数量积的坐标表示
平面向量的坐标表示,模,夹角
二、探究解疑
Office组件之word2007
1、平面向量数量积的坐标表示
问题1、如图，i 是x轴上的单位向量，j
是y轴上的单位向量，
i i 1 . j j 1 .
y A(x1,y1)
i j j i 0 .
B(x2,y2) a
bj
oi x
问题2
Office组件之word2007
AB AC 1313 0
是的判两断条B相线(2应段,3)
AB AC
∴ △ABC是直角三角形
或垂A(直直1,2的线) 是重否要 x 0方法之一
Office组件之word2007
uuuv
uuuv
uuuv
方法2：AB= 1,1，AC= -3,3，BC= -4,2
Office组件之word2007
2.4.2 平面向量数量积的 坐标表示、模、夹角
一、复习引入
Office组件之word2007
1、数量积的定义：a b | a || b | cos
2、投影：| b | cos 叫做 b在 a方 向 上 的 投 影
B
r
b
r
Oθ
a
B1
A
| b | cos
2 2
=45o
Office组件之word2007
例3:已知a =(1, 0)，b =(2, 1)，当k为何实数 时，向量k a－ b与 a+3b(1)平行；(2)垂直
解：k a－ b =(k－2, －1) a +3 b=(7, 3)
(1)由向量平行条件得3(k－2)+7=0
所以k= 1 3
3.数量积的性质
Office组件之word2007
平面向量数量积的坐标表示
求两向
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
已知向量a,b的夹角θ的范围,求参数的取值范围时,可利用性质:①0°≤θ<90°⇔ a·b>0;②90°<θ≤180°⇔a·b<0.
3.解决投影向量问题的方法 已知非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a在b方向上的投影向量为 · =
. ,
.
平面向量数量积的坐标表示
判断正误，正确的画“√” ，错误的画“ ✕” .
1.向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的数量积仍是向量,其坐标为(x1x2,y1y2). ( ✕ ) 2.| |的计算公式与A,B两点间的距离公式是一致的. ( √ )
3.若非零向量a=(x1,y1),b=(x2,y2)的夹角为锐角,则x1x2+y1y2>0;反之,若非零向量a=(x1, y1),b=(x2,y2)满足x1x2+y1y2>0,则它们的夹角为锐角. ( ✕ )
.
其中的真命题为 ②③ .(填序号)
思路点拨 根据平面向量的夹角、模及投影向量公式求解.
平面向量数量积的坐标表示
平面向量数量积的坐标表示
解析 对于①,∵a=(1,2),b=(1,1), ∴a+λb=(1+λ,2+λ). ∵a与a+λb的夹角为锐角,
∴
解得
∴λ的取值范围为
∪(0,+∞),故①错误.
对于②,∵a⊥c,∴2x-4=0,解得x=2.
6.3.5 平面向量数量积的坐标表示
1.能用坐标表示平面向量的数量积,会求两个平面向量的夹角. 2.会用两个向量的坐标判断它们是否垂直. 3.会利用平面向量的数量积解决判断图形形状的问题,进一步体会数形结合的 思想方法.
向量的数量积坐标运算原理
向量的数量积坐标运算原理向量的数量积（也称为点积或内积）是向量运算中的一种重要运算，它用于计算两个向量之间的相似性和夹角。
在三维空间中，向量的数量积可以通过以下公式来表示：A ·B = A * B * cos(θ)其中，A和B是两个向量，A 和B 分别表示它们的模（长度），θ表示A和B 之间的夹角。
向量的数量积可以使用坐标运算来计算。
假设A = (a1, a2, a3)和B = (b1, b2, b3)是两个三维向量，则它们的数量积通过以下公式计算：A ·B = a1 * b1 + a2 * b2 + a3 * b3在计算数量积时，我们将每个向量的对应坐标相乘，然后将乘积相加，从而得到数量积的结果。
这个过程可以类比于在笛卡尔坐标系中通过向量的投影计算出向量的模和夹角。
为了更好地理解坐标运算原理，我们可以通过一个具体的例子来说明。
假设有两个向量A = (2, 3)和B = (4, 5)，我们可以使用坐标运算来计算它们的数量积。
首先，将向量A和B的对应坐标相乘：A ·B = (2 * 4) + (3 * 5) = 8 + 15 = 23这样，我们得到了向量A和B的数量积为23。
通过计算可以得到，向量A和B 之间的夹角θ约为57.02。
在实际应用中，向量的数量积具有很多重要的性质和应用。
以下是一些常见的性质和应用：1. 平行性：如果两个向量的数量积为0，则它们是垂直的。
因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否平行。
2. 夹角：通过数量积的公式，我们可以计算出两个向量之间的夹角。
夹角的范围是0到180之间。
3. 正交性：如果两个向量的数量积为0，则它们是正交或垂直的。
因此，我们可以使用数量积来判断两个向量是否正交。
4. 投影：向量的数量积还可以用来计算一个向量在另一个向量上的投影。
具体而言，如果我们有一个向量A和一个单位向量u，那么向量A在u上的投影可以通过执行数量积A ·u来计算。
向量数量积的坐标表示、模、夹角
向量数量积的几何意义
投影长度
数量积表示向量$vec{A}$在向量 $vec{B}$上的投影长度。
角度余弦值
数量积等于两向量夹角的余弦值乘以 两向量的模的乘积，即$cos theta = frac{vec{A} cdot vec{B}}{|vec{A}| cdot |vec{B}|}$。
