 Ａ 的秩 R(A) 就是 A 中不等于 0 的子 式的最高阶数．
三、 主要结论
定理 2 若 A ~ B, 则 R(A) = R(B).
推论 若可逆矩阵 P、Q 使 PAQ = B，则
R(A) = R(B).
四、矩阵秩的求法
根据这一定理, 为求矩阵的秩, 只要把矩阵 用初等行变换变成行阶梯矩阵, 行阶梯形矩阵 中非零行的行数即是该矩阵的秩.
下面用该方法求矩阵的秩.
第三节
主要内容
定义
矩 阵 的 秩
主要结论 矩阵秩的求法 矩阵秩的性质
二、 定义
定义 3 在 矩阵 A 中, 任取 k 行与 k 列
( k m, k n ), 位于这些行列交叉处的 k2 个元
素，不改变它们在 Ａ中所处的位置次序而得到的
k 阶行列式，称为矩阵 A 的 k 阶子式． m n 矩阵 A 的 k 阶子式共有
矩阵的秩的性质.doc
矩阵的秩的性质.doc
1. 矩阵经过初等行变换或初等列变换后，其秩保持不变。
2. 对于一个 n × m 的矩阵 A，它的秩满足以下条件：
- 秩(A) ≤ min(n, m)，即矩阵的秩不会超过它的行数和列数中较小的那个。
- 秩(A) = r，其中 r 表示 A 中线性无关的列（或行）的最大个数。
- 如果 r = n，则矩阵 A 被称为满秩矩阵。
- 如果 r < n，则矩阵 A 被称为降秩矩阵。
3. 当一个方块矩阵（n × n）是满秩时，它是可逆的。
也就是说，如果一个方块矩阵 A 是满秩的，则存在另一个方块矩阵 B，使得AB = BA = I，其中 I 是单位矩阵。
4. 对于两个任意大小的矩阵 A 和 B，我们有以下关系：
- 秩(A + B) ≤秩(A) + 秩(B)
- 秩(AB) ≤ min(秩(A), 秩(B))。
左乘列满秩矩阵秩不变证明
左乘列满秩矩阵秩不变证明要证明左乘一个列满秩矩阵不会改变矩阵的秩，我们首先需要明确一些定义和性质。
定义1：矩阵的秩是指矩阵中线性无关的行或列的最大个数。
性质1：矩阵的秩等于其行最简形式中非零行的个数。
性质2：矩阵的秩等于其列最简形式中非零列的个数。
性质3：矩阵的秩等于其列空间的维数。
性质4：矩阵的秩等于其行空间的维数。
现在我们来证明左乘一个列满秩矩阵不会改变矩阵的秩。
假设有两个矩阵A和B，其中A是一个列满秩矩阵，B是任意一个矩阵。
我们要证明的是，左乘A不会改变矩阵B的秩，即rank(AB) = rank(B)。
首先，我们知道矩阵乘法的定义是将A的每一行与B的每一列进行内积，得到结果矩阵AB。
假设矩阵B的秩为r，即rank(B) = r。
那么B的列空间的维数为r。
我们知道，矩阵的列空间是由矩阵的列向量生成的向量空间。
所以B的列空间的维数等于B的列向量的个数。
假设B的列向量为b1, b2, ..., bn，那么B的列空间的维数为向量b1, b2, ..., bn 的线性无关的最大个数。
现在我们来看矩阵AB的列空间。
AB的列空间是由AB的列向量生成的向量空间。
所以AB的列空间的维数等于AB的列向量的个数。
假设AB的列向量为c1, c2, ..., cm，那么AB的列空间的维数为向量c1, c2, ..., cm 的线性无关的最大个数。
我们知道，AB的列向量是A的每一行与B的每一列进行内积得到的。
假设A的行向量为a1, a2, ..., ak，B的列向量为b1, b2, ..., bn。
那么AB的列向量可以表示为c1 = a1b1 + a2b2 + ... + akbn, c2 = a1b1 +a2b2 + ... + akbn, ..., cm = a1b1 + a2b2 + ... + akbn。
我们可以看出，AB的列向量是由A的行向量与B的列向量进行线性组合得到的。
现在我们来证明AB的列向量是线性无关的。
矩阵秩的概念
定义4 设在矩阵 A 中有一个不等于 0 的 r 阶子
式 D，且所有 r 1 阶子式（如果存在的话）全等 于 0，那末 D 称为矩阵A的最高阶非零子式，数 r 称为矩阵 A 的秩，记作 R( A) .并规定零矩阵的秩 等于零.
m n 矩阵 A 的秩 R( A) 是 A 中不等于零的 子式的最高阶数.
1
1 1
2 2.
5 3 6
已知R(A)=2,求λ与μ的值.
解
A=
r2
3r1
1 0
1
3
1 2 4 4.
r3 5r1 0
8 5 4
1
r3 r2
0
0
因R( A) 2,故
1
3 5
1 4
1
2 4.
0
5 0
5,
1 0 即 1.
三、矩阵秩的性质
1. 0 R( Amn ) minm ,n.
