数学期望与方差

五、几个重要分布的期 望与方差 （1）X ~ B(1, p),则
E ( X ) ? p D( X ) ? p（1 ? p）
（2）X ~ B(n, p),则
E ( X ) ? np D(X ) ? np(1 ? p)
（3）X ~ P(? ),则 E ( X ) ? ? D( X ) ? ?
（4）R.V .X ~ U (a, b),
则X的数学期望记为:
?
? EX ? xi pi i?1
eg1 已知 R .V .X 的分布律如下 , 求1）EX 2）EX 2
X
-1
0
1
3
P 0.1 0.2 0.3 0.4
X2
1
0
1
9
EX ? ? 1? 0.1 ? 0 ? 0.2 ? 1? 0.3 ? 3 ? 0.4 ? 1.4
EX 2 ? (? 1)2 ? 0.1 ? 02 ? 0.2 ? 12 ? 0.3 ? 32 ? 0.4 ? 4
pn 1 ? p nj
p.1 ? p. j
? p nm
? p.m
pn .
?
?
? ? 则E ( X ) ? xi pi. （边缘分布） E (Y ) ? y j p. j
i?1
?
?
j?1
?
?
? ? ? ? ? x i ( pij )（联合分布） ? y j ( pij )
i?1
j?1
j?1
i?1
eg2 已知
Def 3
? 设R .V . X ~ p( x ), 若 ? ? xp ( x )dx 绝 对 收 敛 ， ??
? 则E ( X ) ?
??
xp( x )dx
??
? Def 4
对于Y ? f ( X ), E (Y ) ?
??
f ( x ) p( x )dx
??
思考 是否任意分布的期望都 存在？
2、二维连续型R.V ( X ,Y ) ~ p( x, y),则
eg5 (1)甲乙哪一个射手发挥稳定？
甲 8 9 10 乙 8 9 10 P 0.3 0.1 0.6 P 0.2 0.5 0.3
EX ? 9.3 EY ? 9.1
（2）见eg2 求1）DX; 2）D(Y ); 3）D( X ? Y );
X Y -1 0 3
1 0.1 0.2 0.1
2 0 0.2 0.4
四、方差的性质 (普适）
（1）Dk ? 0 (k为常数）
（2）D(kX) ? k 2DX
（3）X与Y相互独立，D(X? Y) ? DX? DY
Notes
（1）D（X ? Y）? DX ? DY ? 2E（[ X ? EX ）(Y ? EY )].
n
n
? ? (2)当X 1 , X 2 ,? X n相互独立时， D( X i ) ? D( X i )
X Y -1 0 3
1 0.1 0.2 0.1
2 0 0.2 0.4
求（1）E ( X ) (2)E (Y ) (3)E ( XY )
则(X, Y)的函数的数学期望
??
?? E（f ( X，Y )）?
f（x i，y j ) pij
i?1 j?1
二、连续型 R .V的期望
1、一维连续型 R.V .及其函数的数学期望
Chapter 4
随机变量的数字特征
（numeral character of random var iable）
§4.1 数学期望与方差
一、离散型 R.V .的数学期望
1、一维离散型 R .V .及其函数的数学期望
Def 1 设R .V .X 的分布律为
X
x1
x2
…
xn …
P p1 p2 … pn …
7、设随机变量 X 1 , X 2 , X 3相互独立 , 其中 X 1 ~ U [0，6]，X 2 ~ N (0,4), X 3 ~ P(3)
i?1
i?1
eg6 设一次试验成功的概率 为p, 若进行 100 次这
样的试验，则成功次数 的标准差的最大值为？
eg7 袋中装有 n个结构相同的小球，球 面上分别
标有数字 1，2，?，n，从中任取 k次，每次取一个球，
看过数字后放回，若 k个数字的和为 X，求EX 与DX .
k
X ? ? Xi i?1
?? ??
eg3 设(X, Y) ~ U ( A ), 且A 由x轴， y轴及直线
x ? y ? 1所围成，试求 EX , EY , E ( XY ). 2
? 2(1 ? x ) 0 ? x ? 1
pX (x) ? ? ?
0
其它
pY
( y)
?
?1 ? ? ?0
y 2
0? y? 2 其它
3. 期望的性质 (普适）
b? a
EX ?
2
(a ? b)2
DX ?
12
（5）R.V .X ~ E（? ），
1 EX ?
?
1
DX ? ? 2
（6）R.V .X ~ N（? ，? 2），
EX ? ?
DX ? ? 2
六、原点矩与中心矩
k阶原点矩 E( X k ) k阶中心矩 E( X ? EX )k
1阶原点矩 EX
2 阶中心矩 E( X ? EX )2 ? DX
（1）Ek ? k (k为常数）
（2）E(kX) ? kEX （3）E(X ? Y) ? EX ? EY （4）X与Y相互独立， E(XY) ? EX ?EY
eg4证明 E ( X ? EX )2? E ( X 2 ) ? (EX )2
三、R .V.的方差
Def 5 称D（X）? E ( X ? EX )2为X的方差 .
?
则X的函数的数学期望 Ef ( X ) ? ? f ( x i ) pi i?1
2、二维离散型 R.V及其函数的期望
Def2 XY y1 ? y j ? y m (? ) 关于X
x ? ? 1
p11
p1 j
p1m
p1.
??
?
?
?
x i pi1 ?
??
? p ij
p im
?
?
pi . ?
x?n
关于 Y
? E ( X ) ?
?? ??
xp X（x）dx
（边缘分布）
? ? ? ?? ?? xp ( x , y)dxdy （联合分布） ?? ??
? ? ? E (Y ) ?
?? ??
ypY（y）dy ?
?? ??
??
yp( x , y)dxdy
??
?? ??
? ? E ( f ( X ,Y )) ?
f ( x , y) p( x , y)dxdy
称? （X）? D( X )为X的标准差.
?
D.R.V .的方差 ? DX ? （xi ? EX ）2 pi
i?1
? ຫໍສະໝຸດ Baidu.R.V .的方差 D（X）?
??
（x
?
EX ）2 p( x )dx
??
Notes 1. DX实质为期望且 DX ? 0；
2. 一个重要公式 DX ? E ( X 2 ) ? (EX )2