向量数量积的计算公式
几何意义
向量模的计算公式在几何上表示了从原点到该向量的有向线段的长度。
向量模的性质
性质1
向量的模满足三角不等式，即对于任意两个向量$overset{longrightarrow}{a}$和 $overset{longrightarrow}{b}$，有$left| overset{longrightarrow}{a} +
向量数量积的坐标表示、模、夹角
$number {01}
目 录
• 向量的坐标表示 • 向量数量积的坐标表示 • 向量的模 • 向量夹角 • 向量数量积、模、夹角之间的关
系
01
向量的坐标表示
定义与性质
定义
向量可以用坐标表示为 $overrightarrow{A} = (x_1, y_1)$，$overrightarrow{B} = (x_2, y_2)$。
向量夹角与点积的关系
当两个向量的夹角为90°时，它们的数量积为0，即A·B = 0；当两个向 量的夹角为0°或180°时，它们的数量积等于它们的模长的乘积，即A·B = ||A|| ||B||。
05
向量数量积、模、夹角之间 的关系
向量数量积与模的关系
1 2
3
向量数量积的定义
两个向量的数量积定义为它们的模的乘积乘以它们夹角的余 弦值。
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角数学学案009
2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角【目标要求】1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.【热点提示】向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．【知识梳理】1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则|AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22. 【课堂互动】平面向量数量积的坐标运算【例1】 已知向量a 与b 同向，b ＝(1,2)，a ·b ＝10.(1)求向量a 的坐标；(2)若c ＝(2，－1)，求(b ·c )a .练1 已知a ＝(2，－1)，b ＝(3，－2)，求(3a －b )·(a －2b )．向量的模的问题【例2】 已知向量a ＝(sin θ，1)，b ＝(1，cos θ)，－π2<θ<π2. 求|a ＋b |的最大值．练2 已知向量a ＝(2,1)，a ·b ＝10，|a ＋b |＝52，则|b |等于( )A.5B.10 C ．5 D ．25向量的垂直问题【例3】 已知三点A (2,1)，B (3,2)，D (－1,4)．(1)求证：AB ⊥AD ；(2)要使四边形ABCD 为矩形，求点C 的坐标并求矩形ABCD 的对角线的长度．练3 已知向量a ＝(1,1)，b ＝(2，－3)，若λa －2b 与a 垂直，则实数λ等于________．向量的夹角问题【例4】 已知a ＝(1,2)，b ＝(1，λ)，分别确定实数λ的取值范围，使得(1)a 与b 的夹角为直角；(2)a 与b 的夹角为钝角；(3)a 与b 的夹角为锐角．4 如下图所示，已知O 是原点，点A (16,12), 点B (－5,15)，求：(1)|OA →|，|AB →|；(2)∠OAB .【限时训练】1．设a ＝(1，－2)，b ＝(－3,4)，c ＝(3,2)，则(a ＋2b )·c 等于( )A ．(－15,12)B ．0C ．－3D ．－112．已知向量a ＝(x －5,3)，b ＝(2，x )，若a ⊥b ，则由x 的值构成的集合是( )A ．{2,3}B ．{－1,6}C ．{2}D ．{6}3．(2010·安徽)设向量a ＝(1,0)，b ＝(12，12)，则下列结论中正确的是( )A ．|a |＝|b |B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b4．与a ＝(3,4)垂直的单位向量是( )A ．(45，35) B ．(－45，－35)C ．(45，－35或(－45，35) D ．(45，35)或(－45，－35)5．已知向量a ＝(1,2)，b ＝(－2，－4)，|c |＝5，若(a ＋b )·c ＝52，则a 与c 的夹角是() A ．30° B ．60° C ．120° D ．150°6．与向量a ＝(72，12)，b ＝(12，－72)的夹角相等，且模为1的向量是( )A ．(45，－35)B ．(45，－35)或(－45，35)C ．(223，－13) D ．(223，－13或(－223，13)。
§2.4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
二、向量的模和两点间距离公式:
1向量的模(长度公式)：
设a (x, y),则
2
a x2 y2,或a
x2 y2
2两点间的距离公式： 设Ax1, y1、Bx2, y2 ,则AB x2 x1, y2 y1
AB x2 x1 2 y2 y1 2
【拓展提升】数量积坐标运算的方法技巧 (1)进行数量积运算时,要正确使用公式 a·b=x1x2+y1y2,并能灵活运用以下几个关系: |a|2=a·a.(a+b)(a-b)=|a|2-|b|2. (a+b)2=|a|2+2a·b+|b|2. (2)利用数量积的条件求平面向量的坐标,一般来 说应当先设出向量的坐标,然后根据题目中已知 的条件找出向量坐标满足的等量关系,利用数量 积的坐标运算列出方程组来进行求解.