1 6 4 1 4
r1 r4
1 3
6 2
4 3
1 6
4 1
2 0 1 5 3 3 2 0 5 0
3 2 0 5 0
A
3 2
2 0
3 1
6 1 5 3
1 6 4 1 4
r1 r4
1 0
6 4
4 3
1 1
4 1
r2 r4
2 3
0 2
1 0
5 3 5 0
3 2 0 5 0
二、矩阵秩的求法
因为对于任何矩阵Amn ,总可经过有限次初 等行变换把它变为行阶梯形 问题：经过有限次初等变换, 矩阵的秩变吗？
定理3 若 A ~ B,则 RA RB.
矩阵秩的符号
矩阵秩的符号
（原创实用版）
目录
1.矩阵秩的定义和重要性
2.矩阵秩的符号表示
3.矩阵秩的计算方法
4.矩阵秩的性质与应用
正文
矩阵秩的符号表示，矩阵秩是指矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大数量。
矩阵秩是一个重要的概念，可以用来描述矩阵的简化和线性变换的能力。
矩阵秩的符号表示通常用“r(A)”表示矩阵 A 的秩，其中 r 表示秩的英文单词“rank”的首字母。
例如，一个 3x3 矩阵的秩可以用“r(A) = 3”表示，这意味着该矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大数量为 3。
矩阵秩的计算方法主要包括以下两种：
1.高斯消元法：通过高斯消元法可以将一个矩阵化为阶梯形矩阵或简化阶梯形矩阵，从而得出矩阵的秩。
具体来说，将矩阵 A 进行高斯消元，得到阶梯形矩阵 [B]，矩阵 A 的秩等于 [B] 中非零行的数量。
2.线性无关性判断：如果矩阵 A 的列向量线性无关，那么矩阵 A 的秩等于列向量的数量；如果矩阵 A 的行向量线性无关，那么矩阵 A 的秩等于行向量的数量。
矩阵秩的性质与应用包括：
1.矩阵秩的性质：矩阵的秩满足交换律、齐次性和传递性等性质；对于任意矩阵 A 和 B，有 r(AB) <= r(A) 和 r(A) <= r(B)。
2.矩阵秩的应用：矩阵秩在线性代数和工程领域中有广泛的应用，例如在矩阵的简化、线性方程组的求解、特征值计算和奇异值分解等方面都涉及到矩阵秩的概念。
矩阵秩的符号
矩阵秩的符号【原创实用版】目录1.矩阵秩的定义与重要性2.矩阵秩的符号表示3.矩阵秩的性质与计算方法4.矩阵秩在线性代数中的应用正文矩阵秩的符号矩阵在数学和物理学等领域中有着广泛的应用。
矩阵秩是矩阵的一个重要概念，它反映了矩阵的线性变换能力。
矩阵秩的符号表示对于理解和应用矩阵具有重要意义。
1.矩阵秩的定义与重要性矩阵秩是指矩阵中线性无关的行向量或列向量的最大数目。
矩阵秩是矩阵的一个重要属性，可以用来描述矩阵的线性变换能力。
矩阵秩的计算对于很多实际问题具有重要意义，比如在矩阵的逆矩阵、线性方程组解的讨论、特征值与特征向量的求解等方面都有广泛应用。
2.矩阵秩的符号表示矩阵秩的符号通常用“r(A)”表示，其中 A 是矩阵，r(A) 表示矩阵A 的秩。
在实际应用中，矩阵秩的符号也可以用“dim(A)”或“n(A)”表示，它们分别表示矩阵 A 的维度或秩。
3.矩阵秩的性质与计算方法矩阵秩具有以下性质：（1）对于任意矩阵 A，其秩 r(A) 满足 0≤r(A)≤n，其中 n 为矩阵 A 的行数（或列数）。
（2）对于任意矩阵 A 和 B，有 r(AB)≤r(A) 和 r(BA)≤r(B)。
（3）对于任意矩阵 A 和非零矩阵 B，有 r(A)+r(B)=r(AB)。
矩阵秩的计算方法主要包括以下几种：（1）利用行列式：矩阵秩可以通过计算矩阵的行列式来求解。
如果矩阵 A 的行列式值为 0，则矩阵 A 的秩为 0；如果矩阵 A 的行列式值为非零常数，则矩阵 A 的秩为行数（或列数）；如果矩阵 A 的行列式值不为 0 且矩阵 A 的行数（或列数）为 n，则矩阵 A 的秩为 n。
（2）利用秩的定义：矩阵秩也可以通过求解线性方程组来计算。
求解线性方程组 Ax=0，其中 A 是待求秩的矩阵，x 是未知向量，如果方程组有解，则矩阵 A 的秩等于解的向量个数。
（3）利用特征值与特征向量：矩阵秩还可以通过计算特征值与特征向量来求解。
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矩阵的秩是指矩阵中行（或列）向量组的秩，与之等价的说法通常是指矩阵中不为零的子式的最高阶数，是矩阵最重要的数字特征之一。
基于矩阵的秩在高等代数学中的重要性，本文系统总结了矩阵的秩的基本性质,以及对矩阵的秩在满秩分解,公式和一类恒等式等方面的应用。
关键词：矩阵；秩；分块矩阵；初等变换
ABSTRACT
The matrix rank is refers to the matrix the line (or row) the vector groups order, usually is refers to the matrix with it equal view is not zero minor highest exponent number, is one of matrix most important digit characteristics .Based on the matrix rank in higher algebras importance, this article summed up matrix rank some nature, as well as decomposes to the matrix rank in the non-singular, aspect and so on a formula and kind of identical equation applications.
Key word: matrix; rank; partitioned matrix; elemetary operation。