牛吃草问题分析

§第13讲：牛吃草问题分析

伟大的科学家牛顿著的《普通算术》一书中有这样一道题：“12头牛4周吃牧草3

13格尔，同样的牧草，21头牛9周吃10格尔。问24格尔牧草多少牛吃18周吃完。”（格尔——牧场面积单位），以后人们称这类问题为“牛顿问题”的牛吃草问题。

牧场上有一片牧草,可以供27头牛吃6周,供23头牛吃9周,如果每天牧草生长的

速度相同,那么这片牧草可以供21头牛吃几周?

【思路导航】这片牧场上的牧草的数量每天在变化。解题的关键应找到不变量——

即原来的牧草数量。因为总草量可以分成两部分：原有的草与新长出

的草。新长出的草虽然在变，但应注意到它是匀速生长的，因而这片

牧场每天新长出飞草的数量也是不变的。

【详细解答】设每头牛每星期的吃草量为1.

27头牛6个星期的吃草量为27×6=162,

这既包括牧场上原有的草,也包括6个星期长的草.

23头牛 9个星期的吃草量为 23×9= 207,

这既包括牧场上原有的草,也包括9个星期长的草.

因为牧场上原有的草量一定,

所以上面两式的差207-162=45

正好是9个星期生长的草量与6个星期生长的草量的差.

由此可以求出每星期草的生长量是45÷（9-6）=15.

牧场上原有的草量是162-15×6=72,或207-15×9= 72.

前面已假定每头牛每星期的吃草量为1,

而每星期新长的草量为15,因此新长出的草可供15头牛吃.

今要放牧21头牛,还余下21-15=6头牛要吃牧场上原有的草,

这牧场上原有的草量够6头牛吃几个星期,

就是21头牛吃完牧场上草的时间.72÷6=12（星期）.

也就是说,放牧21头牛,12个星期可以把牧场上的草吃光。

【题后反思】“牛吃草”题目特征：题目表述为以一定的速度匀速增长，同时又以另一速度被均匀消耗。“牛吃草”问题因为未知数很多，但是各个量存在比例关系，我们可以设牛每天吃草的数量为1份，巧妙地解决了未知数烦多的问题，这种方法也叫做设“1”法。

1.一片草地，每天都匀速长出青草，如果可供24头牛吃6天，或20头牛吃10天，那么可供18头牛吃几天？

2.一块草地上的草以均匀的速度生长，如果20只羊5天可以将草地上的草和新长

出的草全部吃光，而14只羊则要10天吃光。那么想用4天的时间，把这块草地

的草吃光，需要多少只羊。

3．画展9时开门，但早有人来排队等候入场。从第一个观众来到时起，每分钟来的观众人数一样多。如果开3个入场口，9点9分就不再有人排队了，那么第一

个观众到达的时间是8点几分？

的量设为1份。

一艘船出现了一个漏洞，水以均匀的速度进入船舱，当船员发现的时候，舱内已经

灌进了一些水．如果用12人来舀水，3小时可以舀完；如果用5人来舀水，10小

时可以舀完．现在要求2小时把水舀完，需要多少人来舀？

【思路导航】在这道题中，“总的草量”变成了“已经灌进了一些水的总量”，“草”

变成了“漏进的水”，“牛”变成了“舀出的水”,所以也可以看成

是“牛吃草”问题来解答。

【详细解答】假设每人每小时可以舀1份水，

则船每小时漏水：

（5×10-12×3）÷（10-3）=14÷7=2（份）；

船舱里原有的水有：5×10-2×10=50-20=30（份）；

现在要求2小时把水舀完，需要：

（30+2×2）÷2=17（人）；

答：现在要求2小时把水舀完，需要17人来舀．

也就是说,放牧21头牛,12个星期可以把牧场上的草吃光。

【题后反思】典型的“牛吃草”问题，找出“牛”和“草”是解题的关键。

1. 一水池中原有一些水，装有一根进水管，若干根抽水管。进水管不断进水，若

用24根抽水管抽水，6小时可以把池中的水抽干，那么用16根抽水管，多少小

时可将可将水池中的水抽干？

2. 经测算，地球上的资源可供100亿人生活100年，或可供80亿人生活300年。

假设地球新生成的资源增长速度是一样的。那么，为了满足人类不断发展的要求，

地球最多只能养活多少亿人。

3. 某码头剖不断有货轮卸下货物，又不断用汽车把货物运走，如用9辆汽车，12

小时可以把它们运完，如果用8辆汽车，16小时可以把它们运完。如果开始只

用3辆汽车，10小时后增加若干辆，再过4小时也能运完，那么后来增加的汽

车是多少辆？

要抓住这个关键问题，也就是要求出原来的量和每天增加的量各是多少。

有三块草地,面积分别为5,6,和8公顷.草地上的草一样厚,而且长得一样快.第一

块草荐地可供11头牛吃10天,第二块草地可供12头牛吃14天.问第三块草地可供

19头牛吃多少天?第三块草地吃14天可供多少头牛?

【思路导航】由题目可知，这是三块面积不同的草地，为了解决这个问题，首先要

将这三块草地的面积统一起来。

【详细解答】由题意5公顷草可供11头牛吃10天,

我们可以推出30公顷草可以供66头牛吃10天.

同样第二块6公顷可供12头牛吃14天,

即可以认为30公顷可供60头吃14天.

我们假设1头牛1周吃一个单位的草,

所以在（14-10）天内草场上的增长量是60×14-66×10=180个单位,

所以1天草场的增长量为180÷4=45个单位.

由此我们可以计算出30公顷的草场上原来有66×10-10×45=210个单

位的草.

从而有8公顷的草场上原来有210×（8÷30）=56个单位的草,

8公顷的草场1天草地增量为45×（8÷30）=12个单位.

综上所述,在8公顷的草场上可供19头牛吃：56÷（19-12）=8天

最后一问8公顷的草场1天草地增量为12单位,

14天共14×12=168单位；

加上原来56单位,共224个单位,除以14天,等于16头牛【题后反思】有时候注意整体与局部量之间的关系，可以使得思考更加简便。

1.一片牧草,每天生长速度相同.现在这片牧草可供16头牛吃20天,或者供80只羊

吃12天.如果一头牛的吃草量相当于4只羊的吃草量,那么10头牛和60只羊一

起吃多少天?

2.一个牧场,草每天匀速生长,1头牛1天吃的草可供1只羊吃3天.这个牧场上的

草可供17头牛吃30天,或可供11头牛和14只羊吃24天.牧牧场主准备全部养

羊,那么这个牧场最多可养多少只羊,才能使羊永远有草吃?

它们存在的隐藏条件。