记忆口诀：注意坐标形式下两向量垂直的条件与两向量平 行的条件不要混淆， “a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0”可简记为“对应相乘和为0”； “a∥b⇔x1y2－x2y1＝0”可简记为“交叉相乘差为0”．
四、向量夹角公式的坐标表示:
设a x1, y1 ,b x2 , y2 , a与b夹角为，0
(1)掌握向量数量积的坐标表达式， 会进行向量数量积的坐标运算;
(2)能运用数量积表示两个向量的夹角，计 算向量的长度，会用数量积判断两个平面 向量的垂直关系.
一、平面向量数量积的坐标表示:
a x1, y1 ,b x2 , y2 a,b非零向量 y A(x1,y1)
a x1i y1 j,b x2i y2 j
B(x2,y2)
a
bj
a b (x1i y1 j) (x2i y2 j)
空间向量数量积的坐标表示
Hale Waihona Puke 0时，的夹角在什么范围内？
练习一：
1.求下列两点间的距离：
(1) A(1,1, 0) , B(1,1,1) ; (2) C(3 ,1, 5) , D(0 , 2 , 3) .
2.求下列两个向量的夹角的余弦：
(1) ar (2 , 3 ,
r 3)，b (1, 0 , 0) ;
(2)
ar
(1
,
例题：
A
例1 已知A(3 , 3 ,1)、B(1, 0 , 5) ，求：
（1）线段 AB 的中点坐标和长度；
M
B
解：设 M(x , y , z) 是 AB的中点，则 O
uuuur OM
1 2
uuur (OA
uuur OB)
1 2
(3
,
3
,
1)
1 ,
0
,
5
2
,
3 2
,
3
,
∴点 M的坐标是
2
,
3 2
1
,
r 1)，b
(1
,
0
,
1)
;
3．已知 ABCD ,顶点 A(1,0,0), B(0,1,0) ,C(0,0, 2) ,
则顶点 D 的坐标为___(_1_,_-_1_,2_)_____;
4． Rt△ABC 中, BAC 90o , A(2,1,1), B(1,1, 2) ,
C( x, 0,1) ,则 x __2__;
r a
r b
(a
1
b1,
a2
b2
,
a3
b3
)
;
ar
r b
(a 1b1,a2
《数量积坐标表示》课件
01
刚体运动是指物体在运动过程中保持形状和大小不变的运动。
刚体运动的实例
02
例如，一个球体在平面上滚动、一个立方体在三维空间中旋转
等。
刚体运动的表示方法
03
在刚体坐标系中，可以用固定点表示刚体的位置和速度，用向
量的数量积表示力在刚体上的投影。
物理学
在物理学中，许多物理量如力、速 度、加速度等都可以用向量表示， 而数量积坐标表示是描述这些向量 的重要工具。
02
数量积坐标表示的计算方 法
坐标系的选择与转换
01
02
03
04
直角坐标系
以原点为中心，x轴、y轴为 基轴，用于描述平面内点的位
置。
极坐标系
以原点为中心，极轴为基轴， 用于描述平面内点的位置和方
《数量积坐标表示》 ppt课件
目录 CONTENT
• 数量积坐标表示的基本概念 • 数量积坐标表示的计算方法 • 数量积坐标表示的几何意义 • 数量积坐标表示的物理意义 • 数量积坐标表示的实例分析
01
数量积坐标表示的基本概 念
定义与公式
定义
数量积坐标表示是一种数学表达 方式，用于描述向量在二维或三 维空间中的位置和方向。
公式
在二维空间中，向量A的数量积坐 标表示为(A_x, A_y)，在三维空间 中，向量A的数量积坐标表示为 (A_x, A_y, A_z)。
数量积坐标表示的性质
01
02
03
非负性
数量积坐标表示的数值均 为非负数，表示向量的长 度或模长。
正交性
对于两个正交的向量A和B ，它们的数量积坐标表示 为0，即A·B=0。
VS
详细描述
在二维平面中，一个向量可以分解为两个 垂直向量的和，这两个垂直向量分别表示 该向量在x轴和y轴上的分量。在三维空间 中，一个向量可以分解为三个垂直向量的 和，这三个垂直向量分别表示该向量在x 轴、y轴和z轴上的分量。向量的合成则是 指将若干个向量加在一起得到一个新的向 量，例如，两个向量的和就是将它们首尾 相接，形成一个新的向量。
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案
北师大高中数学必修平面向量数量积的坐标表示教案第一章：向量概念回顾1.1 向量的定义向量是有大小和方向的量，通常用箭头表示。
向量的表示方法：用字母表示向量的名称，后面跟上箭头和坐标表示其大小和方向。
1.2 向量的坐标表示二维空间中的向量可以用两个坐标表示，通常用(x, y) 表示。
向量的长度（模）：表示向量的大小，计算公式为√(x^2 + y^2)。
第二章：向量的数量积2.1 向量数量积的定义两个向量的数量积（点积）是指它们之间的乘积再进行加法运算。
向量a 和向量b 的数量积表示为a ·b，计算公式为a ·b = |ab| cosθ，其中|a| 和|b| 分别表示向量a 和b 的长度，θ表示它们之间的夹角。
2.2 向量数量积的坐标表示两个二维向量a = (x1, y1) 和b = (x2, y2) 的数量积表示为a ·b = x1x2 + y1y2。
数量积的性质：交换律、分配律、共线向量的数量积为零。
第三章：向量的投影3.1 向量的投影概念向量的投影是指向量在某个方向上的位移，可以是正方向或负方向。
向量a 在向量b 方向上的投影表示为proj_b a，计算公式为proj_b a =(a ·b / |b|^2)b。
3.2 向量的投影坐标表示向量a = (x1, y1) 在向量b = (x2, y2) 方向上的投影表示为proj_b a = ((x1x2 + y1y2) / (x2^2 + y2^2))(x2, y2)。
投影的性质：投影是标量倍数不变、共线向量的投影相等。
第四章：数量积的应用4.1 向量的垂直判断两个向量垂直的条件是它们的数量积为零。
即a ·b = 0，表示向量a 和向量b 垂直。
4.2 向量的模长计算已知向量的数量积和其中一个分量，可以求解另一个分量。
例如，已知a ·b 和x1，可以求解y1 = (a ·b x1^2) / y2。
平面向量数量积的坐标表示、模和夹角
目标要求1.掌握向量数量积的坐标表达式，会进行向量数量积的坐标运算．2．能运用数量积表示两个向量的夹角、计算向量的长度，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.热点提示向量的数量积是高考命题的热点，主要考查数量积的运算、化简、证明，向量平行、垂直的充要条件的应用以及利用向量解决平面几何问题．本节单独命题时，一般以选择、填空题的形式出现，属容易题；本节还可以与平面几何、解析几何、三角等内容交叉出现，一般以解答题形式出现，综合性较强，难度也较大，学习本节时应熟练掌握运算律，记准公式.1．平面向量数量积的坐标表示若a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2.即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．2．两个向量垂直的坐标表示设两个非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，则a ⊥b ⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.知识要点3．三个重要公式(1)向量模公式：设a ＝(x 1，y 1)，则|a |＝x 21＋y 21.(2)两点间距离公式：若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则 |AB →|＝(x 2－x 1)2＋(y 2－y 1)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22.重要公式观察思考若向量a＝(x，y)，你可知与a共线的单位向量的坐标是什么吗？与a垂直的单位向量的坐标吗？设与a 共线的单位向量为a 0，则a 0＝±1|a |a ＝±(x |a |，y |a |)＝±(x x 2＋y 2，y x 2＋y 2)，其中正号，负号分别表示与a 同向和反向， 易知b ＝(－y ，x )和a ＝(x ，y )垂直， ∴与a 垂直的单位向量b 0的坐标为±(－y x 2＋y 2，x x 2＋y 2)，其中正，负号表示不同的方向．温馨提示自我测评1．已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，则a与b()A．垂直B．不垂直也不平行C．平行且同向D．平行且反向解析：已知向量a＝(－5,6)，b＝(6,5)，a·b＝－30＋30＝0，则a与b垂直，选A.答案：A2．设向量a＝(1，－3)，b＝(4，－2)，λa＋b和a垂直，那么λ＝()A．2 B．1 C．－2 D．－1答案：D3．已知a＝(2,3)，b＝(－4,7)，则a在b方向上的投影为()A.13B.135 C.655 D.65答案：C4．已知向量a ＝(3,3)，2b －a ＝(－1,1)，设向量a 与b 的夹角为θ，且，则cos θ＝________.分析：设向量b ＝(x ，y )，则有2b －a ＝(2x,2y )－(3,3)解得x ＝1，y ＝2，∴b ＝(1,2)，则cos θ＝a ·b |a ||b |＝(3，3)·(1，2)32×5＝31010.所求为 答案：310105．已知向量a＝(1,3)，b＝(2,5)，求a·b，|3a－b|，(a＋b)·(2a－b)．解：a·b＝1×2＋3×5＝17.∵3a＝3(1,3)＝(3,9)，b＝(2,5)，∴3a－b＝(1,4)，∴|3a－b|＝12＋42＝17.∵a＋b＝(3,8)，2a＝(2,6)，∴2a－b＝(2,6)－(2,5)＝(0,1)，∴(a＋b)·(2a－b)＝3×0＋8×1＝8.温馨提示过标实现问题数应与(1)通向量的坐表示向量代化，注意方程、函等知的系数识联.(2)向量的理有思路：一是向量式，另一问题处两种种纯种标两补.是坐式，者互相充总结规律我们在进行向量的数量积运算时，要牢记有关的运算法则和运算性质．解题时通常有两条途径：一是先将各向量用坐标表示，直接进行数量积运算；二是先利用数量积的运算律将原式展开，再由已知计算．三是如果涉及图形的数量积运算，只需把握图形特点，求出相关点的坐标，利用向量的三角形减法由终点坐标与起点坐标的差得到向量的坐标即可．1若向量a＝(2，－1)，向量b＝(3，－2)，求向量(3a －b)·(a－2b)．=？解：由已知得a·b＝＝8，a2＝＝5，b2＝＝13，所以(3a－b)·(a－2b)＝-15.所求为b a b a b a a b ⋅=⋅==求求：已知例,43)2(;,//)1(1,21πθ，分两种情况：）由解：（b a //1;2,=⋅b a b a 同向，当。
4平面向量数量积的坐标表示
第四节 平面向量数量积的坐标表示1.数量积的坐标表示：若=→a （11y x 、），=→b （22y x 、），则2121y y x x b a +=⋅→→例1.已知)2,(λλ=→a ，)2,3(λ=→b ，如果→a 与→b 的夹角为锐角，则λ的取值范围是_____例2.已知→a =（θ23cos ，θ23sin ），→b =（2cos θ，2sin θ-），且∈θ[0，2π]（1）求||→→→→+⋅b a ba 的最值；（2）若||3||→→→→-=+b k a b a k （R k ∈），求k 的取值范围。
例3.设函数→→⋅=b a x f )(，其中向量→a =（m ，x 2cos ），→b =（x 2sin 1+，1），R x ∈，且函数)(x f y =的图象经过点（4π，2） （1）求实数m 的值；（2）求函数)(x f 的最小值及此时x 值的集合。
例4.已知向量)cos ,(sin αα=→m ，)2,1(=→n ，且0=⋅→→n m 。
（1）求αtan 的值；（2）求函数x x x f sin tan 2cos )(⋅+=α（R x ∈）的值域。
例5.已知A 、B 、C 是ABC ∆的内角，向量)3,1(-=→m ，)sin ,(cos A A n =→，且1=⋅→→n m 。
（1）求角A 的大小； （2）若1sin cos 2sin 122-=-+BB B，求C tan 。
例6.已知ABC ∆三个顶点的坐标分别为)4,3(A 、)0,0(B 、)0,(c C 。
（1）若0=⋅，求c 的值； （2）若5=c ，求A sin 的值。
例7.已知A 、B 、C 为ABC ∆的三个内角，且其对边分别为a 、b 、c ，若)sin ,(cos C B m =→，)sin ,(cos B C n -=→，且21=⋅→→n m 。
（1）求角A 的大小；（2）若32=a ，ABC ∆的面积3=S ，求c b +的值。
平面向量数量积的坐标表示
i·i，j·j，i·j分别是多少？ 答案 i·i＝1×1×cos 0＝1，j·j＝1×1×cos 0＝1，i·j＝0.
答案
思考2
取i，j为坐标平面内的一组基底，设a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，试 将a，b用i，j表示，并计算a·b. 答案 ∵a＝x1i＋y1j，b＝x2i＋y2j， ∴a·b＝(x1i＋y1j)·(x2i＋y2j)＝x1x2i2＋(x1y2＋x2y1)i·j＋y1y2j2＝x1x2＋ y1y2.
答案
梳理
设非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则
(1)cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22.
(2)a⊥b⇔a·b＝0⇔x1x2＋y1y2＝0.
思考1: a∥b⇔x1y2 =x2y1
思考2: a在b方向的投影如何用坐标 表示 ?
知识点四 直线的方向向量
第二章 平面向量
§6 平面向量数量积的坐标表示
学习目标
1.理解两个向量数量积坐标表示的推导过程，能运用数量积的坐标 表示进行向量数量积的运算. 2.能根据向量的坐标计算向量的模. 3.能根据向量的坐标求向量的夹角及判定两个向量垂直.
内容索引
问题导学 题型探究 当堂训练
问题导学
知识点一 平面向量数量积的坐标表示 设i，j是两个互相垂直且分别与x轴、y轴的正半轴同向的单位向量.
√A.30°
B.45°
C.60°
D.120°
解析 ∵|B→A|＝1，|B→C|＝1，
∴cos ∠ABC＝|BB→→AA|·|BB→→CC|＝ 23，
∴∠ABC＝30°.
12345
解析 答案
3.已知向量m＝(λ＋1，1)，n＝(λ＋2，2)，若(m＋n)⊥(m－n)，则λ等于
向量数量积的坐标表示
12345
3.已知向量 a＝(1，n)，b＝(－1，n)，若 2a－b 与 b 垂直，则|a|等于
A.1
√B. 2
C.2
D.4
解析 ∵(2a－b)·b＝2a·b－|b|2 ＝2(－1＋n2)－(1＋n2)＝n2－3＝0， ∴n2＝3，∴|a|＝ 12＋n2＝2.
12345
4.若平面向量 a＝(1，－2)与 b 的夹角是 180°，且|b|＝3 5，则 b 等于 A.(－3,6) B.(3，－6) C.(6，－3) D.(－6,3) 解析 由题意，设b＝λa＝(λ，－2λ)(λ<0)， 则|b|＝ λ2＋－2λ2＝ 5|λ|＝3 5， 又λ<0，∴λ＝－3，故b＝(－3,6).
反思 感悟
求向量a＝(x，y)的模的常见思路及方法 (1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系要灵活应 用公式a2＝|a|2＝x2＋y2，求模时，勿忘记开方. (2)a·a＝a2＝|a|2 或|a|＝ a2＝ x2＋y2，此性质可用来求向量的模，
可以实现实数运算与向量运算的相互转化.
跟踪训练 2 已知向量 a＝(2,1)，a·b＝10，|a＋b|＝5 2，则|b|等于
B.锐角三角形 D.等边三角形
解析 由题设知A→B＝(8，－4)，A→C＝(2,4)，B→C＝(－6,8)， 所以A→B·A→C＝2×8＋(－4)×4＝0， 即A→B⊥A→C.所以∠BAC＝90°，故△ABC 是直角三角形.
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
所以
cos〈O→A·O→B〉＝
→→ OA·OB →→
＝
|OA||OB|
5 10×
5＝ 22，
所以〈O→A·O→B〉＝45°.
向量数量积的坐标表示
05
向量数量积的扩展
向量点乘的坐标表示
总结词
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。
详细描述
向量点乘的坐标表示是两个向量的对应坐标相乘，然后求和。设向量$mathbf{A} = (a_1, a_2, a_3)$，向量$mathbf{B} = (b_1, b_2, b_3)$，则$mathbf{A} cdot mathbf{B} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$。
在工程中的应用
机械系统分析
向量数量积可以用于分析机械系 统的运动状态，例如分析机器人 的关节运动、车辆的行驶轨迹等。
控制系统分析
向量数量积可以用于控制系统的 分析和设计，例如分析系统的稳 定性、设计控制算法等。
信号处理
在信号处理中，向量数量积可以 用于分析信号的频率和相位，例 如进行频谱分析和滤波器设计等。
$mathbf{C} = (c_1, c_2, c_3)$，则$mathbf{A} cdot (mathbf{B} times mathbf{C}) = (a_1(b_2c_3 - b_3c_2), a_2(b_3c_1 - b_1c_3), a_3(b_1c_2 - b_2c_1))$。
感谢观看
mathbf{B} = mathbf{B} cdot mathbf{A}$。
数量积满足分配律，即$(mathbf{A}
+
mathbf{பைடு நூலகம்}) cdot mathbf{C} = mathbf{A}
cdot mathbf{C} + mathbf{B} cdot
mathbf{C}$。
数量积为0当且仅当两个向量垂直，即 $mathbf{A} cdot mathbf{B} = 0$当且仅当 $mathbf{A} perp mathbf{B}$。
平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
引入
练1、已知 | a | 6, | b | 4, a与b的夹角为60 ,
0
求( a 2b ) ( a 3b ).
练 2、已知 | a | 3, | b | 4, 且 a与b不共线.k为 何值时, 向量a k b与a k b垂直. 练 3、已知 | a | 2, | b | 5, a b 3, 求 | a b |, |ab|.
( 3)若 a ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), 则a b __ __ .
举例
例1、求证 : A(1,0), B ( 5,2), C ( 8,4), D( 4,6) 为顶点的四边形是一个 矩形.
解： | AB | （ 4， 2） DC , cos AB , AD
2
( 4 , 2 )( 3 ,6 ) 4 ( 2 )
2
3 6
2
2
其余略；所以得证
向量夹角公式:
ab | a || b | x1 x 2 y1 y 2 x1 y1
2 2
cos
x2 y2
2
2
例 2、已知 | a | 3 , b ( 1 ,2 ), 且 a // b , 求 a的坐 标.
向量夹角公式:
cos ab | a || b |
2
x1 x 2 y1 y 2 x1 y1
2
x2 y2
2
2
作业
课本107页练习
新课
数量积的坐标表示 :
已知两个非零向量 ( x1 , y1 ), b ( x 2 , y 2 ), a 则a b x1 x 2 y1 y2 .
8.2(2)数量积的坐标表示
a
b
a
b
cos
，
0,
；
2.
b
在
a
上的投影：
b cos ;
3.
非零 a
b
的充要条件是：a
b
0
4.
a
//
b
的充要条件是： x1
y
2
x2 y1
引入
（ （ （a123a） ） ）xaa1xa1i,bby1
y1 j, b x2 i y2 j
求证：ABC 是直角三角形.
二、向量垂直的充要条件
a b a b x1x2 y1 y2 =0
例3 已知a (1,2),b (2, 2),求 a 、b 、a与b的
夹角以及b在a方向上的投影.
例4 已知a (2,3),b (3,1),且b a与b垂直， 求实数的值.
巩固练习： 已知a (1，2)，b (3，2)，试确定实数k．
(1)使ka b与a 3b互相垂直； (2)使ka b与a 3b互相平行．
若
a
3k
,4,
b
6,
k
7
（1）若a
//
b ，求实数k
的值;
（2）若a
b ，求实数k
的值.
课堂小结 向量数量积的坐标表示
1.已知向量 a (x1, y1),b (x2, y2)
a b x1x2 y1y2 2.非零向量 a b a b x1x2 y1y2 0
2
2
x1x2i (x1y2 x2 y1)i j y1y2 j
2
2
i 1, i j 0, j 1
a b x1x2 y1 y2
两个向量的数量积等于它们对应坐标乘积的和.
第二章 2.4 2.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
2．4.2平面向量数量积的坐标表示、模、夹角1．两向量的数量积与两向量垂直的坐标表示已知两个非零向量，向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ.数量积两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和，即a·b＝x1x2＋y1y2向量垂直a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0[点睛]记忆口诀：数量积的坐标表示可简记为“对应相乘计算和”．2．与向量的模、夹角相关的三个重要公式(1)向量的模：设a＝(x，y)，则|a|＝x2＋y2.(2)两点间的距离公式：若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则|AB|＝(x1－x2)2＋(y1－y2)2.(3)向量的夹角公式：设两非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a与b的夹角为θ，则cos θ＝a·b|a||b|＝x1x2＋y1y2x21＋y21·x22＋y22.平面向量数量积的坐标运算[典例](1)向量a＝(1，－1)，b＝(－1,2)，则(2a＋b)·a＝()A．－1B．0C．1 D．2(2)在平面直角坐标系xOy中，已知四边形ABCD是平行四边形，AB＝(1，－2)，AD ＝(2,1)，则AD·AC＝()A．5 B．4C．3 D．2[活学活用]已知向量a与b同向，b＝(1,2)，a·b＝10.(1)求向量a的坐标；(2)若c＝(2，－1)，求(b·c)·a.向量的模的问题[典例] (1)设x ，y ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，y )，c ＝(2，－4)，且a ⊥c ，b ∥c ，则|a ＋b |＝( )A. 5B.10 C ．2 5D ．10(2)已知点A (1，－2)，若向量AB 与a ＝(2,3)同向，|AB |＝213，则点B 的坐标是________．[活学活用]1．已知向量a ＝(cos θ，sin θ)，向量b ＝(3，0)，则|2a －b |的最大值为________．2．已知平面向量a ＝(2,4)，b ＝(－1,2)，若c ＝a －(a ·b )b ，则|c |＝________.向量的夹角和垂直问题[典例] (1)已知a ＝(3,2)，b ＝(－1,2)，(a ＋λb )⊥b ，则实数λ＝________.(2)已知a ＝(2,1)，b ＝(－1，－1)，c ＝a ＋kb ，d ＝a ＋b ，c 与d 的夹角为π4，则实数k 的值为________．[活学活用]已知平面向量a ＝(3,4)，b ＝(9，x )，c ＝(4，y )，且a ∥b ，a ⊥c . (1)求b 与c ；(2)若m ＝2a －b ，n ＝a ＋c ，求向量m ，n 的夹角的大小．求解平面向量的数量积[典例] 已知点A ，B ，C 满足|AB |＝3，|BC |＝4，|CA |＝5，求AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB 的值．[活学活用]如果正方形OABC 的边长为1，点D ，E 分别为AB ，BC 的中点，那么cos ∠DOE 的值为________．层级一 学业水平达标1．已知向量a ＝(0，－23)，b ＝(1，3)，则向量a 在b 方向上的投影为( ) A.3 B ．3 C ．－ 3D ．－32．设x ∈R ，向量a ＝(x,1)，b ＝(1，－2)，且a ⊥b ，则|a ＋b |＝( ) A. 5 B.10 C ．2 5D ．103．已知向量a ＝(2,1)，b ＝(－1，k )，a ·(2a －b )＝0，则k ＝( ) A ．－12 B ．－6 C ．6 D ．12 4．a ，b 为平面向量，已知a ＝(4,3)，2a ＋b ＝(3,18)，则a ，b 夹角的余弦值等于( )A ．865B ．－865C ．1665D ．－16655．已知A (－2,1)，B (6，－3)，C (0,5)，则△ABC 的形状是( ) A ．直角三角形 B ．锐角三角形 C ．钝角三角形D ．等边三角形6．设向量a ＝(1,2m )，b ＝(m ＋1,1)，c ＝(2，m )．若(a ＋c )⊥b ，则|a|＝________. 7．已知向量a ＝(1，3)，2a ＋b ＝(－1，3)，a 与2a ＋b 的夹角为θ，则θ＝________. 8．已知向量a ＝(3，1)，b 是不平行于x 轴的单位向量，且a·b ＝3，则向量b 的坐标为________．9．已知平面向量a ＝(1，x )，b ＝(2x ＋3，－x )，x ∈R. (1)若a ⊥b ，求x 的值； (2)若a ∥b ，求|a －b |.10．在平面直角坐标系xOy 中，已知点A (1,4)，B (－2,3)，C (2，－1)． (1)求AB ·AC 及|AB ＋AC |；(2)设实数t 满足(AB －t OC )⊥OC ，求t 的值．层级二 应试能力达标1．设向量a ＝(1,0)，b ＝⎝⎛⎭⎫12，12，则下列结论中正确的是( ) A ．|a |＝|b | B ．a ·b ＝22C ．a －b 与b 垂直D ．a ∥b2．已知向量OA ＝(2,2)，OB ＝(4,1)，在x 轴上有一点P ，使AP ·BP 有最小值，则点P 的坐标是( )A ．(－3,0)B ．(2,0)C ．(3,0)D ．(4,0) 3．若a ＝(x,2)，b ＝(－3,5)，且a 与b 的夹角是钝角，则实数x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫－∞，103 B.⎝⎛⎦⎤－∞，103 C.⎝⎛⎭⎫103，＋∞D.⎣⎡⎭⎫103，＋∞4．已知OA ＝(－3,1)，OB ＝(0,5)，且AC ∥OB ，BC ⊥AB (O 为坐标原点)，则点C 的坐标是( )A.⎝⎛⎭⎫－3，－294 B.⎝⎛⎭⎫－3，294 C.⎝⎛⎭⎫3，294 D.⎝⎛⎭⎫3，－294 5．平面向量a ＝(1,2)，b ＝(4,2)，c ＝ma ＋b (m ∈R)，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹角，则m ＝________.6．已知正方形ABCD 的边长为1，点E 是AB 边上的动点，则DE ·CB 的值为______；DE ·DC 的最大值为______．7．已知a ，b ，c 是同一平面内的三个向量，其中a ＝(1,2)． (1)若|c |＝25，且c ∥a ，求c 的坐标； (2)若|b |＝52，且a ＋2b 与2a －b 垂直，求a 与b 的夹角θ.8．已知OA＝(4,0)，OB＝(2,23)，OC＝(1－λ)OA＋λOB(λ2≠λ)．(1)求OA·OB及OA在OB上的投影；(2)证明A，B，C三点共线，且当AB＝BC时，求λ的值；(3)求|OC|的最小值．。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
题型二 两向量的夹角 【例 2】 已知 a＝(1,2)，b＝(1，λ)，分别确定实数 λ 的取值范 围，使得：(1)a 与 b 的夹角为直角；(2)a 与 b 的夹角为钝角； (3)a 与 b 的夹角为锐角．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 2】 已知 a＝(－2，－1)，b＝(λ，1)，若 a 与 b 的夹角 α 为钝角，求 λ 的取值范围. 解 由题意 cos α＝|aa|·|bb|＝ －5·2λλ－2＋11， ∵90°＜α＜180°，∴－1＜cos α＜0， ∴－1＜ －5·2λλ－2＋11＜0， ∴－－22λλ－－11＜＞0－， 5λ2＋5，
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
即λ＞－12， 2λ＋12＜5λ2＋5，
即λ＞－12， λ≠2，
∴λ 的取值范围是（－12，2）∪(2，＋∞)．
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型三 向量垂直的坐标运算 【例 3】 已知 a＝－12， 23，O→A＝a－b，O→B＝a＋b，若△AOB 是以 O 为直角顶点的等腰直角三角形，求向量 b.
与 b 的夹角为 θ，则 cos θ＝
x1x2＋y1y2 x21＋y21· x22＋y22
.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
题型一 向量数量积的坐标表示及运算 【例 1】 已知向量 a 与 b 同向，b＝(1,2)，a·b＝10，求： (1)向量 a 的坐标；(2)若 c＝(2，－1)，求(a·c)·b.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
3．三个重要公式
(1)向量模公式：设 a＝(x1，y1)，则|a|＝ x21＋y21 . (2) 两 点 间 距 离 公 式 ： 若 A(x1 ， y1) ， B(x2 ， y2) ， 则 | A→B | ＝
x2－x12＋y2－y12 .
(3)向量的夹角公式：设两非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，a
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 3】 已知 a＝(m＋1，－3)，b＝(1，m－1)，若(a＋b)⊥ (a－b)，求 m 的值． 解 ∵a＋b＝(m＋2，m－4)，a－b＝(m，－m－2)， 又(a＋b)⊥(a－b)， ∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(m＋2，m－4)·(m，－m－2)＝0. ∴m2＋2m－m2＋2m＋8＝0，∴m＝－2.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
【变式 1】 已知 a＝(4，－3)，|b|＝1，且 a·b＝5，求向量 b 的 坐标．
解 设 b＝(x，y)，则x42x＋－y32y＝＝15，，
解得xy＝ ＝45－，35，
∴b＝45，－35.
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
2．4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角
课前探究学习
课堂讲练互动
活页规范训练
自学 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a·b＝ x1x2＋y1y2 . 即两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和．
2．两个向量垂直的坐标表示 设两个非零向量 a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则 a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0 .